Hình Học Không Gian 11

Hình Học
KHÔNG GIAN 11
Chương Trình Nâng Cao

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 08 - 2016

Copyright c 2016 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.


Nguyễn Minh Hiếu

2


Mục lục
Chương 1. Quan Hệ Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.1.1. Mở đầu về hình học không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Điều kiện xác định mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Hình chóp và hình tứ diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

6
6

1.2. Hai Đường Thẳng Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Hai đường thẳng song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8

1.3. Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Đường thẳng song song với mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

1.4. Hai Mặt Phẳng Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Hai mặt phẳng song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Định lý Thalès trong không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4. Hình lăng trụ. Hình hộp. Hình chóp cụt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
10
11

1.5. Phép Chiếu Song Song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1. Phép chiếu song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Hình biểu diễn của một hình không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
12

Ôn Tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Quan Hệ Vuông Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Vectơ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15

2.1.1. Vectơ trong không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Sự đồng phẳng của các vectơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15

2.2. Hai Đường Thẳng Vuông Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1. Góc giữa hai đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Hai đường thẳng vuông góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
16

2.3. Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1. Định nghĩa và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Định lý ba đường vuông góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
18
18
18

2.4. Hai Mặt Phẳng Vuông Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.1. Góc giữa hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Hai mặt phẳng vuông góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
20

2.5. Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn Tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
22

3


Nguyễn Minh Hiếu

4


Chương 1

Quan Hệ Song Song
1.1. Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
1.1.1. Mở đầu về hình học không gian.
Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng,... cho ta hình
ảnh một phần mặt phẳng trong không gian. Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình

hành và ký hiệu là ( P), ( Q), (α), ( β),...
Với một điểm A và một mặt phẳng ( P), có hai khả năng xảy ra:
• Điểm A thuộc mặt phẳng ( P), ký hiệu: A ∈ ( P).
• Điểm A không thuộc mặt phẳng ( P), ký hiệu: A ∈
/ ( P ).
Để hình dung về các hình không gian, người ta vẽ chúng thành những hình phẳng, gọi là hình biểu diễn
của các hình không gian. Để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian, người ta đưa ra những quy tắc sau:
• Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng.
• Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt
nhau).
• Điểm A thuộc đường thẳng a được biểu diễn bởi một điểm A thuộc đường thẳng a , trong đó a biểu
diễn cho đường thẳng a.
• Dùng nét vẽ liền (——) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểu
diễn cho những đường bị khuất.
Ví dụ 1.1. Vẽ hình biểu diễn một đường thẳng nằm trong mặt phẳng, một đường thẳng cắt mặt phẳng.

1.1.2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian.
Tính chất thừa nhận 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tính chất thừa nhận 3. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng
chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung này gọi là giao tuyến
của hai mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 5. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả của hình học phẳng đều đúng.
Định lý 1.1. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
nằm trong mặt phẳng đó.
Ví dụ 1.2. Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng M là điểm chung của
(α) với một mặt phẳng bất kỳ chứa d.
5

Nguyễn Minh Hiếu

1.1.3. Điều kiện xác định mặt phẳng.
Một mặt phẳng được xác định khi biết nó đi qua
• Ba điểm không thẳng hàng;
• Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó;
• Hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ 1.3. Cho mặt phẳng ( P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài ( P). Chứng minh rằng
nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt ( P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.
Nhận xét. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chỉ ra ba điểm đó thuộc hai mặt phẳng phân biệt.

1.1.4. Hình chóp và hình tứ diện.
Định nghĩa 1.2. Trong ( P) cho đa giác A1 A2 ...An và một điểm S nằm ngoài ( P). Nối S với các đỉnh A1 , A2 , ..., An
được n đa giác SA1 A2 , SA2 A3 , ..., SAn A1 . Hình gồm n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , ..., SAn A1 và đa giác A1 A2 ...An
gọi là hình chóp và được ký hiệu S.A1 A2 ...An .
Lưu ý. Cắt hình chóp bởi mặt phẳng (α), phần chung của (α) và các mặt của hình chóp tạo thành một đa
giác khép kín gọi là thiết diện.
Định nghĩa 1.3. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và
BDC gọi là hình tứ diện và ký hiệu là ABCD.
Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều gọi là tứ diện đều.
Ví dụ 1.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB.
a) Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD );
b) Tìm giao tuyến của (SAD ) và (SBC ).
Nhận xét. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng.
Ví dụ 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm của BC và
SD.
a) Tìm giao tuyến của (SAM) và (SBD );
b) Tìm giao điểm của AM và (SCD );
c) Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC ).

Nhận xét. Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P), ta xét hai trường hợp:
TH1: Nếu có đường thẳng a ⊂ ( P) và cắt d thì giao điểm của d và a là giao điểm của d và ( P).
TH2: Nếu chưa có đường thẳng a như trên thì chọn mặt phẳng ( Q) chứa d và tìm ∆ = ( P) ∩ ( Q). Lúc đó
giao điểm của d và ∆ là giao điểm của d và ( P).
Ví dụ 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD ). Chứng minh I A = 2I M;
b) Tìm giao điểm F của SD và ( ABM ). Chứng minh F là trung điểm SD;
c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD ).
Ví dụ 1.7. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và P thuộc cạnh AD sao cho
AP = 2PD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( MNP).
Nhận xét. Để tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( P) ta tìm giao điểm của ( P) với các cạnh của
hình chóp.
Ví dụ 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của SA, BC và CD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( MNP);
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SO và mặt phẳng ( MNP).
6


Chương 1. Quan Hệ Song Song
BÀI TẬP
1.1. Vẽ hình biểu diễn hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, hình thang.
1.2. Cho hai mặt phẳng ( P) và ( Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Trên ( P) cho đường thẳng a và trên ( Q) cho
đường thẳng b. Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên ∆.
1.3. Chứng minh rằng ba đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì đồng
quy.
1.4. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi G A , GB , GC , GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BCD, CDA, ABD và ABC. Chứng minh ba đường thẳng AG A , BGB , CGC , DGD đồng quy.
1.5. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi K là trung điểm của IC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ABJ ) và (CDI );

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( AKD ) và ( BCD ).
1.6. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Điểm P ∈ AD sao cho AP = 2PD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng ( MNP);
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( MNP) và ( BCD ).
1.7. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song và M là trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng ( MAB);
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.
1.8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O; M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
Gọi ( P) là mặt phẳng qua M, N, B.
a) Tìm giao tuyến của ( P) với các mặt phẳng (SAB) và (SBC );
b) Tìm giao điểm I của SO và ( P); giao điểm K của SD và ( P);
c) Xác định giao tuyến của ( P) với (SAD ) và (SCD );
d) Xác định giao điểm E, F của ( P) với DA, DC và chứng tỏ ba điểm B, E, F thẳng hàng.
1.9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A , B , C lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không
trùng với S, A, B, D. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( A B C ).
1.10. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC );
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC );
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ABM ).
1.11. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF = a.
Gọi M là trung điểm của AB. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( MEF ). Tính diện tích thiết diện
vừa tìm được.
1.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm ∆SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM và ( ABCD ). Chứng minh rằng (CGM ) chứa CD;
b) Chứng minh (CGM ) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (CGM);
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi ( AGM ).

1.2. Hai Đường Thẳng Song Song
1.2.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt.
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b, có thể xảy ra một trong hai khả năng sau:

• Có một mặt phẳng chứa cả a và b, ta nói a và b đồng phẳng;
• Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, ta nói a và b không đồng phẳng.
Định nghĩa 1.4. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
Ví dụ 1.9. Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.
Nhận xét. Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử hai đường
thẳng đồng phẳng và chỉ ra điều mâu thuẫn.
7


Nguyễn Minh Hiếu

1.2.2. Hai đường thẳng song song.
Định nghĩa 1.5. Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Tính chất 1. Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng
song song với đường thẳng đó.
Tính chất 2. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Định lý 1.6. (về giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Ví dụ 1.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD );
b) Lấy M thuộc cạnh SA và không trùng với S, A. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( MBC ).
Nhận xét. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, ta tìm một điểm chung
của hai mặt phẳng và áp dụng hệ quả.
Ví dụ 1.11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC; P là điểm trên đoạn AD sao
cho AP = 31 AD.
a) Xác định giao tuyến I J của ( MNP) và ( BCD );
b) Chứng minh I J và MN song song với nhau.
Ví dụ 1.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam

giác SAB và SAD; E là trung điểm BC.
a) Chứng minh MN song song với BD;
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( MNE);
c) Goi H, L là giao điểm của ( MNE) và SB, SD. Chứng minh HL song song với BD.
Nhận xét. Để chứng minh hai đường thẳng song song thường sử dụng hai cách sau
C1: Chỉ ra hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng và áp dụng các cách chứng minh song song trong
hình học phẳng;
C2: Chỉ ra hai đường thẳng là hai trong ba giao tuyến của ba mặt phẳng đôi một cắt nhau.
BÀI TẬP
1.13. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên cạnh SA lấy hai điểm phân biệt M, N; trên cạnh BC lấy hai điểm
phân biệt E, F.
a) Chứng minh SA và BC chéo nhau;
b) Chứng minh ME và NF chéo nhau.
1.14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB) và (SCD );
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD ) và (SBC ).
1.15. Cho hình chóp S.ABC có P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAC. Chứng minh PQ song
song với BC.
1.16. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD; P là điểm thuộc BC sao cho BP =
2PC. Gọi Q là giao điểm của AD với ( MNP). Chứng minh AQ = 2QD.
1.17. Cho tứ diện ABCD có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh
MNQP là hình bình hành. Từ đó chứng minh ba đoạn MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi
đoạn. Khi đó điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện.
1.18. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
a) Chứng minh đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với
đỉnh ấy;
b) Gọi A là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh GA = 3GA .
8

Chương 1. Quan Hệ Song Song
1.19. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là điểm thuộc cạnh AD và không
trùng với A, D.
a) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi ( I JE);
b) Tìm vị trí E để thiết diện là hình bình hành;
c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí của E để thiết diện là hình thoi.
1.20. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi là trung điểm M, N lần lượt là trung
điểm SA và SB.
a) Chứng minh MN song song với CD;
b) Gọi P là giao điểm của SC và ( ADN ). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI, AB và CD
đôi một song song. Tứ giác SABI là hình gì ?

1.3. Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
1.3.1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( P), có thể xảy ra một trong ba khả năng sau:
• a và ( P) không có điểm chung, ta nói a song song với ( P), ký hiệu a//( P);
• a và ( P) có đúng một điểm chung A, ta nói a và ( P) cắt nhau tại A, ký hiệu a ∩ ( P) = A;
• a và ( P) có nhiều hơn một điểm chung, ta nói a nằm trên ( P), ký hiệu a ⊂ ( P).

1.3.2. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Định nghĩa 1.7. Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
Định lý 1.8. Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng ( P) và song song với một đường thẳng nằm trên ( P) thì
a song song với ( P).
Ví dụ 1.13. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh MG song song với ( ACD ).
Nhận xét. Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chỉ ra đường thẳng không nằm trên
mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
Ví dụ 1.14. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với
các mặt phẳng ( ADF ) và ( BCE);

b) Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN//(CEF ).
Định lý 1.9. Nếu đường thẳng a song song với ( P) thì mọi mặt phẳng ( Q) chứa a mà cắt ( P) thì cắt theo giao tuyến
song song với a.
Hệ quả 1.Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào
đó nằm trong mặt phẳng.
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng
song song với đường thẳng đó.
Ví dụ 1.15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xác định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O và song song với hai đường thẳng AB và SC. Thiết diện
là hình gì ?
Nhận xét. Để tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường
thẳng cho trước, ta lần lượt kẻ trong các mặt của hình chóp các đoạn qua điểm và song song với hai đường
thẳng cho trước.
Ví dụ 1.16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AC khác A và C. Giả sử ( P) là mặt phẳng
qua M và song song với các đường thẳng AB, CD lần lượt cắt AD, BD và BC tại N, E, F.
a) Chứng minh MNEF là hình bình hành;
b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF.
Định lý 1.10. Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
9


Nguyễn Minh Hiếu
BÀI TẬP
1.21. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 , G2 là trọng tâm các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1 G2 song
song với các mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ).
1.22. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC ) và (SAD );
b) Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh SB và SD đều song song với mặt phẳng ( MNP);
c) Gọi G1 , G2 là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1 G2 song song với (SAD ).
1.23. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB khác A và B. Giả sử ( P) là mặt phẳng qua M

và song song với AC và CD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi ( P). Thiết diện là hình gì ?
1.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M di động trên AB và không trùng với A và
B. Mặt phẳng ( P) đi qua M và song song với các đường thẳng BD và SA lần lượt cắt SB, SC, SD lần lượt tại
N, P, Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.

1.4. Hai Mặt Phẳng Song Song
1.4.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt.
Cho hai mặt phẳng phân biệt ( P) và ( Q), có thể xảy ra một trong hai khả năng sau:
• ( P) và ( Q) có một điểm chung, ta nói ( P) và ( Q) cắt nhau theo một đường thẳng ∆ gọi là giao tuyến,
ký hiệu ( P) ∩ ( Q) = ∆.
• ( P) và ( Q) không có điểm chung, ta nói ( P) và ( Q) song song với nhau, ký hiệu ( P)//( Q).

1.4.2. Hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa 1.11. Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Định lý 1.12. Nếu mặt phẳng ( P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng ( Q) thì ( P)
song song với ( Q).
Ví dụ 1.17. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD và ABD.
Chứng minh mặt phẳng ( G1 G2 G3 ) song song với mặt phẳng ( BCD ).
Nhận xét. Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chỉ ra mặt này chứa hai đường thẳng cắt nhau song
song với mặt kia.
Tính chất 1. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
Hệ quả 1. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( Q) thì có duy nhất một mặt phẳng ( P) chứa a và
song song với ( Q).
Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Tính chất 2. Nếu hai mặt phẳng ( P) và ( Q) song song thì mọi mặt phẳng ( R) đã cắt ( P) thì phải cắt ( Q) và
các giao tuyến của chúng song song.
Ví dụ 1.18. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB khác A và B. Giả sử ( P) là mặt phẳng

qua M và song song với mặt phẳng ( BCD ). Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi ( P).

1.4.3. Định lý Thalès trong không gian.
Định lý 1.13. (Định lý Thalès) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.
10


Chương 1. Quan Hệ Song Song
Định lý 1.14. (Định lý Thalès đảo) Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a lần lượt lấy các điểm A, B, C và
A , B , C sao cho
AB
BC
CA
=
=
AB
BC
CA
Khi đó, ba đường thẳng AA , BB , CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với
một mặt phẳng.
Ví dụ 1.19. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho

JB
IA
=
.
ID
JC

Chứng minh I J luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

1.4.4. Hình lăng trụ. Hình hộp. Hình chóp cụt.
Định nghĩa 1.15. Cho hai mặt phẳng song song ( P) và ( P ). Trên ( P) cho đa giác A1 A2 ...An . Qua các đỉnh
A1 , A2 , ..., An vẽ các đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt ( P ) tại A1 , A2 , ..., An . Hình gồm n hình
bình hành A1 A2 A2 A1 , A2 A3 A3 A2 , ..., An A1 A1 An và hai đa giác A1 A2 ...An , A1 A2 ...An gọi là hình lăng trụ, ký
hiệu là A1 A2 ...An .A1 A2 ...An .
Định nghĩa 1.16. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Định nghĩa 1.17. Cho hình chóp S.A1 A2 ...An và một mặt phẳng ( P) không qua đỉnh, song song với mặt
phẳng đáy, cắt các cạnh SA1 , SA2 ,...,SAn lần lượt tại A1 , A2 , ..., An . Hình hợp bởi thiết diện A1 A2 ...An và đáy
A1 A2 ...An của hình chóp cùng với các tứ giác A1 A2 A2 A1 , A2 A3 A3 A2 ,..., An A1 A1 An gọi là một hình chóp
cụt, ký hiệu là A1 A2 ...An .A1 A2 ...An
Ví dụ 1.20. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi M, M lần lượt là trung điểm của BC và B C .
a) Chứng minh AM song song với A M ;
b) Tìm giao điểm của ( AB C ) với A M;
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( AB C ) và ( BA C );
d) Tìm giao điểm G của d với mặt phẳng ( AMM ). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB C .
BÀI TẬP
1.25. Cho hình chóp S.ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SD.
a) Chứng minh ( MNP) song song với ( ABCD ); b) Tìm giao điểm của SC với ( MNP).
1.26. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD; AD = 2BC. Gọi E là trung điểm AD; O
là giao điểm của AC và BE; I là điểm thuộc OC khác O và C. Qua I vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBE).
Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (α).
1.27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
CD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (OMN ) và (SBC ) song song với nhau;
b) Gọi I là trung điểm SC; J nằm trên ( ABCD ) cách đều AB và CD. Chứng minh I J//(SAB).
1.28. Cho hình hộp ABCD.A B C D .
a) Chứng minh hai mặt phẳng ( BDA ) và ( B D C ) song song với nhau;
b) Chứng minh đường chéo AC đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA và B D C;

c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau;
d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA C C. Xác định thiết diện của mặt
phẳng ( A IO) với hình hộp đã cho.

1.5. Phép Chiếu Song Song.
1.5.1. Phép chiếu song song.
Định nghĩa 1.18. Trong không gian cho mặt phẳng ( P) và đường thẳng l cắt ( P). Phép đặt tương ứng mỗi
điểm M trong không gian với điểm M của mặt phẳng ( P) sao cho MM song song hoặc trùng với l gọi là
phép chiếu song song lên mặt phẳng ( P) theo phương l.
11


Nguyễn Minh Hiếu
Tính chất 1. Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.
Hệ quả. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, của một tia là một tia.
Tính chất 2. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng
nhau.
Tính chất 3. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc trùng nhau.

1.5.2. Hình biểu diễn của một hình không gian.
Định nghĩa 1.19. Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên
một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Nhận xét. Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường elip hoặc một đường tròn, đặc biệt có
thể là một đoạn thẳng.

Ôn Tập Chương 1
1.29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh SB và SC;
a) Xác định giao tuyến của (SAD ) và (SBC );

b) Tìm giao điểm của SD với ( AI J );
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( AI J ).
1.30. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho
SM = 2MB. Gọi N là trung điểm của SM.
a) Tìm giao điểm của OM và (SAD );
b) Chứng minh rằng OM song song với ( ADN ).
1.31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB = 3a và CD = a. Gọi I, J theo thứ
tự là trung điểm của các cạnh AD và BC, G là trọng tâm tam giác SAB.
a) Xác định giao tuyến của (SAB) và ( GI J );
b) Tìm giao điểm của SC với ( GI J );
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( GI J ). Thiết diện là hình gì ?
1.32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi I là trung điểm CD, M là điểm tùy ý
trên cạnh SI.
a) Tìm giao tuyến (SAD ) và (SBC );
b) Lấy E ∈ SD. Tìm giao điểm của AE và (SBC );
c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( AME).
1.33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm AB và SC.
a) Tìm giao tuyến của (SMN ) và (SBD );
MI
b) Tìm giao điểm I của MN và (SBD ), tính tỷ số
.
MN
1.34. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm của BC, AD, SD.
a) Xác định giao tuyến của (SAM) và (SCD );
b) Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD ). Chứng minh MN song song (SAB);
c) Tìm giao điểm của MP và (SAC ). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( MNP).
1.35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB, SC
SM
2 SN
1

sao cho
= ,
= .
SB
3 SC
2
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( AMN ) và (SBD ), từ đó suy ra giao điểm P của SD và mặt phẳng
( AMN );
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( AMN ) và chứng minh BD song song với
mặt phẳng ( AMN ).
12


Ôn Tập Chương 1
1.36. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt là trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh HK song song (SCD );
b) Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh CD, (α) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Xác định thiết
diện của hình chóp cắt bởi (α).
1.37. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần
lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N kẻ các đường thẳng song
song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1 , N1 .
a) Chứng minh hai đường thẳng MN và DE song song với nhau;
b) Chứng minh đường thẳng M1 N1 song song với mặt phẳng ( DEF );
c) Chứng minh hai mặt phẳng MNN1 M1 và ( DEF ) song song với nhau.
1.38. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi H là trung điểm của cạnh A B .
a) Chứng minh đường thẳng B C song song với mặt phẳng ( AHC );
b) Tìm giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng ( AB C ) và ( A BC ). Chứng minh ∆ song song với ( BB C C );
c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa H và ∆. Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (α). Thiết diện là hình
gì ?

13


Nguyễn Minh Hiếu

14


Chương 2

Quan Hệ Vuông Góc
2.1. Vectơ Trong Không Gian
2.1.1. Vectơ trong không gian.
Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng.
Ví dụ 2.1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD.
Chứng minh rằng
−→ −→ −→ −
→
a) AC + BD = AD + BC;
−→ −
→
−→ −→
−−→
b) MN = 12 AD + BC = 12 AC + BD ;
−→ −→ −→
−→
c) AB + AC + AD = 3 AG;
−→ −→ −→ −→ −→ −
→
d) AB.CD + AC. DB + AD. BC = 0.

Nhận xét. Để chứng minh các đẳng thức vectơ ta biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi tương đương
dẫn tới một đẳng thức đúng. Trong quá trình biến đổi thường sử dụng các quy tắc sau:
−→ −
→ −→
Quy tắc ba điểm:
AB + BC = AC
−→ −→ −
→
Quy tắc hiệu:
AB − AC = CB
−→ −→ −→
Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC
−→ −→ −−→ −−→
Quy tắc hình hộp:
AB + AD + AA = AC
−
→ −
→ −
→
Tính chất trung điểm:
I A + IB = 0
−→ −→ −→ −
→
Tính chất trọng tâm:
GA + GB + GC = 0
−→ −−→ −→ −→ −→ −−→
Kỹ thuật chèn điểm:
AB = AM + MB; AB = MB − MA

2.1.2. Sự đồng phẳng của các vectơ.

Định nghĩa 2.1. Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
−→ −→ −→
Lưu ý. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi AB, AC, AD đồng phẳng.
−
→ →
−
→
→
→
→
Định lý 2.2. Cho ba vectơ −
a, b,−
c , trong đó −
a và b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ −
a,
−
→ −
−
→
→
−
→
−
→
b , c đồng phẳng là có các số m, n sao cho c = m a + n b . Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.
Ví dụ 2.2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ
−
→ −−→ −→
BC, MN, AD đồng phẳng.
−

→ →
→
Nhận xét. Để chứng minh ba vectơ −
a, b,−
c đồng phẳng, ta thường sử dụng hai cách sau:
−
→ −
−
→
→
C1: Chỉ ra ba vectơ a , b , c có giá song song với một mặt phẳng.
−
→
−
→
→
→
→
c = m−
a + n b , trong đó −
a và b không cùng phương.
C2: Phân tích −

−
→ →
−
→
→
Định lý 2.3. Nếu −
a, b,−

c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d , ta tìm được các số m, n, p sao cho
−
→
−
→
→
→
d = m−
a + n b + p−
c . Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.
→ −−→ →
−→ → −→ −
Ví dụ 2.3. Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB = −
a , AD = b , AA = −
c . Gọi I là trung điểm của đoạn
−
→ −
−
→
−
→
→
BC . Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c .
15


Nguyễn Minh Hiếu
BÀI TẬP
2.1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Chứng minh rằng:
−→ −

→ −
→ −→
a) SA + SC = SB + SD;
−→ −
→ −
→ −→
−→
b) SA + SB + SC + SD = 4SO.
2.2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và điểm M bất kỳ. Chứng minh rằng:
−→ −
→ −
→ −→
a) SA + SC = SB + SD;
−−→
−−→ −→ −→ −−→
b) MG = 14 MA + MB + MC + MD .
2.3. Cho hai tứ diện ABCD và A B C D . Chứng minh rằng hai tứ diện này có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
−−→ −→ −→ −−→ −
→
AA + BB + CC + DD = 0 .
2.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc
−
→
−→
−→ −→
các đường thẳng AD và BC sao cho PA = k PD, QB = k QC (k = 1). Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng
thuộc một mặt phẳng.

−→
2.5. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng ( ABC ). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS =

−−→
−→
−→ −−→ −
→
−→
−2 MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB = − 12 NC. Chứng minh ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng.
2.6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A B C , I là
giao điểm của AB và A B. Chứng minh các đường thẳng GI và CG song song với nhau.

−−→ → −→ −
→ −→ →
2.7. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có AA = −
a , AB = b , AC = −
c . Hãy phân tích các vectơ B C, BC
−
→ −
−
→
→
qua các vectơ a , b , c .

2.2. Hai Đường Thẳng Vuông Góc
2.2.1. Góc giữa hai đường thẳng.
Định nghĩa 2.4. Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1 và ∆2 .

→
→
Nhận xét. Giả sử đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương −
u1 và đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương −

u2 . Khi
đó:
→
→
→
→
u1 , −
u2 .
• Nếu 00 ≤ −
u1 , −
u2 ≤ 900 thì (∆1 , ∆2 ) = −
→
→
→
→
u1 , −
u2 .
• Nếu 900 < −
u1 , −
u2 ≤ 1800 thì (∆1 , ∆2 ) = 1800 − −
√
Ví dụ 2.4. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa hai đường
thẳng SC và AB.
Nhận xét. Để tìm góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ta thường sử dụng hai cách sau:
C1: Tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của ∆1 và ∆2 ;
C2: Tìm góc giữa hai đường thẳng a, b cắt nhau mà a//∆1 , b//∆2 .

2.2.2. Hai đường thẳng vuông góc.
Định nghĩa 2.5. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . Ký hiệu
a⊥b.

Nhận xét.
• Cho hai đường thẳng a và b song song. Nếu đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a thì vuông góc
với đường thẳng b.
→
→
• Giả sử đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương −
u1 và đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương −
u2 . Khi đó
−
→
−
→
∆1 ⊥∆2 ⇔ u1 . u2 = 0.
Ví dụ 2.5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có ASB = BSC = CSA. Chứng minh rằng
SA⊥ BC, SB⊥ BC, SC ⊥ AB.
16


Chương 2. Quan Hệ Vuông Góc
Nhận xét. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chỉ ra tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của
chúng bằng 0.
Ví dụ 2.6. Cho tứ diện ABCD có AB⊥ AC, AB⊥ BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng
−
→
−→
−
→ −→
AB và CD sao cho PA = k PB, QC = k QD (k = 1). Chứng minh rằng AB⊥ PQ.
BÀI TẬP
2.8. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung

điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai đường thẳng OM và BC.
2.9. Cho tứ diện ABCD có DA = BC = a, DB = AC = b, DC = AB = a. Tính tìm cosin góc giữa các cặp
đường thẳng DA và BC, DB và AC, DC và AB.
2.10. (CĐ-04)
Cho tứ diện
√
√ ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD. Biết AB = 2a,
CD = 2a 2 và MN = a 5. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD.
2.11. Chứng minh các cạnh đối của tứ diện đều vuông góc với nhau.
2.12. Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có AB⊥CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC. (Tứ diện có các cạnh đối
vuông góc với nhau gọi là tứ diện trực tâm).
−→ −→
−→ −→
−→ −→
2.13. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB. AC = AC. AD = AD. AB thì AB⊥CD, AC ⊥ BD,
AD ⊥ BC. Điều ngược lại có đúng không ?
2.14. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600 . Chứng minh rằng:
a) AB vuông góc với CD;
b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm AB và CD thì I J ⊥ AB và I J ⊥CD.

2.3. Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
2.3.1. Định nghĩa và tính chất.
Định nghĩa 2.6. Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P) nếu a vuông góc với mọi đường
thẳng b nằm trong mặt phẳng ( P). Ký hiệu a⊥( P).
Nhận xét. Nếu a⊥( P) và b ⊂ ( P) thì a⊥b.
Định lý 2.7. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng ( P) thì
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P).
Ví dụ 2.7. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B.
a) Chứng minh BC ⊥(SAB);
b) Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh AH ⊥SC.

Nhận xét.
• Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) ta chỉ ra d vuông góc với hai đường thẳng
a, b cắt nhau và chứa trong ( P).
• Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta chỉ ra a vuông góc với một mặt phẳng
( P) chứa b.
Ví dụ 2.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao điểm
của AC và BD.
a) Chứng minh SO⊥( ABCD );
b) Chứng minh AC ⊥SD;
c) Gọi H là hình chiếu của S xuống AB. Chứng minh AB⊥(SOH ).
Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng ( P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a
cho trước.
Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng
( P) cho trước.
Định nghĩa 2.8. Mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng AB và đi qua trung điểm của AB gọi là mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
17


Nguyễn Minh Hiếu

2.3.2. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Tính chất 3.
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường
thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4.
a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng
còn lại.
b) Hai mặt phẳng phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 5.
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với ( P) thì
cũng vuông góc với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì chúng song song với nhau.
Ví dụ 2.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và cạnh bên SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh BD ⊥SC;
SI
SK
b) Lấy I ∈ SB, K ∈ SD sao cho
=
. Chứng minh IK ⊥(SAC ).
SB
SD

2.3.3. Định lý ba đường vuông góc.
Định nghĩa 2.9. Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng ( P) gọi
là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( P).
Định lý 2.10. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) và đường thẳng b nằm trong ( P). Khi đó, điều
kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên ( P).

2.3.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Định nghĩa 2.11. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
và mặt phẳng ( P) bằng 900 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) thì góc giữa a và hình
chiếu a của nó trên ( P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P).
√
Ví dụ 2.10.
Cho
hình
chóp

S.ABCD
có
đáy
là
hình
chữ
nhật
ABCD,
SA
⊥(
ABCD
)
,
AB
=
a,
AD
=
a
2 và
√
SA = a 3.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông;
b) Tính góc giữa SB và ( ABCD );
c) Tính góc giữa SC và ( ABCD ).
Nhận xét.
• Ta có thêm một cách để chứng minh hai đường thẳng vuông góc là sử dụng định lý ba đường vuông
góc.
• Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P), ta tìm hình chiếu a của a trên ( P). Khi đó góc giữa
a và a là góc giữa a và ( P).

BÀI TẬP
2.15. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung
điểm BC.
a) Chứng minh BC ⊥( ADI );
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh AH ⊥( BCD ).
2.16. Cho tứ diện SABC có SA⊥( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi M là hình chiếu của A trên SB.
SM
SN
Trên SC lấy điểm N sao cho
=
. Chứng minh rằng:
SB
SC
a) BC ⊥(SAB) và AM ⊥(SBC );
b) SB⊥ AN.
18


Chương 2. Quan Hệ Vuông Góc
2.17. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥( ABC ) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của
các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy;
b) SC ⊥( BHK );
c) HK ⊥(SBC ).
2.18. Cho điểm S có hình chiếu trên mặt phẳng ( P) là H. Với điểm M bất kỳ trên ( P) (M không trùng với H),
ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;
b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại.
2.19. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a) Chứng minh hình chiếu H của O trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trực tâm tam giác ABC;

1
1
1
1
b) Chứng minh
=
+
+
;
2
2
2
OH
OA
OB
OC2
c) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.
√
2.20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 2 và SA⊥( ABCD ).
a) Tính góc giữa SC và ( ABCD );
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh MN//BD và SC ⊥( AMN );
c) Gọi K là giao điểm của SC và ( AMN ). Chứng minh AK ⊥ MN. Từ đó tính diện tích tứ giác AMKN.

2.4. Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
2.4.1. Góc giữa hai mặt phẳng.
Định nghĩa 2.12. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
đó.
Ví dụ 2.11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) và SA = 2a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và (SBC ).
Nhận xét. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng ( P) và ( Q), ta tìm a ∈ ( P) và b ∈ ( Q) sao cho a, b cắt nhau và

cùng vuông góc với giao tuyến của ( P) và ( Q). Lúc đó, góc giữa ( P) và ( Q) bằng góc giữa a và b.
Định lý 2.13. Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng ( P) và S là diện tích hình chiếu H của H trên mặt
phẳng ( P ) thì S = S. cos ϕ, trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( P) và ( P ).

2.4.2. Hai mặt phẳng vuông góc.
Định nghĩa 2.14. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 .
Định lý 2.15. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.
Ví dụ 2.12. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥( ABC ) và ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC.
a) Chứng minh (SAB)⊥(SBC );
b) Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh ( AHC )⊥(SBC ).
Nhận xét. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chỉ ra mặt này chứa một đường thẳng vuông góc với
mặt kia.
Ví dụ 2.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Chứng minh
rằng:
a) (SBD )⊥( ABCD );
b) Tam giác SBD vuông.
Định lý 2.16. Nếu hai mặt phẳng ( P) và ( Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong ( P), vuông
góc với giao tuyến của ( P) và ( Q) đều vuông góc với mặt phẳng ( Q).
19


Nguyễn Minh Hiếu
Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng ( P) và ( Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong ( P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với Q sẽ nằm trong ( P).
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Hệ quả 3. Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) có duy nhất một mặt phẳng ( Q) vuông
góc với mặt phẳn ( P).

2.4.3. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều.
Định nghĩa 2.17.
• Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
• Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
• Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
• Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
• Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau.
Ví dụ 2.14. Tính đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba cạnh lần lượt là a, b, c.
Định nghĩa 2.18. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên
bằng nhau.
Nhận xét. Nếu hình chóp đều có đỉnh S và tâm đáy là O thì SO vuông góc với đáy.
Ví dụ 2.15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm
của hình vuông ABCD.
a) Tính độ dài đoạn thẳng SO;
b) Gọi M trung điểm SC. Chứng minh ( MBD )⊥(SAC );
c) Tính độ dài đoạn OM và góc giữa ( MBD ) và ( ABCD ).
Định nghĩa 2.19. Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt
thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
BÀI TẬP
2.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = x và SA⊥( ABCD ). Xác định x để hai mặt
phẳng (SBC ) và (SDC ) tạo với nhau một góc 600 .
2.22. Trong mặt phẳng ( P) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A.
Chứng minh rằng
a) ABD là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( DBC );
b) Mặt phẳng ( ABD ) vuông góc với mặt phẳng ( BCD );
c) HK song song với BC trong đó H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng ( P) đi qua
A và vuông góc với DB.
2.23. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Chứng minh rằng
a) Mặt phẳng ( AB C D ) vuông góc với mặt phẳng ( BCD A );
b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng ( A BD ).

2.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a, A = 600 , SC =
với mặt phẳng ( ABCD ).
a) Chứng minh (SBD ) vuông góc với (SAC ).
b) Trong (SCA) kẻ IK vuông góc với SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh BKD = 900 và từ đó suy ra (SAB)⊥(SAD ).

√
a 6
2

và SC vuông góc

2.25. Cho hình chóp ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm
a
3a
theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = , DN = . Chứng minh rằng (SAM)⊥(SMN ).
2
4
2.26. Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC = AD = BC = BD =
a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính AB, I J theo a và x.
b) Tìm x để hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ) vuông góc.
20


Chương 2. Quan Hệ Vuông Góc

2.5. Khoảng Cách
Định nghĩa 2.20. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách
giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( P) (hoặc trên đường thẳng ∆).

Ký hiệu d ( M; ( P)) (hoặc d ( M; ∆)).
√
Ví dụ 2.16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, SA = a 2.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC );
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và BD. Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng MN.
Định nghĩa 2.21. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) song song với a là khoảng cách từ một
điểm nào đó của a đến mặt phẳng ( P). Ký hiệu d ( a; ( P)).
Định nghĩa 2.22. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia. Ký hiệu d (( P); ( Q)).
Ví dụ 2.17. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a.
a) Tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB D );
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( A BD ) và (CB D ).
Định lý 2.23. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và b đồng thời
vuông góc với cả a và b.
Đường thẳng d nói trên gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nếu d lần
lượt cắt a và b tại I và J thì I J gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.
Định nghĩa 2.24. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng đó. Ký hiệu d ( a; b).
Nhận xét.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó
và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.
Ví dụ 2.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥( ABCD ) và SA = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB;
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Nhận xét. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta dùng hai cách sau:
C1: Tìm và tính đoạn vuông góc chung;
C2: Chỉ ra ( P) chứa b và song song với a. Khi đó d( a; b) = d( a; ( P)).
BÀI TẬP

2.27. (D-02) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với ( ABC ), AB = 3cm, AC = AD = 4cm và BC = 5cm.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ).
2.28. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S đến
mặt phẳng ( ABC ).
2.29. Cho lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
300 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( A B C ) thuộc đường thẳng B C .
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
b) Chứng minh AA và B C vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng.
2.30. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và
CD .
2.31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 600 , SO = a và SO vuông góc với
( ABCD ). Tính khoảng cách từ O đến (SBC ) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
21


Nguyễn Minh Hiếu
2.32. Cho hình chóp
√ S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng a 2.
a) Tính khoảng cách từ S đến ( ABCD ).
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng AD.
Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó
theo a.

Ôn Tập Chương 2
2.33. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh A, SA⊥( ABCD ), SA = 2a.
a) Chứng minh các mặt của hình chóp là các tam giác vuông;
b) Chứng minh (SAC )⊥( ABCD );
c) Chứng minh (SAC )⊥(SBD ).
d) Gọi O tâm đáy, K là hình chiếu của O lên SC. Chứng minh OK ⊥ BD. Từ đó tính khoảng cách giữa BD

và SC.
√
2.34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a 3, AB = a. Gọi O tâm đáy.
a) Chứng minh AC ⊥(SBD );
b) Gọi I trung điểm AB. Chứng minh (SOI )⊥(SAB);
c) Tính góc giữa SA và ( ABCD );
d) Tính góc giữa (SAB) và ( ABCD );
e) Tính khoảng cách giữa AB và (SCD ).
2.35. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥( ABC ), SA = 2a. Đáy ABC đều cạnh a.
a) Gọi I trung điểm BC. Chứng minh BC ⊥(SAI );
b) Gọi H là hình chiếu của A lên SI. Chứng minh AH ⊥(SBC ). Từ đó tính khoảng cách từ A đến mạt
phẳng (SBC ).
√
2.36. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = a 2 và AB = a, O là tâm đáy.
a) Chứng minh SA⊥ BC;
b) Tính góc giữa SA và ( ABC );
c) Tính góc giữa (SBC ) và ( ABC );
d) Tính khoảng cách giữa BC và SA.
√
2.37. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh A; SA = a 2 ; SA⊥( ABCD ). Gọi H, K, M lần
lượt là hình chiếu của A lên SB, SD, SC.
a) Chứng minh AH ⊥(SBC );
b) Chứng minh SC ⊥( AHK ). Từ đó suy ra AM chứa trong ( AHK );
c) Tính góc giữa SA và ( AHK );
d) Chứng minh HK ⊥(SAC ).
2.38. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B; SA = AB = BC = a và SA⊥( ABC ).
a) Chứng minh BC ⊥(SAB).
b) Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh AH ⊥SC.
c) Tính góc giữa AC và (SBC ).
d) Gọi I trung điểm AB, K là hình chiếu của I lên SB. Chứng minh tam giác IKC vuông.

e) Tính diện tích tam giác IKC theo a.
2.39. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 . Gọi O là giao của AC và
3a
BD. Đường thẳng SO vuông góc với ( ABCD ) và SO = . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của
4
BE.
a) Chứng minh (SOF )⊥(SBC );
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC ).
2.40. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a, SC = x. Chứng minh AC
vuông góc với (SBD ) và tam giác SBD vuông. Tìm x để SD hợp với ( ABCD ) một góc bằng 300 .

22