hoctoancapba com dethi11HK2 de so 4

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
3x 2 − 2 x − 1
a) lim
x →1
x3 − 1

b) lim−
x →3

x +3
x −3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 2 :
 2 x 2 − 3x − 2

f (x) =  2 x − 4
3
 2

khi x ≠ 2
khi x = 2

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x − 3

a) y =
b) y = (1 + cot x )2
x −2
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường cao
vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh: CD ⊥ BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥ (BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
cos2 x − x = 0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 + 9 x + 2011 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ′( x ) ≤ 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (−1; 2) :
(m 2 + 1) x 2 − x 3 − 1 = 0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y =

2x2 + x + 1
có đồ thị (C).
x −1

a) Giải phương trình:
y′ = 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

SBD :. . . . . . . . . .


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Câu
1

Ý
a)

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 4
Nội dung
lim

2

3x − 2 x − 1

x →1

= lim

x3 − 1
3x + 1

x →1 x 2

b)

2

= lim

( x − 1)(3 x + 1)

x →1 ( x − 1)( x 2

=

0,50

+ x + 1)

4
3

0,50

+ x +1
 lim(
x − 3) = 0
 x →3−

−
Viết được ba ý  x → 3 ⇔ x − 3 < 0
 lim( x + 3) = 6 > 0
 x →3−

x +3
Kết luận được lim−
= −∞
x →3 x − 3
 2 x 2 − 3x − 2
khi x ≠ 2

f (x) =  2 x − 4
3
khi x = 2
 2
Tập xác định D = R. Tính được f(2) =

0,75

0,25

0,25
3
2

( x − 2)(2 x + 1)
2 x 2 − 3x − 2
2x +1 5
= lim
=
lim
=
x →2
x →2

x →2
x →2
2( x − 2)
2x − 4
2
2
Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2.
−1
2x − 3
⇒ y' =
y=
( x − 2)2
x −2
lim f ( x ) = lim

3

a)
b)

4

Điểm

 −1 
2
y = (1 + cot x )2 ⇒ y′ = 2(1 + cot x )  2 ÷ = −2(1 + cot x )(1 + cot x )
 sin x 

0,50

0,25
0,50
0,50

a)

0,25

a)
b)
c)

AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ⇒AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD
(1)
AH ⊥ CD
(2). Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (AHB) ⇒ CD ⊥ BH
AK⊥ BH, AK ⊥ CD (do CD ⊥ (AHB) (cmt)
⇒ AK⊥ (BCD)
Ta có AH ⊥ CD, BH ⊥ CD ⇒ ( ( BCD ),( ACD ) ) = ·AHB
2

0,25
0,50
0,50
0,50
0,25


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Khi AB = AC = AD = a thì AH =

BH =

5a

AB 2 + AH 2 = a2 +

CD a 2
=
2
2

a2 a 6
=
2
2

0,25

AH
1
cos·AHB =
=
BH
3

0,25

 π
Đặt f(x) = cos2 x − x ⇒ f(x) liên tục trên (0; +∞) ⇒ f(x) liên tục trên  0; 
 2

0,25

π 
π 
π
f (0) = 1, f  ÷ = −
⇒ f (0). f  ÷ < 0
2
2
2

6a

a)

0,50

 π
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên  0; ÷
 2
y = f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 + 9 x + 2011 ⇒ f ′( x ) = −3 x 2 − 6 x + 9
BPT f ′( x ) ≤ 0 ⇔ −3 x 2 − 6 x + 9 ≤ 0

b)
5b

 x ≤ −3
⇔ 
x ≥ 1

x0 = 1 ⇒ y0 = 2016 , f ′(1) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016
Đặt f(x) = (m 2 + 1) x 2 − x 3 − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [ − 1; 2]
⇒ phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0) ⊂ ( −1; 2 ) (đpcm)

a)

b)

0,25
0,25
0,25

f (−1) = m 2 + 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1). f (0) < 0, ∀m ∈ R

6b

0,25

2x − 4x − 2
2x2 + x + 1
, TXĐ : D = R\{1}, y ' =
( x − 1)2
x −1

0,50
0,50
0,50
0,25
0,50

0,25

2

y=

x = 1− 2
2
2
Phương trình y’ = 0 ⇔ 2 x − 4 x − 2 = 0 ⇔ x − 2 x − 1 = 0 ⇔ 
 x = 1 + 2
Giao của ( C) với Oy là A(0; –1)
x = 0, y = −1, k = f ′(0) = −2
0

0

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2 x − 1

3

0,50
0,50
0,25
0,20
0,50