03 bài giảng số 3 ma trận trực giao và các dạng toán liên quan

Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Bài giảng số 3. Ma trận trực giao – Ma trận đối xứng
I. Tóm lược lý thuyết
Định nghĩa 3.1: Một ma trận vuông A với hệ số thực và thoả mãn điều kiện: A1  At
được gọi là ma trận trực giao.
Mệnh đề 3.2: Nếu A là ma trận trực giao với hệ số thực thì A1 là ma trận trực giao và
det( A)  1 .
Mệnh đề 3.3: Giả sử rằng b  u1 , u2 ,, un  và c  v1 , v2 ,, vn  là hai cơ sở trực chuẩn
của không gian véc tơ Euclide E , thì ma trận chuyển P từ cơ sở c cơ sở b là một ma
trận trực giao.
Mệnh đề 3.4: Cho A là ma trận vuông cấp n với hệ số thực.
i) A là ma trận trực giao khi và chỉ khi hệ véc tơ cột của A lập thành một cơ sở
trực chuẩn của  n với tích vô hướng chuẩn tắc của  n .
ii) A là ma trận trực giao khi và chỉ khi hệ véc tơ dòng của A lập thành một cơ sở
trực chuẩn của  n với tích vô hướng chuẩn tắc của  n .
Mệnh đề 3.5: Giả sử A là ma trận cấp n với hệ số thực. Trên không gian véc tơ Euclide
 n với tích vô hướng chuẩn tắc, ta có các mệnh đề sau là tương đương:
i) A là ma trận trực giao.
ii) Với mọi x   n , ta có Ax  x .
iii) Với mọi u , v   n , ta có  Au, Av  u, v  .
Định nghĩa 3.6: Một ma trận A vuông cấp n với hệ số thực được gọi là chéo hoá trực
giao được nếu tồn tại một ma trận trực giao P với hệ số thực sao cho P 1 AP  Pt AP là
ma trận chéo với hệ số thực.
Mệnh đề 3.7: Nếu A là ma trận vuông với hệ số thực, chéo hoá trực giao được thì A là
ma trận đối xứng.
Mệnh đề 3.8: Cho A là ma trận vuông cấp n với hệ số thực. A là chéo hoá trực giao
được khi và chỉ khi A là đối xứng.
Mệnh đề 3.9: Nếu A là ma trận đối xứng với hệ số thực thì tất cả các giá trị riêng của A

đều thực.
Mệnh đề 3.10: Nếu u1, u2 là các véc tơ riêng của ma trận đối xứng A tương ứng với hai
giá trị riêng khác nhau thì  u1 , u2   0. Nói cách khác các véc tơ riêng của ma trận đối
xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao nhau.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Mệnh đề 3.11: Cho A là ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực. Khi đó với mọi véc tơ
v   n , ta luôn có  Av, v .
Quá trình chéo hoá trực giao
Giả sử A là một ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực.
Bước 1: Xác định n nghiệm thực 1 , 2 , , n của đa thức đặc trưng det ( A   I ) , tìm n
véc tơ riêng độc lập tuyến tính u1 , u2 ,, u n  của A tương ứng với các giá trị riêng này
như trong quá trình chéo hoá ma trận.
Bước 2: Áp dụng quá trình trực giao hoá Gram-schmidt đối với hệ véc tơ riêng
u1 , u2 ,, un  để được hệ véc tơ trực giao v1 , v2 ,, vn  của A.
Bước 3: Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v1 , v2 ,, vn  của A để được hệ véc tơ trực
chuẩn w1 , w2 ,, wn  của A. Đây là một cơ sở trực chuẩn của  n . Thêm nữa, viết:

 1


 ở đây  ,  ,    là giá trị riêng của A và
P  ( w1 w2  wn ) và D  


1
n



n 

w1 , w2 , , wn   n là các véc tơ riêng trực chuẩn hoá, thì P t AP  D.
II. Các ví dụ minh hoạ

a  b b  a
Ví dụ 1: Cho ma trận A  
 (a, b ) . Tìm a, b để A là ma trận trực giao.
a

b
b

a


Giải:
Gọi v1, v2 là các véc tơ cột của ma trận A . Ma trận A là trực giao khi và chỉ khi :

 v1  v2  1 (a  b) 2  (b  a )2  1
1

 a 2  b2  .

2

(a  b)(b  a )  (a  b)(b  a)  0
 v1 , v2  0
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi giá trị của a ma trận sau
2 a
 1
1 
A
2a 1  2a 2
2 
1  2a  2
2a
 2a

2a 2 

2a  là ma trận trực giao. Hãy tìm A1.
1 

Giải:

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Xét hệ véc tơ cột của ma trận A gồm các véc tơ:
 2a 

 2a 2 
 1 
 1  2a 2 
 1  2a 2 
 1  2a 2 






2a 
1  2a 2 
2a 



v1 
,v 
,v 
}
 1  2a 2  2  1  2a 2  3  1  2a 2 






2
 2a 

 1 
 2a 
 1  2a 2 
 1  2a 2 
 1  2a 2 





{

dễ thấy {v1, v2, v3} là một cơ sở của 3 và đối với tích vô hướng chuẩn tắc, ta có:
 v1 , v2  v2 , v3  v3 , v1   0

 v1  v2  v3  1
Vậy các véc tơ {v1, v2, v3} là một cơ sở trực chuẩn của 3 nên A là ma trận trực giao.
2a
 1
1

Ta có: A1  At 
2 a 1  2 a 2
2 
1  2a  2
2 a
 2a
Ví dụ 3:
Xét ma trận:

2a 2 

2a  .
1 

 1
 6
3


A   6
2
2


 3

2
3


1) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng của ma trận A.
2) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 gồm các véc tơ riêng của A .
3) Tìm ma trận P sao cho Pt AP là ma trận chéo.
Giải
1) Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng sau:

1 

 6

3

A  I  0   6

2

2 0

3

2

3 

   2
  (  4) 2 (  2)  0  
  4 (boi )
Với   2 , toạ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

 3 x1  6 x2  3x3  0

 x1   3 x3

 A  2 I  x  0   6 x1  4 x2  2 x3  0  
 x2   2 x3

3
x

2
x

5
x

0
1
2
3

 3


Chọn x3  1, thì véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 2 là v1    2 
 1 




Với   4 , toạ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 3 x1  6 x2  3 x3  0

A


4
I
x

0



 6 x1  2 x2  2 x3  0  x3  3 x1  2 x2

 3 x1  2 x2  x3  0





Nghiệm tổng quát của hệ có dạng: a, b, 3a  2b  a (1, 0, 3)  b(0,1, 2) .

 1 

 

Vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 4 là : v2   0  , v3  
 3

 

2) Nếu v1 và v2 là hai véc tơ riêng của A ứng với hai giá trị riêng

0 

1 
2 
2 và 4 thì

v1  v2  ( 6, 4, 2) là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  4 .
Vậy hệ véc tơ {v1 , v2 , v1  v2 } là một hệ cơ sở trực giao. Ta trực chuẩn hoá bằng cách đặt


v1
v
v  v 
, u2  2 , u3  1 2  , thì ta thu được hệ véc tơ
u1 
v2
v2
v1  v2 

 1 
 1 
 1 
 2 


2







 2 
 2 
 1 
{u1  
, u 2   0  , u3  
} là một cơ sở trực chuẩn của 3 gồm các véc tơ


3
3






3


 1 
 1 


 2 


 6
 12 

riêng của A.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide





3) Lập ma trận: P  (u1 u2 u3 )  





1
2

1
2

1
3

0

1
6

3
2

1 
2 

2 
 .
3 
1 

12 

 2 0 0 
Dễ thấy P là ma trận trực giao nên Pt  P 1 và P t AP   0 4 0  .
 0 0 4


Ví dụ 4: Hãy chéo hoá trực giao ma trận sau:
 7 24 0 0 
 24 7 0 0 
.
A
 0 0 7 24 



 0 0 24 7 
Giải:
Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng:
7  
24
0
0
A  I  0 

7
 ( 7   )

0
0

7
0
0

24
0
0
0

0
0
0
7  
24
24

7
0

24

7  
24  24 0
24
7
0

0

0

7  
24  0
24
7

 (  7)(  7)[(  7)(  7)  242 ]  24 2[(  7)(  7)  242 ]  0
 [(  7)(  7)  242 ]2  0     25
Với   25 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 32 x1  24 x2  0
 x1  3a
 24 x  18 x  0

 4 x1  3 x2  0
 1
 x2  4 a

2


( a, b   )


32
x

24
x

0
4
x

3
x

0
x

3
b
3
4
 3
4

 3

 24 x3  18 x4  0
 x4  4b
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

3
0
 4
0
Vậy hai véc tơ riêng tương ứng của giá trị riêng 25 là : u1    , u2   
0
3 
 
 
0
4
Với   25 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
18 x1  24 x2  0
 x1  4c
 24 x  32 x  0

3 x1  4 x2  0
 1
 x2  3c
2



(c , d   )

18
x

24
x

0
3
x

4
x

0
x

4
d
4
 3
4
 3
 3
 24 x3  32 x4  0
 x4  3d
 4

0
 3 
0


Vậy hai véc tơ riêng tương ứng của giá trị riêng 25 là: u3 
, u  
0 4  4
 
 
0
 3 
Dễ thấy u1 , u2 , u3 , u4  là một hệ véc tơ trực giao.
Bằng cách đặt:

3
0
 4 
 0 
5
0
 5 
 0 
 
 
 
 
u1  4 
u2  3 
u3  3 

u4  4 
v1 

, v2 

, v3 

, v4 

,
u1  5 
u2  5 
u3  5 
u4  5 
0
 
 0 
 
 
4
 
3
0
 
 0 
 
 
5
 
 5

ta nhận được một hệ trực chuẩn {v1, v2, v3, v4} là các véc tơ riêng của A.

Đặt:

3
5

4
5
P  (v1 v2 v3 v4 )  
0


0


0
0
3
5
4
5

4
5
3
5
0
0


0 

0 

4 
5 
3 

5 

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

thì P là ma trận trực giao và ta có
0
0 
 25 0
 0 25 0

0
1
t
.
P AP  P AP  

 0 0 25 0 


0 25 
0 0
Ví dụ 5: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng
ma trận sau là ma trận trực giao:
ab  c ac  b 
 a2


A   ab  c
b2
bc  a 
 ac  b bc  a
c 2 


Giải:
Xét hệ véc tơ gồm các véc tơ cột của ma trận A sau:
 a2 
 ab  c 
 ac  b 




2
{v1   ab  c  , v2   b  , v3   bc  a }.
 bc  a 

 c2 
 ac  b 






Dễ thấy {v1, v2, v3} là một cơ sở của  3 .
Ta có:
2

v1  a 4  (ab  c )2  (ac  b)2  a 4  a 2b 2  2abc  c 2  a 2c 2  2abc  b 2
 a 2 (a 2  b 2  c 2 )  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  1.
Vậy:

v1  1.

Tương tự, ta có: v2  v3  1.
Mặt khác
 v1 , v2   a 2 (ab  c)  (ab  c)b 2  (ac  b)(bc  a )

 ab(a 2  b 2  c 2 )  ab
 ab  ab  0.
Tương tự , ta có:  v2 , v3    v3 , v1   0 .
Vậy {v1, v2, v3} là một cơ sở trực chuẩn của 3 nên A là ma trận trực giao.
Ví dụ 6: Cho B là ma trận cấp m  n với hệ số thực. Chứng minh rằng ma trận
A  Bt B là ma trận đối xứng và có giá trị riêng không âm.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Giải:
Ta có At 

t

 B B  B B
t

t

 A , vậy A là ma trận đối xứng.

Gọi  là một giá trị riêng của A và x là một véc tơ riêng tương ứng, ta có:
Ax   x  BtBx   x  xtBtBx  x t  x hay ( Bx )t ( Bx )   x t x.
Vì ( Bx )t ( Bx ) và xtx đều không âm nên  cũng không âm.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu A là ma trận đối xứng thực cấp n, có các giá trị riêng d1,
d2, …, dn và D là ma trận chéo có đường chéo là các giá trị riêng của A thì tồn tại ma
trận B cấp n sao cho A  B t B .
Giải:
Vì A là ma trận đối xứng nên A chéo hoá trực giao được, vậy tồn tại ma trận P là
 d1





ma trận trực giao sao cho A = PDP = PDP với D = 
 và d i  0 (theo ví dụ

d n 

-1

t

6).
Ta phân tích:
 d1

D



 d1

Vậy: A = P 



  d1




dn  



  d1
 

 = 
 
dn  

 d
 1



dn  


 d
 1


d n  









dn 

t

t


 t
t
t
 P =BB = B B

dn 

 d1



với B  P 

.


dn 

Ví dụ 8: Cho v là một véc tơ đơn vị và A là ma trận sao cho Au  u  2  u, v  v với mọi

u  3 .
1) Chứng minh rằng A là ma trận trực giao;

2) Tính det(A).
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Giải:
1) Ta có:

Au , Au  u  2  u , v  v, u  2  u , v  v
 u , u  4  u , v  u , v  4  u , v  2  v, v 
 u , u , u   3.
Vậy theo mệnh đề 3.5 ta có A là ma trận trực giao.
2) Vì A là ma trận trực giao nên AtA = A-1A = I. Vậy det(At)det(A) = 1.
Mặt khác det(At) = det(A), từ đó suy ra det(A)2 = 1, hay det A =  1.
III. Bài tập tự giải.
Bài 1: Áp dụng quá trình chéo hoá trực giao đối với mỗi ma trận sau:
5 0 6 


A

0
11
6
1)



6 6  2



 1 4 2 
2) B   4 1 2 
 2 2 2 



1
1
3) C  
0

0

1 0 0
2 3  3
1 



1 0 0
1
4) D   2
3
 3
0 0 0

4

 0


2
2
3


0 0 0
Bài 2: Hãy tìm các ma trận trực giao cấp hai của M 22 () và tìm giá trị riêng, véc tơ riêng
của các ma trận trực giao đó.

0
0 
1

Bài 3: Chứng minh rằng ma trận: A   0 cos  sin   là ma trận trực giao và tìm
 0 sin  cos 


các giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
Bài 4: Hãy chứng minh sự tương đương của các phát biểu trong mệnh đề 3.5.
Bài 5: Chứng minh rằng nếu P là ma trận trực giao và đối xứng thì P2 = I.
t  t2 1 t 
 t
1



Bài 6: Chứng minh rằng với mọi t, ma trận sau:
1 t
t
t  t2 
2 
1 t  t 
2
t 
t  t 1 t
là ma trận trực giao. Hãy tìm một cơ sở của 3 gồm các véc tơ riêng của ma trận trên.
Bài 7: Giả sử A và B là hai ma trận trực giao, chứng minh rằng AB là ma trận trực giao.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Khóa học: Không gian véc tơ Euclide

Bài 8: Chứng minh rằng nếu A là ma trận trực giao và có det(A) = 1 thì A có giá trị riêng
bằng 1.
Bài 9: Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông trực giao cấp n thì Tr(A)  n.
Bài 10: Chứng minh rằng hai véc tơ riêng ứng với hai giá trị riêng phân biệt của một ma
trận đối xứng là trực giao nhau.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục