Sáng Kiến Kinh Nghiệm Lập Trình Lại Cách Tính Khoản Cách Trong Hình Học Không Gian Lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƢỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU

_________________________________

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đồng Tháp, tháng 03 năm 2013

1


MỤC LỤC

Nội dung
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chương 1. Cơ sở lý luận
Chương 2. Cơ sở thực tiễn
Chương 3. Biện pháp
Kiến thức cần thiết để giải toán khoảng cách
Phương pháp lập trình tính khoảng cách
Bài tập cơ bản
Bài tập nâng cao
Bài tập rèn luyện
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

2

Trang

2
3
3
3
4
4
10
11
17
23
26
27


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hệ thống kiến thức hình học của chương trình phổ thông, hình học không
gian lớp 11 là một mảng kiến thức chiếm một vai trò hết sức quan trọng, nó là nền tảng
để có thể học tốt kiến thức hình học ở 12, giải hai bài toán hình học không gian tổng
hợp và hình giải tích trong không gian của đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học.
Nhưng thực tế khi học sinh bắt đầu tiếp cận dạng toán này thì các em gặp rất nhiều khó
khăn trong đó thường gặp nhất là các em không giải hết một bài toán hình không gian
và bỏ đi bài toán về khoảng cách. Mặt khác trong hầu hết các đề thi gần đây việc ra
dạng toán khoảng cách lại thường xuyên xuất hiện và việc mất điểm là khó tránh khỏi.
Các tài liệu và đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã có thì không trình bày chi tiết
phương pháp, các bước xây dựng đường thẳng, mặt phẳng để phục vụ cho việc tính
khoảng cách.
Xuất phát từ những nhu cầu cấp thiết đó qua đề tài này tôi sẽ cung cấp phương
pháp “lập trình” để giải bài toán khoảng cách, đảm bảo học sinh giải được khoảng cách
nếu đã thực hiện đủ các bước, cuối cùng đến một lúc học sinh đã nắm vững phương

pháp “lập trình” thì ta có thể tùy biến bỏ đi một số bước đã có sẵn trong từng bài toán
để tăng tốc độ tối đa khi giải, đề tài còn cung cấp một hệ thống bài tập giúp học sinh tự
rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán.

2. Phạm vi nghiên cứu
Hình học không gian phổ thông.
Nghiên cứu tại trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu.
Quá trình nghiên cứu bắt đầu từ tháng 3 năm 2012.

3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo và sưu tầm tài liệu, đề thi.
Thu thập phân tích, trao đổi với đồng nghiệp

4. Cấu trúc
Đề tài gồm có
Phần mở đầu
Phần nội dung (3 chương)
Phần kết luận

3


PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
Các kiến thức cơn bản trong hình học phẳng
o Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tam giác thường.
o Tỉ số lượng giác các góc trong tam giác vuông.
o Sự đồng dạng của tam giác vuông , tam giác thường.
Các kiến thức cơn bản trong quang hệ song song hình học không gian
o Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng.

o Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng.
o Chứng minh mặt phẳng song song mặt phẳng.
o Các định lí liên quan.
Các kiến thức cơn bản trong quang hệ vuông góc hình học không gian
o Chứng minh đường thẳng vuông góc đường thẳng.
o Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
o Chứng minh mặt phẳng vuông góc mặt phẳng.
o Các hình cơ bản: hình chóp, lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập
phương,…
o Các định lí liên quan: định lí ba đường vuông góc, tính chất liên hệ giữa
quan hệ song song và quan hệ vuông góc.
o Khái niệm các loại khoảng cách: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng,
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến
mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song,
đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau.

CHƢƠNG II: CƠ SỞ THỰC TIỄN
Khoảng cách là một dạng toán khó, ngay cả những học sinh khá cũng cảm thấy
lúng túng và ngại đối mặt với toán khoảng cách, các em chưa tự tin trong các bước giải
của mình.
Tất cả các loại khoảng cách dều được đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng. Đưa ra yêu cầu nắm chắc phương pháp giải khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng.
Hầu hết giáo viên khi dạy khoảng cách thường ít chỉ ra cách xây dựng, vẽ thêm
đường để tính khoảng cách.
Nếu có thể cung cấp một phương pháp giải toán khoảng cách triệt để, một quy
trình có từng bước cụ thể thì học sinh sẽ có được rất nhiều lợi thế.
Khi đạt được những yêu cầu của phương pháp “lập trình” căn bản học sinh có
thể tùy biến bỏ đi một số bước chứng minh mà giả thiết bài toán đã có.

4


CHƢƠNG III: BIỆN PHÁP
Để có thể giải tốt một bài toán khoảng cách học sinh cần nắm từng bước trong quá trình
giải, các bước này đã được chia nhỏ ra giúp học sinh dễ hiểu

A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN THIẾT KHI GIẢI TOÁN KHOẢNG CÁCH
1. Cách tìm hình chiếu vuông góc của một điểm A lên mặt phẳng ( )
Trường hợp 1.1: Có một đường thẳng a qua M và một đường thẳng b
nằm trên (P) vuông góc và chéo nhau
 Cách dựng:
Kẻ qua M đt c vuông góc với b.
Gọi d là giao tuyến của mp(a,c) với mp(P)
Kẻ IH

d thì H chính là hình chiếu của I lên (P)

a

a
M

a
M

M

c
b

P

a
M

c

b

c

b

P

P

d

b

P

d

H

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Xác định hình chiếu của A trên (SBC).
Trường hợp 1.2: Có một đường thẳng a qua M và một đường thẳng b

nằm trên (P) vuông góc và cắt nhau
 Cách dựng:
Gọi I = a b. Trên (P) kẻ d vuông góc b tại I.
Kẻ MH d. Lúc đó H chính là hình chiếu của M trên (P).
5


a

M

a

b

P

M

b

P

I

M

a
b

d

P

I

H

d
I

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc mặt đáy
(ABCD). Tìm hình chiếu của A lên (SBD).
Trường hợp 1.3: Có hai điểm A,B nằm trên (P) sao cho MA = MB.
M

M

A

A
d

P

M

P

B

A
I

d

P

B

I

H
B

 SAC
 . Tìm
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân tại A và SAB
chân đường cao của hình chóp.
Trường hợp 1.4: Có một đường thẳng a vuông góc (P).
Cách dựng:
Dựng mp(Q) chứa a và M.
Gọi b là giao tuyến của (P) và (Q).
Kẻ MH b ( H b) thì H chính là hình chiếu của M lên (P).
Q

Q

a

a

M

M
b

b

P

P

H

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Bên trong tam giác SAB lấy điểm M. Xác
định hình chiếu của M trên (ABCD).
Trường hợp 1.5: Điểm M thuộc vào mặt phẳng (Q) vuông góc (P).
Cách dựng:
Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q)
Kẻ MH b ( H b) thì H chính là hình chiếu của M lên (P).

6


Q

M
a
H

P

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông
góc (ABCD).
a) Tìm hình chiếu của M trên đường thẳng SA lên (SBC).
b) Gọi O là giao của AC,BD. Mp ( ) qua O và song song với BC. Tìm
hình chiếu của S lên ( ) .
2. Cách tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( ) song song a
Lấy một điểm A bất kì trên a lúc này ta có
d(a,( )) = d(A,( )).
a

a
A

A

α

α

A'

3. Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) và ( )
Lấy một điểm A bất kì trên ( ) lúc này ta có
d(( ),( )) = d(A,( )).
A
β

β

α

α

A'

4. Cách vẽ đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau a,b
Ta chia bài toán ra hai trường hợp
TH1: a vuông góc b
Tìm một mặt phẳng( ) chứa b và vuông góc a. (thường có sẵn)
Tìm giao điểm A của a và ( )
Kẻ qua AB b (B b).
Lúc này AB chính là đường vuông góc chung cần tìm.

7


a

a

b

a

b

A

b

α

B

α

TH2: a không vuông b
Cách 1: dựa vào mặt phẳng song song
Tìm mặt phẳng ( ) chứa b và song song a.
Lấy điểm A bất kì trên a, tìm đường thẳng d qua A và vuông
góc ( ), gọi B là giao điểm của d và ( ). Lúc này AB vuông
góc với cả a và b.
Kẻ NB // a (N b), NM // AB (M a). Lúc này MN chính là
đoạn vuông góc chung của a và b.
a

a

a
M

A
d
b

A
d

b

b

α

B

N

α

B

Cách 2: dựa vào mặt phẳng vuông góc
Dựng mặt phẳng ( ) a, gọi A là giao điểm của a và ( ).
Tìm hình chiếu b’ của b lên ( ).
Dựng AB b’ (B b’)
Dựng BN // a (N b), NM // AB (M a)
Lúc này AB chính là đoạn vuông góc chung cần tìm
b

b
N

a

a
M

B
b'
α

B
b'

A

α

5. Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Tìm đoạn vuông góc chung
Tính độ dài đoạn vuông góc chung vừa tìm.

8

A


Chú ý:
Nếu ta tìm được hai mặt phẳng ( ), ( ) lần lượt chứa a song
song b và chứa b song song a thì lúc đó d(a,b) = d(( ), ( )).
(( ), ( ) là hai mặt phẳng song song với nhau
a

a
β
b

b
α

Khi a không vuông góc b ta có thể không cần đến đoạn vuông
góc chung. Cụ thể đối với hai cách dựng đoạn vuông góc chung
phía trên ta có d(a,b) = AB.
a

a

a
M

A
d
b

A
d

b

b

α

B

α

N

B

9. Một số tính chất giúp tăng tốc khi giải
Tính chất 1: Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại C. Lúc đó ta có
d A,( P)
d B,( P)

AC
BC
A

A

B

dA

dA
dB

P

C

C

P

dB
B

9


Tính chất 2: Nếu đường thẳng AB song song mp (P) thì ta có
d A,( P)

d B,( P)
A

d AB,(P)
B

P

Tính chất 3: (Khoảng cách trong tứ diện vuông) Cho ABCD là tứ diện
vuông tại A gọi AH d A,(BCD) , lúc đó ta có
1
AH 2

1
AB 2

1
AC 2

1
AD 2

D

H

A

C
K

B

10


B. LẬP TRÌNH LẠI CÁCH TÍNH KHOẢNG CÁCH
Đến đây thì một hệ thống phương pháp để tính khoảng cách đã hoàn thiện đầy
đủ, tuy nhiên nó thật cồng kềnh và khó nhớ.
Từ những phương pháp tại ra mặt phẳng vuông góc như đã biết ở trên chúng ta
có thể hệ thống lại thành các bước dễ hiểu và rõ ràng hơn để học sinh có thể dễ dàng
thực hiện như sau:
Vấn đề 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (P) như sau
+ Tìm hai đường thẳng vuông góc chéo nhau a và b
a đi qua A
b nằm trong (P)
+ Kẻ đường thẳng c qua A và vuông góc b. Đặt (Q) là mp (a,c)
+ Tìm giao tuyến
P
Q
+ Kẻ AH

.

, H

Lúc đó d A, P

AH

Vấn đề 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b như sau
TH1: a b
+ Tìm (P) chứa a và vuông góc b
+ Tìm giao điểm M b P
+ Kẻ MN

a, N

Lúc đó d a, b

a

MN

TH2: a b
Cách 1: (Dựa vào khoảng cách từ đường thẳng đế mp song song)
+ Tìm mp (P) chứa a và song song với b.
Lúc đó d a, b d b, P
d M, P
MH
Cách 2: (Dựa vào khoảng cách giữa hai mp song song)

+ Tìm hai mp song song (P) và (Q)
(P) chứa a
(Q) chứa b
Lúc đó d a, b d P , Q
d M, Q
MH

11


C. ỨNG DỤNG BIỆN PHÁP VÀO CÁC BÀI TẬP CỤ THỂ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD),
SA= a 3 . Tính
a) d D, SAB
f) d AB, SD
j) d(AC,SB)
b) d C, SAD
g) d BD, SC
S
c) d B, SAC

h) d BC, SD

d) d A, SBD

i) d AB, SC

e) d C, SBD
Giải

A

a) d(D,(SAB))?
Ta có
DA
DA

D
O

SA
AB

DA

( SAB)

SA
AD

CD

( SAD)

d C , ( SAD)

CD

a

SA
AC

BD

(SAC )

d B,(SAC )

BO

a 2
2

d D, ( SAB)

DA a

B

b) d(C,(SAD))?
Ta có
CD
CD

c) d(B,(SAC))?
Ta có
BD
BD

 Lời bình: Đối với học sinh trung bình thì việc nhận ra mp(SAC) vuông góc BD là chuyện không
phải dễ dàng.

o
o
o
o
o

Nếu dùng phương pháp lập trình ta có
Hai đt vg chéo nhau BD và SA với BD qua B, SA nằm trong (SAC)
Kẻ từ B đường thẳng BA SA
Chọn được mp chứa BD và BA là (ABCD) chứa B và vuông góc (SAC)
Tìm giao tuyến (ABCD) với (SAC) là AC
Từ B kẻ BO vuông góc AC thì BO chính là khoảng cách từ B đến (SAC)

 Lời bình: Và mọi việc đã được giải quyết theo một trình tực cụ thể.

12

C


d) d(A,(SBD))?
 Lập trình thì sao?
o Hai đt vg chéo nhau SA và BD với SA quaA, BD nằm trong (SBD)
o Kẻ từ A đường thẳng AO BD
o Chọn được mp chứa SA và AO là (SAO) chứa A và vuông góc (SBD)
o Tìm giao tuyến (SAO) với (SBD) là SO
o Từ A kẻ AH vuông góc SO thì AH chính là khoảng cách từ A đến (SBD)

Gọi O là tâm của ABCD
Kẻ AH SO,( H SO)
Ta có
BD

(SAC)

BD

S

AH

l
H

Kết hợp với
AH

SO

AH

(SBD)

d ( A,(SBD))

I

AH

A

Tính AH?
Xét tam giác vuông SAO có
SA a 3, AO
1
AH 2

1
SA2

AC
2

O
B

a
2

1
AO 2

d A, ( SBD)

D

1
2

2
3a
a2
a 21
AH
7

K

7
3a 2

e) d C, SBD ?
Ta có AC (SBD) O
d ( A, ( SBD))
d (C , ( SBD))

OA
OC

1

d (C , ( SBD))

d ( A, ( SBD))

a 21
7

 Lập trình thì sao?

o Hai đt vg chéo nhau SC và BD với SC quaC, BD nằm trong (SBD)
o Kẻ từ C đường thẳng CO BD
o Chọn được mp chứa SC và CO là (SCO) chứa C và vuông góc (SBD)
o Tìm giao tuyến (SCO) với (SBD) là SO
o Từ A kẻ CK vuông góc SO thì CK chính là khoảng cách từ C đến (SBD)
Tính CK?
 COK

Hai tam giác vuông SAO và CKO đồng dạng do có SOA

SA
Ta có
CK

Với SO

SO
CO

SA2

CK

AO 2

SA.CO
SO

3a 2

a2
2

a 2
2
a 14
2

a 3.

a

C

7
2
13

a 21
7

a 14
2


f) d AB, SD ?

 Nhận định: AB

SD bài này thuộc TH1 trong lập trình của chúng ta!
SD, L SD (1)

Kẻ AL
Ta có
AB
AB

AD
SA

AB

( SAD)

AB

AL(2)

Từ (1) và (2) suy ra AL là đoạn vuông góc chung của
 Tính AL?
Xét tam giác vuông SAD có
1
AL2

1
SA2

1
AD 2

1
3a 2

a

4
3a 2

2

d AB, SD

AL

a 3
2

g) d BD, SC ?

 Nhận định: AB

SD bài này thuộc TH1 trong lập trình của chúng ta!
SC (I SC) (1)

Kẻ OI
Ta có BD (SAC)

BD

OI (2)

Từ (1) và (2) suy ra d BD, SC

OI

 Tính OI?
Hai tam giác vuông SAC và OIC đồng dạng do có C là góc chung.
OI
SA

OC
SC

OI

OC.SA
SC

a 2
.a 3
2
a 5

a 30
10

h) d BC, SD ?

 Nhận định: bài này thuộc vào cách 1 TH2 trong lập trình của chúng ta!

BC / / AD

BC / /(SAD)

d BC, SD

d (C,(SAD)) CD a

i) d AB, SC ?

 Nhận định: bài này thuộc vào cách 1 TH2 trong lập trình của chúng ta!
AB / /CD

AB / /( SCD)

d AB, SC

d ( A, (SCD))

AL

a 3
2

 Lời bình: Lập trình là một phương pháp giải khá hay cung cấp cho học sinh từng bước cụ thể để bắt đầu giải
một bài toán, vì thế đối tượng hướng đến của “lập trình” là những học sinh trung bình khá, tuy nhiên đối với
học sinh giỏi nó cũng rất cần thiết vì không phải bài nào các em cũng có thể “loé sáng”.

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC=a, OA, OB, OC đôi một vuông góc
nhau, I là trung điểm BC. Tính khoảng cách từ

a) OA đến BC
b) AI đến OC
Giải
a) d(OA,BC)?
Ta có
14


OA
BC

OI
OI

d OA, BC

BC
2

OI

A

a 2
2

b) d(AI,OC)?
Gọi J là trung điểm OB.
Ta có OC // IJ OC // (AIJ)
d AI , OC

H
O

d OC,( AIJ )

d O,( AIJ )

OH

J

Xét tam giác vuông OAB có
1
OH 2

1
OA2

1
OJ 2

1
a2

C
I

B

4
a2

5
a2

d AI , OC

OH

a 5
5

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao SO = a 3 .
Tính
a) d O, SAB
S
b) d C, SAB
c) d D, SAB
d) d SO, AB
e) d BD, SA

H

f) d CD, SA

D

A

Giải
C

 Lập trình:
o
o
o
o
o

M

O

a) d O, SAB ?

B

Hai đt vg chéo nhau SO và AB với SO qua O, AB nằm trong (SAB)
Kẻ từ O đường thẳng OM AB
Chọn được mp chứa SO và OM là (SOM) chứa O và vuông góc (SAB)
Tìm giao tuyến (SOM) với (SAB) là SM
Từ O kẻ OH vuông góc SM thì OH chính là khoảng cách từ O đến (SAB)
b) d C, SAB ?
Ta có AO (SAB) A
d C , SAB
d O, SAB

AC
AO

2

d C , SAB

2d O, SAB

c) d D, SAB ?
CD / /(SAB)

d D,(SAB)

d C,(SAB)

d) d SO, AB ?
OM là đoạn vuông góc chung

d SO, AB
15

OM


e) d BD, SA ?
o
o
o
o

(SAC) chứa SA và vuông góc BD

BD

(SAC) O

Kẻ OK SA,(M SA)
OK là khoảng cách cần tìm

f) d CD, SA ?
o

CD / /(SAB)

d CD, SA

d CD, SAB

d C, SAB

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO⊥(ABCD), M
là trung điểm SC. AC = 4,BD = 2, SO = 3. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BM.
Giải
S
a
 Nhận định:
SA / / OM
d SA, BM

SA / / MBD
d SA, MBD

d A, MBD

 Lời bình: Nếu học sinh thấy được BD

SAC

MBD

M

SAC

thì việc tìm khoảng cách khá đơn giản. Đối với học sinh trung bình sẽ cảm
thấy mọi việc quá phức tạp. Tuy nhiên với bài này ta vẫn có thể lập trình,
chỉ khác là phải tạo ra hai đường vuông góc chéo nhau, cách làm cụ thể
như sau

 Lập trình:
o
o
o
o
o

B

A
O
D

C
H

Kẻ qua A đường thẳng a song song SO
Hai đt vg chéo nhau a và BD với a qua A, BD nằm trong (MBD)
Kẻ từ A đường thẳng AC BD
Chọn được mp chứa a và AC là (SAC) chứa A và vuông góc (MBD)
Tìm giao tuyến (SAC) với (MBD) là OM
Từ A kẻ AH vuông góc OM thì AH chính là khoảng cách từ A đến (MBD)

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Tính
khoảng cách từ DD’ đến A’C.
a
B
A
Giải
H
Ta có
b
D

DD '/ / AA '

C

DD '/ / AA ' C ' C

d DD ', A ' C

d DD ', AA ' C ' C
d D, AA ' C ' C

c

DH

B'

A'

 Lời bình:Việc tính DH khá dễ dàng

D'

16

C'


Bài 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình
 450 . AC′,B′D lần lượt tạo với đáy góc 450 và 600. Biết chiều cao
hành, BAD
hộp bằng a, tính thể tích khối hộp và khoảng cách d(AC, DB’) theo a.
Giải
 Nhận định: AC DB ' bài này thuộc TH1 trong lập trình của chúng ta!

Gọi O AC BD
Kẻ OH DB '
Ta có

AC
AC

O
D

BD
DD '

AC

BB ' D ' D

AC

C

OH
H

Hay OH là đoạn vuông góc chung của AC và DB’
Tính Oh?
BD

B'D'

BB '
tan 450

a

A'

a

OD
DB '

600

450

OD.B ' B
DB '

OH

B'
450

Hai tam giác vuông OHD và B’BD đồng dạng (do có
góc D chung)
OH
B'B

B

A

OD.B ' B
B ' B2

D ' B '2

C'

D'

a
.a
2
a2 a2

a 2
4

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B.
AB=a, BC=b, AA’=c, Tính khoảng cách A’B đến AC.
A'

C'

Giải
Gọi K là chân đường cao tại B của ABC
Kẻ Bx // AC, AD Bx,( D Bx) , AH A ' D

B'

c

H

A' D
H

Ta có

K

AC / / Bx

AC / / mp A ' Bx

d A ' B, AC

AD

2

BK

1
AH 2

2

d AC , A ' Bx

d A, A ' Bx

D

a 2 b2
a 2b 2

1
AA '2

c2 a 2 b2

a

AH

a 2b 2
a 2 b2

1
AD 2

C

A

1
c2

c2 a 2 b2

b
B

1

a 2b 2 c 2

1

AH

abc
 Lời bình: Vững tin theo các bước của lập trình ta luôn tìm ra được một lời giải hợp lí!

17

x


Bài 8: Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ tất cả các cạnh đều bằng a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng A′B và B′C.
A'
Giải
B'
Kéo dài AB về phía B một đoạn BD = AB = a.
Lúc đó ta có A’B’DB là hình bình hành.
A ' B / / DB '

C'

A ' B / / CDB '

d A ' B, B ' C

d A ' B, CDB '

d B, CDB '

 Lập trình?

H

o Hai đt vg chéo nhau BB’ và CD với BB’ qua B, CD nằm A
trong (CDB’)
B
o Kẻ từ B đường thẳng BM CD (M là trung điểm CD do
BCD cân tại B).
o Chọn được mp chứa BB’ và BM là (BMB’) chứa B và vuông góc (CDB’)
o Tìm giao tuyến (BMB’) với (CDB’) là MB’.
o Từ B kẻ BH vuông góc MB’ thì BH chính là khoảng cách từ B đến (CDB’)
Tính BH?
Xét tam giác vuông BMB’ có
AC
2

MB

1
BH 2

C
M

D

a
(đường trung bình)
2

1
BB '2

1
BM 2

1
a2

4
a2

5
a2

BH

a 5
.
5

Bài 9: Cho hình lăng trụ đều : ABC.A'B'C' có AB=a, góc giữa hai mp (A'BC) và
(ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AG và B'C.

Giải
A'
Gọi M là trung điểm BC,Kẻ MI B ' C I B ' C

C'

Ta có
AM BC
A ' M BC

A, BC , A '


AMA ' 600

B'

Xét tam giác vuông AMA’ có
tan 600

Ta có AG
AM

AA '
AM
AM
BC

MI
Kết hợp với MI

AA '

AM

AM .tan 600

BCC ' B '

a 3
. 3
2

AM

3a
.
2

B 'C

I
A

G

N

AM

B ' C suy ra MI chính là đoạn vuông

góc chung của AG và B’C.
d AG, B ' C MI

18

C

600

B

M


Tính MI?
Hai tam giác vuông BB’C và IMC đồng dạng do có
góc C chung.
Ta có
MI
B'B

MC
B 'C

d AG, B ' C

MI

MC.B ' B
B 'C

a 3a
.
2 2
9a 2
a2
4

3a 13
.
26

B'

3a 13
26
I
B

19

C'

M

C

 Lời bình: Bây giờ đã đến lúc chúng ta xem phương pháp lập trình sẽ phát huy sức mạnh như thế
nào trong việc giải các bài toán khoảng cách trong đề thi đại học của các năm gần đây nhé!

Bài 1: (Tuyển sinh đại học khối A 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
đáy trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và
(ABC) bằnmg 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a.
Giải
S
Ta có SH

( ABC)

HA 2 HB

HB

MH

 600
(SC,( ABC)) SCH

1
a
AB
3
3
a a a
2 3 6

MB HB

L
B

Xét ta giác vuông HCM có

M

2

HC

2

CM

2

MH

2

a 3
2

a
6

Xét tam giác vuông SHC có SH

2

7a
9

V

HC

2

1 a 3 a 21
.
3 4
3

a

3

a 7
9

H
a

A

a 21
3

HC.tan 600

2

Thể tích hình chóp

2

K
x

7

12

d SA, BC d BC, SA, Ax
d B, SA, Ax
Kẻ Ax // BC
 Nhận định:
o d B, SA, Ax được tính thông qua d H , SA, Ax

 Lập trình?
o Ta dựng mp qua H vuông góc mp SA, Ax
o Qua H đã có SH vuông góc, chéo nhau với Ax trong mp SA, Ax
o Từ đó ta sẽ kẻ HK

Ax, kẻ HL

SK thì HL là khoảng cách cần tìm.

Ta có
d ( SA, BC ) d B, SAK
HK

AH .sin 600

1
HL2

1
SH 2

1
HK 2

3
d H , SAK
2

3
HL
2

a 3
3
9
3a 2

9
21a 2

72
21a 2

20

HL

a 42
12

C


 Lời bình: Quả thực sự kết hợp giữa lập trình và các tính chất để tăng tốc khi giả là sự kết hợp
hoàn hảo. Nếu không đưa về tính khoảng cách từ H đế mp (SA,Ax) thì đây là bài toán nan giải!

Bài 2: (Tuyển sinh đại học khối D 2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC
vuông cân, A’C = a. Tính thể tích tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến (BCD’)
theo a.
B
Giải
D
A
Thể tích ABB’C’?
Theo giả thiết đề bài ta tính được

AA '
VABB 'C '

AC

a 2
; AB
2

1
AB.S BB 'C
3

a
2

a

3

H
a

2

48

 d(A,(BCD’))?
o
o

o

C'

B'
A'

Nhận định:
(BCD’) cũng chính là (BCD’A’)
Đã có mp(ABB’A’) chứa A và vuông góc với (BCD’A’) chúng có giao tuyến là A’B.
Kẻ AH A’B thì AH= d(A,(BCD’)).

D'

Ta có
1
AH 2

1
AA '2

1
AB 2

6
a2

AH

a 6

6

 Lời bình: Phát hiện (ABB’A’)

(BCD’A’) giúp cải thiện đáng kể, nó giúp rút gọn các khâu tiên
của phương pháp lập trình! Nếu học sinh đặt câu hỏi liệu em không phát hiện (ABB’A’) thì sao? Mọi
việc đều được giải quyết bằng cách bắt đầu lại lập trình như đường cơ bản nhất như sau:

 Lập trình?
o
o
o
o
o

Hai đt vg chéo nhau AA’ và BCvới qua A, BC nằm trong (BCD’A’)
Kẻ từ A đường thẳng AB BC
Chọn được mp chứa AA’ và AB là (ABB’A’) chứa A và vuông góc (BCD’A’)
Tìm giao tuyến (ABB’A’) với (BCD’A’) làA’B.
Từ A kẻ AH vuông góc A’B thì AH chính là khoảng cách từ A đến (BCD’A’)

Bài 3: (Tuyển sinh đại học khối A 2011)
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mp
(SAB), (SAC) cùng vuông góc với mp (ABC). Gọi M là trung điểm AB; mp qua SM
và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính
thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo
Giải
SAB

ABC

SAC

ABC

SA

C

ABC

21


S

SA BC
AB BC

BC

SB


Suy ra góc giữa hai mp (SBC) và (ABC) là SBA
SA


AB.tan SBA

2a 3

BCMN là hình thang vuông
( BC MN ) BM
2

S SCMN

3a 2

VS .BCMN

1
.SA.S SCMN
3

H

a3 3

Gọi P là trung điểm BC
Ta có
AB / / NP

2a
A

I

P

N
2a
C

AB / /( SNP)

d SN , AB

B

M

d AB, SNP

d A, SNP

 Lập trình:
o
o
o
o
o

Hai đt vg chéo nhau SA và NP với SA qua A, NP nằm trong (SNP)
Kẻ từ A đường thẳng AI NP, suy ra AI // BC, AI = BP = a
Chọn được mp chứa SA và AI là (SAI) chứa A và vuông góc (SNP)
Tìm giao tuyến (SAI) với (SNP) là SI
Từ A kẻ AH vuông góc SI thì AH chính là khoảng cách từ A đến (SNP)
1

AH 2

1
12a 2

1
a2

13
12a 2

AH

2a 39
13

Bài 4: (Tuyển sinh đại học khối B 2011)
Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
Giải
Gọi E là trung điểm AD, O là tâm của ABCD
B
Ta có
AD OE
A
D
AD AO
1

1

1

1

góc giữa (ADD1A1) và (ABCD) là 
A1EO 600
A1O

S ABCD

a 3
2

OE.tan 600

AB. AD a

VABCDA1B1C1D1

a

2

2

B

C

3
a 3
3
2

O

3a
2

3

A

E

H
D

d(B1, (A1BD))?
Ta có B1C / / A1BD
d B1, A1BD
d C, A1BD
 Lập trình:
o Hai đt vg chéo nhau CD và A1O với CD qua C, A1O nằm trong (A1BD)
o Kẻ từ C đường thẳng CO A1O
22

C1

o Chọn được mp chứa CD và CO là (ABCD) chứa C và vuông góc (A1BD)
o Tìm giao tuyến (ABCD) với (A1BD) là BD
o Từ C kẻ CH vuông góc BD thì CH chính là khoảng cách từ C đến (A1BD)
Xét tam giác BCD có

1
CH 2

1
BC 2

1
CD 2

1
a2

1
3a 2

4
3a 2

a 3
2

CH

Bài 5: (Tuyển sinh đại học khối D 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,BC = 4a; mặt
 300 Tính thể
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC
tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Giải
S
Kẻ SH vuông góc BC suy ra SH ( ABC )
 a 3
SB.sin SBC
1
S ABC
AB.BC 6a 2
2
VS . ABC 2a 3 3
SH


SB.cos SBC

BH

d B, SAC

2a 3.
BC
HC

d H , SAC
d B, SAC

A

B

3
2

3a

HC

K

a
H

4

D
C

4d H , SAC

 Lập trình:
o Hai đt vg chéo nhau SH và AC với SH qua H, AC nằm trong (SAC)
o Kẻ từ H đường thẳng HD AC
o Chọn được mp chứa SH và HD là (SHD) chứa H và vuông góc (SAC)
o Tìm giao tuyến (SHD) với (SAC) là SD
o Từ H kẻ HK vuông góc SD thì HK chính là khoảng cách từ H đến (SAC)

Hai tam giác vuông ABC và HDC đồng dạng (do có chung góc C)
HD
AB
1
HK 2

HC
AC
1
SH 2

HD
1
HD 2

AB.HC
AC
1
3a 2

25
9a 2

AB.HC
AB 2

BC 2

28
9a 2

HK

23

3a 2
5a

3a
5

3a
2 7

3a 7
28

d B, ( SAC )

6a 7
7


Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, M là trung điểm AB
hình chiếu của S xuống ABCD trùng với trung điểm của OM, góc giữa (SAB)
và (ABCD) là 600. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách giữa AB và SC
A AB 
A AD . Tìm
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD và 
hình chiếu của A’ trên (ABCD).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc mặt đáy
(ABCD). Tìm hình chiếu của C lên (SBD).
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mp ( ) đi qua AB cắt SC, SD lần
lượt tại M và N. Tìm hình chiếu của S trên ( ) .
 xOz
 . Tìm
Bài 5: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong một mp thoả xOy
chân đường vuông góc hạ từ một điểm M thuộc Ox xuống mp (yOz).
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại C và SA vuông góc (ABC).
Một điểm M thuộc cạnh AB. Tìm hình chiếu của M trên (SBC).
Bài 7: Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân tại A. Gọi (P) là mp đi
qua A và trung điểm hai cạnh bên BB’,CC’. Tìm hình chiếu của các điểm sau
trên (P).
a. Từ A’,B’,C’
b. Từ trung điểm I của BC
c. Từ trọng tâm G của A’B’C’
Bài 8: Cho hình vuông ABCD. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp
(ABCD) lấy điểm S khác A. Xác định chân đường vuông góc hạ từ C và trung
điểm của cạnh BC xuống (SBD).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có SA=SC, SB=SD và đáy ABCD là hình thoi. Tìm
hình chiếu của
a. Giao điểm hai đường chéo của mặt đáy lên (SAB)
b. A lên (SBC)
Bài 10: (Tuyển sinh đại học khối A 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 11: (Tuyển sinh đại học khối D 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,

AA'=2a, A'C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM
và A'C. Tính theo a thể tích khối tứ diện và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(IBC)
Bài 12: (Tuyển sinh đại học khối D 2008)
24


Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Bài 13: (Tuyển sinh đại học khối B 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.
Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC.
Bài 14: (Tuyển sinh đại học khối D 2007)
 BAD
 900 , BA= BC = a, AD=2a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).
Bài 15: (Tuyển sinh đại học khối D 2002)
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4
cm ; AB = 3 cm ; BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Bài 16: (Dự bị khối A 2007 đề 1)
Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. ABC và
SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng
(SAC).
Bài 17: (Dự bị khối A 2007 đề 2)

 1200 . Gọi
Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC
M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB vuông góc MA1 và tính khoảng cách
từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Bài 18: (Dự bị khối B 2002)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S
điểm đến đường thẳng BE
Bài 19: (Dự bị khối B 2003)
Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ,
00
900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng

(SBC).
Bài 20: (Dự bị khối B 2004)
Cho hình chóp có .SABC, SA=3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác ABC có
AB=BC=2a, góc ở B bằng 1200. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 21: (Dự bị khối D 2002)
Cho hình chóp có đáy .SABC, ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ A điểm tới mặt phẳng (SBC) theo a,
biết rằng SA

a 6
.
2

25