Ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HẠNH

ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HẠNH

ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng
các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, tháng 04 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Hạnh

i


M C

C
Trang

Trang bìa phụ
L i cam đoan ......................................................................................................... i
Mục lục ................................................................................................................ ii
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 4
1.1. Ánh xạ chỉnh hình.......................................................................................... 4
1.2. Đa tạp phức .................................................................................................... 5
1.3. Hàm đa điều hòa dưới.................................................................................. 10
1.4. Miền giả lồi . ................................................................................................ 11
1.5. Miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình...................................................... 12
1.6. Thác triển giải tích ....................................................................................... 16
Chương 2. ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI

TÍCH THỰC ..................................................................................................... 19
2.1. Sự thác triển của dây chuyền các ánh xạ chỉnh hình. .................................. 19
2.1.1. Một số khái niệm liên quan. ..................................................................... 19
2.1.2. Sự tham số hóa của một dây chuyền. ....................................................... 20
2.2. Sự thác triển liên tục của trên

. ............................................................. 25

2.3. Sự liên tục giải tích của . ............................................................................ 31
2.4. Một vài ứng dụng......................................................................................... 40
KẾT UẬN........................................................................................................ 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 43

ii


LỜI MỞ ĐẦU
Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải tích
phức. Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn đề này và trong
khoảng 3 thập kỷ qua đã có nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng. Cho đến nay
việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý:
Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay còn gọi là
thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs.
Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua các tập mỏng (tức là các tập có độ đo Lebegue
bằng 0). Thác triển kiểu này được gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Riemann.
Một trong những hướng nghiên cứu của thác triển chỉnh hình kiểu
Riemann là thác triển của ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt.
Thác triển giải tích của một mầm của ánh xạ giữa các siêu mặt thực đã
thu hút được nhiều sự chú ý của các nhà toán và Poincaé là ngư i khởi xướng
trong trư ng hợp siêu mặt nguồn và siêu mặt đích có cùng số chiều.

Vào năm 1974, Fefferman [6] đã chứng tỏ rằng nếu
miền giả lồi mạnh có các biên lớp
có thể thác triển thành một

là các

thì một ánh xạ song chỉnh hình
đồng cấu vi phân giữa các bao đóng ̅ và ̅ .

Với kết quả định lý này tác giả Fefferman đã chứng minh trong [12] rằng

là

liên tục giải tích trong một lân cận của bao đóng ̅ nếu các biên

là

và

giải tích thực. Do vậy, vấn đề về sự tương đương song chỉnh hình của các miền
dẫn đến sự tương đương song chỉnh hình của các biên của chúng. Trong trư ng
hợp các biên

và

là các siêu mặt giải tích thực giả lồi mạnh trong

, bài

toán về sự tương đương song chỉnh hình địa phương của các siêu mặt này đã

được nghiên cứu trong các công trình nghiên cứu của Poincaré [10] và Cartan
[8]. Chern và Moser [11] đã gần như hoàn chỉnh bài toán này. Pinčuk [12], đã

1


chứng minh sự tương đương song chỉnh hình của các đoạn nhỏ tùy ý của
kéo theo sự tương đương toàn cục của
đương của các miền

và

và

và do đó kéo theo sự tương

.

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại các kết quả nghiên cứu của
Pinčuk [12] về sự liên tục giải tích của ánh xạ chỉnh hình và sự tương đương
song chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực trong

(

) dẫn tới sự

liên hệ với sự song chỉnh hình của các miền giả lồi mạnh.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về ánh xạ chỉnh hình, hàm
chỉnh hình, đa tạp phức, tập giải tích, hàm đa điều hòa dưới, nguyên lí thác

triển chỉnh hình.
Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu
về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực của Pinčuk [12].
Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư
phạm - ĐH Thái Nguyên). Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em.
Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào Tạo sau Đại học,
quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22B (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư
phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến
thức quý báu cho em hoàn thành khóa học.
Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i
đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.

2


Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô
và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hạnh

3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ chỉnh hình.
1.1.1. Hàm chỉnh hình.
Định nghĩa 1.1.1: Giả sử M là tập mở trong
được gọi là khả vi phức tại

hàm

và

là một hàm số,

nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính

sao cho
| (

)

( )
| |

| |

(

trong đó
Hàm

)

và | |

(∑

⁄

| | )

được gọi là chỉnh hình tại

cận nào đó của

( )|

nếu

khả vi phức trong một lân

và được gọi là chỉnh hình trên

nếu

chỉnh hình tại mọi

điểm thuộc
lập nên hai hình cầu đóng ̅

Ví dụ: Giả sử tập

̅

{|
| |

(

)|

{|

} được nối với nhau bởi đoạn

}. Xác định trên

(

)|

} và

{

hàm
̅
( )

Rõ ràng nó liên tục trên
cận

và

{

̅

, và với mỗi điểm

thác triển được vào đó như hàm chỉnh hình. Thật vậy, với các

điểm của ̅ kể cả giao điểm .

/ của ̅ và , có thể lấy các lân cận như vậy

là các hình cầu không giao với ̅ và thác triển
( )

có thể xây dựng lân

vào đó bằng cách đặt

. Với các điểm của ̅ , làm tương tự, chỉ khác là đặt ( )

.

Cuối cùng, đối với các điểm trong của , ta lấy các hình cầu không chứa các
đầu mút của đoạn đó, và đặt trong đó

.

4


1.1.2. Ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa 1.1.2: Một ánh xạ
(

có thể viết dưới dạng

) trong đó
Khi đó

là các hàm tọa độ.

được gọi là chỉnh hình trên

nếu

( )

Định nghĩa 1.1.3: Ánh xạ

chỉnh hình trên

với mọi

được gọi là song chỉnh hình nếu

cũng là ánh xạ chỉnh hình.

là song ánh, chỉnh hình và
Định lí 1.1.4:
Cho
đó

(

là các miền và ánh xạ

là ánh xạ chỉnh hình nếu và chỉ nếu hàm chỉnh hình

một hàm chỉnh hình trong

)
trong

Khi
,

là

.

1.1.3. Siêu mặt thực trong
. M được gọi là siêu mặt thực nếu với mọi

Cho M là tập con trong
tồn tại một lân cận
trị thực trong

của trong

Nếu

nhận giá

sao cho
*

Hàm

và hàm khả vi liên tục

(

̅)

+ với

( )

như trên được gọi là hàm xác định địa phương.
là hàm giải tích thực trơn thì

được gọi là siêu mặt giải tích thực trơn.

1.2. Đa tạp phức.
1.2.1. Định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa 1.2.1: Cho M là không gian tôpô Hausdorff.
 Cặp (

) được gọi là một bản đồ địa phương của M, trong đó V là một

tập mở trong M và

là một ánh xạ, nếu các điều kiện sau được

thỏa mãn:
i) ( ) là tập mở trong
ii)

( ) là một đồng phôi.

5


 Họ   (Vi , i )iI của M được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của M
nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i) Vi iI là một phủ mở của M,
ii) Với mọi Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) là
ánh xạ chỉnh hình.
gọi là tương đương nếu hợp

Xét họ các atlas trên X. Hai atlas

của chúng là một atlas trên X. Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas
lập thành một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương
đương trên gọi là một cấu trúc khả vi phức trên X. X cùng với cấu trúc khả vi
phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
Ta biết rằng, một lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại

diện của nó. Do đó một atlat khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi.
là một miền. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản

Ví dụ 1: Cho
đồ địa phương *(

)+
( ).

Ví dụ 2: Đa tạp xạ ảnh

* + được xác định bởi

Xét quan hệ tương đương trên
để
(

{

Đặt

( )

Ta gọi

Rõ ràng * +

* +

)

* +

}với
( )

là một phủ mở cửa của

Xét các đồng phôi

với tôpô thương.

cho bởi
( )

̂

(

)

Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa là số hạng dưới mũ đó được bỏ đi. Khi đó ánh
xạ ngược được cho bởi
Giả sử (

) và (
(

(

)

[(

) là hai bản đồ địa phương trên
)

(

) cho bởi công thức

6

)]
( ) và i < j thì


(

)

Rõ ràng

̂

(

)

là ánh xạ chỉnh hình.

Vì vậy, họ *
( ) vì vậy

+ là tập bản đồ địa phương xác định cấu trúc khả vi trên

( ) là đa tạp khả vi phức n chiều.

1.2.2. Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức.
Định nghĩa 1.2.2: Giả sử M, N là hai tạp khả vi phức. Ánh xạ liên tục
được gọi là chỉnh hình trên

nếu với mọi bản đồ địa phương (

và mọi bản đồ địa phương (
( )

) của

sao cho ( )

, thì ánh xạ

( ) là ánh xạ chỉnh hình.

Hay tương đương, với mọi
(

) của

) và (

) tại

và

tồn tại hai bản đồ địa phương

tương ứng sao cho:
( )

( ) là ánh xạ chỉnh hình.

là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và

Giả sử

là các

ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N.
1.2.3. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức.
Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và D là đĩa đơn vị trong . Giả sử
(

) là bản đồ địa phương quanh ; tức là,
là ánh xạ song chỉnh hình Đặt

(

(

) Khi đó

) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh .
Đặt

trong đó

(

và

là các giá trị thực Khi đó

) là hệ tọa độ địa phương thực quanh , ở đó

xem như đa tạp khả vi thực
của

là một lân cận của và

tại

Khi đó
{(

chiều. Giả sử

là không gian tiếp xúc

là không gian vecto thực
)

(

)

(

)

7

được

(

chiều, và
) }

(

)


là một cở sở của

Kí hiệu

là phức hóa của

cũng là một cơ sở của không gian vectơ phức
(

Khi đó ( 1)

Đặt

)

Ta kí hiệu
{∑

Khi đó

( ⁄

)

}

là một không gian con tuyến tính phức

chiều của

, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương
(

) Ta gọi

là không gian tiếp xúc của đa tạp phức

tại .

Đặt
⋃

(hợp r i).
bởi điều kiện (

Ta định nghĩa phép chiếu
có cấu trúc của đa tạp phức
thể hơn, giả sử (
tập con mở

của

chiều sao cho

)

là ánh xạ chỉnh hình. Cụ

) là tọa độ chỉnh hình địa phương xác định trên một
. Khi đó ta có
( )

{∑

( ⁄

)

}

Ánh xạ
∑

( ⁄

)

( )

( ( )

( )

là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của
Ta gọi

Khi đó

là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M.

1.2.4. Tập giải tích trên đa tạp phức.

8

)

Định nghĩa 1.2.3: Cho  là một đa tạp phức (một miền trong
). Một tập A

hoặc trong

 được gọi là tập con giải tích của  nếu với mỗi điểm

a  có một lân cận U của a và các hàm

*

chỉnh hình trên U sao cho:

( )

( )

+

Định nghĩa 1.2.4: Một tập A trong đa tạp phức  được gọi là một tập giải tích
(địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm
chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó.
Nhận xét:
+ Mọi miền D
tích trong

n

chỉ khi D 

n

là tập giải tích trong
n

n

nhưng nó là tập con giải

.

+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích
của một lân cận của nó.
Định nghĩa 1.2.5: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập
con giải tích
1.

sao cho:
;

2. A i  A, i  1,2.
Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy.
Định nghĩa 1.2.6: Tập con giải tích bất khả quy A của tập giải tích A được gọi
là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tích A
và A

A sao cho A  A

A là khả quy.

của các đa tạp phức. Khi đó tạo

Hệ quả 1.2.7: Cho ánh xạ chỉnh hình
ảnh của tập giải tích

là một tập giải tích trong X.

Chứng minh:

9


Cho ( )

, và

a, xác định trên

là các hàm chỉnh hình trong lân cận U của
( ) là lân cận của b và trong V tập

Khi đó

( ) trùng với tập không điểm chung của các hàm chỉnh hình

.

Ảnh của một tập giải tích qua ánh xạ chỉnh hình không phải lúc nào cũng

phải là một tập giải tích.
) ảnh của đĩa đơn vị *| |

(

Ví dụ: qua ánh xạ

không là tập giải tích trong bất kỳ lân cận nào của điểm (

trong

+

)

là các tập giải tích. Khi đó, tích trực tiếp

Hệ quả 1.2.8: Giả sử
là tập con giải tích trong
Chứng minh:
(

Giả sử

là phép chiếu của

) và

(
(

tập

)

lên

thì

) là các tập con giải tích của

(

) nên

. Khi đó

là tập con giải tích.

Định lý 1.2.9: (Định lý duy nhất)
Nếu đa tạp phức
khác rỗng thì

liên thông và tập giải tích

chứa một tập con mở

.

Chứng minh:

Đặt
định nghĩa
trong

nên

là tập các điểm trong của A. Theo giải thiết ta có
là tập mở. Giả sử a là điểm giới hạn của

. Vì A tà tập đóng

, do đó trong lân cận liên thông U của a tập

không điểm chung của các hàm
trong U nên
Vì

, và theo

. Vì
Như vậy,

là tập

trên tập mở khác rỗng
cũng là tập đóng trong .

là liên thông nên

1.3. Hàm đa điều hòa dưới.

1.3.1. Hàm điều hòa dưới.
Định nghĩa 1.3.1: Giả sử

là miền trong . Một

được gọi là điều hòa nếu

10

- hàm

xác định trên


trên
̅

,

Định nghĩa 1.3.2: Hàm
miền

thỏa mãn hai điều kiện sau:

nếu
i)

) được gọi là hàm điều hòa dưới trong
tức là tập *

là nửa liên tục trên trong

( )

+ là tập mở

với mỗi số thực ;
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối
là điều hòa trong và liên tục trong ̅ ta có: nếu

của

và mọi hàm

trên

thì

trên .

1.3.2. Tiêu chuẩn điều hòa dưới.
Cho

là hàm nửa liên tục trên trong miền .

trong , khi và chỉ khi với mỗi điểm
( )

∫

, tồn tại

(

)

là hàm điều hòa dưới

( )

sao cho
( )

v i mọi

1.3.3. Hàm đa điều hòa dưới.
Định nghĩa 1.3.3:
Giả sử

là một tập con mở trong

. Một hàm

,
được gọi là đa điều hòa dưới trên
i)

là nửa liên tục trên và

)

nếu
không đồng nhất bằng

trên mọi thành

phần liên thông của
ii) Với mỗi

và

mà

, và với mỗi ánh xạ
( )

hàm

là điều hòa dưới hoặc bằng

trên mỗi thành phần liên thông của

( ) (là các miền trong ).
1.4. Miền giả lồi.
1.4.1. Miền lồi.
Định nghĩa 1.4.1:

iền lồi là các miền mà cùng với các với điểm

chúng chứa mọi điểm x= ,

(

)

-, trong đó

Từ định nghĩa trên, ta có định nghĩa tương đương sau.

11

(

).

tùy ý,


Định nghĩa 1.4.2: Miền
( )

được gọi là miền lồi nếu hàm

(

trong đó (

) là hàm lồi trong ,

) là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên

của miền.

1.4.2. Miền giả lồi.
Định nghĩa 1.4.3: Miền
( )

được gọi là miền giả lồi, nếu hàm

(

trong đó (

) là hàm đa điều hòa dưới trong D,

) là hàm khoảng cách Ơclit từ điểm đến biên

1.4.3. Miền giả lồi mạnh.
Định nghĩa 1.4.4:
và D được gọi là giả lồi mạnh với

Cho D là một miền bị chặn trong
biên

nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới

biên

sao cho:

i.
ii.

*

( )

xác định trong lân cận U của

+

trong U.

Dạng Levi của

tại

là một dạng Hermitan cho như sau:
∑

( )

Khi X là miền giả lồi mạnh biên

vì dạng

compact, tồn tại hai số dương

sao cho

̅

(

)

là xác định dương,
( )

.

1.5. Miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình.
1.5.1. Miền chỉnh hình.
Định nghĩa 1.5.1:
Miền

gọi là miền chỉnh hình của hàm

nếu

chỉnh hình trong

và không thác triển giải tích được ra ngoài giới hạn của miền này.

12


Nghĩa là: đối với điểm tùy
(

nhất
(

)

, hàm

chỉnh hình trong đa tròn lớn

không thác triển chỉnh hình được vào bất kì đa tròn nào

)(

) và

là các vô hướng.

Miền được gọi là miền chỉnh hình nếu nó là miền chỉnh hình của hàm nào đó.
Định nghĩa 1.5.2: Miền
nếu mọi

chứa miền

trong

gọi là mở rộng chỉnh hình của

( ) đều thác triển được thành một hàm chỉnh hình trong .

Một trong các bài toán quan trọng đầu tiên là tìm đặc trưng của miền

chỉnh hình. Hiển nhiên đặc trưng này liên hệ chặt chẽ với các điểm biên của .
Vì vậy ta đưa ra khái niệm sau:
Định nghĩa 1.5.3:
Điểm
nếu

gọi điểm chướng ngại (đối với việc mở rộng chỉnh hình)

tập compact

hàm chỉnh hình
| |

trên

thỏa mãn

+

sup*| ( )|

nhưng
sup*| ( )|

+

đối với mọi lân cận

Rõ ràng rằng nếu tồn tại

chỉnh hình trên

của .

sao cho

lim sup| ( )|
thì là điểm chướng ngại.
Định lí 1.5.4:
Giả sử

miền trong

chướng ngại . Khi đó

có tập đếm được trù mật các điểm

sao cho

là miền chỉnh hình.

Chứng minh:
Ta xây dựng dãy *

+ từ các điểm của

sao cho mọi điểm của nó

là tập các điểm

gặp vô hạn lần (Chẳng hạn nếu

thì ta đặt

) Định lí sẽ được chứng minh
nếu ta xây dựng được một dãy *
|

|

+

và một hàm chỉnh hình trên

và | (

)|

13

khi

.

sao cho


Để xây dựng dãy *

+ và hàm

ta xây dựng theo quy nạp đồng th i
⋃

a) Dãy vét cạn các tập compact
b) Dãy điểm *

+

|

|

c) Dãy hàm { } chỉnh hình trên
nhưng | (

‖ ‖
Với
ngại tồn tại

)|

chọn tùy ý tập compact
chỉnh hình trên
|

trong

là điểm chướng

để

và
| |

|

. Do

| ( )|

Giả sử đã xây dựng

thỏa mãn a) – c).

và

Đặt
(

{
Do

)

| |

}

{

là điểm chướng ngại ta lại tìm được hàm chỉnh hình
|

|

Như vậy a) – c) đã được xây dựng. Do | (

trên

và

ta tìm được

(

| (

‖ ‖
)|

}
để

)|
)

sao cho
| (

| (

)|

∑

∑

| ( )|

)|

(

)

Xét chuỗi

Bởi vì | ( )|

và dãy {

(

)

} là dãy vét cạn các tập compact

của , chuỗi (1.2) hội tụ đều trên mọi tập compact trong . Như vậy tổng của
nó là hàm chỉnh hình trên

Mặt khác từ

14


| (

| (

)|

ta suy ra | (

)|

)|

∑

| (

)|

∑

∑

khi

Định lí được chứng minh.

Hệ quả 1.5.5: Mọi miền trong

là chỉnh hình.

Hệ quả 1.5.6: Mọi miền lồi trong

là miền chỉnh hình

1.5.2. Miền lồi chỉnh hình.
Định nghĩa 1.5.7:
a) Giả sử

là một miền trong
̂

*

đặt

. Với mọi tập compact

| ( )|

( )+

Tập ̂ gọi là bao lồi chỉnh hình của .
b) Miền

gọi là lồi chỉnh hình nếu ̂ là compact với mọi tập compact

trong
Định lí 1.5.8: Mọi miền lồi chỉnh hình trong

là miền chỉnh hình.

Chứng minh:
Thật vậy, chọn tùy ý một tập đếm được
và một dãy tăng các tập con compact vét cạn
(̂ )
Lập dãy
và

trù mật khắp nơi trong
của Ω với

p

từ tập như trong định lí 1.5.4, với mọi p

( )
‖ ‖

và |

| ( )|

15

|

chọn


}*

Lặp lại sự chứng minh của định lí 1.5.4 xuất phát từ các dãy {

+

( ) mà không thể mở rộng chỉnh hình tới miền lớn

và { } ta tìm được
hơn Ω.
1.6. Thác triển giải tích.
1.6.1. Định lí duy nhất.

Định lí 1.6.1: Giả sử ( ) chỉnh hình trên một miền
hợp

có điểm giới hạn trong

Khi đó

và bằng 0 trên một tập

đồng nhất bằng 0 trên

Chứng minh:
Giả sử
hiển nhiên

là điểm giới hạn của tập
là tập đóng và

trong

thì

phải là điểm trong của

hoàn toàn trong

tức là tồn tại một lân cận của

số của khai triển taylo phải có hệ số khác 0, giả sử là
(

) (

(

)

(

)

nằm

luôn tồn

Xét khai triển taylo của hàm ( ) tại

có các điểm mà tại đó ( )

trong lân cận tùy ý của

+

nào đó là điểm giới hạn của

Giả sử ngược lại, khi đó trong mọi lân cận của

tại các điểm mà tại đó ( )

( )

( )

Ta chứng minh

Trước hết ta chứng minh, nếu một điểm
tập

*

Đặt

Vì

nên trong các hệ
Khi đó

)

Đặt
( )
khi đó ( ) chỉnh hình tại
suy ra tồn tại một lân cận
cận

này hàm ( )

với giả thiết

(

và ( )

của
)

sao ( )

Do tính liên tục của
với mọi

Trong lân

( ) không có không điểm nào khác

là điểm tụ của

16

Trái


Giả sử

là điểm giới hạn của

khi đó

là điểm trong của

nên theo chứng minh trên,

là một điểm tùy ý, ta nối

Giả sử

là điểm tụ của

và

(trơn từng khúc) nằm hoàn toàn trong

tham số hóa

( )

bới một đư ng cong

với

bởi

( )

( )

Đặt
( )

sup*
Do

là điểm trong của

+

nên

khi đó ( ) sẽ là điểm giới hạn của

Nếu

đóng nên ( )

Do

nên theo chứng minh trên,

nó là điểm trong của , điều này mâu thuẫn với giả thiết
( )

Như vậy

kéo theo

là giả trị lớn nhất để

nghĩa là

Định lí được

chứng minh.
Từ định lí duy nhất ta thấy nếu hai hàm biến phức chỉnh hình và bằng
nhau trên một tập có điểm tụ trong miền chỉnh hình thì bằng nhau. Đặc biệt,
nếu chúng bằng nhau trên trục thực thì chúng đồng nhất bằng nhau. Từ đó ta có
hệ quả sau đây:
Hệ quả 1.6.2: Nếu một hàm số biến số thực có thể thác triển được thành một
hàm số phức chỉnh hình thì thác triển đó là duy nhất.
Hệ quả 1.6.3: Giả sử ( ) chỉnh hình, khác hằng trên miền đóng hữu hạn ̅
khi đó ( ) chỉ có hữu hạn không điểm trên ̅
Chứng minh: Ta biết rằng ̅ là tập compact. Kí hiệu

( ) là tập các không

điểm của ( ) trong ̅ Nếu số không điểm là vô hạn thì
dãy *

+ Khi đó sẽ tồn tại một điểm

con nào của dãy * + Từ định lí duy nhất suy ra ( )

17

( ) sẽ chứa một

̅ là điểm tụ của một dãy
trên

Mâu thuẫn.


1.6.2. Thác triển giải tích.
Định nghĩa 1.6.4: Giả sử

là một hàm chỉnh hình trong miền

xác định và chỉnh hình trong miền
nếu ( )

( ) với mọi

. Một hàm

được gọi là thác triển giải tích của

.

Định lí 1.6.5: Nếu một hàm chỉnh hình trong một miền nào đó thác triển giải
tích được trên một miền rộng hơn thì thác triển đó là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử
triển giải tích của
chỉnh hình trên
( )

là hàm chỉnh hình trong miền

và

Khi đó hàm ( )

lên miền

là hai thác
( )

( )

Theo định lí duy nhất

và bằng không trong miền

trong miền

Định lí được chứng minh.

Trong thực tế, khi cho một hàm chỉnh hình trên một miền nào đó, chúng
ta luôn cố gắng thác triển nó lên một miền rộng nhất có thể. Đối với hàm biến
phức, khi thác triển một hàm số ta thư ng nhận được một hàm đa trị. Sau đây
chúng ta sẽ xem xét kĩ hơn vấn đề này.
Giả sử hàm
sao cho
các hàm
lên miền

chỉnh hình trên miền

hàm

chỉnh hình trên miền

vẫn còn là một miền (mở, liên thông). Nếu trong miền
và

trùng nhau thì ta nói rằng hàm

là thác triển của hàm

(và ngược lại). Theo định lý duy nhất, dễ thấy rằng, nếu thác triển

tồn tại thì nó duy nhất.

18


Chương 2. ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT

GIẢI TÍCH THỰC
2.1. Sự thác triển của dây chuyền các ánh xạ chỉnh hình.
2.1.1. Một số khái niệm liên quan.
Định nghĩa 2.1.1: Tập

được gọi là một siêu mặt

có biên thuộc lớp

ASPC nếu nó là một siêu mặt giải tích thực giả lồi chặt trong
Cho

.

là một siêu mặt giải tích thực giả lồi chặt trong

bằng cách

chọn hệ tọa độ địa phương:
z

(z

phương trình của

z )

(z z ) z

iy (

x

trong lân cận của điểm z
y

| z|

∑

n)

có thể viết dưới dạng :
( z z̅ x )

(

)

(

)

Với điều kiện
( )
Ở đây,

( )

là các đa thức thuần nhất đối với

và tương ứng mà hệ

, và

là các đa thức thuần nhất bậc

thu được bằng cách thu gọn

với ma trận đơn vị. Khi đó,

số của chúng là phụ thuộc giải tích vào
và

̅ bậc

và

phương trình của

được gọi là có dạng chuẩn tắc.

Moser đã chứng tỏ rằng bằng cách chọn phép biến đổi các tọa độ song
chỉnh hình thích hợp thì phương trình của
tùy ý

trong một lân cận của một điểm

luôn có thể đưa về dạng chuẩn tắc. Ông cũng nghiên cứu tính duy

nhất của sự thu gọn này.
Định nghĩa 2.1.2: Một họ đường cong bất biến song chỉnh hình của
là dây chuyền nếu thỏa mãn:

19

được gọi


 Mỗi đường cong của họ qua phép biến đổi tọa độ song chỉnh hình đưa
về dạng chuẩn tắc được biểu thị bởi các phương trình

.

 Các đường cong này tại mỗi điểm của nó đều là transversal với mặt
phẳng tiếp xúc phức tới .
Mặt
y

được cho trong lân cận của điểm z

bởi phương trình

( z z̅ x ). Đối với hệ tọa độ địa phương z x , mỗi đư ng cong có thể

xác định được bởi một phương trình z
(

)

p(x ), trong đó:

( (

)

(

))

Khi đó, S.S. Chern và J.K. Moer [11] đã chứng tỏ rằng mỗi dây chuyền là
nghiệm của phương trình vi phân bậc hai
(
trong đó

̅)
̅

(2.3)
̅ với các hệ số giải tích

là một hàm hữu tỉ - giá trị vectơ của

và ̅, với mẫu thức triệt tiêu theo phương tiếp xúc phức của

và chỉ

theo phương này. Do định lí về tồn tại và duy nhất qua mỗi điểm của

có một

theo

dây chuyền duy nhất có phương không phức.
là một đư ng cong trên

và

là một vectơ tiếp xúc với mặt

. Ta kí hiệu | | là độ dài Euclicdean của

tại

và w ( ) là góc Euclicdean

( ).

giữa và

2.1.2. Sự tham số hóa của một dây chuyền.
Từ định lí về sự tồn tại và duy nhất, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.3: Cho
thuộc vào
một góc
̇( )

và

tồn tại một dây chuyền

và

/. Tồn tại

( ̇ ( ))

với mọi

,

,

phụ

( ) tạo với

và mọi vectơ

sao cho với

( )
,| |

.

là một tập compact và

sao cho ( )

,

-.

S.S. Chern và J.K. Moer [11] đã chứng minh được tính chất quan trọng sau về
dạng chuẩn tắc.

20


Giả sử phương trình của
và

có dạng chuẩn tắc trong lân cận của điểm

là một dây chuyền được cho bởi các phương trình

.

Xét một phép biến đổi phân đoạn tuyến tính của các tọa độ dạng:
√| |

trong đó

( )

(

là đơn nguyên và

như thế giữ nguyên dạng chuẩn tắc của siêu mặt

)

. Phép biến đổi
và ánh xạ các đư ng thẳng

vào chính nó.
Điều ngược cũng đúng, tức là nếu có một hệ tọa độ khác trong lân cận
của điểm 0 mà đối với nó

có dạng chuẩn tắc và dây chuyền

được cho bởi

phương trình

thì hệ tọa độ này có được từ hệ tọa độ ban đầu

qua phép biến đổi của (2.4).
Sự thể hiện hình học của (2.4) làm

thay đổi cở sở trong

( ), và phép

biến đổi
√| |
xác định sự tham số hóa mới của .
Vì vậy, một dạng chuẩn tắc siêu mặt

là hoàn toàn xác định bởi một số

hữu hạn các tham số:
1.

có dạng chuẩn tắc trong lân cận của mỗi điểm
( )

2. Phương của
3. Cơ sở trực chuẩn

,

( ) xác định một dây chuyền,

( ) phụ thuộc vào hai tham số thực,

4. Sự tham số của dây chuyền

phụ thuộc vào hai tham số thực.

S.S. Chern và J.K. Moer [11] chứng tỏ rằng các phép biến đổi tọa độ đưa
phương trình của

về dạng chuẩn tắc (2.1) và các hệ số của các đa thức

trong (2.1) phụ thuộc liên tục vào các tham số này.

21