các dạng bài tập toán 10 học kì 2

ĐẠI SỐ

[AUTHOR NAME]

1


CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài 1. Cho a, b, c là những số thực tùy ý. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.

2abc < a 2 + b 2c 2
a2 +

2.

b2
≥ ab
4

11.

12.

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

( a + b + c)

2

≥ 3 ( ab + bc + ca )

[AUTHOR NAME]

2


3.

a 4 + 5 > 4a 2
a2 + 3
a2 + 2

4.

>2
14.

a + b + c + 3 ≥ 2( a + b + c)
2

5.

13.

2

2

15.

a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc
a 2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )
a2
+ b 2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc
4
2

6.

a 4 + b4 ≥ a 3b + ab3

16.

a 2 + b2  a + b 
≥
÷
2
 2 

2

7.
8.
9.

a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a ( ab 2 − a + c + 1)

a 2 + 4b 2 + 3c 2 + 14 ≥ 2a + 12b + 6c

a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b

10.

17.
18.
19.

a 2 + b2 + c2 ≥ 2 ( ab + bc − ca )

20.

a 2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
÷
3
3



( a + b)

2

≥ 4ab

2 ( a 2 + b2 ) ≥ ( a + b )

2

2 ( a 4 + b4 ) ≥ ( a 2 + b2 )

2

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.

(a

5

a 3 + b3 ≥ a 2 b + ab2 ; ∀a, b ≥ 0

11.

+ b5 ) ( a + b ) ≥ ( a 4 + b 4 ) ( a 2 + b 2 ) ; ( a.b > 0 )

2.

3.

4.

5.

6.

a
b
+

≥ a + b ; ∀a ≥ 0, ∀b ≥ 0
b
a
1
< a + 1 − a − 1 ; ∀a ≥ 1
a

a 2 + b2 + c2 < 2 ( ab + bc + ca )
a 2 + b 2 + c 2 > −2 ( ab + bc + ca )

12.

b + c ≥ 16abc ; a, b,c ≥ 0, a + b + c = 1
a+

13.

1
≥ a ; a≥0
4

a+b+
(Δ)

14.

1
≥ a + b ; a, b ≥ 0
2

a +b+c+

(Δ)

2 ab
≤ 4 ab ; ∀a, b > 0
a+ b

15.

16.

3
≥ a + b + c ; a, b, c ≥ 0
4

a 5 + b5 ≥ a 3b 2 + a 2 b3 ; a, b ≥ 0

3

7.
8.

a 3 + b3  a + b 
≥
÷ ; ∀a, b ≥ 0
2
 2 

a 3 + b3 + c3 ≥ 3abc ; ∀a, b, c ≥ 0

17.
18.

a 5 + b5 ≥ a 4 b + ab 4 ; a, b ≥ 0
a ≥ 2 a −1 ; a ≥ 1


a 4 + b4 ≤

9.

10.

a 6 b6
+
; ∀a, b ≠ 0
b2 a 2

1
1
2
+
≥
; ( a.b > 1)
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

19.

b−5≥ 2 b−6 ; b ≥ 6

x2 + 2
x2 +1

20.

≥2

DẠNG 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Bài 3. Cho a, b , c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1.

2.

3.
4.

1 1
4
+ ≥
a b a+b

(a + b)(ab + 1) ≥ 4ab

6.

7.

8.

9.

12.

1 1 1
9
+ + ≥
a b c a +b+c

13.

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

14.

(a + b + c)(a + b + c ) ≥ 9abc
2

5.

11.

2

2

bc ca ab

+ + ≥ a+b+c
a b c

16.

a b c 1 1 1
+ + ≥ + +
bc ca ab a b c

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
 1  1 
1 + ÷1 + ÷ ≥ 9
 a  b 

15.

17.

với a.b.c = 1

với a + b = 1

18.

a +b+c+d 4
≥ abcd
4
1 1 1 1
16
+ + + ≥

a b c d a +b+c+d
1
a 2 b + ≥ 2a
b

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc

(

a+ b

)

2

≥ 2 2 ( a + b ) ab

1 1 1
1
1
1
+ + ≥
+
+
a b c
ab
bc
ca
 1  1  1 
1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 64 ; a + b + c = 1

 a  b  c 
1 1 
1 1 
1 1

 2a + + ÷ 2b + + ÷ 2c + + ÷ ≥ 64
b c 
c a 
a b


19.

1 + a 3 + b3
1 + b3 + c3
1 + c3 + a 3
+
+
≥3 3
ab
bc
ca
( abc = 1)

10.

 1   1  1 
 − 1÷ − 1÷ − 1÷ ≥ 8
 a   b  c 

với a + b + c = 1

20.

a + b + c ≥ ab + bc + ca


B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG 1: GIẢI BPT BẬC NHẤT
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

1.

2.

1
1
< 1−
x
x +1

11.

1
2x
≤ 2
2
x − 4 x − 4x + 3
2 x −1 + 3 x −1 <

3.

4.

5.

12.

2x
x +1

13.

14.

3
x
> 2+
x −3
x−2

x +1

( x − 2)

7.
3

8.

2

x +1
1
3
+
≤
x − 1 ( x − 3) ( x + 4 )
6−x
2x − 3
1
≤ 3 − 4x +
x −1 − x + 2
x+6

15.

16.

< x +1

4
x2 +1

≥0

x +1 x − 2 ≥ x

( 2 − x ) ( x + 1) > 2 ( 2 − x )
2

17.

1+ x
− 2x 2 ≤ 1
x − 3x + 2
2

18.

x + x − 4 < 1+ x − 4

10.

x −1
2
> 2−
x −3
x−4

x2 +1 +

x −3
≥ 16 − 2x
x − x −3

6.

9.

x+

1
2 1 − x > 3x
x+4
3x +

x+2
4
≥ 1+
2
2
1+ x
( x − 2)

19.

2−x + x < 2+ x

20.

x+5
<0
x −1

x −1 ≥ x
x2 ≥ x

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

1.

( 2x − 1) ( x + 3) − 3x + 1 ≤ ( x − 1) ( x + 3) + x 2 − 5

(

x + x > 2 x +3
2.

3.

(

)(

)

11.

x −1

)

12.

1− x + 3 2 1− x − 5 > 1− x + 3

( x − 4 ) ( x + 1)
2

4.

)(

2+

>0

13.
14.

3 ( x + 1)
x −1
< 3−
8
4

10 − 3x
2x − 7
+9 >
− 2x
x
4
x +1 x + 2
x
−
< 2+
2
3
6

( x − 1) ( x + 1)

2

≥0

2


( x + 2 ) ( x − 3)
2

5.

x −3 ≥ 3− x

6.

7.

>0

3x + 1 x − 2 1 − 2x
−
<
2
3
4
−2x +

8.
3−

9.

10.

3 3 ( 2x − 7 )
>
5
3

2x + 1
3
> x+
5
4

5 ( x − 1)
2 ( x + 1)
−1 <
6
3

15.

16.

17.

( x − 3)

x −2 ≥ 0

x−2
≤
x−4

( x + 2)

3

( 10 − x )
18.

19.

20.

4
x−4

≥ ( x − 1) + 4
2

x−4

x−4

>4

x −3
≤0
1 − 2x

( 4 − x)

5−x ≤ 0

Bài 3. Giải các hệ bất phương trình sau:

1.

2.

3.

4.

5.

5

6x
+
< 4x + 7

7


 8x + 3 < 2x + 5
 2
1

15x − 2 > 2x +


3

2 ( x − 4 ) < 3x − 14


2

3 3 ( 2x − 7 )
 −2x + >
5
3

 x − 1 < 5 ( 3x − 1)

2
2
 3x + 1 3 − x x + 1 2x − 1
 2 − 3 ≤ 4 − 3

3 − 2x + 1 > x + 4

5
3

9x − 12 ≥ 4x + 15

19 − 3x < 7 + 5x

6.

7.

8.

9.

15x − 8

8x
−
5
>

2

2 ( 2x − 3) > 5x − 3

4
1
4
 3 − 12x ≤ x + 2

 4x − 3 < 2 − x

 2
3
4
x
 2 ≤ x + 3

 2x − 9 ≤ 19 + x
 3
2
1

15x − 2 > 2x +


3

2 ( x − 4 ) < 3x − 14


2

10.

 3x − 1 3 ( x − 2 )
5 − 3x
−
−1 >

4
8

2

3 − 4x − 1 > x − 1 − 4 − 5x

18
12
9


DẠNG 2: XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

1.

2.
3.
4.
5.
6.
7.

f (x) = x + 1

12.

f (x) = 3x ( 3x − 1)
f (x) = ( 2x − 1) ( x + 3)
f (x) = ( −3x − 3) ( x + 2 ) ( x + 3 )
f (x) = ( −2x + 3) ( x − 2 ) ( x + 4 )
f (x) = ( 4x − 1) ( x + 2 ) ( 3x − 5 ) ( −2x + 7 )

8.
f (x) =

9.

2x + 1
( x − 1) ( x + 2 )
x ( x + 1)
x−2

f (x) =
10.

3
1
−
2x − 1 x + 2

f (x) =

1
1
− 2
x −1 x −1

11.

f (x) = 2 − x

f (x) =

f (x) =

13.
14.
15.
16.
17.

18.

19.

−4
3
−
3x + 1 2 − x

20.

f (x) = 4x 2 − 1
f (x) = ( 2x − 5 )

2

f (x) = ( 2x − 7 )

3

f (x) = x 2 ( 2x − 3 )
f (x) = ( 4 − x )

2

( 5x − 2 )

f (x) = x 2 + 3x + 2
f (x) = − x 2 + 10x − 9
f (x) = 2x 2 − 5x + 3

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

1.

2.

3.

4.

( 2x − 7 ) ( 4 − 5x ) ≥ 0
3x ( 2x + 7 ) ( 9 − 3x ) ≥ 0

( x + 1) ( x − 1) ( 3x − 6 ) > 0
x +9
≤0
x −1

( 2x − 5) ( x + 2 )

5.

6.

−4x + 3

2
>0
x −3

11.

12.

13.

14.
>0

15.

16.

2
5
≤
x − 1 2x − 1
1
1
1

+
>
x −1 x + 2 x − 2
1
2
3
+
<
x x+4 x+3
1
1
<
x + 1 ( x − 1) 2

x 2 − 3x + 1
<1
x2 −1
x2 + x − 3
≥1
x2 − 4


7.

8.

9.

−3
>0

2 − 3x

17.

3
<1
2−x

18.

1
≤2
x −1

10.

19.

x
1
≥
x −5 2

x 2 − x − 20 > 2 ( x − 11)
x 2 + 2x
≤0
x2 − 4

x−2
≥0

x2 − 4
x
≥0
x −x
2

20.

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
1.
2.

x − 3 ≥ −1
5x − 4 ≥ 6
4−x

3.

4.
5.

6.

x+6

7.

<3

8.

2x − 1 ≤ x + 2

9.

1 − 4x < 2x + 1

10.

x + 2 + −2x + 1 ≤ x + 1
x −1 ≤ 2 −x − 4 + x − 2
−5
10
<
x + 2 x −1
−1
2
≥
x + 2 x −1

x − 1 + 2x − 4 − 4 − x < 2

DẠNG 3: XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
1.
2.
3.
4.

5.

6.

f (x) = 5x 2 − 3x + 1
f (x) = x 2 + 12x + 36
f (x) = −2x 2 + 3x + 5
f (x) = x 2 + x + 1

12.
13.
14.

f (x) = ( 3x 2 − 10x + 3 ) ( 4x − 5 )
f (x) = ( 3x 2 − 4x ) ( 2x 2 − x − 1)
f (x) = ( 4x 2 − 1) ( −8x 2 + x − 3 ) ( 2x + 9 )

f (x) =

f (x) = x 2 − 2x + 1

15.

f (x) = −4x 2 + 2x − 1

f (x) = −3x 2 + 2x −
7.

11.

f (x) = ( 4 − 2x ) ( x 2 − 5x + 4 )

1
3

x 2 − 9x + 14
x 2 + 9x + 14

( 3x
f (x) =
16.

17.

2

− x) ( 3 − x2 )

4x 2 + x − 3

2x 2 − x − 3
f (x) =
4x − x 2


f (x) = −2x + 7x − 8
2

8.

f (x) = x − x − 12

f (x) =

2
1
1
+
−
x x −1 x +1

f (x) =

x +1
1
− 2
x −1 x −1

19.

f (x) = − x + 4x + 5
2

10.

x 2 − 2x − 3
x 2 − 11x + 28

18.

2

9.

f (x) =

20.

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

1.

2.

3.
4.
5.

−3x 2 + x + 4 ≥ 0

11.

x2 − x − 6 ≥ 0

12.

4x 2 − x + 1 ≥ 0

13.

2x 2 + 5x + 5 > 0

14.

x 2 + 9 > 6x

15.

x − 2x + 3 < 0
2

6.

16.

−6x − x + 2 ≥ 0
2

7.

8.

9.

x 2 + 6x − 7
<0
x+7
x 2 + 4x − 5
>0
x +1

( 3x + 4 ) ( x 2 − 3x − 10 ) ≥ 0
( 2x + 5 ) ( x 2 − 3x + 10 ) < 0
5x − 1
<1
x2 + 3
1
3
< 2
x − 4 3x + x − 4
2

17.

1 2
x + 3x + 6 < 0
3

18.

x2 +1
<0
x 2 + 3x − 10

10.

x 2 −1
≥0
x2 +1

19.

x 2 − 9x + 14
≥0
x 2 + 9x + 14

20.

1
2
3
+
<
x −1 x − 2 x − 3
2
1
−4
+ ≤ 2
x + 2 2 x + 2x
x
2x + 3
3 − 2x
− 2
≤ 3
x −1 x + x +1 x −1

Bài 3. Tìm m để:
1. Biểu thức: “
2. Biểu thức: “
3. Biểu thức: “
4. Biểu thức: “

f (x) = x 2 − mx + m + 3

” luôn dương.

f (x) = ( m + 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + 2 − m

” luôn dương.

f (x) = ( m − 1) x 2 + ( 4m − 3 ) x + 5m − 3
f (x) = x 2 − ( m + 2 ) x + 8m + 1

” luôn dương.

” luôn dương.


5. Biểu thức: “
6. Biểu thức: “
7. Biểu thức: “
8. Biểu thức: “
9. Biểu thức: “

f (x) = ( 3m + 1) x 2 − ( 3m + 1) x + m + 4
f (x) = −2x 2 + 2 ( m − 2 ) x + m − 2

f (x) = mx 2 + x − 1

11. PT: “
12. PT: “

13. PT: “
14. PT: “
15. PT: “
16. PT: “
17. PT: “
18. PT: “
19. PT: “
20. PT: “

” luôn âm.

f (x) = ( m − 1) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m − 6

( 3 − m ) x 2 − 2 ( m + 3) x + m + 2 = 0
x 2 − 2mx + 2m = 0
x 2 − 2mx + 4m = 0

” có nghiệm.

x 2 − ( m 2 − 1) x + 3m − 1 = 0

23. BPT: “
24. BPT: “
25. BPT: “
26. BPT: “

27. BPT: “

” có nghiệm.

+ m + 1) x 2 + ( 2m − 3 ) x + m − 5 = 0

x 2 − 6mx + 2 − 2m + 9m 2 = 0

22. BPT: “

” vô nghiệm.

” có hai nghiệm phân biệt.

mx 2 − 2 ( m − 1) x − m − 5 = 0

21. BPT: “

” vô nghiệm.

” có hai nghiệm phân biệt.

( 1 − m ) x 2 + 2mx + m − 6 = 0

5x 2 − x + m ≤ 0

” có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

” vô nghiệm.

x 2 + 6x + m + 7 ≤ 0

” vô nghiệm.

( m − 2 ) x 2 + 2x − 4 ≥ 0

” vô nghiệm.

”có vô số nghiệm.

mx 2 − 10x − 5 < 0
x 2 − mx − 2
> −1
x 2 − 3x + 4

” có hai nghiệm dương phân biệt.

” có hai nghiệm âm phân biệt.

” vô nghiệm

mx 2 − 10x − 5 ≥ 0

5x 2 − x + m > 0

” luôn âm.

” có nghiệm kép.

x 2 − ( m + 9 ) x + 9m = 0

2

” luôn âm.

f (x) = ( m − 2 ) x 2 − 2 ( m − 3 ) x + m − 1

( m − 2 ) x 2 + 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 = 0

(m

” luôn âm.

” luôn âm.

f (x) = ( 2 − m ) x 2 − 3mx + 2m

10. Biểu thức: “

” luôn dương.

” có vô số nghiệm.

” có vô số nghiệm.


28. BPT: “
29. BPT: “
30. BPT: “

m ( m + 2 ) x 2 + 2mx + 2 > 0

” có vô số nghiệm.

mx 2 + 2 ( m + 1) x + m − 2 ≤ 0

” có nghiệm.

( m − 2) x 2 + 2 ( m − 2) x + 2 ≤ 0

” có nghiệm.

CHƯƠNG V: THỐNG KÊ
DẠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU – TRÌNH BÀY MẪU SỐ LIỆU
Bài 1. Điểm kiểm tra toán của một số em học sinh lớp 10 được ghi lại trong bảng sau:
9
2
5
4
2
7
8
7
7
4
5
9
6
8
5
9
8
5
6

8
7
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?

6
7
9

6
7
2

8
5
5

2. Hãy viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên.
3. Lập bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất.
4. Dựa vào kết quả câu 3, đưa ra nhận xét về điểm số của các em học sinh trên.
Bài 2. Cho các số liệu thống kê về tuổi thọ của bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị: giờ) trong bảng
sau:
1180
1150
1190
1170
1160
1170
1160
1150
1170

1170
1170
1190
1170
1180
1170
1160
1170
1160
1180
1180
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?

1180
1190
1170
1160
1150

1170
1180
1170
1160
1170

2. Lập bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất.
3. Dựa vào kết quả câu 2, đưa ra nhận xét về tuổi thọ của các bóng đèn nói trên.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.
5. Vẽ đường gấp khúc tần suất.
Bài 3. Sau khi điều tra về sự tiêu thụ điện năng của các hộ gia đình, người ta thu được mẫu số liệu sau:

45
75
40
65
120
70
100
900
53
100
65
85
50
45
40
85
110
90
75
100
70
45
70
53
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (8 lớp, lớp đầu tiên
3. Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.

[ 40;50 )

50
75
53
65

, lớp tiếp theo

85
65
70
50

[ 50;60 )

..)


Bài 4. Theo thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của một số học sinh ta thu được bảng sau:
7,7
6,5
6,4
4,9
9
5,7
6,8
2,5
8,5
7,8
5,7

4,5
6,8
7,8
6
6,4
4,9
7,3
6,8
4,5
4,9
8,5
6,8
6
5,7
5,4
6
7,3
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (6 lớp, lớp đầu tiên

[ 3,5; 4,5 )

5,2
5,5
7,8
6

4
7,4
4,9

7,3

, lớp tiếp theo

8,6
5,7
6,8
7,7

[ 4,5; 5,5 )

3. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần số.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 5. Cho các số liệu thống kê về chiều cao (cm) của một số em học sinh lớp 10 như sau:
163
165
164
163
164
158
167
169
165
169
165
168
166
160
168
165

170
163
170
162
172
160
168
166
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (lớp đầu tiên

[ 158; 160]

, lớp tiếp theo

3. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần số.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 6. Cho bảng tần số ghép lớp của độ dài 60 lá dương xỉ trưởng thành như sau:
Lớp của độ dài (cm)

[ 10; 20 )

Tần số
8

[ 20; 30 )

18

[ 30; 40 )

24

[ 40; 50 )

10

Cộng
60
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất.
3. Dựa vào kết quả câu 2, trả lời những câu hỏi sau:
•

Số lá có độ dài dưới 30 cm chiếm bao nhiêu phần trăm?

•

Số lá có độ dài từ 30 cm đến 50 cm chiếm bao nhiêu phần trăm?

4. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần suất.

168
163
164
164

[ 161; 163]

164

172
166
168

..)

..)


Bài 7. Cho số liệu về khối lượng (g) của một số củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T như
sau:
90
73
88
99
100
102
111
81
94
96
93
95
82
90
109
108
112
87
74

91
84
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (6 lớp, lớp đầu tiên

96
106
97

[ 70; 80 )

79
103
85

, lớp tiếp theo

93
116
92

[ 80; 90 )

..)

3. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần suất
4. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần số.
Bài 8. Cho số liệu thống kê về chiều cao của một số cây bạch đàn như bảng sau:
6,6
7,5

8,2
8,2
7,8
7,9
7,2
7,5
8,3
7,4
8,7
7,7
8,0
7,7
7,8
8,3
8,6
8,1
8,0
7,6
7,9
7,3
8,5
8,4
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (6 lớp, lớp đầu tiên

9,0
7,0
8,1
8,0

[ 6,5; 7, 0 )

8,9
9,4
9,5
8,8

, lớp tiếp theo

8,2
8,7
6,9

[ 7, 0; 7,5 )

..)

3. Dựa vào kết quả câu 2, nêu nhận xét về chiều cao của các cây bạch đàn nói trên.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần suất
5. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần số.
Bài 9. Cho bảng số liệu về thành tích chạy 50 m của học sinh lớp 10A như sau:
6,3
6,2
6,5
6,8
6,9
6,6
6,7
7,0
7,1

7,2
7,4
7,3
7,2
7,1
7,0
7,1
7,3
7,5
7,5
7,6
7,6
7,7
7,8
7,5
7,7
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (6 lớp, lớp đầu tiên

[ 6, 0; 6,5 )

8,2
8,3
8,4
8,7
7,8

, lớp tiếp theo

8,6

8,5
8,1

[ 6,5; 7, 0 )

3. Trong lớp 10A, số học sinh chạy 50 m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần suất
5. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần số.

..)


Bài 10. Cho bảng số liệu thống kê nhiệt độ trung bình (oC) của tháng 5 ở địa phương A từ 1987 – 2016:
27,1
26,9
28,5
27,4
29,1
27,0
27,1
28,1
27,4
27,4
26,5
27,8
28,2
27,6
26,8
26,7
29,0

28,4
28,3
27,4
27,0
1. Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (6 lớp, lớp đầu tiên

27,4
28,7
27,0

[ 6, 0; 6,5 )

28,0
27,3
28,3

, lớp tiếp theo

28,6
26,8
25,9

[ 6,5; 7, 0 )

3. Trong lớp 10A, số học sinh chạy 50 m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm.
4. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần suất
5. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. Vẽ đường gấp khúc tần số.

DẠNG 2: CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU

Bài 1. Điểm kiểm tra môn Toán của một số học sinh lớp 10 được cho trong bảng sau:
Điểm
2
4
5
Tần số
3
2
6
1. Tính số trung bình, số trung vị và mốt.

6
4

7
8

8
4

9
3

12
6

13
4

N = 30

2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 2. Số liệu của một số cây gỗ quý được cho trong bảng sau:
Chiều cao (m)
8
9
Tần số
3
5
1. Tính số trung bình, số trung vị và mốt.

10
8

11
9

N = 35

2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 3. Thời gian (phút) một học sinh đi từ nhà đến trường được cho trong bảng sau:
Lớp

[ 20; 24]
[ 25;

Tần số
11

29]

13

[ 30; 34]

30

[ 35; 39]

19

[ 40; 44]

15

[ 45;

12

49]

N = 100
1. Tính thời gian trung bình mà học sinh đó đi từ nhà đến trường.
2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 4. Số lượng vải bán ra tại một quầy hàng trong các tháng được cho bởi bảng sau:

..)


Tháng

1
2
3
4
5
Số lượng
410
430
450
430
525
1. Tìm số vải trung bình bán trong một tháng.

6
550

7
950

8
450

9
800

10
635

11
760

12
560

2. Tìm số trung vị và mốt.
3. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 5. Một cửa hàng bán muối i-ốt thống kê số muối đã bán ra trong 29 ngày như sau:
43
47
61
36
50
62
67
45
43
67
53
45
54
62
36
58
59
45
1. Tìm số muối trung bình mà cửa hàng bán ra trong một ngày.

54
21
50

43
36
43

31
50
61

65
43

2. Tìm số trung vị.
3. Tìm phương sai, độ lệch chuẩn.
Bài 6. Hai xạ thủ cùng thi bắn súng, số điểm đạt được sau mỗi lần bắn của từng người được ghi lại ở
các bảng sau:
Bảng A: Điểm số của xạ thủ thứ nhất:
8
10
8

9
7
9

10
10
10

9

9
10

9
8
10

10
10
9

8
8
9

7
9
9

9
8
8

8
8
7

9
7
10

8
10
9

9
9
10

7
8
9

Bảng B: Điểm số của xạ thủ thứ hai:
7
9
8

9
10
10
9
7
10
10
7
10
9
9
9

8
7
9
1. Dấu hiệu ở đây là gì? Mỗi xạ thủ bắn bao nhiêu phát?

2. Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê ở 2 bảng.
3. Em có nhận xét gì về kỹ năng bắn súng của từng xạ thủ.
Bài 7. Hai lớp 10C và 10D của một trường trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Văn theo
cùng một đề thi. Kết quả được trình bày ở hai bảng sau:
Điểm thi Văn của lớp 10C:
Điểm thi
Tần số

5
3

6
7

7
12

8
14

9
3

10
1

Cộng
40

Điểm thi Văn của lớp 10D:
Điểm thi
6
7
8
9
Cộng
Tần số
8
18
10
4
40
1. Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê ở 2 bảng.
3. Xét xem kết quả làm bài thi môn Văn ở lớp nào là đồng đều hơn?


Bài 8. Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp:
Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1:
Lớp khối lượng (kg)

[ 0, 6; 0,8 )

[ 0,8; 1, 0 )

[ 1, 0; 1, 2 )

[ 1, 2; 1, 4 )

Cộng

Tần số

4

6

6

4

20

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2:
Lớp khối lượng (kg)

[ 0,5; 0, 7 ) [ 0, 7; 0,9 )

[ 0,9; 1,1)

[ 1,1; 1,3)

[ 1,3; 1,5 )

Cộng

3

20

Tần số
3
4
6
4
1. Tìm số trung bình, phương sai của các số liệu thống kê ở 2 bảng.
3. Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn?

Bài 9. Kết quả điều tra 59 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số con của mỗi hộ được ghi trong bảng sau:
3
1
2
0
2

2
1
1
1
1
0
3
0
2
2
2

1
2
4
3
2
2
4
1
3
2
3
1
4
1
2
0
4
2
3
1. Lập bảng phân bố tần số và tần suất. Cho nhận xét.

2
3
3
3
1

4
2
2

0
1

0
2
4
2
2

3
3
1
2
0

2. Tính số trung bình.
3. Tính số trung vị, mốt.
Bài 10. Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng sau:
Tiền lương (nghìn đồng)
Tần số
1. Dấu hiệu điều tra là gì?
2. Tính số trung bình.
3. Tính số trung vị, mốt.

300

500

700

800

900

3

5

6

5

6

100
0
5

Cộng
30

0
3
3
1


CHƯƠNG VI: GÓC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

cos x − sin x = 1 − 2sin x
2

1.

2.

2

2

2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x

4.

7.

8.

4

2

20.

21.

sin x − cos x = 1 − 2cos x = 2sin x − 1
2

11.
12.

14.

15.

23.

24.

3

tan x − sin x = tan x sin x
2

2

1
sin x cos x

1 − cos x
sin x
=
sin x
1 + cos x
1
1
+

=1
1 + tan x 1 + cot x

25.

2

cot 2 x − cos 2 x = cot 2 x cos 2 x
tan x + cot x =

13.

22.

2

sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x
3

tan x + tan y
cot x + cot y

2
1
− 4
2
sin x sin x

cos x
1

=
1 + sin x cos x

( 1 − cos x ) ( 1 + cot 2 x ) =

2

4

2

19.
tan x +

( 1 + cos x ) ( sin 2 x − cos x + cos 2 x ) = sin 2 x

10.

1 − cot 4 x =

2

4 cos 2 x − 3 = ( 1 − 2sin x ) ( 1 + 2sin x )

4

9.

2

cos x − sin x = cos x − sin x
4

6.

18.

sin x + cos x = 1 − 2sin x cos x
4

1 + sin 2 x
= 1 + 2 tan 2 x
1 − sin 2 x
tan x tan y =

2

sin x cot x + cos x tan sx = sin x + cos x

4

5.

17.

3 − 4sin x = 4cos x − 1
2

3.

16.

1 
1 

2
1 −
÷1 +
÷+ tan x = 0
 cos x  cos x 

26.
27.

28.

29.

30.

1
1 + cos x

1 + cos x 1 − cos x 4 cot x
−
=
1 − cos x 1 + cos x
sin x
sin x
1 + cos x

2
+
=
1 + cos x
sin x
sin x
sin x + cos x − 1
cos x
=
sin x − cos x + 1 1 + sin x
sin 2x + 2 cos x − 1
cos x
=
2 + cos x − cos 2x 1 + cos x
sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x − cos x + 1

sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x
sin 6 x − cos 6 x = ( sin 2 x − cos 2 x ) ( 1 − sin 2 x cos 2 x )
sin 8 x + cos8 x = ( 1 − 2sin 2 x cos 2 x ) − 2sin 4 x cos 4 x
sin 8 x − cos8 x = ( sin 2 x − cos 2 x ) ( 1 − 2 sin 2 x cos 2 x )


Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
P1 = sin α + sin α cos α
4

1.

2.

2

4.

2

2

2

5.

2

6.

2

P6 = sin α tan α + cos α cot α + 2sin α cos α
2

2

7.

8.

9.

P10 = tan α +
10.

P14 =

1 − sin 2 x cos 2 x
− cos 2 x
cos 2 x

P15 =

sin 3 x + sin x cos 2 x − cos x
1 − 2sin x cos x

P16

( sin x + cos x )
=

−1

P17 =

sin 2 x + sin 2 x tan 2 x
cos 2 x + cos 2 x tan 2 x

P18 =

cot 2 x − cos 2 x
+ 1 − cos 2 x
cot 2 x

P19 =

cos 2 x − sin 2 y
− cot 2 x cot 2 y
2
2
sin x sin y

P20 =

1
sin x
cos x cot x
−
−
sin x 1 + cot x 1 + tan x

19.

cos α
1 + sin α

2

tan x − sin x cos x

16.

18.

cot α + cot β
tan α + tan β

P9 =

cos 2 x − cot 2 x
sin 2 x − tan 2 x

17.

1 − cos α
1
−
2
sin α 1 + cos α

P8 =

P13 =

15.

2

2 cos 2 α − 1

sin α + cos α

P7 =

cos x tan x
− cot x cos x
sin 2 x

14.

P5 = ( 1 − sin α ) cot α + 1 − cot α
2

P12 =

13.

P4 = cos α + cos α cot α
2

sin x + tan x
− sin x cot x
tan x

12.

P3 = sin α + sin α cot α
2

P11 =

11.

P2 = sin 4 α − cos 4 α + cos 2 α

2

3.

2

20.

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

1.

N=

A = cos x − sin x + 2sin x
4

4

2

14.

2
cot x + 1
+

tan x − 1 cot x − 1

( 1 − tan x )
O=
2

B = sin x + sin x cos x + cos x
4

2.

3.

2

2

2

C = cos 4 x + sin 2 x cos 2 x + sin 2 x

4.

−

2

4 tan x

15.

P=

16.

( 1 − cot x )
Q=
2

17.

1
4sin x cos 2 x
2

1 − tan 2 x
− ( 1 + tan 2 x ) ( 1 + cot 2 x )
tan x
2

D = cos 4 x ( 2 cos 2 x − 3 ) + sin 4 x ( 2sin 2 x − 3 )

2

cot x

2

−

1

sin x cos 2 x
2


5.

E = sin 6 x + cos 6 x − 2sin 4 x − cos 4 x + sin 2 x
F = sin x

6.

8.
9.

R=

18.

1
1
π

+
; 0 < x < ÷
1 + cos x 1 − cos x 
4

19.

tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x

S=
+
sin 2 x
cos 2 x
T=

H = cos 2 x cot 2 x + 5cos 2 x − cot 2 x + 4sin 2 x

1 − sin 6 x 3 tan 2 x
−
cos6 x
cos 2 x

20.

cot 2 x − cos 2 x sin x cos x
+
cot 2 x
cot x

I = ( 1 + cot x ) sin 3 x + ( 1 + tan x ) cos3 x − sin x cos x

10.
11.
12.

J = ( sin 4 x + cos 4 x − 1) ( tan 2 x + cot 2 x + 2 )
K = 3 ( sin 8 x − cos8 x ) + 4 ( cos 6 x − 2sin 6 x ) + 6sin 4 x
L = sin 4 x ( 1 + sin 2 x ) + cos 4 x ( 1 + cos 2 x ) + 5sin 2 x cos 2 x + 1

M = 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x ) − ( sin 8 x + cos 8 x )
2

13.

DẠNG 2: QUY ĐỔI ĐƠN VỊ, BIỂU DIỄN GÓC, TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
Bài 1. Đổi các cung sau ra độ, phút, giây:
2π
3

3π
4

5π
9

9π
5

7π
3

13π
3

π
16

π
8

π
6

5π
12

2π
3

3π
4

7π
4

π
12

5π
6

π
18

3π
16

π
17

2
3

−

−5

−

2π
7

2

15π
7

π
15

5π
6

π

4π
3

π

2

−2

3
4

10π
3

1,5

4
3

3π
7

4
7

−4

π
13

−

3π
4

−

−

5π
4

17 π
4

Bài 2. Đổi các góc sau ra radian:

90o

36o

15o

−72o

290o

240o

540o

−750o

21o

0o

60o

30o

45o

75o

120o

150o

180o

18o

−25o

135o

37 o

−225o

20o

−27 o

26o

137 o

−150o

−720o

225o

520o


−53o 30 '

40o 25'

27 o38'

−105o 45'

15o30 '

75o54 '

21o30 '

12o36 '

−78o35'

60o30 '

Bài 3. Một đường tròn có bán kính 10 cm. Tính độ dài các cung tròn có số đo như sau:

1.

2π π 3π 7π 13π
3π 2π π π
,
,
,
,
, − 2π,
,
,
,
3 18 5
3
6
4
3 15 16

75o , 37 o , 25o , 40o , 60 o , 3,

3 4
5
, , 2,
2 3

2

2.
Bài 4. Một đồng hồ có kim giờ dài 7 cm và kim phút dài 10 cm. Tính quãng đường kim phút, kim giờ đi
được trong:
15 phút, 30 phút, 45 phút, 2 giờ, 1 giờ 30 phút, 20 phút, 25 phút, 1 giờ 45 phút
Bài 5. Biểu diễn các góc sau lên đường tròn lượng giác gốc O:

30o , −45o ,120o , −120o ,330 o , 630o ,750o , −1250o ,135o , −225o ,

4π π π π 2π
π 3π 5π
, , , , , π, − , − , − , −2π
3 4 2 3 3
2
4
4

DẠNG 3: TÍNH TOÁN CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác và các biểu thức sau:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

3π 

sin x, cos x, tan x, cot x  π < x < ÷
2 

π

sin x, cos x, tan x, cot x  0 < x < ÷
2

 π

sin x, cos x, tan x, cot x  − < x < 0 ÷
 2

 π

sin x, cos x, tan x, cot x  − < x < −π ÷
 2

π
π
π 

π

 3π



sin  x + ÷, cos  − x ÷, tan  x − ÷, cot  x + ÷  0 < x < ÷
4
2
2 
2

 2



π 
π
 3π


sin ( α − π ) , cos  − α ÷, tan ( α + π ) , cot  α + ÷  0 < α < ÷
2 
2
 2


π
π  π
 3π





sin  − α ÷, cos  α + ÷, tan ( α + π ) , cot  α − ÷  < α < π ÷
2
2  2
 2




π
3π 

π

 3π


cos  α − ÷, sin  + α ÷, tan  − α ÷, cot ( α + π )  π < α < ÷
2
2 

2

 2



9.

π
π
π 
π



cos  α + ÷, sin  α + ÷, tan  α − ÷  0 < α < ÷
2
2
2 
2



sin110o , cos ( −120o ) , tan ( −145o ) , cot

10.

A = sin 40 .cos − 290
o

11.

B = sin − 25 .cos170
o

12.

13.
14.

16.

o

o

o

E = sin 50 .cos − 300

3π
 2π 
.sin  − ÷
5
 3 

H = cos

4π
π
4π
9π
.sin .tan .cot
5
3

3
5

18.
19.

21π
7

G = cot
17.

D = cos195o.tan 269o.cot − 98o
o

15.

F = sin 215o.tan

o

C = sin 225 .tan130 .cot − 175
o

5π
3

I = sin ( 110o ) .cos ( −120o )

K = tan ( −145o ) .cot

o

20.

5π
3

Bài 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:

cos α =
1.

2.

4 
π
0 < α < ÷
13 
2

3π 

sin α = −0, 7  π < α < ÷
2 

tan α =

3.

4 
π
0 < α < ÷
13 
2

cos α = −
4.

sin α = −
5.

6.

13 
π
0 < α < ÷
8 
2

cot α = −
8.

2 
3π 
π < α < ÷
5 
2 

 3π


cos α = 0,8  < α < 2π ÷
 2

tan α =

7.

15  π

 < α < π÷
7 2


19  π

 < α < π÷
7 2


tan α =
11.

7 
π
0 < α < ÷
3 
2

cot α = −

12.
sin α =

1
( 90o < α < 180o )
2

cos α =

1 
π
0 < α < ÷
4 
2

13.

14.

15.

16.

3π 

tan α = 3  π < α < ÷
2 

π


cot α = − 3  < α < π ÷
2

sin α = −

4
5

cos α = −

5
180 o < α < 270 o )
(
13

17.

18.

14  3π

 < α < 2π ÷
9  2


( 270

o

< α < 360o )

sin α =
9.

2 π

 < α < π÷
3 2


cos α = −
10.

19.

1 
3π 
π < α < ÷
4 
2 

20.

π

tan α = −2  < α < π ÷
2

 3π


cot α = −3  < α < 2π ÷
 2


Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
tan x =
1. Cho
sin x =

2. Cho

3. Cho

4. Cho

5. Cho

6. Cho

3
5

; tính:

3 π

 < x < π÷
4 2


; tính:

cot x = 2
cot x = 2

tan x = 2

7. Cho
sin x =
8. Cho

10. Cho

; tính:

; tính:
E1 =

2sin x + 3cos x
2
, E2 =
2
3sin x − 2cos x
cos x − sin x cos x

F1 =

2sin x + 3cos x
3sin x − 2 cos x

, F2 =
4sin x − 5cos x
5sin 3 x + 4 cos 3 x

; tính:

; tính:

G=
; tính:

1
( 90o < x < 180o )
3
2
3

tan x = 2

2 tan x − 3cot x
cos 2 x + cot 2 x
, B2 =
cos x + tan x
tan x − cot x

3sin x − cos x
sin x − 3cos x
, D2 =
sin x + cos x
sin x + 3cos x

D1 =

3 
π
0 < x < ÷
5 
2

cos x = −
9. Cho

B1 =

5cot x + 4 tan x
2sin x + cos x
, C2 =
5cot x − 4 tan x
cos x − 3sin x

C1 =

tan x = −2

sin x =

sin x + cos x
3sin 2 x + 12 sin x cos x + cos 2 x
sin x cos x
, A2 =

, A3 =
2
2
sin x − cos x
sin x + sin x cos x − 2 cos x
sin 2 x − cos 2 x

A1 =

I=
; tính:

cot x + tan x
cot x − tan x
H=

; tính:

8 tan 2 x + 3cot x − 1
tan x + cot x

cot x + 3 tan x
2 cot x + tan x

K1 =

; tính:

sin 3 x − cos3 x
sin x + 5cos x

, K2 =
2
sin x + sin x cos x
sin 3 x − 2 cos3 x

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
sin x + cos x =
1. Cho
2. Cho

3. Cho

5
4

tan x − cot x = 3

, tính:

, tính:

tan x − 2 cot x = −1

A1 = sin x.cos x, A 2 = sin x − cos x, A 3 = sin 3 x − cos 3 x
B1 = tan 2 x + cot 2 x, B2 = tan x + cot x, B3 = tan 4 x − cot 4 x

, tính:

2
2

3
3

C1 = tan x − cot x, C 2 = tan x + cot x

4
4
5
5

C3 = tan x + 2 cot x, C4 = tan x − 3cot x


3sin 4 x + cos 4 x =
4. Cho
3sin 4 x − cos 4 x =
5. Cho

3
4
1
2

4sin 4 x + 3cos 4 x =
6. Cho

7. Cho
8. Cho

9. Cho

sin x + cos x = m

tan x + cot x = m

, tính:

, tính:
7
4

D = sin 4 x + 3cos 4 x
E = sin 4 x + 3cos 4 x

, tính:

, tính:
, tính:

F = 3sin 4 x + 4 cos 4 x

G1 = sin x cos x, G 2 = sin 3 x + cos 3 x

4
4
G 3 = sin x + cos x, G 4 = sin x − cos x

2
2
6

6
G 5 = tan x + cot x, G 6 = sin x + cos x

H1 = tan 2 x + cot 2 x, H 2 = tan 3 x + cot 3 x

3π 

tan x − 3cot x = 6  π < x <
÷
2 


I1 = sin x + cos x, I 2 =
, tính:

2sin x − tan x
cos x + cot x

DẠNG 4: CUNG LIÊN KẾT
Bài 1. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng góc x:
1.

sin ( x − 90o )
cos ( 180 + x )

8.

o

2.

3.

4.

5.

6.

7.

sin ( 270o − x )
sin ( x − 180o )
cos ( x + 540

o

tan ( 360o − x )
cos ( 450 + x )

cot ( 180o + x )
sin ( x − 540o )

tan ( 2π − x )

o

9.

10.

11.

)

15.

sin ( π + x )

12.

13.

14.

cot ( x − π )
sin ( x − 7 π )
tan ( x − 5π )
 5π

sin  + x ÷
 2


16.

cot ( 3π − x )

17.

18.

3π 

cot  x − ÷
2 


19.

5π 

cos  x − ÷
2 


20.

 11π

tan 
+ x÷
 2


 3π

cot  + x ÷
 2


Bài 2. Dùng cung liên kết để tính các giá trị sau:
1.

2.

sin150

o

cot135

11.
o

12.

cos120

tan

o

cot ( −1380o )

21.

22.

45π
4

 16π 
cos  −
÷
 3 


3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

cos 225

tan 210

o

13.

o

14.

cot 225o

sin 240

15.

10.

tan10π

7π
6

16.
cos

o

17.

18.
sin

o

sin 240

19.

17π
3

cos

o

20.

11π
3
25π
4

cot

tan 300o

cos 390

sin13π

cot

o

cos 315

cos11π

29π
6

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

π
π


A = cos  x − ÷+ sin  x − ÷
2
2



π

π

π

π

B = cos  − x ÷+ sin  − x ÷− cos  + x ÷− sin  + x ÷
2

2

2

2

 7π

 3π

C = 2 cos x + 3cos ( π − x ) − sin  − x ÷+ tan  − x ÷
 2

 2

π


 3π

π

D = 2sin  + x ÷+ sin ( 5π − x ) + sin  + x ÷+ cos  + x ÷
2

 2

2

 7π

 3π

E = 2 cos x − 3cos ( π − x ) + 5sin  − x ÷+ cot  − x ÷
 2

 2

π

 3π

F = sin ( 5π + x ) + cos  x − ÷+ cot ( 3π − x ) + tan  − x ÷
2

 2

3π 


π
  11π

G = cos ( 15π − x ) + sin  x − ÷− tan  + x ÷cot 
−x÷
2 

2
  2

π

 3π

H = sin ( π + x ) − cos  − x ÷+ cot ( 2π − x ) + tan  − x ÷
2

 2


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 31π 
sin  −
÷
 2 
 19π 
cot  −
÷
 4 
 26π 
cos  −
÷
 3 
 −159π 
tan 
÷
 4 
 115π 
sin  −
÷
6 

 10π 
cos 

÷
 3 
 7π 
sin  − ÷
 2 
 7π 
tan  ÷
 6 


9.

 3π

 3π

I = cos ( 5π − x ) − sin  + x ÷+ tan  − x ÷+ cot ( 3π − x )
 2

 2


10.

J = cos ( 270o − x ) − 2sin ( x − 450 o ) + cos ( x + 900 o ) + 2sin ( 270 o − x )