Toan roi rac chuong 1

Trường đại học Cần Thơ
Khoa Công nghệ thông tin và truyền thông
Bộ môn Khoa học máy tính

TOÁN RỜI RẠC
(Discrete Mathematics)

Chương 1: Mệnh đề và Vị từ

12/2015


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Mệnh đề - định nghĩa
Mệnh đề (P) là một câu khẳng định có giá
trị chân lý xác định – đúng: T; sai: F
 P: mệnh đề nguyên tử
 Ví dụ: Các câu sau đây là mệnh đề


 2+3=5

True

D.C là thủ đô của Mỹ
 Toronto là thủ đô của Canada
 3*4=10

True

 Washington

False
False
2


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Mệnh đề - ví dụ


Xét các câu sau
Bây giờ là mấy giờ?
2. Hãy đọc giáo trình này!
3. x+1=2
4. x+y=z
Không phải là mệnh đề do câu 1, 2 không
phải là câu khẳng định; câu 3, 4 chứa các biến
(vị từ - tham khảo phần Vị từ)
1.

3


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Phương pháp tạo mệnh đề mới
Mệnh đề thường ký hiệu: P, Q, R, S…;
Giá trị chân lý: T (Đúng); F(Sai)
 Mệnh đề mới được xây dựng bằng cách
tổ hợp một hoặc nhiều mệnh đề nguyên
tử gọi là mệnh đề phức hợp (sử dụng
các toán tử logic – phép toán mệnh đề)
 Bảng chân trị: biểu diễn mối quan hệ giữa
những giá trị chân lý của các mệnh đề


4


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề


Phép phủ định:

một mệnh đề P
 Mệnh đề “không phải là P”: phủ định của
mệnh đề P
 Kí hiệu: ¬P, P
P ¬P
 Bảng chân trị
 Cho

T
F


Ví dụ: P= “2 > 0”

F
T

¬P= “2 ≤ 0”

5


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề
Cho hai mệnh đề P, Q.
 Mệnh đề “P và Q”: hội của 2 mệnh đề P và Q (PQ)
 Mệnh đề “P hay Q”: tuyển của 2 mệnh đề P và Q
(P  Q)
 Mệnh đề “loại trừ P hoặc loại trừ Q”, nghĩa là
“hoặc là P đúng hoặc Q đúng nhưng không đồng
thời cả hai”: phép Xor của 2 mệnh đề P và Q (PQ)
 Mệnh đề “Nếu P thì Q”: phép kéo theo của hai
mệnh đề P và Q (PQ)


Q  P: mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q

 ¬Q  ¬P: mệnh đề phản đảo của mệnh đề P  Q


6


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề


Ví dụ:
False
PQ = “2>0 và 2=0”
True
PQ = “2>0 hoặc 2=0”
PQ = “An đến trường hoặc là An ở nhà nhưng
không đồng thời cả hai”
P  Q = “Nếu An trả lời đúng thì An được 10 điểm”
P Q = "Nếu tôi có nhiều tiền thì tôi mua xe hơi"
 Mệnh

đề đảo: "Nếu tôi mua xe hơi thì tôi có nhiều

tiền"
 Mệnh đề phản đảo: " Nếu tôi không mua xe hơi thì tôi
không có nhiều tiền"
7

1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề


Bảng chân trị:

P
T
T
F
F

Q
T
F
T
F

PQ
T
F
F
F

PQ PQ
T
F

T
T
T
T
F
F

PQ
T
F
T
T

8


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề



Phép tương đương: Câu “P nếu và chỉ nếu Q” là
một mệnh đề được gọi là P tương đương Q.
Ví dụ:
P=“Bạn có thể bay”
 Q=“Bạn đã mua vé”


 PQ



Bảng chân trị:

P
T
T
F
F

Q
T
F
T
F

PQ
TT
F
F
TT

P  Q = (P  Q)  (Q  P)
9


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề


Phép toán trên bit:
tính dùng các bit (binary digit) để biểu diễn
thông tin
 Một bit có 2 giá trị là 1 và 0, bit biểu diễn giá trị
chân lý (True và False)
 Trong máy tính sử dụng các phép toán trên bit
là các phép toán logic (OR, AND và XOR)
 Ví dụ : 101011000 - xâu bit có chiều dài là 9
 Các phép toán OR bit, AND bit và XOR bit đối
với 2 xâu bit có cùng chiều dài.
10
 Máy


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các phép toán mệnh đề


Ví dụ: Tìm OR bit, AND bit và XOR bit đối
với 2 xâu sau đây:
01101 10110
11000 11101
11101 11111
OR bit

01000 10100
AND bit
10101 01011
XOR bit
11


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề
Cho P, Q, R,... là các mệnh đề. Nếu các mệnh đề
này liên kết với nhau bằng các phép toán thì ta
được một biểu thức mệnh đề.
Chú ý:
- Một mệnh đề cũng là một biểu thức mệnh đề.
- Nếu P là một biểu thức mệnh đề thì ¬P cũng là biểu
thức mệnh đề
- Chân trị của biểu thức mệnh đề là kết quả nhận
được từ sự kết hợp giữa các phép toán và chân trị
của các biến mệnh đề.


12


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề



Ví dụ: Tìm chân trị của biểu thức mệnh đề ¬P  (Q  R )
P

¬P

Q

R

QR

¬P (Q  R)

T

F

T

T

T

T

T

F

T

F

F

F

T

F

F

T

F

F

T

F

F

F

F

F

F

T

T

T

T

T

F

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

T

F

T

F

F

F

T

13


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề






Diễn giải ngôn ngữ tự nhiên: Xét phát biểu
" Nếu Michelle thắng trong kỳ thi Olympic, mọi người sẽ
khâm phục cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có. Nhưng,
nếu cô ta không thắng thì cô ta sẽ mất tất cả."
Các mệnh đề:
P: Michelle thắng trong kỳ thi Olympic
Q: mọi người sẽ khâm phục cô ấy
R: cô ta sẽ trở nên giàu có
S: cô ta sẽ mất tất cả
Biểu thức mệnh đề:

( P  (Q  R))  (¬P  S)
14


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề
Nếu Michelle thắng trong kỳ thi Olympic, mọi người
sẽ khâm phục cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có.
Nhưng, nếu cô ta không thắng thì cô ta sẽ mất tất cả.

Nếu Michelle thắng trong kỳ thi
Olympic, mọi người sẽ khâm phục
cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có.

Michelle thắng
trong kỳ thi
Olympic

AND

Mọi người sẽ khâm
phục cô ấy, và cô ta sẽ
trở nên giàu có.

Mọi người sẽ khâm phục
AND
cô ấy

Nếu cô ta không thắng thì cô
ta sẽ mất tất cả.

NOT

Cô ta sẽ trở nên
giàu có.

Cô ta thắng

Cô ta
tất cả.

sẽ mất

15


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề






Diễn giải ngôn ngữ tự nhiên: Xét phát biểu
"Người đi xe máy không thể vượt đèn đỏ nếu anh ta thấy
công an trừ khi anh ta quá liều "
Các mệnh đề:
P: người đi xe máy vượt đèn đỏ
Q: anh ta thấy công an
R: anh ta quá liều
Biểu thức mệnh đề:

(Q  ¬R) ¬P
16


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Hằng đúng, Hằng sai, Tiếp liên



Hằng đúng: là một biểu thức mệnh đề luôn có

chân trị là đúng
Ví dụ : ¬P P

P ¬P ¬P P
T F
T
F T
T
 Hằng sai: là một biểu thức mệnh đề luôn có chân
trị là sai
P ¬P ¬P  P
Ví dụ: ¬P  P
T
F
F
F
T
F
17


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Hằng đúng, Hằng sai, Tiếp liên


Tiếp liên: là một mệnh đề không phải là hằng

đúng và không phải là hằng sai.
Ví dụ: (P  Q )  (¬Q)
P Q ¬Q
T
T
F
F

T
F
T
F

F
T
F
T

P Q (P  Q )  (¬Q)
T
F
F
F

T
T
F

T
18


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề hệ quả


Biểu thức mệnh đề hệ quả: Cho F và G là 2 biểu
thức mệnh đề. G là biểu thức mệnh đề hệ quả của F
hay G được suy ra từ F nếu F  G là hằng đúng.

F G



Kí hiệu:



Ví dụ: Cho F = ( P  Q )  ( Q  R )
G=PR

Xét xem G có là biểu thức mệnh đề hệ quả của
F hay không?
19

1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề hệ quả
P

Q

R

PQ

QR

F

G

FG

T
T
T
T
F
F
F
F

T

T
F
F
T
T
F
F

T
F
T
F
T
F
T
F

T
T
F
F
T
T
T
T

T
F
T
T

T
F
T
T

T
F
F
F
T
F
T
T

T
F
T
F
T
T
T
T

T
T
T
T
T
T
T

T
20


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề tương đương


Cho hai biểu thức mệnh đề F và G, F và G được gọi là
tương đương logic nếu và chỉ nếu:
F, G cùng chân trị.
 phép tương đương của F và G là hằng đúng (F  G: T)






Ví dụ 1: Cho

F = P(QR)
G = (PQ)  (PR)
Xét xem F và G có tương đương logic không?

21


1.Mệnh đề

2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề tương đương
P Q R

QR

F

G

FG

T T T
T T F
T F T

T
F
F

T
T
T

T
T
T

T

T
T

T
T
T

T
T
T

T F F
F T T
F T F

F
T
F

T
T
F

T
T
T

T
T
F

T
T
F

T
T
T

F F T
F F F

F
F

F
F

F
F

T
F

F
F

T
T

PQ PR

22


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Biểu thức mệnh đề tương đương




Cho

F=PQ

G = ¬P  Q
Xét xem hai biểu thức mệnh đề trên có tương đương
logic không ?

P

Q

T
T
F
F

T
F
T
F

PQ ¬P
T
F
T
T

F
F
T
T

¬P  Q
T
F
T
T

23


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các quy tắc tương đương logic
Đặt T= hằng đúng,

P  T  T

P  F  F

Luật thống trị

P  T  P

P  F  P

Luật trung hòa

P  P  P

P  P  P

Luật lũy đẳng

PP

Luật phủ định của
phủ định

F = hằng sai


P  Q  P  Q


P  Q  P  Q

Luật De
Morgan

P  (P  Q)  P

P  (P  Q)  P

Luật hấp
thụ

P Q  PQ

Luật về
phép kéo
theo

P  Q = ¬Q  ¬P
24


1.Mệnh đề
2.Vị từ

Các quy tắc tương đương logic
P  P  T

P  P  F
P  Q  Q  P


P  Q  Q  P

Luật về phần tử bù

Luật giao hoán

P  Q  R  ( P  Q)  R  P  (Q  R)

P  Q  R  ( P  Q)  R  P  (Q  R)

P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)

P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)

Luật kết hợp
Luật phân phối

25