Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------

NGUYỄN THỊ OANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI
TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ OANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. NGUYỄN THÀNH CHUNG
2. PGS. TS. HOÀNG QUỐC TOÀN

HÀ NỘI−2016


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

3
5

Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet của phiếm hàm
khả vi trong không gian Banach

. . . . . . . . . . . . . . . .

5

Không gian Sobolev và định lý nhúng . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Không gian H o¨lder

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Không gian Sobolev và định lý nhúng . . . . . . . . .

9

1.3

Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian Banach . . . . .

12

1.4

Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm khả vi trong không

1.2

gian Banach. Điều kiện Coercive của phiếm hàm . . . . . . .
1.5

1.6

Cực trị của phiếm hàm. Điều kiện tồn tại cực trị của phiếm
hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Điều kiện Palais - Smale và định lý qua núi . . . . . . . . . .

17

2 Ứng dụng trong phương trình vi phân
2.1

14

20

Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên đối với
phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Bài toán giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3

Áp dụng định lý qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

40
42

2


LỜI NÓI ĐẦU
Trước hết ta có một nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, một trong
những ứng dụng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm là khảo sát bài toán
cực trị. Mà bài toán cực trị thường xuất hiện khi nghiên cứu các lớp bài toán
quan trọng khác của toán học, trong đó bao gồm cả những mô hình toán học
của các bài toán vật lý và cơ học. Để thấy được mối liên hệ này, ta hãy lấy
một ví dụ đơn giản sau đây:
Ta xét phương trình f (x) = 0 trong khoảng I ⊂ R, trong đó f (x) là hàm
liên tục trong I. Để giải quyết bài toán này người ta có thể đưa về tìm cực
trị địa phương của một hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn
F (x) = f (x), x ∈ I.
Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương của một hàm khả vi F (x) như vậy
là một bài toán không tầm thường. Vì vậy để tìm nghiệm của phương trình
f (x) = 0 trong khoảng I người ta có thể tìm các điểm tới hạn của hàm F (x)
trong I, tức là các điểm x0 mà tại đó F (x0 ) = 0. Đây cũng chính là ý tưởng

của phương pháp biến phân.
Trong nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương
trình vi phân không tuyến tính thì phương pháp biến phân tỏ ra có hiệu quả
hơn cả.
Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phân
dựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong không
gian Banach, mà nội dung của nó là đưa bài toán đang xét về việc nghiên
cứu một phiếm hàm F khả vi liên tục theo một nghĩa nào đó trong không
3


gian Banach được chọn thích hợp (gọi là phiếm hàm năng lượng liên kết với
bài toán) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm F là nghiệm yếu của bài toán
đang xét. Một phương pháp thông thường để tìm điểm tới hạn của phiếm
hàm là tìm điểm cực tiểu của phiếm hàm đó. Tuy nhiên việc tìm điểm cực
tiểu của một phiếm hàm không hề đơn giản. Vì vậy, trong nhiều trường hợp
người ta quan tâm đến các điểm yên ngựa (không phải là điểm cực tiểu) của
các phiếm hàm năng lượng. Việc tìm các điểm yên ngựa của một phiếm hàm
được dựa vào các nguyên lý biến phân.
Mục đích của luận văn này là làm quen với một số vấn đề của giải tích
phi tuyến, cụ thể là phương pháp biến phân và ứng dụng để khảo sát sự tồn
tại nghiệm của một vài lớp phương trình vi phân thường không tuyến tính.
Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương:
Chương 1 Dành cho việc trình bày lại một số khái niệm, nội dung quan
trọng được sử dụng trong luận văn.
Chương 2 Trình bày ứng dụng của phương pháp giải tích phi tuyến vào
phương trình vi phân.
Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016
Nguyễn Thị Oanh

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trích dẫn các khái niệm, định lý và một số
kiến thức bổ trợ được sử dụng trong luận văn.

1.1

Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet
của phiếm hàm khả vi trong không gian
Banach

Mục tiêu chính của phần này là trình bày lại các khái niệm đạo hàm trong
không gian Banach và các tính chất quan trọng của chúng.
Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux). Giả sử X là không gian Banach,
x ∈ X, f : X → R (hoặc C) là một phiếm hàm xác định trên X. Ta nói f
khả vi Gâteaux tại điểm x nếu tồn tại ánh xạ δf (x) tuyến tính và liên tục
sao cho
f (x + th) − f (x)
= δf (x) h,
t→0
t
lim

∀h ∈ X.

Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ X khi đó ta nói f khả vi Gâteaux

5


trên tập X.
Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet). Cho X là không gian Banach, f là
phiếm hàm xác định trên X. Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả vi
Fréchet tại điểm u ∈ X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu
là f (u) ∈ X ∗ (X ∗ là không gian đối ngẫu của X) và được gọi là đạo hàm
Fréchet của f tại u sao cho
|f (u + v) − f (u) − f (u) v|
= 0.
v X
X →0

lim
v

Nếu ánh xạ u → f (u) là liên tục thì ta nói phiếm hàm f thuộc lớp C 1 (X, R).
Giả sử f là phiếm hàm khả vi Fréchet trong không gian Banach X thì
ánh xạ
f : X → X ∗,
là đạo hàm Fréchet của f .
Nếu f : X → R khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x. Nếu
f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục trong X thì f khả vi Fréchet và
f ∈ C 1 (X, R).
Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f (u) = 0 được gọi là điểm tới hạn,
ngược lại nếu f (u) = 0 thì u được gọi là điểm đều ( hay điểm chính quy)
của f . Số β ∈ R được gọi là giá trị tới hạn của f nếu tồn tại một điểm tới
hạn u ∈ X sao cho
f (u) = β, f (u) = 0.

1.2

Không gian Sobolev và định lý nhúng

Trong phần này ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất quan trọng của
không gian Lp (Ω), không gian H o¨lder , không gian Sobolev và định lý nhúng.

6


1.2.1

Không gian Lp

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω là tập con đo được của Rn , với p ∈ [1, +∞) ta
ký hiệu
Lp (Ω) =




p

f : Ω → R hoặcC , f đo được và



|f (x)| dx < +∞
Ω




.



Khi đó Lp (Ω) là không gian Banach với chuẩn
1/
p
p
|f (x)| dx , f ∈ Lp (Ω) .


f

p

= f

Lp (Ω)

=
Ω

Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức H o¨lder)(Xem [3] Bổ đề 1.9) Giả sử f ∈
Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) với

1

p

+

1
q

= 1 và p, q ∈ [1, +∞) . Khi đó
f.g

1

≤ f

p.

g q.

Ta nói rằng hàm đo được f bị chặn thực sự trên Ω nếu tồn tại hằng số
c > 0 sao cho
|f (x)| ≤ c

hầu khắp nơi x ∈ Ω.

Hằng số c nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức này thỏa mãn được ký hiệu là
f

∞.

Ký hiệu L∞ (Ω) là tập hợp các hàm bị chặn thực sự trên Ω, là không gian

Banach xác định với chuẩn f
f

∞

∞.

= essinf {c : µ {x ∈ Ω : |f (x)| > c} = 0} ,

trong đó µ là độ đo Lebesgue.
Định nghĩa 1.2.2. Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa
L1loc (Ω) = {f : f ∈ Lp (K) , ∀K ⊂⊂ Ω} .
Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa là K là tập compact trong Ω.
7


• Nếu Ω là tập hợp mở trong Rn và p ∈ [1, +∞) thì

Nhận xét 1.2.1.

C0∞ (Ω) trù mật trong Lp (Ω).
• Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue của Ω) và
1 ≤ q < p ≤ ∞ thì không gian Lp (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω), được
kí hiệu là Lp (Ω) → Lq (Ω) và ta có
f
Mệnh đề 1.2.1.

1

q

≤ (meas(Ω)) p

− q1

. f

p , ∀f

∈ Lp (Ω) .

• Giả sử dãy {fn } hội tụ đến f trong Lp (Ω). Khi đó

tồn tại dãy con {fnk } hội tụ đến f hầu khắp nơi và tồn tại g(x) ∈
Lp (Ω), g(x) ≥ 0 sao cho
|fnk (x)| ≤ g (x)

hầu khắp nơi trong

Ω.

• (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn } là dãy các hàm khả tích trên Ω,
fn → f hầu khắp nơi và giả sử tồn tại g(x) ∈ L1 (Ω) , |fn (x)| ≤ g (x).
Khi đó
lim

fn (x) dx =

n→+∞
Ω

1.2.2

f (x) dx.
Ω

Không gian H o¨lder

Trước hết, ta có định nghĩa không gian H o¨lder .
Định nghĩa 1.2.3 (Không gian H o¨lder). Hàm f : Ω → R (hoặc C) được
gọi là liên tục H o¨lder với chỉ số γ (0 < γ ≤ 1) nếu tồn tại hằng số c > 0 sao
cho bất đẳng thức
|f (x) − f (y)| ≤ c x − y

γ
Ω

thỏa mãn với mọi x, y ∈ Ω.
Tập hợp tất cả các hàm liên tục H o¨lder với chỉ số γ được ký hiệu là
C 0,γ Ω .
8


C 0,γ Ω là không gian Banach theo chuẩn
f

C 0,γ

(Ω) = sup |f (x)| + sup
x∈Ω

1.2.3

x,y∈Ω
x=y

|f (x) − f (y)|
.
γ
x−y

Không gian Sobolev và định lý nhúng

Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Sobolev). Giả sử Ω = (a, b) là một khoảng
mở trong R và cho p ∈ [1, +∞).
Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như sau




1,p
p
p
∞
W (Ω) = u ∈ L (Ω) ; ∃g ∈ L (Ω) :
uϕ dx = − gϕdx, ∀ϕ ∈ C0 (Ω) .


Ω

Ω

Trong không gian W 1,p (Ω) ta xác định chuẩn
u

W1,p

= u

Lp

+ u

Lp ,

trong đó u là đạo hàm yếu của u. Đôi khi, nếu 1 < p < ∞ thì không gian
được trang bị với chuẩn
u

W1,p

=

u

p
Lp

+ u

1/
p.

p
Lp

Không gian W1,2 (Ω) được trang bị với chuẩn
u

W1,2 (Ω)

=

u

2
L2

+ u

2
L2

1/
2

,

và tích vô hướng
b

(u, v)W1,2 (Ω) = (u, v)L2 + (u , v )L2 =

(uv + u v )dx.
a

Khi đó W 1,p là không gian Banach và W1,2 (Ω) là không gian Hilbert.
Mệnh đề 1.2.2. (Xem [3] Bổ đề 8.1) Giả sử f ∈ L1loc (Ω) thỏa mãn
∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) .

f ϕ dx = 0,
Ω

Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho f = C trên Ω.
9


Mệnh đề 1.2.3. (Xem [3] Mệnh đề 8.3) Giả sử u ∈ Lp , trong đó 1 < p < ∞.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương
• u ∈ W 1,p ,
• Tồn tại một hằng số C thỏa mãn
uϕ ≤ C ϕ

Lp (Ω) ,

∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) ,

p ∈ (1, +∞) ,

1

1
+
= 1.
p p

Ω

Mệnh đề 1.2.4. (Xem [3] Hệ quả 4.24) Cho Ω ⊂ R là một tập mở và
u ∈ L1loc (Ω) thỏa mãn
(uf)dx = 0,

∀f ∈ C0∞ (Ω).

Ω

Khi đó u = 0 trên Ω.
Ký hiệu không gian Banach W01,p (Ω) là bổ sung của C0∞ (Ω) theo chuẩn
trong W 1,p (Ω) .
Chúng ta đặt
H = W01,2 (Ω) .
Khi đó H là không gian Hilbert được trang bị với chuẩn trên W1,2 (Ω) .
Mệnh đề 1.2.5. (Xem [3], Định lý 8.12) Giả sử u ∈ W1,p (Ω). Khi đó
u ∈ W01,p (Ω) khi và chỉ khi u = 0 trên ∂Ω.
Bổ đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Poincaré, xem [3] Mệnh đề 8.13) Giả sử Ω là
khoảng bị chặn. Khi đó sẽ tồn tại một hằng số C sao cho
u

W1,p (Ω)

≤C u

Lp (Ω) ,

∀u ∈ W01,p (Ω) .

Mệnh đề 1.2.6. (Định lý nhúng Sobolev)(Xem [6] Định lý 1.2.26) Cho k ∈
N+ , p ∈ [1, +∞)
10


• Nếu k <

n
p

1
thì W k,p (Rn ) → Lp∗ (Rn ) , p∗
=

• Nếu k =

n
p

thì
W k,p (Rn ) → Lr (Rn )

• Nếu Nếu k >

n

p

− nk .

r ∈ [p, ∞) ,

với

W k,p (Rn ) → Lrloc (Rn )

1
p

với mọi

r ≥ 1.

thì

W k,p (Rn ) → C 0,γ (Rn )

với mọi

0≤γ
n
.
p

Ký hiệu X → Y có nghĩa là X nhúng liên tục trong Y .

Mệnh đề 1.2.7. (Định lý nhúng Rellich - Kondrachov)(Xem [6], Định lý
1.2.28) Giả sử Ω là tập hợp mở bị chặn trong Rn , có biên trơn (Lipschitz địa
phương), k ∈ N+ , p ∈ [1, +∞). Khi đó
• Nếu k <

n
p

và q ∈ [1, p∗ ], trong đó p∗ =

pn
n−kp

thì

W k,p (Ω) → → Lq (Ω).
• Nếu k =

n
p

thì
W k,p (Ω) → → Lq (Ω)

• Nếu 0 ≤ γ < k −

n
p

với

q ∈ [1, +∞) .

thì
W k,p (Ω) → → C 0,γ Ω .

Ở đây X → → Y có nghĩa là phép nhúng X vào Y là compact.
Nhận xét 1.2.2. Trong luận văn này ta áp dụng hai định lý trên trong
trường hợp Ω là khoảng hữu hạn và số chiều n = 1.

11


1.3

Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không
gian Banach

Phần này giới thiệu về sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian
Banach, một trong những khái niệm quan trọng được dùng trong chương 2.
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là không gian Banach. Kí hiệu X ∗ là tập tất cả
các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Dãy {xn } trong X được gọi là hội
x trong X) nếu f (xn ) → f (x) ∀f ∈ X ∗ .

tụ yếu đến x, (kí hiệu xn

Định nghĩa 1.3.2. Sự hội tụ theo chuẩn trong không gian Banach được gọi
là sự hội tụ mạnh.
Bổ đề 1.3.1. Nếu xn → x thì xn

x.

Chứng minh. Giả sử xn → x trong X, tức là lim

n→+∞

[|f (xn ) − f (x)| = |f (xn − x)| ≤ f . xn − x

X

xn − x

X

= 0. Khi đó

→ 0 khi n → +∞.

Từ đó f (xn ) → f (x) khi n → +∞, với mọi phiếm hàm f ∈ X ∗ .
Theo định nghĩa về sự hội tụ yếu nêu trên ta được xn

x.

Ta có các tính chất sau
1. Nếu xn

x, xn

y trong X thì x = y.

2. Một dãy hội tụ yếu theo dãy thì bị chặn. Hơn nữa, nếu xn

x trong

X thì
x ≤ lim inf xn .
n→∞

3. Nếu X là không gian Banach phản xạ và {xn } ⊂ X là dãy bị chặn thì
tồn tại một dãy con {xnk } của {xn } sao cho
x nk

x trong X.
12


Mệnh đề 1.3.1. Giả sử A : X → Y là compact và xn
Axn → Ax

trong

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh Axn

x trong X. Khi đó

Y.
Ax trong Y , tức là cần chứng

minh với mọi hàm f ∈ Y ∗ thì f (Axn ) → f (Ax). Ta có g = fo A là ánh xạ
tuyến tính từ X vào R và bị chặn

|g (x)| ≤ f
Khi đó g ∈ X ∗ , mà xn

Y ∗.

A

L(X,Y ) .

x

X.

x nên theo định nghĩa về sự hội tụ yếu trong không

gian Banach ta có
g(xn ) → g(x).
Vì vậy f (Axn ) → f (Ax) với f ∈ Y ∗ .
Từ đó
Axn
Bây giờ ta giả sử Axn

Ax trong Y.

Ax. Khi đó tồn tại ε > 0 và dãy {xnk } thỏa mãn
Axnk − Ax

Rõ ràng xn

Y

≥ ε.

x, A là compact nên tồn tại một dãy con của {xnk } là xnkj

thỏa mãn
Axnkj → z

nào đó.

Do sự hội tụ mạnh dẫn đến sự hội tụ yếu và giới hạn yếu là duy nhất nên
z = Ax. Điều này mâu thuẫn với Axn

Ax.

Định nghĩa 1.3.3. Một không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu
∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 : ∀x, y ∈ X, x = y = 1, x − y ≥ ε
thì ta có 1 −

x+y
2

≥ δ.

Một số tính chất
13


1. Không gian lồi đều là phản xạ, tức là (X ∗ )∗ = X.
2. Các không gian Hilbert, không gian Lp (Ω), không gian W1,p (Ω) với

1 < p < +∞ là những không gian lồi đều.
3. Nếu X là không gian Banach lồi đều, xn

x và xn

→ x thì

xn → x trong X.

1.4

Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm
khả vi trong không gian Banach. Điều kiện
Coercive của phiếm hàm

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu điểm cực trị toàn cục
là điều kiện Coercive và tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm.
Định nghĩa 1.4.1. Ta xét phiếm hàm dạng tích phân
F (x, u, ∇u) dx,

f (u) =

với u ∈ W01,p (Ω) ,

Ω

trong đó Ω là tập mở trong RN . Giả sử rằng f (u) thỏa mãn điều kiện Coercive
(điều kiện bức), tức là f (u) → +∞ nếu u → +∞. Ký hiệu
m=

inf

u∈W01,p (Ω)

f (u) .

Chọn dãy {uk } ⊂ W01,p (Ω) sao cho f (uk ) → m khi k → +∞. Dãy {uk }
như vậy được gọi là dãy cực tiểu của phiếm hàm f . Vì f thỏa mãn điều kiện
bức, ta suy ra dãy {uk } là dãy bị chặn trong W01,p (Ω). Do 1 < p < +∞
nên W01,p (Ω) là không gian phản xạ và đối ngẫu của nó là W−1,q (Ω), với
1
p

+

1
q

= 1, cho nên từ dãy {uk } ta có thể trích ra một dãy con ukj

hội tụ

yếu tới u trong W01,p (Ω). Tuy nhiên, ta không thể khẳng định được rằng
f (u) = lim f ukj ,
j→∞

14


do đó không thể suy ra u là điểm cực tiểu, tức là không thể suy ra f (u) = m.

Như vậy, nếu phiếm hàm f liên tục theo sự hội tụ yếu thì f (u) = m. Nhưng
điều kiện này ấn định lên phiếm hàm f là một điều kiện khá mạnh mà dưới
đây ta có thể thay bằng một điều kiện khác yếu hơn như sau.
Định nghĩa 1.4.2. Cho M ⊂ X := W01,p (Ω). Ta nói phiếm hàm f (u), u ∈ X
∞

là nửa liên tục dưới yếu tại điểm u ∈ M nếu với bất kì dãy {uk }k=1 thỏa mãn
uk

u0 ,

ta có
f (u0 ) ≤ lim inf f (uk ) .
k→∞

Chúng ta nói f nửa liên tục dưới yếu trên M ⊂ X nếu nó nửa liên tục dưới
yếu tại mọi điểm u ∈ M .
Ta thấy rằng nếu dãy {uk } là dãy cực tiểu của phiếm hàm f và f là nửa
liên tục dưới yếu thì
f (u) ≤

inf

u∈W01,p (Ω)

f (u) .

Vì u ∈ W01,p (Ω) nên f (u) ≥ m, từ đó suy ra f (u) = m, tức là f đạt cực tiểu
trong W01,p (Ω) .
Sau đây ta sẽ đưa ra điều kiện đủ để cho phiếm hàm bị chặn dưới và đạt

cực tiểu.
Mệnh đề 1.4.1 (Nguyên lý cực tiểu). Cho M là một tập compact yếu, khác
rỗng, nằm trong X và F là một phiếm hàm nửa liên tục dưới yếu trong M .
Khi đó F bị chặn dưới trong M và tồn tại u0 ∈ M thỏa mãn
F (u0 ) = min F (u) .
u∈M

∞

Chứng minh. Giả sử {un }n=1 ⊂ M và F (un )

15

inf F (u).

u∈M


∞

Do M là tập compact yếu nên tồn tại u0 ∈ M và dãy con {unk }k=1 ⊂
∞

{un }n=1 thỏa mãn
unk

u0 .

Từ giả thiết trên đối với F ta có
inf F (u) ≤ F (u0 ) ≤ lim inf F (unk ) = lim F (un ) = inf F (u) .

u∈M

n→∞

k→∞

u∈M

Từ đó
F (u0 ) = inf F (u) > −∞.
u∈M

Hệ quả 1.4.1. (Xem [6] Hệ quả 6.2.5) Cho M ⊂ X, F : X → R và u0 là
điểm thỏa mãn nguyên lý cực tiểu. Hơn nữa u0 ∈ intM . Nếu δF (u0 ; v) tồn
tại, với v ∈ X thì
δF (u0 ; v) = 0.

1.5

Cực trị của phiếm hàm. Điều kiện tồn tại
cực trị của phiếm hàm

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm là khảo sát bài
toán cực trị. Mục tiêu chính của phần này là trình bày diều kiện cần và điều
kiện đủ cho hàm số thực có cực trị địa phương. Một trong những công cụ nổi
tiếng nhất đó là điều kiện cần Euler, Lagrange và điều kiện đủ Lagrange.
Định nghĩa 1.5.1. Cho không gian Banach X và phiếm hàm f : X → R.
Ta nói rằng f đạt cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương tại điểm a ∈ X
nếu tồn tại một lân cận U của a sao cho ta có f (x) ≥ f (a) (tương ứng

f (x) ≤ f (a)) ∀x ∈ U .
Nếu f đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại địa phương tại a thì ta nói f đạt cực
trị địa phương tại a.
16


Mệnh đề 1.5.1 (Điều kiện cần Euler). Giả sử f : X → R có cực trị địa
phương tại a ∈ R. Nếu đối với h ∈ X đạo hàm δf (a, h) tồn tại thì
δf (a, h) = 0.
Mệnh đề 1.5.2. (Định lí Lagrange) Giả sử a ∈ X là điểm dừng của phiếm
hàm f : X → R và tồn tại một lân cận U của a sao cho ánh xạ x → δ 2 f (x)
liên tục trong U . Nếu tồn tại α > 0 sao cho δ 2 f (x) (a, h) ≥ α h

2

(tương

2

ứng δ 2 f (x) (a, h) ≤ −α h ) , ∀h ∈ X thì f có cực tiểu (tương ứng cực đại)
địa phương tại a.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử M ⊂ X là một tập lồi, tức là nếu u, v ∈ M thì
tu + (1 − t) v ∈ M với mọi t ∈ [0, 1]. Phiếm hàm f : X → R gọi là lồi trên M
nếu với bất kì u, v ∈ M và t ∈ [0, 1], ta có

f (tu + (1 − t) v) ≤ tf (u) + (1 − t) f (v) .
Mệnh đề 1.5.3. Giả sử f : X → R là một phiếm hàm lồi trên không gian
định chuẩn X. Khi đó mọi điểm dừng của f trong X là điểm cực tiểu của f
trên X.

1.6

Điều kiện Palais - Smale và định lý qua núi

Định lý qua núi là một trong những định lý nổi tiếng trong phương pháp
biến phân để khẳng định sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm trong không
gian Banach. Định lý qua núi lần đầu được R. Courant chứng minh vào năm
1950 cho các phiếm hàm xác định trong không gian hữu hạn chiều. Sau đó,
năm 1973, A. Ambrossetti và P. Rabinowitz (xem [1]) đã chứng minh định lý
qua núi cho phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet trong không gian Banach.
Trước hết ta tìm hiểu điều kiện Palais - Smale, nó đảm bảo cho phiếm
hàm khả vi trong không gian Banach X có điểm tới hạn.
17


Định nghĩa 1.6.1. (Điều kiện Palais - Smale) Giả sử X là không gian
Banach, f là một phiếm hàm xác định trên X. Giả thiết f ∈ C 1 (X, R), ta
nói rằng dãy {un } ⊂ X là một dãy Palais - Smale tại c của f , ký hiệu (P S)c
nếu
f (un ) → c,

f (un ) → 0 khi n → ∞,

trong đó f là đạo hàm Fréchet của f trong X.
Ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale tại c nếu mọi dãy (P S)c
đều chứa một dãy con hội tụ.
Ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale (P S) nếu nó thỏa mãn
điều kiện (P S)c với mọi c.
Ta thấy định nghĩa về dãy (P S) như trên khá chặt chẽ vì đòi hỏi dãy
{f (un )} hội tụ. Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng định nghĩa tổng

quát hơn sau đây: Dãy {un } ⊂ X được gọi là dãy (P S) của f nếu
|f (un )| ≤ c,

f (un ) → 0 khi n → ∞.

Mệnh đề 1.6.1. (Định lý qua núi, xem [6] Định lý 6.4.24 ) Cho X là một
không gian Banach và F ∈ C 1 (X, R), e ∈ X và r > 0 thỏa mãn e > r và
inf F (u) > F (o) ≥ F (e) .
u =r

Đặt
c := inf max F (γ (t)) ,
γ∈Γ t∈[0,1]

trong đó
Γ = {γ ∈ C ([0, 1] , X) : γ (0) = o, γ (1) = e} .
Hơn nữa, F thỏa mãn điều kiện Plais - Smale tại c ( viết tắt là (P S)c ).
Khi đó c là một giá trị tới hạn của F .
Định lý qua núi cùng với lý thuyết điểm tới hạn đã góp phần quan trọng
trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho một lớp các bài toán biên
18