bt quan he vuong goc qua hay

Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp( α ):

Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ( α ).
Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ( α ).
• Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng 900 .
Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c ⊥ b.
ur r
Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương u.v = 0 .
Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp( α ) chứa đường thẳng b. (hay dùng)
Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc: (dùng nhiều lắm nà)
a ⊥ hình chiếu ⇒ a ⊥ đường xiên.
• Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì
song song.
+ Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Bài 1. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là
trung điểm của BC.
a) Chứng minh BC ⊥ AD.
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH ⊥ (BCD).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ ( ABC ) ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC =
trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ MD.
a) Chứng minh AH ⊥ (BCD).
b) Cho AD =

6a
. Gọi M là

5

4a
.Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
5

c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G1G2 ⊥
(ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và
SBC. Chứng minh rằng:
a) SC vuông góc với mp(BHK).
b) HK vuông góc với mp(SBC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD.
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) và AC ⊥ SD.
b) Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ ⊥ (SBD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H,
K là trung điểm của AB, AD.
a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh AC ⊥ SK và
CK ⊥ SD.
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H ⊥ (ABC).
Chứng minh rằng:
a) AA’ ⊥ BC và AA’ ⊥ B’C’.
b) Gọi MM’ là giao tuyến của hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M ∈ BC và M’ ∈ B’C’. Chứng
minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD.
a) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD.
Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK.
Bài 8. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC ⊥ BF. Gọi CH và

FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh:
a) ACH và BFK là các tam giác vuông.
b) BF ⊥ AH và AC ⊥ BK.

1


Ôn tập quan hệ vuông góc
TTL
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, tam giác ABC cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác

SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh
a) BC ⊥ (SAB).
b) NG ⊥ (SAC).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam
giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH ⊥ AC và tính độ dài
SH.
c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo aAM theo a.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao
AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC ⊥ BD.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Tính theo a độ dài đoạn AD.
c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0 ≤ x ≤ a . Tính độ dài
đường cao DE của tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ
nhất.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a, ∠
BAC = 300 . Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM.
a) Chứng minh AH ⊥ BM.

b) Đặt AM = x, với 0 ≤ x ≤ 3 . Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm
x để khoảng cách này là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a 2 . Gọi E, F là trung điểm SB, SC.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAD).
b) Tính diện tích của tam giác AEF.
Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. cạnh bên AA’ = a và vuông góc
với đáy.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ BC’.
b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh AM ⊥ BC’.
c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ =

a
và J là trung điểm của
4

B’C’. Chứng minh AM ⊥ (MKJ).
Bài 15. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (DBC) và tam giác ABC vuông tại A. Kẻ DI ⊥ BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (AID).
b) Kẻ DH ⊥ AI. Chứng minh DH ⊥ (ABC).
c) Đặt ∠AID = α , ∠ABD = β , ∠ACD = γ . Chứng minh
sin 2 α = sin 2 β + sin 2 γ .
d) Giả sử AD = a, β = γ = 300 . Tính BC và α .
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB =

2a 3
.
3

a) Kẻ SH ⊥ (ABC). Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) TÍnh đọ dài SH theo a.
c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC ⊥ (SAI).
d) Gọi ϕ là góc giữa SA và SH. Tính ϕ .
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Gọi I , M là trung điểm
của SC và AB. Cho SA = a.
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh IO ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ I đến CM.

2


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD).
a) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK).
b) Kẻ AJ ⊥ (SBD). Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD.
Bài 19. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hình
chiếu của A trên SB, SD.
a) Chứng minh MN//BD và SC vuông góc với mp(AMN).
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của
BC. Chứng minh:
a) BC ⊥ (SAI).
b) SI ⊥ (ABC).
Bài 21. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.
Hạ HK ⊥ DI. Chứng minh:
a) HK ⊥ BC.
b) K là trực tâm của tam giác DBC.

Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S
di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh: AF ⊥ SB.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ∠ASB = 1200 , ∠BSC = 900 , ∠CSA = 600 .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Xác định hình chiếu H của S trên mp(ABC). Tính SH theo a.
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác cân tại
C có ∠BCD = 1200 . SA ⊥ đáy.
a) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥
(AHK).
b) Gọi C’ là giao điểm của SC với mp(AHK). Tính diện tích tứ giác AHC’K khi
AB = SA = a.
Bài 25. Cho tam giác ABC đều cạnh a, d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A. Gọi H, K là trực
tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh HK ⊥ (SBC).
Bài 26. Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh:
a) AC ⊥ (SHK).
b) CK ⊥ SD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA ⊥ đáy. Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh SHK là tam giác vuông.
c) Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh AC ⊥ AD.
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA ⊥ đáy. Gọi (P) là
mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD tại H, I, K.
a) Chứng minh HK//BD.
b) Chứng minh AH ⊥ SB, AK ⊥ SD.
c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích
AHIK theo a.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC
vuông tại B, SCD vuông tại D có SD = a 5 .
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD) và tính SA.

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt CB, CD tại I, J. Gọi H là hình
chiếu của A trên SC, K và L là giao điểm của SB, SD với mp(HIJ). Chứng
minh AK ⊥ (SBC) và AL ⊥ (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.

3


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Bài 30. Cho tam giác MAB vuông tại M nằm trong mp(P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A
lấy hai điểm C, D nằm hai phía đối với (P). Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM
và CC’.
a) Chứng minh CC’ ⊥ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh K là trực tâm của tam giác
BCD.

Vấn đề 2. Hai mặt phẳng vuông góc.
• Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??)
Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 900 .
• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp( α ):
Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng này.
Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao
tuyến thì vuông góc với mp kia.
• Kết quả: + S ' = Scosϕ
+ Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đường thẳng qua

A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).
• Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương.
• Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều.
+ Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.
+ Hình chóp đều có góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
Dạng 1. Chứng minh sự vuông góc.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại B và AD ⊥ (ABC). Chứng minh (ABD) ⊥
(BCD).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau
tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥ AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a) Chứng minh (ACD) ⊥ (ABE) và (ACD) ⊥ (DFK).
b) Chứng minh OH ⊥ (ACD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và vuông góc với đáy. Gọi
H là trung điểm của AB. Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong
mp vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC).
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC).
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB’) ⊥ (ACC’).
b) Gọi AH, AK là đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh hai
mp(BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với mp(AHK).
Bài 6(SGK). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
a) Chứng minh (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SBD
vuông.

4

Ôn tập quan hệ vuông góc
TTL
0
Bài 7.(góc giữa hai mp = 90 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a
a 6
và đường chéo BD = a. SC =
và vuông góc với (ABCD). Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD).
2
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại B. Đoạn thẳng AD ⊥ (ABC). Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD).
Vẽ đường cao AH của tam giác ABD, chứng minh AH ⊥ (BCD).
Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥
(A’BD).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA ⊥ đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác
ABC và DBC. Chứng minh:
a) (SAH) ⊥ (SBC).
b) (CHK) ⊥ (SBC).
Bài 11. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) và O là trung điểm của AH.
Chứng minh các mp(OBC), (OCD), (OBD) đôi một vuông góc với nhau.
Bài 12. Cho tam giác đều ABC. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S. Gọi D là
trung điểm của BC.
a) Chứng minh (SAD) ⊥ (SBC).
b) Kẻ CI ⊥ AB, CK ⊥ SB. Chứng minh SB ⊥ (ICK).
c) Kẻ BM ⊥ AC, MN ⊥ SC. Chứng minh SC ⊥ BN.
d) Chứng minh (CIK) ⊥ (SBC) và (MBN) ⊥ (SBC).
e) MB cắt CI tại G, CK cắt BN tại H. Chứng minh GH ⊥ (SBC).
f) Chứng minh 6 điểm B, C, I, K, M, N cách đều D.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).

b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC).
d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC).
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD
là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh:
a) (SAC) ⊥ (SBD).
b) (SAD) ⊥ (SCD).
c) (SCD) ⊥ (ABM).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với
đáy.
a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
b) Từ O kẻ OK ⊥ BC. Chứng minh BC ⊥ (SOA).
c) Chứng minh (SBC) ⊥ (SOK).
d) Kẻ OH ⊥ SK. Chứng minh OH ⊥ (SBC).
Bài 16. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và nằm
trong mp vuông góc với đáy.
a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) và (SAB) ⊥ (SBC).
b) Tính góc giữa hai mp (SAD) và (SBC).
c) Gọi H, I là trung điểm của AB, BC. Chứng minh (SHC) ⊥ (SDI).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mp(ASB) và (SAD) cùng vuông góc
với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH?
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB < BC, AB = a. Hai mp(SAD) và
(SAD) cùng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (CSB) ⊥ (SAB).

5

Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

2
c) Đặt ∠SCA = α , ∠BSC = β . Chứng minh SC =

2

a
.
cos α − sin 2 β
2

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật. Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SD.
Chứng minh:
a) (SBC) ⊥ (SAB).
b) (AHK) ⊥ (SAC).
Bài 20. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông
góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD =

a 6
. Chứng minh:
2

a) (SAB) ⊥ (SAC).
b) (SBC) ⊥ (SAD).
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy. Gọi M, N là các điểm thuộc BC

và CD sao cho BM =

a
3a
, DN =
. Chứng minh (SAM) ⊥ (SMN).
2
4

Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, SB = SD = a, BD =
mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S.
⊥ (SCD).
Bài 23. Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC =

2a 3
. Hai
3

b) Chứng minh (SBC)

2a 6
. Trên đường thẳng vuông góc với
3

mp(P) tại giao điểm O của hai đường chéo AC và BD, lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh:
a) Tam giác ASC vuông.
b) (SAB) ⊥ (SAD).
Bài 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các cạnh đáy có độ dài bằng a, M, N là trung điểm của SB,
SC. Biết (AMN) ⊥ (SBC). Tính theo a diện tích tam giác AMN.

Dạng 2. Tìm Thiết diện của hình chóp sử dụng quan hệ vuông góc.
• Cách xác định mp( α ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d:
Cách 1: + Kẻ đường thẳng a qua A và vuông góc với d.
+ Tìm đường thẳng b cắt a và b ⊥ d.
Khi đó, mp(a,b) chính là mp( α ) cần dựng.
Cách 2: Sử dụng kết quả ở dưới.
• Cách xác định mp( α ) chứa đt a và vuông góc với đường thẳng mp( β ):
+ Chọn một điểm A trên đt a.
+ Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với mp( β ).
Khi đó, mp(a,b) chính là mp( α ) cần dựng.
• Kết quả: + Nếu một đường thẳng và một mp cùng vuông góc với một đường
thẳng thì song song.
Bài 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

a 3
. Chứng minh (SBC)
2

⊥ (SAB).
Bài 26. Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, có cạnh
SA ⊥ mp(ABC) và SA = a.
a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH ⊥ (SBC).
c) Tính độ dài đoạn AH.
d) Từ trung điểm O của đoạn AC vẽ OK ⊥ (SBC). Tính độ dài đoạn OK.
Bài 27. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ CK ⊥ BD.
6


Ôn tập quan hệ vuông góc

a) Chứng minh C’K ⊥ BD.
b) Chứng minh (C’BD) ⊥ (C’CK).
c) Kẻ CH ⊥ C’K. Chứng minh CH ⊥ (C’BD).

TTL

Bài 28. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mp vuông góc với nhau. AC = AD = BC = BD = a và
CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD).
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ đáy. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm N
trên CD để (SAM) ⊥ (SMN).
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ đáy. Giả sử ( α ) là mp
qua A và vuông góc với cạnh SC, ( α ) cắt SC tại I.
a) Xác định giao điểm K của SO với mp( α ).
b) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) và BD//( α ).
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( α ).
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết AB
= a, SA = a 2 và SA ⊥ đáy.
a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SDC).
b) Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với
mp(SDC). Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 32. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a,
b, x, y để:
a) (ABC) ⊥ (BCD).
b) (ABC) ⊥ (ACD).
Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy. Gọi M, N là hai điểm thuộc các
cạnh BC, CD sao cho BM = x, DN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x và y để (SAM) ⊥ (SMN).
Bài 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a. Gọi I, K là trung điểm của AB, CD. Một

mp(P) qua CD và vuông góc với (SAB) cắt SA, SB tại M và N.
a) Chứng minh (SIK) ⊥ (SAB).
b) (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 2 và vuông góc với đáy.
a) Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD).
b) Cắt hình chóp bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với (SCD). Tính theo a diện
tích thiết diện đó.
Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a 2 . Gọi M là
một điểm thuộc đoạn AO sao cho AM = x, 0 ≤ x ≤

a 2
.
2

a) Gọi H là hình chiếu của M trên (SBC). Tính MH.
b) Mp(P) ⊥ AC tại M cắt hình chóp theo một đa giác. Trình bày cách dựng thiết
diện này.
c) Tìm x để diện tích đa giác lớn nhất.
Bài 37. Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A với AB = a, ∠ABC = 600 , SB ⊥ (ABC) và SB =
2a.
a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SAB).
b) Lấy điểm M thuộc đoạn AB sao cho BM = x, 0 < x < a. Qua M dựng mp(Q) song song với AC và
SB.Tính diện tích thiết diện của (Q) với hình chóp. Tìm x để diện tích này lớn nhất.

7


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Vấn đề 3. Góc.
I.
Góc giữa hai đường thẳng.
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Chọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b.
• Các phương pháp tính góc:
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác:

a
b
c
=
=
Định lí sin:
sin A sin B sin C

ur ur
u1.u2
+ Tính góc theo vectơ chỉ phương: cosϕ = ur ur
u1 . u2

b2 + c2 − a 2
Định lí cos: cos A =
2bc

0
0
• Chú ý. + 0 ≤ ϕ ≤ 90

uur uuur

+ AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = 0.
+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ϕ = 00 .
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường
thẳng SC và AB.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD.
a) Tính góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a.
b) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 3 .
c) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2 .
d) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = 2a, CD = 2a 2 và MN = a 5 .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 600 , ∠CAD = 900 . Chứng minh:
a) AB ⊥ CD.
b) Nếu I, J là trung điểm của AB và CD thì IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA = SB và SA ⊥ BC. Tính góc giữa hai đường
thẳng SD và BC.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc giữa hai
đường thẳng AB và CD trong các trường hợp:
a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH = 3 IJ.
b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật.
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a (hình hộp thoi), ∠BAD = 600 ,
∠BAA ' = ∠DAA ' = 1200 .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = c.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A’C.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M
là trung điểm BC. Tính góc giữa AC và SM.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình vuông. Gọi N là trung điểm
SB. Tính góc giữa AN và CN, AN và SD.

8


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Bài 10. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABD và DBC là các tam giác đều cạnh a. Cho AD = a 2 .
a) Chứng minh AD ⊥ BC.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
II.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P):
+ Xác định hình chiếu d’ của d trên mp(P) (Bằng cách tìm hình chiếu của điểm B trên mp(P)).
+ Góc giữa d và hình chiếu d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mp(P).
d
B

A

ϕ

B’

d'

0

0
• Chú ý. + 0 ≤ ϕ ≤ 90 .

+ Nếu d / / mp ( P ) hoặc d ⊂ mp ( P ) thì ϕ = 00 .
+ Tính chất của trục đường tròn:
a) ĐN. Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 ... An . Đường thẳng
đi qua O và vuông góc với mp chứa đa giác gọi là trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đã cho.
b) Tính chất: Nếu SA1 = SA2 = ... = SAn thì S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp
đa giác A1 A2 ... An .
Do đó, hình chiếu của S trên mp chứa đa giác là tâm đường tròn O.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a 2 . Tính góc giữa
đường thẳng SC và mp(ABCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA = SA = SC =

a 3
. Tính góc
2

giữa đường thẳng SA và mp(ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a 6 . Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD).
b) SC và (SAB).
a) AC và (SBC).
d) SB và (SAC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, đáy là tam giác vuông tại B. Biết ∠BSC = 300 . Đặt
∠ACB = α . Gọi I là hình chiếu của B trên SC. Xác định α để góc giữa BI và mp(SAC) là 600 .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Biết SD = a 3 , tất cả các cạnh còn lại đều bằng a.
b) Chứng minh (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC và SBD là tam giác
vuông.

c) Xác định góc giữa SD và mp(ABCD).
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a nằm trong mp(P), cạnh AC = a 2 và tạo với (P) một
góc 600 . Tính góc giữa BC và (P).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =

2a 3
và đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
3
9


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

a) Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABC). Tính SH.
b) Tính góc giữa SA và (ABC).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết góc
giữa SC và mặt đáy là 450 . Tính số đo góc:
a) Giữa SC và (SAD).
b) Giữa SC và (SAD).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 và vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa BS và CD
b) Tính góc giữa SC và (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (SAB), SB và (SAC), AC và (SBC).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, hai
đáy là AD = 2a, BC = a. Biết SA = 2a, AB = a.
a) Chứng minh SCD là tam giác vuông.
b) Tính góc giữa SD và (SAC).
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA,

BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600 .
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và (SBD).
Bài 12. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết BC’ hợp với
mp(ABB’A’) góc 300 .
a) Tính AA’.
b) Gọi M, N là trung điểm của AC và BB’. Tính góc giữa MN và mp(BA’C’).
Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M, N là
trung điểm của AB và B’C’. Biết MN = a và MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC’B’) góc β .
a) Tính cạnh bên và các cạnh đáy của lăng trụ theo a và α .
b) Chứng minh cosα = 2 sin β .
III. Góc giữa hai mặt phẳng.
• Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến c:
+ Chọn điểm I thích hợp trên giao tuyến c.
+ Qua I vẽ hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến c và lần lượt nằm trong hai mp đã cho.
0
0
• Chú ý. + 0 ≤ ϕ ≤ 90

+ Nếu ( P ) P (Q) hoặc ( P ) ≡ (Q) thì ϕ = 00 .
+ S ' = Scosϕ
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc ϕ
giữa hai mp(ACD) và (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600 . Tính
góc giữa các mặt phẳng:
a) (SAB) và (SCD).
b) (SAB) và (SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy, SA = x. Tìm x để hai mp(SBC)
và (SCD) tạo với nhau góc 600 .
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a nằm trong mp(P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B

và C lấy các đoạn BD =

a 2
, CE = a 2 nằm cùng một bên đối với (P).
2

a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích tam giác này.
b) Tính góc giữa hai mp(ADE) và (P).

10


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Bài 5. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, AA’ = a và A’O ⊥
(ABCD). Tính góc hợp bởi:
a) Cạnh bên và mặt đáy.
b) Cạnh bên và cạnh đáy.
c) (BDD’B’) và (ABCD); (ACC’A’) và (ABCD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) ⊥ (ABCD).
Tính góc giữa:
a) (SCD) và (ABCD).
b) (SCD) và (SAD).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có
cạnh SA ⊥ đáy và SA = a.
a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SCD) và (SAC) ⊥ (SCB).
b) Gọi ϕ là góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD). Tính tan ϕ .
Bài 8. Cho tứ diện SABC, hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và SA ⊥ (ABC), SB = a 2 ,

∠BSC = 450 , ∠ASB = α .
a) Chứng minh BC ⊥ SB. Tìm điểm cách đều 4 điểm S, A, B, C.
b) Xác định α để hai mp(SAC) và (SCB) tạo với nhau góc 600 .
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, BA = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO
⊥ (ABCD), đặt SO = h. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
a) Tính góc giữa (SMN) với (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để
(SMN) vuông góc với các mp(SAB), (SCD).
b) Tính góc giữa hai mp(SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mo đó vuông góc.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, BA = a, BC = 2a, cạnh bên SA ⊥ đáy và SA =
a. Tính:
a) Các góc giữa các mp chứa các mặt bên và mp đáy của hình chóp.
b) Góc giữa hai mp chứa hai cạnh bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của
hình chóp.
Bài 11. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = a, ∠BAC = 1200 . Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct’ và vuông
góc với mp(ABC). Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ sao cho BB’ = 3CC’. Cho BB’ = a. Tính góc
giữa hai mp(AB’C’) và (ABC), Tính diện tích tam giác AB’C’.
Bài 12. Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến d. Lấy hai điểm cố dịnh A, B thuộc d
sao cho AB = a. Gọi SAB là tam giác đều trong (P), ABCD là hình vuông trong (Q).
a) Tính góc giữa mp(SCD) với các mp(P) và (Q).
b) Gọi O1 là giao điểm của B1C và A1D, trong đó B1, D1 là trung điểm của SA,
SB. Gọi H1 là giao điểm của đường cao SH của tam giác SAB với
mp(A1B1CD). Chứng minh SO1 vuông góc với SA và CD. Tính góc giữa
mp(A1B1O1) với các mp(P) và (Q).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA
= a 3 và vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mp(SCD) và (SBC).
Bài 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = a. Tính góc giữa hai
mp(ABC’) và (BCA’).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a và vuông góc với

đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai mp(SCM) và (ABC).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = a 3 , SA = 2a và vuông
góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tính góc giữa hai mp(ABC) và (SBC).
c) Tính góc giữa hai mp(SCM) và (ABC).

11


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

a 3
, đáy là hình thoi cạnh a và ∠A = 600 .
2
a) Chứng minh (SAC) ⊥ (ABCD) và SB ⊥ BC.

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD =

b) Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD).
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy, hai mặt bên (SBC) và (SCD) hợp với nhau góc 450 . Mặt
đáy ABCD có AB = AD = a, CB = CD = a 2 . DA ⊥ DC và BA ⊥ BC. Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD).
b) (SBD) và (ABCD).
Bài 19. Cho hình chóp M.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.
a) Tính góc giữa hai mp(ABC) và (MBC) khi biết diện tích tam giác MBC =

a2 3
.

2

b) Cho MA = a. Tính góc giữa hai mp(MBC) và (MAB).
Bài 20.

Vấn đề 4. Khoảng cách.

12


Ôn tập quan hệ vuông góc
I.

TTL

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng – khoảng cách từ đường
thẳng đến mặt phẳng song song – khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
• Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng V , đến mp(P):

+ d ( A,V) = AH , H là hình chiếu của A trên V .
+ d ( A,( P)) = AH , H là hình chiếu của A trên mp(P).
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: là khoảng cách từ một điểm
nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm
nằm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
• Cách xác định hình chiếu của điểm A trên mp(P):
+ Chọn một đường thẳng a ⊂ ( P ) .
+ Dựng mp(Q) qua A và vuông góc với a. Giả sử (Q) cắt (P) theo giao tuyến là b.
+ Trong (Q), vẽ AH ⊥ b.
Khi đó, H là hình chiếu của A trên mp(P).

• Chú ý. + Bài toán tìm các khoảng cách nói trên thực chất là tìm hình chiếu
của một điểm trên đường thẳng hay mặt phẳng.
+

d ( A,( P)) AI
=
, với I = AB ∩ ( P )
d ( B,( P)) BI

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a. Gọi I, J là
trung điểm của SC và AB.
a) Chứng minh IO ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ I đến CJ.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD =
2a, SA ⊥ đáy và SA = a 6 .
a) Tính khoảng cách từ A, B đến (SCD).
b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
Bài 3. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và
∠BAD = ∠BAA ' = ∠DAA ' = 600 . Tính khoảng cách giữa hai mp đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a, ∠ABC = 600 . Gọi M là trung
điểm BC. Biết SA = SB = SC = a 5 .
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Tính khoảng cách từ S đến AB.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông tâm O, AB = 2a, SA = 4a. Tính:
a) Khoảng cách từ O đến (SAB).
b) Khoảng cách từ A đến (SCD).
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a,
AB = a 3 .
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BCC’B’).
b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC).

c) Chứng minh AB ⊥ (ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’).
d) Gọi M, N, P là trung điểm của AA’, BB’, CC’. Tính khoảng cách giữa hai
mp(BMN) và (A’C’P).
Bài 8. Cho tứ diện DABC, ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, DAC là tam giác đều và (DAC)
⊥ (ABC). Gọi O là trung điểm của AC. Tính các khoảng cách :
a) Từ D đến (ABC).

13


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

b) Từ O đến (DBC).
Bài 9. Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho AS = 4cm. Tính khoảng cách từ O đến BC.
Bài 10. Cho góc vuông xOy và điểm M nằm ngoài mp chứa góc vuông. Biết OM = 23cm và khoảng
cách từ M tới hai cạnh góc vuông Ox, Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mp chứa góc
vuông.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = a và nằm trong mp(P), cạnh AC = a 2 và tạo với
(P) góc 600 .
a) Tính khoảng cách từ C tới (P).
b) Tính góc tạo bởi BC và (P).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a,
∠BAC = 300 . Gọi M là điểm di động trên AC, H là hình chiếu của S trên BM.
a) Chứng minh AH ⊥ BM.
b) Đặt AM = x, 0 ≤ x ≤ 3 . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm x
để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 13. Cho tam giác ABC cân đỉnh A có ∠BAC = 1200 , BC = a 3 . Lấy điểm S nằm ngoài mp chứa

tam giác sao cho SA = a. Tính khoảng cách từ A tới (SBC).
Bài 14. Cho tứ diện DABC có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Các mặt (DAB) và
(DAC) cùn hợp với (ABC) góc α , mp(DBC) ⊥ (ABC).
a) Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) theo a và α .
b) Tìm số đo α khi biết d =

2a
. Khi đó hãy tính khoảng cách từ C đến (DAB).
3

Bài 15. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, AB = a, mặt bên hợp với mặt
đáy góc 450 . Tính các khoảng cách:
a) Từ O đến (SAB).
b) Từ C đến (SAB).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có ∠ASB = 900 , ∠BSC = 600 , ∠ASC = 1200 và SA = SB = SC = a. Gọi
I là trung điểm của AC.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABC).
b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = a, ∠BAC = α , SA = SB = SC =

a 2
. Tính chiều cao của hình chóp.
2

Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a và vuông góc với
đáy.
a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
b) Tính chiều cao của hình chóp.
c) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

Bài 19. Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, ∠ACB = 600 . Dựng hai đoạn BB’ = a,
CC’ = 2a cùng vuông góc với mp(P) và ở cùng một bên với (P). Tính khoảng cách từ:
a) C đến mp(ABB’).
b) Trung điểm B’C đến mp(ACC’).
c) B’ đến mp(ABC’).
d) Trung điểm BC đến mp(AB’C’).

14


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy. Gọi M,
N, P là trung điểm của AB, SA, AC.
a) Chứng minh (MNP)//(SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai mp(MNP) và (SBC).
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a và
vuông góc với đáy. Ngoài ra, còn có SC ⊥ BD.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Tính độ dài AD.
c) Gọi M là điểm trên SA sao cho AM = x, 0 ≤ x ≤ a . Tính khoảng cách từ D
đến BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a 3 .
a) Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và SA ⊥ đáy.
a) Gọi I là trung điểm của SD. Chứng minh AI ⊥ (SCD).

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SBC đến mp(ABCD).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a và SA ⊥ đáy. Gọi
I, M là trung điểm của SC, CD.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
b) Tính khoảng cách từ I đến (SBD).
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBM).
Bài 25. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của AB dựng SH ⊥ (ABCD)
với SH = a.
a) Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy.
a) Tìm trên mp(ABCD) điểm I cách đều ba điểm S, B, C. Tính SI và khoảng
cách từ I đến (SBC).
b) Tìm trên mp(SBC) điểm J cách đều ba điểm B, C, M với M là trung điểm của
CD. Tính JB.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ C đến (SBD).
b) Gọi M, N là trung điểm của AB, AD. Tính khoảng cách từ MN đến (SBD).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và ⊥ đáy, đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC =
a, AD = 2a.
a) Tính khoảng cách từ A, B đến (SCD).
b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. mặt bên SAB là tam giác cân tại S và
(SAB) ⊥ mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600 . Tính:
a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD.
b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD).
c) Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp trung trực của đoạn BC.
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với ∠A = 1200 , BD = a, SA ⊥ đáy, góc giữa
mp(SBC) và mp đáy là 600 . Tính:

a) Đường cao của hình chóp.
b) Khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy, đáy là hình thoi tâm O, SA = AC = 2a, ∠ABC = 600 .
Tính:
a) Khoảng cách từ O đến SC.

15


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

b) Khoảng cách từ D đến SB.
Bài 32. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BDD’B’).
b) Gọi M, N là trung điểm của AA’, BB’. Tính khoảng cách từ MN đến
(ABC’D’).
c) Chứng minh (AB’D’)//(C’BD). Tính khoảng cách giữa hai mp này.
Bài 33. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c.
a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’B’).
b) Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’C) và (A’C’D), trong trường hợp a = b = c.
Bài 34. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Cạnh bên của
lăng trụ tạo với mặt đáy góc 600 và hình chiếu vuông góc của A trên mp(A’B’C’) trùng với trung
điểm của B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.
b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình vuông.
Bài 35. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu của C’
trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 . Gọi I là trung
điểm của AB. TÍnh các khoảng cách:

a) Từ O đến CC’.
b) Từ C đến IC’.
c) Từ C đến A’B’.
Bài 36. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của C’ trên (ABC)
trùng với tâm O của đáy. Cạnh CC’ hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 . Tính khoảng cách từ C đến
mp(ABB’A’).
II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
+ Tính thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song.
+ Tính thông qua khoảng cách giữa hai mp song song chứa hai đường thẳng đã cho.
+ Tính độ dài đường vuông góc chung.
• Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:
Cách 2:
Cách 3:
Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng BB’ và AC’.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng:
a) SB và AD.
b) BD và SC.
Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm
của tam giác ABC.
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 600 và có đường cao SO
= a.
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và AA’ =

trung điểm của AB, A’B’.
a) Chứng minh AB ⊥ (COO ') .

a 2
. Gọi O, O’ là
2

16


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B’C.
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh BC’ ⊥ (A’B’CD).
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a.
a) Tính khoảng cách từ D đến (ACD’).
b) Tìm đường vuông góc chung của các đường AC’ và CD’. Tính khoảng cách
giữa hai đường ấy.
Bài 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là
trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) OA và BC.
b) AI và OC.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và ⊥ đáy, đáy là tam giác vuông cân tại B với BA = a. Gọi M
là trung điểm của AC. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SM và BC.
Bài 10. Cho hai tam giác cân ABC và ABD có chung đáy BC và nằm trên hai mp khác nhau.
a) Chứng minh AB ⊥ CD.

b) Xác định đường vuông góc chung của AB và CD.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD ⊥ BC, AD = a và khoảng cách từ D đến
BC là a. Gọi H là trung điểm BC và I là trung điểm của AH.
a) Chứng minh BD ⊥ (ADH) và DH = a.
b) Chứng minh DI ⊥ (ABC).
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và BC.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở C, SA ⊥ đáy, AC = a, BC = b, SA = h. Gọi M,
N là trung điểm của AC, SB.
a) Tính độ dài MN.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đoạn vuông góc chung của AC và
SB.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, SA = h và SA ⊥ đáy. Gọi
D là trung điểm của AB. Tính:
a) Góc giữa hai đường thẳng AC và SD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, đáy là tam giác đều cạnh a, SA =

a 3
. Tính khoảng cách
2

giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a. Đường cao SO của hình chóp
vuông góc với mặt đáy và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và ⊥ đáy. Dựng và tính độ dài
đoạn vuông góc chung của:
a) SB và CD.
b) SC và BD.
c) SC và AB.

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a 2 . Gọi I, K là
trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh (SIK) ⊥ (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên hình chóp
bẳng nhau và bằng a 2 .
a) Tính chiều cao của hình chóp.

17


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

b) Gọi E, F là trung điểm của AB, CD; K là điểm bất kì thuộc AD. Chứng minh
khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của
K, hãy tính khoảng cách đó theo a.
Bài 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm AB. Dựng IS ⊥ (ABCD) sao cho SI =

a 3
. Gọi
2

M, N, P là trung điểm của BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp
đường thẳng sau:
a) AB và SD.
b) SA và BD.
c) NP và AC.
d) MN và AP.

Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy và SA = a. Tính :
a) Khoảng cách từ S đến mp(A’CD) với A’ là trung điểm SA.
b) Khoảng cách giữa AC và SD.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi H là trung điểm của AD, SH
⊥ đáy, SAD là tam giác đều.
a) Chứng minh ( SAD) ⊥ ( ABCD ).
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SH và
BC.
c) Gọi M, N, K là trung điểm của SA, SC, AB. Xác định và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau:
+ MN và BD.
+ DM và NK.
Bài 22. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F là trung điểm
của các cạnh BC, A’C’, C’D’. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) A’B và B’C.
b) DE và AB’.
c) A’B và B’C’.
d) DE và A’F.
Bài 23. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 600 , góc của
đường chéo AC’ và mp đáy bằng 600 .
a) Tính đường cao của hình hộp đó.
b) Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng đó.

Vấn đề 5. Một số bài toán HHKG trong các đề thi ĐH – CĐ.
Bài 1. (ĐH – CĐ A 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN)
vuông góc với mp(SBC).

18

Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Bài 2. (ĐH – CĐ B 2002). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Bài 3. (ĐH – CĐ D 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD
= 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD).
Bài 4. (ĐH – CĐ B 2003). Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi
cạnh a, góc ∠ BAD bằng 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Chứng minh 4 điểm
B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình
vuông.
Bài 5. (ĐH – CĐ D 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường
thẳng d. Trên d lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho
AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD = AB. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a.
Bài 6. (ĐH – CĐ B 2004). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng ϕ . Tính tang góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ .
Bài 7. (ĐH – CĐ B 2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = a 2 , AB = a, SA
= a và SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và
AC. Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mp(SMB).
Bài 8. (ĐH – CĐ A 2007). Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC,
CD. Chứng minh AM vuông góc với BP.
Bài 9. (ĐH – CĐ B 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi D là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M, N là trung điểm của AE và BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 10. (ĐH – CĐ D 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ∠ ABC = ∠ BAD = 900 , BA

= BC =a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu cuông góc của A
trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD).
Bài 11. (ĐH – CĐ A 2008). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm
của cạnh BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 12. (ĐH – CĐ B 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3
và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính cosin góc giữa hai
đường thẳng SM và DN.
Bài 13. (ĐH – CĐ D 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC
= a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và
B’C.
Bài 14. (ĐH – CĐ D 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính khoảng
cách từ A đến mp(IBC).
Bài 15. (ĐH – CĐ A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N là trung
điểm của AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a 3 .
Tính theo a khoảng cách giữa DM và SC.

Nỗi niềm Thị nở
Quang Huy
“Người ta cứ bảo dở hơi
Chấp chi miệng thế lắm lời thị phi
Dở hơi nào dở hơi gì

19


Ôn tập quan hệ vuông góc

TTL

Váy em sắn lệch nhiều khi cũng tình
Làng này khối kẻ sợ anh
Rượu be với chiếc mảnh sành cầm tay
Sợ anh chửi đổng suốt ngày
Chỉ mình em biết anh say rất hiền
Anh không nhà cửa bạc tiền
Không ưa luồn cúi không yên phận nghèo
Cái tên mơ mộng Chí Phèo
Làm em đứt ruột mấy chiều bờ ao
Quần anh ống thấp ống cao
Làm em hồn vía nao nao đêm ngày
Khen cho con Tạo khéo tay
Nồi này thì úp vung này chứ sao
Đêm nay trời ở rất cao
Sương thì đẫm quá trăng sao lại nhoà
Người ta mặc kệ người ta
Chỉ em rất thật đàn bà với anh
Thôi rồi đắt lắm tiết trinh
Hồn em nhập bát cháo hành nghìn năm./.”

20