Bài tập trắc nghiệm toán học lớp 12

Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

PHẦN I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1. NGUYÊN HÀM
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Khái niêm nguyên hàm:
1. Định nghĩa: Hàm số

được gọi là nguyên hàm của hàm số

nếu
2. Định lý: Nếu

là nguyên hàm của hàm số

thì:

a)
cũng là một nguyên hàm của
một hằng số tùy ý.
b) Mọi

nguyên

hàm

của

hàm

số

với C là
đều

có

dạng

với C là một hằng số tùy ý.
Do đó

với

được gọi là 1 họ nguyên hàm của hàm số

và được ký hiệu là

. Vậy ta có:

II.Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
Nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm mở rộng

1
2
3

4
5
6
Trang 1


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

7
8
9
10
11
III.Môt số tính chất của nguyên hàm:



với mọi số thực

.

IV.Các công thức thường sử dụng khi tìm nguyên hàm của các hàm số lượng
giác:
1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.

Trang 2


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

8.
9.
B- BÀI TẬP:
1. Tìm các nguyên hàm sau:

m)

a)
b)

n)
c)
o)

d)
e)

p)

f)

q)
g)
r)
h)
s)
i)
t)
j)
u)
k)
v)

l)
2. Tìm các nguyên hàm sau:

b)

a)
Trang 3


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

c)

h)

d)

i)

e)

j)

f)
k)
g)
l)
3. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

l)

b)

m)

c)

n)

d)

o)

e)
p)

f)
q)
g)
h)
r)

s)
i)
t)
j)
u)
k)
Trang 4


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

v)

y)

w)

z)

x)
4. Tìm các nguyên hàm sau:.

.

a.

g.

b.

h.

c.

i.

d.

j.

e.

k.

f.

l.
a. Tìm nguyên hàm
trước:

b.

a)

c.

b)

của hàm số

d.
c)

e.
d)
Trang 5

thỏa mãn điều kiện cho


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

f.

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

e)

g. f)

h.

g)

i.

h)

j.

i)

k.
l.

k)
m. §2. TÍCH PHÂN

A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
n.

I.Định nghĩa: Cho hàm số

liên tục trên đoạn

một nguyên hàm của hàm số

là

.

o. Hiệu số

được gọi là tích phân từ

tích phân xác định trên đoạn

) của hàm số

là

s.

và

p. Vậy:
q. a: được gọi là cận dưới của tích phân.
r. b: được gọi là cận trên của tích phân.
II.Tính chất của tích phân:



Trang 6

đến

(hay

và được ký hiệu


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh







với

là một hằng số thực.


t.
B- BÀI TẬP:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
1. Tính các tích phân sau:
a.

j.

b.
k.
c.
l.
d.
m.
e.
n.

f.
o.
g.
p.
h.
q.
i.
Trang 7


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh
t.

r.

u.

s.
2. Tính các tích phân sau:

a.
k.
b.
l.

c.

m.

d.

n.

e.
o.
f.
p.
g.

q.

h.

r.

i.

s.

j.

t.
Trang 8


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

u.

x.

v.
y.
w.
z.
3. Tính các tích phân sau:
a.
e.
b.
f.
c.
g.
d.
h. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1:
i.

Định nghĩa vi phân: Nếu

là một hàm số theo biến

được gọi là vi phân của hàm số
j. Ta có:

l.





k.
Một số cách đổi biến thường gặp:

Đặt
Đặt
Trang 9

và được ký hiệu là

thì
.


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh



Đặt



Đặt



Đặt



Đặt

 Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa
 Khi tính tích phân dạng

:

o Nếu

và

chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

o Nếu

chẵn,

lẻ ta đặt

.

o Nếu

chẵn,

lẻ ta đặt

.

m.
4.

thì đặt

n.
Tính các tích phân sau:

a.

h.

b.

i.

c.

j.

k.

d.

l.

e.

m.

f.

n.
g.
Trang 10


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

o.
5. Tính các tích phân sau:
a.

d.

b.
e.
c.
f.
6. Tính các tích phân sau:

a.

i.

b.

j.
c.
k.
d.
l.
e.
m.
f.
n.
g.

o.

h.

p.

Trang 11


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

q.

v.

r.

w.

s.

x.

t.
y.
u.
z.
7. Tính các tích phân sau:

a.
h.
b.
i.
c.
j.
d.
k.
e.
l.
f.
m.
g.
Trang 12


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

n.
8. Tính các tích phân sau:
h.

a.

i.

b.

c.

j.

d.

k.

l.

e.

m.
f.
n.
g.
o.
p. TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ

Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:
 Bậc của

Bậc của

: Chia đa thức tử cho mẫu.

q.
 Bậc của
Bậc của
thành tích và biến đổi theo cách sau:

r.
Trang 13

:

Phân tích mẫu


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

s.

t.

Đặc biệt:

u.

v.
w.
9. Tính các tích phân sau:

a.

g.

b.

h.
i.

c.
d.

j.

e.

k.

f.
10.Tính các tích phân sau:

l.

a.

d.

b.

e.

c.
f.
Trang 14


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II
Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh
g. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN
Phương pháp:

h.

Thứ tự ưu tiên:

i.
11.Tính các tích phân sau:
a.

j.

b.

k.

c.

l.

d.

m.

e.

n.

f.

o.

g.

p.

h.

q.

i.
r.
12.Tính các tích phân sau:

a.

b.

Trang 15


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

k.

c.

l.
d.
m.
e.
n.
f.
o.
g.
p.
h.
q.
i.
r.
j.
s.

13.Tính các tích phân sau:

d.

a.

e.

b.

f.
c.
g.
Trang 16


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II
14.Tính các tích phân sau:

o.

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

a.

g.

b.

h.

c.

i.

d.

j.

e.

k.

f.

l.
m.
n. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2:
Phương Pháp:
 Hàm có chứa

thì đặt

 Hàm có chứa

thì đặt

 Hàm có chứa
15.Tính các tích phân sau:

hay

a.

thì đặt

e.

b.

f.

c.

g.

d.

h.

Trang 17


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

i.

k.

j.

l.
m.

16.Tính các tích phân sau:

a.

e.

b.

f.
g.

c.

h.

d.

i.
j. TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
17.Tính các tích phân sau:

a.

e.

f.

b.

g.

c.

h.

d.
Trang 18


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

p.

i.

j.

q.

k.

r.

l.

s.
t.

m.
u.

n.

o.
18.Tính các tích phân sau (tổng hợp):

v.

a.

g.

b.

h.

c.

i.

d.

j.

e.
k.
f.
Trang 19


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

n.

l.

m.
19.Tính các tích phân sau (tổng hợp):
a.

o.

j.

b.
k.
c.
l.
d.
m.

n.

e.

f.
o.
g.

p.

h.

q.

i.

r.

s.
t. §3.ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
u.
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
v.
I.Tính diện tích hình phẳng
 Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng

.

Trang 20

, trục hoành, hai


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

w.

x. Công thức:
 Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số
, hai đường thẳng

y.

aa.

z. Công thức:
II.Tính thể tích vật thể tròn xoay:
Trang 21


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

ab.
ac.

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

đường thẳng
thể tích là:

, trục hoành và hai

quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có

ad.
ae.
B- BÀI TẬP:
af.
1. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
a.

, trục hoành,

b.

và trục hoành.

c.
d.

và

và trục hoành.
, trục hoành, trục tung và

e.
, đường thẳng
và trục hoành.
2. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
a.
b.

trục Ox , Oy và đường thẳng
,
Trang 22

.


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

c.

, trục Ox, trục Oy và x = 2.

d.

và trục Ox.

e.
f.
g.
h.

, trục Ox, Oy và
, trục
; trục Ox; x = 1; x = e.

i.
,
3. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a.

và

b.

và

c.

và

d.

và

e.
và
4. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a.
b.
c.

d.
e.

với trục hoành.
với trục hoành.
với trục hoành.
với trục hoành.
với trục hoành.

f.
với trục hoành.
5. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
Trang 23


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

a.

,

b.

và

c.

và

d.

,

và

.

.
.

và trục hoành.

e.

và

f.

và

g.

và

.
.
.

h.

.

i.

,

j.

;

và trục tung.
,

k.
,
và trục hoành.
6. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:

a.
b.
c.
d.
với
7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a.
b.
c.

và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng – 2.
, tiệm cận ngang của (C),

và

và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Trang 24

.


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

d.

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

, tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.

e.
và tiếp tuyến của (C) tại điểm
8. Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
đây quanh trục hoành:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

h.
i.
j.
k.
l.
m.

, trục hoành,

n.

, trục hoành,

o.

, trục hoành,

p.

, trục hoành,

q.

, trục hoành,
Trang 25