Khái niệm số mũ Lyapunov và một vài ứng dụng đối với hệ động lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

LƯỜNG THỊ DỈU

KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

LƯỜNG THỊ DỈU

KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2016


Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU

3

1 Kiến thức chuẩn bị.
1.1 Không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương trình Volterra tuyến tính . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương trình Volterra phi tuyến . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Chuẩn Bielecki và sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương
trình Volterra phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân trong không
gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
6

2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của Lyapunov
2.1 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm các phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các khái niệm về ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . .
2.1.3 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov trong Rn
2.2.1 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . .
2.2.2 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . .
2.2.3 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . .
2.3 Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov và các tính chất cơ bản của
chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Số mũ đặc trưng của ma trận, hệ phương trình vi phân tuyến tính
và phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Số mũ đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Khái niệm về phổ Lyapunov của hệ phương trình vi phân
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

.
.
.

. 7
. 8
. 10
. 12
. 15

19
.
.
.
.
.
.
.
.

19
19
20
21
22
23
24
24

. 24
. 30
. 30
. 32
. 34


2.4.4

Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu và ứng dụng của phương pháp
số mũ Lyapunov
3.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử
sinh của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ . . . .
3.1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . .
3.2 Bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Khái niệm về bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . .
3.2.2 Tính ổn định nghiệm của bài toán Cauchy đặt chỉnh . . .
3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach . . .
3.5 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Đánh giá nghiệm của phương trình Volterra . . . . . . . .
KẾT LUẬN

37
37
37
41
44
46
46
52
56
57
59
62
67

2


Lời nói đầu
Lý thuyết định tính các phương trình vi phân đã được hình thành và phát
triển từ đầu thế kỷ XIX (xem [2], [3], [5]). Trong thời gian gần đây do yêu cầu
đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng lý thuyết định tính của các phương trình vi
phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ (xem [4], [6], [7], [11],
[13]).
Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của các phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, dựa vào phương pháp xấp xỉ
thứ nhất của Lyapunov.
Toàn bộ nội dung của luận văn bao gồm hai phần chính:
• Phần thứ nhất dành cho việc trình bày lại một số kiến thức cơ bản đã biết,

cụ thể là không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính, phương pháp thứ
nhất và phương pháp thứ hai của Lyapunov (xem [1], [4], [9], [10], [13], [14],
[15]).
• Phần thứ hai dành cho việc đi sâu tìm hiểu phương pháp số mũ của Lya-

punov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Eucilid
hữu hạn chiều Rn . Sau đó tiếp tục phát triển và mở rộng việc nghiên cứu
tính ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không
gian Banach và ứng dụng phương pháp này cho phương trình tiến hóa trừu
tượng dạng tuyến tính có nhiễu và ứng dụng ví dụ minh họa.
Bố cục của luận văn gồm ba chương:
• Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2 : Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định cuả Lyapunov.
• Chương 2 : Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu và ứng dụng của phương pháp

số mũ Lyapunov.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy -


người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi
trong việc hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô giáo trong Khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức
và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn
thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa vững
chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng còn có sự hạn chế về thời gian và lượng
kiến thức bổ trợ nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Lường Thị Dỉu

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương mở đầu, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày lại một số kiến
thức cơ bản nhất: Không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co được tham khảo ở

tài liệu [8]. Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra trong không
gian Banach [13], sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân trong
không gian Banach. Cần thiết cho việc nghiên cứu ở chương sau.

1.1

Không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co

1.1.1

Không gian Banach

Các kiến thức sau đây được tham khảo ở tài liệu [8], p.58.
Định nghĩa 1.1. (Không gian tuyến tính định chuẩn)
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K ( K là trường các số thực
R hay trường các số phức C), X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn
nếu với mỗi x ∈ X có xác định một số không âm x (gọi là chuẩn của x) thỏa
mãn các điều kiện sau:
• x ≥ 0 với mọi x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0;
• λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X ;
• x + y ≤ x + y , với mọi x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.2. (a) Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều
là dãy hội tụ, tức là {xn }∞
n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà
xn → x0 (n → ∞).

(b) Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, . ) là không gian đầy đủ thì
(X, . ) được gọi là không gian Banach.

5


1.1.2

Toán tử tuyến tính

Các kiến thức sau đây được tham khảo ở tài liệu [8], p.82.
Định nghĩa 1.3. (Toán tử tuyến tính)
Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, toán tử
A : X → Y được gọi là tuyến tính nếu: A(αx + βy) = αAx + βAy với mọi x, y ∈
X và với mọi α, β ∈ K.
Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với
mọi dãy xn hội tụ đến x0 , ta đều có Axn → Ax0 (n → ∞).
Định lý 1.1. Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục
tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.5. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn A của toán
tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng :
A = sup

Ax = sup

x ≤1

x=0

Ax
.
x

Định nghĩa 1.6. A : X → X là toán tử tuyến tính bị chặn nếu tồn tại một
hằng số dương c > 0 sao cho Ax < c x , ∀x ∈ X.
Ta có:
Mệnh đề 1.1. a) A : X → X bị chặn khi và chỉ khi nó liên tục.
b) Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào X tạo thành một không gian
Banach được ký hiệu là L(X), tức là:
L(X) = {A|A : X → X, A < +∞} .

Chúng ta xin nhắc lại rằng, giả sử T ∈ L(X), khi đó nếu
T (x) ≤ x với mọi x ∈ X,

thì T được gọi là phép co.
Nếu T x = x , với mọi x ∈ X thì T được gọi là một phép đẳng cự. Trong
L(X) ta có thể xác định các tô pô khác nhau như tô pô đều, tô pô mạnh, tô pô
yếu.
Xét một họ (Tα )α∈J ⊂ L(X) gồm các toán tử tuyến tính bị chặn Tα ∈ L(X). Khi
đó ta nói
(i) (Tα )α∈J hội tụ đến T , T ∈ L(X) theo tô pô đều nếu
Tα − T → 0

.

6


(ii) (Tα )α∈J hội tụ đến T , T ∈ L(X) theo tô pô mạnh nếu
Tα x − T x → 0,

∀x ∈ X

.
(iii) (Tα )α∈J hội tụ đến T , T ∈ L(X) theo tô pô yếu nếu
| < Tα x − Tx , x > | → 0,

∀x ∈ X, x ∈ X

.
Với các khái niệm đó, nguyên lý của bị chặn đều có thể phát biểu theo mệnh đề
sau
Mệnh đề 1.2. (xem [8], p.511) Cho một tập K ⊂ L(X), khi đó các tính chất
dưới đây là tương đương
(a) K bị chặn theo tô pô yếu.
(b) K bị chặn theo tô pô mạnh.
(c) K bị chặn theo tô pô đều tức là T x ≤ c, với mọi T ∈ K.
Mệnh đề 1.3. (xem [8], p.512) Trên các tập bị chặn của L(X) thì sự hội tụ
theo các tô pô sau đây là như nhau.
(a) Tô pô mạnh.
(b) Tô pô đối với tập gồm các điểm hội tụ mà tập này là trù mật trong X .
(c) Tô pô trên tập các điểm hội tụ đều mà tập này là compact tương đối của
X.
Định nghĩa 1.7. (Toán tử đóng)
Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y
gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy {xn }∞
n=1 ⊂ D(A) mà xn → x, Axn → y thì
x ∈ D(A) và Ax = y .

1.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Volterra
trong không gian Banach

Nội dung trong phần này được tham khảo ở tài liệu [13].
Giả sử X là không gian Banach, J ⊂ R là khoảng vô hạn hay hữu hạn của trục
thực R, ta kí hiệu
∆J = {(t, s)|(t, s) ∈ J, t ≥ s} .
(1.1)
Sau dây ta sẽ kí hiệu K ∈ C[∆J × X, X] là các toán tử liên tục từ ∆J × X → X
được xác định bởi:
K : (t, s, x) → K(t, s, x),
(1.2)
7


trong đó (t, s) ∈ J, x ∈ X .
Trong định lý tiếp theo ta sẽ xét các trường hợp cụ thể với giả thiết K là
tuyến tính hoặc phi tuyến, thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x, đều đối với
t, tức là:
K(t, s, x) − K(t, s, y) ≤ L(s) x − y ,
(1.3)
L(s) là hàm khả tích địa phương của s.
1.2.1

Phương trình Volterra tuyến tính

Nội dung trong phần này được tham khảo ở tài liệu [7], p.26.
Lấy J = [0, T ], giả sử x : J → X, A : J → L(X) là liên tục mạnh theo x và
K = A(t)x(t), t ∈ J và x0 ∈ X . Xét phương trình Volterra
t

x(t) = g(t) +

với t0 , t ∈ J và t ≥ t0 ,

A(τ )x(τ )dτ,

(1.4)

t0

trong đó t0 , t ∈ J (t ≥ t0 ), g ∈ C(J, X) ở đây g : J → X là hàm liên tục. Định lý
sau đây sẽ xác lập cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình
tích phân ( 1.4)
Định lý 1.2. Giả sử các hàm g : J → X là liên tục và A : J → L(X) là liên tục
mạnh. Khi đó phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên
đoạn [a, b] ⊂ J bất kỳ. Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng:
∞

x(t) = g(t) +

gk (t),
k=1

trong đó:
t

g1 (t) = g(t) +

A(t1 )g(t1 )dt1 ,
t0

...
t

gk (t) =

A(τ )gk−1 (τ )dτ,
t0

...

Chứng minh. Giả sử [a, b] ⊂ J bất kỳ, ta ký hiệu B = C([a, b], X), trong đó
C([a, b], X) là tập các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong X , với chuẩn:
|||x||| = max x(t) ,
t∈[a,b]

Với t0 ∈ [a, b] bất kỳ ta xét toán tử S : B → B được xác định bởi:
t

(Sx)(t) = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ.
t0

8

(1.5)


Từ giả thiết g : [a, b] → X là liên tục và A : [a, b] → L(X) là liên tục mạnh ta
có thể suy ra vế phải của (1.5) là liên tục theo t và S là một toán tử đi từ không

gian C([a, b]; X) vào chính nó. Bây giờ ta xét dãy (S n x)(t) được xác định bởi:
t

(Sx)(t) = g(t) +

A(t1 )g(t1 )dt1
t0
t

(S 2 x)(t) = g(t) +

A(t1 )(Sx)(t1 )dt1
t0

...
t
n

A(t1 )(S n−1 x)(t1 )dt1

(S x)(t) = g(t) +
t0

...

Bằng phương pháp truy hồi ta được:
A(t2 )A(t1 )g(t1 )dt1 dt2 + . . .

A(t1 )g(t1 )dt1 +

(S x)(t) = g(t) +

t2

tn−1

t

t0

t0

t0

A(tn−1 )A(tn−2 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1 )

...

+
t0

t2

t

t
n

t0

t0
t

t2

tn

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn . (1.6)

...

+
t0

t0

t0

Với mỗi x1 , x2 ∈ X ta có:
(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)
t

t2

tn

=

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )[x2 (t1 ) − x1 (t1 )]dt1 . . . dtn−1 dtn ,

...
t0

t0

t0

và
(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)
t t
≤ |||x2 − x1 ||| t0 tn . . .

t2
t0

A(tn )

A(t1 ) . . . A(t1 ) dt1 . . . dtn−1 dtn .

Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t1 , t2 , . . . , tn
nên ta có:
t

t

t2

...
t0

tn

t0

1
A(tn ) A(t1 ) . . . A(t1 ) dt1 . . . dtn−1 dtn =
n!

t

n

A(τ ) dτ

.

t0

(1.7)
Hay ta có:
|||S n x2 − S n x1 ||| ≤

1
n!

b

n

A(τ ) dτ

|||x2 − x1 |||.

a

Điều đó chứng tỏ rằng toán tử S n co trong C([a, b]; X) khi n đủ lớn. Sử dụng
nguyên lý ánh xạ co ( suy rộng) ta suy ra phương trình (1.6) có nghiệm duy
9


nhất đồng thời ta có:
x(t) = lim S n g(t),
n→∞

với g(t) ∈ C([a, b]; X) bất kỳ
Bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Giả sử các hàm g : J → X là liên tục và A : J → L là liên tục
mạnh. Khi đó nghiệm x = x(t) của phương trình (1.4) có dạng:
∞

t

t2

tn

A(tn )A( tn−1 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn .

...

x(t) =
n=1

t0

t0

t0

Đồng thời ta có đánh giá sau:
b
a

|||x||| ≤ |||g|||e

A(τ ) dτ

∞
k=1 gk (t),

Chứng minh. Xét chuỗi x(t) = g(t) +

(1.8)

.

với t ∈ [a, b], ta có

∞

x(t) ≤ g(t) +

với t ∈ [a, b].

gk (t) ,

(1.9)

k=1

Bằng lý luận tương tự như trong chứng minh bất đẳng thức (1.7) của Đinh lý
(1.1) ta có:
∞

|||x(t)||| ≤ |||g|||

1+
n=1

1
n!

t

n

A(τ ) dτ

,

t0

Với mọi α ≤ t0 ≤ t ≤ b, từ đó ta suy ra
|||x||| ≤ |||g|||e

b
a

A(τ ) dτ

.

Hệ quả được chứng minh.
1.2.2

Phương trình Volterra phi tuyến

Nội dung trong phần này được tham khảo ở tài liệu [7], p.91.
Cho X là một không gian Banach thực, J = [t0 , t0 + a](a > 0), g ∈ C[J, X], kí
hiệu ∆J = {(t, s) ∈ J × J : t ≥ s}. Giả sử K ∈ C[∆J × X, X] thỏa mãn điều kiện
Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho:
K(t, s, x) − K(t, s, y) ≤ L x − y , ∀(t, s) ∈ ∆J , x, y ∈ X.

Xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến
t

x(t) = g(t) +

K(t, s, x(s))ds,
t0

10

(1.10)


và toán tử tích phân liên kết
t

(F x)(t) = g(t) +

K(t, s, x(s))ds.

(1.11)

t0

Để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (1.10) ta có định lý
sau đây:
Định lý 1.3. Giả sử K ∈ C[∆J × X, X] và g ∈ C[J, X], K(t, s, x) thỏa mãn điều
kiện Lipshitz đối với x, tức là tồn tại hằng số L > 0 sao cho
||K(t, s, x) − K(t, s, y)|| ≤ L||x − y||,

∀(t, s) ∈ ∆J , x, y ∈ X.

(1.12)

Khi đó phương trình (1.10) có một nghiệm duy nhất x∗ ∈ C[J, X] và với mọi
xn ∈ C[J, X]sao cho ||xn − x∗ ||C → 0 khi n → ∞, ta có
t

x1 (t) = g(t) +

K(t, s, x0 (s))ds,
t0

...
t

K(t, s, xn (s)) ds,

xn+1 (t) = g(t) +
t0

∀t ∈ J (n = 1, 2, 3, ...).

(1.13)

...

Chứng minh. .
Lấy x ∈ C[J, X] và t, t ∈ J, t > t, từ phương trình (1.11) ta có
||(F x)(t ) − (F x)(t)|| ≤ ||g(t ) − g(t)||+
||K(t , s, x(s)) − K(t, s, x(s))|| ds +

+

(1.14)

t

t

||K(t , s, x(s))|| ds.
t

t0

Do (1.12) ta được
||K(t, s, x(s))|| ≤ ||K(t, s, x(s)) − K(t, s, θ)|| + ||K(t, s, θ)||
≤ L||x(s)|| + M ≤ L||x||C + M,

(1.15)

∀(t, s) ∈ ∆J ,

trong đó M = max {||K(t, s, θ)|| : (t, s) ∈ ∆J } < ∞. Từ giả thiết K ∈ C[∆J × X, X]
ta suy ra với (t, s), (t , s) ∈ ∆J ta có:
lim ||K(t , s, x(s)) − K(t, s, x(s))|| = 0.

t →t

(1.16)

Do g, x ∈ C[J, X] và K ∈ C[∆J ×X, X] ta có thể suy ra ||(F x)(t )−(F x)(t)|| → 0
với t → t, vì vậy F x ∈ C[J, X], và do đó ánh xạ F đi từ C[J, X] vào C[J, X].
Mặt khác, từ (1.11) ta có:
t

||(F x)(t) − (F y)(t)|| ≤

||K(t, s, x(s)) − K(t, s, y(s))|| ds
t0

(1.17)

t

≤L

||x(s) − y(s)|| ds,
t0

11

∀x, y ∈ C[J, X], t ∈ J.


Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chỉ ra rằng
||(F m x)(t) − (F m y)(t)|| ≤

Lm (t − t0 )m
||x − y||C , ∀t ∈ J, x, y ∈ C[J, X],
m!
(m = 1, 2, 3, ...)

(1.18)

Thật vậy, bất phương trình (1.17) chính là bất phương trình (1.18) khi m = 1.
Giả sử bất phương trình (1.18) đúng với m. Khi đó, với bất phương trình (1.17)

và (1.18), ta có
t

||(F

m+1

x)(t) − (F

m+1

||(F m x)(s) − (F m y)(s)|| ds

y)(t)|| ≤ L
t0

t

≤L

Lm (s − t

t0

0

m!

)m

||x − y||C ds =

Lm+1 (t − t0 )m+1
||x − y||C ,
(m + 1)!

bất phương trình (1.18) đúng với m + 1. Do đó, bằng phép quy nạp, phương
trình (1.18) đúng với mọi số nguyên dương m. Ta chọn một số nguyên dương m
đủ lớn sao cho q =

L m am
< 1, ta có
m!

||F m x − F m y||C ≤ q||x − y||C với mọi x, y ∈ C[J, X]

Do đó, theo định lý điểm bất động Banach, toán tử F m có duy nhất một điểm
bất động x∗ trong C[J, X] và F mn y → x∗ khi n → ∞ với mọi y ∈ C[J, X].
Như vậy ta có F x∗ = F (F m x∗ ) = F m+1 x∗ = F m (F x∗ ) nên F x∗ ∈ C[J, X] là một
điểm bất động của F m , và do đó ta có F x∗ = x∗ ,sử dụng tính duy nhất của
nguyên lý điểm bất động ta suy ra x∗ là điểm bất động của F .
Bây giờ nếu lấy y = F k x1 (k = 0, 1, ..., m − 1), lý luận tương tự như trên ta có
thể chỉ ra F mn+k x1 → x∗ khi n → ∞(k = 0, 1, ..., m − 1). Như vậy xn → x∗ khi
n → ∞, trong đó xn được định nghĩa bởi (1.13). Cuối cùng, do tính duy nhất của
điểm bất động của F m , ta đi đến kết luận điểm bất động của F là duy nhất.
1.2.3

Chuẩn Bielecki và sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình
Volterra phi tuyến

Các kiến thức của phần này được tham khảo ở tài liệu [7].
Cho (X, . ) là một không gian Banach, J = [a, b], a, b ∈ R. Giả sử K : J ×J ×X →
X là một toán tử bị chặn thỏa mãn điều kiện Lipschitz (không ô tô nôm) tức là
tồn tại L ∈ C([a, b], R) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
K(t, s, x) − K(t, s, y) ≤ L(s) x − y ,

(1.2.3)

Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng toán tử V : C([a, b], R) được xác định bởi:
t

K(t, s, x(s))ds,

V (x) =
a

12

(1.19)


trong đó V ∈ C([a, b], X) là một toán tử co trong không gian (X, .
là chuẩn Bielecki trong C([a, b], X) được xác định bởi
x

= sup e−p

B,p

t

a

L(s)ds

B,p ),

với .

B,p

(1.20)

x(t) .

a≤t≤b

Bổ đề 1.1. Toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) được xác định bởi (1.19) là
toán tử co trong không gian Banach C([a, b], X).
Chứng minh Ta sẽ chỉ ra rằng chuẩn .

B,p

tương đương với chuẩn |||.||| và

toán tử V thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz
Bielecki .

B.p ,

1

theo chuẩn
p

tức là:
V (x) − V (y)

≤

B,p

1
x−y
p

(1.21)

B,p .

Thật vậy, tính tương đương suy ra từ ước lượng
C1 |||.||| ≤ .

B,p

≤ C2 |||.|||, với C1 = e−p

b
a

L(s)ds

> 0, C2 = 1 > 0.

Và do đó, không gian C([a, b], X) cũng là không gian Banach theo chuẩn Bielecki.
Tiếp theo để có tính Lipschitz, ta xét
V (x) − V (y)

B,p

t
a

= sup e−p

L(s)ds

V (x)(t) − V (y)(t)

a≤t≤b

= sup e−p

t
a

t
L(s)ds

[K(t, s, x(s) − K(t, s, y(s))]ds

a≤t≤b

≤ sup e−p

t
a

a
t
L(s)ds

a≤t≤b

≤ sup e

−p

t
a

t
L(s)ds

a≤t≤b

= sup e

−p

t
a

t
L(s)ds

do tính Lipschitz của K

L(s)ep

s
a

L(u)du

e−p

s
a

L(u)du

a
B,p

sup e−p
a≤t≤b

≤

L(s) x(s) − y(s) ds,
a

a≤t≤b

≤ x−y

[K(t, s, x(s) − K(t, s, y(s))] ds
a

1
x−y
p

t
a

t
L(s)ds

L(s)ep
a

B,p .

13

s
a

L(u)du

ds

x(s) − y(s)

ds


Ước lượng cuối cùng có được là vì
t
p

L(s)e

s
a

t

L(u)du

ds =

a

=
=
<

s
1

d ep a L(u)du
p a
1 p s L(u)du s=t
e a
p
s=a
t
1 p L(u)du 1
e a
−
p
p
1 p t L(s)ds
.
e a
p

Lấy p > 1, ta thấy rằng toán tử K co trong chuẩn Bielecki.
Định lý 1.4. Giả sử rằng hàm K(t, s, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x và
đều theo t, tức là
K(t, s, x) − K(t, s, y) ≤ L(s) x − y ,

∀t, s ∈ [a, b],

∀x, y ∈ X

và L ∈ C([a, b], R). Khi đó với mỗi g ∈ C[J, X] phương trình tích phân Volterra
t

x(t) =

(1.22)

K(t, s, x(s))ds + g(t),
a

có duy nhất nghiệm x ∈ C([a, b], X), và nghiệm này phụ thuộc vào sự liên tục
trên g .
Chứng minh Từ giả thiết của định lý ta suy ra các giả thiết của bổ đề (1.1)
là thỏa mãn. Theo bổ đề (1.1) thì toán tử tích phân Volterra là ánh xạ co, suy
ra toán tử U (x) = V (x) + g cũng là ánh xạ co, vì:
U (x) − U (y)

B,p

= V (x) − V (y)

B,p

<

1
x−y
p

B,p .

Như thế áp dụng nguyên lý ánh xạ co cho toán tử U , ta suy ra phương trình
tích phân Volterra
t

x(t) =

(1.23)

K(t, s, x(s))ds + g(t),
a

có nghiệm duy nhất x ∈ C([a, b], X) với mọi hàm g ∈ C([a, b], X) cho trước.
Để chỉ ra sự phụ thuộc liên tục của nghiệm x vào g ta xét
x = V (x) + g,

Kí hiệu xg và xg0 là hai nghiệm tương ứng với g và g0 của phương trình trên thì
x g − xg 0

B,p

= V (xg ) − V (xg0 ) + g − g0

B,p

≤ V (xg ) − V (xg0 ) B,p + g − g0
1
≤ xg − xg0 B,p + g − g0 B,p ,
p
14

B,p

suy ra
xg − xg0

B,p

≤

p
g − g0
p−1

B,p

→ 0 khi g → g0 .

Vậy nghiệm x tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào g.

1.3

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
trong không gian Banach

Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi
phân
dx(t)
= f (t, x(t)),
dt

(1.24)

trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → B với D là miền đơn liên trong
không gian Banach B. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm
của (1.24) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:
Định nghĩa 1.8. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định trên I , khả vi liên
tục theo t ∈ I ) được gọi là nghiệm của (1.24) nếu khi thay vào (1.24) ta thu được
một đồng nhất thức trên I . Tức là
dx(t)
= f (t, x(t)), ∀t ∈ I.
dt

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.24) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.24) ta thường xét phương trình tích phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.

(1.25)

t0

Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng
nghiệm của (1.25) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại. Sau đây ta ký
hiệu:
S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η ,

với ε > 0, η > 0 là lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ). Khi đó ta có định lý tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:

Định lý 1.5. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)
liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||,
15

(1.26)


M là một hằng số hữu hạn. Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong
lân cận đó thì (1.24) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(t0 ) = x0 .

Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho trong miền
|t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có:
||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )||
≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞.

Lấy δ = min ε, Mη1 và ký hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t)
xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup ||x(t)||.
|t−t0 |≤δ

Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η}.
Xét toán tử:
t

f (τ, x(τ ))dτ.

(Sx)(t) = x0 +

t0

Ta có:
t

||(Sx)(t) − x0 || = ||

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))||
τ ∈[t0 ,t]

t0

≤ δM1 ≤ η.

Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη . Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều
kiện Lipschitz ta có đánh giá:
t

||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤

||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ
t0
t

≤M

||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||.
t0

Mặt khác ta lại có:

t

|| S 2 x2 (t) − S 2 x1 (t) || ≤ M

|| (Sx2 ) (τ ) − (Sx1 ) (τ ) ||dτ
t0
t

≤ M 2 |||x2 − x1 |||

(τ − t0 ) dτ
t0

2

=

[M (t − t0 )]
|||x2 − x1 |||.
2!
16


Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
[M (t − t0 )]n
|||x2 − x1 |||
n!
[δM ]n
n
n

||S x2 − S x1 || ≤
|||x2 − x1 |||.
n!

|| (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤

n

]
n
Do [δM
n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S là toán tử co trong Bη . Do
đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân
t

f (τ, x(τ ))dτ.

x(t) = x0 +
t0

Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất. Do đó tồn tại duy nhất nghiệm
x(t) ∈ Bη (x0 ).
Định lý 1.6. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy).
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r

dr
→ ∞, khi r → ∞,
L (r)

r0

khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.25) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < ∞.
Chứng minh. Vì
||

x(t2 ) − x(t1 )
||x(t2 )|| − ||x(t1 )||
|| ≥
t2 − t1
t2 − t1
⇒ ||

dx
d||x||
|| ≥
.
dt
dt

Mặt khác ta có
d (x)
= f (t, x (t)) ,
dt

và
f (t, x) ≤ L ( x ) ,

nên ta suy ra

L( x ) ≥

d x
dt

.

Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0 ) đến điểm x theo

17


chiều tăng của t ta được:
t

t

1
d x
·
dr
dt
L( x )

dr ≥
t0

t0
x

dr
.
L( x )

⇒ t − t0 ≥
x0

Bằng cách đổi biến p = x , ta có
p
p0

x

dp
=
L(p)

Khi đó từ giả thiết của định lý

p
p0

x0

d x
.
L( x )

dp
→ ∞, khi p → ∞. Ta suy ra:

L(p)

* Nếu p = x(t) → ∞ khi t → ∞ thì định lý được chứng minh.
* Ngược lại nếu r < ∞, ∀t ∈ R thì nghiệm đã được kéo dài.

18