TỔNG hợp bộ đề THI CAO học sưu tầm

TSSĐH-B02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH
------- oOo -------

ĐỀ THI SAU ĐẠI HỌC NĂM 2008
9
Tuyển sinh: CAO HỌC ‰
NGHIÊN CỨU SINH ‰
Chun ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
9
Mơn Thi: CƠ BẢN ‰
CƠ SỞ ‰
CHUN NGÀNH ‰
Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng được phép dùng tài liệu)
Đề thi số: 01
Đề thi gồm 4 trang
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
PHẦN A: CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT (2.5 điểm)
Câu 1 (1.5 điểm). Thí sinh trả lời ngắn gọn 6 câu hỏi sau đây, mỗi câu 0.25 điểm:
1.1 Để giải bài tốn Tháp Hà Nội bằng một giải thuật đệ quy, người ta hay dùng chiến lược thiết kế giải thuật nào
sau đây:
a. tham lam
b. quay lui
c. chia để trị
d. cả ba câu trên đều sai
1.2 Hãy nêu độ phức tạp của các thao tác làm việc trên cấu trúc heap.
1.3 Có hai cách diễn tả đồ thị: (1) ma trận kế cận và (2) tập danh sách kế cận. Hãy nêu trường hợp nào nên dùng
cách 1 và trường hợp nào nên dùng cách 2).

1.4 Hãy so sánh phương pháp tìm kiếm bằng kỹ thuật băm và tìm kiếm bằng cây tìm kiếm nhò phân, phương
pháp nào tốt hơn. Tại sao?
1.5 Tại sao đối với một mảng đã gần có thứ tự, ta không nên áp dụng Quicksort?
1.6 Trong giải thuật Quicksort để sắp thứ tự một dãy, người ta hay chọn phần tử chốt (pivot) là:
a. phần tử tận cùng trái của dãy
b. phần tử tận cùng phải của dãy
c. phần tử trung vị của 3 phần tử tận cùng phải, tận cùng trái và phần tử ở vị trí chính giữa dãy.
d. một trong 3 cách trên đều đúng.

Câu 2 (0.5 điểm) Hãy vẽ từng bước q trình xây dựng cây tìm kiếm nhị phân khi ta đưa vào cây (lúc
đầu rỗng) những trị khố như sau: E, A, R, C, H, N, M, P, L. Và cây tìm kiếm nhị phân sẽ trở thành như
thế nào khi ta xóa trị khóa E ra khỏi cây.
Câu 3 (0.5 điểm) Hãy chạy từng bước giải thuật sắp thứ tự bằng phương pháp trộn (merge sort) để sắp
thứ tự dãy số 53, 59, 56, 52, 58, 51, 57, 54.
PHẦN B: NGƠN NGỮ LẬP TRÌNH (2.5 điểm)
Câu 1 (1 điểm)
a. (0.25điểm) Giả sử kích thước của một đối tượng kiểu integer là 2, real là 4, boolean là 1 (theo đơn vị
byte). Kiểu tập hợp lưu trữ dạng chuỗi bit. Cho biết kích thước phần mơ tả bằng 0, hãy tính (và giải thích)
kích thước của một đối tượng dữ liệu có kiểu được định nghĩa như sau:
record
a: set of 0..15;
b: boolean;
case b of
true: (c:integer)
false: (e:real; f:integer; g:boolean)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ghi chú: .................................................................................

........................................................................................Trang: 1

Ký tên:


TSSĐH-B02

end
b. (0.75điểm) Vẽ khối lưu trữ với năm phần tử đầu tiên và tính địa chỉ truy xuất phần tử A[I,J,K] của dãy
sau (cho biết công thức tổng quát và sau đó thay số cụ thể). Giả sử dãy được lưu trữ dùng phương pháp
đánh thứ tự theo row-major.
A: array [2..4,-1..2,4..6] of real;
Câu 2 (1.5 điểm)

Cho chương trình viết bằng ngôn ngữ tựa PASCAL (ngôn ngữ cấu trúc khối) như sau:
program main;
var a: array [1..5] of integer;
i,j: integer;
procedure swap(a, b,c: integer);
var t: integer;
begin
t := a; a := b; b := c; c:=(i+t) div 2; {div là phép toán lấy phần nguyên phép chia}
end ;
begin
for i := 1 to 5 do a[i] := 6 – i;
i := 2;j:=3;
swap(i, a[i],j);
end.

2.a. Hãy vẽ chồng trung tâm ở thời điểm vừa thực hiện xong các phép gán trong swap. Cho biết địa chỉ
của lệnh gọi swap trong main là I1, địa chỉ của lệnh sau lệnh gọi này là I2, các thông số a, b và c được
truyền bằng trị.

2.b. Cho biết giá trị của các phần tử của dãy a và các biến i, j sau lệnh gọi swap trong các trường hợp sau:
b1. Thông số a và b được truyền theo trị-kết quả.
b2. Thông số a và b được truyền theo tham khảo.
b3. Thông số a và b được truyền theo tên.
PHẦN C: CƠ SỞ DỮ LIỆU (2.5 điểm)
Câu 1 (0,5 điểm). Phát biểu định nghĩa khóa (key) của một lược đồ quan hệ R. Cho một ví dụ về lược đồ
quan hệ có ý nghĩa trong thực tế (ví dụ sinh viên, khách hàng …) vừa có khóa đơn (simple key) vừa có
khóa phức hợp (composite key) và giải thích ý nghĩa của các khóa này.
Câu 2 (1 điểm). Cho lược đồ quan hệ R(A,B,C,D,E,F,G,H) và tập phụ thuộc hàm {B → E, D → AEF, E
→ CG, A → CG, F → D, C → H}. Hãy tìm tất cả các khóa của R.
Câu 3 (1 điểm). Cho lược đồ cơ sở dữ liệu sau đây:
sinhviên (mãsv, họtên, tuổi)
mônhọc (mãmh, tênmh)
học (mãsv, mãmh, điểmthi)
Các thuộc tính được gạch dưới là các thuộc tính khóa. Tất cả các khóa ngoại đều chứa giá trị khác rỗng
(khác null).
Ý nghĩa của các lược đồ quan hệ này như sau:
sinhviên - một sinh viên có các thuộc tính: mã sinh viên (mãsv), họ tên (họtên), tuổi (tuổi).
mônhọc - một môn học có các thuộc tính: mã môn học (mãmh), tên môn học (tênmh).
- một sinh viên (mãsv) học một môn học (mãmh) có điểm thi (điểmthi).
học
3.a Hãy viết một biểu thức đại số quan hệ cho kết quả tương đương với kết quả của lệnh select sau đây:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ghi chú: .................................................................................

........................................................................................Trang: 2

Ký tên:

TSSĐH-B02

select mãsv, họtên
from sinhviên
where mãsv not in (select mãsv from học);
Ký hiệu của các phép toán đại số quan hệ:
σF(r) - Phép chọn trên r theo điều kiện F
ΠX(r) - Phép chiếu r trên tập thuộc tính X
r ∪ s - Phép hợp của r và s
r − s - Phép hiệu của r cho s

r×s
r∩s
r ZYθ s
r ZY s

- Phép tích Descartes của r và s
- Phép giao của r và s
- Phép kết-θ của r và s
- Phép kết tự nhiên của r và s
(0.5 điểm)

3.b Viết lệnh select trả lời câu hỏi: “Cho biết mã và họ tên của các sinh viên có tuổi lớn hơn 20 tuổi và có
học 10 môn học”.
(0.5 điểm)
PHẦN D: CẤU TRÚC MÁY TÍNH (2.5 điểm)
Câu 1 (1 điểm) Hình vẽ D.1 trình bày sơ đồ chân của IC SRAM 7489 của hãng Signetics. IC này có khả
năng lưu trữ 16 từ có độ rộng 4 bit.

a. Liệt kê các chế độ hoạt động của IC cho mỗi xung CS được cho trong hình D.3

b. Liệt kê nội dung của các từ trong bộ nhớ từ vị trí 0 đến vị trí 6 sau xung thứ n
c. Chỉ ra trạng thái ngõ xuất dữ liệu đối với các xung từ h đến m
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ghi chú: .................................................................................

........................................................................................Trang: 3

Ký tên:


TSSĐH-B02

Câu 2 (1.5 điểm) Viết chương trình con hợp ngữ INTEL 8086 để tính 15 phần tử đầu tiên của dãy số sau:
U0 = 1
U1 = 2
Un = Un–2 +Un–1 + 2
(n ≥ 2)
Các phép toán thực hiện trên dữ liệu 16 bit.
Kết quả được lưu lần lượt vào bộ nhớ có địa chỉ bắt đầu từ 4800h:0400h

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ghi chú: .................................................................................

........................................................................................Trang: 4

Ký tên:


Trần Mậu Quý -
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC

CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. Cho (X, T ) là một không gian tôpô. Chứng minh rằng
1. Với mỗi tập A trù mật trong X và mỗi tập mở U ⊂ X ta có
U = U ∩ A.

2. Với mỗi tập đóng F ⊂ X và mỗi tập A ⊂ X ta có
int(F ∪ intA) = int(F ∪ A).

3. Với mỗi tập A ⊂ X ta có X\A = X\intA.
Câu II. Kí hiệu X = R, F = { k1 | k ∈ Z∗ }. Với mỗi n ∈ N∗ , mỗi x ∈ X , ta đặt
Vn (x) = (x − n1 , x + n1 ) và
B(x) =

{Vn (x) | n ∈ N∗ }
nếu x = 0
∗
{Vn (x)\F | n ∈ N } nếu x = 0

Chứng minh rằng họ {B(x) | x ∈ X} xác định một tôpô trên X sao cho B(x)
là một cơ sở lân cận của điểm x, và với tôpô này X là T2 − không gian nhưng
không phải là T3 −không gian.
∗
Câu III. Cho X = {x = (xn )∞
n=1 | xn ∈ Rvới mọin ∈ N }.

1. Với mỗi n ∈ N∗ ta đặt pn (x) = |xn | với mọi x ∈ X . Chứng minh rằng
P = {pn | n ∈ N∗ } là họ các nửa chuẩn trên X và tách. Suy ra X với tôpô
T sinh bởi họ nửa chuẩn P là lồi địa phương.

2. Với x = (xn )n , y = (yn )n ∈ X ta đặt
∞

2−n

d(x, y) =
n=1

|xn − yn |
1 + |xn − yn |

Chứng minh rằng (X, d) là một không gian mêtric.
3. Gọi T∞ là tôpô sinh bởi mêtric d. Chứng minh rằng mọi dãy trong X hội tụ
theo T∞ thì hội tụ theo tôpô T . Hai tôpô T và T∞ có tương đương không?
Câu IV. Cho µ là một độ đo và f là một hàm khả tích ứng với độ đo µ. Với
mỗi tập đo được E ta đặt
ν(E) =

f dµ.
E

Chứng minh ν là một độ đo có dấu và liên tục tuyệt đối đối với µ.
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.


Trần Mậu Quý -
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15
ĐẠI HỌC HUẾ

Môn thi: MAPLE - LATEX
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I. Cho đa thức f = x3 − 5x2 + 4x + 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy
2. Gọi α là một nghiệm của f . Tìm dạng nhân tử hóa của f trong Q(α)[x]
3. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực đó.
Câu II. Viết ít nhất một thủ tục bằng Maple được chọn trong bảng các đề tài
lập trình đã cho. Nộp file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu III. Soạn thảo văn bản ở trang 2 bằng LATEX. Nộp file tex chạy trong
MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[tcvn]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản ở trang 2 bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
————————————————Hết————————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.

1


Trần Mậu Quý -

1
1.1

ĐA TẠP AFIN

ĐỊNH LÍ KHÔNG ĐIỂM HILBERT

Định lí 1 (Không điểm Hilbert, dạng 2). Cho mở rộng trường√K ⊂ L và l

đóng đại số. Khi đó mọi iđêan J ⊂ K[x1 , x2 , ..., xn ], ta có I(Z(J)) = J .
Chứng minh. Ta chứng minh rằng định lí trên tương đương với (7). Ta đa biết
√
J ⊂ I(Z(J)). Với f ∈ I(Z(J)) và f = 0. Xét iđêan J1 của K[x1 , x2 , ..., xn , t] sinh ra
bởi J và f t−1. Nếu có (a1 , a2 , ..., an , t) ∈ An+1
thuộc Z(J1 ) thì (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Z(J)
L
và do đó t0 f (a1 , a2 , ..., an ) − 1 = −1. Mặt khác, do (a1 , a2 , ..., an , t0 ) ∈ Z(J1 ) ta có
t0 f (a1 , a2 , ..., an ) − 1 = 0. Vô lí. Vậy Z(J1 ) = ∅ . Suy ra J1 = (1). Tồn tại biểu diễn
n

gi fi + (tf − 1)g, với fi ∈ J, g, gi ∈ K[x1 , x2 , ..., xn , t]

1=
i=1

Xét ánh xạ
β : K[x1 , x2 , ..., xn , t] −→ K(x1 , x2 , ..., xn , t)
−→ xi
1
−→
f

xi
t
n

β(gi )fi . Đặt β(gi ) =

Khi đó 1 =

i=1

hi
f ni

với hi ∈ K[x1 , x2 , ..., xn ] và r = max{n1 , n2 , ..., nm }.
√

Khi√đó f r ∈ (f1 , ..., fm ) ⊂ J . Vậy f ∈ J . Ngược lại, từ (9), nều Z(J) = 0 thì ta
có J = I(∅) = K[x1 , x2 , ..., xn ]. Suy ra J = K[x1 , x2 , ..., xn ]. Vô lí.
Định lí 2 (Không điểm Hilbert). Cho J ⊂ K[x1 , x2 , ..., xn ] là một iđêan và
f ∈ I(Z(J)). Khi đó tồn tại r ∈ N sao cho f r ∈ J .

1.2

CHIỀU CỦA (TỰA) ĐA TẠP AFIN

Mệnh đề 3.
(i) Các ánh xạ I và Z đảo ngược thứ tự bao hàm.
(ii) Với mọi Y1 , Y2 ⊂ An , ta có I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) .
(iii) Cho J là một iđêan tùy ý của K[x1 , ..., xn ]. Khi đó I(Z(J)) =
(iv) Cho Y ⊂ An . Khi đó Z(I(Y )) = Y .

2

√

J.

Trần Mậu Quý -

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16
ĐẠI HỌC HUẾ
Môn thi: MAPLE - LATEX
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I. Cho đa thức f = x3 + 5x2 + 2x − 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy.
2. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực (gần đúng) đó.
3. Gọi α là một nghiệm của f , hãy biểu diễn (α2 − 1)−1 ∈ Q(α) như một đa
thức theo α có bậc không quá 2.
4. Phân tích f thành tích các nhân tử bậc nhất trong một trwongf mở rộng
của Q.
Sản phẩm nộp là file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu II. Hãy đưa ra vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán phổ thông và
đại học. Nêu các bình luận về việc sử dụng Maple trong nghiên cứu và giảng dạy.
Câu III. Soạn thảo văn bản sau (đề thi mẫu)1 bằng LATEX. Nộp file tex chạy
trong MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[utf8]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản sau (đề thi mẫu) bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
———————————————Hết———————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.

1

Xem văn bản ở trang 4 - C.M.Q

3


Trần Mậu Quý -

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
Họ và tên thí sinh:.....................................
ĐẠI HỌC HUẾ
Số báo danh: .............................................
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỀ THI MẪU
Môn thi: ĐẠI SỐ

Thời gian làm bài: 120 phút
—————————————————————————————————————
Câu I. Trên tập hợp G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép toán ⊕ định bởi
∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (ở đây [x + y] là phần nguyên của x + y ).
Chứng minh:
1) (G,⊕) là một nhóm aben;
2) Ánh xạ f : G −→ C∗ định bởi f = cos(2πx) + isin(2πx), là một đồng cấu
nhóm từ G vào nhóm nhân các số phức khác 0.
Câu II. Cho A và B là các iđêan của vành R. Vành R được gọi là tổng trực tiếp
của các iđêan A và B , kí hiệu R = A ⊕ B , nếu R = A + B và A ∩ B = {0}. Chứng
minh rằng:
1) R = A ⊕ B nếu và chỉ nếu mọi phần tử x ∈ R đều biểu thị duy nhất dưới
dạng x = a + b trong đó a ∈ A, b ∈ B .
2) Vành số nguyên Z chỉ có sự phân tích tầm thường, tức là nếu Z = A ⊕ B
thì A = {0} hoặc B = {0}.
Câu III. Cho T là một phép biến đổi tuyến tính của khôg gian vec tơ V và
x ∈ V . Chứng minh rằng nếu tồn tại số m nguyên dương sao cho T m (x) = 0 và

T m−1 (x) = 0 thì hệ (x, T (x), ..., T m−1 (x)) độc lập tuyến tính.
Câu IV. Cho A ∈ M (n, K), với n ≥ 2, là một ma trận vuông cấp n lấy hệ tử
trong trường K . Kí hiệu A là ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng:
1) Nếu A không suy biến thì A không suy biến.
2) Nếu rank(A) = n − 1 thì rank(A) = 1.
3) Nếu rank(A) ≤ n − 2 thì A = 0.
Câu V. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường F . Chứng minh rằng:
rank(A) − rank(A2 ) ≥ rank(A2 ) − rank(A3 ).

Hãy tổng quát hóa kết quả trên.
———————————————————————————————–
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

4


Trần Mậu Quý -

ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương
của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp một.
Câu II. Giải các phương trình vi phân sau:
1. y + 2y = y 2 ex
2. y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0
Câu III. Giải hệ phương trình vi phân sau bằng cách tìm hệ tích phân đầu đầy
đủ
y1 = yx1

y2 = y1 +

y2
x

Câu IV. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau

 y1 = 2y1 − y2 + y3
y = y1 + 2y2 − y3
 2
y3 = y1 − y2 + 2y3

——————————————————————————————
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.


Trần Mậu Quý -

ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 16
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương
của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân thường.
Câu II. Giải các phương trình vi phân sau:
1. (1 − 2xy)y = y(y − 1)
y+2 2
2. y = 2( x+y−1
)

Câu III. Giải hệ phương trình vi phân sau

 x1 = −3x1 + 4x2 − 2x3
x = x1 + x3
 2
x3 = 6x1 − 6x2 + 5x3

Câu IV. Giải phương trình vi phân sau
y − 2y + 5y = 2xex + ex sin2x.

——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.


www.mathvn.com

ˆ THI CHU
´ .NG CHI’ CAO HOC, Kh´
- `E
D
oa 13
.
´
´ch ha
`m
Chuyˆ
en ng`
anh TOAN, Mˆ
on thi : Gia’i tı
.

-D`ˆ
e sˆ
o´ : 01. Th`
o i gian l`
am b`
ai: 150 ph´
ut
Cˆ
au I. Cho X, Y la` hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n v`
a (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ).
a` ng sup Aα = +∞.
1. Ky
´ hiˆe.u Cn = {x ∈ X| sup Aα x < n}, n ∈ N. Biˆe´t r˘
α∈I

α∈I

◦
Cn

Ch´
u.ng minh r˘a` ng
= ∅, v´o.i mo.i n ∈ N.
˜ y sao cho v´
2. Gia’ su’. An ∈ L(X, Y ) la` mˆo.t da
´ An x → 0, n →
o.i mo.i x ∈ X ta co
.

.
.
´ suy ra d¯u o. c An → 0 khˆ
ong? Ta.i sao?
+∞. T`
u d¯ˆay co
Cˆ
au II. K´
y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆ
a’n c´
ac h`
am sˆ
o´ liˆen tu.c trˆen
ong gian d¯i.nh chuˆ
.
[0, 1] v´
o i chuˆa’n “max”.
1. Ky
´ hiˆe.u P la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca
´ c d¯a th´
u.c p(x) xa
´ c d¯i.nh trˆen [0, 1] co
´ bˆ
a.c ≤ n.
.
ong trong C[0,1].
Ch´
u ng minh r˘a` ng P la` mˆo.t tˆa.p d¯´
ac d¯.inh bo’.i cˆ
ong th´

u.c
2. X´et to´
an tu’. tuyˆe´n t´ınh A : X → X x´
t

x → Ax,

(Ax)(t) =

x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1].
0

a mˆ
o.t ph´ep
` ∀α ∈ (0, 1) th`ı I + αA l`
Ch´
u.ng minh A l`a mˆo.t to´an tu’. compact va
d¯`ˆ
ong phˆ
oi tuyˆe´n t´ınh t`
u. X lˆen X (I l`
a´
anh xa. d¯`ˆ
ong nhˆ
a´t). To´
an tu’. I + A c´o
pha’i l`
a to´an tu’. compact khˆong?
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n.

Cˆ
au III. Cho X l`a mˆo.t khˆ
`an trong cu’a hı`nh cˆ
`au d¯´o ng B (x0 , r) la
`au mo’.
u.ng minh r˘a` ng phˆ
1. Ch´
` hı`nh cˆ
B(x0 , r).
`on ta.i y ∈ N sao cho d(x, N ) =
2. Cho f ∈ X ∗ , N = Ker f va` x ∈ X \ N. Gia’ su’. tˆ
.
`on ta.i x0 ∈ X, x0 = 1 sao cho f = |f (x0 )|.
u ng minh r˘a` ng tˆ
x − y . Ch´
Cˆ
au IV. Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru.`
o.ng K va` A ∈ L(H).
`a ng A la` mˆo.t toa
o.i mo.i (xn )n ⊂
1. Ch´
u.ng minh r˘
´ n tu’. compact khi va` chı’ khi, v´
w
w
H, (yn )n ⊂ H, nˆe´u xn → x va` yn → y thı` Axn , yn → Ax, y khi n → +∞.
2. Gia’ su’. A = A∗ va` λ ∈ K khˆong pha’i la
` mˆ
o.t gia
´ tri. riˆeng cu’a A. Ch´

u.ng minh
r˘
a` ng R(A − λI) tru` mˆa.t kh˘
a´p no.i trong H.
˜ ng gia’ su’. r˘a` ng A = A∗ va` thˆem Am la
o.i m la
3. Cu
` mˆo.t
` mˆ
o.t toa
´ n tu’. compact v´
.
.
.
.
˜ ng la
` mˆ
o.t toa
´ n tu’ compact.
u ng minh r˘
a` ng A cu
sˆ
o´ nguyˆen du o ng na`o d¯´o . Ch´
————————————————————————————–
Ghi ch´
u: Ho.c viˆen d¯u.o..c ph´ep su’. du.ng t`
ong d¯u.o..c
ai liˆe.u d¯ˆe’ l`
am b`
ai nhu.ng khˆ

.
trao d¯ˆ
o’i, tha’o luˆa.n v´o i nhau.
22


www.mathvn.com

ˆ THI CHU
´.NG CHI’ CAO HOC
- `E
D
.
’ I T´
´
`
Chuyˆ
en ng`
anh TOAN,
K.14 Mˆ
on thi : GIA
ICH HAM
- `ˆ
e sˆ
o´ : 1. Th`
o.i gian l`
D
am b`
ai: 150 ph´
ut

` khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
a’n ca
´ c ha
`m liˆen tu.c trˆen d¯oa.n
Cˆ
au I. Ky
´ hiˆe.u X = C[0,2] la
.
a’n “max”.
[0, 2] v´
o i chuˆ
1

2

-˘
´ c d¯.inh bo’.i cˆ
1. D
a.t f : X → R xa
u.ng
x(t)dt −
x(t)dt. Ch´
ong th´
u.c f (x) =
0
1
`
˜ y tı´nh f .
minh r˘

a ng f ∈ X ∗ va
` ha
´ c d¯i.nh bo’.i X
x → Ax, trong d¯´o (Ax)(t) =
2. Xe
´ t toa
´ n tu’. A ∈ L(X) xa
t
o.i mo.i t ∈ [0, 2]. Ch´
u.ng minh A la
` mˆ
o.t toa
´ n tu’. compact.
x(τ )dτ + tx(1), v´
0
-˘
`
` toa
´ n tu’. d¯`ˆ
D
a.t v = I − A v´
o.i I = idX la
ong nhˆ
a´t. Ch´
u.ng minh r˘
a ng nˆe´u E la
` tˆ
a.p
−1
` tˆ

a.p compact trong X.
compact trong X thı` v (E) ∩ BX (0, 1) la
˜ y (xn )n ⊂ K sao cho
Cˆ
au II. V´
o.i p ≥ 1, k´
y hiˆe.u p l`
a khˆ
ong gian Banach ca
´ c da
∞

n=1

|xn |p < +∞. Ky
´ hiˆe.u ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ) ∈
(i)

p

, i = 1, 2, . . .

`
ong gian p .
1. Kiˆe’m tra r˘
a ng {en | n = 1, 2, . . . } la
` mˆ
o.t co. so’. Schauder cu’a khˆ
˜ y sˆ
´ hiˆe.u Π = {x = (xn )n ∈ p | |xn | ≤

o´ du.o.ng. Ky
` mˆ
o.t da
2. Gia’ su’. (cn )n la
∞

`
` chı’ khi
a ng Π la
` tˆ
a.p compact khi va
cn , n = 1, 2, . . . }. Ch´
u.ng minh r˘

cpn < +∞.
n=1

Cˆ
au III. Ky
´ hiˆe.u H l`
a mˆ
o.t khˆ
ong gian Hilbert.
`eu kiˆe.n
˜ y tho’a d¯iˆ
` mˆ
o.t da
1. Gia’ su’. (An )n ⊂ L(H) la
∀x, y ∈ H :

sup | An x, y | < +∞.
n∈N

Ch´
u.ng minh

sup An < +∞
n∈N

2. Cho a ∈ H, a = 0 va
` d¯˘
a.t A = {a}

⊥.

` ng v´
Ch´
u.ng minh r˘
a
o.i mo.i x ∈ H, ta co
´

d(x, A) := inf { x − u } =
u∈A

| x, a |
.
a

3. Cho A ∈ L(H). Ch´

u.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ .
u.ng minh
` toa
´ n tu’. compact. Ch´
4. Bˆ
ay gi`
o. ta gia’ thiˆe´t A ∈ L(H) sao cho A∗ A la
` ng A cu
˜ ng la
r˘
a
` toa
´ n tu’. compact.
————————————————————————————–
Ghi ch´
u: Ho.c viˆen d¯u.o..c ph´ep su’. du.ng t`
ong d¯u.o..c trao
ai liˆe.u d¯ˆe’ l`
am b`
ai nhu.ng khˆ
d¯ˆ
o’i, tha’o luˆ
a.n v´
o.i nhau.
23


www.mathvn.com
ˆ THI CHU
´.NG CHI’ CAO HOC

- `E
D
.
’ I T´
´
`
Ca
´ c chuyˆ
en ng`
anh TOAN, K.15 Mˆ
on thi : GIA
ICH HAM
.
- `ˆ
am b`
ai: 150 ph´
ut
D
e sˆ
o´ : 1. Th`
o i gian l`
o.ng K.
Cˆ
au I. Cho (X, · ) la
` mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n trˆen tru.`
` ng X la
˜ y (yn )n ⊂ X

a
` mˆ
o.t khˆ
ong gian Banach khi va
` chı’ khi mo.i da
1. Ch´
u.ng minh r˘
∞
`eu kiˆe.n yn ≤ 2−n thı` chuˆ
thoa’ d¯iˆ
o˜i
yn hˆ
o.i tu..
n=1

` mˆ
o.t chuˆ
a’n kha
´ c trˆen X sao cho
2. Gia’ su’. (X, · ) la
` khˆ
ong gian Banach va
` · 1 la
.
.
˜ ng la
(X, · 1 ) cu
` Banach va
` 2 chuˆ
a’n · , · 1 khˆ

ong tu o ng d¯u.o.ng v´
o.i nhau. Ch´
u.ng
` ng ´anh xa. d¯`ˆ
ong liˆen tu.c.
minh r˘
a
ong nhˆ
a´t id: (X, · ) → (X, · 1 ) khˆ
˜ y trong X.
Cˆ
au II. K´
y hiˆe.u X la
` mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n va
` (xn )n la
` mˆ
o.t da
w
∗
` ng
` (fn )n ⊂ X sao cho fn → f khi n → ∞. Ch´
u.ng minh r˘
1. Cho xn → x va
a
fn (xn ) → f (x) khi n → ∞.
◦

2. Gia’ su’. f (xn ) → 0, (n → ∞) v´
o.i mo.i f ∈ M trong d¯o
` M = ∅. Ch´
u.ng
´ M ⊂ X ∗ va
w
` ng xn → 0.
minh r˘
a
` mˆ
o.t co. so’. Schauder cu’a khˆ
ong gian Banach (X, · ).
Cˆ
au III. Gia’ su’. {en | n ∈ N} la
∞
˜en x =
ηi ei .
V´
o.i mo.i x ∈ X ta co
´ biˆe’u diˆ
n

i=1

` ng
a
ηi ei . Ch´
u.ng minh r˘

-˘

1. D
a.t x 1 = sup
n∈N i=1
o.i chuˆ
a’n
na
`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´

·

1

la
` mˆ
o.t chuˆ
a’n trˆen X va
` chuˆ
a’n

· .

2. Ky
´ hiˆe.u Pn : (X, · ) → (X, · ) la
` ´anh xa. xa
´ c d¯i.nh bo’.i Pn x = Pn (

∞

n

ηi ei ) =
i=1

` ng Pn ∈ L(X).
a
Ch´
u.ng minh r˘

ηi ei .
i=1

o.ng K.
Cˆ
au IV. Cho H l`
a khˆ
ong gian Hilbert trˆen tru.`
u.ng
o.i nhau t`
` 3 khˆ
ong gian con d¯o
´ ng trong H va
` chu
´ ng tru..c giao v´
1. Gia’ su’. U, V, W la
.
` ng tˆ
˜ ng la
` mˆ
o.t khˆ
ong gian con d¯o

´ ng trong
d¯ˆ
oi mˆ
o.t. Ch´
u ng minh r˘
a
o’ng U + V + W cu
H.
` ng (ImA∗ )⊥ = KerA.
2. Cho A ∈ L(H). Ch´
u.ng minh r˘
a
Cˆ
au V. Cho X la
` mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n va
` A ∈ L(X).
.
.
.
.
1. Gia’ su’ e1 , e2 la
` 2 vecto riˆeng u
´ ng v´
o i 2 gia
´ tri. riˆeng kha
´ c nhau cu’a A. Ch´
u.ng minh

` d¯ˆ
o.c lˆ
a.p tuyˆe´n tı´nh.
{e1 , e2 } la
.
2. Bˆ
ay gi`
o cho A la
` toa
´ n tu’. compact va
` λ = 0 la
` mˆ
o.t sˆ
o´. Gia’ su’.
inf
{ Ax−λx } =
x∈X, x =1
` ng λ la
0. Ch´
u.ng minh r˘
a
` mˆ
o.t gia
´ tri. riˆeng cu’a A.
————————————————————————————–
ong d¯u.o..c trao d¯ˆ
o’i,
ai liˆe.u d¯ˆe’ l`
am b`
ai nhu.ng khˆ

Ghi ch´
u: Ho.c viˆen d¯u.o..c ph´ep su’. du.ng t`
.
tha’o luˆ
a.n v´
o i nhau.
24


Trần Mậu Quý -
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP - KHÓA 16
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I.
1. Cho A là một tập mở trong Rn sao cho biên b(A) là một đa tạp (n−1)−chiều.
Chứng minh rằng N = A ∪ b(A) là một đa tạp n−chiều với bờ. Hãy cho một
ví dụ trong đó bờ ∂N không trùng với biên b(A).
2. Cho c là một hình lập phương kì dị k−chiều và p : [0, 1]k −→ [0, 1]k là một
ánh xạ 1 − 1 sao cho p([0, 1]k ) = [0, 1]k và det p (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0, 1]k .
Chứng minh rằng đối với mọi k−dạng ω ta có
ω=
c

ω
c◦p

Câu II. Cho M là một đa tạp 3−chiều compact, định hướng với bờ trong R3 và
α, β, γ : M −→ R là các hàm khả vi liên tục trên M . Chứng minh rằng
(

M

∂α ∂β ∂γ
+
+
)dx ∧ dy ∧ dz =
∂x ∂y
∂z

αdy ∧ dz + βdz ∧ dx + γdx ∧ dy.
∂M

Câu III. Cho M là một đa tạp k−chiều với định hướng µ trong Rn . Với mỗi
x ∈ M , kí hiệu ω(x) ∈ Λk (Mx ) là phần tử thể tích trên Mx xác định bởi định
hướng µx và tích vô hướng chính tắc Tx , tức là ω(x)(v1 , ..., vk ) = 1 với bất kì cơ
sở trực chuẩn v1 , .., vk của Mx sao cho [v1 , .., vk ] = µx . Khi đó k−dạng vi phân ω
tương ứng được gọi là phần tử thể tích trên M và kí hiệu là dV .
1. Chứng minh rằng nếu M là một đa tạp n−chiều trong Rn mang định hướng
chuẩn tắc thì dV = dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn .
2. Cho M là một đa tạp compact, định hướng hai chiều trong R3 và n(x) =
(n1 (x), n2 (x), n3 (x)) là mục tiêu pháp tuyến ngoài tại x ∈ M . Chứng minh
rằng dV = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy .
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.


Trần Mậu Quý -
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 120 phút

Tất cả các vành được xét là vành có đơn vị 1 = 0.
Câu 1. Cho E, E là các không gian Euclid khác 0. Ánh xạ tuyến tính f : E −→
E được gọi là đồng dạng nếu có số thực k = 0 sao cho f (x)f (y) = kxy với mọi
x, y ∈ E . Chứng minh rằng:
1. Ánh xạ ϕ : E −→ E là tuyến tính đồng dạng nếu có số thực k = 0 sao cho
ϕ(x)ϕ(y) = kxy với mọi x, y ∈ E .
2. Mọi ánh xạ tuyến tính đồng dạng ϕ đều có thể viết dưới dạng ϕ = αγ ,
trong đó γ có dạng λid, λ ∈ R, còn α là đồng cấu trực giao.
Câu 2. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, n là một số nguyên dương, φ : M −→
Rn là một toàn cấu R-môđun. Chứng minh rằng Ker(φ) là R-môđun hữu hạn
sinh .
Câu 3. Cho M là R-môđun , R là một vành giao hoán. Cho I là một iđêan của
R. Chứng minh rằng:
(R/I) ⊗R M ∼
= M/(IM )

Câu 4. Cho X là R-môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng X là một R-môđun
xạ ảnh khi và chỉ khi có số nguyên dương n sao cho:
X ⊕Y ∼
= Rn

Câu 5. Một R-môđun M gọi là chia được nếu với mọi a ∈ R\{0}, với mọi x ∈ M ,
tồn tại y ∈ M sao cho ay = x.
Cho R là một miền nguyên chính và M là một R-môđun. Chứng minh rằng M
là chia được khi và chỉ khi M là R-môđun nội xạ.
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.

Trần Mậu Quý -

ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHÓA 16
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, n là một số nguyên dương, φ : M −→
Rn là một toàn cấu R-môđun. Chứng minh rằng Ker(φ) là R-môđun hữu hạn
sinh .
Câu 2. Chứng minh rằng mọi không gian véctơ trên trường K đều là K -môđun
tự do.
Câu 3. Cho 2Z, Z2 là các Z-môđun. Chứng tỏ rằng 2 ⊗ 1 = 0 trong 2Z ⊗Z Z2 .
f
g
Khẳng định ”Nếu 0 −→ A −
→B→
− C là một dãy khớp các đồng cấu R-môđun thì
f ⊗id
g⊗id
với mọi R-môđun M ta có dãy khớp 0 −→ A ⊗R M −−−→ B ⊗R M −−−→ C ⊗R M ”
có đúng không ? Tại sao?
Câu 4. Chứng minh rằng nếu dãy các R-đồng cấu môđun
ϕ

ψ

0 −→ A −
→B−
→C

là khớp thì với mọi R-môđun M ta có dãy
ϕ∗

ψ∗

0 −→ Hom(M, A) −→ Hom(M, B) −→ Hom(M, C)

cũng khớp.
Câu 5. Chứng minh rằng mọi R-môđun đều có một phép giải nội xạ.
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.


Trần Mậu Quý -

ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 16
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I. Cho (X, T ) là một không gian tôpô.
1. Cho tập mở U ⊂ X và tập con A ⊂ X . Chứng minh rằng
U ∩ A ⊂ U ∩ A.

2. Cho B, C là hai tập con đóng khác rỗng của X và f : B ∪ C −→ R. Giả sử
f|B và f|C liên tục. Chứng minh rằng f liên tục trên B ∪ C .
Cho một ví dụ chứng tỏ kết quả trên không còn đúng khi B, C không cùng
đóng.
Câu II. Chứng minh rằng mọi không gian Lindelof chính quy là không gian
chuẩn tắc.
Câu III. Cho X = C[0,1] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên [0, 1].

1. Với mỗi t ∈ [0, 1] ta đặt pt (x) = |x(t)| với mọi x ∈ X . Chứng minh rằng
P = {pt | t ∈ [0, 1]} là họ các nửa chuẩn trên X .
2. Với x, y ∈ X ta đặt
1

d(x, y) =

|x(t) − y(t)|
dt
1 + |x(t) − y(t)|

0

Chứng minh rằng (X, d) là một không gian mêtric.
3. Gọi T là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn P và T∞ là tôpô sinh bởi mêtric d.
Chứng minh rằng mọi dãy trong X hội tụ theo T thì hội tụ theo tôpô T∞ .
4. Hai tôpô T và T∞ có tương đương không? Tại sao?
Câu IV. Cho µ là một độ đo dấu trên σ -đại số các tập con của X , f, g là các
hàm đo được trên X . Với mỗi tập đo được E ta đặt
ν(E) =

f dµ.
E

Giả sử |ν|(E) =

gd|µ|. Chứng minh g = |f | hầu khắp nơi theo µ.
E

——————————————————————————————–

Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.