Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ HOÀNG TÙNG

THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU VÀ ỨNG DỤNG
TRONG TÁI TỐI ƯU HÓA VỚI RÀNG BUỘC PHỤ
(The dual simplex method and its applications to
reoptimization with supplementary constraints)

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2015


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU

3

Chương 1. Kiến thức về qui hoạch tuyến tính

5

1.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán đối ngẫu

5

1.2. Các định lý đối ngẫu

8

1.3. Phương pháp đơn hình gốc và đơn hình đối ngẫu
Chương 2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu

10
14

2.1. Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ

14

2.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên

19

2.3. Áp dụng giải trò chơi ma trận

24

Chương 3. Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ

28

3.1. Vấn đề tái tối ưu hóa

28

3.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu trong tái tối ưu hóa

29

3.3. Ví dụ minh họa

30

KẾT LUẬN

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

35

2


MỞ ĐẦU
Qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến
tính với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính. Qui hoạch tuyến
tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thực tiễn.
Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã cho (gọi là bài toán gốc) được gắn
với một bài toán qui hoạch tuyến tính khác (gọi là bài toán đối ngẫu). Hai bài toán
này có quan hệ chặt chẽ với nhau và là cặp bài toán đối ngẫu của nhau. Nghiên cứu

bài toán đối ngẫu sẽ giúp hiểu rõ hơn về bài toán gốc và ngược lại.
Phương pháp đơn hình (do G. B. Dantzig đề xuất năm 1947) là phương pháp
quen thuộc, có hiệu qủa để giải bài toán qui hoạch tuyến tính. Phương pháp đơn
hình có nhiều biến thể khác nhau, phù hợp với các dạng cụ thể của bài toán qui
hoạch tuyến tính như: đơn hình gốc, đơn hình cải biên, đơn hình đối ngẫu, đơn hình
gốc - đối ngẫu ...
Trong một số tình huống thực tế, sau khi giải xong bài toán ta thấy cần bổ
sung thêm một số ràng buộc vào bài toán. Nếu giải lại bài toán từ đầu thì sẽ tốn
nhiều thời gian và công sức. Việc tận dụng lời giải đã có để giải tiếp bài toán mới
gọi là kỹ thuật tái tối ưu hóa bài toán. Để làm việc này, phương pháp đơn hình đối
ngẫu rất hữu ích. Vì thế cần đi sâu tìm hiểu về phương pháp này, cùng các dạng thể
hiện cụ thể và các ứng dụng của nó trong kỹ thuật tái tối ưu hóa.
Với ý nghĩa đó, chúng tôi chọn đề tài luận văn:
"Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng
trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ "
Mục đích chính của đề tài là tìm hiểu và trình bày kết quả lý thuyết về bài toán
qui hoạch tuyến tính và qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các thuật toán khác nhau của
phương pháp đơn hình đối ngẫu và ứng dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu trong tái
tối ưu hóa khi thêm ràng buộc phụ vào bài toán. Luận văn được viết dựa chủ yếu
trên các tài liệu tham khảo [1] - [4].

3


Các kết quả cần đạt được: hiểu và trình bày được một số nội dung chính sau:
a) Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán đối ngẫu. Lý thuyết đối ngẫu.
b) Phương pháp đơn hình đối ngẫu và các thuật toán đơn hình đối ngẫu.
c) Phương pháp tái tối ưu hóa khi thêm ràng buộc phụ vào bài toán đã giải.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương.
• Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại tổng quan vắn tắt một số kiến thức

cơ bản cần thiết về qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu,
các định lý đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính, với nhiều ví dụ số và hình vẽ minh
họa cho các sự kiện, các định lý đã trình bày. Cuối chương giới thiệu ý tưởng cơ
bản của phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính.
• Chương 2 "Thuật toán đơn hình đối ngẫu " trình bày chi tiết các bước tính
toán của thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ và thuật toán đơn hình đối ngẫu
dạng cải biên. Cuối chương trình bày ví dụ áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu
dạng đầy đủ vào giải bài toán trò chơi ma trận.
• Chương 3 “Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ” trình bày vấn đề tái
tối ưu hóa khi thêm ràng buộc vào bài toán sau khi đã giải xong và vai trò của việc
áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu trong tái tối ưu hóa. Cuối chương nêu ví dụ
minh họa.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có
những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác
giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Trần
Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả chân thành
cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,
Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và
tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

4


Chương 1

KIẾN THỨC VỀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Chương này trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản cần thiết về qui hoạch
tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các định lý đối ngẫu trong qui
hoạch tuyến tính và phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch

tuyến tính. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [3] và [4].
1.1. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
1.1.1. Phát biểu bài toán
Bằng các phép biến đổi đơn giản, một bài toán qui hoạch tuyến tính bất kỳ có
thể đưa được về một trong hai dạng chính sau đây.
• Dạng chuẩn tắc:
min {f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0},
trong đó A ∈ ℝm×n, b ∈ ℝm, c  ℝn, x ≥ 0 có nghĩa x ∈ ℝ n . Trong bài toán này
tập ràng buộc D = {x ∈ ℝn : Ax ≥ b, x ≥ 0} là một tập lồi đa diện.
• Dạng chính tắc:
min {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0},
trong đó A, b, c và x được xác định như ở trên. Trong bài toán này tập ràng buộc
D = {x ∈ ℝn : Ax = b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện.
Có thể dễ dàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng chính tắc và ngược lại.
Trong các bài toán trên f(x) được gọi là hàm mục tiêu. Mỗi bất phương trình
(Ax)i ≥ bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi là một ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1,..., n
gọi là các ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu. Véctơ (điểm) x ∈ D gọi là
một nghiệm chấp nhận được hay một phương án. Một phương án đạt cực tiểu của
hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối ưu hay một nghiệm tối ưu của bài toán.
1.1.2. Các tính chất cơ bản
Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu.
5


Định lý 1.1. Nếu một qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được và nếu
hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui hoạch
đó chắc chắn có nghiệm tối ưu.
Định lý 1.2. Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính
dạng bất kỳ và nếu x1, x2 (x1 ≠ x2) là hai phương án thỏa mãn x0 = x1 + (1  )x2,
0 <  < 1, thì x1, x2 cũng là các phương án tối ưu của bài toán.

Định nghĩa 1.1. Một nghiệm chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là một đỉnh
của D được gọi là một nghiệm cơ sở hay một phương án cực biên, nghĩa là x không
thể biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp lồi của bất kỳ hai nghiệm chấp nhận được
(phương án) nào khác của bài toán.
Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho phương án cực biên (nghiệm cơ
sở) của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc với giả thiết m ≤ n và rank (A) = m.
Định lý 1.3. Để một nghiệm chấp nhận được x = { x1 , x 2 , ... , x n } của qui
hoạch tuyến tính chính tắc là nghiệm cơ sở thì cần và đủ là các véctơ cột Aj của ma
trận A ứng với các thành phần x j > 0 là độc lập tuyến tính.
Người ta phân ra hai loại nghiệm cơ sở: không suy biến nếu nghiệm đó có số
thành phần dương bằng m và suy biến nếu nó có số thành phần dương nhỏ hơn m.
Định lý sau cho thấy qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án cực biên.
Định lý 1.4. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một
phương án thì nó cũng có phương án cực biên, nghĩa là tập ràng buộc D có đỉnh.
Định lý sau cho phép tìm phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính
chính tắc trong số các phương án cực biên của bài toán (số này hữu hạn).
Định lý 1.5. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có phương án
tối ưu thì nó cũng có phương án cực biên tối ưu.
Ví dụ 1.1. Xét bài toán qui hoạch tuyến tính
f(x) =  x1 + x2  min,
với các điều kiện:

x1  3x2  2, 3x1  x2  14, x1  0,
x1 + 4x2  22,  x1 + x2  3, x2  0.

6


Tập ràng buộc của bài toán là đa giác lồi 6 đỉnh vẽ ở Hình 1.1. Tọa độ các
đỉnh: O = (0, 0), A = (2, 0), B = (5, 1), C = (6, 4), D = (2, 5), E = (0, 3). Theo Định

lý 1.5, nghiệm tối ưu của bài toán đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác. Tính
giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh này, ta nhận được: f(O) = 0, f(A) =  2, f(B) =  4,
f(C) =  2, f(D) = 3 và f(E) = 3. Từ đó cho thấy cực tiểu của hàm f đạt tại đỉnh
B (5, 1) với giá trị cực tiểu fmin =  4.
x2
D
C
E
min
B
O

x1

A

Hình 1.1. Tập ràng buộc của bài toán ở Ví dụ 1.1.

1.1.3. Cặp bài toán đối ngẫu
Đối ngẫu là phương pháp mà ứng với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã cho
(gọi là bài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán qui hoạch khác (gọi là bài toán
đối ngẫu) sao cho từ nghiệm của bài toán này ta sẽ thu được thông tin về nghiệm
của bài toán kia.
Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp.
• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (qui hoạch gốc)
(P)

min {f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0}

là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu):

(Q)

max {g(y) = bTy : ATy ≤ c, y ≥ 0}

(AT là ma trận chuyển vị của ma trận A).
Ví dụ 1.2. Đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc
f(x) = 20x1 + 15x2  min,
3x1 + x2  60,
7


x1 + x2  40,
x1 + 2x2  60,
x1  0, x2  0,
là bài toán qui hoạch tuyến tính:
g(y) = 60y1 + 40y2 + 60y3  max,
3y1 +

y2 + y3  20,

y1 +

y2 + 2y3  15,

y1  0, y2  0, y3  0.
• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (qui hoạch gốc):
(P)

min {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0}

là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu):
(Q)

max {g(y) = bTy : ATy ≤ c}.

Ví dụ 1.3. Đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc
+ 0,8x4 + 0,6x5  min,

f(x) = 0,2x1
2x1

+ x3
+ 2x2

+

x5 = 400,

+

x5 = 400,

x2 + 2x3 + 3x4

= 1300,

xj  0, j = 1, 2, 3, 4, 5.
là bài toán qui hoạch tuyến tính:
g(y) = 400y1 + 400y2 + 1300y3  max,
 0,2

2y1
2y2 +
y1

+

y3

 0,

2y3  0,
3y3  0,8

y1

 0,6.

+ y2

Dễ kiểm tra lại rằng lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu ta được lại bài toán
gốc. Vì thế ta gọi (P) và (Q) là cặp bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau.

8


1.2. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU
Các kết quả nêu dưới đây đúng cho cặp bài toán đối ngẫu (P), (Q) dạng bất kỳ.
Định lý 1.6 (Đối ngẫu yếu). Nếu x là một lời giải chấp nhận được của bài
toán gốc (P) và y là một lời giải chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q) thì

f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + ... + bmym,
nghĩa là giá trị mục tiêu của một phương án gốc bất kỳ (bài toán min) không nhỏ
hơn giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kỳ (bài toán max).
Định lý 1.7 (Đối ngẫu mạnh). Nếu một qui hoạch có nghiệm tối ưu thì qui
hoạch đối ngẫu của nó cũng có nghiệm tối ưu và hai giá trị tối ưu bằng nhau.
Các định lý trên cho thấy các quan hệ sau giữa hai qui hoạch gốc và đối ngẫu.
Định lý 1.8 (Định lý đối ngẫu cơ bản). Đối với một cặp bài toán qui hoạch
tuyến tính đối ngẫu nhau chỉ có một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây:
a) Cả hai bài toán đều không có nghiệm chấp nhận được.
b) Cả hai bài toán đều có nghiệm chấp nhận được. Khi đó, cả hai đều có
nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu bằng nhau.
c) Một bài toán có nghiệm chấp nhận được và bài toán kia không có nghiệm
chấp nhận được. Khi đó, bài toán có nghiệm chấp nhận được sẽ có giá trị tối ưu vô
cực (+∞ hay - ∞ tùy theo bài toán max hay min).
Các ví dụ sau đây minh hoạ cho các tình huống a) - c) nêu trên.
a) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu không có phương án.
f(x) = x1

 min,

g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1

y1  y2 = 1

x1  x2  1

y1  y2 = 0

x1, x2 tuỳ ý

y1  0, y2  0

b) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có phương án.
f(x) = 5x1 + 10x2  min,

g(y) = 14y1 + 12y2  max,

9


2x1 + 3x2  14

2y1 +

x1 + 4x2  12

y2  5

3y1 + 4y2  10

x1  0, x2  0

y1  0, y2  0

Phương án tối ưu của hai bài toán là x* = (4; 2) và y* = (2; 1) với f(x*) =
g(y*) = 40.
c) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu đều không có phương án tối ưu.
f(x) = x1

 min,

g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1

y1  y2  1

x1  x2  1

y1  y2  0

x1  0, x2  0

y1  0, y2  0

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu nhau còn thể hiện ở định lý sau đây.
Định lý 1.9 (Định lý độ lệch bù). Một cặp nghiệm chấp nhận được x, y của
hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau (P) và (Q) là cặp nghiệm tối ưu khi và chỉ
khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:
n

yi(  a ijx j  bi) = 0 i = 1, 2, ... , m ⇔ yT(Ax  b) = 0,
j 1

xj(cj 

m

 a ij yi ) = 0 j = 1, 2, ... , n ⇔ xT(c  ATy) = 0.

i 1

Ví dụ 1.4. Xét cặp bài toán đối ngẫu chuẩn tắc:
min {4x1 : x1 + x2  2, x1  x2  2, xj  0, x2  0} và
max {2y1 + 2y2 : y1 + y2  4, y1  y2  0, y1  0, y2  0}.
y2

x2

4

2

y*
2

0

4

2

x1
y1

0

x*

Bài toán đối ngẫu

Bài toán gốc

Hình 1.1. Tập ràng buộc cặp bài toán đối ngẫu ở Ví dụ 1.3

10

4


Áp dụng Định lý 1.9 vào cặp bài toán đối ngẫu cho ở Ví dụ 1.3, ta thấy x và y
là nghiệm tối ưu của các bài toán gốc và đối ngẫu tương ứng khi và chỉ khi x, y
thỏa mãn hệ điều kiện sau:
x1 + x2  2, x1  x2  2, x1  0, x2  0 (chấp nhận được gốc)
y1 + y2  4, y1  y2  0, y1  0, y2  0 (chấp nhận được đối ngẫu)
y1(x1 + x2  2) = 0, y2(x1  x2  2) = 0, (độ lệch bù yếu)
x1(4  y1  y2) = 0, x2( y1 + y2) = 0 (độ lệch bù yếu)
Kiểm tra trực tiếp cho thấy ràng x* = (2, 0) và y* = (0, 4) thỏa mãn hệ điều
kiện trên. Vì thế, x* là phương án tối ưu của bài toán gốc và y* là phương án tối ưu
của bài toán đối ngẫu tương ứng và ta có hệ thức f(x*) = g(y*) = 8.
1.3. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GỐC VÀ ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
 Cơ sở lý thuyết.
Xét qui hoạch tuyến tính chính tắc (m ràng buộc đẳng thức, n biến):
(P)

min{f(x) = cTx : Ax = b, x  0}

với A là ma trận mn, b  ℝm, c và x  ℝn. Ta giả thiết: m  n và rank (A) = m.

Bài toán đối ngẫu của (P) có dạng (với y  ℝm, s  ℝn):
(Q)

max {g(y) = bTy : ATy  c} = max {bTy : ATy + s = c, s  0}.

Định nghĩa 1.2. Giả sử B là ma trận con cấp mm của A. Nếu B có hạng m
thì ta nói B là một cơ sở của A.
Giả sử cơ sở B gồm m véctơ cột A j , A j , … , A j của A.
1

2

m

Ký hiệu J = {j1, j2, ... , jm}. Để cho tiện, đôi khi ta cũng gọi J là cơ sở. Các
véctơ Aj và các biến xj với j  J lần lượt được gọi là các véctơ cơ sở và biến cơ sở.
Còn các véctơ Aj và các biến xj với j  J gọi là các véctơ và biến ngoài cơ sở.
Đặt N = {Ak : k  J}, xB = (xj : j  J)T, xN = (xj : j  J)T, cB = (cj : j  J), cN =
x 

(cj : j  J). Khi đó, x, c  ℝ n tách thành x =  B  , cT = (cB, cN) (véctơ hàng). Do
xN 
rank (B) = m nên tồn tại ma trận nghịch đảo B1. Mỗi véctơ cột Ak (k = 1, 2, ... , n)
của ma trận A được biểu diễn qua các véctơ cơ sở Aj, j  J như sau:
11


Ak =  z jk A j = z1kA j + z2kA j + ... + zmkA j với k = 1, ... , n.
jJ

1

2

m

(1.1)

Nếu ký hiệu zk = (z1k, ... , zmk)T (véctơ cột) thì hệ thức (1.1) viết lại thành Ak =
Bzk. Từ đó zk = B1Ak (k = 1, … , n). (Để ý là với j  J, zj là véctơ đơn vị).
Mặt khác, hệ phương trình Ax = b có thể viết thành BxB + NxN = b. Từ đó
xB = B-1(b – NxN) = B-1b  B-1NxN.
(Công thức biểu diễn các biến cơ sở xj, j  J, qua các biến ngoài cơ sở xj, j  J).
Tiếp đó, giá trị hàm mục tiêu bằng
cTx = cBxB + cNxN = cBB-1b - cBB-1NxN + cNxN
= cBB-1b - (cBB-1N - cN)xN = cBB-1b – NxN.

(1.2)

trong đó N = cBB-1N - cN. Do B-1N = {B-1Ak : k  J} = {zk, k  J} nên véctơ N =
{k = cBzk  ck, k  J}. Số k (k  J) được gọi là ước lượng của biến ngoài cơ sở
xk. Từ đó, công thức (1.2) trở thành
cTx = cBB-1b -   k x k .
kJ

Dễ kiểm tra lại rằng nếu B-1b  0 thì x = (xB = B-1b, xN = 0) là nghiệm chấp
nhận được của bài toán gốc (LP); còn nếu N  0 thì
yT = cBB-1, s = (sB = 0, sN =  N)T  0
là nghiệm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q). Vì thế, ta có
Định nghĩa 1.11. Cơ sở B gọi là chấp nhận được gốc nếu B-1b  0, gọi là chấp

nhận được đối ngẫu nếu N  0 và là cơ sở tối ưu nếu B-1b  0 và N  0.
Định lý 1.10. Nếu B là cơ sở tối ưu (tức là B-1b  0 và N  0) thì
a) x = (xB = B-1b, xN = 0)T là nghiệm tối ưu của bài toán gốc,
b) yT = cBB-1, s = (sB = 0, sN =  N)T là nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Chứng minh suy từ hệ thức đối ngẫu cTx = cBxB = cBB-1b = yTb.
 Phương pháp đơn hình gốc xuất phát từ một cơ sơ B chấp nhận được gốc
(tức là B-1b  0) và nghiệm cơ sở của (P): xB = B-1b, xN = 0. Nếu với cơ sở đó N 
0 thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật toán. Còn nếu N có thành phần dương, chẳng
hạn s > 0 với s  J, thì có thể giảm giá trị hàm mục tiêu cTx bằng cách đưa biến xs
12


vào cơ sở và tìm đưa ra khỏi cơ sở biến xr (r  J) thích hợp. Làm như thế ta sẽ thu
được một nghiệm cơ sở mới tốt hơn nghiệm cơ sở cũ (hay ít ra không kém), tương
ứng với cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B). Thuật toán lặp lại với cơ sở B’, cho tới
khi đạt tới phương án tối ưu hoặc khi phát hiện bài toán có trị tối ưu vô cực.
Định lý 1.11. (Dấu hiệu bài toán có trị tối ưu vô cực). Nếu với cơ sở B chấp
nhận được gốc tồn tại chỉ số k  J sao cho ước lượng k > 0 và zjk  0, j  J thì
bài toán gốc (P) đã cho có trị tối ưu vô cực (- ∞ đối với bài toán min).
 Phương pháp đơn hình đối ngẫu xuất phát từ một cơ sơ B chấp nhận được
đối ngẫu (tức là N  0) và "giả" nghiệm cơ sở của (P): xB = B-1b, xN = 0 (gọi là
“giả” vì xB có thể có thành phần âm). Nếu B-1b  0 thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật
toán. Còn nếu B-1b có thành phần âm, chẳng hạn (B-1b)r < 0 với r  J, thì có thể cải
tiến (trường hợp này là tăng) trị mục tiêu cTx bằng cách đưa biến xr ra khỏi cơ sở và
tìm đưa vào cơ sở một biến ngoài cơ sở xs (s  J) thích hợp và ta sẽ thu được một
cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B). Thuật toán lặp lại với cơ sở mới B’, cho tới khi
đạt tới phương án tối ưu hoặc khi phát hiện bài toán gốc không có phương án.
Nếu (B-1b)r < 0 với r  J và zrk  0 k  J thì đó là dấu hiệu cho biết (P)
không có nghiệm chấp nhận được (D = ).
Tóm lại, chương này đã nhắc lại một số kiến thức cơ bản về bài toán qui hoạch

tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các định lý đối ngẫu trong qui
hoạch tuyến tính và trình bày ý tưởng cơ bản của phương pháp đơn hình gốc và đơn
hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính chính tắc.

13


Chương 2

THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
Dựa trên ý tưởng của phương pháp đơn hình đối ngẫu trình bày ở Chương 1,
chương này trình bày chi tiết thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ và dạng cải
biên và xét một số ví dụ giải bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc. Nội dung của
chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [5].
2.1. THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU DẠNG ĐẦY ĐỦ
2.1.1. Nội dung phương pháp
Dựa trên các lý thuyết đối ngẫu đã trình bày ở chương trước, có thể để ra một
phương pháp để giải các bài toán qui hoạch là: thay cho việc giải bài toán gốc,
người ta giải bài toán đối ngẫu, rồi từ đó suy ra lời giải của bài toán gốc. Nếu giải
bài toán đối ngẫu bằng phương pháp đơn hình, và diễn tả các bước tiến hành theo
ngôn ngữ bài toán gốc thì thuật toán tương ứng gọi là thuật toán đơn hình đối ngẫu.
Phương pháp này do Lemke G. E. đề xuất năm 1954.
Phương pháp đơn hình gốc giải qui hoạch tuyến tính bắt đầu từ một phương án
(nghiệm đúng Ax = b và x  0) mà nó chưa thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu (N  0).
Sau mỗi bước lặp ta sẽ tìm được một phương án mới tốt hơn phương án cũ và quá
trình lặp này tiếp tục cho đến khi nhận được phương án thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu.
Phương pháp đơn hình đối ngẫu lại xuất phát từ một “giả phương án” (nghiệm
đúng Ax = b) mà nó thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu nhưng không thoả mãn điều kiện
x  0, nghĩa là bảng đơn hình ban đầu không có phần tử dương trong dòng mục tiêu
(dòng cuối), nhưng lại có phần tử âm ở cột Phương án (vì thế có tên gọi cột Giả

phương án). Các bảng đơn hình được biến đổi sao cho luôn đảm bảo điều kiện tối
ưu và quá trình này tiếp diễn cho đến khi nhận được phương án (không còn phần tử
âm trong cột Giả phương án). Phương án đó sẽ là phương án tối ưu.
Phương pháp đơn hình đối ngẫu thường được sử dụng khi ta chưa biết một
phương án cực biên nào của bài toán gốc, nhưng lại có sẵn một phương án cực biên

14


của bài toán đối ngẫu. Chẳng hạn, khi bài toán cần giải có dạng chuẩn và véctơ hệ
số mục tiêu c  0:
min {f(x) = cTx : Ax  b, x  0} (vế phải b tuỳ ý)
Bài toán đối ngẫu có dạng
max{g(y) = bTy : ATy  c, y  0}.
Rõ ràng y0 = 0 là một phương án cực biên của bài toán đối ngẫu, bởi vì ATy0 =
0  c.

2.1.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu
Các bước tiến hành thuật toán đơn hình đối ngẫu như sau:
Bước 1. Lập bảng đơn hình đối ngẫu ban đầu (xem các ví dụ minh hoạ 2.1,
2.2 dưới đây).
Bước 2. Kiểm tra tối ưu: Nếu mọi phần tử trong cột giả phương án đều không
âm thì dừng quá trình giải và ta nhận được phương án tối ưu của bài toán đã cho.
Trái lại, chuyển sang Bước 3.
Bước 3. Chọn dòng quay: Đó là dòng đầu tiên từ trên xuống mà nó chứa phần
tử âm nhỏ nhất trong cột giả phương án.
Bước 4. Chọn cột quay: Chia các phần tử trên dòng ước lượng (cuối mỗi
bảng) cho các phân tử tương ứng trên dòng quay, nhưng chỉ chia cho những phần
tử âm trên dòng quay. Cột quay là cột đầu tiên từ trái sang phải ứng với số nhỏ nhất
trong các tỉ số đó.

Bước 5. Biến đổi bảng đơn hình hoàn toàn như trong phương pháp đơn hình
thường (thay đổi biến cơ sở, đổi hệ số mục tiêu tương ứng, xác lập các véctơ đơn
vị, biến đổi dòng quay và cuối cùng là biến đổi các dòng khác theo qui tắc hình chữ
nhật).
Trở lại thực hiện Bước 2 mô tả ở trên.
Chú ý. Khi tìm cột quay, nếu mọi phần tử trên dòng quay đều không âm thì đó
là dấu hiệu cho thấy bài toán gốc ban đầu không có phương án.
Ví dụ 2.1. Giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau đây.

15


f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x3  min,
3x1 + 4x2 + 2x3  160,
x1 + 2x2 + 3x3  140,
x1  0, x2  0, x3  0.
Đưa bài toán về dạng chính tắc và đổi dấu hai vế các ràng buộc đẳng thức, ta
nhận được bài toán:
 min,

f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x3
3x1  4x2  2x3 + x4
x1  2x2  3x3

= 160,
+ x5 = 140,

x1  0, x2  0, x3  0, x4  0, x5  0.
Bài toán có n = 5 biến và m = 2 ràng buộc chính, nên mỗi bảng đơn hình gồm
n + 3 = 8 cột và m + 1 = 3 dòng. Cũng như trong phương pháp đơn hình thường,

bảng đầu tiên ghi lại các hệ số trong bài toán, chỉ khác là cột “Phương án” bây giờ
được thay bằng cột “Giả phương án”, vì trong thành phần của “phương án” xuất
phát có các phần tử âm. Bảng này tương ứng với giả phương án ban đầu x0 = (0, 0,
0, 160, 140), f0 = f(x0) = 0.
Biến
cơ sở

CB

Giả phương

x1

x2

x3

x4

x5

án

15

12

10

0

0

x4

0

160

3

4

2

1

0

x5

0

140

1

2

3

0

1

0

15

12

10

0

0

Bảng 1
x2

12

40

3/4

1

1/2

1/4

0

x5

0

60

1/2

0

2

1/2

1

Bảng 2

480

6

0

4

3

0

x2

12

25

7/8

1

0

3/8

1/4

x3

10

30

1/4

0

1

1/4

1/2

600

7

0

0

2

2

Bảng 3

16


Trong Bảng 1, cột giả phương án có phần tử âm, nên ta chưa nhận được
phương án tối ưu. Ta chọn dòng x4 (tương ứng với số âm nhỏ nhất 160) làm dòng
15

12

quay. Cột quay là cột x2 (tương ứng với số nhỏ nhất trong ba tỉ số: 3 = 5, 4 =

10
3, 2 = 5).
Phần tử quay bằng 4 (trong ô được tô bóng mờ). Biến đổi bảng này theo qui
tắc đơn hình ta nhận được Bảng 2.
Trong Bảng 2, cột giả phương án vẫn còn phần tử âm. Ta chọn dòng x5 làm
dòng quay và chọn cột x3 làm cột quay. Phần tử quay bằng 2. Biến đổi Bảng 2 ta
nhận được Bảng 3. Trong bảng này, mọi phần tử trong cột giả phương án đều
dương nên ta nhận được phương án tối ưu: x* = (0, 25, 30) với fmin = 600.
Từ các kết quả tính toán nêu trên, ta cũng có thể tìm được lời giải của bài toán
đối ngẫu nhờ vận dụng qui tắc sau đây:
Qui tắc B. Nếu cơ sở ban đầu là ma trận đơn vị thì để tìm phương án tối ưu
của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối cùng các  j của
các cột biến xj mà chúng là các biến cơ sở ở bước lặp đầu tiên (Bảng 1), rồi cộng
thêm với hệ số cj tương ứng. Sau đó, đổi dấu tổng tìm được nếu biến cơ sở tương
ứng ban đầu nhận giá trị âm.
Với ví dụ đang xét ta thấy các biến cơ sở ở bước lặp đầu tiên (Bảng 1) là x4,
x5 (A4, A5 là các véctơ đơn vị). Lúc đầu các biến này nhận giá trị âm, nên phương
án tối ưu của bài toán đối ngẫu y* = ( y1* , y*2 ) được xác định như sau:
y1* =   4  c4 = 2  0 = 2
y*2 =  5  c5 = 2  0 = 2

Vậy, y* = (2; 2) và gmax = 1602 + 1402 = 600 = fmin.
Ví dụ sau đây cho thấy bài toán gốc không có phương án.
Ví dụ 2.2. Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu giải bài toán sau.
f(x) = 2x1  4x2 + x3  x4 + 2x5
x1  2x2

 min,

 2x5

= 2,

4x2 + x3 + x4  x5

= 4,

17


 x5 + x6

2x3
x 2 + x3

+ 4x5

= 2,
+ x7 = 6,

xj  0, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Sử dụng giả phương án x0 = (2, 0, 0, 4, 0, 2, 6), quá trình giải như sau:
Biến
cơ sở

CB

Giả

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

phương án

2

4

1

1

2

0

0

x1

2

2

1

2

0

0

2

0

0

x4

-1

4

0

4

1

1

1

0

0

x6

0

2

0

0

2

0

1

1

0

x7

0

6

0

1

1

0

4

0

1

Bảng 1

0

0

4

2

0

5

0

0

x1

2

6

1

10

2

2

0

0

0

x5

2

4

0

4

1

1

1

0

0

x6

0

6

0

4

1

1

0

1

0

x7

0

10

0

17

5

4

0

0

1

Bảng 2

20

0

24

7

5

0

0

0

Ở Bảng 2, mọi phần tử trên dòng quay x7 (dòng được tô bóng mờ) không âm,

nên bài toán gốc không có phương án.
Trong các ví dụ trên ta đã may mắn có được các giả phương án thoả mãn tiêu
chuẩn tối ưu. Nói chung, khó có thể tìm những điểm xuất phát như thế cho phương
pháp đơn hình đối ngẫu.
Đối với phương pháp đơn hình ta đã biết khá kỹ về các kỹ thuật tìm một
phương án cực biên ban đầu của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ. Song
với phương pháp đơn hình đối ngẫu ta sẽ không đi sâu tìm hiểu các thủ tục tìm giả
phương án ban đầu thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu. Sở dĩ như vậy là vì ở đây ta chủ yếu
dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu để tìm phương án khi đã có bảng đơn hình
thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu, nhưng chưa thoả mãn điều kiện x  0. Các bảng như thế
có sẵn trong một số ví dụ đã xét ở trên hoặc dễ xây dựng trong ứng dụng xét ở
chương sau.
18

2.2. THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU DẠNG CẢI BIÊN
2.2.1. Ký hiệu và công thức tính toán
 Xét bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc:
min {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0}.

(2.1)

Nếu đã biết một phương án đối ngẫu chấp nhận được của bài toán (2.1) thì ta
có thể giải nó theo thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên. Thuật toán dạng này
chỉ cần lưu trữ và biến đổi ma trận nghịch đảo cấp mm, thay cho ma trận điều kiện
ban đầu A (cỡ mn lớn hơn nhiều), nhờ đó tiết kiệm được bộ nhớ và thời gian tính
toán giải bài toán. Thuật toán càng hiệu quả đối với những bài toán qui hoạch tuyến
tính có số ràng buộc m nhỏ hơn nhiều so với số biến n của bài toán và có ma trận A
thưa (tỉ lệ các phần tử khác 0 trong A rất nhỏ, chỉ khoảng từ 5% đến 10%).
Ta nhắc lại một số ký hiệu và công thức tính dùng trong thuật toán đơn hình.
Giả sử có phương án cực biên x với cơ sở J = {i1, i2, . . , im} ( Ai1 , Ai2 , ... ,

Aim ) là các véctơ cơ sở và x i1 , x i2 , ... , x im là các biến cơ sở). Đặt
B = ( Ai1 , Ai2 , ... , Aim ) - ma trận cơ sở.
Zk = (z1k, z2k, ... , zmk)T - véctơ cột hệ số khai triển của Ak theo cơ sở B.
cB = ( ci1 , ci2 , ... , cim ) - véctơ hàng gồm hệ số mục tiêu của các biến cơ sở.
xB = ( x i1 , x i2 , ... , x im )T - véctơ cột ghi giá trị các biến cơ sở.
Theo phương pháp đơn hình, ta đã có các công thức tính sau:
xB = B-1b, f(x) = cBB-1b, Zk = B-1Ak, k = 1, 2, ... , n,
k = cBZk  ck, gọi là ước lượng của biến xk, k = 1, 2, ... , n.

(2.2)

Phương án x là đối ngẫu chấp nhận được nếu N  0 (k  0, k = 1, . . . , n).
 Khi đưa véctơ phi cơ sở As vào cơ sở B và loại khỏi B véctơ A i r với zrs ≠ 0,
ta nhận được cơ sở mới:
B' = ( Ai1 , ... , Air 1 , As, Air 1 , ... , Aim ),
nghĩa là B' chỉ khác B bởi một véctơ: As thay cho A i r (ở vị trí thứ r trong cơ sở).
Ký hiệu

19


Q = B1 = (qik)m×n, Q' = (B')1 = (q'ik)m×n.
Khi đó, công thức liên hệ giữa các phần tử q'ik và qik như sau:

 q ik  (q rk / z rs )z is , i  r
q'ik = 
i, k = 1, ... , m.
q
/
z
,
i

r
,
rk,
rs


(2.3)

hay ở dạng ma trận ta có (B')1 = UrB1, trong đó

1


0

Ur =  
0



0









0  z1s / z rs


1  z r 1,s / z rs

1/ z rs
0  z r 1,s / z rs



0  z ms / z rs

0

0
0
1

0









0


0

0
0 


1

là một ma trận sơ cấp, nghĩa là nó chỉ khác ma trận đơn vị ở một cột duy nhất.
2.2.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu cải biên
Xét bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc ở dạng (2.1). Quá trình giải bài
toán theo đơn hình đối ngẫu dạng cải biên sử dụng hai bảng: Bảng 2.1 và 2.2.
Trong Bảng 2.1, m + 1 dòng đầu lưu giữ các hệ số aij, bi, cij của bài toán cần
giải (2.1). Từ dòng m + 2 trở đi ghi các phần tử của véctơ Pr = (zr1, ... , zrn) và các
ước lượng k của biến xk ở mỗi vòng lặp tính theo công thức (2.2).
Bảng 2.1.
Dòng 0

b

A1



As



An

Dòng 1

b1

a11



a1s



a1n













Dòng m

bm

am1



ams



amn

Dòng m + 1

c

c1



cs



cn

Ước lượng

1

1



s



n

Dòng quay

Pr

zr1



zrs



zrn

Tỉ số min



1

………

s

………

n



20


Bảng 2.2 gọi là bảng đơn hình đối ngẫu cải biên. Cột đầu ghi tên các biến cơ
sở. Cột cB ghi hệ số mục tiêu của các biến cơ sở. Trong cột thứ ba (Giả phương án):
m phần tử đầu là giá trị các biến cơ sở, phần tử cuối là giá trị hàm mục tiêu tương
ứng. Ma trận cơ sở nghịch đảo B-1 được ghi ở m cột tiếp theo.
Cột Zs (cột quay): m phần tử đầu ghi các hệ số khai triển của véctơ đưa vào cơ
sở As theo các véctơ cơ sở, phần tử cuối ghi ước lượng s . Dòng phía dưới ma trận
nghịch đảo ghi phương án của bài toán đối ngẫu, nó được tính theo công thức:
(qm+1,1, qm+1,2, ... , qm+1,m) = cBB-1.

(2.4)

Bảng 2.2. Bảng đơn hình đối ngẫu cải biên
Biến
cơ sở

cB

x i1

ci1





x ir

ci r





x im

cim

Bảng ...

Giả

Ma trận nghịch đảo B-1

Zs

q11



q1m

z1s









qr1



qrm

zrs









qm0

qm1



qmm

zms

qm+1,0

qm+1,1



qm+1,m

s

phương án
q10
qr0

Thuật toán đơn hình đối ngẫu cải biên gồm các bước sau.
Bước 1 (Xây dựng bảng đơn hình ban đầu). Giả sử lúc đầu có phương án cực
biên đối ngẫu chấp nhận được x với cơ sở J. Đặt B = {Aj : j  J}. Tính ma trận
nghịch đảo và ghi nó vào bảng 2.2. Tính m phần tử đầu của cột "Giả phương án"
theo (2.2) và tính qm+1,0 = cBB-1b. Các phần tử qm+1,k (k = 1, ... , m) là tích của véctơ
cB với véctơ cột thứ k của B1, theo công thức (2.4). Tính k, k = 1, ... , n theo (2.2)
và ghi vào Bảng 2.1.
Bước 2. Kiểm tra tối ưu: Nếu mọi phần tử trong cột giả phương án đều không
âm thì dừng quá trình giải và ta nhận được phương án tối ưu của bài toán (2.1). Trái
lại, chuyển sang Bước 3.

21


Bước 3. (Chọn dòng quay). Dòng quay được chọn là dòng đầu tiên từ trên
xuống mà nó chứa phần tử âm nhỏ nhất trong cột giả phương án. Tính các phần tử

của dòng quay: zrk = (B1)rAk, k = 1, ... , n, tức là nhân dòng thứ r của ma trận B1
với cột As ở Bảng 2.1, ta sẽ được phần tử zrk của dòng quay Pr và ghi vào Bảng 2.1.
Bước 4. (Chọn cột quay). Chia các phần tử trên dòng ước lượng (cuối mỗi
bảng) cho các phân tử tương ứng trên dòng quay, nhưng chỉ chia cho những phần
tử âm trên dòng quay. Cột quay là cột đầu tiên từ trái sang phải ứng với số nhỏ nhất
trong các tỉ số đó. Giả sử cột As là cột quay. Trước hết tính cột quay (cột Zs ở Bảng
2.2) theo công thức Zs = B1As, tức là nhân từng dòng của ma trận nghịch đảo B-1
với cột As ở Bảng 2.1 ta sẽ được từng phần tử của cột quay Zs của Bảng 2.2. Phần
tử cuối của cột này là s (đã tính ở trên).
Bước 5. Biến đổi bảng đơn hình đối ngẫu cải biên (trừ cột As) hoàn toàn như
trong phương pháp đơn hình thường (thay đổi biến cơ sở, đổi hệ số mục tiêu tương
ứng, biến đổi dòng quay và biến đổi các dòng khác theo qui tắc hình chữ nhật).
Cuối cùng, biến đổi và ghi vào bảng 2.1 dòng ước lượng mới ' theo công thức:
'k = k - (zrk/zrs)s, k = 1, ... , n, k  s, 's = 0.

(2.5)

Trở lại thực hiện Bước 2 mô tả ở trên.
Chú ý 2.1. Khi tìm cột quay, nếu mọi phần tử trên dòng quay đều không âm
thì đó là dấu hiệu cho thấy bài toán gốc ban đầu không có phương án: Dừng thuật
toán.
Ví dụ 2.3. Giải lại bài toán ở Ví dụ 2.1 theo thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng
cải biên.
f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x3
3x1  4x2  2x3 + x4
x1  2x2  3x3

 min,
= 160,
+ x5 = 140,

x1  0, x2  0, x3  0, x4  0, x5  0.
Số liệu ban đầu của bài toán và các ước lượng k ở mỗi vòng lập ghi ở bảng:

22


b

A1

A2

A3

A4

A5

- 160

-3

-4

-2

1

0

- 140

-1

-2

-3

0

1

c

15

12

10

0

0

1

- 15

- 12

- 10

0

0

Pr

-3

-4

-2

1

0



5

3

5

-

-

2

-6

0

-4

-3

0

Pr

0,5

0

-2

- 0,5

1



-

-

2

6

-

3

-7

0

0

-2

-2

Các bước giải bài toán được nêu trong ba bảng đơn hình đối ngẫu cải biên.
Biến
cơ sở

cB

Giả
phương án

x4

0

- 160

1

0

-4

x5

0

- 140

0

1

-2

0

0

0

- 15

Bảng 1

B-1

Z2

Bảng 1: Cơ sở ban đầu gồm hai véctơ A4 và A5 với

1 0
B = (A4, A5) = 
⇒ B-1 =

0 1

1 0
0 1 .



Phương án cực biên ban đầu và biến đối ngẫu tương ứng là

 x 4  1 0  160  160
1
 x  = 0 1 ×  140 =  140 , y = cBB =
 
 

 5 

0 

0 và f1 = 0,
 

Tính các ước lượng  = ATy - c = (15  12 10 0 0). Đưa véctơ A4
(tương ứng với x4 =  160 < 0 nhỏ nhất) ra khỏi cơ sở. Chọn véctơ A2 (tương ứng
với chỉ số k = k/z1k = 3 nhỏ nhất) đưa vào cơ sở. Bảng 1 được biến đổi theo Bước
5 của thuật toán nêu trên, với phần tử quay z12 =  4 (ô tô đậm). Kết quả ta nhận
được Bảng 2.
23


Giả

Biến
cơ sở

cB

x2

12

40

- 1/4

0

1/2

x5

0

- 60

- 1/2

1

-2

Bảng 2

480

-15/4

0

-4

B-1

phương án

Z3

Tính các ước lượng  = ATy - c = (- 6 0 - 4 - 3 0).
Đưa véctơ A5 (tương ứng với x5 = 60 < 0 nhỏ nhất) ra khỏi cơ sở. Chọn

véctơ A3 (tương ứng với chỉ số k = k/z2k = 2 nhỏ nhất) đưa vào cơ sở. Bảng 1
được biến đổi theo Bước 5 của thuật toán nêu trên, với phần tử quay z12 =  2 (ô tô
đậm). Kết quả ta nhận được Bảng 3.
Biến
cơ sở

cB

Giả
phương án

x2

12

25

- 3/8

1/4

x3

10

30

1/4

- 1/2

600

-2

-2

Bảng 3

B-1

Trong Bảng 3, mọi biến cơ sở (x2, x3) đều có giá trị dương, nên ta nhận được
phương án tối ưu:
x* = (0 25 30 0 0,5 0,5)T
và giá trị tối ưu của hàm mục tiêu fmin = f(x*) = 600.
Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là (dòng cuối của ma trận nghiệm
nghịch đảo B-1): y* = (- 2, - 2)T với cùng giá trị mục tiêu g(y*) = 600.
2.3. ÁP DỤNG GIẢI TRÒ CHƠI MA TRẬN
Tìm chiến lược (nghiệm) tối ưu của một trò chơi ma trận thường đưa đến các
bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc mà đã có sẵn phương án (cực biên)
đối ngẫu chấp nhận được, do đó có thể giải bài toán theo thuật toán đơn hình đối
ngẫu (dạng đầy đủ hay dạng cải biên). Sau đây ta xét một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 2.4. Tìm nghiệm của trò chơi ma trận

24


 2 1 0  2
 .
A = 

1 0 3 2 
Ta thấy  min{aij: aij < 0} = 2, vì thế ta chọn  = 3 và thay A bởi ma trận

 5 4 3 1
 .
A = [aij + ] = 
4
3
6
5


Mọi phần tử của ma trận A dương nên giá của trò chơi v > 0. Cặp bài toán
đối ngẫu của người chơi P1 và P2 là
f1 = x'1 + x'2  min,
5x'1 + 4x'2  1,

f2 = y'1 + y'2 + y'3 + y'4  max,

4x'1 + 3x'2  1,

5y'1 + 4y'2 + 3y'3 + y'4  1,

3x'1 + 6x'2  1,

4y'1 + 3y'2 + 6y'3 + 5y'4  1,

x'1 + 5x'2  1,

y'1  0, y'2  0, y'3  0, y'4  0.

x'1  0, x'2  0.
Giải. Đưa bài toán gốc về dạng chính tắc bằng cách thêm 4 ẩn phụ x'3, x'4, x'5,
x'6  0, sau đó đổi dấu các ràng buộc đẳng thức ta được bài toán:
f1 = x'1 + x'2  min,
5x'1  4x'2 + x'3
4x'1  3x'2

= 1,
= 1,

+ x'4

3x'1  6x'2

= 1,

+ x'5

 x'1  5x'2

+ x'6 = 1,

x'j  0, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Giả phương án ban đầu: x1 = (0; 0; 1; 1; 1; 1). Cơ sở đối ngẫu J = {3,
4, 5, 6}.
Quá trình giải bài toán theo phương pháp đơn hình đối ngẫu được ghi ở 4 bảng
sau:

25