02 bài giảng số 2 không gian vecto euclide và các dạng bài tập

Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Bài giảng số 2. Tích vô hướng – Không gian véc tơ Euclide
I. Tóm lược lý thuyết.
Định nghĩa 2.1: Cho E là không gian véc tơ trên trường số thực  , một tích vô
hướng trên E là một ánh xạ , : E  E  

( x, y)  x, y 
thoả mãn các điều kiện sau:
i)
 x , y    y , x ,
ii)
iii)
iv)

 x  y, z    x, z    y, z ,
<   x, y     x, y ,
 x, x  0 x  E và  x, x   0  x  0.

Định nghĩa 2.2: Không gian véc tơ E trên trường số thực  được gọi là không
gian véc tơ Euclide nếu trên E có một tích vô hướng.
Định nghĩa 2.3: Độ dài của một véc tơ x của không gian véc tơ Euclide E với tích
vô hướng < , > được xác định bởi: x   x, x 
Tính chất 2.4: Độ dài của véc tơ trong không gian Euclide E có các tính chất đơn
giản sau:
i) x  0  x  0 ;
ii)  x   x , trong đó    ;
iii)  x, y   x y

(Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovxki);

iv) x  y  x  y

(Bất đẳng thức tam giác).

Định nghĩa 2.5: Đối với hai véc tơ x và y của không gian véc tơ Euclide thì ta gọi
góc  giữa x và y được xác định bởi công thức:

cos  

 x, y 
x y

Định nghĩa 2.6: Hai véc tơ u và v của không gian véc tơ Euclide E là trực giao
nhau nếu  u, v   0.
Định nghĩa 2.7: Giả sử E là không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều. Một cơ sở
{v1 , v2 , , vn } là cơ sở trực giao của E nếu  vi , v j   0 với mọi i, j  1, 2, , n
thoả mãn i  j . Nó là cơ sở trực chuẩn nếu thoả mãn thêm điều kiện vi  1 với
mọi i = 1, 2,…, n.
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Mệnh đề 2.8: Giả sử E là không gian Euclide hữu hạn có cơ sở trực chuẩn là
{v1 , v2 , , vn } thì với mọi véc tơ u  E , ta có:

u  u, v1  v1   u , v2  v2     u , vn  vn .
Định lý 2.9: Nếu hệ véc tơ {v1 , v2 , , vn } của không gian véc tơ Euclide hữu hạn
chiều E là trực giao từng đôi một thì hệ đó độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 2.10: Cho {v1 , v2 , , vn } là hệ véc tơ trực giao từng đôi một trong không
gian véc tơ Euclide E . Ta có:
2

2

2

v1  v2    vn  v1  v2    vn
2

2

2

Với n = 2, ta có đẳng thức Pitago như sau: v1  v2  v1  v2

2

Định lý 2.11: Mỗi không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều đều có một cơ sở trực
chuẩn.
Phương pháp trực giao hoá Gram-schmidt.
Giả sử {u1 , u2 , , un } là một cơ sở bất kì của không gian véc tơ Euclide hữu hạn
chiều E .
Đặt v1  u1. Gọi véc tơ v2  u2  1v1 , trong đó 1 thoả mãn v2 , v1  0, ta có:

 u2  1v1 , v1   0  1 

 u2 , v1   u2 , v1 

2
 v1 , v1 
v1

Tổng quát hoá lên, ta tìm vs 1  u s1  1v1   2v2     s vs trực giao với các véc tơ
v1, v2, …, vs, điều này là tương đương với tìm các số thực 1 ,  2 ,..., s sao cho

 vi , vs 1  0 với mọi i = 1, 2, …, s.
Ta có  vi , vs1  0   vi , us 1  1  vi , v1     i  vi , vi   s  vi , vs  0

  vi , u s 1   i  vi , vi  0   i 
Vậy vs+1 = us+1 -

 vi , us 1   vi , u s 1 

với i = 1, 2, …, s
2
 vi , vi 
vi

 v1 , u s 1 
 v2 , u s1 
v ,u 
v1 v2 - …- s s21 vs với s = 1,…, n -1.
2
2

v1
v2
vs

Hệ véc tơ {v1 , v2 , , vn } là hệ cơ sở trực giao. Đặt ei 

vi
với i = 1, 2, …, n thì
vi

{e1, e2, …, en} là hệ cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ Euclide E.

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Định nghĩa 2.12: Cho không gian véc tơ Euclide E, F là một không gian con của
E. Véc tơ x  E được gọi là trực giao với F nếu nó trực giao với mọi véc tơ của F.
Ta kí hiệu x  F .
Tập tất cả các véc tơ vuông góc với F trong E kí hiệu là F  .
Định nghĩa 2.13: Hai không gian con U và V của không gian véc tơ Euclide E
được gọi là trực giao với nhau nếu một véc tơ bất kì thuộc U trực giao với một véc
tơ bất kì thuộc V.
Tính chất 2.14: Giả sử F là một không gian con k - chiều của không gian véc tơ
Euclide n- chiều E thì F  là một không gian con (n-k) - chiều của E và F  trực
giao với F trong E.

Nếu F = {0} thì F   E , còn nếu F = E thì F   {0}.
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:
Cho 2 véc tơ x  ( x1 , x2 )  E   2 và y  ( y1 , y2 )  E
Xét biểu thức:  ( x, y )  2 x1 y1  5 x2 y2  x1 y2  x2 y1 .
Chứng minh rằng  là tích vô hướng trên E.
Giải:
Với ( x, y )  E 2 , thì  ( x, y )  .
i) ( x, y )  E 2 ,  ( y, x)  y1 x1  5 y2 x2  y1 x2  y2 x1   ( x, y ).
ii) ( x, x ' , y )  E 3 , ( ,  ' )   2 , ta có:

 ( x   ' x ' , y )  2( x1   ' x1' ) y1  5( x2   ' x2' ) y2  ( x1   ' x1' ) y2  ( x2   ' x2' ) y1
  (2 x1 y1  5 x2 y2  x1 y2  x2 y1 )   ' (2 x1' y1  5 x2' y 2  x1' y 2  x2' y1 )
  ( x, y )   ' ( x ' , y ) .

iii) x  E ,  ( x, x )  2 x12  5 x22  2 x1 x2  2( x1 

1 2 9 2
x2 )  x2  0
2
2

1

1 2 9 2
 x1  x2  0
iv)  ( x, x)  2( x1  x2 )  x2  0  
 x1  x2  0
2
2

2
 x2  0
Hay x  0. Vậy  là một tích vô hướng trên E.
Ví dụ 2:
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Các véc tơ u, v, w của không gian véc tơ Euclide E với tích vô hướng chuẩn
tắc thoả mãn các điều kiện sau:
 u, v   2,  v, w   3,  u , w   5, u  1, v  2, w  7 .
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)  u  v, v  w 
2) 2w  v

3) u  2v  4w

Giải:
1) Theo tính chất của tích vô hướng ta có:
2

 u  v, v  w  u , v    u , w    v, v    v, w  2  5  v  3  8
2

2 w  v  2 w  v, 2 w  v  4  w, w  2  w, v  2  v, w    v, v 

2)

2

2

 4 w  4  v, w   v  212  2 w  v  212
2

3) u  2v  4 w  u  2v  4 w, u  2v  4 w 
 u , u   4  u , v   8  u , w  16  v, w   4  v, v   16  w, w 
 1  8  40  48  16  784  881  u  2v  4 w  881.
Ví dụ 3:
Cho tích vô hướng  ( x, y )  2 x1 y1  5 x2 y2  x1 y2  x2 y1 trên không gian véc
tơ Euclide  2 .
1) Tính độ dài và góc giữa hai véc tơ f1 (1,1) và f 2 (1, 1).
2) Xác định một cơ sở trực giao của  2 đối với tích vô hướng trên.
3) Cho véc tơ u(1,1), xác định toạ độ của u đối với cơ sở trên.
Giải:
2

1) Cho x  ( x1 , x2 ), ta có x   ( x, x )  2 x12  5 x22  2 x1 x2 .
Vậy f1  5, f 2  3 . Góc giữa hai véc tơ là:

cos( f1 , f 2 ) 

 ( f1 , f 2 ) 1

.
f1 f 2

5

2) Gọi e1 (1, 0), e2 (0, 1) là cơ sở của  2 . Áp dụng quá trình trực giao hoá Gramschmidt ta có:

e1   (e1 , e1 )  2 . Đặt v1 

1
1
e1  ( , 0)
2
2

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Cho u2  e2   (e2 , v1 )v1 , ta có  (e2 , v1 )  

1
1
1
 u2  e2  e1  ( ,1)
2
2
2

Và u2   (u2 , u2 ) 

u
2 2
3
).
. Đặt v2  2  ( ,
u2
6 3
2

Vậy {v1, v2} là cơ sở trực giao cần tìm của  2 đối với tích vô hướng  .
3) Tìm toạ độ của u (1,1) đối với cơ sở {v1, v2}.
Cách 1: Giả sử u   v1   v2 , ta có  

1
3
, 
, vậy toạ độ của u đối với cơ
2
2

1 3
,
).
2 2
Cách 2: Ta có u   (u , v1 )v1   (u, v2 )v2 , trong đó
sở {v1, v2} là u (

 (u, v1 ) 

1
3
1 3
và  (u, v2 ) 
. Vậy u( ,
).
2
2
2 2

Ví dụ 4:
Cho ánh xạ f :  2 ( x)   2 ( x)   xác định như sau:
Với mọi p, q   2 ( x), p  a 0  a1 x  a 2 x 2 , q  b0  b1 x  b2 x 2 ta có:

f ( p, q )  a0b0  a1b1  a2b2
1) Chứng minh rằng f là một tích vô hướng trên  2 ( x);
2) Hãy trực giao hóa Gram-schmidt hệ cơ sở:

u

1

 3  4 x  5 x 2 , u2  9  12 x  5 x 2 , u3  1  7 x  25 x 2  của  2 ( x) để được một cơ

sở trực giao của  2 ( x).
Giải:
1) f là một tích vô hướng trên  2 ( x) .
i) Với mọi p, q   2 ( x), p  a 0  a1 x  a 2 x 2 , q  b0  b1 x  b2 x 2 , ta có:

f (q, p )  b0 a0  b1a1  b2 a2  f ( p, q )
ii) Với p, q, r   2 ( x), p  a0  a1 x  a2 x 2 , q  b0  b1 x  b2 x 2 , r  c0  c1 x  c2 x 2

 ,   , ta có:
f ( p   q , r )  ( a0   b0 )c0  ( a1   b1 )c1  ( a2  b2 )c2
  (a0c0  a1c1  a2c2 ) +  ( b0c0  b1c1  b2c2 )
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

  f ( p, r )   f (q, r ).
iii) f (r ,  p   q )  c0 ( a0  b0 )  c1 ( a1  b1 )  c2 ( a2  b2 )
=  ( c0 a0  c1a1  c2 a2 ) +  ( c0b0  c1b1  c2b2 )

  f (r , p)   f (r , q).
iv) f(p, p) = a02  a12  a22  0 và f ( p, p)  0  a0  a1  a2  0 hay p = 0.
2) Áp dụng quá trình trực giao hoá Gram-schmidt, ta có:
v1  3  4 x  5 x 2
v2  u2 

f (v1 , u2 )
100
v1  9  12 x  5 x 2 
(3  4 x  5 x 2 )  3  4 x  5 x 2
f (v1 , v1 )
50

v3  u3 

f (v1 , v3 )
f (v2 , v3 )
v1 
v2
f (v1 , v1 )
f (v2 , v2 )

 1  7 x  25 x 2  3(3  4 x  5 x 2 )  3(3  4 x  5 x 2 )
 4  3 x.
Hệ véc tơ {v1, v2, v3} là cơ sở trực giao cần tìm của  2 ( x).
Ví dụ 5:
Cho  – kgvt E   2 ( x) , với mọi cặp  P, Q   E 2 .
Xét  P , Q   P (0)Q (0)  P ' (1)Q ' (1)  P "Q "
1) Chứng minh rằng biểu thức trên xác định một tích vô hướng trên E
2) Xác định cơ sở trực giao của E đối với tích vô hướng trên từ cơ sở

1,

x, x 2  của  2 ( x).

Giải:
1) Cho các đa thức P, Q, Q1  E và  ,   
i)  P, Q  
vì P (0), Q (0), P ' (1), Q ' (1) và P " , Q" , P (0), Q(0), P '(1), Q '(1), P '' , Q ''   .
ii)  P,  Q   Q1   P (0)( Q   Q1 )(1)  P '(1)( Q   Q1 )'(1)  P "( Q   Q1 )"

  [ P(0)Q(0)  P ' (1)Q ' (1)  P ''Q '' ]   [ P (0)Q1 (0)  P ' (1)Q1' (1)  P ''Q1'' ]

   P, Q     P, Q1  .
iii)  P , P   P (0) 2  P ' (1) 2  ( P " ) 2  0

 P, P   0  P (0)  P '(1)  P "  0  P  0 .
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Vậy <, > là tích vô hướng trên E.
2) 1, x, x 2  là cơ sở chính tắc của E . Dùng phương pháp trực giao hoá Schmidt
như sau:

Q0  1,  Q0 , Q0  Q 0 (0)Q0 (0)  1  Q0  1
Đặt P0  1 và Q1  x   x, P0  P0 . Vì  x, P0  0  Q1  x.
Ta có  Q1 , Q1   Q1' (0)Q1' (0)  1  Q1  1, đặt P1  x.
Lại đặt Q2  x 2   x 2 , P0  P 0   x 2 , P1  P1 . Vì  x 2 , P0  0 và  x 2 , P1   2 nên
Q2  x 2  2 x.

x2
Vì  Q 2 , Q2  4 nên Q2  2 . Vậy nếu đặt P2   x thì ta có hệ véc tơ
2
{P0, P1, P2} là cơ sở trực chuẩn của E cần tìm.
Ví dụ 6:
Cho không gian véc tơ Euclide V   2 ( x) là tập các đa thức có bậc không
vượt quá hai với hệ sô thực. Xét biểu thức:
1

 p1 , p2    p1 ( x ) p2 ( x)dx

(1)

1

1) Chứng minh rằng biểu thức (1) xác định một tích vô hướng trên V;
2) Tìm cơ sở và số chiều của không gian con trực giao với véc tơ p1  1;
3) Xác định một cơ sở trực giao của V.
Giải:
1

1) Với mọi p1 ( x ), p2 ( x )   2 ( x) ta có  p1 , p2    p1 ( x ) p2 ( x)dx nên
1

 p1 , p2   .
Với mọi p1 ( x), p2 ( x), q ( x )   2 ( x ) và mọi  ,    , ta có
1

1

1

  p1   p2 , q    ( p1   p2 )( x )q( x )dx    p1 ( x )q( x )dx    p2 ( x)q( x)dx
1

1

   p1 , q     p2 , q  .

1

 p, p    p( x) 2 dx  0 , với mọi p ( x)   2 ( x ), ta có:
1

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

1




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide
1

 p, p   0   p( x )2 dx  0 với  x  

(2)

1

nếu p( x)  0, tức là x0 , p ( x0 )  0 , khi đó
1

 p( x0 ), p( x0 )    p( x0 ) 2 dx  2 p( x0 )2  0
1

điều này mâu thuẫn với (2). Vậy p( x)  0 với mọi x   hay p = 0.
2) Giả sử p(x) là đa thức thuộc không gian con trực giao với p1  1 , vậy ta có:

1

 p ( x),1    (ax 2  bx  c ).1dx  0
1

3

x
x2
 (a  b  cx)
3
2
 a  3c .

1
1

a
 0  2(  c)  0
3

Vậy mỗi đa thức thuộc không gian con trực giao với đa thức p1  1 có dạng
p  c(1  3 x 2 )  bx.

Không gian con trực giao với p1  1 có dạng: span{ x,1  3 x 2 }.
3) Xét hệ véc tơ cơ sở 1, x, x 2  của  2 ( x) , dùng phương pháp trực giao hoá
Gram –schmidt ta có:
1

 1,1    1.1dx  2  1  2 . Đặt q1 

1

1
2

1

1
 xdx
 x,1 
2
1
Cho p2  x 
1 x 
 x  0  x , ta có  x, x    x 2dx 
1
3
2
1

2
3
. Đặt q2 
x
2
3

Vậy p2 

Cho p3  x 2   x 2 ,1  .1  x 2 , x  .x  x 2 

2
.
3

1

p
5 2 2
2
2
(x  ) .
Ta có: p3  p3 , p3    ( x 2  ) 2 dx  . Đặt q3  3 
p
2
3
3
5
1
3
2

Vậy {q1 , q2 , q 3} là cơ sở trực giao cần tìm.
Ví dụ 7:
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Cho không gian véc tơ Euclide M 22 () với tích vô hướng

 u11 u12 
v v 
, V   11 12 
 U , V   u11v11  u12v12  u21v21  u22v22 , trong đó U  

 u21 u22 
 v21 v22 
0 
 m m  1
1
1) Hãy tìm tham số m để hai véc tơ A  
,
B

 m m  1  trực
m 
1


giao với nhau;
2) Với m tìm được hãy kiểm tra lại đẳng thức Pitago.
Giải
1) Ta có:  A, B   m  m  m(m  1)  m 2  m . Để A và B trực giao với

m  0
nhau thì <A, B>= 0  m2 +m = 0  

 m  1
 0 1 
1 0 
 1 1 
2) Với m = 0, thì A  
và
,
B

A

B


 0 1 
 1 1 
1 0 





A   A, A   2, B   B, B   2,
2

2

2

A  B   A  B, A  B   4  2. Dễ thấy: A  B  A  B .

 1 2 
1 0
 0 2 
Với m  1 , thì A  
và A  B  
, B



 1 1 
 1 2 
 0 3 

A   A, A   7 , B   B, B   6 , A  B   A  B, A  B   13
2

2

2

Dễ thấy: A  B  A  B .
Ví dụ 8:
Cho không gian véc tơ Euclide  4 với tích vô hướng chuẩn tắc. Xác định
cơ sở trực giao của không gian con trực giao với không gian nghiệm của hệ
 x1  x2  x3  x4  0
phương trình: 
.
 x1  x2  x3  x4  0
Giải:
 x1   x3

Giải hệ phương trình trên ta có 
.
x


x
 2
4
Suy ra nghiệm tổng quát của hệ có dạng:
x  (a, b,  a,  b)  a(1, 0,  1, 0)  b(0,1, 0,  1) (a, b  ).
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Vậy không gian nghiệm H của hệ phương trình thuần nhất là:
H = span{v1 (1, 0, -1, 0), v2 (0, 1, 0, -1)}
Giả sử y  ( y1 , y2 , y3 , y4 )  H  , ta có:

 y  y3
 y, v1   0  y1  y3  0

 1
.


y

,
v

0
y

y

0
y

y

 2
 2
2
4
4

Vậy H  {(c, d , c, d ) | c, d  }  span { u1 (1, 0,1, 0), u2 (0,1, 0,1)} .
Dễ thấy <u1, u2 >  0, nên {u1, u2} là cơ sở trực giao cần tìm của H  .
Ví dụ 9:
Trong không gian véc tơ Euclide M 22 () với tích vô hướng

 U , V   u11v11  u12v12  u21v21  u22v22

 u11 u12 
 v11 v12 
,
V


trong đó U  

 v v  , cho không gian con W xác định bởi
 u21 u22 
 21 22 
 ta 0 

W  
: t    với a, b khác không.

 0 tb 

Hãy tìm cơ sở W  . Từ đó suy ra một cơ sở trực chuẩn của W  .
Giải:
 a 0
W có véc tơ cơ sở là T  
.
0 b
m n
Giả sử H  
W  , ta có H  W hay  H , T   0

 p q
 m n  a 0
 
, 
   0  ma  qb  0, tức là m  kb và q  ka với mọi k.
 p q 0 b

 kb n 

 b 0   0 1   0 0  
:
k
,
n
,
p



span
Vậy W   



 ,  0 0  ,  1 0 
p

ka
0

a



 
 





b 0 
0 1
0 0
Cơ sở của W  là { E1  
, E2  
, E3  


} .
0

a
0
0
1
0







Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Dễ thấy {E1, E2, E3} là hệ trực giao vậy hệ: {

b


0


1 0
0 0
E1  a 2  b 2
 , W2  E2  
W1 

, W3  E3  

 } là một
E1 
a 
E2  0 0 
1
0


0


2
2 
a b 

cơ sở trực chuẩn của W  .
Ví dụ 10:
Giả sử E là không gian véc tơ Euclide với hạng hữu hạn. Cho U1, U2 là những
không gian con của V. Chứng minh rằng:
1) (U 1  U 2 )   U 1  U 2 ;
2) (U 1  U 2 )   U 1  U 2 .
Giải

 x U1  x  U1
1) Nếu x U  U  

 x  (U 1  U 2 )  x  (U1  U 2 ) 

x  U2
 x U 2

1

Suy ra:


2

U 1  U 2  (U 1  U 2 ) 

(1)

Mặt khác nếu:

 x  (U 1  0)  x U1
x  (U 1  U 2 )  x  (U1  U 2 )  

 x  U1  U 2 .

 x  (U 2  0)  x U 2
Vậy ta có (U 1  U 2 )   U1  U 2
(2)


Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
2) Ta có: x  U1  U 2  x  (U 1  U 2 )   U 1  U 2 (theo câu 1)
 x  (U1  U 2 ) 

Vậy: U1  U 2  (U1  U 2 )  .
III. Bài tập tự giải
Bài 1: Các véc tơ u, v, w của không gian véc tơ Euclide E với tích vô hướng chuẩn
tắc thoả mãn các điều kiện sau:
 u, v   2,  v, w   3,  u , w   5, u  1, v  2, w  7 .
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)  2v  w, 3u  2w  2)  u  v  2w, 4u  v  3) u  v
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Bài 2: Kiểm tra xem các biểu thức sau đây, biểu thức nào xác định một tích vô
hướng ?
1)  2 :  u , v   2u1v1  u2v2 ;
2)  2 :  u , v  u1v1  u1v2  u2v1  u2v2 ;
3)  3 :  u , v   u12v12  u22v22  u32v32 .
1
2
2
Bài 3: Chứng minh rằng  u , v  ( u  v  u  v ) với mọi véc tơ u, v thuộc
4
không gian véc tơ Euclide E.
Bài 4: Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con bù trực giao với không gian
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trong  4 sau:
0
 x1  x2  3 x3
x  x  x  2x  0
 1 2 3
4

 2 x1  x2  4 x3  x4  0
 x1  2 x2  5 x3  x4  0
Bài 5: Áp dụng phương pháp trực giao hoá Gram-schmidt để tìm một cơ sở trực
chuẩn của các không gian Euclide từ các hệ cơ sở sau:
1) {u1(2, 2, -1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, -5)} của  3 ;

2) {u1(0, 2, 1, 0), u2 (1, -1, 0, 0), u3 (1, 2, 0, -1), u4(1, 0, 0, 1)} của  4 .
Bài 6: Trong không gian véc tơ Euclide  2 , cho không gian con:

W  ( x, y )   2 : x  2 y  0 . Tìm không gian con trực giao W  đối với tích vô
1
hướng:  u , v   u1v1  u2v2  (u1v2  u2v1 ).
2
Bài 7: Cho E là không gian véc tơ Euclide, E1 và E2 là các không gian con của E
sao cho E1  E2  E . Chứng minh rằng E1  E2  E .

Bài 8: Cho E   4 với tích vô hướng chuẩn tắc. Hãy tìm các không gian con bù
trực giao với các không gian con Ei của E sau:
1) E1 = span {(3, 2, 0, 4), (1, 0, 0, -2), (0, 1, 3, 2)};
2) E2 = {(x1, x2, x3, x4)   4 | 2x1 +3x2 –x4 = 0}.
Bài 9: Chuẩn hoá các véc tơ sau:
1) x  e1  2 2e2  3 3e3  8e4  5 5e5 ;
Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

2) x  e1 sin 3   e2 sin 2  cos   e3sin  cos   e4 cos  .
Bài 10: Giả sử {e1, e2, …, en} là một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ
Euclide E. chứng minh rằng với mọi u  E , ta có:
2

u  u , e1  2     u , en  2 .

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục