CD giai bai toan bang cach lap PT, HPT 2017

∆'

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS PHÚ ĐA

BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện: ĐỖ XUÂN TIẾN
Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên
Điện thoại: 0911 417 986
Email:

1


Phú Đa, tháng 03 năm 2017

MỤC LỤC
Tiêu đề
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Thời gian nghiên cứu
5. Địa điểm nghiên cứu
6. Phương pháp nghiên cứu
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở khoa học

I.1. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu
I.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
II. Mô hình nghiên cứu và giải pháp
II.1. Phương pháp nghiên cứu
II.2. Yêu cầu về giải một bài toán
II.3. Phân loại dạng toán: Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT và các
giai đoạn giải một bài toán
II.3.1. Phân loại dạng toán
II.3.2. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình
II.3.3. Một số dạng bài toán và hướng dẫn học sinh giải bài toán
II.3.3.1. Dạng toán liên quan đến số học
II.3.3.2. Dạng toán chuyển động:
II.3.3.3. Dạng toán về năng suất lao động (tỷ số %)
II.3.3.4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
II.3.3.5. Dạng toán về tăng giảm, thêm bớt
II.3.3.6. Dạng toán có liên quan đến hình học
II.3.3.7. Dạng toán có liên quan đến vật lý, hóa học
II.3.3.8. Một số bài toán khác
III. Kết quả áp dụng đề tài
C. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

2

Trang

4

4
5
5
5
5
5
5
6
6
7
8
8
9
12
12
12
13
13
17
22
25
31
33
38
40
42
42
42
43
45

DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
GV
HS
THPT
PT
PPDH
KSCL
THCS
SGK

giáo viên
học sinh
trung học phổ thông
phương trình
phương pháp dạy học
khảo sát chất lượng
trung học cơ sở
sách giáo khoa

3


DANH MỤC CÁC BIỂU BẢNG
1. Kết quả khảo sát chất lượng bộ môn trước khi áp dụng chuyên đề .
2. Kết quả khảo sát chất lượng bộ môn sau khi áp dụng chuyên đề.

4

A. PHẦN MỞ ĐẦU
Đặt vấn đề:
1 Lý do chọn đề tài
Sự phát triển của khoa học - công nghệ ngày nay đòi hỏi nguồn lực lao
động phải năng động và sáng tạo đáp ứng nền công nghiệp hóa, hiện đại hóa của
đất nước. Trước sự thách thức, trước nguy cơ tụt hậu trên con đường phát triển và
hội nhập bằng sự cạnh tranh trong nền kinh tế tri thức, đòi hỏi phải đổi mới nội
dung và PPDH nói chung và trong môn Toán nói riêng nhằm tạo ra những con
người lao động sáng tạo, linh hoạt đáp ứng sự phát triển kinh tế xã hội.
Ở trường trung học cơ sở, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh,
trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt động toán học. Để rèn kỹ năng đó
cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản như định nghĩa, định lý,...
giáo viên cần dạy cho học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán.
Điều đó giúp cho các em củng cố và nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, hình
thành kỹ năng, ứng dụng toán học vào thực tiễn cuộc sống. Tổ chức có hiệu quả
việc giải bài tập toán học góp phần thực hiện tốt các mục đích dạy học toán trong
nhà trường đồng thời giữ một vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học môn
Toán.
Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ở
chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS là một dạng toán tương đối
khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài
bằng lời văn và thường được kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học. Hầu hết
các bài toán có dữ liệu giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới
tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ
phương trình.
Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp những kinh nghiệm trong
quá trình giảng dạy về dạng toán này, vì thế tôi đã chọn chuyên đề “Giải bài toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”.
2 Mục đích nghiên cứu

5


Đánh giá được thực trạng việc dạy và học dạng toán “Giải bải toán bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình” ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong
trường THCS trong những năm qua. Từ đó đề ra đưa ra quy trình thực hiện Giải
bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, phân dạng và một số ví dụ
minh họa. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán này, để mỗi học
sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều phải nắm chắc loại toán này và
biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc
thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh
phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán; Tạo
được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với
việc giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh
làm cho học sinh hứng thú khi học môn Toán. Nhằm nâng cao chất lượng môn
Toán 9 và nhất là nâng cao điểm thi vào lớp 10 THPT.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toán Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS.
4. Thời gian nghiên cứu
Từ tháng 8 năm 2015 đến tháng 2 năm 2017.
5. Địa điểm nghiên cứu: Trường THCS Phú Đa.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận dạy học.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm và trao đổi với đồng nghiệp thực tế trong
quá trình giảng dạy.
- Phương pháp phân tích kết quả nghiên cứu bằng thông kê toán học.
B. PHẦN NỘI DUNG

6


I. Cơ sở khoa học
I.1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu:
“Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu” đã được
thể hiện rõ trong quan điểm, đường lối của Đảng và Nhà nước ta, khẳng định tầm
quan trọng của giáo dục đối với đất nước, bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định
đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng chủ nghĩa xã hội.
Trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tập trung chỉ đạo và thực
hiện đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra đánh giá trên cơ sở bám sát
chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình giáo dục phổ thông tạo ra sự chuyển
biến căn bản nhằm thúc đẩy đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng
giáo dục. Tuy nhiên việc đổi mới còn chưa thực sự đồng bộ.
Nâng cao chất lượng là một trong những mục tiêu cơ bản của quá trình dạy
học. Định hướng đổi mới PPDH ở trường phổ thông theo luật Giáo dục là:
- Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của HS.
- Bồi dưỡng phương pháp tự học.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Căn cứ vào mục tiêu GD cấp THCS đã được mở rộng: “Các kiến thức kỹ
năng được hình thành và củng cố để tạo ra bốn năng lực chủ yếu sau:
- Năng lực hành động.
- Năng lực thích ứng.
- Năng lực cùng sống và làm việc.
- Năng lực tự khẳng định mình”.
Như vậy dạy học hiện nay phải chú ý đến mục đích là phát huy vai trò chủ động
sáng tạo của HS không chỉ trong lĩnh hội kiến thức mà quan trọng hơn phải rèn
luyện cho các em trở thành con người năng động sáng tạo, có năng lực tự học, có

7


khả năng thích ứng nhanh với sự phát triển của xã hội văn minh, khoa học kỹ thuật
công nghệ tiên tiến.
I.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Có thể nói chất lượng môn Toán ở rất nhiều trường THCS vẫn còn thấp so
với yêu cầu chung. Đặc biệt, ở một số trường, chất lượng còn rất thấp, có những
lớp trong giờ học toán học sinh như “ngồi nhầm lớp”, mỗi khi giáo viên đặt câu
hỏi thì gần như cả học sinh trong lớp đều cúi mặt xuống vì sợ bị thầy cô gọi phát
biểu ý kiến xây dựng bài.
Nguyên nhân:
- Trước hết do các em bị mất gốc kiến thức (do nhiều nguyên nhân) cho nên các
em có tâm lý sợ học Toán.
- Một số em lười học, thiếu sự chuẩn bị dụng cụ học tập dẫn tới không nắm
được các kĩ năng cần thiết trong việc học và vận dụng vào việc giải quyết các dạng
bài tập toán học.
- Một số em thiếu ý thức tìm tòi, sáng tạo trong học tập, không có sự phấn đấu
vươn lên, có thói quen chờ đợi lười suy nghĩ hay dựa vào giáo viên, bạn bè hoặc
xem lời giải sẵn trong sách giải một cách thụ động.
Đặc thù riêng của dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình” là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Vì
vậy mà việc chọn ẩn thường là những đại lượng có liên quan đến thực tế. Do đó
khi giải bài toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên
điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giằng buộc trong
thực tế. Vấn đề tiếp theo là cách sắp xếp các bước trong bài giải khi đã đặt xong ẩn
số, các em rất lúng túng không biết đại lượng nào cần biểu thị trước, đại lượng nào
biểu thị sau. Từ những lý do trên dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán
này. Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo
8

viên chỉ dạy cho học sinh, truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa phân loại dạng
toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán; kỹ năng phân tích,
tổng hợp của học sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn, tìm mối liên hệ giữa
các số liệu trong bài toán nên HS còn lúng túng trong việc giải dạng toán này.
Điều tra cụ thể:
Trong quá trình giảng dạy với ý thức vừa nghiên cứu đặc điểm tình hình học
tập bộ môn của học sinh, vừa tiến hành rút kinh nghiệm. Ngay từ đầu mỗi năm học
chúng tôi đã định hướng cho mình một kế hoạch và phương pháp cụ thể để chủ
động điều tra tình hình học tập của học sinh do lớp mình phụ trách. Kết quả điều
tra cụ thể như sau:
Năm học 2015-2016:
Lớp

TSHS

Giỏi

Khá

T.Bình

Yếu

9A

30

SL

7

%
23,3

SL
8

%
26,7

SL
13

%
43,3

SL
2

%
6,7

9B

30

0

0

4

13,3

17

56,7

9

30,0

Khối 9

60

7

11,6

12

20,0

30

50,0

11

18,4

Năm học 2016-2017 (KSCL lần 1):
Lớp

TSHS

Giỏi

Khá

T.Bình

Yếu

9A

28

SL
7

%
25,5

SL
7

%

25,5

SL
12

%
42,8

SL
2

%
6,2

9B

27

0

0

2

7,4

13

48,1

12

44,5

Khối 9

55

7

12,7

9

16,3

25

45,5

14

25,5

II. Mô hình nghiên cứu và giải pháp
9


II.1. Phương pháp nghiên cứu
- Các giai đoạn nghiên cứu và thực hiện chuyên đề:

Giai đoạn 1: Nghiên cứu lý thuyết, quan sát, kiểm tra đánh giá.
Giai đoạn 2: Biện pháp thực hiện.
- Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban
hành về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình.
- Từ đó muốn giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành
những quan hệ toán học. Do vậy nhiệm vụ của những người thầy là phải dạy cho
học sinh cách dẫn giải bài tập. Vì vậy khi hướng dẫn cho học sinh học về giải dạng
toán bằng cách lập PT, hệ PT phải dựa trên các nguyên tắc sau:
+ Yêu cầu về giải bài toán đó như thế nào.
+ Quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
+ Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng
giảm, thêm bớt…)
+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được PT, hệ PT
dễ dàng.
- Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào quy tắc
chung: giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)
+ Chọn ẩn, tìm đơn vị và điều kiện thích hợp cho ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo đại lượng đã biết.
+ Dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán để lập PT (hệ PT)
Bước 2: Giải PT hoặc hệ PT
(Chọn cách giải cho phù hợp)
Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời

10


- Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn xem có phù hợp không rồi
trả lời.

II.2. Yêu cầu về giải một bài toán
Yêu cầu 1:
Chọn ẩn phải đầy đủ, rõ ràng theo bài toán (thường là chọn ẩn trực tiếp
nghĩa là bài toán hỏi gì thì ta chọn cái đó làm ẩn). Muốn vậy giáo viên phải cho
học sinh đọc hiểu kỹ đề bài, phân tích, suy luận từ các dữ kiện của bài toán; cách
chọn ẩn phải chính xác, phải phù hợp với bài toán và phù hợp với thực tế.
Ví dụ :
Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi
2
thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì được 15 bể. Hỏi

nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể.
Giải
Đổi 1h20’ = 80’
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (phút), ( x>80)
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là y (phút), ( y>80)
….
* Nhận xét: Với lời giải này HS đã sai lầm vì chọn ẩn chưa đầy đủ, rõ ràng
theo bài toán.
Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán phải có căn cứ chính xác. Điều quan trọng là phải biết diễn
đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học, đặc biệt phải
chú ý tới việc thỏa mãn điều kiện nêu trong bài toán. Muốn vậy giáo viên cần làm
cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là điều kiện, đâu là dữ kiện bài toán cho.
Quá trình xác định mối quan hệ giữa ẩn và các đại lượng đã biết, chưa biết phải
làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán
11


thiết lập được phương trình, từ đó mà xác định được hướng giải, xây dựng được lời

giải cho bài toán.
Yêu cầu 3:
Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải trong
bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy ra từ các bước trước,
nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước. Muốn vậy GV
cần rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa. Kết quả của bài
toán đã là đại diện phù hợp với mọi cách chưa.
Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán cần trình bày đơn giản, phù hợp với kiến thức trình độ của
học sinh, đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được.
Ví dụ :
Hai đội công nhân cùng làm công việc trong 16 ngày thì xong, nếu đội thứ
nhất làm trong ba ngày và đội thứ hai làm trong 6 ngày thì được 25 % công việc.
Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
* Phân tích tìm lời giải:
Năng suất
Người I

Người II
Cả hai người

Thời gian (ngày)
x
3

1
x

6

1
-x
1
16

16

Tổng số công việc
1
1
3. x
1
6( - x )

1

Giải:
Đổi 25 % =
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày), (x>16)
1
thì một ngày đội I làm được x (công việc )

12


1
Trong một ngày cả hai đội làm được 16 (công việc).
1
Một ngày đội II làm được - x (công việc).
1

Ba ngày đội I làm được 3. x (công việc ).
1
Sáu ngày đội II làm được 6( - x ) (công việc).
1
1
Theo đầu bài ta có PT: 3. x +6( - x ) =

…
* Nhận xét: Với bài toán này thường là nên chọn lập hệ PT thì việc suy luận
và giải hệ PT sẽ đơn giản hơn.
II.3. Phân loại dạng toán: Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT và các
giai đoạn giải một bài toán
II.3.1. Phân loại dạng toán
Trong chương trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình có thể phân loại như sau:
1. Loại toán có liên quan đến số học.
2. Loại toán về chuyển động.
3. Loại toán về năng suất lao động.
4. Loại toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng.
5. Loại toán về thêm bớt, tăng giảm.
6. Loại toán có nội dung liên quan đến hình học.
7. Loại toán liên quan đến vật lý, hóa học.
8. Một số bài toán khác.
II.3.2. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình
13


Để đảm bảo 4 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng
cách lập PT, hệ PT thì bài toán có thể chia thành các giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, kết luận của bài toán giúp
học sinh hiểu bài toán cho biết những dữ kiện gì, cần tìm gì.
Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập PT. Tức là chọn ẩn như
thế nào cho phù hợp (chọn trực tiếp hay gián tiếp), điều kiện cho thỏa mãn; đơn vị
cho ẩn.
Giai đoạn 3: Lập phương trình dựa vào quan hệ giữa ẩn và các đại lượng
chưa biết và đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến
đổi tương đương để đưa phương trình đã lập được về phương trình đã biết cách
giải, đã giải được.
Giai đoạn 4: Giải pt, hpt phải vận dụng các kỹ thuật giải đã biết để tìm
nghiệm của PT, hệ PT.
Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của PT, HPT để trả lời bài toán, tức là đối
chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tế xem có phù
hợp không.
Giai đoạn 6: Trả lời bài toán thực tế (sau khi đã kiểm tra, thử lại).
Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho
học sinh khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán
thành bài toán khác, ta có thể:
- Phát biểu bài toán dưới dạng khác.
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác.
- Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển tư duy cho
học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hợp lý nhất…
II.3.3. Một số dạng bài toán và hướng dẫn học sinh giải bài toán
II.3.3.1. Dạng toán liên quan đến số học
14


Phương pháp giải:
+ Với dạng toán liên quan đến số học ở trên cần cho học sinh hiểu được mối

quan hệ giữa các số. Đặc biệt giữa các chữ số hàng đơn vị và hàng chục, hàng
trăm… biểu diễn dưới dạng cấu tạo số của nó:
Với a,b,c là các chữ số ta có:
ab = 10a + b
abc = 100a + 10b + c

+ Khi đổi chỗ vị trí các chữ số cho nhau thì giá trị của mỗi chữ số có sự thay
đổi tương ứng với vị trí mới.
Bài toán 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu viết
thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho là 360 đơn vị.
* Phân tích tìm lời giải:
Ta đã biết với a,b là các chữ số thì
ab = 10a + b,

abc = 100a + 10b + c

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số đã cho thì số đó trở
thành số có 3 chữ số. Trong đó chữ số hàng chục của số ban đầu trở thành chữ số
hàng trăm của số mới còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu trở thành chữ số hàng
đơn vị của chữ số mới.
* Lời giải kết luận chưa đúng yêu cầu:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x ( x ∈ N ; x ≤ 7 )
Thì chữ số hàng chục là 7 – x
….
Theo đầu bài ta có PT:
700 - 99x = 360 + 70 - 9x
90x = 270  x = 3 ( TMĐK).
Vậy chữ số hàng chục là 7-3 = 4, chữ số hàng đơn vị là 3.
15

* Lời giải đầy đủ:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x ( x ∈ N ; x ≤ 7 )
Thì chữ số hàng chục là 7 – x
Chữ số ban đầu là ( 7 - x)x = 10(7 - x) + x = 70 - 9x
Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 chữ số của số đã cho thì số mới là
( 7 - x)0x = 100 ( 7 - x) + 0.10 +x = 700 - 99x
Theo đầu bài ta có PT:
700 - 99x = 360 + 70 - 9x
 90x = 270  x = 3 ( TMĐK). Nên chữ số hàng chục là 7-3 = 4
Vậy số đã cho là 43.
Bài toán 2:
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn
hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 99. Tìm số đã cho.
* Phân tích tìm lời giải: Ta đã biết với a,b là các chữ số thì
+ ab = 10a+b
+ Khi đổi vị trí 2 chữ số cho nhau thì vai trò của hai chữ số sẽ được hoán đổi
cho nhau.
* Lời giải tìm điều kiện cho ẩn chưa đúng:
Gọi chữ số hàng chục là x ( x ∈ N; 0x ≤ 9 )
Gọi chữ số hàng đơn vị là y ( y ∈ N;0 y ≤ 9 )
Nên số đã cho là xy = 10x + y
…
* Lời giải đầy đủ:
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y ( x,y ∈ N*; 0x,y ≤ 9 )
Nên số đã cho là xy = 10x + y
Khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta sẽ được số mới là yx = 10y +x
16

Theo đầu bài ta có hệ PT:

10y +x - 10x -y = 63
10x +y + 10y +x = 99



- 9x +9y = 63
11x + 11y = 99

Giải hệ ta được x = 1; y = 8 (TMĐK)
Vậy số đã cho là 18.
Bài toán 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của
nó bằng 6 và nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng chữ số
đó nhưng theo thứ tự ngược lại.
* Phân tích tìm lời giải:
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Số cần tìm
Số mới

x
y
xy

yx

Giải:
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y, ( x,y ∈ N; 0Vì tổng các chữ số của nó bằng 6 nên ta có PT: x+y=6 (1)

Khi thêm vào số đó 18 đơn vị thì thu được số mới là:
Nên ta có PT:
xy +18 = yx
10x +y +18 = 10y +x  x-y=-2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT:

x+y=6
x-y=-2

Giải hệ ta được x = 2( TMĐK); y = 4 ( TMĐK)
Vậy số đã cho là 24.
* Sai lầm thường gặp:
17

yx


- Đặt điều kiện cho ẩn là chữ số không đúng hoặc không đầy đủ.
- Không có ghạch trên thể hiện số có 2, 3,… chữ số.
- Không kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra trước khi trả lời bài
toán dẫn đến kết luận sai hoặc thiếu hoặc thừa.
Một số bài tập vận dụng
1

Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của nó bằng 11 và
nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta được số
mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị.
(Đề thi vào lớp 10 năm học 2013-2014 Vĩnh Phúc).

2

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số
hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số
17
mới bằng 5 số ban đầu.

3

Tìm hai số tự nhiên biết tổng là 17 và tổng bình phương của hai số đó là
157.

II.3.3.2. Dạng toán chuyển động:
Phương pháp giải:
- Trong các bài toán về chuyển động thường có 3 đại lượng liên quan là vận
tốc, quãng đường và thời gian đi; Học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa
các đại lượng vận tốc, quãng đường và thời gian theo công thức S=v.t (trong đó: v
là vận tốc, S là quãng đường đi được và t là thời gian đi).
- Trong bài toán chuyển động có thể chia thành nhiều dạng nhỏ:
+ Nếu 2 chuyển động ngược chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp
nhau ta có s1 + s2 = khoảng cách ban đầu.
+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động
gặp nhau ta có: s1 – s2 = khoảng cách ban đầu (s1 >s2)
18


+ Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại
lượng tỷ lệ nghịch với nhau.
+ Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A.
Biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì:

Tổng thời gian =Thời gian đi + Thời gian về
+ Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước
Vận tốc xuôi dòng - Vận tốc ngược dòng = 2 lần vận tốc dòng nước.
Bài toán 1:
Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8h sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’. Nhưng
mỗi giờ ô tô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11h20’ xe mới
đến Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.
* Phân tích tìm lời giải:
Đây là loại toán chuyển động mà quãng đường đi không đổi còn vận tốc
được chia làm hai khả năng:
Ô tô đi với vận tốc dự định (10h30’- 8h = 2h30’)
Ô tô đi với vận tốc thực tế (11h20’- 8h = 3h20’)
Điều kiện
Dự định

Vận tốc

Thời gian
2,5

x
2,5

Quãng đường
x

Thực tế

x

Giải:
Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là x (km), (x>0).

19


x
2x
2
,
5
Vận tốc mà xe dự kiến đi là:
= 5 ( km/h).

Vận tốc thực tế là: = (km/h).
Vì vận tốc thực tế kém vận tốc dự định là 10km/h nên ta có PT:
2 x 3x
−
= 10
5 10
 4x - 3x = 100  x = 100 ( T/m đk).

Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Hải phòng là 100(km).
Bài toán 2:
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian nhất
định nào đó. Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên xe phải dừng lại để sửa
chữa mất 10 phút. Vì vậy để đến B kịp thời gian dự định xe phải tăng vận tốc thêm
6km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô.

* Phân tích tìm lời giải:
- Thời gian ô tô đi được chia làm 3 giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định.
+ Giai đoạn 2: Ô tô dừng lại để sửa chữa.
+ Giai đoạn 3: Ô tô đi với vận tốc mới.
- Thời gian dự định bằng thời gian thực tế.
Điều kiện
Dự định

Vận tốc

Thời gian

Quãng đường
120

1

x
120-x

x
x
x+6

Thực tế
* Lời giải suy luận chưa đúng sai dẫn đến lập PT sai:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), (x>0).
120
Thời gian ô tô đi theo dự định là: x (h).

Sau 1h ô tô đi được 1.x=x (km).
20


Quãng đường còn lại là: 120 - x (km).
Vận tốc mới của ô tô là x + 6 (km/h).
120 − x
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là: x + 6 (h).
120
120 − x
Theo đầu bài ta có PT: x = 1 + x + 6

…
* Lời giải đầy đủ:
Giải:
1
Đổi 10 ph = 6 h

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), (x>0).
120
Thời gian ô tô đi theo dự định là: x (h).

Sau 1h ô tô đi được 1.x=x (km).
Quãng đường còn lại là: 120 - x (km).
Vận tốc mới của ô tô là x + 6 (km/h).
120 − x
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là: x + 6 (h).
120
1

120 − x
Theo đầu bài ta có PT: x = 1 + 6 + x + 6
2
 x + 42x - 4320 = 0

Giải PT ta được x1 = 48, x2 = -90 ( loại).
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48km/h.
Bài toán 3:
Một bè gỗ được thả trôi trên một dòng sông. Sau khi thả bè gỗ trôi được 5
giờ 20 phút một xuồng máy cũng xuất phát từ chỗ bè gỗ bắt đầu thả đuổi theo bè
21


gỗ. Sau khi xuồng máy đi được 20km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ biết
rằng vận tốc của xuồng máy hơn vận tốc của bè gỗ là 12km/h.
* Phân tích tìm lời giải:
Hai chuyển động cùng trên một quãng đường và cùng chiều
Vận tốc xuôi dòng của xuồng máy = vận tốc thực + vận tốc dòng nước
Vận tốc của bè gỗ chính bằng vận tốc dòng nước.
Giải:
Gọi vận tốc của bè gỗ là x (km/h), ( x>0).
thì vận tốc của xuồng máy là x+ 12 (km/h).
20
Thời gian bè gỗ trôi cho đến khi gặp xuồng máy là: x (h).
20
Thời gian xuồng máy đi cho đến khi đuổi kịp bè gỗ là: x + 12 (h).

Theo đầu bài ta có PT:

20

20
16
x - x + 12 = 3

2
 x + 12x - 45 = 0

Giải PT ta được

x1 = 3 (T/m)
x2 = - 15 ( loại)

Vậy vận tốc của bè gỗ là 3km/h.
* Sai lầm thường gặp:
Ở dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là khi chọn ẩn không đầy đủ
và rõ ràng; Khi đặt điều kiện cho ẩn, trong bài toán chuyển động trên dòng nước
thì muốn chuyển động ngược dòng được thì vận tốc phải lớn hơn vận tốc dòng
nước.
* Nhận xét: Với dạng toán chuyển động thông thường GV nên hướng dẫn
HS đọc hiểu đề bài và tóm tắt bằng sơ đồ để giúp HS có cái nhìn trực quan và dễ
dàng hơn trong quá trình phân tích tìm lời giải cho bài toán.
Một số bài tập vận dụng
22


1) Một người đi xe máy từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc
tăng 14km/h thì đến B sớm hơn 2h, nếu vận tốc giảm 2km/h thì đến B muộn 1h.
Tính quãng đường AB, vận tốc và thời gian dự định.
2) Một Canô xuôi dòng 42km rồi ngược dòng trở lại 20km mất tổng cộng
5h.Tìm vận tốc của Canô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng chảy là 2k/h.

3) Một Ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu
Ô tô đi với vận tốc đó, Khi còn 60km nữa thì được một nửa quãng đường AB,
người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó Ô tô đến B
sớm hơn dự định 1h. Tính quãng đường AB.
II.3.3.3. Dạng toán về năng suất lao động (tỷ số %)
Phương pháp giải:
-

Với dạng toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động
( tăng dân số….) so với mốc ban đầu từ đó lập được PT hoặc hệ PT.
Trong các bài toán về năng suất thường có 3 đại lượng liên quan là năng
suất (sản phẩm làm được trong 1 đơn vị thời gian), thời gian làm và tổng
số sản phẩm làm được; Học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa
chúng theo công thức:Tích của năng suất và thời gian làm bằng tổng số
sản phẩm làm được.

Bài toán 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết
máy. Sang tháng thứ 2 tổ 1 sản xuất vượt mức 15%, tổ 2 sản xuất được 120%. Do
đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ
công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
* Phân tích tìm lời giải:
- Đã biết năng suất của hai đội trong tháng đầu là 800 chi tiết máy. Nên nếu
biết 1 trong 2 tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ta sẽ tính được tổ kia.
- Nếu ta chọn ẩn số là năng suất tháng đầu → tính được tổng chi tiết máy
sản xuất trong tháng sau. Từ đó tính được năng suất của từng tổ tháng sau để xây
dựng phương trình.
23


* Lời giải suy luận chưa đúng dẫn đến lập PT sai:

Gọi số chi tiết máy của tổ I sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết máy),
(0đầu là 800 – x (chi tiết máy).
15
Tháng sau tổ I vượt mức 15% nên sản xuất thêm được: 100 (chi tiết máy),
20
tổ II vượt mức 20% nên sản xuất thêm được: 100 (chi tiết máy).

Nên ta có PT:

15
20
x+ 100 + (800 - x)+ 100 = 945

…
* Lời giải đầy đủ:
Gọi số chi tiết máy của tổ I sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết máy),
(0đầu là 800 – x (chi tiết máy).
15
Tháng sau tổ I vượt mức 15% nên sản xuất thêm được: x. 100 (chi tiết máy),
20
tổ II vượt mức 20% nên sản xuất thêm được: (800 - x) 100 (chi tiết máy).

Vì số chi tiết mà 2 tổ sản xuất thêm được sau là 945 - 800 = 145
Nên ta có PT:

15
20
x. 100 + (800 - x) 100 = 145

Giải PT ta được x = 300 (TMĐK)
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 300 chi tiết máy,
tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.
Bài toán 2:
Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác
được 50 tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than do đó đội

24


đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày và còn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế
hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than.
* Phân tích tìm lời giải:
Điều kiện
Kế hoạch

Số than khai thác trong
một ngày
50

Thực tế

57

Số ngày làm
x
50
x + 13
57

Tổng số than phải khai
thác
x
x+13

Giải:
Gọi số tấn than mà đội phải khai thác theo kế hoạch là x (tấn), (x>0).
x
Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là 50 (ngày).

Thực tế đội khai thác được x + 13 ( tấn).
x + 13
Số ngày mà đội khai thác theo thực tế là 57 (ngày).

Theo đầu bài ta có PT:
x + 13 x
=
−1
57
50

 (x+ 13)50 = 57x- 2850  50x + 650 = 57x - 2850
 7x

= 3500



x = 500 ( T/m).

Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than.
* Sai lầm thường gặp:
- Đặt điều kiện cho ẩn là số người; số sản phẩm là số dương.
- Sai trong suy luận toán học.
- Không kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra trước khi trả lời bài
toán.
Một số bài tập vận dụng

25