MỘT số THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH dựa TRÊN PHÉP BIẾN đổi CHARNES COOPER

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH VĂN DŨNG

MỘT SỐ THUẬT TOÁN
GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA
TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH VĂN DŨNG

MỘT SỐ THUẬT TOÁN
GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA
TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU

THÁI NGUYÊN - 2016


1

Mục lục

Mở đầu

2

1

Phép biến đổi Charnes - Cooper

5

1.1

Tập lồi đa diện

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm phân thức afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Bài toán qui hoạch phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Cách tiếp cận Charnes - Cooper . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

1.4.1

Phép biến đổi Charnes - Cooper . . . . . . . . . . . 14

1.4.2

Thuật toán giải (LFP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bài toán qui hoạch phân thức với các hệ số mục tiêu thay đổi

26

2.1

Nội dung bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương . . . . . . . . . . 29

2.3

Thuật toán giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

43


2

Mở đầu
Qui hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt là
(LFP) là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm phân thức afin (tỉ

số hai hàm tuyến tính afin) với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức
tuyến tính.
Qui hoạch phân tuyến tính là một trường hợp riêng của qui hoạch phi
tuyến, thường dùng để mô hình hoá các bài toán thực tế với một hay nhiều
mục tiêu (chẳng hạn lợi nhuận / chi phí, sản phẩm / số lao động, v.v ...) và
được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau của kỹ thuật, kinh tế,
tài chính, v.v ... Một trong những bài toán qui hoạch phân thức sớm nhất là
mô hình cân bằng kinh tế do Von Neumann nêu ra năm 1973 (xem [5]).
Charnes và Cooper [7] năm 1962 đã chỉ ra rằng qui hoạch phân tuyến
tính có thể biến đổi tương đương về qui hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến
phi tuyến, gọi là phép biến đổi Charnes - Cooper. Về sau, phép biến đổi này
được nhiều tác giả vận dụng và mở rộng. Nói riêng, các tác giả [4], [5] và
[6] đã sử dụng nó để đưa ra thuật toán giải các dạng qui hoạch phân tuyến
tính mở rộng như: qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi, qui
hoạch phân thức giá trị tuyệt đối, qui hoạch tích các phân thức tuyến tính,
v.v ... Các thuật toán này đáng được chú ý tham khảo.
Sau khi học được các chuyên đề về giải tích lồi, tối ưu hóa và các kiến
thức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã
học, các kiến thức mở rộng và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi


3
chọn đề tài luận văn: "Một số thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính dựa
trên phép biến đổi Charnes - Cooper".
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày về bài toán qui
hoạch phân tuyến tính và một số bài toán mở rộng, phép biến đổi Charnes
- Cooper đưa br qui hoạch phân tuyến tính về bài toán qui hoạch tuyến tính
tương đương và giới thiệu các thuật toán dựa trên phép biến đổi này để giải
một số bài toán qui hoạch phân tuyến tính mở rộng. Cụ thể là bài toán qui
hoạch phân tuyến tính với các hệ số mục tiêu thay đổi và bài toán qui hoạch

phân tuyến tính với giá trị tuyệt đối.
Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [2] - [4] và
[6].
Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Chương 1: Chương 1 “Phép biến đổi Charnes - Cooper” nhắc lại kiến
thức về tập lồi đa diện và các tính chất đặc trưng của tập này; nhắc lại khái
niệm hàm afin và các tính chất đáng chú ý của hàm afin, giới thiệu bài toán
qui hoạch phân tuyến tính và cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa bài toán
phân tuyến tính về bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương. Cuối chương,
nêu thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính và đưa ra hai ví dụ minh họa
cho hai tình huống tiêu biểu thường gặp của bài toán: Có nghiệm tối ưu hữu
hạn và có nghiệm tối ưu tiệm cận với infimum hữu hạn đối với hàm mục tiêu
của bài toán.
Chương 2: Chương 2 "Bài toán qui hoạch phân thức với các hệ số mục
tiêu thay đổi" trình bày một mở rộng cách tiếp cận đưa ra trong [4] tìm
nghiệm tối ưu cho bài toán qui hoạch phân tuyến với các hệ số mục tiêu thay
đổi trong một khoảng. Thuật toán giải dùng phép biến đổi Charnes - Cooper
và đưa bài toán về một qui hoạch tuyến tính với nhiều hơn một biến và hai
ràng buộc so với bài toán ban đầu. Cuối chương dẫn ra các ví dụ số minh


4
hoạ cho thuật toán giải trình bày.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn
có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý
kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.
Trần Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả
chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ

Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả
học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 01 năm 2016
Học viên
Đinh Văn Dũng


5

Chương 1

Phép biến đổi Charnes - Cooper
Chương này nhắc lại một số kiến thức cần thiết về tập lồi đa diện và các
tính chất đáng chú ý của hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính
afin), giới thiệu bài toán qui hoạch phân tuyến tính và phép biến đổi Charnes
- Cooper đưa bài toán qui hoạch phân tuyến tính về bài toán qui hoạch tuyến
tính. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2],
[3] và [6].

1.1

Tập lồi đa diện

Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay gặp
trong lý thuyết tối ưu tuyến tính.
Định nghĩa 1.1. Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa không
gian đóng gọi là một tập lồi đa diện. Nói cách khác, đó là tập nghiệm của
một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, . . . , m,
nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với

a = (aij ∈ Rm×n ), b = (b1 , . . . , bm )T .

(1.1)


6
Nhận xét 1.1. Do một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương
bằng hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn)
phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện:
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi , i = 1, 2, . . . , k,
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , i = k + 1, . . . , m,
Một tập lồi đa diện có thể bị chặn hoặc không bị chặn (không giới nội).
Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi. Các đa giác lồi
theo nghĩa thông thường trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông,
hình tròn, v.v ...) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi trong R2 .
Cho D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính
(1.1). Sau đây để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng nào (tức
là a, b ∈ D sao cho λa + (1 − λ)b ∈ D với mọi λ ∈ R).
Hai yếu tố chính cấu tạo nên tập lồi đa diện D là các đỉnh và các cạnh vô
hạn của D. Theo giải tích lồi [1, Hệ quả 2.6], có thể hiểu các khái niệm này
như sau.
Định nghĩa 1.2. Điểm x0 ∈ D được gọi là một đỉnh của D nếu
rank {ai : ai , x0 = bi } = n (với ai = (ai1 , . . . , ain ), i = 1, . . . , m).
Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D là một đỉnh của D nếu x1 , x2 ∈ D,
x1 = x0 hoặc x2 = x0 , và λ ∈ (0, 1) sao cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2 , nói
một cách khác: x0 không thể là điểm nằm ở trong một đoạn thẳng nào đó
nối hai điểm thuộc D.
Định nghĩa 1.3. Đoạn thẳng [x1 , x2 ], x1 = x2 , được gọi là một cạnh hữu
hạn của D nếu x1 , x2 là các đỉnh của D và
rank {ai : ai , x1 = ai , x2 = bi } = n − 1.

7
Định nghĩa 1.4. Tia Γ = {x0 +λd : λ ≥ 0} ⊆ D, trong đó x0 ∈ D, d ∈ Rn ,
được gọi là một cạnh vô hạn của D nếu
rank {ai : ai , x = bi , ∀x ∈ Γ} = n − 1.
Để hiểu rõ hơn về tập lồi đa diện ta cũng cần biết một số khái niệm sau
đây.
Định nghĩa 1.5. Véctơ d ∈ Rn , d = 0, được gọi là một hướng lùi xa của D
nếu ∃x ∈ D sao cho {x + λd : λ ≥ 0} ⊆ D. Tập hợp các hướng lùi xa của
D cộng với gốc 0 tạo thành một nón lồi đóng, gọi là nón lùi xa của D, ký
hiệu rec D.
Định nghĩa 1.6. Hướng lùi xa d của D được gọi là một hướng cực biên
nếu không tồn tại hai hướng lùi xa khác d1 , d2 sao cho d = λd1 + λ2 d2 với
λ1 , λ2 > 0.
Có thể chứng minh được rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉ
khi rec D = {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất một hướng lùi xa.

Hình 1.1: Đỉnh, cạnh vô hạn của tập lồi đa diện
Trong các bài toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng
S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm },


8
tức S là tập nghiệm không âm của một hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến
tính.
Tập này không chứa đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên S có đỉnh [1, tr.
59]. Từ các định nghĩa nêu trên cho thấy:
a) Điểm x0 ∈ S là một đỉnh của S khi và chỉ khi hệ véctơ
{ak : ak , x0 = bk } ∪ {ek : x0k = 0}

có hạng bằng n.
b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) của S là các nghiệm cơ sở của hệ
Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, trong đó eT = (1, . . . , 1).
c) Giả sử tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0}, trong đó x0 là một đỉnh và d là một
hướng cực biên của S. Khi đó Γ là một cạnh vô hạn của S khi và chỉ khi
rank ({ak : ak , x = bk , ∀x ∈ Γ} ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − 1.

1.2

Hàm phân thức afin

Hàm phân thức afin thường gặp trong các bài toán tối ưu. Hàm này có
dạng
f (x) =

p(x) pT x + α
= T
,
q(x)
q x+β

trong đó p, q ∈ Rn , α, β ∈ R và dom f = {x ∈ Rn : q T x + β > 0}.
Ký hiệu S là tập lồi sao cho q(x) = q T x + β = 0 với mọi x ∈ S. Nếu
q(x) có dấu khác nhau trên S, tức là có x, y ∈ S sao cho q T x + β > 0 và
q T y + β < 0 thì do hàm q(x) liên tục nên tồn tại z ∈ [x, y], tức z ∈ S, sao
cho q(z) = 0. Vì thế, không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết q(x) > 0 với
mọi x ∈ S. Trường hợp q(x) < 0 với mọi x ∈ S thì nhân cả tử số p(x) và


9

mẫu số q(x) của hàm f (x) với (- 1) sẽ có q(x) > 0 với mọi x ∈ S.
Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phân thức afin.
p(x)
là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng
q(x)
nằm trọn trong tập lồi S = {x : q T x + β > 0}.
Định lí 1.1. ([2, tr. 78]). f (x) =

Chứng minh. Lấy hai điểm tùy ý a, b ∈ S và tính giá trị hàm f tại điểm x
bất kỳ trên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa + (1 − λ)b với 0 ≤ λ ≤ 1.
Ta thấy
f (x) =

p[λa + (1 − λ)b] λp(a) + (1 − λ)p(b)
=
.
q[λa + (1 − λ)b]
λq(a) + (1 − λ)q(b)

Đạo hàm của f theo λ:
p(a) p(b)
df (x)
q(a)q(b) − p(b)q(a)
1
=
= 2
×
.
2 (x)
dλ

q (x)
q
q(a) q(b)
Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b) − p(b)q(a)]. Vì
thế, khi λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f (x) hoặc tăng hoặc giảm hoặc
đồng nhất bằng hằng số trên [a, b].
Ta nhắc lại rằng hàm khả vi f : Rn → R được gọi là giả lồi nếu với mọi
x, y ∈ S ta có ∇f (x)T (y − x) ≥ 0 kéo theo f (y) ≥ f (x), nghĩa là nếu
f (y) < f (x) thì ∇f (x)T (y − x) < 0. Hàm f được gọi là giả lõm nếu −f là
giả lồi.
Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phân thức afin.
(pT x + α)
và S là tập lồi sao cho
Định lí 1.2. ([3, tr. 703]). Giả sử f (x) = T
(q x + β)
(q T x + β) = 0 trên S. Khi đó, hàm f (x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S.
Chứng minh. Ta để ý rằng hoặc q T x + β > 0 với mọi x ∈ S hoặc
q T x + β < 0 với mọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có a ∈ S, b ∈ S sao cho
q T a + β > 0 và q T b + β < 0, do đó sẽ có q T z + β = 0 với z là một tổ hợp


10
lồi của a và b, trái với giả thiết định lý.
Trước hết ta chứng minh f giả lồi. Thật vậy, giả sử x, y ∈ S thỏa mãn
∇f (x)T (y − x) ≥ 0. Ta cần chỉ rõ f (y) ≥ f (x). Ta có
∇f (x) =

(q T x + β)p − (pT x + α)q
.
(q T x + β)2

Do ∇f (x)T (y − x) ≥ 0 và do (q T x + β)2 > 0 nên
0 ≤ [(q T x + β)p − (pT x + α)q]T (y − x)
= (pT y + α)(q T x + β) − (q T y + β)(pT x + α)
Vì thế, (pT y + α)(q T x + β) ≥ (q T y + β)(pT x + α). Nhưng do (q T x + β)
và (q T y + β) cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho
(q T x + β)(q T y + β) > 0
ta nhận được
pT y + α
pT x + α
≥ T
, tức là f (y) ≥ f (x).
qT y + β
q y+β
Vì thế, f giả lồi. Tương tự, có thể chứng minh được rằng
∇f (x)T (y − x) ≤ 0 kéo theo f (y) ≤ f (x).
Vì thế, f giả lõm và định lý được chứng minh.

1.3

Bài toán qui hoạch phân tuyến tính

Một cách tổng quát có thể phát biểu bài toán như sau. Cho tập lồi C ⊆ Rn
và các hàm f, g, hj : Rn → R (j = 1, . . . , m). Xét bài toán tối ưu với hàm
mục tiêu phân thức (tỉ số của hai hàm số), ký hiệu bài toán (FP)
(FP)

f (x)
,
x∈S g(x)

inf


11
trong đó S = {x ∈ C : hj (x) ≤ 0, j = 1, . . . , m}. Ta phân biệt các loại bài
toán sau:
• Khi f, g và hj là các hàm tuyến tính afin thì (FP) gọi là bài toán
qui hoạch phân tuyến tính.
• Khi f và g là các hàm toàn phương và hj là các hàm tuyến tính afin thì
(FP) gọi là bài toán qui hoạch phân thức toàn phương.
• Khi f ≥ 0 là hàm lồi, g > 0 là hàm lõm và hj là các hàm lồi thì (FP)
gọi là bài toán qui hoạch phân thức lồi.
Trong bài toán (FP) chỉ xét một hàm phân thức. Tuy nhiên, trong nhiều
ứng dụng ta còn có thể xét nhiều hàm phân thức. Chẳng hạn,
• Qui hoạch phân thức suy rộng:
λ∗ = min max

x∈S 1≤i≤k

fi (x)
(gi > 0 ∀i).
gi (x)

• Qui hoạch tổng các hàm phân thức:
k
∗

λ = min
x∈S

i=1

fi (x)
(gi > 0 ∀i).
gi (x)

• Qui hoạch phân thức đa mục tiêu:
λ∗ = min
x∈S

f1 (x)
fk (x)
,...,
(gi > 0 ∀i).
g1 (x)
gk (x)

Luận văn này chủ yếu tập trung xét bài toán qui hoạch phân tuyến tính:
(LFP)

min {f (x) =

p(x) pT x + α
= T
:Ax ≤ b, x ≥ 0,
q(x)
q x+β

(1.2)

q T x + β > 0},
trong đó p, q ∈ Rn , α, β ∈ R, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm . Trong nhiều ứng dụng
thường tập ràng buộc S = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0, x ≥ 0} kéo theo q T x+β > 0.


12
Tương tự, có thể xét bài toán tìm cực đại: max {f (x) : x ∈ S}.
Như vậy, qui hoạch phân tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại)
của một hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin) trên một tập
lồi đa diện (xác định bởi một hệ phương trình hay bất phương trình tuyến
tính).
Qui hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của qui hoạch phân tuyến
tính khi q = 0 và β = 1. Trong [2] phân tích một số trường hợp riêng khác
cho phép đưa bài toán qui hoạch phân tuyến tính về bài toán tuyến tính thích
hợp.
Bây giờ trong bài toán (1.2) ta giả thiết q(x) ≡ q T x + β = 0 với mọi
x ∈ S. Nếu q(x) có dấu khác nhau, tức có x1 , x2 ∈ S sao cho q T x1 + β > 0
và q T x2 + β < 0 thì do hàm q(x) liên tục nên tồn tại x ∈ [x1 , x2 ], tức x ∈ S,
sao cho q(x) = 0, trái với giả thiết. Vì thế, không mất tổng quát, ta có thể
giả thiết q(x) > 0 với mọi x ∈ S (trường hợp q(x) < 0, nhân cả tử số p(x)
và mẫu số q(x) của hàm mục tiêu f (x) với (- 1), sẽ có q(x) > 0). Hơn nữa,
ta giả thiết m ≤ n và rank A = m.
Sau đây là một số khái niệm và định nghĩa cần thiết, tương tự như trong
lý thuyết qui hoạch tuyến tính.
Trong bài toán (LFP), f (x) gọi là hàm mục tiêu. Tập S gọi là tập ràng
buộc hay miền chấp nhận được. Véctơ x ∈ S gọi là một phương án hay
nghiệm chấp nhận được, một phương án mà đồng thời là đỉnh của tập ràng
buộc S gọi là một phương án cực biên hay nghiệm cơ sở. Phương án đạt giá
trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu f (x) gọi là một phương án tối ưu hay nghiệm
tối ưu.

Ta nói bài toán (1.2) là bất khả thi hay không chấp nhận được nếu tập
S = ∅, bài toán gọi là giải được nếu tập S = ∅ và hàm f (x) có infimum
hữu hạn (đối với bài toán min) trên S. Nếu hàm mục tiêu f (x) không bị chặn


13
dưới trên S thì bài toán được gọi là không bị chặn dưới (inf f (x) = −∞).
x∈S

Với bài toán qui hoạch phân tuyến tính, có thể xảy ra các trường hợp sau:
a) Tập ràng buộc S = ∅ (bài toán bất khả thi).
b) Nghiệm tối ưu duy nhất (đạt tại một đỉnh của S).
c) Vô số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt tại một diện bị chặn của S).
d) Có nghiệm tối ưu hữu hạn và vô cực (đạt tại một diện vô hạn của S).
e) Nghiệm tối ưu tiệm cận (f ∗ = inf f (x) > −∞ và
x∈S

∗

∗

∗

x ∈ S : f (x ) = f ).
f) Không có nghiệm tối ưu (inf f (x) = −∞ - bài toán không bị chặn dưới).
x∈S

1.4

Cách tiếp cận Charnes - Cooper

A. Charnes và W. Cooper (1962) đã chỉ ra rằng bài toán qui hoạch phân
tuyến tính với tập ràng buộc khác rỗng có thể đưa được về bài toán qui hoạch
tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi là biến đổi Charnes - Cooper.
Ta nhắc lại, bài toán qui hoạch phân tuyến tính có dạng:
(LFP)

min

pT x + α
f (x) = T
: Ax ≤ b, x ≥ 0 ,
q x+β

trong đó p, q là các véctơ trong Rn , α, β là các số thực, A là ma trận cấp
m × n, b là véctơ trong Rm (p, q, α, β, A, b cho trước), x ∈ Rn là véctơ biến
cần tìm.
Ký hiệu S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}. Ta giả thiết tập S = ∅.
Nhận xét 1.2. Bài toán sẽ không có nghĩa (không xác định) nếu
∃x0 ∈ S, q T x0 + β = 0.


14
Do S là tập lồi và q T x + β là hàm liên tục nên nếu
∃x1 , x2 ∈ S với q T x1 + β > 0 và q T x2 + β < 0
thì sẽ tìm được x0 ∈ [x1 , x2 ] ⊆ S sao cho q T x0 + β = 0.
Vì thế để bài toán được hoàn toàn xác định ta phải có
hoặc q T x + β > 0 ∀x ∈ S hoặc q T x + β < 0 ∀x ∈ S.
Có thể kiểm tra điều này bằng cách giải qui hoạch tuyến tính
qmin := min {q T x + β : x ∈ S} hoặc qmax := max {q T x + β : x ∈ S}.

(qmin > 0 ⇒ q T x + β > 0 ∀x ∈ S hoặc qmax < 0 ⇒ q T x + β < 0 ∀x ∈ S).
Không giảm tổng quát, từ đây về sau ta luôn giả thiết q T x + β > 0
∀x ∈ S (nếu cần, có thể đổi dấu tử số và mẫu số của hàm f (x)).

1.4.1

Phép biến đổi Charnes - Cooper

Dùng phép đổi biến số
T =

1
> 0, y = tx ∈ Rn , ∀x ∈ S
T
q x+β

và nhân ràng buộc Ax ≤ b với t > 0, ta đưa bài toán (LFP) về bài toán tuyến
tính
(LP) min {g(y, t) ≡ pT y + αt : Ay − bt ≤ 0, q T y + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0}.
So với (LFP), bài toán (LP) có thêm một biến và một ràng buộc mới.
Giữa hai bài toán (LFP) và (LP) có mối quan hệ được nêu ra trong các mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.1. Với các ký hiệu trên, ta có các kết luận sau đây:
a) Nếu x0 là một nghiệm chấp nhận được của (LFP) thì (y 0 , t0 ) là một


15
nghiệm chấp nhận được của (LP) với
1

t0 =

q T x0

+β

, y 0 = x 0 t0

và g(y 0 , t0 ) = pT y 0 + αt0 = t0 (pT x0 + α) = f (x0 ).
y0
b) Nếu (y , t ) là nghiệm chấp nhận được của (LP) và t > 0 thì x = 0
t
là nghiệm chấp nhận được của (LFP) và
0

0

0

0

f (x0 ) = t0 (pT x0 + α) = pT y 0 + αt0 = g(y 0 , t0 ).
Chứng minh. a) Do x0 thỏa mãn Ax0 ≤ b, x0 ≥ 0 và t0 =

1

>0
(q T x0 + β)
nên y 0 = x0 t0 sẽ thỏa mãn y 0 ≥ 0, Ay 0 − bt0 ≤ 0 và q T y 0 + βt0 = 1, nghĩa

là (y 0 , t0 ) là một nghiệm chấp nhận được của (LP). Hơn nữa, ta có hệ thức
g(y 0 , t0 ) = pT y 0 + αt0 = t0 (pT x0 + α) = f (x0 ).
y0
b) Từ Ay − bt ≤ 0, y ≥ 0 và t > 0 suy ra x = 0 thỏa mãn
t
Ax0 ≤ b, x0 ≥ 0, tức x0 là một nghiệm chấp nhận được của (LFP). Hơn
0

0

0

0

0

nữa, từ q T y 0 + βt0 = 1 ta có t0 (q T x0 + β) = 1 và
(pT x0 + α)
f (x ) = T 0
= t0 (pT x0 + α) = pT y 0 + αt0 = g(y 0 , t0 ).
(q x + β)
0

y∗
Mệnh đề 1.2. a) Nếu (y , t ) là nghiệm tối ưu của (LP) và t > 0 thì x = ∗
t
là nghiệm tối ưu của (LFP).
∗

∗

∗

∗

b) Giả sử (LFP) chấp nhận được. Khi đó, (LP) không bị chặn dưới khi và chỉ
khi (LFP) không bị chặn dưới.
Chứng minh. a) Do (y ∗ , t∗ ) là một nghiệm chấp nhận được của (LP) và
y∗
∗
∗
t > 0 nên theo kết luận b) của Mệnh đề 1.1, x = ∗ là một nghiệm chấp
t
∗
nhận được của (LFP). Ta chứng minh x là nghiệm tối ưu của (LFP).


16
Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ S, tức Ax ≤ b, x ≥ 0. Do giả thiết q T x + β > 0
x
1
nên (y, t) với y = T
,t= T
sẽ là một nghiệm chấp nhận
(q x + β)
(q x + β)
được của (LP). Mặt khác, (y ∗ , t∗ ) là nghiệm tối ưu của (LP) nên
pT y ∗ + αt∗ ≤ pT y + αt.
Bằng cách thay y ∗ = x∗ t∗ , y =

1
x
và
t
=
ta thấy
(q T x + β)
(q T x + β)

t∗ (pT x∗ + α) ≤

(pT x + α)
(q T x + α)

Chia vế trái bất đẳng thức trên cho q T x∗ + βt∗ = t∗ (q T x∗ + β) = 1 ta
được

pT x∗ + α
pT x + α
f (x ) = T ∗
≤ f (x) = T
q x +β
q x+β
∗

Chứng tỏ x∗ là nghiệm tối ưu của (LFP).
Nếu hàm mục tiêu của (LP) không bị chặn dưới thì tồn tại (y 0 , t0 ) sao
cho
Ay 0 − bt0 ≤ 0, q T y 0 + βt0 = 0, pT y 0 + αt0 < 0, y 0 ≥ 0, t0 ≥ 0. (1.3)
y0

ta sẽ có Ax0 ≤ b,
0
t
0
T 0
x ≥ 0, q x + β = 0. Điều này trái với giả thiết không tồn tại x0 ∈ S như
Từ đó suy ra t0 = 0, vì nếu t0 > 0 thì đặt x0 =

thế. Do đó, (1.3) tương đương với các hệ thức:
Ay 0 ≤ 0, y 0 ≥ 0, q T y 0 = 0, pT y 0 < 0,
Giả sử x0 là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của (LFP). Xét
x(θ) = x0 + θy 0 ,
ta thấy x(θ) là nghiệm chấp nhận được của (LFP) với mọi θ ≥ 0 và
pT x(θ) + α pT x0 + α + θpT y 0
f (x(θ)) = T
=
→ −∞ khi θ → +∞,
q x(θ) + β
q T x0 + β


17
nghĩa là (LFP) không bị chặn dưới.
Ngược lại, nếu hàm mục tiêu của (LFP) không bị chặn dưới thì
pT x(θ) + α
< − θ.
∀θ > 0, ∃x(θ) sao cho Ax(θ) ≤ b, x(θ) ≥ 0 và T
q x(θ) + β
Xét dãy (y(θ), t(θ)), trong đó t(θ) =

1

và y(θ) = x(θ)t(θ).
+β
Mỗi phần tử thuộc dãy này là một nghiệm chấp nhận được của (LP) và
(q T x(θ)

pT x(θ) + α
p y(θ) + αt(θ) = T
< − θ.
q x(θ) + β
T

Vì thế, hàm mục tiêu của (LP) cũng không bị chặn dưới.
Mệnh đề 1.3. Nếu (LFP) có nghiệm chấp nhận được, (LP) có nghiệm tối
ưu và mọi nghiệm tối ưu đều có t = 0 thì giá trị mục tiêu của (LFP) có
infimum (cận dưới đúng) hữu hạn, nhưng infimum đó không đạt tới được.
Đó là trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận. Trong trường hợp này,
có thể tạo ra các nghiệm ε - tối ưu với bất kỳ ε > 0, nghĩa là trong S tồn tại
một cạnh vô hạn mà dọc theo cạnh đó giá trị mục tiêu của (LFP) tiến dần về
cận dưới đúng nói trên.
Chứng minh. Do (LFP) chấp nhận được và (LP) có nghiệm tối ưu nên theo
kết luận ở phần b) của Mệnh đề 1.2, (LFP) không thể là bài toán không bị
chặn (tức là phải có inf f (x) > −∞). Nếu (LFP) có nghiệm tối ưu x∗ thì
x∈S
1
t∗ = T ∗
, y ∗ = x∗ t∗ là một nghiệm tối ưu của (LP) với t∗ > 0,
(q x + β)
điều này trái với giả thiết. Do vậy (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận và giá trị

mục tiêu của (LFP) có infimum hữu hạn, ký hiệu là w∗ , và (LFP) không có
nghiệm chấp nhận được nào có giá trị mục tiêu bằng w∗ .
Bây giờ giả sử (y ∗ , 0) là một nghiệm tối ưu của (LP). Khi đó
Ay ∗ ≤ 0, q T y ∗ = 1, y ∗ ≥ 0.


18
Ta sẽ chứng minh pT y ∗ = w∗ . Thật vậy, trước hết ta chỉ ra
(i) pT y ∗ ≤ w∗ : Giả sử xk là một nghiệm εk - tối ưu của (LFP) với
p T xk + α
≤ w k + εk .
f (x ) = T k
q x +β
k

Theo kết luận a) của Mệnh đề 1.1 thì (y k , tk ) với tk =

1
(q T xk

+ β)

và

y k = xk tk là một nghiệm chấp nhận được đối với (LP) và
pT x k + α
g(y , t ) = p y + αt = T k
≤ wk + εk .
q x +β
k

k

T k

k

Do bất đẳng thức trên đúng với mọi εk > 0 nên cho k → ∞ ta thấy (i)
đúng.
(ii) Bây giờ ta chỉ ra pT y ∗ ≥ w∗ : Giả sử trái lại pT y ∗ < w∗ . Xét
x(θ) = x0 + θy ∗ với θ ≥ 0 và x0 ∈ S. Kiểm tra cho thấy x(θ) ∈ S với mọi
θ ≥ 0 và
f (x(θ)) =

pT (x0 + θy ∗ ) + α pT x0 + α + θpT y ∗
=
→ pT y ∗ khi θ → ∞.
T
0
∗
T
0
q (x + θy ) + β
q x +β+θ

và θ có thể chọn sao cho giá trị này nhỏ hơn w∗ . Nhưng điều này sẽ dẫn tới
mâu thuẫn. Vì thế (ii) đúng và điều khẳng định được chứng minh
(pT y ∗ = w∗ ).
Nghiệm ε - tối ưu đã nói trước đây của (LFP được sinh ra bằng cách chọn
giá trị θ đủ lớn thích hợp trong x(θ) = x0 + θy ∗ .

Mệnh đề 1.4. Nếu S = ∅ và q T x + β = 0 với mọi x ∈ S thì (LP) không có
nghiệm chấp nhận được (bài toán (LP) là bất khả thi).
Chứng minh. Theo kết luận b) của Mệnh đề 1.1, nếu (LP) có nghiệm chấp
y
nhận được (y, t) với t > 0 thì x =
∈ S và từ q T y + βt = 1 suy ra
t
1
q T x + β = = 0, trái với giả thiết của mệnh đề. Còn nếu (LP) có nghiệm
t
chấp nhận được (y, 0) thì Ay ≤ 0, y ≥ 0 và q T y = 1. Khi đó, lấy bất


19
kỳ x0 ∈ S sẽ có A(x0 + y) ≤ b, x0 + y ≥ 0, tức là x0 + y ∈ S và
q T (x0 +y)+β = q T y = 1 > 0, mâu thuẫn với giả thiết q T x+β = 0 ∀x ∈ S.
Vậy (LP) là bất khả thi.
Một vài mối liên hệ rất cơ bản giữa các tập ràng buộc của (LFP) và (LP)
được trình bày tóm tắt trong các định lý sau.
Định lí 1.3. Các đỉnh của tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} tương
ứng một - một với các đỉnh của tập lồi đa diện
T ≡ {(y, t) : Ay − bt ≤ 0, q T y + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0} với t > 0. (Ta giả
thiết q T x + β > 0 ∀x ∈ S).
Chứng minh. Giả sử x0 là một đỉnh của tập lồi đa diện S. Đặt t0 =

1

(q T x0 + β)
và y 0 = x0 t0 . Theo kết luận a) của Mệnh đề 1.1, (y 0 , t0 ) ∈ T . Giả sử (y 0 , t0 )
không là một đỉnh của T . Khi đó, (y 0 , t0 ) = γ(y 1 , t1 ) + (1 − γ)(y 2 , t2 ) với

hai điểm nào đó (y i , ti ) ∈ T , i = 1, 2 và số γ ∈ [0, 1]. Do t0 > 0 nên ít nhất
t1 hoặc t2 phải dương. Xét hai trường hợp:
yi
(i) t1 > 0, t2 > 0: Đặt xi = i , i = 1, 2. Khi đó
t
γt1
(1 − γ)t2
1
x = 1
x + 1
x2 .
2
2
γt + (1 − γ)t
γt + (1 − γ)t
0

Điều này trái với giả thiết x0 là đỉnh của tập lồi đa diện S.
y2
(ii) t1 = 0, t2 > 0: Đặt x2 = 2 . Khi đó
t
(1 − γ)x2 t2 + γy 1
γ
2
x =
=
x
+
y1

2
2
(1 − γ)t
(1 − γ)t
1
γ
1
3γ
1
2
=
x2 +
y
+
x
+
y1 .
2
2
2
2(1 − γ)t
2
2(1 − γ)t
0

Điều này lại mâu thuẫn với giả thiết x0 là đỉnh của tập lồi đa diện S. Do
đó, một đỉnh của S tương ứng với một đỉnh của tập lồi đa diện T .
Để chỉ ra điều ngược lại, ta giả sử rằng (y 0 , t0 ) là một đỉnh của tập lồi đa

20
y0
diện T với t > 0. Khi đó, x = 0 là một đỉnh của tập lồi đa diện S. Thật
t
vậy, nếu không phải như vậy thì tìm được x1 , x2 ∈ S và số λ ∈ [0, 1[ sao cho
1
x0 = λx1 + (1 − β)x2 . Đặt ti = T i
> 0 và y i = ti xi với i = 1, 2.
(q x + β)
Khi đó
(1−λ) 2 2
λ
1 1
0 0
t1 (y , t ) + t2 (y , t )
(y , t ) =
,
(1−λ)
λ
+
t1
t2
0

0

trái với giả thiết (y 0 , t0 ) là đỉnh của tập lồi đa diện T . Vì thế x0 là một đỉnh
của tập lồi đa diện S.
Định lí 1.4. Các đỉnh của tập lồi đa diện T với t = 0 tương ứng một - một
với các cạnh vô hạn Γ của tập lồi đa diện S với q T d > 0, trong đó d là véctơ

chỉ phương của cạnh Γ.
Chứng minh. Giả sử (y, 0) là một đỉnh của tập lồi đa diện T . Rõ ràng,
y
q T y = 1, do dó y = 0 và eT y > 0 (eT = (1, . . . , 1) ∈ Rn ). Đặt d = T .
e y
[Ay ≤ 0, y ≥ 0, q T y = 1, (y, 0) là đỉnh của T
⇒ [Ad ≤ 0, d ≥ 0, q T d > 0, eT d = 1],
d là một đỉnh của tập lồi đa diện, xác định bởi hệ bất đẳng thức này và do đó
d là véctơ chỉ phương của một cạnh vô hạn của tập lồi đa diện S.
Một cạnh vô hạn của S tương ứng với một đỉnh của tập lồi đa diện
S ≡ {x : Ax ≤ 0, x ≥ 0, eT x = 1}.
Nếu q T x > 0 thì y =
và q T y = 1 > 0.

x
sẽ là một đỉnh của tập lồi đa diện T với t = 0
qT x

Định lí 1.5. Mỗi cạnh vô hạn của tập lồi đa diện T tương ứng với một cạnh
vô hạn Γ của tập lồi đa diện S với q T d = 0, trong đó d là véctơ chỉ phương
của cạnh Γ.


21
Chứng minh. Giả sử (y 0 , t0 ) là véctơ chỉ phương của một cạnh vô hạn của
tập lồi đa diện T . Khi đó Ay 0 − bt0 ≤ 0, q T y 0 + βt0 = 0, y 0 ≥ 0, t0 ≥ 0 và
y0
0 0
0
0

(y , t ) = 0. Nếu t > 0 thì x = 0 sẽ thỏa mãn Ax0 ≤ b, x0 ≥ 0, nghĩa
t
0
T 0
là x ∈ S và q x + β = 0, trái với giả thiết q T x + β > 0, ∀x ∈ S. Vì thế,
t0 = 0 và do đó y 0 = 0.

y0
Nếu bây giờ đặt d = T 0 (eT = (1, . . . , 1) ∈ Rn ) thì q T d = 0. Ta cũng
e y
T
có d ≥ 0, Ad ≤ 0, e d = 1, Có thể chỉ ra ràng d là một đỉnh của tập này và
do đó là véctơ chỉ phương của một cạnh vô hạn của tập lồi đa diện S.
Các định lý này và cách chứng minh của chúng cũng áp dụng được vào
cặp ràng buộc
{x : Ax = b, x ≥ 0} và {(y, t) : Ay − bt = 0, y ≥ 0, t ≥ 0}.

1.4.2

Thuật toán giải (LFP)

Dựa vào phép biến đổi Charnes - Cooper trình bày ở trên, ta có thể giải
bài toán qui hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách lập và giải bài toán qui
hoạch tuyến tính (LP) tương ứng.
Kết quả giải (LP) cho ra một trong các trường hợp sau:
a) (LP) bất khả thi ⇒ (LFP) không xác định hoặc S = ∅ (Mệnh đề 1.4).
b) (LP) có nghiệm tối ưu (y ∗ , t∗ ) với t∗ > 0 ⇒ (LFP) có nghiệm tối ưu
x∗ = y ∗ /t∗ (Phần a) Mệnh đề 1.2).
c) Mọi nghiệm tối ưu (y ∗ , t∗ ) của (LP) đều có t∗ = 0 ⇒ (LFP) có nghiệm
tối ưu tiệm cận (Mệnh đề 1.3).

d) (LP) không bị chặn dưới ⇒ (LFP) không bị chặn dưới hoặc S = ∅ (Phần
b) Mệnh đề 1.2).


22

1.4.3

Ví dụ minh họa

Để minh họa thuật toán giải (LFP) dựa trên phép biến đổi Charnes Cooper ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 1.1. Giải qui hoạch phân tuyến tính
f (x) =

p(x) 6x1 + 3x2 + 6
=
→ min
q(x) 5x1 + 2x2 + 5

với các điều kiện
−3x1 + x2 ≤ 2,
2x1 − x2 ≤ 8,
x1 + 4x2 ≥ 4,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Có thể thấy rằng mẫu số q(x) = 5x1 + 2x2 + 5 > 0 trên toàn miền chấp
nhận được của bài toán (do có x1 ≥ 0, x2 ≥ 0). Ta giải bài toán này theo
phương pháp Charnes và Cooper. Bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương
có dạng
6y1 + 3y2 + 6t → min
với các điều kiện

−3y1 + y2 − 2t ≤ 0,
2y1 − y2 − 8t ≤ 0
y1 + 4y2 − 4t ≥ 0
5y1 + 2y2 + 5t = 1,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, t ≥ 0.
Có thể kiểm tra lại rằng y1 = 0, 16; y2 = 0; t = 0, 04 > 0 là một
nghiệm tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính trên. Do đó theo Mệnh
đề 1.2, phương án tối ưu của bài toán qui hoạch phân tuyến tính ban đầu


23
y2
y1
= 4, x2 =
= 0 và giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu là
t
t
= 1, 2.

là x1 =
fmin

Hình 1.2: Tập ràng buộc S của bài toán ở ví dụ 1.1

Ví dụ 1.2. Bài toán qui hoạch phân tuyến tính có nghiệm tối ưu tiệm cận:
f (x) =

2x1 − 3x2 + 5
→ min
4x1 + x2 + 3

với các điều kiện
x1 − 2x2 ≤ 4,
x1 + x2 ≥ 2,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.