Tối ưu hóa nguyễn thị vinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 103 trang )

TR

NG

T I

I H C TH Y L I

U HÓA

[Tài li u gi ng d y

b c đ i h c]

Nguy n Th Vinh

HÀ N I 2010

M CL C
1

CH
NG 1: BÀI TOÁN T I U VÀ CÁC KHÁI NI M ............................. 3
1.1 BÀI TOÁN T I U VÀ VI C PHÂN LO I ............................................. 3
1.1.1
Bài toán t i u t ng quát và m t s thu t ng .......................................... 3
1.1.2
Phân lo i các bài toán t i u..................................................................... 5
1.1.3
B c c a ph ng pháp gi i các bài toán t i u.......................................... 5

X p x b c hai................................................................................................... 5
X p x này là c s toán h c n sau ph n l n các ph ng pháp t i u. Nó d a
trên khai tri n Taylor c a hàm f(x) lân c n đi m x0 nh m t chu i lu th a: .... 5
1.2 M t s khái ni m trong gi i tích l i.............................................................. 6
1.2.1
T p l i....................................................................................................... 6
1.2.2
Hàm l i ..................................................................................................... 7
1.3 Bài t p ch ng 1: ........................................................................................... 9
2 CH
NG 2: QUI HO CH TUY N TÍNH (QHTT) ..................................... 10
2.1 Các bài toán đi n hình c a QHTT ............................................................. 10
2.1.1
Bài toán v ch đ dinh d ng ............................................................... 10
2.1.2
Bài toán s d ng nguyên v t li u ........................................................... 11
2.1.3
Bài toán v n t i (t nh) ............................................................................. 11
2.1.4
Bài toán cây tr ng................................................................................... 12
2.2 M t s ví d v cách thi t l p bài toán QHTT ......................................... 12
2.2.1
Bài toán n kiêng: ................................................................................... 12
Ch t dinh............................................................................................................... 13
d ng .................................................................................................................... 13
Nhu c u t i............................................................................................................... 13
thi u hàng ngày ....................................................................................................... 13
2.2.2
Bài toán s n xu t:.................................................................................... 13
2.3 Ph ng pháp hình h c gi i bài toán QHTT .............................................. 14

2.3.1
Ví d 1: Minh ho ph ng pháp hình h c............................................ 14
2.3.2
Ví d 2: Minh ho ph ng pháp hình h c............................................. 15
2.4 Bài toán QHTT d ng chu n và các khái ni m .......................................... 16
2.4.1
Bài toán QHTT d ng chu n và vi c chu n hóa các bài toán QHTT ...... 16
2.4.2
Ví d minh h a ....................................................................................... 17
2.4.3
Các ph ng án c a bài toán QHTT chu n ............................................. 18
2.4.4
i u ki n t n t i nghi m t i u .............................................................. 19
2.5 Ph ng pháp đ n hình (PP H) gi i bài toán QHTT chu n ................... 20
2.5.1
ng l i chung và c s c a thu t toán ............................................... 20
2.5.2
Tìm hi u PP H qua vi c gi i bài toán s n xu t ..................................... 20
2.5.3
Thu t toán đ n hình................................................................................ 22
2.5.4
Ví d ....................................................................................................... 23
2.5.5
M t s v n đ th ng g p ...................................................................... 25
2.5.6
S đ kh i và ch ng trình tính ............................................................. 31
2.6 Bài t p ch ng 2: ......................................................................................... 36
3 CH
NG 3: CÁC BÀI TOÁN KHÁC C A QHTT...................................... 38
3.1 Bài toán đ i ng u (BT N)........................................................................... 38

3.1.1
Khái ni m BT N
.............................................................................. 38
3.1.2
nh ngh a: ............................................................................................. 39
1

3.1.3
Các tính ch t c a hai BT N................................................................... 40
3.2 Bài toán v n t i............................................................................................. 42
3.2.1
Bài toán v n t i (BTVT) và s t n t i nghi m t i u............................. 42
3.2.3
BTVT không cân b ng: đ a v BTVT cân b ng r i gi i ...................... 47
3.2.4
S đ kh i và ch ng trình tính ............................................................. 47
3.3 Qui ho ch tham s tuy n tính (QHTSTT)................................................. 49
3.3.1 Tr ng h p hàm m c tiêu ph thu c tuy n tính vào m t tham s .................. 50
3.3.3
Vài m r ng c a bài toán QHTSTT ....................................................... 56
3.4 Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính (QHNTT) ..................................... 56
3.4.1
Bài toán QHNTT t ng quát .................................................................... 56
3.4.2
Ph ng pháp nhánh và c n gi i bài toán QHNTT ................................. 57
3.5 Bài t p ch ng 3: ......................................................................................... 61
4 CH NG 4: GI I THI U BÀI TOÁN QUI HO CH NG (QH )...................... 64
4.1 Bài toán tìm đ ng đi (l trình) ng n nh t ho c dài nh t. ...................... 64
4.2 Các nguyên t c c b n c a QH ................................................................ 65

4.3 Thi t l p bài toán theo QH và các ph ng trình truy h i c a Bellmann
66
4.3.1
Thi t l p m t bài toán theo QH ........................................................... 66
4.3.2
Các ph ng trình truy h i c a R.Bellmann............................................ 67
4.4 Ph ng pháp th c hành trong QH .......................................................... 70
4.5 M t s ví d ................................................................................................... 70
4.6 Bài t p ch ng 4: ......................................................................................... 76
4.7.............................................................................................................................. 77
4.8 Ph ng án ...................................................................................................... 77
4.8.1
I ............................................................................................................... 77
5 CH
NG 5: QUY HO CH PHI TUY N (QHPT) ....................................... 78
5.1 Ph ng pháp dò tìm c c tr đ a ph ng c a hàm m t bi n .................... 78
5.1.1
N i dung ph ng pháp lát c t vàng (ph ng pháp b c không) ............. 78
5.1.2
Thu t toán ............................................................................................... 79
5.1.3
Ví d : nh v đi m c c t u c a hàm f(x) = x 2 − x bi t ε = 0,15 ........ 79
5.2 Các ph ng pháp t t d c dò tìm c c tr đ a ph ng c a bài toán QHPT
không ràng bu c nhi u chi u................................................................................. 82
5.2.1
t v n đ :.............................................................................................. 82
5.2.2
Ph ng pháp đ ng d c nh t (Steepest Descents)................................. 82
5.3 Ph ng pháp gradient dò tìm c c tr đ a ph ng c a bài toán QHPT
ràng bu c nhi u chi u............................................................................................. 88

5.3.1
M t s khái ni m .................................................................................... 88
5.3.2
Ph ng pháp Gradient ............................................................................ 91
5.4 Bài t p ch ng 5: ......................................................................................... 94
6 CH
NG 6: H
NG D N S D NG CÔNG C SOLVER TRONG MSEXCEL GI I CÁC BÀI TOÁN T I U................................................................. 95
6.1 Gi i thi u b công c SOLVER chu n trong MS-EXCEL...................... 95
6.1.1
M t s khái ni m trong SOLVER chu n................................................ 95
6.1.2
Xây d ng mô hình SOLVER.................................................................. 97
6.2 Ví d : ............................................................................................................. 97

1
2

CH

NG 1: BÀI TOÁN T I

U VÀ CÁC KHÁI NI M

1.1 BÀI TOÁN T I U VÀ VI C PHÂN LO I
1.1.1 Bài toán t i u t ng quát và m t s thu t ng
Bài toán t i u t ng quát:
Tìm giá tr l n nh t (hay giá tr nh nh t) c a hàm đ n tr f(x)
(1.1)

tho mãn các đi u ki n:
gi(x) ≥ (≤, =) bi, i = 1, m
(1.2)
x ∈X ⊂ Rn
(1.3)
Bài toán (1), (2), (3) đ c g i là bài toán t i u t ng quát, hàm f(x) đ c g i là hàm
m c tiêu, các hàm gi(x) đ c g i là các hàm ràng bu c, t p h p
D = {x ∈ X : g i ( x ) ≥ (≤, =) b i , i = 1, m}
(1.4)
đ c g i là mi n ràng bu c (mi n ch p nh n đ c).
M t ph ng án x*ε D làm t i u hàm m c tiêu đ c g i là m t ph ng án t i u hay
m t nghi m t i u; f(x*) đ c g i là giá tr t i u c a bài toán t i u t ng quát
M t s thu t ng
- Bài toán t i u t ng quát đ c g i là bài toán t i u không ràng bu c n u
không có m t h n ch nào trên mi n X (không có h ràng bu c (2) hay
D = X).
- Giá tr f(x*) t i nghi m t i u x*∈ D còn đ c g i là c c tr tuy t đ i (hay toàn
c c) c a bài toán (1), (2), (3). N u có m t ph ng án x ∈ D: f(x) ch là giá tr
t i u trong m t lân c n c a x thì f(x) đ c g i là c c tr t ng đ i (hay đ a
ph ng). V y đ tìm giá tr t i u c a hàm m c tiêu f(x) trên mi n, ng i ta
th ng tìm các c c tr t ng đ i, sau đó so sánh v i các giá tr trên biên đ xác
đ nh giá tr t i u.
M t s tính ch t quan tr ng c a c c tr c a các hàm tr n
-

i v i hàm m t bi n

đi m c c tr (t

ng đ i) x ∈ D, ta có

df
( x ) = 0, đ i v i
dx

hàm nhi u bi n, véct gradientf c a hàm m c tiêu f(x) b ng không, t c là
⎛ ∂f ⎞
⎜
⎟
⎜ ∂x 1 ⎟
⎜ ∂f ⎟
⎜ ∂x ⎟
⎜ 2⎟
gradientf ( x ) = ⎜ . ⎟ = 0
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜ ∂f ⎟
⎜ ∂x ⎟
⎝ n ⎠x
Nh ng đi m x ε D tho mãn đi u ki n (5) đ

(1.5)

c g i là đi m d ng.
3

Hình d

-

i đây cho ta các đi m d ng c a hàm m t bi n y = f(x)

i v i hàm m t bi n, nh ng đi m c c đ i, đ cong c a đ
d 2f
s âm, t c là
(x) < 0 ,
dx 2

ng y = f(x) là m t
(1.6)

Còn nh ng đi m c c ti u thì b t đ ng th c (1.6) có chi u ng c l i.
i v i hàm
nhi u bi n, đi u ki n (1.6) t ng đ ng v i ma tr n Hessian H(x) các đ o hàm
riêng c p hai c a f(x) là xác đ nh âm (d ng), t c là yT H(x) y < 0 (>
0) ∀x ∈ D, ∀y ∈ R n

⎛ ∂ 2f ⎞
⎟
H(x) = ⎜⎜
⎟
x
x
∂
∂
j ⎠
⎝ i

x

⎞
⎛ ∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
....
⎟
⎜ 2
∂ x1∂ x 2
∂ x1∂ x n ⎟
⎜ ∂ xi
⎜ ∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f ⎟⎟
⎜
....
= ⎜ ∂ x 2∂ x1
∂ x 22
∂ x 2∂ x n ⎟
⎟
⎜
.... ......
⎟
⎜ ...............
2
2
⎜ ∂ 2f
∂ f
∂ f ⎟

....
⎟
⎜
∂ xn∂ x2
∂ x 2n ⎠ x
⎝ ∂ x n ∂x1

(1.7)

4

Hình trên đây cho ta nh ng đi m d ng c a m t hàm hai bi n f(x1, x2). ây là m t
hình v các chu tuy n, trong đó nh ng đi m có cùng giá tr d c n i v i nhau b i m t
đ ng cong. Trong hình này còn có m t đi m yên ng a (saddle points).
1.1.2 Phân lo i các bài toán t i u
D a trên các tính ch t c a các thành ph n c a bài toán t i u (1), (2), (3), ng i ta
phân các bài toán t i u thành các lo i sau:
1. Qui ho ch tuy n tính (QHTT): hàm m c tiêu và các hàm ràng bu c đ u là hàm
tuy n tính.
2. Qui ho ch tham s : các h s c a hàm m c tiêu và c a các hàm ràng bu c ph
thu c vào các tham s .
3. Qui ho ch đ ng: đ i t ng xét t i u là các quá trình có nhi u giai đo n (phát
tri n theo th i gian).
4. Qui ho ch phi tuy n: n u hàm m c tiêu ho c có ít nh t m t hàm ràng bu c phi
tuy n ho c là c hai tr ng h p cùng x y ra.
5. Qui ho ch r i r c (tr ng h p riêng là qui ho ch nguyên): mi n ràng bu c là r i
r c (hay nguyên).
6. Qui ho ch đa m c tiêu: xét nhi u hàm m c tiêu trên cùng mi n ràng bu c.
1.1.3

B c c a ph ng pháp gi i các bài toán t i u
Cách thu n ti n đ phân lo i các ph ng pháp t i u là b c c a ph ng pháp
gi i. ó là b c cao nh t c a đ o hàm hàm m c tiêu mà các ph ng pháp s
d ng.
a- Ph ng pháp b c không: ch c n đ n các giá tr c a hàm m c tiêu . Ch ng
h n ph ng pháp đ n hình gi i các bài toán QHTT là ph ng pháp b c
không.
b- Ph ng pháp b c nh t: đòi h i c giá tr c a hàm l n véct đ o hàm (riêng).
Ví d c a ph ng pháp b c nh t là ph ng pháp gradient liên h p
c- Ph ng pháp b c hai: đòi h i c giá tr c a hàm l n véct đ o hàm (riêng)
c p m t và ma tr n các đ o hàm riêng c p hai. Ví d c a ph ng pháp b c
hai là ph ng pháp Newton
X p x b c hai.

X p x này là c s toán h c n sau ph n l n các ph ng pháp t i u. Nó d a trên
khai tri n Taylor c a hàm f(x) lân c n đi m x0 nh m t chu i lu th a:

df
Δx 2 d 2 f
f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) + Δx ( x 0 ) +
( x 0 ) + ...
dx
2 dx 2
Hoàn toàn t

ng t , khai tri n Taylor đ

c m r ng cho hàm nhi u bi n:

f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) + Δx T .gradientf ( x 0 ) +

1 T
Δx .H.Δx ( x 0 ) + ...
2

(1.8)
5

trong đó đ o hàm b c nh t đ c thay th b i gradientf ( x 0 ) và đ o hàm b c hai đ
thay th b i ma tr n Hessian H(x0)

c

N u x0 là đi m c c tr c a hàm f(x) thì (8) tr thành:
f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) +

1 T
Δx .H.Δx ( x 0 ) + O(Δx 3 )
2

(1.9)

vì các đ o hàm (riêng) b c nh t t i đi m c c tr đ u b ng không. S h ng O(∆x3) n
đ nh sai s b c ∆x3. Do ∆x 0, s h ng này s tr nên nh so v i s h ng b c hai.
V y m t hàm kh vi b c hai b t kì luôn luôn x p x đ c b i khai tri n Taylor đ n
c p hai c a nó. i u này d n đ n h qu là h u h t các ph ng pháp t i u đ c thi t
k đ tìm giá tr t i u c a các hàm b c hai. Trong th c hành, hi m khi ta g p bài toán
t i u mà hàm m c tiêu là hàm b c hai. Tuy nhiên khi ch ng trình tính h i t đ n giá

tr t i u thì m t cong y = f(x) s d n v m t b c hai. i u này có ngh a là m t thu t
toán x p x là h i t t t n u có th ch ra r ng nó h i t trên m t b c hai.
ó là c s toán h c c a ph

ng pháp Newton

1.2 M t s khái ni m trong gi i tích l i
1.2.1 T p l i
T h p l i:
Cho m vect { xi Rn, i=1,…,m }; vect x ∈ Rn đ c g i là t h p l i c a
các vect này n u :

L u ý: x đ c g i là t h p l i th t s c a các {xi} n u ngoài các ràng bu c trên ta
có ∃ α i ∈ [0,1]
T p h p l i:
+ S ∈ Rn là t p l i n u { ∀ x ∈ S , y ∈ S , λ ∈ [0,1] ⇒ λ .x + (1-λ) y ∈ S }

Nh v y n u S ⊂ R 2 là m t t p l i thì nó nó ch a tr n đo n th ng n i hai đi m
b t kì c a nó.
Ví d v t p h p l i:
o n th ng
6

M t ph ng
Siêu ph ng
n

{x=(x1 , …, xn)∈Rn :

∑a x
i

i =1

i

= b, ∀a i , b ∈ R}

N a không gian
{x=(x1 , …, xn)∈Rn:

n

∑a x
i =1

i

i

≤ ( hoÆc ≥ hoÆc < hoÆc >) b∀a i , b ∈ R}

nh c c biên :
Cho đi m x*∈S (v i S là t p l i):

∃ x1, x2 ∈S đ x* = λ x1 +( 1-λ )x2 ; λ ∈[0,1].
Khi đó x* là m t đ nh c c biên c a S

a di n l i : Là t p l i S v i s đ nh c c biên là h u h n. Ví d v đa di n l i

trong R2 là các đa giác l i.
nh lí 1: Các t p l i là đóng đ i v i phép giao, phép c ng, phép nhân v i m t
s và phép l y t h p tuy n tính, t c là n u A và B là hai t p l i trong Rn thì các
t p h p sau c ng là l i:
A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B}
λA + βB = {x = λa + βb : a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R}

H qu 1: Mi n ch a nghi m c a h ph
di n l i.

ng trình đ i s tuy n tính là m t đa

1.2.2 Hàm l i
nh ngh a:
- Hàm s f(x) xác đ nh trên t p l i S ⊂ R n đ

c g i là hàm l i trên S n u

∀x, y ∈ S, 0 ≤ λ ≤ 1 ta có: f( x +(1 – )y) ≤ f(x) + (1 – )f(y)
- Hàm s f(x) đ

c g i là l i ch t trên S n u

∀x, y ∈ S, 0 < λ < 1 ta có: f( x +(1 – )y) < f(x) + (1 – )f(y)
- Hàm s f(x) đ

c g i là lõm (ch t) trên t p l i S n u hàm –f(x) là l i (ch t) trên S.

Các tính ch t c a hàm l i
-

i u ki n đ m t hàm kh vi là l i
7

nh lí 2: Cho hàm f: X R là m t hàm kh vi trên t p l i m X.
c n và đ đ f là m t hàm l i trên X là

i u ki n

f(x) + gradientf(x) . (y-x) ≤ f(y) ∀x, y ∈ X
N u f kh vi hai l n thì đi u ki n c n và đ đ f l i trên X là ma tr n Hessian
H(x) c a f(x) xác đ nh không âm trên X, t c là
yT H(x) y ≥0 ∀x ∈ X, ∀y ∈ R n
- Tính ch t c b n v c c tr c a m t hàm l i
nh lí 3: B t kì c c ti u đ a ph
c c ti u tuy t đ i.

ng nào c a m t hàm l i trên t p l i c ng là

H qu 2: B t kì c c đ i đ a ph
đ i tuy t đói.

ng nào c a hàm lõm trên t p l i c ng là c c

nh lí 4: C c đ i c a m t hàm l i (n u có) trên m t t p l i có đi m c c biên
bao gi c ng đ t t i đi m c c biên.

8

1.3 Bài t p ch ng 1:
1> Xác đ nh các mi n mà trên đó các hàm sau đây là l i (lõm):
y = x2
y = ex
y=x
y=sn
2> V các mi n gi i h n b i các ràng bu c sau và xét xem mi n nào là mi n l i
x22 – x1 + 3 < 0
x22 – x1 + 3 < 0
x1 + x2 – 5 < 0
x12 + x22 – 16 < 0

9

2
2.1

CH

NG 2: QUI HO CH TUY N TÍNH (QHTT)

Các bài toán đi n hình c a QHTT

QHTT là m t ph n c a lý thuy t quy ho ch toán h c, nó gi i quy t tr n v n c v lí
thuy t l n th c hành l p bài toán t i u tuy n tính và còn đ c s d ng đ x p x các
bài toán qui ho ch phi tuy n.
D

i đây, ta s xét ba bài toán đi n hình c a QHTT.
ti n trình bày, ta xét chung m t ki u b ng d li u nh sau:
F1

F2

......

Fj

......

Fn

N1

a11

a12

......

a1j

......

a1n

b1

N2

a21

a22

......

a2j

......

a2n

b2

......

......

......

......

ai1

ai2

ain

bi

......

......

......

......

am1

am2

......

am j

......

amn

bm

c1

c2

......

cj

......

cn

Ni

Nm

......
......

ai j

......

......

2.1.1 Bài toán v ch đ dinh d ng
Xét n lo i th c n Fj (nh : rau, đ u, b , s a, g o, mì,...) và m y u t dinh d ng
c n thi t Ni (nh : vitamin các lo i, ch t béo, ch t s t, ch t đ m, ...) Bi t aij là hàm
l ng c a y u t Ni trong m t đ n v th c n Fj , bi là t ng hàm l ng t i thi u c a
y u t Ni c n cho m t kh u ph n; cj là giá m t đ n v th c n Fj .
Bài toán đ t ra là: Tìm m t ch đ n u ng thích h p nh t, sao cho th a mãn đ y
đ m i yêu c u v dinh d ng v i t ng chi phí r nh t.
G i xj là s đ n v th c n Fj c n mua, bài toán trên đ a v tìm xj sao cho:
n

L = ∑ c jx j

có GTNN

(2.1)

j=1

Các đi u ki n ràng bu c s là:
⎧n
⎪ ∑ a ij x j ≥ b i
⎨ j=1
⎪
⎩x j ≥ 0

L u ý là h (2.2) g m m b t ph
h s t do bi ≥ 0 (i = 1 ÷ m).

(i = 1 ÷ m )

(2.2)
(2.3)

ng trình tuy n tính có cùng m t chi u ≥ v i các

10

2.1.2 Bài toán s d ng nguyên v t li u
Trong b ng d li u đã cho trên, ng i ta c n s n xu t n m t hàng Fj (nh : bàn,
t , gh ,...) t m lo i nguyên v t li u Ni (ch ng h n: g , g ng, khung nhôm, ..). Bi t

tr l ng hi n có c a Ni là bi đ n v , aij là s nguyên li u th i c n thi t đ làm ra m t
đ n v hàng th j; cj là giá bán ra c a m t đ n v hàng Fj.
G i xj là s đ n v hàng Fj c n s n xu t. Mu n s d ng h p lý s nguyên v t li u
hi n có đ làm ra các m t hàng bán đ c nhi u ti n nh t, ta s ph i tìm xj sao cho:
n

L = ∑ c jx j

có GTLN

(2.4)

(i =1÷ m)

(2.5)

j=1

Các đi u ki n ràng bu c s là:
⎧n
⎪∑aijxj ≤ bi
⎨ j=1
⎪x ≥ 0
⎩ j

L u ý là h (2.5) g m m b t ph
h s t do bi ≥ 0 (i = 1 ÷ m).

(2.6)

ng trình tuy n tính có cùng m t chi u ≤ v i các

2.1.3 Bài toán v n t i (t nh)
L p k ho ch v n chuy n h t s hàng có trong m nhà kho Ni đ n n c a hàng Fj
(i=1÷ m; j =1÷ n) sao cho t ng c c phí v n chuy n là nh nh t. Bi t s l ng hàng
có trong kho Ni là bi và yêu c u c a c a hàng Fj là cj ; aij là c c phí v n chuy n
m t đ n v hàng t kho Ni đ n c a hàng Fj .
Bài toán đ a v tìm s hàng v n chuy n xij (đ n v hàng) t kho Ni đ n c a hàng
Fj sao cho:
L=

a ij ⋅ x ij
i

(2.7)

có GTNN;

j

Các đi u ki n ràng bu c s là:

⎧n
⎪∑ x ij = b i
⎪ j=1
⎪⎪ m
⎨∑ x ij = c j
⎪ i=1
⎪ x ij ≥ 0
⎪

⎩⎪
V i gi thi t

m

n

i =1

j=1

(i = 1 ÷ m )

(2.8)

( j = 1 ÷ n)

(2.9)
(2.10)

∑ bi = ∑ c j (cung và c

không âm, th a mãn (m + n − 1) ph
c c ti u tuy t đ i.

u b ng nhau), bài toán s có m

x

n n

ng trình đ c l p và làm cho hàm m c tiêu L đ t

11

Nhìn chung, ba bài toán đi n hình nêu trên đ u d n t i vi c tìm m t véct X có n
t a đ không âm, th a mãn h các ph ng trình ho c b t ph ng trình tuy n tính cho
tr c, sao cho hàm m c tiêu L (tuy n tính theo các to đ c a X) đ t GTLN ho c
GTNN, ngh a là
c n tìm max (ho c min) c a tích CT X
v i h các đi u ki n:
và:

(i)

A.X ≤ b (≥ ho c = b) (ii)
X≥0

(iii)

v i b là m t ma tr n c t, g m m ph n t bi là các h s t do có th d ng, âm hay
b ng 0, CT là m t ma tr n hàng, g m n ph n t ci là các h s ràng bu c có th d ng,
âm hay b ng 0, các h th c (i), (ii), (iii) đ c khái quát hoá t các h th c t ng ng
c a ba bài toán đã nêu. Trong cách vi t này, h (ii) đ i v i các bài toán khác nhau có
th g m c các b t ph ng trình và các ph ng trình. Ch ng h n, xét bài toán sau đây.
2.1.4 Bài toán cây tr ng
Trên m cánh đ ng Ni v i di n tích t ng ng bi ta d đ nh tr ng n lo i hoa màu
Fj .Bi t a j (đ n v là t n / ha) là n ng su t đ t đ c khi tr ng lo i hoa màu th j trên
cánh đ ng th i. Bi t yêu c u thu ho ch t i thi u cho lo i hoa màu th j là cj (t n) và

giá bán m t t n hoa màu này là dj . Nh v y c n tìm xij: di n tích (tính theo ha) c a
cánh đ ng th i nên tr ng lo i hoa màu th j (đi u ki n (iii): xij ≥ 0 ∀i, j), sao cho
t ng s ti n thu đ c sau khi bán h t s hoa màu tr ng đ c là l n nh t (đi u ki n (i)).
H n n a, t ng di n tích tr ng t t c các lo i hoa màu trên cánh đ ng th i không đ c
v t quá bi (đi u ki n (ii)) và t ng thu ho ch lo i hoa màu th j (trên m cánh đ ng )
ph i v t quá ho c ít ra là b ng cj (đi u ki n (ii)).
Bài toán đ c vi t g n l i nh sau:
L=

a ij ⋅ x ij

dj
j

có GTLN;

(2.11)

i

Các đi u ki n ràng bu c s là:
⎧n
⎪∑ x ij ≤ b i
⎪ j=1
⎪⎪ m
⎨∑ a ij x ij ≥ c j
⎪ i=1
⎪ x ij ≥ 0
⎪
⎪⎩

(i = 1 ÷ m)
(j = 1 ÷ n)

(2.12a)
(2.12b)
(2.13)

2.2 M t s ví d v cách thi t l p bài toán QHTT
2.2.1 Bài toán n kiêng:
duy trì s c kho , m t ng i n kiêng ph i theo m t ch đ n cho nhu c u
dinh d ng t i thi u v canxi, đ m và vitamin A c a hai lo i th c n I và II mà hàm
l ng các ch t dinh d ng c ng nh giá c (cho 100 g) đ c cho b ng d i đây:
12

Ch t dinh
d ng

Th c n I
(100g)

Can xi

10 (g)

4 (g)

20 (g)

5

5

20

Vitamin A 2

6

12

Giá ti n

4 (ngàn)

m

3 (ngàn)

Th c n II
(100g)

Nhu c u t i
thi u hàng ngày

Hãy tìm cách t h p 2 lo i th c n này đ đ m b o nhu c u dinh d
giá r nh t

ng hàng ngày v i

a v bài toán QHTT
G i s l ng c a t ng lo i th c n c n ph i mua hàng ngày là x1 và x2 t
toán đ t ra là tìm GTNN c a hàm m c tiêu

ng ng. Bài

L = 3x1 + 4x2
tho mãn các ràng bu c
⎧10 x1 + 4 x 2 ≥ 20 ( nhu cÇu can xi)
⎪5x + 5x ≥ 20
( nhu cÇu đ ¹m)
⎪ 1
2
⎨
⎪ 2 x1 + 6x 2 ≥ 12 ( nhu cÇu vitamin A)
⎩⎪ x1 , x 2 ≥ 0

2.2.2 Bài toán s n xu t:
M t nhà máy s n xu t hai lo i s n ph m I và II. Nhà máy có ba phân x ng:
c t, tr n và đóng gói s n ph m. M i ca c a m i phân x ng làm vi c 8 gi m t ngày.
Qui trình s n xu t nh sau:
-

S n ph m I đ
đóng gói.

c c t r i đóng gói, m i t n hàng c n n a gi c t và 20 phút

-

S n ph m II đ
đóng gói.

c tr n r i đóng gói, m i t n hàng c n 1 gi tr n và 40 phút

M i t n hàng c a s n ph m I và II đ
ngàn đ ng t ng ng.

c s n xu t s thu l i cho nhà máy 40 ngàn và 30

Hãy l p k ho ch s n xu t cho nhà máy sao cho trong m t ca s n xu t, nhà máy
thu đ c l i nhu n cao nh t.
a v bài toán QHTT
S li u đ

c tóm t t

b ng d

i đây:

13

Phân x

Sàn ph m I Sàn ph m II Th i gian cho phép (gi )

ng

0 (gi )

1/2 (gi )
0

C t (1 t n)
Tr n (1 t n)

1
2/3

óng gói (1 t n) 1/3
L i nhu n

40 (ngàn)

8
8
8

30 (ngàn)

G i t ng l i nhu n thu đ c là L, s t n hàng lo i I c n s n xu t s là: x1, s t n hàng
lo i II s là x2 Yêu c u c a bài toán là tìm GTLN c a hàm m c tiêu
L = 40x1 + 30x2
tho mãn ràng bu c trong th i gian cho phép:
⎧ x1 ≤ 16
⎪x ≤ 8
⎪ 2

⎨
⎪ x1 + 2 x 2 ≤ 24
⎩⎪ x1 , x 2 ≥ 0

(sè tÊn c¾t )
(sè tÊn trén )
(sè tÊn đóng gãi)

Nh n xét: Trong các bài toán nêu trên, nhi u khi do thi u thông tin đ y đ v d
c l ng đ c chúng trong
li u th c t , ta ch a có ngay các h s a j, bi, cj mà ch
m t kho ng nào đó, ho c bi t chúng ph thu c m t hay nhi u tham s nào đó. Khi đó,
bài toán thu c l nh v c QHTT có tham s .
2.3

Ph

ng pháp hình h c gi i bài toán QHTT

2.3.1 Ví d 1: Minh ho ph
Gi i bài toán n kiêng

ng pháp hình h c
m c tr

c: tìm GTLN c a hàm m c tiêu

L = 3x + 4y
tho mãn các ràng bu c
⎧10 x + 4 y ≥ 20

⎪5x + 5 y ≥ 20
⎪
⎨
⎪ 2 x + 6 y ≥ 12
⎩⎪ x , y ≥ 0

Gi i:
u tiên,
Ch n l y m t phía
(1)÷(4). Nh th , ta
này, mi n D là vô h

(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)

ta v các đ ng biên c a mi n ch p nh n đ c D c a nghi m.
c a m i đ ng biên phù h p v i chi u c a các b t đ ng th c
s đ c mi n D (h u h n, vô h n ho c bán vô h n). Trong ví d
n.

14

r

r

r

V véct c = 3 i + 4 j ây chính là véct pháp tuy n c a các đ ng th ng có
ph ng trình 3x+4y = m = const. Các đ ng th ng nói trên đ u song song v i đ ng
th ng có ph ng trình: 3x+4y = 0, g i là đ ng th ng t a ( đ-th-t.).

r

Ta nh n th y là giá tr (3x+4y) gi m d n theo h ng c a - c , vì th có th t nh ti n
r
đ-th-t theo h ng c a - c đ nó có th quét c m t ph ng . Khi đó, đi m (3; 1) là v trí
cu i cùng mà đ-th-t ch m vào mi n D. Chính t i đi m này hàm L đ t GTNN.
GTNN L = L(3; 1) = 13( ngàn đ ng)
2.3.2 Ví d 2: Minh ho ph ng pháp hình h c
Gi i bài toán s n xu t ti t tr c: Tìm GTLN c a hàm m c tiêu
L = 40x + 30y
th a mãn các đi u ki n sau:
⎧ x ≤ 16
⎪y ≤ 8
⎪
⎨
⎪ x + 2 y ≤ 24
⎩⎪ x , y ≥ 0

(2.18)
(2.19)
( 2.20)
(2.21)

Gi i:
u tiên, ta v các đ ng biên c a mi n cháp nh n đ c D c a nghi m.

Ch n l y m t phía c a m i đ ng biên phù h p v i chi u c a các b t đ ng th c
(2.18)÷(2.21). Nh th , ta s đ c mi n D (h u h n ho c vô h n, bán vô h n). Trong
ví d này, mi n D là h u h n.

r

r

r

V véct c = 4 i + 3 j ây chính là véct pháp tuy n cu các đ ng th ng có
ph ng trình 40x+30y = m = const. Các đ ng th ng nói trên đ u song song v i
đ ng th ng có ph ng trình: 4x+3y = 0 (đ-th-t)

r

Ta nh n th y là giár tr (4x+3y) t ng d n theo h ng c a c , vì th có th t nh ti n đ-tht theo h ng c a c đ nó có th quét c m t ph ng . Khi đó, đi m (0; 0) là v trí đ u
tiên mà đ-th-t ch m vào mi n D, đi m (16; 4) là v trí cu i cùng mà đ-th-t r i kh i
mi n . Chính t i 2 đi m này, hàm L l n l t đ t GTNN và GTLN.
15

GTNN L = L(0; 0) = 0; GTLN L = L(16; 4) = 760 (ngàn đ ng)
Chú ý: ôi khi, trong mi n ch p nh n đ c c a nghi m (vô h n ho c bán vô h n), hàm
đang xét có th không có GTLN ho c GTNN. C ng có khi bài toán đ c xét có vô s
nghi m, đó là tr ng h p t n rt i t p h p các đi m t i u n m trên nh ng c nh c a
mi n D, vuông góc v i véct c. Ch ng h n, khi ph i tìm GTLN c a x, v i các đi u
ki n (2.18),(2.19),(2.20) trong ví d trên, đ-th-t s trùng v i tr c Oy và song song v i
m t c nh c a D Khi đó, x s đ t GTLN b ng 3 ng v i vô s giá tr y ∈[0; 8].
Nhìn chung, ph ng pháp hình h c r t tr c quan và cho ta k t qu nhanh chóng.

H n ch c a ph ng pháp này là s bi n không th nhi u quá 2, và ngay v i tr ng
h p ít bi n, vi c bi u di n mi n D trên m t ph ng nhi u lúc r t khó kh n.

T ph ng pháp hình h c, ng i ta ngh đ n m t thu t toán khác đ tìm GTLN và
GTNN trong QHTT:
u tiên, hãy tìm m t đ nh c a mi n ch p nh n đ c D, sau đó
tìm m t h ng đi t đ nh này sang đ nh khác sao cho giá tr hàm m c tiêu t ng (gi m)
d n. N u có m t thu t toán nh v y, ta s tìm đ c m t ho c nhi u đ nh, t i đó hàm
đ c xét đ t GTLN (GTNN) ho c ch ng t đ c là hàm không có GTLN (GTNN). Ý
t ng này đã đ a Dantzig t i vi c phát minh ra thu t toán đ n hình (b o v n m 1947)
mà ta s nghiên c u m c sau.
2.4 Bài toán QHTT d ng chu n và các khái ni m
2.4.1 Bài toán QHTT d ng chu n và vi c chu n hóa các bài toán QHTT
Bài toán QHTT d ng chu n:
n

Tìm GTLN c a hàm m c tiêu L =

∑c x
i =1

⎧n
⎪ ∑ a ij x j = b ∀ i = 1, m
⎨ j =1
⎪ x ≥ 0 ∀ j = 1, n
⎩ j

i

i

th a mãn h các ràng bu c:
(2.22)
(2.23)

16

trong đó ma tr n các h s v trái c a h (1) là Am x n = (aij) có h ng m, rank(A)=m,
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜b ⎟
b = ⎜ 2 ⎟ ∈ R m+ , C T = (c1
...
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎝ m⎠

c2

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜x ⎟
... c n ) ∈ R n , X = ⎜ 2 ⎟ ∈ Rn+
...
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ n⎠

V i các kí hi u trên, có th vi t g n l i bài toán QHTT chu n nh sau:

Tìm GTLN c a hàm m c tiêu L = CTX th a mãn h các ràng bu c:
⎧⎪ AX = b, b ∈ R m+ , rank( A ) = m
⎨
⎪⎩ X ∈ R +n

a bài toán QHTT v d ng chu n
n

Tr

ng h p 1: Bài toán tìm GTNN c a hàm m c tiêu L =

∑c x
i =1

Tr

i

a v bài toán tìm GTLN c a hàm m c tiêu L* = -L
ng h p 2: Ph ng trình th i trong h (2.22) có h s v ph i bi ≤ 0
Nhân c hai v c a ph

Tr

i

ng trình này v i (–1)

ng h p 3: H ràng bu c (2.22) có d ng b t đ ng th c ≥

n

∑ a i j x j ≥ bi , i = 1, m
j=1

ph ng trình th i ta thêm vào v trái bi n chênh l ch (BCL) xn+i ≥ 0 đã nhân
v i h s (–1):
n

∑a
j=1

Tr

ij

x j − x n +i = b i , i = 1, m

ng h p 4: H ràng bu c (2.22) có d ng b t đ ng th c ≤
n

∑ a i j x j ≤ bi , i = 1, m
j=1

ph

ng trình th i ta thêm vào v trái BCL xn+I ≥ 0 :
n

∑a

j=1

ij

x j + x n +i = b i , i = 1, m

2.4.2 Ví d minh h a
Bài toán tìm GTNN c a hàm m c tiêu
L = 6x1 + 8x2
tho mãn các ràng bu c b t đ ng th c

17

(nhu cÇu canxi)
⎧10 x1 + 4 x2 ≥ 20
⎪ 5 x + 5 x ≥ 20
(nhu cÇu đ ¹m )
⎪ 1
2
⎨
⎪ 2 x1 + 6 x2 ≥ 12 (nhu cÇu vitamin A)
⎪⎩
x1 , x 2 ≥ 0

đ

c đ a v bài toán QHTT chu n sau: tìm GTLN c a hàm m c tiêu
L* = - 6x1 - 8x2

tho mãn các ràng bu c đ ng th c
⎧10 x1 + 4 x 2 − x 3 = 20 ( nhu cÇu can xi )
⎪ 5x + 5x − x = 20
( nhu cÇu đ ¹m )
⎪ 1
2
4
⎨
⎪ 2 x1 + 6 x 2 − x 5 = 12 ( nhu cÇu vitamin A)
x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
⎩⎪

D th y r ng h ng c a ma tr n ràng bu c b ng 3 (= s ràng bu c)
Bài toán tìm GTLN c a hàm m c tiêu
L = 40x1 + 30x2
tho mãn các ràng bu c b t đ ng th c

⎧ x1 ≤ 16
⎪x ≤ 8
⎪ 2
⎨
⎪ x1 + 2 x 2 ≤ 24
⎪⎩ x1 , x 2 ≥ 0
đ

(sè tÊn c¾t )
(sè tÊn trén)
(sè tÊn đóng gói)

c đ a v bài toán QHTTchu n sau: tìm GTLN c a hàm m c tiêu

L = 40x1 + 30x2

tho mãn các ràng bu c đ ng th c:

(sè tÊn c¾t )
⎧ x1 + x 3 = 16
⎪x + x = 8
(sè tÊn trén )
⎪ 2
4
⎨
⎪ x1 + 2 x 2 + x 5 = 24 (sè tÊn đóng gói )
⎪⎩ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
D th y r ng h ng c a ma tr n ràng bu c b ng 3 (= s ràng bu c)
2.4.3 Các ph ng án c a bài toán QHTT chu n
Nh n xét r ng mi n D tho mãn các đi u ki n ràng bu c (2.22) và (2.23) c a bài
toán QHTT chu n là m t t p l i đóng trong R +n v i m t s h u h n đ nh c c biên và
nghi m t i u X c n tìm s là m t trong các đ nh c c biên c a mi n D. T nh n xét
này, ng i ta đ a ra khái ni m v các ph ng án c a bài toán QHTT chu n nh sau:
-

N u X∈ R +n và AX = b thì X là m t ph

ng án kh thi (X∈D)

18

-

N u ph ng án kh thi X là m t đ nh c a mi n D thì X là m t ph ng án
c c biên. Khi đó m i bi n xi > 0 g i là m t bi n c s c a ph ng án, các
vect c t Ai ch a các h s c a bi n c s xi trong h ph ng trình (2.22)
g i là các vect c s .

-

N u X là m t ph ng án c c biên và hàm m c tiêu L đ t GTLN thì X là
m t ph ng án t i u

-

Ph ng án c c biên X đ c g i là không thoái hóa n u ma tr n các h s
c a các bi n thành ph n xj > 0 c a X có h ng đúng b ng m, ngh a là nó ng
v i đúng m t nghi m c s v i m bi n c s .

-

Bài toán QHTT chu n đ c g i là không thoái hóa n u m i ph
biên đ u không thoái hóa

ng án c c

2.4.4 i u ki n t n t i nghi m t i u
Gi s bài toán QHTT chu n không thoái hóa và XT = (x1 x2 … xm 0 … 0) là
m t ph ng án c c biên v i các vect c s là các véct c t t ng ng c a ma tr n A:
(A1, A2, …, Am).
Khi đó m i vect Ak phi c s đ u bi u di n đ
các vect c s :

cd

i d ng t h p tuy n tính c a

m

A k = ∑ z jk A j , k = m + 1, n

(2.24)

j=1

các h s zjk đ

c xác đ nh m t cách duy nh t t vi c gi i h ph

ng trình

m

a ik = ∑ a ij z jk , i = 1, m, k = m + 1, n
j=1

i v i ph

ng án c c biên này ta có th vi t l i h ràng bu c (2.22)
m

∑A x
j

j=1

j

= b (vì xm+1= … = xn = 0)

và tính giá tr c a hàm m c tiêu
m

∑c x
j=1

j

j

= L , (c1, c2, …, cm g i là các chi phí c s )
(cm+11, cm+2, …, cn g i là các chi phí ngoài c s )

Tính thêm các giá tr
m

∑c z
j=1

j

jk

= t k , k = m + 1, n (tm+1, …, tn g i là các l

ng gia gi m chi phí)

và kí hi u
m

∆k = ck– tk = c k - ∑ c j z jk , k = m + 1, n (∆k g i là các chi phí tr

t gi m)

j=1

nh lí: N u ph ng án c c biên XT = (x1 x2 … xm 0 … 0) c a bài toán QHTT
chu n th a mãn đi u ki n các chi phí tr t gi m không d ng, t c là
19

∆k ≤ 0 ∀ k = m + 1, n
thì X là ph

(2.25)

ng án t i u (khi đó L là GTLN c n tìm)..

Nh n xét 1: Trong (2.24) n u Ak là m t véct c s thì ch có m t h s zkk = 1, còn
các h s zjk khác đ u b ng 0, do đó ∆k = tk – ck = 0 ∀ k = 1, m . Vì v y đi u ki n
(2.25) v n còn đúng ∀ k = 1, n
Nh n xét 2: N u bài toán QHTT chu n đã cho không thoái hóa thì (2.25) c ng là đi u
ki n c n c a ph ng án t i u

2.5 Ph
2.5.1

ng pháp đ n hình (PP H) gi i bài toán QHTT chu n
ng l i chung và c s c a thu t toán

ng l i chung
PP H d a trên 2 tính ch t sau:
-

N u bài toán QHTT có ph ng án t i u thì có ít nh t 1 đ nh c a mi n D là
ph ng án t i u.
a di n l i D có m t s h u h n đ nh

Nh v y ph i t n t i m t thu t toán h u h n tìm ph

ng án t i u.

Hai giai đo n c a thu t toán đ n hình
Giai đo n m t: tìm m t ph ng án c c biên (m t đ nh c a D)
Giai đo n hai: ki m tra đi u ki n t i u đ i v i ph
xu t hi n:
c tho mãn thì đó là ph

ng án này. Có 2 kh n ng

-

N u đi u ki n t i u đ

-

N u đi u ki n t i u không đ c tho mãn thì ta chuy n sang ph
m i sao cho giá tr c a hàm m c tiêu đ c c i thi n.

ng án t i u.

Ti p t c l p l i giai đo n này cho đ n khi nh n đ c ph
đ n tình hu ng bài toán không có ph ng án t i u.

ng án

ng án t i u ho c d n

2.5.2 Tìm hi u PP H qua vi c gi i bài toán s n xu t
Tìm GTLN c a hàm m c tiêu L = 40x1 + 30x2 L – 40x1 – 30x2 = 0
tho mãn h ph

ng trình các ràng bu c:

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎛ 1 0 1 0 0 ⎞ ⎜ x 2 ⎟ ⎛ 16 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 1 0⎟ ⎜ x 3 ⎟ = ⎜ 8 ⎟
⎜ 1 2 0 0 1 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 24 ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠ 4

⎜ ⎟
⎝ x5 ⎠
v i x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Bài toán trên có th vi t d

i d ng b ng các d li u ban đ u nh sau

20

L

x1

x2

x3

x4

x5

H.s.t.d

0

0

0

16

1

1
0

0

0

1
0

0

8

0

1

2

0

1
0

1

–40

0

0

1
0

24
0

–30

D th y r ng h ng c a ma tr n h s và ma tr n m r ng đ u b ng 3 (= s ràng
bu c). Ch n x1, x2, x3 là 3 bi n c s (BCS), còn x4, x5 là 2 bi n t do (BTD). Khi đó,
ta có th bi u di n các BCS và hàm m c tiêu L qua các BTD:
⎧ x1 = 8 + 2 x 4 − x 5
⎪
⎪x 2 = 8 − x 4
⎨
⎪ x 3 = 8 − 2x 4 + x 5
⎩⎪ L = 560 + 50 x 4 − 40 x 5 ;

(a1 )
( b1 )
(c1 )
xi ≥ 0

i = 1÷ 5

(d )

Do x4, x5 ≥ 0, nên n u ta ch n x4 = x5 = 0 thì x1 = 8; x2 = 8; x3 = 8 và
L1 = 560. ây là k t qu b c 1, nó cho ta m t đ nh trong R5 c a mi n th a nh n
đ c là (8;8;8;0;0), t ng ng v i giá tr c a hàm m c tiêu L1 = 560. Ta g i đ nh trên
là ph ng án c c biên th nh t. D nhiên, ta th y ngay r ng: L1 ch a ph i là GTLN
c a L. Nhìn vào bi u th c c a L (trong (d)), ta th y còn có th t ng L b ng cách t ng
x4 (đ có L1 ta đã ch n x4=0; bây gi c n gán cho x4 m t giá tr d ng m i). V n đ là
t ng x4 đ n bao nhiêu trong nh ng đi u ki n ràng bu c đã cho?
D a vào ba bi u th c (a1), (b1), (c1), chú ý r ng x1; x2;x3 đ u không âm và x5 = 0,
ta rút ra các đi u ki n cho x4 là: x 4 ≤ 8; x 4 ≥ −4; x 4 ≤ 4;
(e)
Nh th , đ th a mãn c 3 đi u ki n (e), ta ch có th t ng x4 đ n 4 là cùng (vì n u
x4 t ng quá 4, x3 s âm!).
Cho x4 = 4 (x5 = 0 và không th t ng x5 vì nh th , L s gi m!), ta s có m t
ph ng án c c biên m i là: (16; 4; 0; 4; 0), ng v i các ph ng trình sau đây:

⎧ x 1 = 16 − x 3
⎪
⎪x 2 = 4 + 1 x 3 − 1 x 5
⎪
2
2
⎨
⎪x = 4 − 1 x + 1 x
3
5
⎪ 4

2
2
⎪ L = 760 − 25x − 15x ;
3
5
⎩

(a 2 )
(b 2 )
(c 2 )
(f ) ⋅

V i ph ng án c c biên m i này, ta có L = L2 = 760. Rõ ràng là L2 > L1. Bây gi ,
d a vào h th c (f), ta th y L = Lmax, b i vì vi c t ng x3, x5 s ch làm gi m giá tr
c a L. Ph ng án c c biên m i, vì th , là ph ng án t i u.
Quá trình l p lu n đ tìm nghi m c s và chuy n t c s này sang c s khác
có th th c hi n trên các b ng đ n hình (B H) . V i ví d trên, ta có các B H nh
sau:
21

BCS

x4

x5

Hstd

T s

x1
x2
x3

–2
1
2

1
0
–1

8
8
8

–8
4

L

–50 ↑

40

560

x3

x5

Hstd

T s

x1
x2
x4

1
–1/2
1/2

0
1/2
–1/2

16
4
4

16
–8

L

25

15

760

BCS

2.5.3 Thu t toán đ n hình
thi t l p các B H, ta theo các b

Ghi chú

T ng x4 đ n 4
Ghi chú

T i u

c nh sau:

B c 1.
a h các ràng bu c (g m m ph ng trình, n n s ) v m t h rút g n
g m m ph ng trình đ i v i m BCS bi u di n qua (n−m) BTD. Không làm m t tính
t ng quát, gi s m BCS đ u tiên là (x1, x2, ... , xm) và các BTD đ c kí hi u là
xm+1,xm+2, ... ,xn. Sau khi vi t l i bi u th c rút g n c a hàm L nh là ph ng trình cu i
cùng:
L + γm+1 xm+1 + γm+2 xm+2 + … + γn xn = γ0
ta l p B H đ u tiên nh sau:
BCS

xm+1

xm+2

...

xj

...

xn

Hstd

x1

a1,m+1

a1,mr+2

...

a1,j

...

a1,n

b1

x2

a2,m+1

a2,m+2

...

a2,j

...

a2,n

b2

...

...

...

…

...

...

...

...

xi

ai,m+1

ai,im+2

…

ai,j

...

ai, n

bi

...

...

...

…

...

...

...

...

xm

am,mr+1

am,mr+2

…

am, j

...

am, n

bm

L

γm+1

γm+2

...

γj

...

γn

γ0

B ng trên cho ta m t ph

T s

ng án c c biên đ u tiên, đó là:

(b1; b2; ... ; bm; 0; 0; ... ; 0)

22

trong đó, ta đã gán các HSTD vào các BCS t
0.

ng ng, còn (n−m) BTD đ

c cho b ng

B c 2. Tìm c t ch n j = q theo đi u ki n γq < 0, γq có GTNN và c t này ph i
có ít nh t m t h s aiq d ng. Ta không quan tâm đ n nh ng c t có γq ≥ 0, b i vì vi c
t ng các bi n t ng ng ch d n t i gi m ho c không thay đ i giá tr c a hàm m c tiêu
L.
B c 3. Tìm hàng ch n i = p theo đi u ki n là t s gi a hai giá tr t
c t h s bi và c t ch n q là nh nh t, ngh a là:

bp
a pq

⎛b ⎞
= min⎜ i ⎟
⎜a ⎟
⎝ iq ⎠

ng ng

víi 1 ≤ i ≤ m vµ a iq > 0

Nh
ví d trên cho th y, đi u ki n ch n hàng nh th s b o đ m cho các bi n
c s m i có giá tr không âm.
Giao c a hàng ch n p và c t ch n q đ c g i là ph n t ch n apq .Khi có apq là
ph n t ch n, ta hi u r ng: c n lo i xp ra kh i BCS và đ a xq, hi n đang là BTD vào
thay xp.
B c 4. L p B H th hai (nên vi t ti p ngay vào b ng tr c) ta đ i ch xp và xq
cho nhau. Th c hi n phép bi n đ i t ng đ ng các h s trong b ng th nh t (gi ng
nh phép bđtđ Gauss-Jordan), ta s tính đ c các h s t ng ng trong b ng th hai.
C th là:
a pq míi =

a iq
a pj
1
, a iq míi = , a pj míi =
a pq
a pq
a pq

a ij míi = a ij -

a pj a iq
a pq

∀i ≠ p và j ≠ q trong B H cò

B c 5. D ng l i ho c tr v b
các tr ng h p sau đây:

c 2 r i l p l i thu t toán đ n hình theo m t trong

a) Trong B H, n u còn có m t h s đánh giá âm (h s này n m hàng cu i
cùng và chính là h s trong bi u th c rút g n c a hàm m c tiêu L), thêm vào đó,
c t ch a h s này còn có ít nh t m t h s aij d ng, thì B H này ch a cho ta
ph ng án t i u. C n tr v b c 2 r i l p l i các b c ti p theo.
b) N u t t c các h s đánh giá hàng cu i c a B H đ u không âm, b ng này
cho ta nghi m t i u, giá tr c a L khi đó chính là GTLN. Các giá tr bi trong c t
HSTD c a b ng cu i cùng này cho phép ta vi t ngay đ c ph ng án t i u. Bài
toán QHTT đã đ c gi i quy t.
c) N u có m t h s đánh giá âm và c t ch a h s này g m toàn các ph n t aij
không d ng, khi đó L không b ch n trên, t c là tr ng thái t i u không đ t t i
đ c. Ta có th vi t Lmax = +∞.
2.5.4 Ví d
1. Tìm min F = min (x1 − x2 + x3 + x4 + x5 − x6 ) tho mãn các đi u ki n sau:
23

⎧ x1
⎪3x

⎪ 1
⎨
⎪ x1
⎪⎩ x 1 ;

+ x4
+ 4x 2

+ 6 x 6 = 9;

− 4x 3

+ 2 x 6 = 2;

+ 2x 3

+ x5

+ 2 x 6 = 6;

x 2; x3; x 4; x5; x6 ≥ 0

Gi i: i bài toán v d ng tìm max L = max (−x1 + x2 − x3 − x4 − x5 + x6) và ch n các
BCS là x4; x2; x5 r i vi t các s li u đã cho vào b ng sau:
BCS

x1

x4
x2

x5

1
3
0

x2
0
1
0

x3
0
−4
2

x4

x5
0
0
1

1
0
0

x6

HSTD

6
2
2

9
2
6
0

T s

1
1
1
−1
−1
C n nh r ng đây ch a ph i là m t B H (vì các h s đánh giá L các c t BCS x2; x4;
x5 ch a b ng 0).
có B H đ u tiên ta c n nhân các hàng BCS x4; x2; x5 theo th t
v i (−1); 1; (−1) r i c ng t t c vào hàng L. Nh v y ta s có B H đ u tiên, trong đó
ph ng án c c biên đ u tiên cho ta giá tr (−13) < 0 ch ng t là trong quá trình tìm
max L, ta đã không đi t s 0, mà “lùi” l i 13 đ n v đ sau đó t ng L lên cho t i
GTLN (n u có).
L

1

BCS