04 bài giảng số 4 phép biến đổi tuyến tính trực giao

Không gian véc tơ Euclide

Bài giảng số 4. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
I. Tóm lược lý thuyết
Định nghĩa 4.1: Ánh xạ tuyến tính  : E  F giữa các không gian véc tơ Euclide
E và F gọi là trực giao nếu nó bảo tồn tích vô hướng, nghĩa là:

 ( x),  ( y )  x, y với mọi x, y  E.
Tính chất 4.2: Một ánh xạ tuyến tính  : E  F từ không gian véc tơ Euclide
thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F là ánh xạ tuyến tính trực giao khi và
chỉ khi  ( x)  x , x  E .
Tính chất 4.3: Một ánh xạ tuyến tính  : E  F từ không gian véc tơ Euclide
thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F là ánh xạ tuyến tính trực giao khi và
chỉ khi ảnh của một cơ sở trực chuẩn của E qua ánh xạ tuyến tính  là một cơ sơ
trực chuẩn của F .
Tính chất 4.4: Ánh xạ tuyến tính trực giao  : E  F luôn là một đơn cấu.
Tính chất 4.5: Tích của các phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao.
Định nghĩa 4.6: Một phép biến đổi tuyến tính  của không gian véc tơ Euclide
thực E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu  ( x),  ( y )  x, y với mọi

x, y  E .
Nhận xét 4.7:
a) Một phép biến đổi tuyến tính  của không gian véc tơ Euclide thực E là
phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi  ( x)  x , x  E .
b) Một phép biến đổi tuyến tính  của không gian véc tơ Euclide thực E là
phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ảnh của một cơ sở trực chuẩn của E qua
phép biến đổi  là một cơ sở trực chuẩn của E .
Tính chất 4.8: Mọi phép biến đổi trực giao đều là đẳng cấu (song ánh tuyến tính)
Tính chất 4.9: Nếu A là ma trận của phép biến đổi trực giao  trong một cơ sở

trực chuẩn của E thì A là ma trận trực giao.
Tính chất 4.10: Tập các phép biến đổi trực giao của không gian véc tơ Euclide E
làm thành một nhóm gọi là nhóm biến đổi trực giao của E .
Định nghĩa 4.11: Cho F là không gian con của không gian véc tơ Euclide E .
Phép biến đổi tuyến tính p của E được gọi là phép chiếu trực giao lên không gian
con F dọc F  nếu Im p = F và ker p  F  .
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Nhận xét 4.12: Nếu p là phép chiếu trực giao lên F thì ta có p2 = p với mọi x  F .
Định nghĩa 4.13: Phép biến đổi tuyến tính  của không gian véc tơ Euclide thực
E là phép biến đổi đối xứng nếu   ( x), y    x,  ( y ) , x, y  E .

Tính chất 4.14: Ma trận của phép biến đổi đối xứng  của E trong một cơ sở
trực chuẩn nào đó là một ma trận đối xứng
Tính chất 4.15: Nếu  ,  là hai giá trị riêng phân biệt của phép biến đổi đối xứng

 của E thì các giá trị riêng tương ứng của  ,  là trực giao với nhau.
Tính chất 4.16: Mỗi phép biến đổi đối xứng của không gian véc tơ Euclide thực
E có ít nhất một véc tơ riêng.
II. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
 5 1
 8   4
Cho  :  2   2 là một ánh xạ xác định bởi :       ,      

1  5
 1   7 
Hỏi ánh xạ  có là phép biến đổi trực giao không? Tìm ma trận của  trong cơ sở
chuẩn tắc của  2 . Hãy mô tả dạng hình học của ánh xạ  .
Giải:
Gọi cơ sở chuẩn tắc của  2 là {e1, e2 }, khi đó ta có:
5
8
    5 (e1 )   (e2 ),     8 (e1 )   (e2 ) . Theo giả thiết ta có:
1
 1 

5 (e1 )   (e2 )  e1  5e2

8 (e1 )   (e2 )  4e1  7e2
Giải hệ phương trình trên ta có:
5
12

 (e1 )  13 e1  13 e2

 (e )   12 e  5 e
1
2
 2
13
13
Vậy ma trận của  trong cơ sở trực chuẩn {e1, e2} có dạng:

 5

 13
A
 12

 13

12 
13 

5 

13 

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Dễ thấy các véc tơ cột của A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của  2 nên A là ma
trận trực giao. Vậy  là phép biến đổi trực giao.
Ví dụ 2:
Cho E là không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều. Giả sử a  E là véc tơ
đơn vị. Xét ánh xạ  : E  E xác định bởi  ( x)  x  2  a, x  a .
1) Chứng minh rằng  là một phép biến đổi trực giao.
2) Chứng minh rằng     Id E .
3) Thử lại rằng  (a)   a và  ( x )  x với mọi


x  a  v  E :  v, a   0
4) Hãy tìm ma trận của  khi E =  3 và a  (

1 1 1
,
,
) với tích vô
3 3 3

hướng chuẩn tắc.
Giải
1) Dễ thấy  là một phép biến đổi tuyến tính vì
với mọi x, y  E ,  ,    , ta có:

 ( x   y )   x   y  2  a,  x   y  a
  x   y  2  a, x  a  2   a, y  a
  ( x  2  a, x  a )   ( y  2  a, y  a
  ( x )   ( y )
Với mọi x, y  E , xét tích vô hướng:
  ( x),  ( y )    x  2  a, x  a, y  2  a, y  a 
  x, y   2  a , y  x, a   2  a, x  a, y   4  a, x  a, y  a, a 

Vì a là véc tơ đơn vị nên  a, a   1, vậy ta có:

  ( x),  ( y )   x, y   4  a, x  a, y   4  a, x  a, y    x, y 
Vậy  là một phép biến đổi trực giao.
2) Với mọi x  E , ta có:

Bài giảng độc quyền bởi

Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

   ( x )   ( ( x))   ( x )  2  a,  ( x )  a
 x  2  a, x  a  2  a, x  2  a, x  a  a
 x  2  a, x  a  2  a, x  a  4  a, x  a, a  a
 x  4  a , x  a  4  a, x  a
 x  id E ( x ).
Vậy     Id E .
3)  (a)  a  2  a, a  a  a  2a  a


Với mọi x  a ta có:  ( x)  x  2  a, x  a  x (Vì <a, x> = 0)
4) Khi E   3 , ta xét một cơ sở trực chuẩn {e1, e2, e3} của E . Ta có:

 (e1 )  e1  2  a, e1  a  (1, 0, 0) 

2 1 1 1
1 2 2
( ,
,
)( , , )
3 3 `3
3 3 3 3

1

2
2
 e1  e2  e3 .
3
3
3
2
1
2
2
2
1
Tương tự, ta có:  (e2 )   e1  e2  e3 và  (e3 )   e1  e2  e3 .
3
3
3
3
3
3
Vậy ma trận của phép biến đổi trực giao  có dạng:

 1
 3

2
A  
 3
 2
 
 3

2
3
1
3
2

3


2
 
3

2
 .
3
1 

3 

Ví dụ 3:
Cho phép biến đổi tuyến tính f của  4 xác định bởi:

f ( x )  1e1  2e2  3e3  4e4 ,
trong đó x  1e1  2e2  3e3  4e4 là véc tơ tuỳ ý còn e1 , e2 , e3 , e4  là cơ sở
chuẩn tắc của  4 , f có là phép biến đổi trực giao không?
Giải:
Xét độ dài của véc tơ f ( x ), ta có:
2

f ( x)  f ( x ), f ( x)  1e1  2e2  3e3  4e4 , 1e1  2 e2  3e3  4e4 
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide
2

= 12  22  32  42  x  f ( x)  x . Vậy f là phép biến đổi trực giao.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng phép biến đổi trực giao trong  2 hoặc là phép đồng nhất
hoặc là phép đối xứng tâm O hoặc là phép đối xứng trục hoặc là một phép quay.
Chỉ ra rằng phép biến đổi trực giao trong  2 là tích của nhiều nhất hai phép đối
xứng trục.
Giải:
Xét một phép biến đổi tuyến tính trong  2 , f :  2   2 , xác định bởi
f(x, y) = (ax +by, cx +dy) (với a, b, c, d là các số thực). Khi đó ma trận của f
trong cơ sở chuẩn tắc {e1, e2 } có dạng:
a b
A

c d
phép biến đổi f là trực giao khi và chỉ khi A là ma trận trực giao, tức là:
 ab  cd  0
 2
2
a  c  1

b 2  d 2  1


(I)

Đặt: a  cos  , c  sin  và b  cos  , d  sin  , khi đó hệ (I) tương đương với

cos  cos   sin  sin   0  cos(   )  0 .



 k       k .
2
2
Với k  2n  1, ta có cos    sin  , sin   cos  . Khi đó ma trận A có dạng
  

 cos   sin  
A

 sin  cos  
Với k  2n, ta có cos   sin  , sin    cos  . Khi đó ma trận A có dạng:
 cos 
A
 sin 

sin  
.
 cos  

Biện luận:

1 0
1 0 
 , khi đó các phép biến
+) Nếu   k 2 , ta có A  
hoặc A  

 0  1
0 1
đổi trực giao tương ứng là phép đồng nhất và phép đối xứng qua trục Ox.
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

 1 0 
 1 0 
+) Nếu     k 2 , ta có A  
hoặc A  

 , khi đó các
0

1
0
1





phép biến đổi trực giao tương ứng là phép đối xứng tâm và phép đối xứng qua trục
Oy.
+) Với các trường hợp khác thì phép biến đổi trực giao tương ứng với ma
 cos   sin  
 là phép quay tâm O góc quay  , còn phép biến đổi trực
trận A  
 sin  cos  
 cos  sin    cos   sin   1 0 
giao với ma trận tương ứng A  
 =  sin  cos   0 1  là
sin


cos


 


tích của một phép đối xứng qua trục Ox và phép quay tâm O góc quay  .
Ví dụ 5:
Trong không gian véc tơ Euclide 3 với cơ sở chính tắc e1 , e2 , e3 , cho phép
biến đổi tuyến tính đối xứng T :  3  3 , kí hiệu T (u )  Au, trong đó A là ma
trận vuông cấp ba với hệ số thực và T thoả mãn các điều kiện:
i) T (ei ), ei  0 với mọi i = 1, 2, 3;
ii) Ba véc tơ T (ei ) có độ dài bằng nhau;

iii) các thành phần toạ độ của T (ei ) là không âm.
1) Chứng minh rằng ma trận A có dạng
0 a a
 a 0 a  ( a  0)


a a 0


2) Hãy tìm điều kiện của các thành phần toạ độ x, y, z của véc tơ u để T(u)
trực giao với u. Khi đó chứng minh rằng u tạo với véc tơ riêng ứng với trị riêng
đơn của A một góc không đổi.
Giải
1) Vì T là phép biến đổi tuyến tính đối xứng trong cơ sở chính tắc nên ma
trận của T trong cơ sở đó có dạng:
b a c 
A   a d e 
c e f 


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Vì T (ei ), ei  0 (i  1, 2, 3) nên ta có Aei , ei  0 (i  1, 2, 3) .

Ae1 , e1  0  b =0 , Ae2 , e2  0  d =0 và Ae3 , e3  0  f  0
Theo (ii), ta có

a 2  c 2  a 2  e2  c 2  e2  a 2  c 2  e2 .

Theo (iii) ta có: a  c  e . Vậy ma trận của T có dạng:
0 a a
A   a 0 a  (a  0)
a a 0


 0 a a  x   a ( y  z ) 
 

2) Giả sử u ( x, y, z ) , khi đó ta có T (u )  Au   a 0 a 
 y    a ( x  z ) 
 a a 0  z   a ( x  y ) 

  


T (u )  u  T (u), u  0
 ax( y  z )  ay ( x  z )  az ( x  y )  0
 xy  yz  zx  0.
Đa thức đặc trưng của ma trận A có dạng:



a

A  I  0  a
a


a

 

a
a 0




a

a



a

a

a

a 

a

a 
a

a

0

   ( 2  a 2 )  a 2 (  a )  a 2 ( a   )  0
 (  a )( 2  a  2a 2 )  0  (  a) 2 (  2a )  0
  a

   2a
  2a là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng.
Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2a là nghiệm của hệ:
 2ax1  ax2  ax3  0

 ax1  2 ax2  ax3  0  x1  x2  x3
 ax  ax  2ax  0
2
3
 1
Nghiệm riêng cơ bản của hệ là v(1, 1, 1) .
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Góc giữa u , v thoả mãn:

cos(u , v ) 


 u, v 

u v

x yz
x2  y2  z2 3



x yz
( x  y  z )2 3

x yz
1

x yz 3
3

( xy  yz  zx  0  ( x  y  z ) 2  x 2  y 2  z 2 )
Vậy góc giữa u và v là không đổi.
Ví dụ 6:
Cho p là một phép chiếu của E , khi đó các tính chất sau là tương đương:
i) p là một phép chiếu trực giao.
ii) ( x, y )  E 2 ,  p ( x), y    x, p ( y ) 
Giải:

(i)  (ii)
Giả sử p là một phép chiếu trực giao nghĩa là p  p  p và Ker ( p )  (Im( p ))  .
Giả sử ( x, y )  E 2 , ta có:

 p( x ), y   p( x), y  p( y )    p( x), p( y )   p( x ), p( y ) 
(vì p( x )  Im( p) và y  p( y )  ker( p) )
Tương tự:  x, p( y )   x  p( x), p( y )    p( x), p( y )   p( x), p( y ) ,

 x, p( y )   p( x), y  .

do đó:

(ii )  (i)
Giả sử ( x, y )  E 2 ,  x, p ( y )   p ( x ), y  .
Khi đó với mọi ( x, y)  Ker ( p)  Im( p), ta có:

 x, y    x, p( y )   p( x), y    0, y   0.
Vậy p là một phép chiếu trực giao.
III. Bài tập tự giải
Bài 1: Trong không gian véc tơ Euclide  3 , xét phép biến đổi tuyến tính  của 3
xác định bởi:

 ( x1 , x2 , x3 )  (

1
1
1
1
1

1
1
1
x2 
x3 ,
x1  x2  x3 , 
x1  x2  x3 )
2
2
2
2
2
2
2
2

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Chứng minh rằng  là phép biến đổi trực giao. Tìm ma trận của  trong cơ sở
chính tắc của 3 và hãy chéo hoá ma trận đó.
Bài 2: Giả sử {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } là một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ
Euclide E . Chứng minh rằng A là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của E
nếu:
Ae1  e1 , Ae2  e2 , Ae3  e3 cos  e4 sin  , Ae4  e3 sin   e4 cos  ,

Ae5  e5 cos   e6 sin  , Ae6  e5 sin   e6 cos  .
Bài 3: Cho không gian véc tơ Euclide ba chiều E với cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , e3} .
Xét phép biến đổi tuyến tính f thoả mãn điều kiện:


1
1 3
1 3
e1 
e2 
e3
 f (e1 ) 
3
3
3


1 3
1
1 3
e1
 e2 
e3
 f (e2 ) 
3
3
3

 e1

  e2
  e3
 f (e3 ) 


Tìm  ,  ,  để f là phép biến đổi trực giao.
Bài 4: Cho  là tự đồng cấu của không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E .
Chứng minh sự tương đương của các mệnh đề sau:
i)  là một phép chiếu trực giao
ii)      và Ker ( )  Im( ).
iii)      và v   (v)   (v) với  v  E.
iv) v   (v)  Im( ), v  E.
Bài 5: Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính f :  3   3 , xác định bởi biểu
thức: f ( x, y , z )  ( x cos  y sin  , x sin   y cos , z ) là phép biến đổi trực giao.

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục