PPG PT voty bồi dưỡng hsg

A.

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong những năm gần đây, các kì thi học sinh giỏi tỉnh và kì thi tuyển sinh vào đại
học, cao đẳng thường ra các bài toán giải phương trình vô tỉ, làm cho nhiều thí sinh
gặp không ít khó khăn trong quá trình giải nó. Thực tiễn cho thấy, việc dạy học giải
phương trình vô tỉ ở trường phổ thông có ý nghĩa quan trọng, là một vấn đề cần thiết
đối với học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức. Để đạt được mục tiêu này, đòi hỏi
Giáo viên phải công phu trong quá trình chuẩn bị các bài dạy, đặc biệt là việc nghiên
cứu, xây dựng các bài toán đẹp cho học sinh giải . Có những bài toán đẹp, sẽ có
những giờ dạy hấp dẫn; những phương trình đẹp, những lời giải hay sẽ giúp học sinh
dễ hiểu. Và từ đó, học sinh nắm được nguyên nhân tại sao có bài toán đó, phương
trình đó thuộc dạng nào. Hơn thế, từ cách xây dựng này, học sinh tạo ra cho mình
những phương trình độc đáo mang dáng dấp của chính học sinh.
Từ kinh nghiệm dạy học nhiều năm của mình, tôi mạnh dạn đề xuất một số cách
giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp xây dựng phương trình ban đầu từ chính
nguyên nhân và bản chất của lời giải bài toán đó.
B. NỘI DUNG
I. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phép biến đổi tương đương, phép biến đổi
hệ quả.
Trong quá trình giải phương trình vô tỉ khi nào ta sử dụng phép biến đổi tương
đương, khi nào ta sử dụng phép biến đổi hệ quả là một vấn đề khó hiểu đối với học
sinh, lẫn giáo viên. Do đó, ta phải nhìn nhận bài toán làm cách nào ngắn gọn hơn, dễ
hiểu hơn để truyền đạt lại cho học sinh một cách ngắn gọn. Sau đây là một số cách
xây dựng các phương trình vô tỉ như vậy.
1. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng cách bình phương hai vế.
Thông thường giải phương trình vô tỉ ta hay gặp phương trình dạng:
f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x)

1

ta thấy cả hai vế đều dương nên bình phương hai vế ngay dẩn đến những phương trình
khá phức tạp, khó giải. Như vậy ta nên chọn phép biến đổi tương đương hay phép
biến đổi hệ quả.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2

Bài giải
Điều kiện: x ≥ 0
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
1+

( x + 3)( 3x + 1) = x + 2 x ( 2 x + 1) ,

để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3x + 1 − 2 x + 2 = 4 x − x + 3

Bình phương hai vế ta có : 6 x 2 + 8 x + 2 = 4 x 2 + 12 x ⇔ x = 1
Thử lại x=1 thỏa mãn.
Như vậy, ta xây dựng phương trình bằng cách sau.
Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) mà có:
f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta biến đổi phương trình về dạng :
f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau đó bình phương , giải phương trình hệ quả. Do

đó ta xây dựng phương trình dạng này băng cách tìm các biểu thức của x sao cho f(x)
+ h(x) = g(x) + k(x). Chẳng hạn, ta thấy:
5x – 1+2x = 7x- 1 = 4x + 1 +3x – 2 nên ta xây dựng được phương trình.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x − 2 + 5 x − 1 = 2 x + 4 x + 1
Bài giải
Điều kiện: x ≥

2
3

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

2


5x −1 −

2x =

4 x + 1 − 3 x − 2 ⇒ 10 x 2 − 2 x = 12 x 2 − 5 x − 2

x = 2
⇔ 2 x − 3x − 2 = 0 ⇔ 
x = − 1

2
2

Thử lại, x=2 thỏa mãn.
Khi giải dạng đó nhưng không xây dựng được đẳng thức f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) thì
ta có thể xây dựng theo dang sau đây.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x3 + 8
+ x + 2 = x2 − 2 x + 4 + 4 + x
x+4

Bài giải
Điều kiện : x ≥ −2
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :
như sau : (2) ⇔

x3 + 8
. x + 4 = x 2 − 2 x + 4. x + 2 , từ nhận xét này ta có lời giải
x+4

x3 + 1
− x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1
x+3

Bình phương 2 vế ta được:

x = 0
x3 + 8
+ x + 4 = x 2 − 2 x + 4 + x + 2 ⇔ x 2 − 3x = 0 ⇔ 
x+4
x = 3

Thử lại : x = 0, x = 3 không là nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x )

mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta biến đổi

f ( x) − h( x) = k ( x) − g ( x)

2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức.
2.1. Trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung.
Thông thường khi giải phương trình vô tỉ ta hay nhẩm được ngiệm x = x0 do vậy
phương trình luôn đưa được về dang: (x – x0) A(x) = 0, việc còn lại là giải pgương
trình A(x) = 0. Có khi ta dựa vào điều kiện nghiệm để chứng minh phương trình A(x)
= 0 vô nghiệm.
3


Ví dụ 1: Từ phương trình:
1
1
1
1

= ⇔ ( x + 3) 
− =0
4 x + 1 + 3x − 2 5
 4 x + 1 + 3x − 2 5 

4 x + 1 + 3x − 2 = 5 ⇔

⇔

(

4 x + 1 + 3x − 2

)(

4 x + 1 − 3x − 2

4 x + 1 + 3x − 2

) = 1 ( x + 3) ⇔

4 x + 1 − 3x − 2 =

5

1
( x + 3)
5

1
5

Cuối cùng ta được phương trình: 4 x + 1 − 3x − 2 = ( x + 3) .
Ví dụ 2: Từ phương trình:


x+2

( x − 2) 

2

 x + 12 + 4

−


− 3  = 0 ⇔ x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 ,
x2 + 5 + 3 
x+2

từ đó ta có bài toán giải phương trình: x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 .
Ví dụ 3: Phương trình:

3

x 2 + 7 + x 2 + 3 x + 2 x = 6 được xây dựng từ phép trục căn thức

nào?
Để tìm câu trả lời ta đưa phương trình về dạng:

3

x 2 + 7 − 2 + x 2 + 3 x − 2 + 2 x − 2 = 0 và ta

4 x + 1 − 3x − 2 =

1
( x + 3) ⇔ 4 x + 1 + 3x − 2 = 5 nên ta
5

trục căn thức thì sẻ có câu trả lời.

2.2. Trục căn thức đưa về hệ tạm.
Ta đã biết phương trình:

1

x + 18
 4 x + 1 − 3x − 2 = ( x + 3)
5
rõ ràng việc giải
xét hệ phương trình: 
⇒ 4x +1 =
10
 4 x + 1 + 3x − 2 = 5


phương trình này quá đơn giản. Từ đó ta xây dựng hệ tổng quát
 f ( x) + g ( x) = h ( x)

dựa

 f ( x ) − g ( x ) = α

vào hệ này

ta xây

dựng

phương

trình

dạng:

f ( x ) ± g ( x ) = h ( x ) trong đó f(x)-g(x)= α h(x) sau đây là một số ví dụ xây dựng bằng

phương pháp này:
a.

2 x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4

b. 3 x − 5 − x + 3 = 2 ( x − 6 ) (Đế HSG khối 10 năm học 2010-2011).
4


c.

2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x .

d. 3 8x 2 + 3 + 1 = 6 2x 2 − 2x + 1 + 8x
3. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng các phương trình tích
3.1. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng các phương trình tích sẳn có
Từ các đẳng thức: (u – 1)(v – 1) =0, (u +2 )(v – 3) =0, (u - a)(v – b) =0 ta thay u
và v bởi các biểu thức của x rồi nhân ra sẻ được các phương trình tuyệt đẹp và không
đơn giản chút nào.
Ví dụ 1: Từ đẳng thức:

(

3

x +1 − 2

)(

)

x +2 −3 = 0 ⇔

6

( x + x ) ( x + 2)
2

3

+ 6 = 33 x +1 + 2 x + 2

Như vây, ta đã xây dựng được phương trình: 6 ( x + x ) ( x + 2 ) + 6 = 3 3 x + 1 + 2 x + 2
2

Ví dụ 2: Từ đẳng thức:

(

x + 3 − 2x

)(

3

)

x + 1 −1 = 0 ⇔ x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x2 + 4 x + 3 ,

ta đã xây dựng được phương trình: x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x 2 + 4 x + 3 .
Ví dụ 3: Giải phương trình :

3

x + 1 + 3 x2 = 3 x + 3 x2 + x

Bài giải
•

x = 0 , không phải là nghiệm

•

x ≠ 0 , ta chia hai vế cho x:
3

 x +1 
x +1 3
+ x = 1+ 3 x +1 ⇔  3
− 1
x
x



(

3

)

x −1 = 0 ⇔ x = 1

3.1. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng các hằng đẳng thức
Từ các hằng đẳng thức: (a + b)3, an – bn ta xây dựng các phương trình dựa vào các
hằng đẳng thức này.
Ví dụ 1: Từ hằng đẳng thức:

(

)

2 x − 1 = ( 2 − x ) ⇔ x3 − 3 x 2 + 12 x − 8 + ( 2 x − 1) 2 x − 1 = 0 ,
3

3

ta xây dựng được phương trình: x3 − 3x 2 + 12 x = 8 − ( 2 x − 1) 2 x − 1 , việc giải phương trình
này dựa vào cách xây dựng trên thì rất dễ dàng.
3

3
1 
10

10 − 1

Ví dụ 2: Từ hằng đẳng thức:  x +
=
⇔
x
=
, ta khai triển hằng đẳng

3 3 3
3


thức ra sẻ được phương trình:

3−x =x

3+x

5


Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2 ) = 2 x + 3 3 3x ( x + 2 )

2

Bài giải
Ta biến đổi phương trình về dạng:

(

3

x + 2 − 3 3x

)

3

= 0 ⇔ x = 1.

Nhận xét: Từ các hằng đẳng thức sẳn có ta thay các biểu thức của x một cách thích
hợp ta được các phương trình dạng này rất hay.
II. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ta đã biết phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp thông dụng trong chương
trình toán phổ thông. Nhưng khi dạy học giải phương trình vô tỉ thì việc chọn biêu
thức nào để đặt làm ẩn phụ lại là một vấn đề hết sức khó khăn đối với học sinh phổ
thông. Để có bài dạy dễ hiểu thì người giáo viên phải chuẩn bị cho mình phương
pháp thích hợp. Chính vì thế tôi muốn chia sẻ với các bạn một cách xây dựng phương
trình vô tỉ từ dạng này để học sinh đọc có thể hiểu được nguồn gốc sâu xa của bài
toán đó.
1. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt một ẩn phụ
Đối với cách xây dựng phương trình dạng này ta cần chọn biểu thức thích hợp để
đặt làm ẩn phụ. Do đó muốn làm dạng nay ta phải hiểu được cội nguồn của nó xuất
phát từ đâu.
1
t

Ví dụ 1: Từ phương trình: t + = 2 . Ta xây dựng phương trình có biểu thức: f(x).g(x)
= 1 thì ta đặt t = f(x) hoặc t = g(x) thì được phương trình ẩn phụ dạng trên. Chẳng hạn

cho: f ( x ) = x + x 2 − 1, g ( x ) = x − x 2 − 1 thì ta được phương trình:
x + x2 −1 + x − x2 − 1 = 2

Ví dụ 2: Từ phương trình: t4 – 10t2 – t +20 = 0 ⇒ t 2 + 5 + t = 5 , thay t =

x − 1 , ta được

phương trình: x + 5 + x − 1 = 6 rõ ràng phương trình này để giải được nó không phải
là dễ nếu ta chưa hiểu được cách xây dựng chính bản thân phương trình.
Ví dụ 3: . Giải phương trình : x 2 + 3 x 4 − x 2 = 2 x + 1
Bài giải
6


Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:
1
1

x− + 3 x− = 2
x
x


Đặt t= 3 x −

1± 5
1
, Ta có : t 3 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x =
2
x

Như vậy, từ cách xây dựng này bạn đọc có thể xây dựng cho mình các phương trình
vô tỉ đẹp mang màu sắc của riêng minh.
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt nhiều ẩn phụ rồi đưa về
tích
Trong quá trình dạy học toán ở phổ thông, đặc biệt là dạy học giải phương trình vô
tỉ nhiều khi chọn một biểu thức để làm ẩn phụ không thể làm được, do đó ta phải chọn
các biểu thức thích hợp rồi đặt nhiều ẩn phụ để đưa phương trình về dạng tích.
Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình: ( u − 2v )( 2u − v ) = 0 ⇔ 2 ( u 2 + v 2 ) = 5uv , chọn
2
u = x + 1
, ta được phương trình: 2 x 2 + 2 = 5 x3 + 1
 2
2
v = x − x + 1

(

)

v = 9u
u = x − 1
, ta
Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình: 3u + 2v = 7 uv ⇔  1 , chọn 
2
v = u
v
=
x
+

x
+
1


4

được phương trình: 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x3 − 1 .
Vì vậy dựa vào cách xây dựng này thì từ phương trình tổng quát:
α u + β v = mu 2 + nv 2 ta có thể đưa ra được nhiều bài toán đẹp. Chẳng hạn:

Ví dụ 3: Giải phương trình sau :

x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x 2 + 4 x + 1

Bài giải
1
2

Điều kiện: x ≥ . Bình phương 2 vế ta có :

(x

2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = x 2 + 1 ⇔

(x

2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = ( x 2 + 2 x ) − ( 2 x − 1)

7



1− 5
u=
v

u = x + 2 x
2
2
2

Ta có thể đặt : 
khi đó ta có hệ : uv = u − v ⇔

1+ 5
v = 2 x − 1
v
u =

2
2

Do u , v ≥ 0 . u =

1+ 5

1+ 5
v ⇔ x2 + 2x =
( 2 x − 1)
2
2

3. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Từ những phương trình tích, ta nhân chúng ra và rút gọn thì sẽ được những
phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình phụ thuộc
vào tích ban đầu ta chọn.
Ví dụ 1: Từ phương trình tích:

(

1− x − 2 1+ x

)(

)

1− x − 2 + 1+ x = 0

⇔ 4 1 + x = 3x + 1 + 2 1 − x + 1 − x 2

Rõ ràng phương trình này chẳng tầm thường chút nào. Để giải nó ta đặt: 1 − x = t rồi
đưa phương trình về dạng:

(

)

t 2 − 2 + 1 + x t + 4 1 + x − 2 (1 + x ) = 0

Phương trình này có cả ẩn t và x nhưng ta xem nó là 1 phương trình bậc hai đối với ẩn
t = 2 1 + x

t. Có ∆ = ( 2 − 3 1 + x ) ≥ 0 nên có hai nghiệm 
2

t = 2 − 1 + x

giải ra, thử lại, ta được các nghiệm là x = 0, x = −

3
5

Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình:

(

x2 + 2 − 3

)(

)

(

)

x2 + 2 − x + 1 = 0 ⇔ x2 + 3 − x2 + 2 x = 1 + 2 x2 + 2

Để giải phương trình này, ta đặt t = x 2 + 2, đưa phương trình về dạng:
t = 3
t 2 − ( 2 + x ) t − 3 + 3x = 0 ⇔ 
t = x − 1

Lại một vấn đề nảy sinh trong cách giải này, đó là chọn ẩn phụ t như thế nào để ∆ có
thể đưa về dạng chính phương lại là vấn đề không dễ làm chút nào. Chẳng hạn:
8


Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16
Bài giải.
Bình phương hai vế, ta được:
4 ( 2 x + 4 ) + 16 2 ( 4 − x 2 ) + 16 ( 2 − x ) = 9 x 2 + 16 .

Đặt t = 2 ( 4 − x 2 ) ≥ 0 , ta được: 9 x 2 − 16t − 32 + 8 x = 0
Như vậy, ta cần phải tách: 9 x 2 = 2α ( 4 − x 2 ) + ( 9 + 2α ) x 2 − 8α , chọn α để cho ∆t đưa về
dạng chính phương.
Thông thường ta chỉ cần nhóm các hề số tự do là đạt được yêu cầu bài toán.
4. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
4.1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường, đối xứng loại I.
Thông thường loại phương trình này xuất phát từ phương trình f (α ( x), β ( x) ) = 0.
Ta đặt u = α ( x), v = β ( x) và tìm mối liên hệ giữa α ( x) và β ( x) rồi đưa về hệ ẩn u và v.
 xy ( x + ) = 30
Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình.  3 3
 x + y = 35

(

Ta thay, y = 3 35 − x 3 suy ra được

)

phương trình: x 3 35 − x3 x + 3 35 − x3 = 30
Ví dụ 2: Từ hệ phương trình:

u 2 + v = 5(1)
 2
v − u = 5(2)

Từ phương trình (1) của hệ ta thay u = x − 1, v = 5 + x − 1
Ta được phương trình x + 5 + x − 1 = 6. Rõ ràng giữa

x − 1 và

5 + x − 1 có quan

hệ ở phương trình (2). Để giải phương trình đó ta đưa về hệ trên để giải.
 x 2 + v 2 = 12
Ví dụ 3: Từ hệ phương trình 
8 6 6
2 ( u + v ) = + +
3 u v


Ta thay từ phương trình (2) bởi u = 6 − x , v = 6 + u . ta được phương trình:
6 − 2x 6 + 2x 8
3− x

3+ x
4
+
= ⇔
+
=
6− x
6+ x 3
6− x
6+ x 3

9


Đây là một phương trình để giải nó không đơn giản chút nào nếu ta cắt phần xây
dựng ở trên.
4.2. Xây dựng phương trình bằng cáh đưa hệ đối xứng loại II.
Nguồn gốc của bài toán là xuất phát từ hệ phương trình đối xứng loại II. Ta thay
ẩn từ một phương trình nào đó bằng một biểu thức hoặc hai biểu thức chứa biến x ta
sẽ được một phương trình . Để giải nó ta phải đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II
nơi nó xuất phát. Thông thường xuất phát từ hệ phương trình tổng quát
(α x + β ) 2 = ay + b

2
(α y + β ) = ax + b

Ta xây dựng phương trình dạng : α y + β = ax + b
Khi đó, ta có phương trình dạng : (α x + β ) +

a

2

ax + b + b −

α

β
α

Tương tự, ta có thể xây dựng phương trình bậc cao hơn

(α x + β )

n

=

a

α

. n ax + b −

β
α

 x − 2 x = 2( y − 1)
Ví dụ 1: Từ hệ phương trình  2
2

 y − 2 y = 2( x − 1)

Ta xây dựng phương trình : x 2 − 2 x = 2 2 x − 1
( 2 x − 3)2 = 4 x + 5
Ví dụ 2: Từ hệ phương trình: 
. Ta xây dựng được phương trình :
2
( 2 y − 3) = 4 x + 5
2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5.

III. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
1. Xây dựng từ hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương : A2 + B 2 ≥ 0 , ta xây dựng phương trình dạng
A2 + B 2 = 0

Từ phương trình

(

) (
2

5x − 1 − 2x +

(

)

2

9 − 5 x − 2 + x − 1 = 0 ta khai triển ra có phương

)

trình : 4 x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5 x − 1 + 9 − 5 x .

10


2. Xây dựng từ bất đẳng thức
A ≥ m
nếu dấu
B ≤ m

Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: 

bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A = B
Ta có: 1 + x + 1 − x ≤ 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x = 0 và

x +1 +

1
≥ 2 , dấu
x +1

bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình:
1 − 2008 x + 1 + 2008 x =

1

+ 1+ x
x +1

 A ≥ f ( x )
khi đó :
 B ≤ f ( x)

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : 
 A = f ( x )
A=B⇔
 B = f ( x )

Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có
nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để
đánh giá được
Ví dụ 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):

2 2
+ x = x+9
x +1

Bài giải:
Điều kiện: x ≥ 0
2

 2 2

Ta có : 
+ x ≤ 2 2


 x +1
 

Dấu bằng ⇔

2 2
=
x +1

(

)

2

2
 1

x  

 = x+9
+ x +1 
+
  x + 1  x + 1  

 


1
1

⇔x=
7
x +1

Ví dụ 2. Giải phương trình : 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16
Bài giải
Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1

(

Biến đổi pt ta có : x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2

)

2

= 256

11


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

(

13. 13. 1 − x 2 + 3. 3. 3 1 + x 2

)

2

≤ (13 + 27 ) (13 − 13 x 2 + 3 + 3 x 2 ) = 40 (16 − 10 x 2 )
2

 16 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x (16 − 10 x ) ≤   = 64
 2
2

2

2


x=
1 + x2
2

5
 1− x =
⇔
Dấu “=” xãy ra ⇔ 
3
2

10 x 2 = 16 − 10 x 2

 x = − 5

Ví dụ 3. giải phương trình: x3` − 3x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0

Bài giải
Ta chứng minh : 8 4 4 x + 4 ≤ x + 13 và x3 − 3x 2 − 8 x + 40 ≥ 0 ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13
2

Bài tập đề nghị .
Giải các phương trình sau
1 − 2x + 1 + 2x =
4

1 − 2x
1 + 2x
+
1 + 2x
1− 2x

16 x 4 + 5 = 6 3 4 x3 + x
x3` − 3 x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0

x + 4 1− x + x − 1− x = 2 + 4 8

8 + x 3 + 64 − x 3 = x 4 − 8 x 2 + 28

2x4 + 8 = 4 4 + x4 + 4 x4 − 4

2 − x2 + 2 −

1
1

= 4−x+ 

2
x
x


3. Xây dựng phương trình từ tính chất cực trị hình học
3.1. Xây dựng bằng phương pháp tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các véc tơ: u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) . Khi đó, ta
có
u+v ≤ u + v ⇔

( x1 + x2 )

2

+ ( y1 + y2 ) ≤ x12 + y12 + x22 + y22
2

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u , v cùng hướng ⇔

x1 y1
=
= k ≥ 0 , chú ý
x2 y2

tỉ số phải dương.
12


u.v = u . v .cos α ≤ u . v , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos α = 1 ⇔ u ↑↑ v

3.2. Xây dựng từ tính chất đặc biệt về tam giác
Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác,
ta luôn có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy
ra khi và chỉ khi M ≡ O .
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng thì
MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB, BC, AC dưới cùng một góc
1200

Ví dụ: Giải các phương trình:

(

)

1)

2 x2 − 2x + 1 + 2x2 −

3 − 1 x + 1 + 2 x2 +

2)

x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5

(

)

3 +1 x +1 = 3

IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1. Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu
Dựa vào kết quả : “ Nếu y = f ( t ) là hàm đơn điệu thì f ( x ) = f ( t ) ⇔ x = t ” ta có
thể xây dựng được những phương trình vô tỉ
Xuất phát từ hàm đơn điệu : y = f ( x ) = 2 x3 + x 2 + 1 mọi x ≥ 0 ta xây dựng phương
trình : f ( x ) = f

(

)

3x − 1 ⇔ 2 x3 + x 2 + 1 = 2

(

)

3

3x − 1 + (3x − 1) 2 + 1 , Rút gọn ta được

phương trình: 2 x3 + x 2 − 3 x + 1 = 2 ( 3 x − 1) 3 x − 1
Từ phương trình f ( x + 1) = f

(

)

3 x − 1 thì bài toán sẽ khó hơn

2 x 3 + 7 x 2 + 5 x + 4 = 2 ( 3 x − 1)

( 3x − 1)

Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
2 x 3 + 7 x 2 + 5 x + 4 = 2 y 3
cộng hai phương trình ta
2
3
x
−
1
=
y


Đặt y = 3x − 1 khi đó ta có hệ : 
được: 2 ( x + 1) + ( x + 1) = 2 y 3 + y 2
3

2

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?
13


) (

(

)

Ví dụ 1. Giải phương trình : ( 2 x + 1) 2 + 4 x 2 + 4 x + 4 + 3x 2 + 9 x 2 + 3 = 0
Bài giải:

(

⇔ ( 2 x + 1) 2 +

( 2 x + 1)

2

)

(

+ 3 = ( −3 x ) 2 +

( −3 x )

2

)

+ 3 ⇔ f ( 2 x + 1) = f ( −3 x )

)

(

Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t 2 + 3 , là hàm đồng biến trên R, ta có x = −

1
5

Ví dụ 2. Giải phương trình: x3 − 4 x 2 − 5 x + 6 = 3 7 x 2 + 9 x − 4
Bài giải :
 x3 − 4 x 2 − 5 x + 6 = y
3
y = 7 x + 9 x − 4 , ta có hệ :  2
⇒ y 3 + y = ( x + 1) + ( x + 1)
3
7 x + 9 x − 4 = y

Đặt

3

2

Xét hàm số : f ( t ) = t 3 + t , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình:
x = 5
f ( y ) = f ( x + 1)  ⇔ y = x + 1 ⇔ ( x + 1) = 7 x + 9 x − 4 ⇔ 
 x = −1 ± 5

2
3

2

V. Bài tập tổng hợp.
Giải các phương trình sau:
1. x3 +

(1 − x )

2 3

= x 2 − 2 x2

2. 2 x 2 − 2 x 30 − 2007. 30 + 4 x 2007 = 30. 2007
3. 3 x − 1 + 3 x + 1 = x 3 2
4. 3 x + 3 x + 1 = 2 x + 1
5. 4 x + 5 + 3x + 1 = 2 x + 7 + x + 3
6. x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1
4 − 3 10 − 3 x = x − 2 (HSG Toàn Quốc 2002)

7.

8. 2 ( 2 − x )( 5 − x ) = x +
9.

3

( 2 − x )(10 − x )

x2 + 4 = x − 1 + 2x − 3

10. 3 x 2 − 1 + 3x3 − 2 = 3x − 2
11. 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 = 0 (OLYMPIC 30/4-2007)
13. 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2
14. 2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4
15. 4 x 2 + 3x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1
14


C. KẾT LUẬN
Trải qua thực tế giảng dạy toán ở trường phổ thông, qua thời gian dạy học snh giỏi
và luyện thi đại học, tôi nhận thấy:
Việc giải phương trình vô tỉ là một công việc hết sức khó khăn và đòi hỏi người
giải cũng như người dạy phải sáng tạo kheo léo, biết vận dụng các kiến thức đã biết
vào giải phương trình cũng như xây dựng các dạng phương trình. Trong giai đoạn
hiện nay chúng ta tập trung vào đổi mới phương pháp giảng dạy. Để phát huy tính tích
cực của học sinh, việc tiếp thu các kiến thức mới và công việc giải toán người thầy
phải là người tiên phong trong công việc phát huy tính tích cực của mình để tìm ra
những phương pháp mới, tìm ra các công cụ mới để ngày càng hoàn thiện hơn bẩn
thân mình. Đồng thời trang bị cho những người làm toán các công cụ hữu hiệu để có
thể đi sâu vào thế giới toán học.
Trên đây là ý kiến của tôi về phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách xây
dựng phương trình từ lời giải của bài toán nhằm giúp cho học sinh cũng như Giáo
viên có phương pháp tư duy mới trong việc giải phương trình vô tỉ. Thực tiển giảng
dạy tai lớp 10A1 và 10A4, khi áp dụng các phương pháp đã trình bày ở trên , tôi nhận
thấy học sinh hiểu bài rất nhanh. Qua kiểm tra đánh giá, lớp 10A1 có tới 85%-90%
học sinh nắm được bài, lớp 10A4 có tới 80%-85% học sinh nắm được bài. Điều đó
chứng tỏ phương pháp này rất hữu hiệu đối với học sinh.
Một hướng mở của đề tài mà tôi đang còn tiếp tục nghiên cứu đó là xây dựng các
phương trình lượng giác, mũ và lôgarit.
Mặc dù đã rất cố gắng sắp xếp phương pháp, ví dụ và cấu trúc bài viết, nhưng bài

viết không thể tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của quý bạn đọc và đồng nghiệp để bài viết được hoàn thiện hơn.

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuyên đề Đại số nâng cao THPT, Phạm Quốc Phong, NXB giáo dục.
2. Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Trần Phương, NXB Đại học quốc
gia Hà Nội.
3. Phân loại và hướng dẫn giải toán bất phương trình và hệ bất phương trình,
Huỳnh Công Thái, Lê Mậu Thảo. NXB Hà Nội.
4. Tuyển tập đề thi Olympic 30/4.
5. Đề thi học sinh giỏi tĩnh Hà Tĩnh các năm 2002-2011.

16