10 bài giảng số 3 không gian véc tơ, các tính chất và ứng dụng

Toán cao cấp

Bài giảng số 03. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

3.1. ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VÉCTƠ VÀ VÍ DỤ
3.1.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa: Giả sử K là một trường. Tập V được gọi là một K - không gian véctơ (hay không gian
véctơ trên K, hay không gian tuyến tính trên K) và các phần tử của V gọi là véctơ nếu tập V được trang
bị hai phép toán: Phép cộng các véctơ, kí hiệu x + y, đối với x, y  V, và phép nhân các phần tử   K
với các véctơ x  V, kí hiệu x, sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn:
1) (V, +) là một nhóm Aben.
2)  (x + y) = x + y, với mọi   K, x, y  V.
3) ( + ) x = x + x, với mọi ,   K, x  V.
4)  ( x) = ( ) x, với mọi ,   K, x  V.
5) 1x = x, với mọi x  V.
Phần tử trung hoà của nhóm Aben (V, +) gọi là véctơ không, kí hiệu là . Phần tử đối của phần tử x
trong nhóm Aben (V, +) gọi là véctơ đối của véctơ x, kí hiệu là - x.
Theo tính chất của phép toán hai ngôi trong nhóm (V, +) véctơ không  và véctơ đối -x của véctơ x là
duy nhất. Ta có
x+=x
x + (-x) = , với mọi x  V.

Ta sẽ viết x + (- y) là x - y và gọi là hiệu của hai véctơ x, y.
 Các tính chất suy từ định nghĩa

1) 0x = , với mọi x  V
2)  = , với mọi   K.
3) x =  khi và chỉ khi  = 0, hoặc x =  .
4) (-x) = -(x) = (-)x, với mọi   K, x  V.

Chứng minh:
1) Ta có 0x = (0 + 0) x = 0x + 0x.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

Do đó ta có (0x + 0x) + (- 0x) = 0x + (- 0x)
0x + (0x + (- 0x)) = 
0x +  = 
Vậy thì 0x = 
2) Ta có  = ( + ) =  + 
Do đó ta có ( + ) + (- ) =  + (- )
 + ( + (- ) = 
 = 
3) Theo các tính chất 1) và 2) ta có: nếu  = 0 hoặc x =  thì x = . Ngược lại giả sử x = . Nếu  
0, khi đó có  -1  K:  -1 = 1. Ta có
 -1 (x) =  -1 
( -1 )x = ,
1x = . Do đó x = .

4) Ta có  (-x) + x = ((-x) + x) =  = 
Vậy  (-x) = - (x).
Tương tự ta có (-)x = - (x).
3.1.2. Các ví dụ không gian véctơ
1) Giả sử K là một trường, n là một số nguyên dương. Kí hiệu V là luỹ thừa Đề-các bậc n của tập K.
V = Kn = x = (x1, ..., xn) : xi  K, i = 1, ..., n.

V là một K - không gian véctơ đối với hai phép toán sau đây:

- Phép cộng véctơ: Giả sử x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).
Ta định nghĩa x + y = (x1 + y1, ..., xn + yn).
- Phép nhân các véctơ với các phân tử của trường K:
x = (x1, ..., xn), với mọi   K.
Dễ dàng kiểm tra lại các điều kiện của định nghĩa không gian véctơ được thoả mãn. Vậy Kn là
một K - không gian véctơ. Không gian K n có véctơ không là  = (0, ..., 0); véctơ đối của véctơ x =
(x1, ..., xn) là -x = (- x1, ..., -xn).
Chẳng hạn với K = R, n = 4 ta có:
 = (0, 0, 0, 0);
Nếu

x = (0, -1, 3, 1), y = (1,

2 , -5, 2)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

thì x + y = (1, 2 -1, - 2, 3), - x = (0, 1, -3, -1); 2x = (0, -2, 6, 2).
Với n = 1 ta có K1 = K, vậy trường K là một không gian véctơ trên chính nó.
2) Giả sử K là một trường. Khi đó tập K[x] các đa thức ẩn x hệ số trên K là một K - không gian véctơ
đối với phép cộng các đa thức và phép nhân các đa thức với các phần tử của trường K. Véctơ không là
đa thức 0, véctơ đối của f(x) là - f(x).

3) Giả sử P là một trường, K là một trường con của trường P. Khi đó dễ thấy rằng P là một K - không
gian véctơ đối với phép cộng các phần tử trong P và phép nhân các phần tử của K đối với các phần tử
thuộc P.
Vậy ta có: Tập số thực R là một Q - không gian véctơ. Tập số phức C là một R - không gian véctơ.
4) Kí hiệu C(a,b) là tập các hàm số xác định liên tục trên khoảng mở (a, b). Trong tập C(a, b) ta xác
định phép toán cộng các hàm số và phép nhân các hàm số với số thực như sau: Với mọi f, g  C(a, b),
  R.
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f) (x) =  f(x), với mọi x  (a, b).
Dễ thấy rằng đối với hai phép toán trên đây C(a, b) là một R - không gian véctơ.

3.2. KHÔNG GIAN CON
3.2.1. Định nghĩa không gian con
Định nghĩa: Giả sử V là một K - không gian véctơ. Tập con khác rỗng F  V được gọi là không gian
con của K - không gian véctơ V nếu các điều kiện sau được thoả mãn.
1) Với mọi x, y  F  x + y  F.
2) Với mọi x  F  x  F, đối với mọi   K.
Vì F   nên tồn tại x  F. Theo điều kiện 2) ta có  = 0x  F, do đó mọi không gian con đều chứa
véctơ .
Nếu x  F, theo điều kiện 2) ta có -x = (- 1) x  F.

Vậy mỗi không gian con của K - không gian véctơ V cũng là một K - không gian véctơ.
Mệnh đề 3.2.1: Tập con khác rỗng F  V là không gian con của K - không gian véctơ V khi và chỉ khi
điều kiện sau đây được thoả mãn:
Với mọi x, y  F  x + y  F, đối với mọi ,   K.
Chứng minh:

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung

Toán cao cấp

Điều kiện cần: Giả sử x, y  F, theo điều kiện 2) của định nghĩa không gian con ta có  x, y  F, với
mọi ,   K. Và theo điều kiện 1) của định nghĩa ta có  x + y  F.
Điều kiện đủ: Nếu lấy  =  = 1 ta có điều kiện 1) được thoả mãn. Nếu lấy  = 0, ta có điều kiện 2) được thoả
mãn. Vậy F là một không gian con. 
 Ví dụ không gian con

1) Mỗi K - không gian véctơ V đều có hai không gian con hiển nhiên đó là V và không gian tầm
thường 
2) Với mỗi số nguyên n  0. Ta đặt
Kn[x] = f  K[x] : bậc f < n.

Dễ thấy rằng Kn[x] là một không gian con của không gian các đa thức ẩn x trên trường K.
3) Đặt: F = x = (0, 0, x3, x4)  K4.
F là một không gian con của K - không gian véctơ K4.
4) Kí hiệu C 1(a, b) là tập các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng (a, b). Dễ dàng thấy
rằng C -1(a, b) là một không gian con của R - không gian véctơ C(a,b) các hàm số xác định liên tục trên
(a, b).
3.2.2. Bao tuyến tính, tập sinh của một không gian véctơ
Mệnh đề 3.2.2: Giao của một họ khác rỗng bất kỳ các không gian con của K - không gian véctơ V là
một không gian con.
Chứng minh: Giả sử Fi, i  I là những không gian con của K - không gian véctơ V. Ta đặt F =

 Fi .
i I

Vì   Fi, với mọi i  I, nên   F. Ta có F  . Giả sử x, y  F, khi đó ta có x, y  Fi, với mọi i  I.
Vì Fi là không gian con nên x + y  Fi, với mọi ,   K. Vậy x + y 

 Fi = F. Theo mệnh đề
i I

3.2.1 tập F là một không gian con. 
Giả sử S là một tập con của K - không gian véctơ V. Khi đó họ các không gian con chứa tập S là một
họ khác rỗng. Chẳng hạn V là một không gian con chứa tập S. Ta kí hiệu (S) là giao tất cả các không
gian con chứa tập S. Theo mệnh đề 3.2.2. thì (S) là một không gian con và (S) là không gian con
nhỏ nhất chứa tập S. Ta gọi không gian con (S) là không gian con sinh bởi tập S.
Đặc biệt nếu (S) = V, thì tập S gọi là tập các phần tử sinh của không gian véctơ V.
Biểu diễn tuyến tính (bdtt):
Giả sử A là một tập con của K - không gian véctơ V. Ta nói véctơ x  V biểu diễn tuyến tính qua tập
A nếu tồn tại các véctơ ui  A, và các phần tử i  K, i = 1, ..., m sao cho
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

m

x=

α

i

u i = 1 u1 + ... + m um.

i 1

Khi đó ta nói véctơ x là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ u1,..., um.
Dễ thấy rằng nếu véctơ x bdtt qua tập A, và mỗi véctơ của tập A lại bdtt qua tập B  V thì véctơ x
cũng bdtt qua tập B.
Mệnh đề 3.2.3: Giả sử S là một tập con khác rỗng của K - không gian véctơ V. Khi đó ta có
m

(S) = x =

α

i

u i : ui  S, i  K.

i 1

Vậy (S) là tập tất cả các phần tử bdtt qua tập S. Vì lẽ đó không gian con (S) còn gọi là bao tuyến
tính của tập S.
m

Chứng minh: Ta đặt X = x =

 αi

u i ; ui  S, i  K.

i 1

Vì X S nên X  . Dễ thấy rằng nếu x, y  X thì x + y  X với mọi ,   K. Vậy X là một không
gian con chứa tập S.
Giả sử F là một không gian con chứa tập S. Khi đó đối với mọi ui  S, i  K, i = 1, ..., m, vì F là
m

không gian con nên ta có

 αi

u i  F.

i 1

Do đó ta có X  F. Vậy X là một không gian con nhỏ nhất chứa tập S hay X = (S).
Ví dụ: a) Trong K - không gian véctơ K4 ta xét hệ véctơ
e1 = (1, 0, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0, 0),
e3 = (0, 0, 1, 0),
e4 = (0, 0, 0, 1).
Khi đó đối với mọi x = (x1, x2, x3, x4)  K4 ta có
x = (x1, 0, 0, 0) + (0, x2, 0, 0) + (0, 0, x3, 0) + (0, 0, 0, x4)
x = x1(1, 0, 0, 0) + x2(0, 1, 0, 0) + x3(0, 0, 1, 0) + x4(0, 0, 0, 1)
x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4
Vậy ta có K4 = (e1, e2, e3, e4). Hệ e1, e2, e3, e4 là tập sinh của không gian véctơ K4.
Một cách tổng quát ta có: Hệ véctơ
e1 = (1, 0, 0, ...,0),
e2 = (0, 1, 0, ..., 0),

............................
en = (0, 0, 0, ..., 1),
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

là tập sinh của K - không gian véctơ Kn.
b) Dễ dàng thấy rằng trong không gian các đa thức ẩn x trên trường K ta có:
K[x] = (1, x, x2, ...).
Kn[x] = (1, x, ... xn-1).

3.2.3. Tổng trực tiếp của các không gian con
Giả sử Xi, i = 1, ..., m là các tập con của K - không gian véctơ V. Ta kí hiệu
m

m

Xi

= X1 + ... + Xm = x =  u i : ui  Xi

i 1

i 1

Mệnh đề 3.2.4: Nếu F1, F2 là các không gian con của K - không gian véctơ V thì F = F1 + F2 cũng là

không gian con. Không gian con F gọi là tổng của các không gian con F1, F2.
Chứng minh: Theo mệnh đề 3.2.3. dễ dàng thấy rằng
F1 + F2 = (F1  F2).
 Định nghĩa tổng trực tiếp

Không gian con F gọi là tổng trực tiếp của các không gian con F1 và F2, kí hiệu là F = F1  F2, nếu các
điều kiện sau đây được thoả mãn:
1) F = F1 + F2.
2) F1  F2 = .
Khi đó không gian con Fi gọi là phần bù tuyến tính (hay bù trực tiếp) của không gian con Fj.
Ví dụ: Trong R - không gian véctơ R3 ta xét các không gian con
F1 = x = (x1, x2, 0) : x1  R, x2  R,
F2 = y = (0, 0, y) : y  R.

Rõ

ràng

rằng

R3

=

F1

+

F2

và

F1



F2

=

.

Vậy

ta

có

3

R = F1  F2.
Mệnh đề 3.2.5: Giả sử F1, F2 là các không gian con của K - không gian véctơ F. Khi đó F = F1  F2
khi và chỉ khi mỗi véctơ u  F có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
u = u1 + u2, với u1  F1, u2  F2.

(3.2.1)

Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử F = F1  F2. Theo định nghĩa tổng trực tiếp ta có F = F1 + F2. Do đó với mọi u 
F có biểu diễn (3.2.1).

Giả sử rằng u = u'1 + u'2, u'1  F1, u'2  F2. Khi đó ta có  = (u1 - u'1) + (u2 - u'2). Do đó ta có u'1 - u1 = u2
- u'2  F1F2 = . Vậy thì u1 = u'1, và u2 = u'2. Biểu diễn (3.2.1) của véctơ u  F là duy nhất.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

Điều kiện đủ: Giả sử mọi véctơ u  F có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (3.2.1). Khi đó rõ ràng rằng
F = F1 + F2. Nếu có v  F1F2 và v  . Khi đó véctơ   F có hai biểu diễn (3.2.1) khác nhau, đó là 
=  +  và  = v + (-v). Mâu thuẫn này chứng tỏ F1F2 = . Ta có F = F1F2.
Tổng quát: Không gian con F gọi là tổng trực tiếp của các không gian con F1, ..., Fm, kí hiệu là F = F1
m

 ...  Fm =

Fi, nếu các điều kiện sau được thoả mãn

i i

m

1) F =

 Fi
i 1

m

2) Fj 

 Fi

= , j = 1, ...., m.

i 1
ij

Bằng quy nạp ta có: Giả sử F1, i = 1, ..., m là những không gian con của K - không gian véctơ F. Khi
m

đó F =

Fi nếu và chỉ nếu với mọi véctơ u  F có duy nhất biểu diễn

i i
u = u1 + ... + um, với ui  Fi, i = 1, ..., m

(3.2.2)

3.2.4. Không gian thương
Giả sử F là một không gian con của K - không gian véctơ V. Ta xét một quan hệ ~ trên tập V được xác
định như sau
x~yx-yF

(3.2.3)

Theo tính chất của không gian con dễ dàng thấy rằng quan hệ ~ xác định bởi (3.2.3) là một quan hệ

tương đương trên tập V. Ta kí hiệu V F là tập thương của tập V theo quan hệ tương đương đó.
Bổ đề 3.2.6: Nếu x ~ x' và y ~ y' thì z + y ~ x' + y' và x ~ x', đối với mọi   K.
Chứng minh: Vì x ~ x', y ~ y' theo (3.2.3) ta có x - x'  F, y - y'  F. Do đó ta có
(x + y) - (x' + y') = (x - x') + (y - y')  F;

x - x' = (x - x')  F, với mọi   K. Vậy theo (3.2.3) ta có x + y ~ x' + y', x ~ x'.
Trên tập thương V / F ta xác định hai phép toán sau đây:



Phép cộng các phần tử của V / F

x+ y = xy

(3.2.4)

 Phép nhân các phần tử của trường K với các phần tử của V / F
 x = αx .

(3.2.5)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

Từ bổ đề 3.2.6 ta suy ra rằng nếu x = x' , y  y' thì x  y = x' y ' , α x = α x' . Do đó các phép toán

xác định bởi (3.2.4) và (3.2.5) là đúng đắn, phần tử ở vế phải không phụ thuộc vào đại biểu của các lớp
tương đương. Dễ dàng chứng minh rằng tập V / F là một K - không gian véctơ đối với các phép toán
(3.2.4) và (3.2.5).
K - không gian véctơ V / F được gọi là không gian thương của không gian véctơ V theo không gian con
F.

3.3. HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH,
PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
3.3.1. Hệ véctơ độc lập tuyến tính (ĐLTT)
Định nghĩa:
- Hệ véctơ u1, ..., um thuộc K - không gian véctơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu khi có tổ hợp tuyến
tính
1 u1 + ... + m um = ,

thì suy ra 1 = .... = m = 0.
- Tập con S của K - không gian véctơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn u1, ..., um  S,
ui  uj, khi i  j là hệ độc lập tuyến tính.
Ví dụ: a) Trong không gian K3 xét hệ véctơ: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Hệ véctơ e1, e2,
e3 là một hệ ĐLTT. Thực vậy giả sử có tổ hợp tuyến tính 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 = . Ta có
1 (1, 0, 0) + 2 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
(1, 2, 3) = (0, 0, 0).

Vậy 1 = 2 = 3 = 0.
Một cách tương tự ta có: Trong không gian Kn hệ véctơ
e1 = (1, 0, ..., 0),
e2 = (0, 1, ..., 0),
.........................
en = (0, 0, ..., 1)

là một hệ ĐLTT.

b) Trong không gian các đa thức K[x] tập con
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

B = 1, x, x2, ...

là một tập ĐLTT.
3.3.2. Hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính (PTTT)
Định nghĩa:
- Nếu hệ véctơ u1, ..., umthuộc K - không gian véctơ V không ĐLTT thì gọi là PTTT.
Vậy hệ véctơ u1, ..., umPTTT khi và chỉ khi tồn tại các phần tử 1, ..., m thuộc trường K, trong đó có
ít nhất một i  0 sao cho

1u1 + ... + mum = .

- Tập con S của K - không gian véctơ V gọi là PTTT nếu S là tập không độc lập tuyến tính. Tức là S
chứa ít nhất một tập con hữu hạn PTTT:
Ví dụ: Trong không gian R4 hệ các véctơ sau đây là PTTT.
u1 = (1, -1, -1, 3), u2 = (-2, 2, 2, -6), u3 = (-5, 2, 7, 0). Vì nếu chọn 1 = 2, 2 = 1, 3 = 0 thì ta có 2u1 +
u2 + 0u3 = .
3.3.3. Tính chất
Các tính chất suy từ định nghĩa:
1) Tập một véctơ u phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u = .
Thực vậy theo tính chất 3) ở mục 3.1.1. ta có u =  khi và chỉ khi hoặc u =  hoặc  = 0.
2) Giả sử A, B là các tập con của K - không gian véctơ V và A  B. Khi đó ta có:

- Nếu tập B ĐLTT thì tập A ĐLTT.
- Nếu tập A PTTT thì tập B PTTT.
Từ các tính chất trên suy ra rằng mỗi tập con chứa véctơ  là tập PTTT.
Điều kiện cần và đủ để một hệ véctơ ĐLTT, PTTT
Mệnh đề 3.3.1: Hệ véctơ u1, ..., um, m  2, thuộc K - không gian véctơ V là ĐLTT (PTTT) khi và chỉ
khi không có (có một) véctơ biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại.
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ véctơ u1, ..., um, m  2, ĐLTT. Nếu có một véctơ chẳng hạn
u1, biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại
u1 = 2u2 + ... + m um.

Ta có u1 - 2u2 - ... - m um = , trong đó 1 = 1  0. Trái với giả thiết hệ ĐLTT.
Điều kiện đủ: Giả sử hệ véctơ u1, ..., um, thoả mãn điều kiện không có véctơ nào biểu diễn tuyến tính
qua các véctơ còn lại. Khi đó nếu có tổ hợp tuyến tính 1u1 + ... + mum =  thì
1 = ... = m = 0. Vì nếu có i nào đó khác 0, chẳng hạn 1  0, ta có
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

u1 = - ( α11 2) u2 - .... - ( α11 m) um .

Vậy véctơ u1 biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại, trái với giả thiết. Do đó hệ đã cho ĐLTT.
Điều khẳng định thứ hai suy từ điều khẳng định thứ nhất vì mỗi hệ véctơ không ĐLTT thì PTTT và ngược
lại.

3.4. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ

3.4.1. Cơ sở của không gian véctơ
Định nghĩa: Tập con S gọi là một cơ sở của K - không gian véctơ V nếu các điều kiện sau đây được
thoả mãn:
1) S là tập độc lập tuyến tính.
2) S là tập các phần tử sinh của K - không gian véctơ V, tức là (S) = V.
Định lý 3.4.1: Hệ véctơ S = u1, ..., un là một cơ sở của K - không gian véctơ V khi và chỉ khi mỗi
véctơ x  V có thể biểu diễn tuyến tính duynhất qua hệ S, tức là
n

x=



λi u i ,

(3.4.1)

i 1

Họ 1, ..., n được gọi là toạ độ của véctơ x đối với cơ sở S.
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử S = u1, ..., un là một cơ sở của K - không gian véctơ V. Vì (S) =
V, theo mệnh đề 3.2.3. mỗi véctơ x  V đều có thể bdtt qua S. Giả sử có hai biểu diễn
n

x=



λi u i ,

i 1
n

và

x=



λ' i u i

i 1
n

Khi đó ta có

 (λ i

- λ' i ) u i = 

i 1

Vì hệ S ĐLTT nên ta có i - 'i = 0, i = 1, ..., n.
Do đó i = 'i, u = 1, ..., n. Vậy biểu thức (3.4.1) là duy nhất.
Điều kiện đủ: Giả sử hệ véctơ S = u1, ..., un thoả mãn các điều kiện của định lý. Rõ ràng rằng (S) =
V. Giả sử có tổ hợp tuyến tính tầm thường
n



λ i u i = .

i 1

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

n

Mặt khác ta luôn luôn có



0 u i = . Theo giả thiết véctơ  chỉ có một biểu diễn tuyến tính duy nhất

i 1

qua tập S, nên ta có 1 = ... = n = 0.
Do đó S là tập ĐLTT. Vậy S là một cơ sở của không gian V.
Ví dụ: a) Trong K - không gian véctơ Kn xét hệ véctơ:
e1 = (1, 0, ..., 0),
e2 = (0, 1, ..., 0),
........................
en = (0, 0, ..., 1).
Ta biết rằng hệ véctơ e1, ..., en ĐLTT và là tập sinh của không gian Kn. Vậy hệ véctơ e1, ..., en là

một cơ sở, và được gọi là cơ sở chính tắc của không gian Kn.
Với mỗi x = (x1, ..., xn)  Kn đều có biểu diễn x =

n

x e
i

i

. Do đó họ x1, ..., xn là toạ độ của véctơ x

i 1

đối với cơ sở chính tắc.
b) Hệ 1, x, ..., xn-1 là một cơ sở của không gian Kn[x] các đa thức có bậc < n.
Tập S = 1, x, x2, ... là một cơ sở của không gian các đa thức K[x].
3.4.2. Số chiều của không gian véctơ
Mệnh đề 3.4.2: Trong K - không gian véctơ V ta xét hai hệ véctơ
u1, u2, ..., um,
v1, v2, ..., vs.

(I)
(II)

Nếu hệ (I) ĐLTT và mỗi véctơ của hệ (I) biểu diễn tuyến tính qua hệ (II) thì m  s.
Chứng minh: Vì mỗi véctơ của hệ (I) biểu diễn tuyến tính qua hệ (II) nên ta có
u1 = 1v1 + ... + s vs.

(a)

Vì hệ (I) ĐLTT nên u1  . Do đó phải có một i nào đó khác 0, chẳng hạn 1  0 (nếu cần thì đánh số
lại các véctơ của hệ (II)). Từ đẳng thức (a) ta có
v1 = - 1-1 2 v2 - ... - 1-1 s vs + 1-1 u1.

(b)

Trong hệ (II) ta thay véctơ v1 bởi véctơ u1. Ta có hệ
u1, v2, ..., vs,

(II,1)

Từ (b) suy ra rằng mỗi véctơ của của hệ (II) bđtt qua hệ (II,1). Do đó mỗi véctơ của hệ (I) bdtt qua hệ
(II,1). Ta có
u2 = 1 u1 + 2 v2 + ... + s vs,

(c)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

Vì hệ (I) ĐLTT nên trong các hệ số 2, ... s phải có hệ số i  0, nếu cần thì đánh số lại, giả sử 2  0.
Từ đẳng thức (c) ta có
v2 = - 2-1 3 v3 - ... - 2-1 s vs - 2-1 1 u1 + 2-1 u2,

(d)

Trong hệ (II,1) ta thay véctơ v2 bởi véctơ u2. Ta có hệ
u1, u2, v3,..., vs,

(II,2)

Ta có thể tiếp tục làm như vậy, sau m bước các véctơ của hệ (I) đều được đưa vào hệ (II). Ta có hệ
u1, u2, ..., um, vm+1,..., vs,

(II,m).

Từ đó suy ra rằng m  s.
Hệ quả 3.4.3: Nếu các hệ véctơ (I) và (II) ĐLTT và mỗi véctơ của hệ này bdtt qua hệ kia thì m = s.
Định lý 3.4.4: Nếu K - không gian véctơ V có một cơ sở hữu hạn gồm n véctơ thì các cơ sở khác của V
cũng có n véctơ.
Số n gọi là số chiều của K - không gian véctơ V, kí hiệu n = dimV.
Chứng minh: Giả sử K - không gian véctơ V có một cơ sở gồm n véctơ
f1, ..., fn,

(a)

Giả sử S là một cơ sở bất kỳ của không gian V. Ta chọn tuỳ ý k véctơ thuộc S,
u1, u2, ..., uk,

(b)

Vì S là một cơ sở nên hệ (b) ĐLTT. Vì hệ (a) là một cơ sở của không gian V nên mỗi véctơ của hệ (b)
bdtt qua hệ (a).
Theo mệnh đề 3.4.2 ta có k  n. Do đó số véctơ của tập S không thể lớn hơn n. Giả sử rằng

S = u1, u2, ..., um,

(c)

Ta có m  n. Vì hệ (c) là một cơ sở, nên các véctơ của hệ ĐLTT (a) bdtt qua hệ (c), do đó ta có n  m.
Vậy m = n.
Từ định lý 3.4.4 ta suy ra rằng: Nếu K - không gian véctơ V có một cơ sở có vô hạn véctơ thì số véctơ
của các cơ sở khác cũng vô hạn. Khi đó ta nói số chiều của K - không gian véctơ V là vô hạn, kí hiệu
dimV = .
Ta quy ước dim  = 0.
Ví dụ: a) K - không gian véctơ Kn có cơ sở chính tắc gồm n véctơ e1, ..., en. Do đó ta có dim Kn = n.
b) Hệ 4 véctơ: 1, x, x2, x3 là một cơ sở của không gian K4[x] các đa thức có bậc < 4. Vậy dim K4[x]
= 4.
c) Tập S = 1, x, x2, ... là một cơ sở của không gian các đa thức K[x]. Vậy ta có dim K[x] = .

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

Định lý 3.4.5: Giả sử K - không gian véctơ V có dimV = n < . Khi đó trong không gian V đối với mọi
hệ k véctơ ĐLTT u1, ...,uk, k < n đều có thể bổ sung thêm n - k véctơ uk+1, ..., un để được hệ u1, ...,
uk, uk+1, ..., un là một cơ sở của K - không gian véctơ V.
Chứng minh: Vì k < n, theo định lý 3.4.4 thì hệ u1, ..., uk không phải là cơ sở của không gian V. Do đó
nó không phải là tập các phần tử sinh của không gian V. Ta có F = (u1, ..., uk)  V. Chọn véctơ uk+1
 V \ F. Hệ véctơ u1, ..., uk, uk+1 ĐLTT. Thực vậy giả sử có tổ hợp tuyến tính
1 u1 + ... + kuk + k+1 uk+1 = 

Nếu k+1  0 thì ta có:
uk+1 = -  k11 1 u1 - .... -  k11 k uk  F.

Mâu thuẫn này chứng tỏ k+1 = 0. Vậy ta có
1 u1 + ... + kuk = 

Theo giả thiết hệ u1, ..., uk ĐLTT, nên ta có 1 = ... = k = 0. Vậy hệ véctơ u1, ..., uk, uk+1 ĐLTT.
Một cách tương tự nếu k + 1 < n thì ta có thể bổ sung thêm véctơ uk+2 để được hệ véctơ u1, ..., uk,
uk+1, uk+2 ĐLTT.
Tiếp tục như vậy sau n - k bước ta được hệ n véctơ ĐLTT u1, ..., uk, ..., un. Đó là cơ sở cần tìm. 
Định lý 3.4.6: Giả sử L, M là các không gian con của không gian véctơ hữu hạn chiều, khi đó ta có
dim (M + L) + dim (M L) = dim M + dim L.

Chứng minh: Giả sử u1, ... ur là một cơ sở của không gian ML. Theo định lý 3.4.5 ta có thể bổ sung
thêm để thành một cơ sở của L
u1, ..., ur, v1, ..., vp,

(a)

và một cơ sở của M
u1, ..., ur, w1, ... wq.

(b)

Vì (ML) = M + L nên mỗi véctơ thuộc M + L biểu diễn tuyến tính qua ML, do đó biểu diễn tuyến
tính qua hệ véctơ.
u1, ..., ur, v1, ... vp, w1, ..., wq.

(c)

Vậy hệ véctơ (c) là tập sinh của không gian con M + L. Ta sẽ chứng tỏ rằng hệ (c) độc lập tuyến tính. Thực
vậy, giả sử có tổ hợp tuyến tính

1u1 + ... + rur + 1v1 + ... + p vp + 1 w1 + ... + q wq = , (d)
Từ đẳng thức (d) ta có
1u1 + ... + rur + 1v1 + ... + p vp = 1 w1 - ... - q wq,

(e)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

Ta nhận thấy rằng tổng vế trái (c) là một phần tử thuộc L, tổng vế phải (c) là một phần tử thuộc M. Do
đó ta có
- 1w1 - ... - qwq  ML.

Vì hệ u1, ..., ur là một cơ sở của ML nên tồn tại biểu diễn
- 1w1 - ... - qwq = 1 u1 + .. + r ur

Do đó ta có
1 u1 + ... + r ur + 1 w1 + ... + q wq = .

Vì hệ (b) độc lập tuyến tính nên ta có
1 = ... = r = 0, 1 = ... = q = 0.

Theo hệ thức (d) ta có
1u1 + ... + r ur + 1 v1 + ... + p vp = .

Vì hệ (a) độc lập tuyến tính nên ta có
1 = ... = r = 0, 1 = ... = p = 0.

Vậy hệ véctơ (c) là một hệ độc lập tuyến tính và là một cơ sở của không gian con M + L. Ta có
dim (M + L) = r + p + q
dim (M + L) + r = (p + r) + (q + r)

Do đó dim (M + L) + dim (ML) = dim L + dim M.
Điều khẳng định được chứng minh.
Hệ quả 3.4.7: dim (F1  F2) = dim F1 + dim F2, trong đó F1, F2 là các không gian con hữu hạn chiều của
K - không gian véctơ V.
Chứng minh: Theo định nghĩa tổng trực tiếp ta có F1  F2 = F1 + F2 và F1F2 = . Vậy hệ quả 3.4.7 suy
trực tiếp từ định lý 3.4.6.
Chú ý: Nếu dim V = n <  thì ta có:
- Số véctơ của mỗi hệ ĐLTT trong không gian tối đa là n.
- Mọi hệ n + 1 véctơ của không gian V là PTTT.
- Mỗi hệ n véctơ ĐLTT là một cơ sở của không gian V.
- Nếu F là một không gian con của không gian V thì dim F  n, dim F = n khi và chỉ khi F = V.

3.5. CƠ SỞ, HẠNG CỦA MỘT HỆ VÉCTƠ
3.5.1. Định nghĩa và tính chất
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung

Toán cao cấp

Định nghĩa: Trong K - không gian véctơ V xét hệ véctơ
A = u1, ..., um.

Hệ con S =  u i1 , ..., u i k   A được gọi là một cơ sở của hệ véctơ A nếu các điều kiện sau đây được
thoả mãn:
1) S là hệ véctơ độc lập tuyến tính.
2) Mỗi véctơ của hệ A biểu diễn tuyến tính được qua hệ S.
Mệnh đề 3.5.1: Nếu hệ con k véctơ S là một cơ sở của hệ véctơ A thì S làm cơ sở của không gian con
(A) sinh bởi A, do đó dim (A) = k.
Chứng minh: Vì hệ véctơ S độc lập tuyến tính nên S là cơ sở của không gian con (S) sinh bởi S.
Theo
mệnh
đề
3.2.3
từ
điều
kiện
2)
của
định
nghĩa
ta

có

A  (S), do đó (A)  (S). Rõ ràng rằng (S)  (A). Vậy ta có (A) = (S), và S là một cơ sở
của không gian (A).

Từ mệnh đề 3.5.1. suy ra rằng: Nếu hệ véctơ A = u1, ..., un có một cơ sở k véctơ thì số véctơ của các
cơ sở khác cũng bằng k. Số k chung đó được gọi là hạng của hệ véctơ A, kí hiệu là r(A).
Các tính chất sau đây trực tiếp suy từ mệnh đề 3.5.1 và phép chứng minh của mệnh đề đó
- Mọi hệ con ĐLTT của hệ A có số véctơ nhỏ hơn hoặc bằng hạng r(A).

- Nếu mỗi véctơ của hệ véctơ A biểu diễn tuyến tính được qua hệ véctơ B thì r(A)  r(B).
- Hai hệ hữu hạn véctơ nếu mỗi véctơ của hệ này biểu diễn tuyến tính được qua hệ kia thì có hạng bằng
nhau.
3.5.2. Phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa: Cho trước hệ véctơ
A = u1, ..., um.

Các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ véctơ A:
1) Thay đổi thứ tự các véctơ của hệ A.
2) Loại véctơ  (nếu   A) ra khỏi hệ A.
3) Trong hệ A thay véctơ ui bởi véctơ ui,   K,   0.
4) Trong hệ A thay véctơ ui bởi véctơ ui + uk, uk  A, với k  i.
Mệnh đề 3.5.2: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của một hệ véctơ.
Chứng minh: Dễ dàng thấy rằng nếu hệ véctơ B nhận được từ hệ véctơ A bởi một phép biến đổi sơ cấp thì
mỗi véctơ của hệ B biểu diễn tuyến tính được qua hệ A, và ngược lại mỗi véctơ của hệ A biểu diễn tuyến tính
được qua hệ B. Do đó ta có r(A) = r(B).

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1. Xét V là K - không gian véctơ. Chứng minh rằng đối với mọi véctơ x, y  V, mọi phần tử ,  
K ta luôn luôn có:
1) (x - y) = x - y
2) ( - ) x = x - x
3.2. Kí hiệu R+ là tập các số thực dương. Chứng tỏ rằng tập (R+)n là một R - không gian véctơ đối với
các phép toán xác định như sau:
x

Với

=

(x1,

...,

xn)



(R+)n,

y

=

(y1,

...,

yn)



(R+)n,





R

thì

x + y = (x1 y1, ..., xnyn); x = ( xα1 , .... xαn ).
3.3. Giả sử V, V' là các K - không gian véctơ. Chứng minh rằng tập tích Đề các V x V' cùng với các
phép toán sau là một K - không gian véctơ.
(x, x') + (y, y') = (x + y, x' + y')
(x, x') = (x, x').
3.4. Trong tập E các dãy vô hạn các số thực ta định nghĩa phép cộng các dãy và phép một số thực với
một dãy như sau:
un + vn = un + vn
 un =  un.
1) Chứng minh rằng E là một R - không gian véctơ đối với các phép toán đang xét.
2) Chứng tỏ rằng tập F tất cả các dẫy bị chặn, tập M tất cả các dãy chỉ có một số hữu hạn số hạng
khác 0 là các không gian con..
Hãy xác định một cơ sở của R - không gian véctơ M.

3.5. Xét hệ m phương tình n ẩn số x1, ..., xn trên trường K.

ai1 x1 + ai2x2 + ... + ainxn = bi; i = 1, ..., m.

Hãy viết hệ phương trình đó dưới dạng một đẳng thức véctơ trong không gian véctơ Km.
3.6. Giả sử A, B, C là các không gian con của không gian véctơ V, chứng minh:
1) A + B + C = (ABC).
2)

Nếu

AB

là

một

không

gian

con

thì

hoặc

A



B

hoặc

B A.
3) Nếu AB = AC, A + B = A + C và B  C thì B = C.
3.7. Xét xem các tập con sau đây của không gian véctơ R4 tập nào là không gian con. Nếu nó là không
gian con hãy xác định một cơ sở và phần bù tuyến tính của không gian con đó.
A = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0;
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

B = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 1;
C = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : x1 + x2 = x3 + x4 = 0;
D = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : xi  Q, i = 1, 2.
3.8. Xét C (- , + ) là R - không gian véctơ các hàm số xác định liên tục trên toàn trục số R.
1) Kí hiệu

I = f  C (- , + ) : f là hàm số lẻ;
P = f  C (- , + ) : f là hàm số chẵn.

Chứng minh rằng các tập I, P là các không gian con và C(- , + ) = I  P.
2) Kí hiệu:

A = f  C (- , + ) : f(0) = 0;
B = f  C (- , + ) : f(x) = constant.

Chứng minh rằng các tập A, B là các không gian con và C (- , + ) = A  B.
3.9.

Trong

không

gian

véctơ

R3

xét

hệ

véctơ

u1

=

(1,

2,

-1);

u2 = (1, 1, 1); u3 = (0, 1, 1). Chứng minh rằng hệ u1, u2, u3 là một cơ sở của không gian véctơ
R3.Hãy tìmtoạ độ của véc tơ u = (x, y, z) đối với cơ sở u1, u2, u3.
3.10. Xét R - không gian véctơ

C (- , + ) các hàm số liên tục. Chứng minh rằng các hệ véctơ sau

độc lập tuyến tính.
1) sin x, sin 2x, ..., sin nx.
2) 1, cos x, cos 2x, ..., cos nx
3) 1, u(t), u2(t), ..., um(t), trong đó u  constant
3.11. Xét R - không gian véctơ R[x] các đa thức.
1) Giả sử Pk(x) là đa thức có bậc bằng k, với k = 1, 2, ..., n. Chứng minh hệ Pk(x), k = 1, 2, ..., n độc
lập tuyến tính.
2) Giả sử f(x) là đa thức có bậc n > 1. Chứng minh hệ f(x), f'(x), ... f(n) độc lập tuyến tính.
3.12. Chứng minh rằng hệ véctơ u1 = (1,10,10), u2 = (10, 1, 10), u3 = (10, 10, 1) là một cơ sở của R - không
gian véctơ (R+)3 (ở bài tập 3.2)
3.13. Chứng minh hệ (x-2)k, k = 0, ..., n-1 là một cơ sở của không gian Kn[x] các đa thức ẩn x trên
trường số K có bậc < n. Xác định toạ độ của đa thức f(x)  Kn[x] đối với cơ sở đó.
3.14. Giả sử f1, ..., fn là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong không gian véctơ V trên trường số K.
1) Xét hệ véctơ: ui = fi + fi+1, i = 1, ..., n -1; un = fn + f1.
Chứng tỏ rằng hệ u1, ..., un độc lập tuyến tính nếu n lẻ, phụ thuộc tuyến tính nếu n chẵn.
2) Với k cho trước 1 < k < n, xét hệ véctơ
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung




Toán cao cấp

vi = fi, i = 1, ..., k;
k

vi =



fj + fi, với i = k + 1, ..., n.

j 1

Chứng minh rằng hệ v1, ..., vn độc lập tuyến tính.
3.15. Chứng minh rằng mọi không gian con của không gian véctơ hữu hạn chiều đều có bù tuyến tính.
3.16. Hãy chứng tỏ rằng tập R các số thực là một Q - không gian véctơ đối với phép cộng các số thực
và phép nhân số hữu tỉ với số thực, và trong Q - không gian véctơ R hệ véctơ 1, 2 , 3  độc lập tuyến
tính.
3.17. Chứng minh rằng trong không gian véctơ 3 - chiều không tồn tại các không gian con 2 -chiều M,
N thoả mãn MN = .
3.18. Giả sử F là không gian con m - chiều của K - không gian véctơ n - chiều V, m < n. Chứng minh
rằng:
1) Có một cơ sở của V không chứa véctơ nào của F.
2) Có một cơ sở của V chứa đúng k véctơ độc lập tuyến tính cho trước của F, 0 < k  m.
3.19. Giả sử L là một không gian con của K - không gian véctơ V. Trên tập V ta xét một quan hệ ~ xác
định như sau:
x ~ y  x - y  L.

Chứng minh rằng quan hệ ~ là một quan hệ tương đương và với mỗi x  V lớp tương đương x là tập
con có dạng

x = x + L = y = x + u : u  L

3.20. 1) Giả sử rằng hệ véctơ u1, ..., un là một cơ sở của không gian V, và L = (u1, ..., uk). Chứng
minh rằng rằng  u k 1 , ... u n  là một cơ sở của không gian thương V L.
2) Chiều của không gian thương V L được gọi là đối chiếu của không gian con L, kí hiệu là codim L.
Giả sử V là K - không gian véctơ hữu hạn chiều, không gian con M là bù tuyến tính của không gian
con L.
Chứng minh rằng codim L = dim M.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Trương Chí Trung