Trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị, đồ thị bắc cầu đỉnh, đồ thị Meta. Tính liên thông, chu trình Hamilton của đồ thị Meta luân hoàn bậc 4.

Header Page 1 of 123.

`.I CAM D
- OAN
LO

Toˆi xin cam d¯oan r˘`a ng c´ac keˆ´t qua’ d¯u.o..c tr`ınh b`ay trong luaˆn
. ´an l`a
u.ng d¯u.o..c coˆng boˆ´ o’. baˆ´t k`y moˆt
ho`an to`an m´o.i, chu.a t`
. coˆng tr`ınh khoa
ho.c cu’a ai kh´ac.
H`
a Noˆi,
ang ... n˘am 2005
. ng`ay ... th´

Tra
o.c
ˆ`n Minh Tu.´

1

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

MU
. C LU
.C

L`
o.i cam d
¯oan

1

Mu.c lu.c

2

Danh mu.c c´
ac h`ınh

3

’. D
ˆ`U
-A
MO

4

’N
´ KIE
´ .C CO. BA
ˆ´N THU
Chu.o.ng 1 CAC

12

- oˆ` thi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 D

12

- oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh v`a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an . . . . . . . . . . . . . .
1.2 D

17

1.2.1

Nh´
om ho´
an vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2

C´ac d¯.inh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3 T´ınh lieˆn thoˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4 B`ai to´an Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

ˆ N THO
ˆ NG CU’A D
ˆ` THI.
-O
Chu.o.ng 2 T´INH LIE
ˆC 4
BA
.
2.1 Moˆt
. soˆ´ t´ınh chaˆ´t cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an .
2.2 Tru.`o.ng ho..p S0 = ∅ . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tru.`o.ng ho..p S0 = ∅ . . . . . . . . . . . . . . .

ˆ N HOAN
`
META LUA
29
. . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . .

34

. . . . . . . . . . . . . .

41

ˆN
ˆ` THI. META LUA
-O
Chu.o.ng 3 CHU TR`INH HAMILTON TRONG D
` BA
ˆ. C 4
HOAN
66
3.1 Moˆt
. soˆ´ boˆ’ d¯ˆe` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
.
- ieˆ`u kieˆn
3.2 D
. d¯u’ cho su. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton . . . . . . . . . . . . . 73
ˆN
ˆ´T LUA
KE
.

82

Danh mu.c c´
ac co
ˆng tr`ınh

83

T`
ai lie

ˆu
. tham kha’o

84

2

Footer Page 2 of 123.


Header Page 3 of 123.

´
`
DANH MU
. C CAC HINH
1.1 Bieˆ’u dieˆ˜n d¯oˆ` thi. treˆn m˘a.t ph˘a’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- oˆ` thi. con ca’m sinh G v`a d¯oˆ` thi. con bao tr`
1.2 D
um G cu’a G . . . . . . . .

14

1.3 Hai d¯oˆ` thi. d¯a˘’ ng caˆ´u G v`a G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4 Baˆc
. cu’a d¯ı’nh, baˆc
. cu’a d¯oˆ` thi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 V´ı du. d¯oˆ` thi. d¯ˆe`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6 C´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh Coxeter (G1 ) v`a Petersen (G2 ) . . . . . . . . .

19

- oˆ` thi. luaˆn ho`an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 D

20

- oˆ` thi. meta luaˆn ho`an . . . . . . . .
1.8 D
- oˆ` thi. G v´o.i chu tr`ınh C v`a d¯u.`o.ng P
1.9 D
- oˆ` thi. v´o.i c´ac th`anh phaˆ`n cu’a n´o . .
1.10 D
- oˆ` thi. Hamilton v`a nu’.a Hamilton . .
1.11 D

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

cu’a n´o

. . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

- i.nh l´
3.1 V´ı du. minh ho.a cho D
y 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- i.nh l´
3.2 V´ı du. minh ho.a cho D
y 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76
78

- .inh l´
3.3 V´ı du. minh ho.a cho D
y 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3

Footer Page 3 of 123.

13

16


Header Page 4 of 123.

. - ˆ`
AU
MO’ D

.
.
Luaˆn
. lieˆn thoˆng v`a su. toˆ`n ta.i chu tr`ınh
. a´n d¯ˆe` caˆp
. t´o i d¯ieˆ`u kieˆn
- ´o l`a moˆt
u.ng
Hamilton cu’a c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 4. D
. trong nh˜
l´o.p d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh c`on ´ıt d¯u.o..c quan taˆm xem x´et trong khi moˆt
.
u.u nhieˆ`u.
soˆ´ l´o.p d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh kh´ac, gaˆ`n d¯ˆay, d¯a˜ d¯u.o..c nghieˆn c´
L´y thuyeˆ´t d¯oˆ` thi. d¯a˜ d¯u.o..c h`ınh th`anh t`
u. laˆu v`a c´o u
´.ng du.ng roˆng
.

´ tu.o’.ng co. ba’n cu’a
r˜ai trong nhieˆ`u l˜ınh vu..c khoa ho.c v`a thu..c tieˆ˜n. Y
l´y thuyeˆ´t d¯oˆ` thi. d¯a˜ d¯u.o..c nhieˆ`u nh`a khoa ho.c d¯ˆe` xuaˆ´t v`ao nu’.a d¯aˆ`u
theˆ´ ky’ 18. Tieˆu bieˆ’u l`a Leonhard Euler (1707 – 1783), nh`a to´an ho.c
u.u b`ai to´an “Ba’y caˆy caˆ`u o’.
noˆ’i tieˆ´ng ngu.`o.i Thu.y S˜ı, khi oˆng nghieˆn c´
K¨onigsberg”.
- oˆ` thi. l`a moˆt
D
uc to´an ho.c r`o.i ra.c bieˆ’u dieˆ˜n moˆ´i quan heˆ. gi˜
u.a
. caˆ´u tr´
u.c, ta c´o theˆ’ h`ınh dung moˆt
c´ac d¯oˆ´i tu.o..ng. Moˆt
. c´ach phi h`ınh th´
. d¯oˆ` thi.
bao goˆ`m c´ac “d¯ı’nh” v`a c´ac “ca.nh”, moˆ˜i ca.nh noˆ´i moˆt
. c˘a.p d¯ı’nh n`ao d¯o´.
uc d¯oˆ` thi..
Nhieˆ`u b`ai to´an thu..c teˆ´ c´o theˆ’ d¯u.o..c moˆ h`ınh ho´a b˘a` ng caˆ´u tr´
Ch˘a’ ng ha.n, khi thieˆ´t laˆp
u.a c´ac th`anh phoˆ´ cu’a moˆt
. tuyeˆ´n bay gi˜
. quoˆ´c
ung
gia th`ı d¯oˆ` thi. gi´
up ch´
ung ta so. d¯oˆ` ho´a heˆ. thoˆ´ng n`ay b˘a` ng c´ach d`
moˆ˜i d¯ı’nh bieˆ’u thi. moˆt
. th`anh phoˆ´ c`on moˆ˜i ca.nh bieˆ’u dieˆ˜n moˆt

. tuyeˆ´n
´.ng; moˆt
bay th˘a’ ng gi˜
u.a hai th`anh phoˆ´ tu.o.ng u
. v´ı du. kh´ac: khi thieˆ´t keˆ´
.
ma.ch in cho moˆt
. “bo” ma.ch d¯ieˆn
. tu’ , nhieˆ`u keˆ´t qua’ veˆ` d¯oˆ` thi. ph˘a’ ng s˜e
.
gi´
up ta t`ım d¯u.o..c moˆt
. so d¯oˆ` thieˆ´t keˆ´ hieˆu
. qua’.
Nhu. vaˆy,
u.u caˆ´u tr´
uc cu’a nh˜
u.ng l´o.p d¯oˆ` thi. kh´ac nhau
. vieˆc
. nghieˆn c´
.
- ˘a.c bieˆt
c`
ung v´o.i c´ac u
´.ng du.ng cu’a n´o l`a h˜
u.u ´ıch. D
. l`a trong th`o i d¯a.i
ng`ay nay, khi coˆng ngheˆ. thoˆng tin v´o.i voˆ soˆ´ qu´a tr`ınh xu’. l´y v`a truyeˆ`n
.
u.u

tin d¯ang thaˆm nhaˆp
. soˆ´ng th`ı vieˆc
. nghieˆn c´
. v`ao mo.i l˜ınh vu. c cu’a cuoˆc
u.ng nghieˆn c´
u.u trong l´y thuyeˆ´t
n`ay la.i c`ang c´o y
´ ngh˜ıa. Ngu.o..c la.i, nh˜
4

Footer Page 4 of 123.


Header Page 5 of 123.
5

u.ng keˆ´t qua’ m´o.i saˆu s˘a´c ho.n nh`o. su.. tieˆ´n boˆ. cu’a
d¯oˆ` thi. s˜e d¯a.t d¯u.o..c nh˜
khoa ho.c m´ay t´ınh.
..
..
..
V´o.i moˆt
. d¯oˆ` thi. cho tru ´o c, t´ınh lieˆn thoˆng cu’a n´o thu `o ng d¯u o. c quan
taˆm d¯aˆ`u tieˆn. Ch˘a’ ng ha.n, moˆ h`ınh cu’a moˆt
. heˆ. thoˆ´ng giao thoˆng nhaˆ´t
- ˜a c´o nh˜
thieˆ´t pha’i l`a moˆt
u.ng thuaˆt
u.u

. d¯oˆ` thi. lieˆn thoˆng. D
. to´an kh´a h˜
.
. .
hieˆu
. d¯ˆe’ kieˆ’m tra t´ınh lieˆn thoˆng cu’a moˆt
. d¯oˆ` thi., nhu ng caˆu tra’ l`o i o’ d¯o´
m´o.i chı’ l`a “C´o” ho˘a.c “Khoˆng” lieˆn thoˆng. V´o.i nhieˆ`u l´o.p d¯oˆ` thi. cu. theˆ’,
.
c´ac nh`a nghieˆn c´
u.u thu.`o.ng mong muoˆ´n c´o moˆt
. kh˘a’ ng d¯.inh ma.nh ho n.
.
.
Do vaˆy,
. l´o p d¯oˆ` thi. n`ao d¯o´
. vaˆ´n d¯ˆe` d¯a˘. c tru ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a moˆt
- ieˆ`u n`ay khoˆng pha’i l´
uc n`ao c˜
ung
c˜
ung thu.`o.ng d¯u.o..c d¯u.a ra xem x´et. D
..
nhaˆn
. d¯u o. c deˆ˜ d`ang. Chı’ c´o moˆt
. soˆ´ keˆ´t qua’ cu’a Menger (1927) v`a Tutte
(1961) veˆ` d¯oˆ. lieˆn thoˆng (connectivity) cu’a moˆt
. d¯oˆ` thi. (xem trong [13]).
u.ng l´o.p he.p ho.n.
V`ı theˆ´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng xem x´et vaˆ´n d¯ˆe` n`ay treˆn nh˜

Moˆt
u.a m`a cho t´o.i nay vaˆ˜n d¯ang d¯u.o..c coi l`a vaˆ´n d¯ˆe` trung
. vaˆ´n d¯ˆe` n˜
taˆm cu’a l´y thuyeˆ´t d¯oˆ` thi. l`a b`ai to´an Hamilton: V´o.i moˆt
. d¯oˆ` thi. cho
tru.´o.c, h˜ay x´ac d¯.inh xem c´o hay khoˆng moˆt
. h`anh tr`ınh d¯i qua taˆ´t ca’
.
c´ac d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi., moˆ˜i d¯ı’nh d¯u
´ng moˆt
. laˆ`n, roˆ`i la.i quay tro’ veˆ` d¯ı’nh
xuaˆ´t ph´at? H`anh tr`ınh tho’a m˜an b`ai to´an Hamilton d¯u.o..c go.i l`a chu
tr`ınh Hamilton. Neˆ´u khoˆng yeˆu caˆ`u pha’i tro’. veˆ` d¯u
´ng d¯ı’nh xuaˆ´t ph´at
th`ı h`anh tr`ınh n`ay s˜e d¯u.o..c go.i l`a d¯u.`o.ng Hamilton.
.
.
.
..
B`ai to´an Hamilton l`a moˆt
. b`ai to´an l´o n, nhu ng m´o i chı’ d¯u o. c gia’i
quyeˆ´t cho nh˜
u.ng tru.`o.ng ho..p d¯a˘. c bieˆt.
. Do d¯o´, khi xem x´et b`ai to´an
u.ng ha.n cheˆ´ leˆn c´ac d¯oˆ` thi. d¯ˆe’ nghieˆn
n`ay, ngu.`o.i ta thu.`o.ng d¯a˘. t ra nh˜
ung theo moˆt
u vaˆy,
u.ng
c´

u.u ch´
. c´ach tieˆ´p caˆn
. n`ao d¯o´. M˘a.c d`
. d¯a phaˆ`n nh˜
coˆng tr`ınh nghieˆn c´
u.u c˜
ung chı’ d¯u.a ra d¯u.o..c d¯ieˆ`u kieˆn
. d¯u’ d¯ˆe’ moˆt
. d¯oˆ` thi.
c´o chu tr`ınh Hamilton. Ch˘a’ ng ha.n, d¯.inh l´y cu’a Dirac kh˘a’ ng d¯.inh veˆ` su..
toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong c´ac d¯oˆ` thi. c´o soˆ´ ca.nh “d¯u’ l´o.n” v`a
“phaˆn boˆ´ d¯ˆe`u treˆn c´ac d¯ı’nh”, hay keˆ´t qua’ cu’a Tutte chı’ ra r˘a` ng trong
c´ac d¯oˆ` thi. ph˘a’ ng (d¯oˆ` thi. c´o theˆ’ bieˆ’u dieˆ˜n d¯u.o..c treˆn m˘a.t ph˘a’ ng sao cho

Footer Page 5 of 123.


Header Page 6 of 123.
6

c´ac ca.nh cu’a n´o khoˆng c˘a´t nhau) v`a c´o su.. “lieˆn thoˆng ma.nh” th`ı s˜e c´o
chu tr`ınh Hamilton (xem chi tieˆ´t trong [13], [14], [19]).
- aˆy
Gaˆ`n d¯ˆay, ngu.`o.i ta quan taˆm nhieˆ`u d¯ˆe´n d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh. D
l`a c´ac d¯oˆ` thi. c´o nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u t´ac d¯oˆng
. b˘a´c caˆ`u leˆn taˆp
. d¯ı’nh cu’a
u.a 2 d¯ı’nh baˆ´t k`y luoˆn toˆ`n ta.i c´ac tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u chuyeˆ’n
ch´
ung, t´

u.c l`a gi˜
.
ch´
ung veˆ` nhau. Nhu. vaˆy,
. d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh l`a l´o p d¯oˆ` thi. mang t´ınh
u.ng t´ınh chaˆ´t l´y th´
u. V´ı du., gia’ thuyeˆ´t
d¯oˆ´i x´
u.ng cao neˆn c´o theˆ’ c´o nh˜
Lov´asz (1968, xem [18], [21]) cho r˘a` ng: “Mo.i d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh lieˆn
thoˆng d¯ˆe`u c´o d¯u.`o.ng Hamilton”, hay gia’ thuyeˆ´t Thomassen (xem [10],
[18]) d¯a˜ neˆu: “Chı’ c´o moˆt
u.u ha.n c´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh lieˆn
. soˆ´ h˜
thoˆng l`a khoˆng c´o chu tr`ınh Hamilton”. Nh˜
u.ng n˘am tro’. la.i d¯ˆay, trong
uy
´ t´o.i u
´.ng du.ng cu’a d¯oˆ` thi. b˘a´c
nghieˆn c´
u.u l´y thuyeˆ´t, ngu.`o.i ta c`on ch´
caˆ`u d¯ı’nh cho moˆ h`ınh ma.ng lieˆn keˆ´t hay c´ac heˆ. thoˆ´ng xu’. l´y song song.
Ngo`ai ra, do c´o nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u t´ac d¯oˆng
. b˘a´c caˆ`u treˆn taˆp
. d¯ı’nh,
u.u b˘`a ng l´y thuyeˆ´t
neˆn d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh khoˆng nh˜
u.ng d¯u.o..c nghieˆn c´
toˆ’ ho..p m`a c`on c´o theˆ’ su’. du.ng ca’ d¯a.i soˆ´ (cu. theˆ’ l`a l´y thuyeˆ´t nh´om) d¯ˆe’
xem x´et ch´

ung theo moˆt
. g´oc d¯oˆ. kh´ac.
- oˆ´i v´o.i d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh, caˆ´u tr´
D
uc cu’a nh´om c´ac tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u
treˆn d¯oˆ` thi. d¯o´ng moˆt
u.u
. vai tr`o quan tro.ng. Tuy nhieˆn vieˆc
. nghieˆn c´
´ c˜
ung khoˆng pha’i
d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh v´o.i nh´om c´ac tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u tu`y y
deˆ˜ d`ang. V`ı theˆ´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng nghieˆn c´
u.u d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh v´o.i
u. d¯o.n gia’n d¯ˆe´n ph´
u.c ta.p.
nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u t`
- oˆ` thi. luaˆn ho`an l`a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh c´o caˆ´u tr´
D
uc d¯o.n gia’n nhaˆ´t:
ung ch´
u.a moˆt
nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u cu’a ch´
. nh´om con xyclic t´ac d¯oˆng
. b˘a´c
..
u.u nhieˆ`u nhaˆ´t
caˆ`u leˆn taˆp
. d¯ı’nh. V`ı vaˆy
. c´ac d¯oˆ` thi. n`ay d¯a˜ d¯u o. c nghieˆn c´

trong soˆ´ c´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh. Treˆn c´ac d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an, b`ai to´an
Hamilton v`a b`ai to´an phaˆn l´o.p d¯a˜ d¯u.o..c gia’i quyeˆ´t tro.n ve.n. Trong [17],
ngu.`o.i ta d¯a˜ chı’ ra r˘`a ng d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an n˘`a m trong l´o.p d¯oˆ` thi. Cayley

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.
7

.
uc
(xem d¯.inh ngh˜ıa o’. trang 22), moˆt
. l´o p d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh c´o caˆ´u tr´
ung tu.o.ng d¯oˆ´i roˆng.
kh´a ch˘a.t ch˜e nhu.ng c˜
.
uc ph´
u.c ta.p
L´o.p d¯oˆ` thi. m`a nh´om c´ac tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u cu’a n´o c´o caˆ´u tr´
u.a
ho.n d¯o´ l`a l´o.p d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an. Nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u cu’a n´o ch´
.
.
b˘a´c caˆ`u leˆn
moˆt
.
. nh´om con g, h , sinh bo’ i hai phaˆ`n tu’ g, h, t´ac d¯oˆng
.
.

.
’.
taˆp
. d¯ı’nh v`a g, h l`a t´ıch nu’ a tru. c tieˆ´p cu’a g v´o i h . O d¯ˆay, t´ıch
nu’.a tru..c tieˆ´p cu’a nh´om K v´o.i nh´om L l`a nh´om M ch´
u.a c´ac nh´om con
K v`a L sao cho K d¯a˘’ ng caˆ´u v´o.i K, L d¯a˘’ ng caˆ´u v´o.i L, K v`a L chı’
chung nhau phaˆ`n tu’. d¯o.n vi., K l`a nh´om con chuaˆ’n t˘a´c cua’ M v`a M
d¯u.o..c sinh bo’.i K v`a L .
- oˆ` thi. meta luaˆn ho`an d¯u.o..c d¯ˆe` xuaˆ´t v`a nghieˆn c´
D
u.u d¯aˆ`u tieˆn bo’.i
B. Alspach v`a T.D. Parsons t`
u. n˘am 1982 (xem [5]). Trong b`ai b´ao n`ay,
.
c´ac t´ac gia’ d¯a˜ d¯u.a ra moˆt
. d¯.inh ngh˜ıa toˆ’ ho. p cho d¯oˆ` thi. meta luaˆn
ho`an, ch´
u.ng minh moˆt
uc cu’a c´ac d¯oˆ` thi. n`ay v`a x´ac
. soˆ´ keˆ´t qua’ veˆ` caˆ´u tr´
u.a ba l´o.p d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an, meta luaˆn ho`an
d¯.inh d¯u.o..c moˆ´i lieˆn heˆ. gi˜
.
..
.
v`a Cayley. O’ d¯ˆay, moˆt
. d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an d¯u o. c cho bo’ i c´ac tham
soˆ´ caˆ´u tr´
uc bao goˆ`m hai soˆ´ nguyeˆn du.o.ng m, n x´ac d¯.inh soˆ´ d¯ı’nh v`a su..

phaˆn boˆ´ c´ac d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi., soˆ´ α nguyeˆn toˆ´ v´o.i n v`a moˆt
. soˆ´ taˆp
. con
..
..
cu’a taˆp
. c´ac soˆ´ nguyeˆn modulo n, d¯u o. c go.i l`a c´ac bieˆ’u tu o. ng cu’a d¯oˆ` thi.
- ˘a.c bieˆt,
meta luaˆn ho`an, x´ac d¯.inh c´ac ca.nh cu’a d¯oˆ` thi.. D
. trong keˆ´t luaˆn
.
u.u cho
cu’a b`ai b´ao, Alspach v`a Parsons d¯a˜ d¯ˆe` xuaˆ´t ba hu.´o.ng nghieˆn c´
u.u kh´a phoˆ’ bieˆ´n l`a vaˆ´n
c´ac d¯oˆ` thi. n`ay, trong d¯o´ c´o hai hu.´o.ng nghieˆn c´
d¯ˆe` d¯a˘’ ng caˆ´u v`a b`ai to´an Hamilton treˆn l´o.p d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an.
Theo c´ac hu.´o.ng nghieˆn c´
u.u treˆn, vaˆ´n d¯ˆe` toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton
- ˜a c´o moˆt
d¯u.o..c quan taˆm nhieˆ`u ho.n. D
u.ng l´o.p d¯oˆ` thi.
. soˆ´ keˆ´t qua’ cho nh˜
meta luaˆn ho`an d¯u.o..c ha.n cheˆ´ bo’.i c´ac d¯ieˆ`u kieˆn
. r`ang buoˆc
. kh´ac nhau.
Alspach v`a nh´om nghieˆn c´
u.u d¯a˜ keˆ´t luaˆn
. r˘`a ng mo.i d¯oˆ` thi. meta luaˆn
ho`an v´o.i tham soˆ´ n nguyeˆn toˆ´ v`a kh´ac d¯oˆ` thi. Petersen (xem trang 19)
. .

d¯ˆe`u c´o chu tr`ınh Hamilton [4]. Moˆt
. soˆ´ b`ai b´ao kh´ac la.i d¯ˆe` caˆp
. t´o i l´o p

Footer Page 7 of 123.


Header Page 8 of 123.
8

d¯oˆ` thi. Cayley. Ch˘a’ ng ha.n trong [8], [16], [22], c´ac t´ac gia’ d¯a˜ chı’ ra
u.ng d¯oˆ` thi. Cayley treˆn c´ac
su.. toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong nh˜
nh´om c´o caˆ´u tr´
uc d¯a˘. c bieˆt.
.
Trong khi d¯o´, t´ınh lieˆn thoˆng cu’a c´ac d¯oˆ` thi. la.i gi˜
u. moˆt
. vai tr`o quan
´ ngh˜ıa treˆn c´ac
tro.ng d¯oˆ´i v´o.i b`ai to´an Hamilton. B`ai to´an n`ay chı’ c´o y
.
- ˘a.c bieˆt
d¯oˆ` thi. lieˆn thoˆng. D
. treˆn c´ac d¯oˆ` thi. cho bo’ i c´ac tham soˆ´ caˆ´u
tr´
uc nhu. d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an, ngu.`o.i ta muoˆ´n c´o d¯u.o..c d¯ieˆ`u kieˆn
. caˆ`n
v`a d¯u’ cho t´ınh lieˆn thoˆng cu’a c´ac d¯oˆ` thi. n`ay. Khi d¯a˜ d¯a˘. c tru.ng d¯u.o..c
u.ng r`ang buoˆc

u.a
t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an b˘a` ng nh˜
. gi˜
.
c´ac tham soˆ´ caˆ´u tr´
uc, vieˆc
. xem x´et su. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong
. .
ch´
ung s˜e thuaˆn
. lo. i ho n.
Tru.´o.c thu..c teˆ´ n`ay, luaˆn
u.u veˆ` l´o.p d¯oˆ` thi. meta luaˆn
. a´n nghieˆn c´
’.
ung toˆi khoˆng su’. du.ng
ho`an v`a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 4. O d¯ˆay, ch´
..
..
u.u theo tham soˆ´
nh˜
u.ng c´ach tieˆ´p caˆn
. tru ´o c d¯o´ m`a d¯.inh hu ´o ng nghieˆn c´
.
“baˆc”
. (xem d¯.inh ngh˜ıa o’ trang 15) cu’a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh.
Trong c´ac moˆ h`ınh ma.ng lieˆn keˆ´t, d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh baˆc
. nho’ c´o
moˆt

´ ngh˜ıa quan tro.ng. C´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh baˆc
. y
. 1 v`a baˆc
. 2 c´o theˆ’
- oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh baˆc
d¯u.o..c moˆ ta’ d¯aˆ`y d¯u’ m`a khoˆng maˆ´y kh´o kh˘an. D
.
1 l`a ho..p r`o.i nhau cu’a c´ac d¯oˆ` thi. K2 , c`on d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh baˆc
. 2 l`a
ung d¯oˆ. d`ai. Trong soˆ´ c´ac d¯oˆ` thi.
ho..p cu’a c´ac chu tr`ınh r`o.i nhau v`a c´o c`
..
b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh baˆc
. 3, d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 3 ´ıt nhieˆ`u d¯a˜ d¯u o. c xem
ung nhu. su.. toˆ`n ta.i
x´et v`a d¯a.t d¯u.o..c nhieˆ`u keˆ´t qua’ veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng c˜
chu tr`ınh Hamilton (xem trong [25] – [29], [31], [33] – [36]).
.
..
..
Moˆt
. c´ach tru. c quan, ngu `o i ta deˆ˜ laˆ`m tu o’ ng r˘a` ng mo.i d¯oˆ` thi. meta
. u.ng
luaˆn ho`an baˆc
u.a c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 3 nhu nh˜
. 4 c´o theˆ’ ch´
d¯oˆ` thi. con. Nhu.ng thu..c teˆ´ khoˆng d¯u.o..c nhu. ta mong muoˆ´n. Do caˆ´u
.

tr´
uc d¯a˘. c bieˆt
. soˆ´ ´ıt c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn
. cu’a nh´om tu. d¯a˘’ ng caˆ´u, chı’ moˆt
ho`an baˆc
u.ng
. 3 l`a d¯oˆ` thi. con cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 4. Do d¯o´ nh˜

Footer Page 8 of 123.


Header Page 9 of 123.
9

.. .
.
.
k˜y thuaˆt
. 3 haˆ`u nhu
. d¯u o. c su’ du.ng treˆn l´o p d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
.
khoˆng a´p du.ng d¯u.o..c d¯oˆ´i v´o.i d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 4. V´o i hy vo.ng
.
.
u.ng k˜y thuaˆt
s˜e t`ım t`oi d¯u.o..c nh˜
. m´o i c´o theˆ’ ´ap du.ng cho ca’ l´o p d¯oˆ` thi.
meta luaˆn ho`an toˆ’ng qu´at, ch´

ung toˆi d¯a˘. t mu.c tieˆu nghieˆn c´
u.u veˆ` t´ınh
lieˆn thoˆng v`a su.. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn
ho`an baˆc
. 4.
.
Keˆ´t qua’ cu’a luaˆn
. a´n ch´ınh l`a vieˆc
. d¯a˘. c tru ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ`
.
..
.
thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. k˜y thuaˆt
. 4 du. a treˆn moˆt
. d¯u o. c xaˆy du. ng cho c´ac
d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an toˆ’ng qu´at. T`
u. d¯o´, su.. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton
trong l´o.p d¯oˆ` thi. n`ay d¯a˜ d¯u.o..c xem x´et v`a kh˘a’ ng d¯.inh d¯oˆ´i v´o.i moˆt
. soˆ´
tru.`o.ng ho..p.
.
Noˆi
. dung cu’a luaˆn
. ´an bao goˆ`m phaˆ`n mo’ d¯aˆ`u, phaˆ`n keˆ´t luaˆn
. v`a ba
chu.o.ng:
u.c co. ba’n;
Chu.o.ng 1. C´ac kieˆ´n th´
Chu.o.ng 2. T´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc

. 4;
Chu.o.ng 3. Chu tr`ınh Hamilton trong d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
. 4.
.
Chu.o.ng 1 tr`ınh b`ay v˘a´n t˘a´t nh˜
u.ng kh´ai nieˆm
. co ba’n cu’a l´y thuyeˆ´t
d¯oˆ` thi., l´y thuyeˆ´t nh´om ho´an vi. v`a moˆt
. soˆ´ vaˆ´n d¯ˆe` lieˆn quan d¯ˆe´n d¯oˆ´i
tu.o..ng nghieˆn c´
u.u cu’a luaˆn
. ´an l`a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an.
Chu.o.ng 2 tr`ınh b`ay c´ac keˆ´t qua’ veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. meta
luaˆn ho`an baˆc
. 4. C´ac d¯.inh l´y 2.5, 2.11 l`a d¯ieˆ`u kieˆn
. caˆ`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ moˆt
. d¯oˆ`
- ˆe’ ch´
thi. meta luaˆn ho`an baˆc
u.ng minh c´ac d¯.inh l´y n`ay,
. 4 lieˆn thoˆng. D
d¯ˆe` 2.1, 2.2 v`a
mu.c 2.1 d¯a˜ d¯u.a ra k˜y thuaˆt
. toˆ’ng qu´at trong c´ac meˆnh
.
2.3 c`
ung v´o.i vieˆc
d¯ˆe` 1.1. K˜y thuaˆt
. ´ap du.ng Meˆnh
.

. n`ay c´o theˆ’ ´ap du.ng
cho mo.i d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an neˆn c˜
ung c´o gi´a tri. d¯oˆc
. laˆp
. nhaˆ´t d¯.inh.
. .
Chu.o.ng 3 d¯ˆe` caˆp
. t´o i su. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong c´ac d¯oˆ` thi.
.
meta luaˆn ho`an baˆc
. soˆ´ d¯ieˆ`u
. 4 lieˆn thoˆng. Keˆ´t qua’ ch´ınh o’ d¯ˆay l`a moˆt
- oˆ´i v´o.i c´ac d¯oˆ`
kieˆn
. d¯u’ d¯ˆe’ c´ac d¯oˆ` thi. d¯ang x´et c´o chu tr`ınh Hamilton. D

Footer Page 9 of 123.


Header Page 10 of 123.
10

u. nhaˆ´t kh´ac roˆ˜ng, c´ac d¯.inh l´y 3.6, 3.7, 3.8 v`a 3.9 d¯a˜
thi. c´o bieˆ’u tu.o..ng th´
..
.
kh˘a’ ng d¯.inh su.. toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong moˆt
. soˆ´ tru `o ng ho. p.
- i.nh l´y 3.10 c˜
u. nhaˆ´t cu’a c´ac d¯oˆ` thi. n`ay l`a roˆ˜ng, D

ung
Khi bieˆ’u tu.o..ng th´
chı’ ra d¯u.o..c moˆt
ung c´o chu tr`ınh Hamilton neˆ´u
. v`ai d¯ieˆ`u kieˆn
. d¯u’ d¯ˆe’ ch´
m = 2. C´ac keˆ´t qua’ d¯a˜ d¯o´ng g´op phaˆ`n n`ao v`ao vieˆc
. l`am s´ang to’ theˆm
cho gia’ thuyeˆ´t cu’a Thomassen hay gia’ thuyeˆ´t cu’a Alspach v`a Parsons
n´oi r˘`a ng: Taˆ´t ca’ c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an kh´ac v´o.i d¯oˆ` thi. Petersen
d¯ˆe`u c´o chu tr`ınh Hamilton.
..
C´ac keˆ´t qua’ cu’a luaˆn
. ´an d¯u o. c coˆng boˆ´ trong c´ac b`ai b´ao [39], [40],
[41] v`a d¯a˜ d¯u.o..c b´ao c´ao ta.i:
• Seminar “Co. so’. To´an ho.c cu’a Tin ho.c”, Vieˆn
. To´an ho.c, Vieˆn
. Khoa
ho.c v`a Coˆng ngheˆ. Vieˆt
. Nam, H`a Noˆi;
.
. .
• Hoˆi
. nghi. Quoˆ´c teˆ´ “Co so’ To´an ho.c cu’a Tin ho.c” (MFI 99), 10/1999,
H`a Noˆi;
.
.
´ .ng du.ng”, 12/2001, H`a Noˆi;
• Hoˆi
.

. nghi. Quoˆ´c teˆ´ “Toˆ’ ho. p v`a U
• Hoˆi
u. 6, 09/2002, Hueˆ´;
. nghi. To´an ho.c To`an quoˆ´c laˆ`n th´
• Tru.`o.ng thu “Co. so’. To´an ho.c cu’a Tin ho.c”, 09/2003, Qui Nho.n.
..
Luaˆn
. To´an ho.c, Vieˆn
. ´an d¯u o. c ho`an th`anh ta.i Vieˆn
. Khoa ho.c v`a
.. . ..
Coˆng ngheˆ. Vieˆt
. Nam, du ´o i su. hu ´o ng daˆ˜n khoa ho.c cu’a PGS. TS. Ngoˆ
- `ao
- ˘a´c Taˆn, Vieˆn
-u
D
´.c Th`anh, Boˆ. Gi´ao du.c v`a D
. To´an ho.c v`a TS. Kieˆ`u D
ta.o. Toˆi xin b`ay to’ l`ong bieˆ´t o.n chaˆn th`anh v`a saˆu s˘a´c t´o.i c´ac thaˆ`y
u.ng ngu.`o.i d¯a˜ ta.o ra trong toˆi nieˆ`m say meˆ khoa ho.c,
hu.´o.ng daˆ˜n, nh˜
tinh thaˆ`n l`am vieˆc
uc v`a d¯a˜ d`anh cho toˆi su.. hu.´o.ng daˆ˜n chı’
. nghieˆm t´
ung qu´ı b´au. Rieˆng v´o.i thaˆ`y Kieˆ`u
ba’o c´o d¯oˆi ch´
ut kh˘a´t khe nhu.ng voˆ c`
-u
D

´.c Th`anh, toˆi muoˆ´n d¯u.o..c b`ay to’ nieˆ`m thu.o.ng tieˆ´c chaˆn th`anh. Moˆt
.
.
.
.
tai na.n trong chuyeˆ´n coˆng t´ac d¯a˜ cu ´o p d¯i sinh ma.ng cu’a thaˆ`y, ngu `o.i
u.ng bu.´o.c khi toˆi m´o.i chaˆp
u.ng bu.´o.c v`ao
d¯a˜ d`ıu d˘a´t toˆi t`
u.ng bu.´o.c, t`
. ch˜
con d¯u.`o.ng nghieˆn c´
u.u To´an ho.c.

Footer Page 10 of 123.


Header Page 11 of 123.
11

- oˆ˜ Long Vaˆn,
Toˆi xin b`ay to’ l`o.i ca’m o.n saˆu s˘a´c t´o.i GS. TSKH. D
ˆ n v`a TS. Nguyeˆ˜n Qu´y Khang, nh˜
PGS. TS. Pha.m Tr`a A
u.ng taˆ´m gu.o.ng
.
ung nh˜
u.ng l`o.i d¯oˆng
maˆ˜u mu..c veˆ` tinh thaˆ`n l`am vieˆc
. heˆ´t m`ınh c`

. vieˆn, su.
. up toˆi vu.o.t qua moi kh´o kh˘an trong hoc taˆp
gi´
up d¯o˜. taˆn
. t`ınh, voˆ tu gi´
.
.
. .
.
v`a nghieˆn c´
u u.
. .
Toˆi xin ca’m o.n c´ac c´an boˆ. nghieˆn c´
u.u thuoˆc
. Ph`ong Co so’ To´an ho.c
cu’a Tin ho.c, Vieˆn
ung v´o.i
. To´an ho.c d¯a˘. c bieˆt
. l`a TS. Leˆ Coˆng Th`anh c`
. .
c´ac ba.n d¯oˆ`ng nghieˆp
. trong seminar “Co so’ To´an ho.c cu’a Tin ho.c” d¯a˜
´ kieˆ´n d¯o´ng g´op qu´ı b´au khi tha’o luaˆn
u.u
c´o nh˜
u.ng y
. veˆ` keˆ´t qua’ nghieˆn c´
v`a thu.`o.ng xuyeˆn d¯oˆng
. vieˆn khuyeˆ´n kh´ıch toˆi trong suoˆ´t qu´a tr`ınh ho.c
taˆp,

u.u ta.i ph`ong, ta.o cho toˆi d¯u.o..c l`am vieˆc
. nghieˆn c´
. trong moˆt
. moˆi
uc nhu.ng c˜
ung thaˆt
tru.`o.ng khoa ho.c nghieˆm t´
. d¯aˆ`m aˆ´m.
Toˆi c˜
ung xin chaˆn th`anh ca’m o.n Ban l˜anh d¯a.o Vieˆn
. To´an ho.c,
- `ao ta.o sau d¯a.i ho.c v`a to`an theˆ’ c´an boˆ. coˆng nhaˆn vieˆn Vieˆn
Trung taˆm D
.
.
.
.
u ng
To´an ho.c d¯a˜ quan taˆm gi´
up d¯o˜ toˆi moˆt
. c´ach voˆ tu trong suoˆ´t nh˜
n˘am toˆi ho.c taˆp,
u.u ta.i Vieˆn.
.
. nghieˆn c´
. . - ai
Toˆi c˜
ung xin chaˆn th`anh ca’m o.n taˆp
. theˆ’ khoa To´an v`a tru `o ng D
.

.
ho.c Su pha.m H`a Noˆi
. 2 d¯a˜ luoˆn ta.o d¯ieˆ`u kieˆn
. v`a d¯oˆng
. vieˆn kh´ıch leˆ. ki.p
u.ng kh´o kh˘an, vaˆ´t va’ trong qu´a tr`ınh
th`o.i d¯ˆe’ toˆi c´o theˆ’ vu.o..t qua nh˜
thu..c hieˆn
. luaˆn
. ´an.
Cuoˆ´i c`
ung, toˆi xin d¯u.o..c b`ay to’ l`o.i ca’m o.n v`a su.. chia se’ v´o.i ba.n b`e,
ngu.`o.i thaˆn d¯a˜ ng`ay ng`ay beˆn toˆi v´o.i su.. d¯oˆng
vieˆn, gi´
up d¯o˜. ca’ veˆ` vaˆt
.
.
.
.
.
chaˆ´t laˆ˜n tinh thaˆ`n d¯ˆe’ toˆi c´o d¯u o. c keˆ´t qua’ nhu ng`ay hoˆm nay.

Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.

Chu.o.ng 1

´ KIE

´ .C CO. BA’N
ˆ´N THU
CAC

ung ta s˜e tr`ınh b`ay moˆt
Trong chu.o.ng n`ay, ch´
. soˆ´ kh´ai nieˆm
. cu’a l´y
u.ng keˆ´t qua’ co. ba’n
thuyeˆ´t d¯oˆ` thi., l´y thuyeˆ´t nh´om ho´an vi. c`
ung v´o.i nh˜
c´o lieˆn quan t´o.i d¯ˆe` t`ai luaˆn
. ´an. Kh´ai nieˆm
. d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh, d¯oˆ` thi.
.
.
meta luaˆn ho`an v`a moˆt
u.ng
. soˆ´ l´o p d¯oˆ` thi. kh´ac caˆ`n su’ du.ng trong c´ac ch´
.
minh sau n`ay c˜
ung d¯u.o..c gi´o.i thieˆu
. o’ d¯ˆay.
. . ung o’. c´ac phaˆ`n
Tru.´o.c heˆ´t, ch´
ung ta qui u.´o.c moˆt
. soˆ´ k´y hieˆu
. s˜e d¯u o. c d`
.
∗

tieˆ´p theo. K´y hieˆu
u. tu.. l`a v`anh
. N l`a taˆp
. soˆ´ tu. nhieˆn; Z, Zn, Zn theo th´
soˆ´ nguyeˆn, v`anh c´ac soˆ´ nguyeˆn modulo n v`a nh´om nhaˆn c´ac phaˆ`n tu’. kha’
.
nghi.ch thuoˆc
. Zn . V´o i z1 , z2 , . . . , zk ∈ Z, ta k´y hieˆu
. gcd(z1, z2 , . . . , zk ),
lcm(z1, z2 , . . . , zk ) laˆ`n lu.o..t l`a u.´o.c chung l´o.n nhaˆ´t, boˆi
. chung nho’ nhaˆ´t
.
.
cu’a ch´
ung. V´o.i moˆt
. soˆ´ thu. c x, k´y hieˆu
. x l`a soˆ´ nguyeˆn l´o n nhaˆ´t khoˆng
.
. ..
vu.o..t qu´a x. Soˆ´ c´ac taˆp
. con k phaˆ`n tu’ cu’a taˆp
.
. n phaˆ`n tu’ d¯u o. c k´y hieˆu
n
.
bo’ i k .

1.1

-o

D
ˆ` thi.

. u.u
- i.nh ngh˜ıa 1.1. D
- oˆ` thi. l`a moˆt
D
. ho. p h˜
. c˘a.p G = (V, E) goˆ`m hai taˆp
ha.n V v`
a E tho’ a m˜
an d¯ieˆ`u kieˆn
. E ⊆ {{x, y}| x, y ∈ V ; x = y}.
Phaˆ`n tu’. cu’a V d¯u.o..c go.i l`a d¯ı’nh, phaˆ`n tu’. cu’a E d¯u.o..c go.i l`a ca.nh
cu’a d¯oˆ` thi. G.
Trong d¯.inh ngh˜ıa n`ay, moˆ˜i phaˆ`n tu’. cu’a E l`a moˆt
. taˆp
. goˆ`m hai phaˆ`n
.
..
.
tu’. kh´ac nhau thuoˆc
. V . Nhu vaˆy,
. c´ac d¯oˆ` thi. d¯u o. c x´et o’ d¯ˆay l`a c´ac d¯oˆ`
thi. h˜
u.u ha.n voˆ hu.´o.ng, khoˆng c´o khuyeˆn v`a khoˆng c´o ca.nh boˆi.
.
12

Footer Page 12 of 123.

Header Page 13 of 123.
13

Ngu.`o.i ta thu.`o.ng bieˆ’u dieˆ˜n d¯oˆ` thi. treˆn m˘a.t ph˘a’ ng nhu. sau: c´ac
v`ong tr`on nho’ (roˆ˜ng ho˘a.c d¯a˘. c) bieˆ’u thi. c´ac d¯ı’nh v`a noˆ´i hai d¯ı’nh b˘`a ng
..
moˆt
. ca.nh trong G.
. d¯u `o ng lieˆn tu.c neˆ´u hai d¯ı’nh d¯o´ ta.o th`anh moˆt
- oˆ` thi. G = (V, E) v´o.i V = {a1 , . . . , a5}, E = {{a1 , a2}, {a1, a3 },
V´ı du.. D
{a , a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }} v`a G = (V , E ) v´o.i V = {1, . . . , 7},
1

4

1

5

2

4

3

5

E = {{1, 5}, {2, 3}, {2, 6}, {2, 7}, {6, 7}} d¯u.o..c bieˆ’u dieˆ˜n trong h`ınh1.1.
G
as1

G

a5 s

1s

sa2

2s

7s
s

a4

s

a3

3s
s4

s

6

s

5

H`ınh 1.1: Bieˆ’u dieˆ˜n d¯oˆ` thi. treˆn m˘a.t ph˘a’ ng

..
Ta n´oi G = (V, E) l`a moˆt
.
. d¯oˆ` thi. treˆn V ; taˆp
. d¯ı’nh cu’a G d¯u o. c k´y hieˆu
- ˆe’ d¯o.n gia’n, ta c´o theˆ’ vieˆ´t “d¯ı’nh v ∈ G”
l`a V (G), taˆp
. ca.nh l`a E(G). D
hay “ca.nh e ∈ G” ch´
u. khoˆng nhaˆ´t thieˆ´t pha’i vieˆ´t “d¯ı’nh v ∈ V (G)” hay
“ca.nh e ∈ E(G)”.
Soˆ´ d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi. G d¯u.o..c go.i l`a caˆ´p (order) cu’a G v`a d¯u.o..c k´y
..
.
hieˆu
.
. b˘a` ng |G|. Soˆ´ ca.nh cu’a n´o d¯u o. c go.i l`a c˜o (size) cu’a G v`a k´y hieˆu
l`a G . Nhu. vaˆy
. |G| = |V | c`on G = |E|. Moˆt
. d¯oˆ` thi. c´o caˆ´p 0 ho˘a.c 1
.
o.ng. Hieˆ’n nhieˆn l`a neˆ´u moˆt
d¯u.o..c go.i l`a taˆ`m thu.`
. d¯oˆ` thi. c´o caˆ´p n th`ı c˜o

m cu’a n´o tho’a m˜an 0 ≤ m ≤ n2 .
.
.
Ta n´oi d¯ı’nh v lieˆn thuoˆc
. v´o i d¯ı’nh
. v´o i ca.nh e (hay ca.nh e lieˆn thuoˆc
.
..
v) neˆ´u v ∈ e. C´ac d¯ı’nh lieˆn thuoˆc
. v´o i moˆt
. ca.nh d¯u o. c go.i l`a c´ac d¯aˆ`u
m´
ut cu’a ca.nh d¯o´. Neˆ´u khoˆng c´o su.. nhaˆ`m laˆ˜n, ca.nh {x, y} c´o theˆ’ d¯u.o..c
vieˆ´t go.n th`anh xy (ho˘a.c yx).
Hai d¯ı’nh x, y cu’a G d¯u.o..c go.i l`a keˆ` nhau ho˘a.c l`a h`ang x´om (cu’a

Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.
14

nhau) neˆ´u xy l`a moˆt
. ca.nh trong G. Hai ca.nh kh´ac nhau e v`a f cu’a G
ung c´o chung moˆt
ut.
d¯u.o..c go.i l`a lieˆ`n nhau neˆ´u ch´
. d¯aˆ`u m´
Neˆ´u V ⊆ V v`a E ⊆ E th`ı d¯oˆ` thi. G = (V , E ) d¯u.o..c go.i l`a d¯oˆ` thi.
con cu’a G v`a vieˆ´t l`a G ⊆ G. Neˆ´u V = V th`ı ta n´oi G l`a d¯oˆ` thi. con

u.ng ca.nh xy cu’a G
u.a taˆ´t ca’ nh˜
bao tr`
um cu’a G. Neˆ´u G ⊆ G v`a G ch´
m`a x, y ∈ V th`ı G d¯u.o..c go.i l`a d¯oˆ` thi. con ca’ m sinh cu’a G treˆn V v`a
vieˆ´t G = G[V ].
V´ı du..
1s

G

G

s2

2s

8s
7 s

s3
s

6

s

5

s

8s
7s

4

G

s3
s

6

s2

1s
8s
7s

s3
s

6

s

5

s

4

- oˆ` thi. con ca’m sinh G v`a d¯oˆ` thi. con bao tr`
H`ınh 1.2: D
um G cu’a G

u.ng d¯oˆ` thi. “kh´ac nhau” nhu.ng sau khi d¯oˆ’i teˆn
Trong thu..c teˆ´, c´o nh˜
c´ac d¯ı’nh th`ı ch´
ung la.i “gioˆ´ng nhau”. Nh˜
u.ng d¯oˆ` thi. nhu. theˆ´ d¯u.o..c go.i l`a
ung v´o.i nhau.
d¯a˘’ ng caˆ´u v`a ngu.`o.i ta thu.`o.ng d¯oˆ`ng nhaˆ´t ch´
- i.nh ngh˜ıa 1.2. Gia’ su’. G = (V, E) v`a G = (V , E ) l`a hai d¯oˆ` thi.. Ta
D
`
n´
oi r˘
a ng G d¯˘
a’ ng caˆ´u v´
o.i G ho˘a.c G v`a G d¯˘a’ ng caˆ´u v´o.i nhau v`a vieˆ´t
G∼
= G neˆ´u toˆ`n ta.i song a´nh ϕ : V → V sao cho xy ∈ E khi v`a chı’ khi
ϕ(x)ϕ(y) ∈ E v´
o.i mo.i x, y ∈ V .
Song ´anh ϕ d¯u.o..c go.i l`a moˆt
u.a G v`a G . Neˆ´u G = G th`ı
. d¯˘a’ ng caˆ´u gi˜
.
.

ung
ϕ s˜e d¯u.o..c go.i l`a moˆt
. tu. d¯˘a’ ng caˆ´u treˆn G. C´ac tu. d¯a˘’ ng caˆ´u treˆn G c`
v´o.i ph´ep ho..p th`anh cu’a hai a´nh xa. ta.o neˆn moˆt
om c´
ac
. nh´om, go.i l`a nh´
.
..
tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u treˆn G v`a k´y hieˆu
. bo’ i Aut(G). Thoˆng thu `o ng, ta khoˆng
phaˆn bieˆt
. hai d¯oˆ` thi. d¯a˘’ ng caˆ´u, c´o ngh˜ıa l`a ta c´o theˆ’ vieˆ´t G = G thay
cho G ∼
= G.

Footer Page 14 of 123.


Header Page 15 of 123.
15

V´ı du..

G
as1

G
vs1

a2 s

s a5

s

a3

s

a4

v2 s

sv5

s

v3

s

v4

H`ınh 1.3: Hai d¯oˆ` thi. d¯a˘’ ng caˆ´u G v`a G

.
..
.
Khi l`am vieˆc

. c´ac thao t´ac xo´a
. v´o i d¯oˆ` thi., ta thu `o ng pha’i thu. c hieˆn
d¯i ho˘a.c boˆ’ sung v`ao moˆt
u.ng
. soˆ´ d¯ı’nh ho˘a.c ca.nh n`ao d¯o´. Sau d¯ˆay l`a nh˜
u. v`a k´y hieˆu
qui u.´o.c veˆ` thuaˆt
. ng˜
. d¯ˆe’ moˆ ta’ c´ac thao t´ac n`ay.
Cho hai d¯oˆ` thi. G = (V, E) v`a G = (V , E ). Ta d¯.inh ngh˜ıa ho..p cu’a
G v`a G l`a d¯oˆ` thi. G ∪ G = (V ∪ V , E ∪ E ) v`a giao cu’a ch´
ung l`a d¯oˆ`
thi. G ∩ G = (V ∩ V , E ∩ E ). Neˆ´u V ∩ V = ∅, th`ı G v`a G d¯u.o..c go.i
l`a r`
o.i nhau.
Gia’ su’. U ⊆ V l`a taˆp
. n`ao d¯o´ c´ac d¯ı’nh cu’a G = (V, E). Ta d¯.inh ngh˜ıa
..
G − U l`a d¯oˆ` thi. G[V \ U ]. N´oi c´ach kh´ac, G − U l`a d¯oˆ` thi. nhaˆn
. d¯u o. c
t`
u. G b˘a` ng c´ach xo´
a d¯i taˆ´t ca’ c´ac d¯ı’nh thuoˆc
. U v`a c´ac ca.nh lieˆn thuoˆc
.
ung. Neˆ´u F ⊆ E th`ı ta d¯.inh ngh˜ıa d¯oˆ` thi. G − F = (V, E \ F ).
v´o.i ch´
Neˆ´u U = {u} ho˘a.c F = {f } th`ı ta c´o theˆ’ vieˆ´t go.n l`a G − u ho˘a.c G − f .
Neˆ´u x v`a y l`a hai d¯ı’nh khoˆng keˆ` nhau trong G th`ı G + xy l`a d¯oˆ` thi.
. . u. G b˘`a ng c´ach boˆ’ sung canh xy v`ao taˆp canh cu’a G.

nhaˆn
.
.
.
. d¯u o. c t`
.
Tieˆ´p theo, ch´
ung ta n´oi veˆ` baˆc
. cu’a d¯oˆ` thi.. Gia’ su’ G = (V, E)
l`a moˆt
. d¯oˆ` thi. khoˆng roˆ˜ng, v l`a moˆt
. d¯ı’nh cu’a G. Ta k´y hieˆu
. E(v) l`a
.
.
u.c l`a
taˆp
. c´ac d¯ı’nh keˆ` v´o i v, t´
. c´ac ca.nh lieˆn thuoˆc
. v´o i v, N (v) l`a taˆp
E(v) = {e ∈ E | v ∈ e}, N (v) = {u ∈ V | uv ∈ E}. Trong tru.`o.ng
ho..p muoˆ´n nhaˆ´n ma.nh r˘`a ng d¯oˆ` thi. neˆ`n l`a G, ta c´o theˆ’ k´y hieˆu
. EG (v) v`a
ung ta c´o d¯.inh ngh˜ıa sau:
NG (v). V´o.i c´ac k´y hieˆu
. n`ay, ch´

Footer Page 15 of 123.

Header Page 16 of 123.
16

.
- i.nh ngh˜ıa 1.3. Baˆc
D
.
. cu’a v, k´y hieˆu
. bo’ i deg(v), l`a soˆ´ ca.nh lieˆn thuoˆc
.
.
.
- ı’nh baˆc
v´
o i v, ngh˜ıa l`a deg(v) = |E(v)|. D
. 0 d¯u o. c go.i l`a d¯ı’nh coˆ laˆp.
.
.
Baˆc
. nho’ nhaˆ´t cu’a G l`a soˆ´ δ(G) = min{deg(v) | v ∈ V }; baˆc
. l´o n
nhaˆ´t cu’a G l`
a soˆ´ ∆(G) = max{deg(v) | v ∈ V }.
..
V´ı du.. Trong h`ınh 1.4, baˆc
. cu’a c´ac d¯ı’nh v`a cu’a d¯oˆ` thi. G d¯u o. c chı’ r˜o.
G
bs

sc

g
a

s

s

deg(a) = deg(b) = 3
deg(d) = deg(e) = 2

sd

s

s

f

deg(c) = deg(f ) = deg(g) = 4
δ(G) = 2; ∆(G) = 4

e

H`ınh 1.4: Baˆc
. cu’a d¯ı’nh, baˆc
. cu’a d¯oˆ` thi.

Deˆ˜ thaˆ´y r˘a` ng δ(G) = ∆(G) = k khi v`a chı’ khi deg(v) = k v´o.i mo.i
- oˆ` thi. d¯ˆe`u baˆc

d¯ı’nh v ∈ G. Khi d¯o´ d¯oˆ` thi. G d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆe`u baˆc
. k. D
.
.
.
.
.
3 d¯u o. c go.i l`a d¯oˆ` thi. baˆc
. 3 (cubic), d¯oˆ` thi. d¯ˆe`u baˆc
. 4 d¯u o. c go.i l`a d¯oˆ` thi.
- oˆ` thi. d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆe`u neˆ´u n´o l`a d¯oˆ` thi. d¯ˆe`u baˆc
baˆc
. k
. 4 (tetravalent). D
v´o.i k n`ao d¯o´.
V´ı du..
s
s
s

s

s

s

s

s
s

s
s

s
s

s

s

s
s

s

s

H`ınh 1.5: V´ı du. d¯oˆ` thi. d¯ˆe`u

Ta ch´
u y
´ r˘`a ng theo d¯.inh ngh˜ıa d¯oˆ` thi., baˆc
ung ch´ınh
. cu’a d¯ı’nh c˜
b˘`a ng |N (v)|. Neˆ´u t´ınh toˆ’ng soˆ´ baˆc
. cu’a c´ac d¯ı’nh trong d¯oˆ` thi., ta s˜e
pha’i d¯ˆe´m moˆ˜i ca.nh d¯u
´ng hai laˆ`n. Do d¯o´ v´o.i mo.i d¯oˆ` thi. ta luoˆn c´o

Footer Page 16 of 123.


Header Page 17 of 123.
17

u.a soˆ´ d¯ı’nh baˆc
deg(v) = 2|E| = 2 G . Ho.n theˆ´ n˜
. le’ trong d¯oˆ` thi.
pha’i l`a moˆt
. soˆ´ ch˘a˜n.
v∈V

Trong nh˜
u.ng nghieˆn c´
u.u veˆ` d¯oˆ` thi., l´y thuyeˆ´t nh´om v`a nh´om ho´an
´.ng du.ng d¯a˘. c bieˆt
vi. c´o nh˜
u.ng u
. quan tro.ng. L´y thuyeˆ´t d¯oˆ` thi. d¯a.i soˆ´
. ´ tu.o’.ng d¯o´. D
- oˆ`
d¯a˜ d¯u.o..c h`ınh th`anh v`a ph´at trieˆ’n, moˆt
. phaˆ`n, l`a nh`o y
thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh l`a moˆt
u.ng d¯oˆ´i tu.o..ng d¯u.o..c quan taˆm nhieˆ`u o’.
. trong nh˜
.
l˜ınh vu..c n`ay. Trong mu.c tieˆ´p theo, c´ac kh´ai nieˆm
. co ba’n veˆ` nh´om ho´an

.
vi., d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh v`a moˆt
. v`ai l´o p con cu’a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh, s˜e
.
d¯u.o..c gi´o.i thieˆu
. chi tieˆ´t ho n.

1.2

-o
´c ca
ˆn ho`
D
a
¯ı’nh v`
ad
¯o
an
ˆ` thi. b˘
ˆ`u d
ˆ` thi. meta lua

Tru.´o.c heˆ´t, ta n´oi d¯ˆe´n c´ac kh´ai nieˆm
. ho´an vi., nh´om ho´an vi. v`a t´ac
.
d¯oˆng
. cu’a moˆt
. nh´om leˆn moˆt
. taˆp
. ho. p.

1.2.1

Nh´
om ho´
an vi.

uy y
´ m`a phaˆ`n tu’. cu’a n´o d¯u.o..c go.i
Gia’ su’. Ω l`a moˆt
u.u ha.n t`
. taˆp
. h˜
l`a c´ac d¯ieˆ’m. Moˆt
an vi., hay ph´ep theˆ´ treˆn Ω l`a moˆt
u. Ω
. ho´
. song a´nh t`
leˆn ch´ınh n´o. Gia’ su’. Ω = {1, 2, . . . , n}. Ph´ep theˆ´ p treˆn Ω s˜e d¯u.o..c vieˆ´t
du.´o.i da.ng
p=

1

2

...

n

p(1) p(2) . . . p(n)

=

α
p(α)

.

Trong d¯o´, a’nh cu’a α ∈ Ω qua ho´an vi. p d¯u.o..c k´y hieˆu
. l`a p(α). T´ıch
..
.
cu’a hai ph´ep theˆ´ p v`a q treˆn Ω, k´y hieˆu
. l`a pq, d¯u o. c d¯.inh ngh˜ıa bo’ i
pq(α) = p(q(α)) c˜
ung l`a moˆt
. ph´ep theˆ´ treˆn Ω. Taˆp
. taˆ´t ca’ c´ac ho´an vi.
.
om d¯oˆ´i
treˆn Ω ta.o th`anh moˆt
. nh´om d¯oˆ´i v´o i t´ıch n´oi treˆn, ta go.i l`a nh´
. Ω
..
Ω
om
x´
u.ng treˆn Ω v`a k´y hieˆu
. bo’ i S . Nh´om con Γ cu’a S d¯u o. c go.i l`a nh´
ho´

an vi. treˆn Ω.

Footer Page 17 of 123.


Header Page 18 of 123.
18

Ph´ep theˆ´ p treˆn Ω c`on d¯u.o..c bieˆ’u dieˆ˜n du.´o.i da.ng kh´ac, da.ng tuaˆ`n
ho`
an cu’a p. Gia’ su’. Ω = {1, 2, . . . , 7} v`a ph´ep theˆ´
p=

1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 4 6 7

.

Khi d¯o´ ta c´o theˆ’ vieˆ´t p = (1 2 3)(4 5)(6)(7). C´ach vieˆ´t n`ay d¯u.o..c go.i l`a
ˆn t´ıch th`
anh c´
ac chu tr`ınh r`
o.i nhau (1 2 3), (4 5), (6) v`a (7) (hay
su.. pha
.
c`on go.i l`a c´
ac v`ong x´ıch d¯oˆc
. laˆp)
. cu’a p. Su. phaˆn t´ıch n`ay l`a duy nhaˆ´t
(neˆ´u khoˆng keˆ’ d¯ˆe´n th´

u. tu.. cu’a c´ac chu tr`ınh) d¯oˆ´i v´o.i moˆ˜i ph´ep ho´an vi.
treˆn Ω.
.
..
Kh´ai nieˆm
. ph´ep theˆ´ nu’ a ch´ınh qui d¯u o. c d¯.inh ngh˜ıa sau d¯ˆay s˜e caˆ`n
d¯ˆe´n khi ch´
u.ng minh c´ac keˆ´t qua’ trong Chu.o.ng 3. Ta n´oi ph´ep theˆ´ p l`a
nu’.a ch´ınh qui (semiregular) neˆ´u taˆ´t ca’ c´ac chu tr`ınh trong ph´ep phaˆn
ung d¯oˆ. d`ai.
t´ıch th`anh c´ac chu tr`ınh r`o.i nhau cu’a n´o d¯ˆe`u c´o c`
Gia’ su’. Γ l`a nh´om ho´an vi. treˆn Ω. Khi d¯o´ ta s˜e n´oi r˘`a ng nh´om Γ
leˆn Ω. Nh´om ho´an vi. Γ treˆn Ω d¯u.o..c go.i l`a b˘a´c caˆ`u treˆn Ω
t´ac d¯oˆng
.
neˆ´u v´o.i mo.i x, y ∈ Ω, luoˆn toˆ`n ta.i γ ∈ Γ d¯ˆe’ y = γ(x), tr´ai la.i Γ d¯u.o..c
go.i l`a khoˆng b˘a´c caˆ`u.
V´o.i moˆt
leˆn Ω v`a d¯ieˆ’m x ∈ Ω, taˆp
. nh´om Γ t´ac d¯oˆng
.
. Γx =
{γ(x) | γ ∈ Γ } d¯u.o..c go.i l`a moˆt
. qu˜ı d¯a.o cu’a Γ , |Γ x| l`a d¯oˆ. d`ai cu’a
qu˜ı d¯a.o n`ay. Nhu. vaˆy,
. moˆt
. taˆp
. con ∆ ⊆ Ω l`a qu˜ı d¯a.o cu’a Γ khi v`a chı’
khi toˆ`n ta.i x ∈ ∆ sao cho ∆ = Γ x. C´o theˆ’ thaˆ´y r˘`a ng taˆp
. c´ac qu˜ı d¯a.o

cu’a Γ ta.o neˆn moˆt
. phaˆn hoa.ch cu’a Ω.
Sau d¯ˆay ch´
ung ta s˜e d¯.inh ngh˜ıa d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh, d¯oˆ` thi. luaˆn
ho`an, d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an v`a d¯oˆ` thi. Cayley.

Footer Page 18 of 123.


Header Page 19 of 123.
19

C´
ac d
¯.inh ngh˜ıa

1.2.2

.
Gia’ su’. G = (V, E) l`a moˆt
. d¯oˆ` thi.. Ta c´o theˆ’ coi moˆ˜i tu. d¯a˘’ ng caˆ´u ϕ
.
cu’a G l`a moˆt
. ph´ep theˆ´ treˆn V , v`a v`ı vaˆy
. nh´om Aut(G) c´ac tu. d¯a˘’ ng caˆ´u
.
cu’a G l`a moˆt
. nh´om ho´an vi. treˆn V . Baˆy gi`o ta d¯a˜ c´o theˆ’ d¯.inh ngh˜ıa
kh´ai nieˆm
. d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh.

- i.nh ngh˜ıa 1.4. D
- oˆ` thi. G = (V, E) d¯u.o..c go.i l`a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh
D
ac d¯oˆng
b˘a´c caˆ`u leˆn taˆp
(vertex-transitive) neˆ´u Aut(G) t´
. d¯ı’nh V cu’a
.
n´o. N´
oi c´ach kh´
ac, d¯oˆ` thi. G l`a b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh neˆ´u v´o.i hai d¯ı’nh baˆ´t k`y
.
u, v ∈ G, luoˆn toˆ`n moˆt
. ta.i tu. d¯˘a’ ng caˆ´u ϕ ∈ Aut(G) sao cho v = ϕ(u).
- oˆ` thi. Coxeter v`a d¯oˆ` thi. Petersen l`a c´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh
V´ı du.. D
(xem h`ınh 1.6).
vs00

s
s

s
s

s
s

s

s
s

s

s

s

s

s
s

s

s

v10 s

s
s

s

s

s

s

s

sv01

v1
s 1

v21 s
s

G1

v41

s

s
s

s

v20

sv40

v31

s

s
s 0
v
3

G2

H`ınh 1.6: C´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh Coxeter (G1 ) v`a Petersen (G2 )

Trong v´ı du. treˆn, c´o theˆ’ thaˆ´y r˘`a ng d¯oˆ` thi. Petersen (G2) ch´ınh l`a
d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an G = MC(2, 5, 2, {1, 4}, {0}) (v´o.i c´ach g´an teˆn
c´ac d¯ı’nh th´ıch ho..p, ch˘a’ ng ha.n nhu. trong h`ınh 1.6). Khi d¯o´ nh´om tu..
d¯a˘’ ng caˆ´u cu’a n´o ch´
u.a nh´om con b˘a´c caˆ`u ρ, τ , v´o.i ρ v`a τ x´ac d¯.inh bo’.i
i+1
i
- oˆ´i v´o.i d¯oˆ` thi. Coxeter (G1),
ρ(vji ) = vj+1
, τ (vji ) = v2j
(i ∈ Z2 , j ∈ Z5 ). D
vieˆc
u.ng minh n´o l`a b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh la.i khoˆng d¯o.n gia’n, N. Biggs d¯a˜
. ch´
ch´
u.ng minh kh˘a’ ng d¯.inh n`ay trong [11].

Footer Page 19 of 123.


Header Page 20 of 123.

20

Hieˆ’n nhieˆn r˘a` ng c´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh l`a nh˜
u.ng d¯oˆ` thi. d¯ˆe`u, nhu.ng
c´o nh˜
u.ng d¯oˆ` thi. d¯ˆe`u nhu.ng khoˆng pha’i l`a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh.
.
.
Nhu. d¯a˜ d¯ˆe` caˆp
. o’ phaˆ`n mo’ d¯aˆ`u, trong soˆ´ c´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh,
uc d¯o.n gia’n nhaˆ´t v`a d¯u.o..c nghieˆn
d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an l`a l´o.p d¯oˆ` thi. c´o caˆ´u tr´
u.u veˆ` d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an c˜
ung d¯u.o..c
c´
u.u nhieˆ`u. Moˆt
. v`ai keˆ´t qua’ nghieˆn c´
su’. du.ng trong c´ac ch´
u.ng minh cu’a luaˆn
. ´an. Theo truyeˆ`n thoˆ´ng, d¯oˆ` thi.
.
luaˆn ho`an d¯u.o..c d¯.inh ngh˜ıa du.´o.i da.ng coˆng
. t´ınh nhu sau:
..
- i.nh ngh˜ıa 1.5. Gia’ su’. n l`a moˆt
D
a S l`
a taˆp
. soˆ´ nguyeˆn du o ng v`
. con cu’a

an 0 ∈
/ S v`
a S = −S, o’. d¯ˆay −S = {−s| s ∈ S}. Khi d¯´o d¯oˆ`
Zn thoa’ m˜
ˆn ho`
thi. lua
an C(n, S) l`a d¯oˆ` thi. c´o taˆp
. d¯ı’nh V (C(n, S)) = {vi | i ∈ Zn }
.
v`
a taˆp
. ca.nh E(C(n, S)) = {vivj | i, j ∈ Zn , (j − i) ∈ S}, o’ d¯aˆy c´ac chı’
..
..
o.i luoˆn d¯u.o..c laˆ´y theo modulo n. Taˆp
soˆ´ du.´
. S d¯u o. c go.i l`a bieˆ’u tu o. ng
ˆn ho`
an C(n, S).
cu’a d¯oˆ` thi. lua
.
V´ı du.. Trong h`ınh 1.7 l`a moˆt
. soˆ´ d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an v´o i n = 6, n = 7 v`a
n=8
vs0

v1 s

v2

vs0

v1 s

s v5

s

sv

vs0

v2

v1 s

s v6

s

sv

v2 s

s

sv6

5

4

v3
G1 = C(6, {±2, 3})

s v7

s

v3

s

v4

G2 = C(7, {±1, ±2})

v3 s

s v5
s

v4
G3 = C(8, {±3})

- oˆ` thi. luaˆn ho`an
H`ınh 1.7: D

u.a
Deˆ˜ kieˆ’m tra d¯u.o..c r˘a` ng nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u cu’a C(n, S) c´o ch´

nh´om con ρ v´o.i tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u ρ x´ac d¯.inh bo’.i ρ(vi ) = vi+1 t´ac d¯oˆng
. b˘a´c
caˆ`u leˆn taˆp
. d¯ı’nh cu’a n´o. V`ı vaˆy
. C(n, S) l`a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh. Ta
u.u tu.o..ng
c˜
ung thaˆ´y r˘a` ng d¯.inh ngh˜ıa n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i d¯.inh ngh˜ıa tr`
cu’a d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an.

Footer Page 20 of 123.


Header Page 21 of 123.
21

ung ta ph´at bieˆ’u d¯.inh ngh˜ıa d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an theo
Baˆy gi`o. ch´
.
c´ach tieˆ´p caˆn
. cu’a toˆ’ ho. p.
- i.nh ngh˜ıa 1.6. Gia’ su’. m, n l`
D
a c´ac soˆ´ nguyeˆn du.o.ng, α ∈ Z∗n , µ =
m
a S0 , S1, . . . , Sµ l`
a c´ac taˆp
. con cu’a Zn thoa’ m˜an c´ac d¯ieˆ`u kieˆn:
.
2 v`

a S0 = −S0;
1. 0 ∈
/ S0 v`
o.i 0 ≤ r ≤ µ;
2. αm Sr = Sr v´
3. αµ Sµ = −Sµ neˆ´u m ch˘a˜n.
Khi d¯´
o, ta d¯.inh ngh˜ıa d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an G = MC(m, n, α, S0, . . . ,
i
o taˆp
Sµ ) l`a d¯oˆ` thi. c´
. d¯ı’nh V (G) = {vj | i ∈ Zm ; j ∈ Zn } v`a taˆp
. ca.nh
E(G) = {vji vhi+r | 0 ≤ r ≤ µ; i ∈ Zm; j, h ∈ Zn; (h − j) ∈ αi Sr },
ˆy c´ac chı’ soˆ´ treˆn luoˆn d¯u.o..c laˆ´y theo modulo m, chı’ soˆ´ du.´o.i theo
o’. d¯a
..
..
u. r + 1, V i = {vji | j ∈ Zn }
modulo n. Taˆp
. Sr d¯u o. c go.i l`a bieˆ’u tu o. ng th´
(i ∈ Zm ) l`
a c´
ac khoˆ´i, m l`
a soˆ´ khoˆ´i, n l`
a d¯oˆ. d`ai khoˆ´i cu’a G.
.
V´ı du.. H`ınh 1.8 l`a moˆt
. d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an v´o i m = 3, n = 7.
v00

s

1

v10

sv0

s

v11
s

s

s

s
v0

v21 s

v22
v31 s
v30

s

6

s v2
5

v12 s

2

s v1

v62

v02

sv60

s
s

s

v42

1

sv5

v32

s 0
v

5

sv 1
4

s

v40

G = MC(3, 7, 2, {±1}, {0})
- oˆ` thi. meta luaˆn ho`an
H`ınh 1.8: D

Trong [5], Alspach v`a Parsons d¯a˜ ch´
u.ng minh r˘a` ng d¯.inh ngh˜ıa n`ay
- oˆ` thi. meta luaˆn ho`an l`a d¯oˆ`
u.u tu.o..ng: “D
tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i d¯.inh ngh˜ıa tr`

Footer Page 21 of 123.


Header Page 22 of 123.
22

.
.
u.a moˆt
thi. c´o nh´om tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u ch´
. nh´om con sinh bo’ i hai phaˆ`n tu’ ρ, τ

l`a t´ıch nu’.a tru..c tieˆ´p cu’a ρ v´o.i τ t´ac d¯oˆng
. b˘a´c caˆ`u leˆn taˆp
. d¯ı’nh cu’a
i+1
i
n´o”. Hai tu.. d¯a˘’ ng caˆ´u ρ, τ d¯u.o..c x´ac d¯.inh bo’.i ρ(vji ) = vj+1
, τ (vji ) = vαj
.
Nhu. vaˆy,
ung l`a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh.
. c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an c˜
.
..
Moˆt
. l´o p con kh´ac cu’a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh l`a d¯oˆ` thi. Cayley s˜e d¯u o. c
d¯.inh ngh˜ıa ngay sau d¯ˆay.
- i.nh ngh˜ıa 1.7. Gia’ su’. Γ l`a moˆt
D
u.u ha.n vieˆ´t theo loˆ´i nhaˆn,
. nh´om h˜
S l`a moˆt
an d¯ieˆ`u kieˆn
/ S v`a S = S −1, trong
. taˆp
. con cu’a Γ tho’ a m˜
. 1∈
d¯o´ S −1 = {s−1 | s ∈ S. Khi d¯´o d¯oˆ` thi. Cayley treˆn Γ u
´.ng v´o.i S, k´y hieˆu
.
o taˆp

bo’.i Cay(Γ, S), l`a d¯oˆ` thi. c´
. d¯ı’nh V (Cay(Γ, S)) = Γ v`a hai d¯ı’nh
x, y ∈ Γ l`
a keˆ` nhau trong Cay(Γ, S) neˆ´u v`a chı’ neˆ´u x−1y ∈ S.
x
∗
Moˆ˜i phaˆ`n tu’. γ ∈ Γ ca’m sinh treˆn Γ moˆt
. ho´an vi. γ = xγ . C´o
.
∗
theˆ’ kieˆ’m tra d¯u.o..c r˘`a ng γ ∗ l`a moˆt
. tu. d¯a˘’ ng caˆ´u cu’a Cay(Γ, S) v`a Γ =
. u.a Γ ∗ t´ac
{γ ∗ | γ ∈ Γ } l`a moˆt
. nh´om con cu’a Aut(Cay(Γ, S)). Ho n n˜
d¯oˆng
. b˘a´c caˆ`u treˆn Γ . V`ı vaˆy
. d¯oˆ` thi. Cayley l`a d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh.

C´o theˆ’ chı’ ra r˘a` ng, d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an l`a tru.`o.ng ho..p d¯a˘. c bieˆt
. cu’a d¯oˆ`
thi. Cayley khi Γ l`a nh´om xyclic caˆ´p n. Nhu.ng d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an
th`ı chu.a ch˘a´c d¯a˜ l`a Cayley. Trong [5], c´ac t´ac gia’ c`on chı’ r˜o c´ac t´ınh
u.a ch´
ung v´o.i
chaˆ´t co. ba’n cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an v`a moˆ´i lieˆn heˆ. gi˜
.
moˆt
. soˆ´ l´o p d¯oˆ` thi. b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh kh´ac. Trong khuoˆn khoˆ’ cu’a luaˆn
. a´n,

ch´
ung toˆi khoˆng tr`ınh b`ay chi tieˆ´t nh˜
u.ng noˆi
. dung n`ay.

1.3

ˆn tho
ˆng
T´ınh lie

- i.nh ngh˜ıa 1.8. Gia’ su’. G(V, E) l`a moˆt
anh tr`ınh W trong
D
. d¯oˆ` thi.. H`
G l`
a moˆt
ay c´
ac d¯ı’nh x0, x1, x2, . . . , x , o’. d¯aˆy xi−1xi ∈ E v´o.i 1 ≤ i ≤ .
. d˜
Soˆ´ d¯u.o..c go.i l`a d¯oˆ. d`
ai cu’a h`anh tr`ınh W .

Footer Page 22 of 123.


Header Page 23 of 123.
23

Khi d¯o´ ta n´oi W l`a moˆt

u. x0 d¯ˆe´n x ho˘a.c W noˆ´i x0 v´o.i
. h`anh tr`ınh t`
..
x ho˘a.c W l`a moˆt
. x0 − x h`anh tr`ınh v`a thu `o ng vieˆ´t W = x0x1 . . . x .
..
H`anh tr`ınh W = x0 x1 . . . x v´o.i c´ac d¯ı’nh d¯oˆi moˆt
. kh´ac nhau d¯u o. c
.o.ng trong G. Soˆ´ d¯u.o.c goi l`a d¯oˆ d`ai cu’a d¯u.`o.ng.
go.i l`a moˆt
. d¯u `
. .
.
H`anh tr`ınh W = x0x1 . . . x x0, trong d¯o´ W = x0 x1 . . . x l`a moˆt
.
..
d¯u.`o.ng, d¯u.o..c go.i l`a moˆt
. chu tr`ınh trong G. Soˆ´ ( + 1) d¯u o. c go.i l`a d¯oˆ.
d`
ai cu’a chu tr`ınh.
..
V´ı du.. H`ınh 1.9 s˜e minh ho.a cho c´ac kh´ai nieˆm
. d¯u `o ng, chu tr`ınh.
G
2s

1s
8
s

7

s

C

s3
s
s 5
6

s

2s

s2

1s
s

4

P

7

s
s

6

8
5

s

s3
s
s 5
6

s

4

- oˆ` thi. G v´o.i chu tr`ınh C v`a d¯u.`o.ng P cu’a n´o
H`ınh 1.9: D

- i.nh ngh˜ıa 1.9. D
- oˆ` thi. khoˆng ro˜ˆng G d¯u.o..c go.i l`
a lieˆn thoˆng neˆ´u hai
D
..
o.i nhau bo’.i moˆt
d¯ı’nh baˆ´t k`y cu’a n´o luoˆn d¯u.o..c noˆ´i v´
. d¯u `o ng trong G.
- oˆ` thi. con ca’m sinh lieˆn thoˆng cu..c d¯a.i cu’a G d¯u.o..c go.i l`a th`
anh
D
.

phaˆ`n lieˆn thoˆng (go.i t˘a´t l`a th`anh phaˆ`n) cu’a G. O’ d¯ˆay, moˆt
. d¯oˆ` thi. con
ca’m sinh lieˆn thoˆng H cu’a G d¯u.o..c xem l`a cu..c d¯a.i neˆ´u G[V (H) ∪ {v}]
v´o.i mo.i v ∈ V (G) \ V (H) l`a d¯oˆ` thi. khoˆng lieˆn thoˆng. Nhu. vaˆy,
. moˆt
. d¯oˆ`
thi. khoˆng roˆ˜ng c´o theˆ’ c´o moˆt
. hay nhieˆ`u th`anh phaˆ`n lieˆn thoˆng. C´ac
- ı’nh
th`anh phaˆ`n cu’a moˆt
. d¯oˆ` thi. c´o theˆ’ c´o soˆ´ d¯ı’nh, soˆ´ ca.nh kh´ac nhau. D
..
coˆ laˆp
. th`anh phaˆ`n cu’a d¯oˆ` thi..
. d¯u o. c coi l`a moˆt
V´ı du.. Trong h`ınh 1.10, d¯oˆ` thi. G c´o ba th`anh phaˆ`n v`a d¯oˆ` thi. G c˜
ung
c´o ba th`anh phaˆ`n.
.
..
.
Vieˆc
. d¯a˘. c tru ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a c´ac d¯oˆ` thi. trong tru `o ng ho. p
..
..
toˆ’ng qu´at l`a khoˆng d¯o.n gia’n. Do vaˆy,
. ngu `o i ta thu `o ng t`ım d¯ieˆ`u kieˆn
.

Footer Page 23 of 123.

Header Page 24 of 123.
24

12 s

G
1s

s2

11 s
10 s
9

as

s3

G
bs

cs

s4
s

s
s

8

s

7

s

5

6

g

s

sd
s

f

s

e

- oˆ` thi. v´o.i c´ac th`anh phaˆ`n cu’a n´o
H`ınh 1.10: D

caˆ`n v`a d¯u’ cho t´ınh lieˆn thoˆng cu’a nh˜

u.ng l´o.p d¯oˆ` thi. he.p ho.n, d¯u.o..c theˆ’
uc cu’a n´o. V´ı du., trong soˆ´ c´ac d¯oˆ` thi. b˘a´c
hieˆn
. qua c´ac tham soˆ´ caˆ´u tr´
caˆ`u d¯ı’nh, t´ınh lieˆn thoˆng cu’a l´o.p d¯oˆ` thi. Cayley d¯a˜ d¯u.o..c d¯a˘. c tru.ng theo
moˆt
. moˆ´i lieˆn heˆ. d¯a.i soˆ´ ([17]).
Lieˆn quan t´o.i d¯ˆe` t`ai luaˆn
. caˆ`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ d¯oˆ` thi. luaˆn
. ´an, d¯ieˆ`u kieˆn
ho`an lieˆn thoˆng d¯u.o..c chı’ ra trong [27] s˜e g´op phaˆ`n khoˆng nho’ v`ao c´ac
keˆ´t qua’ nghieˆn c´
u.u trong luaˆn
. ´an n`ay.
ˆn ho`
ˆnh
an v´
o.i
Me
d
¯e
ˆ` 1.1 ([27]). Gia’ su’. G = C(n, S) l`a d¯oˆ` thi. lua
.
a lieˆn thoˆng khi v`
a chı’ khi
S = ±s1 , ±s2, . . . , ±sk . Khi d¯´o d¯oˆ` thi. G l`
gcd s1, s2 , . . . , sk , n = 1.
Meˆnh
d¯ˆe` n`ay d¯a˜ d¯a˘. c tru.ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. luaˆn ho`an
.

.
b˘`a ng moˆt
u.a soˆ´ d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi. luaˆn
. moˆ´i lieˆn heˆ. soˆ´ ho.c kh´a d¯o n gia’n gi˜
..
ho`an v`a c´ac phaˆ`n tu’. trong taˆp
. bieˆ’u tu o. ng.
Trong [27], t´ac gia’ c`on chı’ ra d¯u.o..c d¯ieˆ`u kieˆn
. caˆ`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ d¯oˆ` thi.
.
.
meta luaˆn ho`an baˆc
. 3 l`a lieˆn thoˆng. Keˆ´t qua’ n`ay c´o theˆ’ coi l`a su. kho’ i
u.u t´ınh lieˆn thoˆng cu’a
nguoˆ`n v`a c˜
ung l`a d¯.inh hu.´o.ng cho vieˆc
. nghieˆn c´
d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
u. nhaˆ´t cu’a luaˆn
. ´an.
. 4, mu.c tieˆu th´
.
Moˆt
u.ng keˆ´t qua’ cu’a luaˆn
. trong nh˜
. ´an ch´ınh l`a vieˆc
. d¯a˘. c tru ng t´ınh
u.c soˆ´ ho.c
lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an baˆc
u.ng heˆ. th´

. 4 b˘a` ng nh˜
s˜e d¯u.o..c tr`ınh b`ay chi tieˆ´t o’. Chu.o.ng 2.

Footer Page 24 of 123.


Header Page 25 of 123.
25

1.4

B`
ai to´
an Hamilton

B`ai to´an Hamilton l`a moˆt
u.ng vaˆ´n d¯ˆe` trung taˆm cu’a l´y
. trong nh˜
thuyeˆ´t d¯oˆ` thi.. B`ai to´an n`ay c´o theˆ’ d¯u.o..c ph´at bieˆ’u nhu. sau: c´o hay
..
khoˆng moˆt
u.a taˆ´t ca’ c´ac d¯ı’nh cu’a moˆt
. d¯oˆ` thi. G cho tru ´o c?
. chu tr`ınh ch´
Cu. theˆ’ ho.n, ta c´o d¯.inh ngh˜ıa:
..
- i.nh ngh˜ıa 1.10. Moˆt
u.a taˆ´t ca’
D
. chu tr`ınh (d¯u `o ng) trong d¯oˆ` thi. G ch´

- oˆ` thi. G
c´
ac d¯ı’nh cu’a G d¯u.o..c go.i l`a chu tr`ınh (t.u.. d¯u.`o.ng) Hamilton. D
c´
o chu tr`ınh (t.u.. d¯u.`
o.ng) Hamilton d¯u.o..c go.i l`a d¯oˆ` thi. Hamilton (t.u..
nu’.a Hamilton).
V´ı du.. Trong h`ınh 1.11, G l`a d¯oˆ` thi. Hamilton, G l`a nu’.a Hamilton.
s

s

s

s

G
s

s

s

s

G
s

s

s

s

- oˆ` thi. Hamilton v`a nu’.a Hamilton
H`ınh 1.11: D

..
Vieˆc
. x´ac d¯.inh xem moˆt
. d¯oˆ` thi. G cho tru ´o c c´o chu tr`ınh Hamilton
hay khoˆng l`a raˆ´t kh´o kh˘an. Cho t´o.i nay, ngu.`o.i ta vaˆ˜n chu.a theˆ’ d¯a˘. c
tru.ng d¯u.o..c c´ac d¯oˆ` thi. Hamilton b˘a` ng moˆt
. d¯ieˆ`u kieˆn
. caˆ`n v`a d¯u’ trong
tru.`o.ng ho..p toˆ’ng qu´at. B`ai to´an n`ay d¯a˜ tro’. th`anh moˆt
. trong c´ac vaˆ´n
d¯ˆe` d¯u.o..c nhieˆ`u ngu.`o.i quan taˆm cu’a l´y thuyeˆ´t d¯oˆ` thi..
Hai d¯.inh l´y sau d¯u.o..c coi l`a nh˜
u.ng keˆ´t qua’ s´o.m nhaˆ´t cho b`ai to´an
Hamilton (xem [14], [18], [19] v`a [24]).
- i.nh l´
D
y 1.2 (Dirac, 1952). Neˆ´u G = (V, E) c´o n ≥ 3 d¯ı’nh v`a v´o.i
mo.i d¯ı’nh v ∈ V , deg(v) ≥ n/2 th`ı G l`a d¯oˆ` thi. Hamilton.
- .inh l´
y 1.3 (Ore, 1960). Neˆ´u G = (V, E) c´o n ≥ 3 d¯ı’nh v`
a v´
o.i mo.i
D

c˘
a.p d¯ı’nh u, v khoˆng keˆ` nhau trong G ta c´
o deg(u) + deg(v) ≥ n th`ı G l`a
d¯oˆ` thi. Hamilton.

Footer Page 25 of 123.