342041463280368chuyen de 8 phuong phap toa do trong mat phang

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
CHUYÊN ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Lý Thuyết
1.1.1. Phương trình đường thẳng
a.Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng

 

*Vectơ u là VTCP của đường thẳng (d) nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng với (d)

 x  x0  at
vtcp u  (a; b)
* Nếu đường thẳng (d) biết 
 Phương trình tham số của (d) là: 
qua M(x 0 ;y0 )
 y  y0  bt
b. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

 

* Vectơ n là VTPT của đường thẳng (d) nếu n  0 và giá của n vuông góc với (d)

vtpt n  ( a; b)
*Nếu đường thẳng (d) biết 
 Phương trình tổng quát của (d) là:
qua M(x 0 ;y0 )

a ( x  x0 )  b( y  y0 )  0



- Nếu (d) có VTCP u  (a; b) thì (d) có VTPT là n  (b; a)


- Nếu (d) có VTPT là n  ( A; B) thì (d) có VTCP u  (  B; A)
*) Muốn lập phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và nhận 1 vtpt hoặc 1 vtcp
c. Đường thẳng (d) có phương trình Ax  By  C  0; A2  B 2  0


 VTPT n  ( A; B) , VTCP u  ( B; A) và nhiều điểm mà (d) đi qua
d. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (d) cắt Ox, oy lần lượt tại hai điểm A(a;0) và
B(0;b):
x y
  1(a  0; b  0)
a b
 x  x0  at
e. Nếu đường thẳng (d) có phương trình tham số 
với a  0; b  0 thì ta có phương
 y  y0  bt
x  x0 y  y0
trình chính tắc của (d) là:

a
b
Trong trường hợp a=0 hoặc b=0 đường thẳng không có phương trình chính tắc
1.1.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho (d1): a1 x  b1 y  c1  0
(d2): a2 x  b2 y  c2  0
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm hệ phương trình:

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016

-

a1x+b1y+c1 =0
(I )

a 2 x+b 2 y+c 2 =0
Hệ (I) có 1 nghiệm (x0;y0)  (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)
Hệ (I) vô số nghiệm  (d1) trùng (d2)
Hệ (I) vô nghiệm  (d1)// (d2). ((d1) và (d2) không có điểm chung )

1.2. Các dạng bài tập cơ bản:


1.2.1.Dạng 1: Viết phương trình của đường thẳng qua M 0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n  ( A; B)
qua M 0 ( x0 ; y0 )
Phương pháp: (d) 

VTPT n  ( A; B )
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(-3;2) và song song với    : 2 x  y  1  0
Đs : 2x-y+8=0
1.2.2. Dạng 2: Phương trình đường thẳng qua 2 điểm M 1 ( x1; y1 ) và M 2 ( x2 ; y2 )

qua M 1 ( x1 ; y1 )
qua M 1 ( x1 ; y1 )



Phương pháp: (d) 
 (d ) 
VTCP M 1M 2  ( x2  x1 ; y2  y1 )
VTPT n  ( y1  y2 ; x2  x1 )
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d biết: Qua A(1;2); B(3;4)
Đs : x  y  1  0


1.2.3. Dạng 3: Viết phương trình của đường thẳng qua M 0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (a; b)
qua M 0 ( x0 ; y0 )
qua M 0 ( x0 ; y0 )
Phương pháp: (d) 


 (d ) 
VTCP u  (a; b)
VTPT n  ( a; b)
Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của
đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:

a) (d) đi qua điểm M(1;-2) và có vtcp u =(2;-1).
b) (d) đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với (d1):5x+2y-1=0
x 1 y  2
a) Đs:

2
1
x3 y 2

b) ĐS:

5
2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau:
 x  1  2t
 x  1  2t
 x  3
 x  5  2t
a) 
b) 
c) 
d) 
y  3 t
 y  2  3t
 y  6  2t
 y  2
Bài 2: Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
a) 2 x  y  3  0 b)  x  2 y  4  0 c) x  2  0 d) y  4  0
Bài 3: Cho điểm M(3;0) và đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0 và d 2 : x  y  3  0 . Viết phương
trình đường thẳng d qua M cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho MA  MB
Bài 4: Cho tam giác ABC, A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b) CMR tam giác ABC vuông cân

Bài 5: Cho tam giác ABC, M(2;1).N(5;3), P(3;-4) lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA của
tam giác ABC.
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b) Viết phương trình các đường trung trực
Bài 6: Cho A(1;2). Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d: x  2 y  1  0
Bài 7:Tam giác ABC, M(0;4) là trung điểm của BC, AB : 2 x  y  11  0, AC : x  4 y  2  0 . Tìm
tọa độ của A, B, C.
Bài 8: Cho d1 : 2 x  3 y  1  0; d 2 : 4 x  y  5  0 , gọi A  d1  d 2 . Tìm tọa độ B  d1 ; C  d 2 để
tam giác ABC có trọng tâm G(3;5)
61 43
5 55
Đáp số: B ( ; ); C ( ; )
7 7
7 7
1.3. Các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách
1.3.1. Kiến thức liên quan
a. Góc giữa hai đường thẳng:
*Định nghĩa: Hai đường thẳng (d1), (d2) cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó
là góc giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2). Kí hiệu (d1, d2)
Suy ra, góc giữa hai đường thẳng luôn bằng hoặc kề bù với góc giữa hai VTPT (hoặc góc giữa hai
VTCP).
Nếu (d1): a1 x  b1 y  c1  0 , (d2): a2 x  b2 y  c2  0 thì
 
n1.n2
 
a1a2  b1b2
.
cos(d1 , d 2 )  cos( n1 , n2 )    
n1 . n2
a12  b12 . a2 2  b2 2

Chú ý:

 
* (d1)  (d2)  n1  n2  a1a2  b1b2  0

 
* Nếu (d1) và (d2) lần lượt có dạng y  k1 x  m1 và y  k2 x  m2 thì (d1)  (d2)  k1.k 2  1
b. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho (d): ax+by+c=0 và điểm M ( x0 ; y0 ) . Khi đó khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng
(d):

d (M , d ) 

ax 0 +by0 +c
a2  b2


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Chú ý:
* Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:
- Là khoảng cách từ M đến M , là hình chiếu của M lên (d)
- Là khoảng cách ngắn nhất từ M đến 1 điểm bất kỳ thuộc (d)
* Cho (d): ax+by+c=0 và hai điểm M ( x0 ; y0 ) , N ( x1 ; y1 ) . Đặt t = (ax 0 +by 0 +c)(ax1 +by1 +c)
- Nếu t < 0 thì M, N nằm về hai phía của (d).
- Nếu t>0 thì M, N nằm cùng một phía với (d).
1.3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
 x  3t

a) Tìm góc giữa 2 đường thẳng d1 : 
và d 2 : x  2 y  4  0
y  2  t

 x  3  2t
b) Tính khoảng cách từ M(-2;3) đến d : 
y  1 t
Lời giải
a)ĐS: (d1 , d 2 )  450
b) d ( M , d ) 

1
5

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M(0;1) và tạo với d: x  2 y  3  0 một góc 450

3 x  y  1  0
Đs: có 2 đường thẳng: 
x  3y  3  0
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  5  0 ; d 2 : 3x  6 y  1  0 . Lập phương trình đường
thẳng qua P(2;-1), d cắt d1 ; d 2 tạo thành 1 tam giác cân tại giao điểm d1 và d 2 .
Đs: 3 x  y  5  0
x  3y  5  0
Ví dụ 4: Cho hình vuông, 1 đỉnh có tọa độ (-4; 5) và đường chéo có phương trình 7x-y+8=0. Lập
phương trình các cạnh.
Đs: 4x+3y+1=0
3x-4y+32=0
4x+3y-24=0
3x-4y+7=0
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, A(3;2), B(1;6), C(-5;3). Tính chiều cao ha

Đs:

ha  2 5

x  1
Ví dụ 6: Tìm M thuộc  : 
để d ( M ,  ' )  2 với  ' : x  y  1  0
y  3 t
Đs:


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
*) M 1;0 
*) M 1; 4 
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC, A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm G thuộc  : 3 x  y  8  0 . Tìm tọa độ C
để S ABC 

3
2

Đs: C1 1; 1 ; C2  2; 10 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d):
x  2 y 1
a)A(3;5) và (d):

3

5
b) A(1;3) và (d):3x-4y-2=0
2) Tính góc giữa 2 đường thẳng d1 ; d 2

 x  2t
a) d1 : 
; d2 :
y  4  t

,
 x  t

,
 y  t

 x  2t
b) d1 : 
; d 2 : x+3y-2=0
 y  1 t
3) Chuyển các phương trình sau về dạng tham số:
a) x+3y-4=0; b) 3x-y-5=0;
c) x=3;
d) y=-8
4) Chuyển các phương trình sau về dạng tổng quát
 x  1  3t
 x  5t
x  3
a) 
; b) 
c) 

 y  2  2t
 y  1 t
 y  1  2t
5) Cho tam giác ABC có M (1; 1); N (1;9); P  9;1 lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC.
6) Cho tam giác ABC có A(2;6); B (6; 2); C 1; 3
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến CM.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CM.
7) Cho M 1; 2  , d1 : x-y-1=0; d 2 3x-y+1=0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt

d1 ; d 2 lần lượt tại A, B sao cho MA=2MB.
8) Cho M 1;1 d1 : x+y=0 ; d 2 x-y+1=0. Viết phương trình đường thẳng đi(d) qua M cắt d1 ; d 2
lần lượt tại A, B sao cho 2MA=MB.
9) Cho M  2;1 , d1 : x+y+1=0; d 2 : 2x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt d1 ; d 2
lần lượt tại A, B sao cho MA=MB.


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
10) M  2; 2  , d1 :2x+9y-18=0; d 2 : 2x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt d1 ; d 2
lần lượt tại A, B sao cho MA=MB.
11) Cho điểm A  2;3 tìm tọa độ điểm A, đối xứng với A qua (d):
a) (d):x+2y-1=0 b) (d):x-1=0; c) (d) là trục Ox.
12) Cho A(5; 1); B  3;7  . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I(-2;3) và cách đều A và B
13) Cho A(1; 2); B  1; 2  , (d): x-2y+1=0. Tìm C thuộc (d) để
a) CA=CB
b) AB=AC

14) Cho A(1;1); B  1;3 , (d): x+y+4=0
a) Tìm C thuộc (d) để C cách đều A, B.
b) Với C tìm được ở trên, tìm D để ABCD là hình bình hành.
15) Cho A(1;1); B  4;3 , (d): x-2y-1=0. Tìm C thuộc (d) để khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
16) Cho d1 : x+y+3=0; d 2 : x-y-4=0; d3 : x-2y=0. Tìm M thuộc d3 để khoảng cách từ M đến d1
bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d 2 .
17) Tìm M
a) M Ox và cách    : 4 x  3 y  1  0 một khoảng cách bằng 5.
b) M Oy và cách    : 4 x  y  1  0 một khoảng cách bằng 17.
18) Cho d1 : 3x-4y+6=0; d 2 : 4 x-3y-9=0.Tìm M Oy để khoảng cách từ M đến d1 bằng khoảng
cách từ M đến d 2 .

 
19) Cho A(1; 2); B  5;4  , (d): x+3y-2=0. Tìm M thuộc (d) để MA  MB nhỏ nhất.
20) Cho tam giác ABC có A(1;0); B  3; 1 , (d): x-2y-1=0. Tìm C (d) để S ABC  6.
21) Cho tam giác ABC có A(2; 4); B  0; 2  , (d): 3x-y+1=0. Tìm C (d) để S ABC  1.
22) Cho d1 : x-2y-3=0; d 2 : x+y+1=0. Tìm M  d1 để khoảng cách từ M đến d 2 bằng

1
2

23) Cho A(1;0); B  2; 4  ; C (1;4); D  3;5  . Tìm tập hợp điểm M để S MAB  S MCD .
24) Cho tam giác ABC có A(2; 1); B 1; 2  , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x+y-2=0. Tìm C

3
để S ABC  .
2
25) Cho tam giác ABC có A(4;0); B  0;3 , S ABC 

45

, trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x-y2

2=0. Tìm tọa độ C.
26) a) Cho tam giác ABC có A(3;1); B 1; 3 , S ABC  3 , trọng tâm G thuộc trục hoành. Tìm tọa độ
C.


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
b) Cho tam giác ABC có A(1; 2); B  2; 3 , S ABC  4 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x-y2=0. Tìm tọa độ C.
c) Cho tam giác ABC có A(2; 5); B  3;7  , S ABC 

69
, trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 5x2

3y+1=0. Tìm tọa độ C
27) Cho tam giác ABC có A(2; 1); B  3; 2  , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 2x+5y3=0,C  d , :x+y+3=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
28) Cho hình vuông đỉnh A(0;5) đường chéo y-2x=0. Tìm tọa độ tâm và các đỉnh còn lại.
29) Cho tam giác ABC, M(-1;1) là trung điểm của BC, AB: x+y-2=0, AC: 2x+6y+3=0. Tìm tọa
độ của A, B, C.
30) Cho d1 : 2x-y+1=0; d 2 : x+2y-7=0, viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ sao cho
d tạo với d1 , d 2 một tam giác cân tại giao điểm của d1 và d 2 .
31) Cho d1 : x-3y+5=0; d 2 : 3x-y-2=0, viết phương trình đường thẳng d đi qua P(2;-1) sao cho d
tạo với d1 , d 2 một tam giác cân tại giao điểm của d1 và d 2 .
32) Cho d1 : 2x-3y+5=0; d 2 : x+3y-2=0, A là giao điểm của d1 và d 2 . Tìm B  d1 , C  d 2 để tam
giác ABC có trọng tâm G(2;1).
1.4. Các đường, điểm đặc biệt trong tam giác
1.4.1. Đường cao và trực tâm
a. Kiến thức cần sử dụng: Tính chất vuông góc

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, A(2;2), B(-1;6),C(5;5). Viết phương trình các đường cao và tìm tọa
độ trực tâm H.
Đs:
 15 20 
*) H  ; 
7 7 
Ví dụ 2: Tam giác ABC, A(4;1), 2 đường cao xuất phát từ đỉnh B và C lần lượt có phương trình
là: 2 x  y  8  0; 2 x  3 y  6  0 . Viết phương trình đường cao AH, tìm tọa độ B, C.
Đs:
AH : 6 x  y  23  0 B  6; 4  C  6;6 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2;2), hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và C lần lượt có
phương trình là: 9 x  3 y  4  0; x  y  2  0 . Viết phương trình đường các cạnh và tính diện tích
của tam giác.
Đs :Phương trình các cạnh AB: x-y=0, BC: 7x+5y-8=0, CA: x+3y-8=0 S 

8
3


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, AB: 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A, B lần lượt là
d1 : 4 x  3 y  1  0; d 2 : 7 x  2 y  22  0 . Viết phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3.
Đs:
AC : 2 x  7 y  5  0

BC : 3x  4 y  22  0 CH : 3 x  5 y  23  0

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là 3 x  y  1  0; 2 x  y  4  0 , trực tâm
H(1;-2). Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác.
Đs: x  12 y  37  0
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3), đường trung trực của đoạn AB là:3x+2y-4=0.
Trọng tâm G(4;-2). Tìm tọa độ B, C.
Đs:B(5;1) C (8; 4)

5 5
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có A(-1;1), Trực tâm H(2;2), D  ;  là trung điểm của BC. Tìm tọa
2 2
độ B, C.
 B (2;4); C (3;1)
Đs: 
 B (3;1); C (2;4)
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có A thuộc d: x-4y-2=0; BC//d; đường cao BH:x+y+3=0, M(1;1) là
trung điểm của AC. Tìm tọa độ của A, B, C.

 2 2
8 8
Đs: A   ;   B  4;1 C  ; 
 3 3
3 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
1) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC, với A(-1;2); B(5;7); C(4;-3)
1
2) Cho tam giác ABC có 3 đỉnh thuộc đồ thị hàm số y  (C). Chứng minh rằng trực tâm H
x
thuộc (C).
3) Cho tam giác ABC phương trình các cạnh AB: x+y-3=0; BC: 3x-y-3=0; CA: 3x-2y-6=0. Tìm

tọa độ trực tâm H.
4) Cho tam giác ABC phương trình các cạnh BC: 7x+5y-8=0. Hai đường cao kẻ từ B và C lần
lượt: 9x-3y-4=0 và x+y-2=0. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC.
5) Cho tam giác ABC trực tâm H, AB: x+y-9=0; AH: x+2y-13=0; BH: 7x+5y-49=0.
a) Tìm tọa độ trực tâm H. Viết phương trình đường cao CH.
b) Viết phương trình cạnh BC.
6) Cho tam giác ABC, A  1; 3 , các đường cao BH: 5x+3y-25=0; CK: 3x+8y-12=0. Tìm tọa độ
B, C.
7) Cho tam giác ABC, A  0;1 , các đường cao BH: 2x-y-1=0; CK: x+3y-1=0. Tính diện tích tam
giác ABC.


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
8) Cho tam giác ABC, A  2;3 , các đường cao d1 : x+y-2=0; d 2 : 9x+3y+4=0. Viết phương trình
các cạnh.
9) Cho tam giác ABC, A 1;1 , các đường cao BH: -2x+y-8=0; CK: 2x+3y-6=0. Viết phương
trình đường cao AH, tìm tọa độ B, C
10) Cho tam giác ABC, A  2; 1 , các đường cao d1 : 2x-y+1=0; d 2 : x+3y+2=0. Viết phương
trình đường trung tuyến AM.
11) Cho tam giác ABC, B  2;5  , các đường cao: 2x+3y+7=0; d 2 : x-11y+3=0. Viết phương trình
các cạnh.
12) Cho tam giác ABC, C  4; 5 , các đường cao: 5x+3y-4=0; d 2 : 3x+8y+13=0. Viết phương
trình các cạnh.
13) Cho phương trình hai cạnh của 1 tam giác là 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Viết phương trình
cạnh thứ 3 biết trực tâm trùng với gốc tọa độ.
14) Cho phương trình hai cạnh của 1 tam giác là 3x-y+24=0; 3x+4y-96=0. Viết phương trình
32
cạnh thứ 3 biết trực tâm H(0; ).

3
4 7
15) Cho tam giác ABC, A(-3;6), trực tâm H(2;1), trọng tâm G  ;  . Tìm tọa độ B, C.
3 3

 13 13 
16) Cho tam giác ABC, trực tâm H  ;  , AB: 4x-y-3=0; AC: x+y-7=0. Viết phương trình
5 5
cạnh BC.
17) Cho tam giác ABC, A(5;2), đường trung trực của đoạn BC là x+y-6=0, đường thẳng qua C là
(d): 2x-y+3=0. Tìm tọa độ của B, C.
18) Cho tam giác ABC, C(3;-2) trực tâm H(0;-1). Tìm tọa độ của A thuộc d1 : x+y+7=0; B thuộc

d 2 : 5x+y-1=0.
19) Cho tam giác ABC, A(1;2), B(2;7).Tìm tọa độ đỉnh C biết độ dài đường cao hạ từ A bằng 1,
và C thuộc đường thẳng y-3=0.
20) Cho tam giác ABC, A(3;1), B(1;-5), trực tâm H(1;0). Tìm tọa độ C.
21) Cho tam giác ABC, A     : 2 x  3 y  14  0 , BC//(  ); đường cao CH: x-2y-1=0. M(-3;0) là
trung điểm của AB. Tìm tọa độ của A, B,C.
22) Cho tam giác ABC, trực tâm H(1;-1), E(-1;2) là trung điểm của AC, BC: 2x-y+1=0. Tìm tọa
độ của A, B, C.
Hd: C  BC  C (c; 2c  1)  A(2  c;3  2c) , AH  A  C
23) (Trích đề thi ĐH khối D 2010). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C
có hoành độ dương.
1.4.2. Đường trung tuyến và trọng tâm


/>
/>

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
a. Kiến thức: Cần sử dụng giả thiết của trung điểm M
 M  AM
 M  AM  BC
 M  AM

  M  BC


 M là trung điêm cua BC
 M là trung điêm cua BC
 M là trung điêm cua BC

“Trung điểm thuộc vào trung tuyến”
b. Các bài tập
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, C(-4;1), phương trình các đường trung tuyến AM: 2x-y+3=0;
BN:x+y-6=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Đs:
AB: 8 x  y  21  0 ; BC: 2 x  7 y  15  0 ; CA: 5 x  4 y  24  0
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB:x-2y+7=0, phương trình các đường trung
tuyến AM: x+y-5=0; BN:2x+y-11=0. Viết phương trình các cạnh AC,BC của tam giác.
Đs:
AC: 16 x  13 y  68  0 ; BC: 17 x  11 y  106  0
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G, đỉnh A(3;9), hai đường trung tuyến BM:3x-4y+9=0;
CN: y-6=0. Viết phương trình trung tuyến AG, tìm tọa độ B,C?
Đs:
AG : 3x  2 y  27  0 B(1;3) C(11;6)
Ví dụ 4. Cho tam giác A(4;3), đường cao BH:3x-y+11=0, đường trung tuyến CM:x+y-1=0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác.
Đs:

AB: x  2 y  2  0 ; BC: 7 x  y  29  0 ; CA: x  3 y  13  0
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, C(4;-1), đường cao và trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh có phương
trình lần lượt là: 2x-3y+12=0: 2x+3y=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Đs: BC : 3 x  2 y  10  0 AB: 9 x  11y  5  0 AC: 3 x  7 y  5  0
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, M(2;0) là trung điểm của AB, đường trung tuyến AD:7x-2y-3=0;
đường cao AH: 6x-y-4=0. Viết phương trình cạnh AC
Đs:
AC: 3 x  4 y  5  0
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;-1); phương trình cạnh AB: 4x+y+15=0; AC:
2x+5y+3=0. Tìm tọa độ A, B, M là trung điểm của BC, viết phương trình cạnh BC.
Đs: A  4;1 B( 3; 3) M (1; 2) BC: x  2 y  3  0
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC, vuông tại A; BC:x-y-2=0, A, B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác r=3. Tìm tọa độ trọng tâm G.

G (6  2 2; 2  2)
Đs: 
G (2  2 2; 2  2)


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC, M(-1;3) là trung điểm của AB, trung tuyến BN: x-3y+5=0; đường
cao AH: 2x-y+5=0. Tìm tọa độ A, B, C.
Đs: A(0;5); B(2;1) C (2;1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
1) Cho tam giác ABC, A(1;3) và hai đường trung tuyến x-2y+1=0; y-1=0. Viết phương trình các
cạnh của tam giác.
2) Cho tam giác ABC, A(3;1) và hai đường trung tuyến 2x-y+1=0; x-1=0. Viết phương trình các

cạnh.
3) Cho tam giác ABC, A(1;3) và hai đường trung tuyến 2x-3y+6=0; 5x+2y-2=0. Viết phương
trình các cạnh.
4) Cho tam giác ABC,B(2;-7) đường cao AH:3x+y+11=0; đường trung tuyến CM: x+2y+7=0.
Viết phương trình các cạnh.
5) Cho tam giác ABC,C(3;5), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh có phương
trình: d1 : 5x+4y-1=0; d 2 : 8x+y-7=0. Viết phương trình các cạnh.
6) Cho tam giác ABC,A(4;-3), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau có
phương trình: d1 : x-2y+1=0; d 2 : x+y-5=0. Viết phương trình các cạnh.
7) Cho tam giác ABC, B(2;-1), đường cao AH: x-2y+3=0, đường trung tuyến AM: x-1=0. Viết
phương trình các cạnh.
8) Cho tam giác ABC, B(3;5),đường cao AH: 2x-5y+3=0, đường trung tuyến CM: x+y-5=0. Viết
phương trình các cạnh
9) Cho tam giác ABC, A(-1;-3), trọng tâm G(4;-2), trung trực đoạn AB là 3x+2y-4=0. Tìm tọa độ
của B, C.
10) Cho tam giác ABC, A(-1;2), trung tuyến CM: 5x+7y-20=0; đường cao BK: 5x-2y-4=0. Viết
phương trình cạnh AC, CB.
11) Cho tam giác ABC, C(-1;-2), trung tuyến AM: 5x+y-9=0; đường cao BK: x+3y-5=0. Tìm tọa
độ của A, B.
12) Cho tam giác ABC, C(4;4),đường cao AH: 2x-3y+12=0, đường trung tuyến AM: 2x+3y=0.
Viết phương trình các cạnh.
13) Cho tam giác ABC, B(1;3),đường cao AH: x-2y+3=0, đường trung tuyến AM: y=1. Viết
phương trình các cạnh.
14) Cho tam giác ABC, A(4;3) và hai đường trung tuyến x+y-5=0; 2x-y-1=0. Viết phương trình
các cạnh.
1
9
8 7
15) Cho tam giác ABC, AB: y=2x; AC: y   x  trọng tâm G( ; ). Tính diện tích tam
4

4
3 3
giác.
16) Cho tam giác ABC, A(4;6), phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương
trình: 2x-y+13=0, 6x-13y+29=0. Tìm tọa độ của B, C.


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
17) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;-1), AB: 4x+y+15=0;AC:2x+5y+3=0. Tìm tọa độ của A,
B, C.
18) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;0), AB: 4x+y+14=0; AC:2x+5y-2=0. Tìm tọa độ của A,
B, C.
1
19) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(0; ), AB: x-y+3=0;BC:3x-5y+9=0. Viết phương trình cạnh
3
AC.
20) Cho tam giác ABC, A(0;1), hai đường trung tuyến xuất phát từ B và C lần lượt là 2x-y-1=0;
x+3y-1=0. Tìm tọa độ của B, C.
21) Cho tam giác ABC, M(-1;1) là trung điểm của AB, đường trung tuyến BN: x-6y-3=0, đường
cao AH: 4x-y-1=0. Viết phương trình các cạnh.
1.4.3. Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp tam giác
*Bài toán phụ: Cho tam giác ABC, BK là đường phân giác trong của góc ABC, A1 là điểm đối
xứng với A qua BK. Chứng minh rằng: A1  BC
Xét ABI  A1 BI  C.G.C   IBA  IBA1
Mà IBA  IBC  gt   IBA1  IBC  A1  BC
a. Kĩ năng: Lấy đối xứng đỉnh của tam giác qua đường phân giác trong (ngoài)
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA: 2xy+9=0.Viết phương trình các đường phân giác trong của A, B và tìm tâm, bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác.
Đs:
Đường phân giác trong của góc B là  l2  : x  y  1  0
Đường phân giác trong của góc A là  l4  : x  1  0

I  1;2 

r 5

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh BC: 4x-y-3=0; các đường phân giác trong kẻ từ
B,C lần lượt có phương trình: d B : x  2 y  1  0; dC : x  y  3  0 . Viết phương trình cạnh AB,
AC.
Đs:
AC: 1(x-0)-4(y+3)=0  x-4y-12=0
AB: 8x+19y-27=0
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, A(2;-4), các đường phân giác trong kẻ từ B,C lần lượt có phương
trình: d B : x  y  2  0; dC : x  3 y  6  0 . Viết phương trình cạnh BC.
Đs:
BC: x  7 y  6  0


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, A(-1;3), đường cao BH: y=x,đường phân giác trong CD có phương
trình: x  3 y  2  0 . Viết phương trình cạnh BC.
Đs:
BC: x  7 y  18  0
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, B(3;5),C(4;-3),đường phân giác trong AD có phương trình:
x  2 y  8  0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Đs:
BC: 8 x  y  29  0 AC: 4x+3y-7=0 AB: 1(y-5)=0  y-5=0
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, C(-3;1), đường phân giác trong AD: x  3 y  12  0 , đường cao AH:
x  7 y  32  0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải
BC : 7 x  y  22  0 AC : x  y  2  0 AB: x  7 y  38  0
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC, C(4;3), đường phân giác trong AD: x  2 y  5  0 , đường trung
tuyến AM: 4 x  13 y  10  0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Đs: AC: x  y  7  0 AB: x  7 y  5  0 BC: x  8 y  20  0
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC, đường phân giác trong AD: x  y  0 , đường cao CH:
2 x  y  3  0 , AC qua M(0;-1) biết AB=2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Đs
AB: x  2 y  1  0 AC: 2 x  y  1  0 BC: 2x+5y+11=0
Hoặc AB: x  2 y  1  0 AC: 2 x  y  1  0 BC: 10x-11y+25=0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
1) Cho tam giác ABC, A(3;-3) và 2 đường phân giác trong kẻ từ B và C lần lượt có pt
d B : x  2 y  1  0; dC : 2 x  6 y  3  0 . Tìm tọa độ của B và C.
2) Cho tam giác ABC, A(-1;3) và 2 đường phân giác trong có pt là: x  2 y  1  0; x  y  3  0 .
Viết pt cạnh BC.
3) Cho tam giác ABC, AB : 4 x  3 y  1  0; AC : 3 x  4 y  6  0; BC : y  0
a)Viết pt các đường phân giác trong của góc A và B.
b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
4) Cho tam giác A(2;0); B (4;1); C (1; 2) . Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
5) Cho tam giác A(6; 3); B (4;3); C (9; 2) . Viết pt các đường phân giác trong của góc A
6) Cho tam giác ABC, A(0;-1), 2 đường phân giác trong d B : 3x  4 y  7; dC : 5 x  3 y  8 . Viết
pt đường phân giác trong còn lại.

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
7) Cho tam giác ABC, A(2;4), đường cao và đường phân giác trong kẻ từ 1 đỉnh lần lượt có pt:
3 x  4 y  1  0; 2 x  y  3  0 .Viết pt các cạnh của tam giác ABC
8) Cho tam giác MNP, N(2;-1), đường cao MH: 3 x  4 y  27  0 , đường phân giác trong PD:
x  2 y  5  0 . Viết pt các cạnh của tam giác MNP
9) Cho tam giác ABC, A(4;-1), 2 đường phân giác trong d B : 2 x  3 y  12  0; dC : 2 x  3 y  0 .
Viết pt các cạnh của tam giác ABC
10) Cho tam giác ABC, BC: 9 x  11 y  5  0 , 2
d B : 2 x  3 y  12  0; dC : 2 x  3 y  0 . Viết pt các cạnh AB, AC.

đường

phân

giác

trong

11) Cho hình chiếu của C lên AB là H(-1;-1). Phân giác trong AD: x  y  2  0 , đường cao BH:
4 x  3 y  1  0 . Tìm tọa độ C.
12) Cho tam giác ABC, A(7;9),trung tuyến CM: 3 x  y  15  0 đường phân giác trong BD:
x  7 y  20  0 . Viết pt các cạnh của tam giác ABC.
13) Cho tam giác ABC, A(2;-3), phân giác trong và đương trung tuyến kẻ từ 2 đỉnh khác nhau lần
lượt có pt d1 : x  2 y  1  0; dC : 3 x  y  2  0 . Viết pt các cạnh của tam giác ABC.
14) Cho tam giác ABC, đường phân giác trong AD: x  y  0 , đường cao CH: 2 x  y  0 , đường
thẳng AC qua M(1;0) sao cho AB=2AM. Viết pt các cạnh của tam giác ABC.
15) Cho tam giác ABC, A(1;2) đường cao kẻ từ B, hB : x  y  1  0 , phân giác trong kẻ từ C,

lC : 3 x  y  1  0 . Viết pt các cạnh của tam giác ABC.
16) Cho tam giác ABC, A(1;2) đường trung tuyến, BM : 2 x  y  1  0 , phân giác trong kẻ từ C,
CD : x  y  1  0 . Viết pt cạnh BC.
17) Cho tam giác ABC, B(-4;3) đường cao kẻ từ A, hA : x  3 y  15  0 , phân giác trong kẻ từ C,

lC : x  y  3  0 . Viết pt các cạnh của tam giác ABC
18) Cho tam giác ABC, B(2;-1) đường cao kẻ từ A, hA : 3x  4 y  27  0 ; phân giác ngoài của góc
C là    : x  2 y  5  0 . Viết pt các cạnh của tam giác ABC.
19) Lập pt các cạnh tam giác ABC biết đỉnh B(-1;-1) và pt phân giác ngoài góc B, đường trung
tuyến xuất phát từ C lần lượt là: (d): x-3y+1=0 và (d'): 2x+y-4=0.
20) Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(-3;4), phương trình trung trực BC và
phân giác ngoài góc B lần lượt là: (d): x+2y-4=0 và (d'): 2x+y-4=0.
21) Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: Đỉnh C(4;-3), phân giác trong góc A là (d):
2x-3y+6=0, phân giác ngoài góc B là (d'): 2x+3y+6=0.
22) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-3;1), phương trình đường cao và
phân giác ngoài xuất phát từ đỉnh B lần lượt là (d): x+3y+12=0 và (d'): x-6y+18=0.
23) Cho tam giác ABC, A(4;2), B(1;2), tâm đường tròn nội tiếp tam giác I(2;3). Tìm tọa độ C.
1.4.4. Hình học giải tích trong tam giác đặc biệt
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(-1;3); B(1;1); (d): y  2 x


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
a) Tìm tọa độ C thuộc (d) để tam giác ABC cân tại A.
b) Tìm tọa độ C thuộc (d) để tam giác ABC đều.
Đs

 5  15 10  2 15 
 5  15 10  2 15 

a) C1 
;
;
 , C2 

5
5
 5

 5

b) không tồn tại điểm C để tam giác ABC đều
Ví dụ 2. Cạnh bên và cạnh đáy của 1 tam giác cân lượt là x  2 y  1  0 ; 3 x  y  5  0 . Viết
phương trình cạnh còn lại của tam giác biết nó đi qua M(1;-3).
Đs : 2x+11y+31=0
Ví dụ 3. Tìm C thuộc x  y  2  0 để tam giác ABC vuông tại C biết A(1;-2); B(-3;3).
Đs

7 3
C (1;3) C ( ;  )
2 2

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, vuông tại A, BC: 3x  y  3  0 :, A, B thuộc Ox, bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác r=2. Tìm tọa độ trọng tâm G.
Đs:
 74 3 62 3
;
)
G (
3

3

 1  4 3 6  2 3
;
)
G (
3
3


2
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, vuông cân tại A; M(1;-1) là trung điểm của BC, trọng tâm G( ;0 ).
3
Tìm tọa độ A, B, C.
ĐS ( A(0;2)
*) B(4;0); C (2; 2)
*) B(2; 2); C (4;0)
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, A(2;2), d1 : x  y  2  0 ; d 2 : x  y  8  0 .Tìm B  d1 ; C  d 2 để
tam giác ABC vuông cân tại A.
Đs
 B (3; 1); C (5;3)
 B (1;3); C (3;5)

Ví dụ 7. Cho tam giác đều ABC biết A(2;6); BC:
AB, AC của tam giác.
Đs: AB: y  6  0
AC:  3 x  y  2 3  6  0

3x  3 y  6  0. Viết phương trình các cạnh

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Cho 2 điểm A(3;1), B(-1;2), đường thẳng d: x-2y+1=0. Tìm C thuộc d để tam giác ABC
a) Cân tại A
b) Vuông tại C
2) Cho tam giác ABC cân tại A, AB: 3 7 x  y  3 7  0 , B, C thuộc Ox, A thuộc góc phần tư
thứ nhất.
a) Tìm tọa độ A, B, C biết rằng chu vi tam giác bằng 9
b) Tìm M thuộc AB, N thuộc BC để MN đồng thời chia đôi chu vi và diện tích tam giác ABC
3) Cho tam giác ABC cân tại B, A(1;-1), C(3;5), B thuộc đường thẳng d: 2x-y=0. Viết pt cạnh
AB, BC
4) Cho tam giác ABC cân tại A, A(-1;4), B,C thuộc    : x-y-4=0. Tìm tọa độ B,C biết S ABC  18
5) Cho tam giác ABC cân, đáy BC: x-3y-1=0, cạnh bên AB: x-y-5=0, đường thẳng AC qua M(4;1).
Tìm tọa độ C
6) Cho tam giác ABC cân, đáy BC: x+3y+1=0, cạnh bên AB: x-y+5=0, đường thẳng AC qua M(4;1). Tìm tọa độ C
7) Cho tam giác cân, cạnh đáy có pt 4x+3y+2=0, cạnh bên có pt x-2y+6=0. Viết pt cạnh bên còn
lại biết nó qua M(2;-1).
8) Cho 2 điểm A(3;4), B(-1;1), đường thẳng d: 2x-y+3=0. Tìm C thuộc d để tam giác ABC vuông
tại C
9) Cho 2 điểm A(5;-2), B(-3;4), đường thẳng d: x-2y+1=0. Tìm C thuộc d để tam giác ABC
vuông tại C
10) Cho tam giác ABC vuông tại A, BC: x-y-2=0, A, B Ox, bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác r  3 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
11) Cho tam giác ABC vuông tại A, B(-3;0), C(7;0), r  2 10  5 . Tìm tọa độ tâm I đường tròn
nội tiếp tam giác ABC, biết tung độ của I dương.
12) Viết đường thẳng qua M(3;1) cắt Ox, Oy lần lượt tại B,C để tam giác ABC cân tại A, biết
A(2;-2)

1
13) Cho tam giác ABC vuông tại C, A(-2;0), B(2;0), khoảng cách từ trọng tâm G đến Ox là .
3
Tìm tọa độ C
14) Cho 2 điểm A(1;2), M(-1;1), d1 : x-y+1=0; d 2 : 2x+y-3=0. Tìm B  d1 , C  d 2 để tam giác
ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC

2
15) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trọng tâm G(0; ), trung điểm của BC là điểm
3
1 1
M( ;  ). Tìm tọa độ A, B, C.
2 2
16) Cho tam giác ABC, A(0;3). Tìm B Ox, C d: y-4=0 để tam giác ABC vuông cân tại A.


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
17) Cho tam giác ABC, A(1;1). Tìm B  d: y=3, C Ox để tam giác ABC đều.
18) Tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền d: x+7y-31=0, N(7;7) AC, M(2;-3) AB và
nằm ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ A, B,C.
19) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác
đó, biết BC và BG lần lượt có phương trình là: x-2y-4=0; 7x-4y-8=0, và đường thẳng CG đi qua
điểm E(-4;1). Viết phương trình đường cao AH. (Đáp số G(4/3;1/3), 2x+y-3=0)
20) (A10) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng
đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và
C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
21) (A10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d :
1

3x  y  0 và d :
2

3x  y  0 Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d tại A, cắt d tại hai điểm B và C sao cho tam giác
1

2

ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

3
và điểm A
2

có hoành độ dương.
22) (B10) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân
giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích
tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
1.4.5. Các bài toán về tứ giác
a. Kiến thức liên quan
i) Hình bình hành
 
*) AB  DC
1
*) S ABCD  AC.BD.sin I (đúng với tứ giác lồi bất kì)
2
*) AC, BD chia hình bình hành thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau
*) Nếu M thuộc AB và N là điểm đối xứng với M qua tâm I của hình bình hành thì N thuộc CD
ii) Hình thoi

Hình thoi là Hình bình hành có:
*) AB=AD
*) AC  BD
*) AC là đường phân giác của góc  DAB, và góc  DCB
BD là đường phân giác của góc  ABC, và góc  ADC
iii) Hình chữ nhật
Là Hình bình hành có: *) AB  AD
*)AC=BD
d ( I , AB) AD d ( M , AB )
*)


d ( I , AD ) AB d ( N , AD)
(Sử dụng tính chất này khi biết tỉ lệ 2 cạnh của Hình chữ nhật ví dụ: AB=2AD)
*) IH  AB  H là trung diểm của AB


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
*) Các góc bằng nhau: A1  B1  C1  D1 ;...
*) IA=IB=IC=ID
iv) Hình vuông
 
 AB  DC
  
*) Là tứ giác có  AB  AD
  
 AC  BD
*) d(P,AB)=d(Q,AD);

(AB=AD)
Lưu ý: Với một số bài toán ta có thể giải bằng cách dựa vào dựng hình.

b. Bài tập tự luyện
 HÌNH THANG CÂN
1) Cho A(10;5);B(15;-5);D(-20;0) là 3 đỉnh của hình thang cân ABCD đáy là AB và CD. Tìm tọa
độ của C
Đ/S: C(-7;-26)
2) Cho A(1;2); B(3;3). Tìm tọa độ của C để tứ giác OABC là hình thang cân, AB//OC
 26 13 
Đ/S: C  ; 
 5 5
 HÌNH BÌNH HÀNH
3.1) Hình bình hành ABCD, có diện tích bằng 4, A(1;0), B(2;0), I là giao điểm của 2 đường chéo
và I thuộc (  ): y=x. Tìm tọa độ của C,D
Đ/S: TH1: C(3;4), D(2;4)
TH2: C(-5;-4), D(-6;-4)
3) Hình bình hành ABCD, có diện tích bằng 4, A(1;2), B(5;-1), I là giao điểm của 2 đường chéo
và I thuộc (  ): x+y-1=0. Tìm tọa độ của C,D
Đ/S: TH1: C( -11;10), D(-15;13)
TH2: C(-19;18), D(-23;21)
4) Hình bình hành ABCD, AB: x+2y-7=0; AD: x-y+2=0, tâm I(1;1). Viết phương trình các cạnh
BC, CD
Đ/S: BC: x-y-2=0; CD: x+2y+1=0
 HÌNH THOI
5) Cho hình thoi ABCD, phương trình AB : 7 x  11y  83  0 ; CD : 7 x  11y  53  0 ;
BD : 5 x  3 y  1  0 . Tìm tọa độ B, D. Viết phương trình đường chéo AC, rồi suy ra tọa độ A, C
Đ/S: B(7;12);D(-5;-8); AC : 3 x  5 y  13  0 ,C(6;-1);A(-4;5)

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
6) Hình thoi ABCD, A(1;3), B(4;-1).
a) Cho AD //Ox, xD  0 . Tìm tọa độ của C, D.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD.
Đ/S: a)C(-1;-1); D(-4;3) b) x 2   y  1  4
2

7) Cho A(0;1); B(-2;5); C(4;9). Lập phương trình các cạnh của hình thoi AMNP, sao cho M, N, P
lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, BC.
 4 11 
 4 11   19 
Đ/S: M  ;  ; N  ;  ;P  0; 
3 3 
 3 3  3
8) Hình thoi ABCD, A(1;3); B(-1;-1). Tìm tọa độ của C, D biết đường thẳng CD đi qua M(6;7).
Đ/S: TH1: C(3;1); D(5;5)
 1 27 
9 7
TH2: C   ;   ; D  ;  
5 
 5
5 5
9) Hình thoi ABCD, B(1;-3); D(0;4); Â= 600 . Tìm tọa độ của A, C.
Đ/S: TH1: A( 4  7 3 ; 1  3 );C( 7 3  3 ;  3 )
TH2: A( 4  7 3 ; 1  3 );C( 7 3  3 ; 3 )
10) Hình thoi ABCD có 1 đường chéo BD: x+2y-7=0, 1 cạnh AB: x+3y-3=0, đỉnh A(0;1). Viết
phương trình các cạnh còn lại.
Đ/S: C(2;5); D(-13;10)

11) d: x+y-1=0, A(0;-1); B(2;1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm thuộc d. Tìm tọa độ C, D.
Đ/S: TH1: C(0;3); D(-2;1)
TH2: C(4;-1);D(2;-3)
 HÌNH CHỮ NHẬT
1
12) Hình chữ nhật tâm I( ;0), phương trình AB : x  2 y  2  0 ;AB=2AD. Tìm tọa độ 4 đỉnh của
2
hình chữ nhật, biết hoành độ của A là âm.
Đ/S:A(-2;0);B(2;2);C(3;0);D(-1;-2)
13) Hình chữ nhật ABCD, AB : x  2 y  1  0 ; BD : x  7 y  14  0 , đường thẳng AC qua M(2;1).
Tìm tọa độ các đỉnh của Hình chữ nhật.
Đ/S:A(1;0);B(7;3);C(6;5);D(0;2)
14) Hình chữ nhật ABCD, biết 2 cạnh d1 : 3 x  2 y  5  0 ; d 2 : 2 x  3 y  7  0 , A(-2;1). Tìm tọa
độ B, C, D và I là tâm hình chữ nhật.
 1 31   38 5   25 9 
Đ/S: B(1;-1);C  ;   ;D   ;   ;I   ;  
 13 13   13 13   26 13 
15) Hình chữ nhật ABCD, I là giao diểm của AC và BD, I(6;2), M(1;5) thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của CD thuộc  :x+y-5=0. Viết phương trình cạnh AB.
Đ/S: TH1:y-5=0


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
TH2: x-4y+19=0
16) Tam giác ABC, A(1;6);B(8;3);C(1;-4), MNPQ là Hình chữ nhật tâm B. M, N thuộc đường
cao AH của tam giác ABC, yM  0 và 2MN=NP. Tìm tọa độ M, N, P, Q
Đ/S:TH1:M(5;2);N(7;0);P(11;4);Q(9;6)
TH2:M(7;0);N(5;2);P(9;6);Q(11;4)

17) Hình chữ nhật ABCD, A(0;-2); C(1;5); S ABCD  24 . Tìm tọa độ của B, D biết xB nguyên
Đ/S: TH1: B(4;2); D( -3;1)
TH2: B(-3;1);D(4;2)
18) Hình chữ nhật có 2 đỉnh đối nhau (5;1); (0;6); 1 cạnh có phương trình: x+2y-12=0. Viết
phương trình các cạnh của Hình chữ nhật
Đ/S: AB: 2x-y-9=0; CD:2x-y+6=0;DA: x+2y-7=0
9
19) Hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I  d : x  y  3  0 , có hoành độ bằng ,
2
trung điểm của AB là giao diểm của d và Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của Hình chữ nhật
Đ/S:TH1:A(4;-1);B(2;1);C(5;4);D(7;2)
TH1:A(2;1);B(4;-1);C(7;2);D(5;4)
20) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng  : x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng AB.
 HÌNH VUÔNG
21) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d1 : x  y  0 ; d 2 : 2 x  y  1  0 .Tìm tọa độ 4 đỉnh của hình
vuông ABCD, biết A  d1 ; C  d 2 ; B, D  Ox
Đ/S: TH1: A(1;1);B(0;0);C(1;-1);D(2;0)
TH2: A(1;1);B(2;0);C(1;-1);D(0;0)
22) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d1 : x  y  3  0 ; d 2 : 3x  y  5  0 .Tìm tọa độ 4 đỉnh của
hình vuông ABCD, biết B  d1 ; D  d 2 ; A, C  Ox ; y A  2
Đ/S: A(0;3);B(1;2);C(0;1);D(-1;2)
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d1 : x  y  3  0 ; d 2 : 2 x  y  0 .Tìm tọa độ 4 đỉnh của
hình vuông ABCD, biết B  d1 ; D  d 2 ; A, C  Oy
Đ/S: TH1:A(-3;0);B(-1;2);C(1;0);D(-1;-2)
TH2: A(1;0);B(-1;2);C(-3;0);D(-1;-2)
23) Lập phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết đỉnh A(-4;5), và 1 đường chéo
d : 7x  y  8  0 .
Đ/S: 3 x  4 y  32  0 ; 4 x  3 y  24  0 ; 3 x  4 y  7  0 ; 4 x  3 y  1  0

24) Cho A(0;0),B(2;4);C(6;0). Hãy xác định tạo độ của các điểm M, N, P, Q với M thuộc cạnh
AB, N thuộc cạnh BC và P, Q thuộc cạnh AC để MNPQ là hình vuông.


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
6 12
 18 12   18   6 
Đ/S: M( ; );N  ;  ;P  ;0  Q  ;0 
5 5
 5 5   5  5 
25) Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết đường thẳng AB,CD, BC, AD lần
lượt đi qua các điểm P(2;1);Q(3;5);R(0;1);S(-3;-1)
Đ/S: TH1: AB : 7 x  y  15  0 ; BC : x  7 y  7  0 ; CD : 7 x  y  26  0 ;
DA : x  7 y  4  0
TH2: AB : x  3 y  1  0 ; BC : 3x  y  1  0 ; CD : x  3 y  12  0 ;
DA : 3x  y  10  0
26) Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A(1;1);M(4;2) là trung điểm của BC.
Đ/S: TH1: B(3;3); C(5;1); D(3;-1)
 19 3   21 17 
 7 19 
TH2: B  ;  ; C  ;  ; D  ; 
 5 5  5 5 
5 5 
27) Cho d1 : 3 x  y  4  0 ; d 2 : x  y  6  0 ; d3 : x  3  0 . Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD,
biết A,C  d 3 ; B  d1 ;C d 2
Đ/S:TH1:A(3;1);B(2;2);C(3;3);D(4;2)
TH2:A(3;3);B(2;2);C(3;1);D(4;2)
28) Cho A(1;-1); B(3;0) là 2 đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của C, D.

Đ/S: TH1: C(2;4); D(0;1)
TH2: C(4;-2); D(2;-3)
29) Cho hình vuông ABCD, AB: 2x-y+1=0, tâm I(0;-1). Viết phương trình các cạnh của hình
vuông.
Đ/S:TH1: BC: x+2y+4=0; CD: 2x-y-3=0; DA: x+2y=0
TH2: BC: x+2y=0; CD: 2x-y-3=0; DA: x+2y+4=0
30) Cho A(3;1). Tìm tọa độ B, C để OABC là hình vuông và B thuộc góc phần tư thứ nhất
Đ/S: B(2;4);C(-1;3)
31) Hình vuông ABCD, A(1;2), BD: x-2y+1=0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
Đ/S: x+3y-7=0; 3x-y-1=0; x+3y-3=0; 3x-y-5=0
32) Cho hình vuông ABCD, AC: x+2y-3=0, D  d : x  y  2  0 , đường thẳng BC qua M(7;-7).
Tìm tọa độ tâm của hình vuông
Đ/S: TH1: I(1;1); TH2:I(5;-1)
2. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
2.1. Dạng 1. Bài toán về tâm và bán kính
Bài 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn sau
a) x 2  y 2  2 x  2 y  7  0
b) x 2  y 2  4 x  6 y  3  0
c) x 2  y 2  x  3 y  2  0


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
d) 2 x 2  2 y 2  3 x  4 y  1  0
Bài 2: Cho đường (C): x 2  y 2  2mx  2( m  1) y  3m  2  0
a) Tìm m để (C) là đường tròn
b) Tìm quỹ tích tâm
Bài 3: Cho đường ( Ca ): x 2  y 2  2( a  1) x  4(a  1) y  5  a  0
a) Tìm a để ( Ca ) là đường tròn

b) Tìm a để ( Ca ) tiếp xúc với đường thẳng y=x
Bài 4: Cho ( Cm ): x 2  y 2  2(m  1) x  2(m  2) y  m 2  8m  13  0
c) Tìm m để (C m ) là đường tròn
d) Tìm quỹ tích tâm
Bài 5: Cho ( Cm ): x 2  y 2  2mx  6 y  4  m  0
a) Chứng minh rằng ( Cm ) là đường tròn với mọi m
b) Tìm quỹ tích tâm khi m thay đổi
Bài 6: Cho ( Cm ): x 2  y 2  2mx  2(m  1) y  2m  1  0
a) Chứng minh rằng ( Cm ) là đường tròn với mọi m
b) Tìm quỹ tích tâm khi m thay đổi
c) Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất
d) Tìm điểm cố định mà đường tròn luôn đi qua
Bài 7: Cho ( Cm ): x 2  y 2  (m  2) x  (m  4) y  m  1  0
a) Chứng minh rằng ( Cm ) là đường tròn với mọi m
b) Tìm quỹ tích tâm khi m thay đổi
c) Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất
d) Tìm điểm cố định mà đường tròn luôn đi qua
Bài 8: Yêu cầu giống Ví dụ 2 với các đường tròn sau
( Cm ): x 2  y 2  2( m  1) x  2(m  2) y  6m  7  0
( Cm ): x 2  y 2  2(m  1) x  4my  m 2  1  0
( Cm ): x 2  y 2  (m  2) x  m  0
2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường tròn
Bài 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết
1) Qua A(2;4) và tâm là I(-1;3)
2) Đường kính AB với: A(1;-3); B(3;1)
A(1;1); B(7;5)

 x  2  4t
3) Tâm I(5;6) và tiếp xúc với đường thẳng d 
 y  3t

4) Tiếp xúc với d: x-y-2=0 tại M(1;-1) có bán kính R=3


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
5) Tiếp xúc với d: 3x-4y-31=0 tại M(1;-7) có bán kính R=5
6) Tiếp xúc với đường thẳng d: x-y-2=0 tại M(3;1) và tâm I thuộc d ' : 2x-y-2=0
Tiếp xúc với đường thẳng d: x-y-1=0 tại A(2;1) và tâm I thuộc d ' : x-2y-6=0
7) Qua A(-1;3);B(1;-5) và tâm I thuộc trục tung
8) Qua A(3;1);B(-1;3) và tâm I thuộc d: 3x-y-2=0
9) Qua A(1;0) tiếp xúc với d1 : x  y  4  0; d 2 : x  y  2  0
10) Qua A(1;1);B(3;3) tiếp xúc với d: y=5
11) Qua A(1;2);B(3;4) tiếp xúc với d: y=3(1-x)
12) Tiếp xúc với d1 : x  y  1  0 tại M(0;1), và tiếp xúc với d 2 : 7 x  y  3  0
Tiếp xúc với d1 : 7 x  y  5  0 tại A(1;2), và tiếp xúc với d 2 : x  y  13  0
13) Tiếp xúc với d1 : 3 x  4 y  35  0; d 2 : 3 x  4 y  35  0; d3 : x  1  0
14) Tâm I thuộc d: 3x-5y-8=0; tiếp xúc với Ox,oy
Tâm I thuộc d: 2x-y-4=0; tiếp xúc với Ox,oy
Tâm I thuộc d: 4x-5y-3=0; tiếp xúc với d1 : 2 x  3 y  10  0; d 2 : 3 x  2 y  5  0
Tâm I thuộc d: x-6y-10=0; tiếp xúc với d1 : 3x  4 y  5  0; d 2 : 4 x  3 y  5  0
15) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox tại B(-1;0)
Qua A(3;3) tiếp xúc với d: 2x+y-3=0 tại B(1;1)
16) Bán kính R=1, tiếp xúc với Ox, tâm I thuộc d: x+y-3=0
17) Tiếp xúc với d1 : 3 x  y  3  0; d 2 : x  3 y  9  0 tâm I thuộc d3 : x  5
18) Cho A(2;0); B(6;4). Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với Ox tại A, khoảng cách
từ tâm I đến B là 5
19) Qua 2 điểm A(5;0);B(1;4) tâm I thuộc  : x  y  3  0
Qua 2 điểm A(1;0);B(0;1) tâm I thuộc  : x  y  2  0
Qua 2 điểm A(-1;2);B(3;0) tâm I thuộc  : 7 x  y  8  0

Qua 2 điểm A(0;1);B(2;5) tâm I thuộc  : Ox
Qua 2 điểm A(1;2);B(4;1) tâm I thuộc  : 2 x  y  5  0
20) Qua A(2;-1) tiếp xúc với Ox,Oy
Qua A(4;2) tiếp xúc với Ox,Oy
4
21) Tâm I thuộc đường tròn (C): ( x  2) 2  y 2 
tiếp xúc với hai đường thẳng
5
d1 : x  y  0; d 2 : x  7 y  0
22) Tâm I thuộc đường thẳng d: x-y-1=0; tiếp xúc với d1 : 2 x  y  1  0; d 2 : 2 x  y  2  0
23) Tâm I thuộc d: 3x+5y-8=0; tiếp xúc với Ox;Oy
24) Tâm I thuộc Ox; tiếp xúc với d1 : 2 x  y  2  0; d 2 : 2 x  y  1  0
25) Tâm I thuộc d: 2x+y=0 tiếp xúc với d: x-7y+10=0 tại A(4;2)
26) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox tại B(-1;0)


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
27) Cho d: 2x-2y+1=0; (C): x 2  y 2  4 x  0 ; CMR d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Lập
phương trình đường tròn (C ' ) qua 2 giao điểm và tiếp xúc với x+y=0
28) Qua A(1;1) tiếp xúc với d1 : 7 x  y  3  0; d 2 : x  7 y  3  0
Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
1) Qua 3 điểm
a) A(-2;0); B( 0;4); C(0;0)
b) A(-1;2); B(2;3); C(2;-1)
c) A(1;2); B(5;2); C(1;-3)

d) A(1;4); B(-4;0); C(-2;-2)
d) A(1;1); B(3;-2); C(4;3)

d) A(4;1); B(4;-7); C(-5;2)
x 2
2) Ngoại tiếp tam giác ABC có 3 cạnh: y   ; y  x  2; y  8  x
5 5
3) A(1;0); B(0;2). Tìm điểm M đối xứng với O qua AB,Viết phương trình đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABM
4) Tam giác ABC nhọn, A(5;4); B(2;7), AE, BF là các đường cao. Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp ABEF
5) Đường tròn qua A(3;5) cắt Oy tại B(0;4); C(0;-2)
Bài 3: Đường tròn nội tiếp
1) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
a) A(0;0); B(8;0); C(0;6)
b)A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1)
2) d1 : 4 x  3 y  12  0; d 2 : 4 x  3 y  12  0 . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
có 3 cạnh thuộc Oy; d1 ;d 2
Bài 4: Trục đẳng phương. Qua 1 điểm và giao điểm của 2 đường tròn
1) Qua M(-1;-2) và giao điểm của d: x+7y+10=0 và (C): x 2  y 2  4 x  20  0
2) Qua M(1;-2) và giao điểm của d: x-7y+10=0 và (C): x 2  y 2  2 x  4 y  20  0
3) Qua giao điểm của (C): x 2  y 2  10 x  0 và (C ' ): x 2  y 2  4 x  2 y  20  0 và tâm I
thuộc d: x+6y-6=0
4) Qua giao điểm của (C): ( x  3) 2  ( y  2) 2  4 và (C ' ): ( x  4)2  y 2  1 và tâm I thuộc d:
y=x+2
5) Cho 2 đường tròn (C): x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 và (C ' ): x 2  y 2  2 x  2 y  14  0
a) Xác định giao điểm (C) và (C ' )
b) Viết phương trình đường tròn qua A(0;1) và giao điểm (C) và (C ' )
c) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với d: x+5=0 và giao điểm (C) và (C ' )
6) Qua A(1;1); B(0;2) tiếp xúc với (C): x 2  y 2  10 x  10 y  34  0
7) (C): x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 và (C ' ): x 2  y 2  8 x  2 y  12  0 . Viết phươn trình
đường tròn qua 2 giao điểm của (C) và (C ' ) và có bán kính là R= 13
2.3. Tiếp tuyến của đường tròn

2.3.1. Tiếp tuyến tại một điểm


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  8 x  4 y  5  0 tại A(0;-1)
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  2 x  2 y  3  0 tại A(2;3)
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  6 x  8 y  25  0 tại A(3;-2)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  x  7 y  0 tại giao điểm của (C) và d:
3x+4y-3=0
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( x  2) 2  ( y  1) 2  4 tại điểm có hoành độ bằng 2
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( x  1) 2  ( y  1) 2  9 tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  4 x  2 y  0 tại giao điểm của (C) và Ox;
Oy

2.3.2. Tiếp tuyến biết hệ số góc
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  2 x  8 y  1  0 biết tiếp tuyến // d: 5x+12y6=0
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( x  1) 2  ( y  2) 2  4 biết tiếp tuyến // d: 2x-y=0
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  2 x  8 y  8  0 biết tiếp tuyến // d: 3x4y+1=0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  6 x  2 y  0 biết tiếp tuyến  d: 3x-y+6=0
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 biết tiếp tuyến  d:
x+y=0
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  8 tiếp tuyến tạo với Ox 1 góc 450
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 biết tiếp tuyến tạo với d:
x+y+3=0 góc 45 0
2.3.3. Tiếp tuyến đi qua một điểm
Bài 1:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  4 x  6 y  12  0 biết tiếp tuyến qua A(-2;-1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  8 x  6 y  0 biết tiếp tuyến qua O(0;0)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  4 x  2 y  0 biết tiếp tuyến qua A(3;-2)
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2  y 2  2 x  8 y  8  0 biết tiếp tuyến qua A(-4;-6)
Bài 2: A(2;-1);(C): ( x  1)2  ( y  2) 2  9 . CMR vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C). Viết phương trình 2
tiếp tuyến ấy
Bài 3: A(3;5);(C): x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) tại 2 tiếp điểm M, N. Viết
phương trình đường thẳng qua MN