Chuyen de 1.PP TIM NGUYEN HAM BANG BANG NGUYEN HAM

Chuyên đề 1:

SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
u = u ( x)

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp

∫ kdx = kx + C , k ∈ R

∫x

α

∫

∫

dx =

∫ kdu = ku + C , k ∈ R

1
.xα +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

dx
= ln x + C
x

(

x≠0

∫u

∫ e dx = e
x

x

du =

1
.uα +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

∫

du
= ln u + C
x≠0
u
(
)

∫

du
= 2 u +C
u

)

dx
= 2 x +C
x

α

∫ e du = e

+C

u

u

+C

ax
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1).

au
∫ a du = ln a + C (0 < a ≠ 1).

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin udu = − cos u + C

x

dx

∫ cos

2

x

dx

= tan x + C

;

∫ sin

2

x

u

du

= − cot x + C

.

∫ cos

2

u

du

= tan u + C

;

∫ sin

2

u

= − cot u + C

Ngồi ra cịn một số công thức thường gặp là.
k
∫ (ax + b) dx =

1 (ax + b) k +1
+ C , ( a ≠ 0, k ≠ −1);
a k +1

1 ax +b
e
+C;
a
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

∫e

ax + b

dx =

1

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C, a ≠ 0.
1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C


Ví dụ Tìm các ngun hàm:

1.

1
I = ∫ x8dx = x 9 + C

9
I=∫

2.

•3.

dx
1
1
= ∫ x −5dx =
x −5+1 + C = − x −4 + C
5
x
−5 + 1
4

2
1
4
I = ∫ ( x 2 + 2 x ) dx = ∫ ( x 4 + 4 x3 + 4 x 2 ) dx = x 5 + x 4 + x 3 + C
5
3

I =∫
4.

dx 1 dx 1
=
= ln x + C

2x 2 ∫ x 2

I = ∫ e 2 x dx =

1 2x
e d ( 2x ) = e2 x + C
∫
2

I = ∫ e 4 x dx =

1 4x
1
e d ( 4 x ) = e 4 x+C
∫
4
4

•5.

6.

I = ∫ cos 2 xdx =

1
1
cos 2 xd ( 2 x ) = sin 2 x + C
∫
2
2

I = ∫ sin 2 xdx =

1
1
sin
2
xd
2
x
=
−
cos 2 x + C
(
)
2∫
2

•7.

•8.

I = ∫ x.e x dx =
2

9.

1 x2
1 x2
2

e
d
x
=
e +C
(
)
2∫
2

I = ∫ tan xdx = ∫
•10,

d ( cos x )
sin x
dx = − ∫
= − ln cos x + C
cos x
cos x


I = ∫ cot x = ∫
•11.

d ( sin x )
cos x
dx = ∫
= ln sin x + C
sin x
sin x

I = ∫ tan 2 xdx = ∫
12.

sin 2 x
1 d ( cos 2 x )
1
dx = − ∫
= − ln cos 2 x + C
cos 2 x
2
cos 2 x
2

I = ∫ cot 2 xdx = ∫
13•

14•

15•

16•

17•

18•

cos 2 x
1 d ( sin 2 x ) 1
dx = ∫

= ln sin 2 x + C
sin 2 x
2
sin 2 x
2

1
I = ∫ sin 2 x.cos xdx = ∫ sin 2 xd ( sin x ) = sin 3 x + C
3
1
I = ∫ cos 2 x.sin xdx = − ∫ cos 2 xd ( cos x ) = − cos 3 x + C
3
1
I = ∫ sin x.cos 4 xdx = − ∫ cos 4 xd ( cos x ) = − cos5 x + C
5
1
I = ∫ cos x.sin 4 xdx = ∫ sin 4 xd ( sin x ) = sin 5 x + C
5
I = ∫ ( 1 − 3sin 2 x ) cos xdx = ∫ ( 1 − 3sin 2 x ) d ( sin x )
= ∫ d ( sin x ) − ∫ 3sin 2 xdx = sin x − sin 3 x + C

19•

I = ∫ cos3 xdx = ∫ cos 2 x.cos xdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) .cos xdx

1
= ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) = sin x − sin 3 x + C
3

20•

1
I = ∫ sin 3 xdx = ∫ sin 2 x.sin xdx = − ∫ ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x ) = cos3 x − cos x + C
3


I = ∫ sin 2 xdx = ∫
21•

1 − cos 2 x
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx = x − sin 2 x + C
2
2
2
2
4

I = ∫ cos 2 xdx = ∫
21•

1 + cos 2 x
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = x + sin 2 x + C

2
2
2
2
4

I = ∫ sin 2 2 xdx = ∫
22•

1 − cos 4 x
1
1
x 1
dx = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx = − sin 4 x + C
2
2
2
2 8

I = ∫ cos 2 2 xdx = ∫
23•

I = ∫ tan 2 xdx = ∫
24•

1 + cos 4 x
1
1
x 1
dx = ∫ dx + ∫ cos 4 xdx = + sin 4 x + C

2
2
2
2 8

sin 2 x
1 − cos 2 x
dx
dx
=
dx
=
2
2
∫ cos x
∫ cos2 x − ∫ dx = tan x − x + C
cos x

cos 2 x
1 − sin 2 x
dx
I = ∫ cot xdx = ∫ 2 dx = ∫
dx = ∫ 2 − ∫ dx = − cot x − x + C
2
sin x
sin x
sin x
2

25•

TRẮC NGHIỆM

(

2 x 1 + 3x3
Câu 1: Nguyên hàm của

(

)

x 2 x + x3 + C
A)

Câu 2: Nguyên hàm của
−

A)

)

là:

(

)

x 2 1 + 3x 2 + C
B)

1
1
− x2 −
2
3
x

x4 + x2 + 3
+C
3x

−

B)

(

)

2x x + x3 + C
C)

D)

 6 x3 
x 2 1 +
÷+ C
5




là:

x3 1 x
+ − +C
3 x 3

C)

− x4 + x2 + 3
+C
3x

D)

1 x3
− − +C
x 3


f ( x) = 3 x
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số
F ( x) =
A)

là:

33 x2
+C

4

B)
f ( x) =

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số
F ( x) =
A)

2
+C
x

2 ( x − 1)
x

A)

Câu 6:

dx
∫ 2 − 3x

5

Câu 7:

∫  x +



x3 ÷dx


5ln x −

A)

2

(

( 2 − 3x )

C)

D)

4x
33 x2

+C

) +C

2

+C

F ( x) =
C)

−

B)

F ( x) = −

D)

x
+C
2

là:

x +1
x

x
+C
2

F ( x) =

x x+ x
x2

B)
2

C)

F ( x) =

là:

2
+C
x

F ( x) =

+C

1

bằng: A)

x x

B)

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số

4x
+C
33 x

F ( x) =

1

F ( x) = −

f ( x) =

F ( x) =

3x 3 x
+C
4

F ( x) =

3

( 2 − 3x )

+C

2

C)

2−3 x
+C
x

F ( x) =

D)

1
ln 2 − 3 x + C
3

D)

1+ 2 x
+C
x

1
− ln 3 x − 2 + C
3

bằng:

2 5
x +C
5

−5ln x +

B)

2 5
x +C
5

−5 ln x −

C)

2 5
x +C
5

5ln x +

D)

2 5
x +C
5

f ( x ) = e1−3x
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số

F ( x) =
A)

3
1−3 x

e

là:
F ( x) =

+C
B)

f ( x) =
Câu 9: Nguyên hàm của hàm số

e1−3 x
+C
3

1
e

2 −5 x

là:

F ( x) = −
C)

3e
+C
e3 x

F ( x) = −
D)

e
+C
3e3 x

F ( x) =
A)

Câu 10:

A)

e 2 −5 x

∫( 3

x

F ( x) = −

+C
B)

)

5
e 2 −5 x

F ( x) = −

+C
C)

e 2−5 x
+C
5

F ( x) =
D)

e5 x
+C
5e 2

+ 4 x dx
bằng:

3x
4x
+
+C
ln 3 ln 4

Câu 11:

A)

5

∫ ( 3.2

x

3x
4x
+
+C
ln 4 ln 3

B)

)

C)

4x
3x
+
+C
ln 3 ln 4

D)

3x
4x
−
+C
ln 3 ln 4

+ x dx
bằng:

2x 2 3

+
x +C
ln 2 3

3.

B)

2x 2 3
+
x +C
ln 2 3

C)

2x
2 3
+
x +C
3.ln 2 3

3.

D)

2x
+ x3 + C
ln 2

f ( x ) = 23 x.32 x

Câu 12: Nguyên hàm của hàm số

A)

23 x 32 x
F ( x) =
.
+C
3ln 2 2 ln 3

B)

là:
72
F ( x) =
+C
ln 72

C)

23 x.32 x
F ( x) =
+C
ln 6

F ( x) =

D)

ln 72

+C
72

f ( x ) = 31− 2 x.23 x
Câu 13: Nguyên hàm của hàm số
x

A)

8
 ÷
9
F ( x) =   + C
8
ln
9

x

B)

Câu 14: Nguyên hàm của hàm số
x

A)

4
 ÷
3
F ( x) = 3   + C

3
ln
4

là:
9
 ÷
8
F ( x) = 3   + C
8
ln
9
3x +1
f ( x) = x
4

x

C)

8
 ÷
9
F ( x) = 3   + C
8
ln
9

x

D)

8
 ÷
9
F ( x) = 3   + C
9
ln
8

là:

x

B)

3
 ÷
4
F ( x) =   + C
3
ln
4
f ( x ) = e3 x .3x

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số

là:

x

F ( x) =

C)

x
+C
2

D)

3
 ÷
4
F ( x) = 3   + C
3
ln
4


( 3.e ) + C
F ( x) =
ln ( 3.e )
3

x

F ( x ) = 3.

3

A)

B)

e3 x

(

ln 3.e3

)

F ( x) =

+C
C)

( 3.e ) x

(

ln 3.e3

)

( 3.e )
F ( x) =
3

+C
D)

ln 3

x

+C