Nghiên cứu hệ thống các tính chất của hàm suy lồi suy rộng dưới khả vi và một số bài toán ứng dụng

Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN ANH VĂN

TÍNH DƯỚI KHẢ VI CỦA HÀM LỒI
SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2016
Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn .

Hà Nội, ngày 5 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Anh Văn

Footer Page 2 of 258.


Header Page 3 of 258.

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế
thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp
với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 5 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Anh Văn

Footer Page 3 of 258.

Header Page 4 of 258.

Mục lục

Lời cám ơn

i

Lời cam đoan

ii

Bảng ký hiệu

v

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3

2 Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng

26

2.1

Tính dưới khả vi của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng . . . . . . . . . .

32

2.2.1

32

Tính dưới khả vi của hàm tựa lồi . . . . . . . . .
iii

Footer Page 4 of 258.


Header Page 5 of 258.

2.2.2

Tính dưới khả vi của hàm giả lồi . . . . . . . . .

3 Ứng dụng của hàm lồi suy rộng dưới khả vi

40
45

3.1

Bài toán tối ưu lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2

Bất đẳng thức biến phân với hàm lồi suy rộng . . . . . .

48

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Tài liệu tham khảo

52

iv

Footer Page 5 of 258.


Header Page 6 of 258.

BẢNG KÝ HIỆU

R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclide n chiều trên trường số thực

R = R ∪ {−∞, +∞}

Tập số thực suy rộng

f :X→R

Ánh xạ đi từ X vào R

E

Không gian Banach

E∗

Không gian liên hợp của E

E ∗∗

Không gian liên hợp thứ hai của E

x∗ , x
∅
x, y

Giá trị x∗ của tại x
Phần tử không
Tích vô hướng của hai vectơ x và y

.
f¯

Chuẩn trong không gian Banach

domf

Tập hữu dụng của hàm f

epi(f )

Trên đồ thị của hàm f

∂f (x)

Dưới khả vi của f tại x

X

Bao đóng của X

coX

Bao lồi của X

KX

Nón lồi sinh bởi X

∇f (x)

Vectơ gradient của f tại x

Hàm bao đóng của f

Kết thúc chứng minh.

Footer Page 6 of 258.


Header Page 7 of 258.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm lồi suy rộng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc. Các hàm tựa lồi, hàm giả lồi
đã được Mangasarian trình bày trong [8]. D. Aussel đã nghiên cứu các
tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính
tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó và mối quan
hệ giữa các khái niệm này trong [4], [5]. A. Daniilidis và N. Hadjisavvas
nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn [6] và [7]
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong
muốn được tìm hiểu một cách có hệ thống và sâu sắc hơn về các tính
chất cũng như một số ứng dụng của giải tích lồi nói chung và hàm lồi
suy rộng nói riêng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Tính dưới khả vi
của hàm lồi suy rộng và ứng dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các tính chất dưới khả vi của hàm lồi suy rộng.
- Một số bài toán ứng dụng của hàm lồi suy rộng dưới khả vi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất của hàm lồi suy
rộng dưới khả vi và một số bài toán ứng dụng.

1

Footer Page 7 of 258.


Header Page 8 of 258.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Một số tính chất của hàm lồi suy rộng trong không gian Banach.
- Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng.
- Một số bài toán ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài
theo phương pháp của Giải tích.

6. Đóng góp mới của luận văn
Đề tài góp phần làm rõ và chi tiết về những tính chất của hàm lồi
suy rộng và ứng dụng trong một số bài toán cụ thể.

2

Footer Page 8 of 258.


Header Page 9 of 258.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản liên
quan đến không gian Banach, tập lồi, hàm lồi, hàm lồi suy rộng trong
không gian Banach. Đây là những kiến thức cơ bản làm nền tảng cho
việc nghiên cứu tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng và ứng dụng.
Nội dung của chương này được tham khảo dựa trên các tài liệu [1], [3],
[4], [5], [6], [8], [10].

1.1

Không gian Banach
Cho E là một không gian vectơ trên trường số R.

Định nghĩa 1.1. Một chuẩn, kí hiệu . trong E là một ánh xạ đi từ E
vào R thỏa mãn các điều kiện:
a)

x ≥ 0 với mọi x ∈ E;

b)

x = 0 khi và chỉ khi x = ∅ (∅ là kí hiệu phần tử không);

c)

λx = |λ| x với mọi số λ ∈ R và x ∈ E;

d)

x + y = x + y với x, y ∈ E;

3

Footer Page 9 of 258.


Header Page 10 of 258.

Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ E. Một không
gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi
là một không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ E
đặt,
ρ(x, y) = x − y .
Khi đó, ρ là một metric trên E.
Định nghĩa 1.2. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn . .
Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E : ρ(x, y) = x − y , là một
không gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.
Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không
gian Banach được kí hiệu là E. Chuẩn trong các không gian Banach luôn
được kí hiệu bởi . .
Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn . .
Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R là một phiếm hàm tuyến tính
xác định trên E.
Nếu x∗ ∈ E và x ∈ E thì giá trị của x∗ tại x sẽ được kí hiệu là
x∗ , x nghĩa là x∗ , x = x∗ (x).
Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với phép
cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập
thành một không gian tuyến tính thực. Ta gọi không gian này là không
gian liên hợp của E và được kí hiệu là E ∗ . Không gian liên hợp của E ∗
gọi là không gian liên hợp thứ hai của E và kí hiệu là E ∗∗ .
Định lí 1.1. Không gian liên hợp E ∗ của E với chuẩn xác định bởi
x∗ = sup { x∗ , y : y ∈ E, y = 0}
4

Footer Page 10 of 258.

Header Page 11 of 258.

là một không gian Banach.
Tôpô τM sinh bởi metric của không gian định chuẩn E ∗ nêu trong
định lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E ∗ .
Định nghĩa 1.4. Tôpô τM trong E ∗ gọi là tôpô yếu nếu hệ thống các
lân cận của 0 của E ∗ là các tập có dạng
∗
{x∗ ∈ E ∗ : x∗∗
< ε, i = 1, ..., k} ,
i ,x
∗∗
trong đó x∗∗
với i = 1, ..., k và ε > 0.
i ∈E

Định nghĩa 1.5. Tôpô τ ∗ trong E ∗ gọi là tôpô yếu * nếu hệ thống các
lân cận của 0 của E ∗ là các tập có dạng
{x∗ ∈ E ∗ : x∗ , xi < ε, i = 1, ..., k} ,
trong đó xi ∈ E với i = 1, ..., k.
Định nghĩa 1.6. Tập X ⊂ E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô
pô yếu trong E gọi là tập đóng (compact, bị chặn) yếu. Tập X đóng
(compact, bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E ∗ của E
thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*) .

1.2

Tập lồi và hàm lồi

1.2.1

Tập lồi
Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực.

Định nghĩa 1.7. Tập X ⊂ E được gọi là tập lồi, nếu
∀x, y ∈ X thì λx + (1 − λ)y ∈ X với ∀λ ∈ [0, 1]
Ví dụ 1.2.1. Cả không gian E là tập lồi. Tập X = ∅ là tập lồi.
5

Footer Page 11 of 258.


Header Page 12 of 258.

Mệnh đề 1.2. Giả Xα ⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kì. Khi đó X =

Xα cũng lồi.
α∈I

Mệnh đề 1.3. Tập Xi ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , ..., m). Khi đó
λ1 X1 + ... + λm Xm cũng lồi.
Mệnh đề 1.4. Giả sử Ei là không gian Banach, tập Xi ⊂ Ei lồi
(i = 1, 2, , ..., m). Khi đó tích Đề các X1 × ... × Xm là tập lồi trong
E1 × ... × Em .
Mệnh đề 1.5. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach, T : E1 → E2
là toán tử tuyến tính. Khi đó,
1) X ⊂ E1 lồi thì T (X) lồi;
2) Y ⊂ E2 lồi thì nghịch ảnh T −1 (Y ) của Y là tập lồi.

Định nghĩa 1.8. Véc tơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ
m

x1 , ..., xm thuộc E, nếu ∃λi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m),

λi = 1 sao cho
i=1

m

x=

λi xi .
i=1

Định lí 1.2. Cho tập X ⊂ E lồi, x1 , ..., xm ∈ X. Khi đó X chứa tất cả
các tổ hợp lồi của x1 , ..., xm .
Định nghĩa 1.9. Cho X ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi chứa X được
gọi là bao lồi (convex hull) của tập X, kí hiệu là coX.
Giả sử X ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa X được gọi là bao
lồi đóng của tập X và kí hiệu là coX.
Định lí 1.3. coX trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của X.
Hệ quả 1.1. Tập X lồi khi và chỉ khi X chứa tất cả các tổ hợp lồi của
X.
6

Footer Page 12 of 258.


Header Page 13 of 258.

Mệnh đề 1.6. ([3], tr7) Giả sử X ⊂ E lồi. Khi đó,
1) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi;
2) Nếu x ∈ intX, y ∈ X, thì
{x, y} = {λx + (1 − λ)y : 0 < λ ≤ 1} ⊂ intX.
Định nghĩa 1.10. Tập K ⊂ E được gọi là nón có đỉnh 0, nếu
∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K.
K được gọi là nón đỉnh x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh 0.
Định nghĩa 1.11. Nón K có đỉnh 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một
tập lồi, vậy
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K.
Mệnh đề 1.7. Giả sử Kα (α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh x0 với I là tập
Kα là nón lồi có đỉnh x0 .

chỉ số bất kì. Khi đó
α∈I

Định lí 1.4. Tập K ⊂ E là một nón lồi có đỉnh 0 khi và chỉ khi
∀x, y ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ x + y ∈ K, λx ∈ K.
Hệ quả 1.2. Tập K ⊂ E là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các tổ
hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, tức là nếu
m

x1 , ..., xm ∈ K, λ1 , ..., λm > 0 thì

λi xi ∈ K.
i=1

Hệ quả 1.3. Giả sử X là tập bất kì trong E, K là tập tất cả các tổ hợp
tuyến tính dương của X. Khi đó X là nón lồi nhỏ nhất chứa X.

Định nghĩa 1.12. Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập
X và điểm 0 là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập X. Kí
hiệu là KX .
7

Footer Page 13 of 258.


Header Page 14 of 258.

Định lí 1.5. Giả sử X ⊂ E khác rỗng, KX là nón lồi sinh bởi tập X.
Khi đó, mỗi điểm x khác 0 thuộc KX có thể biểu diễn dưới dạng
x = λ1 x1 + ... + λr xr ; λi > 0, xi ∈ X, (i = 1, ..., r).
các điểm x1 , ..., xr độc lập tuyến tính. Nói riêng, r ≤ n.
Định lí 1.6. (Định lí Carathéodory)
Giả sử E < ∞ và X ⊂ E. Khi đó, mỗi điểm của tập coX là tổ hợp lồi
không quá n + 1 điểm khác nhau của X.
Định nghĩa 1.13. Cho X là một tập lồi khác rỗng trong E, x0 ∈ X.
Nón pháp tuyến của X tại x0 , kí hiệu là NX (x0 ), là tập
NX (x0 ) = {x∗ ∈ E ∗ : x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ X} .
Định nghĩa 1.14. Tập X ⊂ E được gọi là tập affine, nếu
(1 − λ)x + λy ∈ X

(∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R).

Dễ thấy, tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi.
Ví dụ 1.2.2. Tập X = E là tập affine, không gian véc tơ con X của E
là tập affine.
Định nghĩa 1.15. Tập H trong không gian E được gọi là siêu phẳng
nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác không x∗ từ E vào R và số α ∈ R

sao cho H = {x ∈ E : x∗ , x = α}. Khi đó ta nói H xác định bởi x∗ và
α, và viết là H(x∗ , α).
Định nghĩa 1.16. Cho các tập hợp X, Y ⊂ E. Ta nói phiếm hàm tuyến
tính liên tục x∗ = 0 tách X và Y , nếu tồn tại số α sao cho
x∗ , y ≤ α ≤ x∗ , x
Nếu như có x∗ , y < α < x∗ , x

(∀x ∈ X, ∀y ∈ Y ),

(∀x ∈ X, ∀y ∈ Y ), thì ta nói x∗ tách

ngặt X và Y .
8

Footer Page 14 of 258.


Header Page 15 of 258.

Khi đó siêu phẳng H(x∗ , α) = {x ∈ E : x∗ , x = α} được gọi là
siêu phẳng tách X và Y , các tập X và Y được gọi là tách được.
Định lí 1.7. (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách, xem [1])
Cho X và Y là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất
X ∩ Y = ∅ và intX = ∅. Khi đó, X và Y có thể tách được bằng một
phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức
∃x∗ ∈ E ∗ \ {0} , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y : x∗ , x ≥ x∗ , y .
Định nghĩa 1.17. Giao của tất cả các tập affine của tập X ⊂ E được
gọi là bao affinc (affine hull) của X ký hiệu là affX.
Định nghĩa 1.18. Điểm x ∈ E được gọi là tổ hợp affine của các điểm
m

x1 , ..., xm ∈ E, nếu ∃λ1 , ..., λm ∈ R,

λ1 = 1, sao cho
i=1

m

x=

λm xm .
i=1

Định lí 1.8. X tập affine khi và chỉ khi X = affX = {x : x là tổ hợp
affine của các véc tơ thuộc X}.
Định nghĩa 1.19. Ánh xạ T : E1 → E2 được gọi là affine nếu
∀x, y ∈ E1 , λ ∈ R; T ((1 − λ)x + λy = (1 − λ)T x + λT y.
Định nghĩa 1.20. Phần trong tương đối của X ⊂ E là phần trong của
X trong affX; kí hiệu là riX.
Các điểm thuộc riX được gọi là điểm trong tương đối của tập X.
Định nghĩa 1.21. Tập X\riX được gọi là biên tương đối của X.
Tập X được gọi là mở tương đối, nếu riX = X.

9

Footer Page 15 of 258.


Header Page 16 of 258.

1.2.2

Hàm lồi
Cho E là không gian Banach, X ⊂ E, f : X → R.

Định nghĩa 1.22. Cho hàm f : X → R, X ⊂ E, R = R ∪ {−∞, +∞},
các tập dom f = {x ∈ X |f (x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ X × R |f (x) ≤ α},
α ∈ R, lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và epi đồ thị của f.
Định nghĩa 1.23. Hàm f được gọi là lồi trên X nếu epif là tập lồi trong
không gian E × R.
Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và −∞ < f (x) với
mọi x ∈ X.
Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X .
Định nghĩa 1.24. Giả sử X là tập lồi trong không gian E, hàm
f : X → (−∞, +∞]. Khi đó, f là tập lồi trên X khi và chỉ khi
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ X).
Ví dụ 1.2.3. Hàm chỉ.
Cho C = ∅ là một tập lồi trong E. Đặt

δC (x) :=

0

khi x ∈ C

+∞ khi x ∈
/ C.

Khi đó δC là hàm chỉ của C .
Ví dụ 1.2.4. Hàm tựa.

Cho C = ∅ là một tập lồi trong C.
Đặt
SC (y) = sup y, x
x∈C

với y ∈ E ∗ . Khi đó SC là hàm tựa của C.
10

Footer Page 16 of 258.


Header Page 17 of 258.

Ví dụ 1.2.5. Xét hàm affine
f (x) = a∗, x + α, a ∈ Rn , α ∈ R
1) ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ (0, 1), ta có
f [λx + (1 − λ)y] = a∗, [λx + (1 − λ)y] + α
= λ a∗, x + (1 − λ) a∗, y + α
= λ a∗, x + λα + (1 − λ) a∗, y + (1 − λ)α
= λ( a∗, x + α) + (1 − λ)( a∗, y + α)
= λf (x) + (1 − λ)f (y).
Vậy f là hàm lồi trên E.
2) ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ (0, 1), ta lại có
−f [λx + (1 − λ)y] = − a∗, [λx + (1 − λ)y] + α
= −λ a∗, x + (1 − λ) a∗, y + α
= −λ a∗, x + λα + (1 − λ) a∗, y + (1 − λ)α
= −λ( a∗, x + α) + (1 − λ)( a∗, y + α)
= −λf (x)−(1 − λ)f (y).
Vậy −f là hàm lồi trên E. Suy ra f là hàm lõm trên E.
Định lí 1.9. (Bất đẳng thức Jensen)

Cho f : E → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi
m

∀λi ≥ 0, (i = 1, ..., m),

λi = 1; ∀x1 , ..., xm ∈ E,
i=1

f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ).
Mệnh đề 1.8. Giả sử f : E → (−∞, +∞). Khi đó, f là hàm lồi khi và
chỉ khi
f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s
(∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s)
11

Footer Page 17 of 258.


Header Page 18 of 258.

Định lí 1.10. Giả sử f là hàm lồi trên E, µ ∈ [−∞, +∞]. Khi đó, các
tập mức {x : f (x) < µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi.
Hệ quả 1.4. Giả sử fα là hàm lồi trên E, λα ∈ R, (∀α ∈ I), I là tập
chỉ số bất kì. Khi đó, tập X = {x ∈ E : fα (x) ≤ λα , ∀α ∈ I} lồi.
Định nghĩa 1.25. Hàm f xác định trên E được gọi là hàm thuần nhất
dương, nếu ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞), f (λx) = λf (x).
Định lí 1.11. Hàm thuần nhất dương f : E → (−∞, +∞]. Ba phát biểu
sau đây là tương đương
a) f lồi
b) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ E)

c) epif là một nón lồi
Hệ quả 1.5. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương. Khi đó,
∀xi ∈ E, ∀λi > 0 (i = 1, ..., m),
f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm )
Hệ quả 1.6. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương.
Khi đó,
f (x) + f (−x) ≥ 0 (∀x ∈ E).
Định nghĩa 1.26. Hàm f được gọi là đóng, nếu epif đóng trong E × R
Định lí 1.12. Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập có dạng
{x : f (x) ≤ α} của f là đóng.

12

Footer Page 18 of 258.


Header Page 19 of 258.

1.3

Hàm lồi suy rộng

1.3.1

Hàm tựa lồi

Định nghĩa 1.27. Cho X ⊂ E là tập lồi. Hàm f : X → R gọi là hàm
tựa lồi nếu:
∀x, y ∈ X, f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)} , ∀λ ∈ [0, 1]
hay tương đương với

∀x, y ∈ X, f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y), ∀λ ∈ [0, 1] .
Nhận xét 1.1. Mọi hàm lồi f : X → R đều là hàm tựa lồi. Thật vậy,
giả sử f lồi. Khi đó
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)y
≤ max {f (x), f (y)} , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Ví dụ sau đây, chứng tỏ điều ngược lại trong nhận xét nêu không
đúng.
Ví dụ 1.3.1. Lấy X = (x, y) ∈ R2 |x, y ≥ 0 , f : X → R;
f (x, y) = −xy.
Định lí 1.13. Cho X ⊂ E là một tập lồi và f : X → R. Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương;
a) f là hàm tựa lồi trên X, nghĩa là
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)} , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] .
b)Với ∀x ∈ X và với mọi y ∈ E hàm số gx,y (t) = f (x + ty) là tựa
lồi trên đoạn Tx,y = {t ∈ R|x + ty ∈ X} }.
13

Footer Page 19 of 258.


Header Page 20 of 258.

c) Với ∀x, y ∈ X hàm hx,y (λ) = f (λx + (1 − λ)y) là tựa lồi [0, 1].
d) Với mọi α ∈ R tập mức dưới
L(f, α) = {x ∈ X|f (x) ≤ α}
là lồi (có thể rỗng).
e) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới chặt
SL(f, α) = {x ∈ X|f (x) < α}
là tập lồi.
Chứng minh. a) ⇒ b): Dễ dàng kiểm tra được rằng, Tx,y là tập lồi. Lấy

t1 , t2 ∈ Tx,y và λ ∈ [0, 1]. Ta có λt1 + (1 − λ)t2 ∈ Tx,y . Vì f tựa lồi trên
X, ta có
gx,y (λt1 + (1 − λ)t2 = f (x + λt1 + (1 − λ)t2 y)
= f (λ(x + t1 y + (1 − λ)(x + t2 y))
≤ max {f (x + t1 y), f (x + t2 y)}
= max {g(t1 ), g(t2 )} .
b) ⇒ c): Lấy x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1]. Ta có
hx,y = f (λx + (1 − λ)y)
= f (y + λ(x − y))
= gy,x−y (λ).
Vì gy,x−y (λ) lồi, ta có hx,y (λ) lồi.
c) ⇒ d): Lấy tùy ý x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1]. Từ tính chất tựa lồi của hx,y
ta có
hx,y (λ) ≤ max {hx,y (1), hx,y (0)}
nghĩa là
14

Footer Page 20 of 258.


Header Page 21 of 258.

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)} ≤ α
và do đó, λx + (1 − λ)y ∈ L(f, α), nghĩa là L(f, α) lồi.
d) ⇒ a): Lấy tùy ý x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] và đặt α = max {f (x), f (y)}.
Vì x, y ∈ L(f, α) và L(f, α) lồi, ta có λx + (1 − λ)y ∈ L(f, α), nghĩa là
f (λx + (1 − λ)y ≤ α và như vậy f tựa lồi trên X.
d) ⇒ e): Lấy tùy ý x, y ∈ SL(f, α), λ ∈ [0, 1] và đặt
α0 = max {f (x), f (y)} < α.
Khi đó, x, y ∈ L(f, α0 ) và λx + (1 − λ)y ∈ L(f, α0 ).

Do đó f (λx + (1 − λ)y ≤ α0 < α, nghĩa là λx + (1 − λ)y ∈ SL(f, α).
e) ⇒ d): Lấy tùy ý x, y ∈ L(f, α), λ ∈ [0, 1]. Khi đó,
x, y ∈ SL(f, α + ε) với mọi ε > 0
và λx+(1−λ)y ∈ SL(f, α+ε) với mọi ε > 0. Do đó f (λx+(1−λ)y < α+ε
với mọi ε > 0, nghĩa là f (λx + (1 − λ)y ≤ α.
Định lí 1.14. Cho X ⊂ E là một tập lồi mở, f : X → R là một hàm
khả vi trên X. Khi đó, f tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) ≤ f (y) ⇒ (x − y) , ∇f (y) ≤ 0.
Chứng minh. Giả sử f tựa lồi và f (x) ≤ f (y). Khi đó,
f (y + λ(x − y)) = f (λx + (1 − λ)y ≤ f (y) ∀λ ∈ [0, 1]
và như vậy,
lim
λ↓0

f (y + λ(x − y)) − f (y)
= (x − y) , ∇f (y) ≤ 0.
λ

Ngược lại, giả sử điều kiện nêu trong định lý thỏa mãn và f (x) ≤ f (y).
¯ ∈ (0, 1) và f (λx
¯ + (1 − λ)y)
¯
Ta giả sử phản chứng là λ
> f (y). Điều này
nghĩa là với hàm
hx,y = f (y + λ(x − y)).
15

Footer Page 21 of 258.

Header Page 22 of 258.

ta có
¯ > hx,y (0) ≥ hx,y (1).
hx,y (λ)
Khi đó, từ tính khả vi của h suy ra h liên tục và tập
¯ |h(λ) = h(0)
λ ∈ 0, λ
ˆ ∈ 0, λ
¯ sao cho
là đóng và có phần tử lớn nhất. Do đó, tồn tại λ
ˆ = h(0) và h(λ) > h(0) với mọi λ ∈ (λ,
ˆ λ].
¯ Theo định lý giá trị
h(λ)
trung bình ta có
¯ 0 ) > 0, λ
¯ 0 ∈ (λ,
ˆ λ).
¯
h x,y (λ
và
¯
hx,y (0) < hx,y (λ0 ) < hx,y (λ).
Điều đó có nghĩa là tồn tại điểm x0 = λx + (1 − λ)y nằm giữa x và y với
f(x0 ) = hx,y (λ0 ) > hx,y (1) = f (x).
Từ giả thiết của định lý và f (x) < f (y) suy ra
(x − y) , ∇f (x0 ) ≤ 0,
nghĩa là

(1 − λ0 ) (x − y) , ∇f (x0 ) ≤ 0,
hay h x,y (λ0 ) ≤ 0, mâu thuẫn với h x,y (λ0 ) > 0 ở trên.
Định lí 1.15. a) Cho f : X → R là một hàm liên tục trên tập lồi
X ⊂ E. Khi đó f tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) < f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y), ∀λ [0, 1] .
b) Cho f : X → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ E. Khi đó f
tựa lồi trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) < f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y) ≤ 0.
16

Footer Page 22 of 258.


Header Page 23 of 258.

Chứng minh. Dễ thấy a) và b) là những điều kiện cần cho tính tựa lồi,
hơn nữa, dưới điều kiện khả vi a) và b) là tương đương. Bây giờ ta chứng
minh a) là một điều kiện đủ cho tính tựa lồi của f , nghĩa là "sự kéo theo"
trong a) vẫn đúng cả trong trường hợp f (x) = f (y). Giả sử rằng tồn tại
¯ ∈ (0, 1) với (λx
¯ + (1 − λ)y)
¯
λ
> f (x) = f (y).
¯
¯
Do f liên tục, tồn tại z = λ0 x+(1−λ0 )y trong đoạn nối x và λx+(1−
λ)y,
¯ 1), sao cho
nghĩa là λ0 ∈ (λ,

¯ + (1 − λ)y)
¯
f (λx
> f (z) > f (x) > f (y),
¯ + (1 − λ)y
¯ ở giữa z
nhưng điều nay mâu thuẫn với a). Đúng ra là, vì λx
và y,

¯
¯
¯
λ
λ
λ
¯
¯
y,
∈ [0, 1]
λx + (1 − λ)y = z + 1 −
λ0
λ0
λ0
¯ + (1 − λ)y)
¯
và f (y) < f (z), ta phải có f (λx
≤ f (z).
Định lí 1.16. Cho f : X → R là một hàm hai lần khả vi liên tục trên
tập lồi mở X ⊂ E. Điều kiện cần để f tựa lồi trên X là:
y ∈ E, x ∈ X,

y, ∇f (x) = 0 ⇒ y, ∇2 f (x)y ≥ 0.

Chứng minh. Giả sử f tựa lồi và tồn tại x0 ∈ X, y0 ∈ E với ∇f (x0 ) = 0
và y0 , ∇2 f (x0 )y0 < 0. Không giảm tổng quát, ta có thể xem y = 1.
Do các thành phần của Hessian đều liên tục, tồn tại hình cầu mở B(x0 , δ)
sao cho y0 , ∇2 f (x0 )y0 < 0 với mọi x ∈ B(x0 , δ). Nói riêng ra,
y0 , ∇2 f (x0 ± λy0 )y0 < 0
với mọi λ ∈ [0, δ]. Sử dụng công thức khai triển Taylor, ta chọn được
f (x0 + δy0 ) − f (x0 ) =

1
y0 , ∇2 f (x0 + µδy0 )y0 < 0
2

f (x0 − δy0 ) − f (x0 ) =

1
y0 , ∇2 f (x0 − νδy0 )y0 < 0,
2

và

17

Footer Page 23 of 258.


Header Page 24 of 258.

trong đó µν ∈ (0, 1). Từ đó suy ra f (x0 ± δy0 ) < f (x0 ). Thế nhưng, vì
f tựa lồi, ta có
1
1
f (x0 ) = f ( (x0 − δy0 ) + (x0 + δy0 )
2
2
≤ max {f (x0 − δy0 ), f (x0 + δy0 )}
< f (x0 ),
vô lý.
Lưu ý rằng, các điều kiện nêu trong định lý trên không đủ để f
tựa lồi. Với hàm f : R → R; f (x) = x4 , các điều kiện nêu trong định lý
trên đều thỏa mãn, nhưng f không tựa lồi trên R.
Định nghĩa 1.28. Ta nói hàm f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi
X ⊂ E nếu f và −f đều là tựa lồi trên X, nghĩa là với bất kì
x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1) ta có
min {f (x), f (y)} ≤ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)}
Dễ dàng thấy rằng, f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi X ⊂ E
khi và chỉ khi các tập mức dưới L(f, α) và các tập mức trên
U (f, α) := {x ∈ X|f (x) ≥ α} lồi với mọi x ∈ R. Từ đây suy ra rằng, nếu
f tựa lồi trên X thì các tập mức
Y (f, α) = {x ∈ X|f (x) = α}
lồi với mọi α ∈ R. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng.
Xét f : [0, 3] → R;

f (x) =





 1, nếu 1 ≤ x ≤ 2

3, nếu 2 < x ≤ 3


 2, nếu 3 < x ≤ 4 .
18

Footer Page 24 of 258.


Header Page 25 of 258.

Ta có Y (f, α) = ∅ với α = 1, 2, 3 và Y (f, 1) = [1, 2] , Y (f, 2) = (3, 4],
Y (f, 3) = (2, 3]. Như vậy, Y (f, α) lồi với mọi α ∈ R, nhưng f không tựa
lồi và do đó f không tựa tuyến tính. Lưu ý rằng f không liên tục.
Định lí 1.17. Nếu các tập mức Y (f, α) = {x ∈ X|f (x) = α} lồi với mọi
α ∈ R và f liên tục trên tập lồi X ⊂ E thì f tựa tuyến tính trên X.
Chứng minh. Ta chỉ ra f tựa lồi. Cho f (x) ≤ f (y) và giả sử phản chứng
¯ ∈ (0, 1) sao cho
rằng tồn tại λ
¯ + (1 − λ)y)
¯
f (λ
> f (y).
Vì f liên tục nên ta có thể tìm được x0 = λ0 x + (1 − λ0 )y nằm giữa x
¯ + (1 − λ)y,
¯
¯ 1] sao cho
và λ

nghĩa là λ0 ∈ (λ,
¯ + (1 − λ)y).
¯
f (x0 ) = f (y) < f (λ
¯
¯
Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý. Thật thế, λ+(1−
λ)y
ở giữa x0 và y, theo
¯
¯
¯
λ
λ
λ
0
¯
¯
λx + (1 − λ)y = x + (1 − )y,
∈ [0, 1]
λ0
λ0
λ0
và f (x0 ) = f (y), lưu ý đến tính lồi của các tập mức của f , ta sẽ có
¯ + (1 − λ)y)
¯
f (λx
= f (x0 ) = f (y).
Như vậy f tựa lồi. Vì điều kiện của định lý cũng đúng cho −f , ta có −f
cũng tựa lồi. Vậy, f tựa tuyến tính.

Khi f khả vi, ta có
Định lí 1.18. Cho f khả vi trên tập lồi mở X ⊂ E. Khi đó, f tựa lồi
chặt trên X khi và chỉ khi
x, y ∈ X, f (x) = f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y) = 0.
19

Footer Page 25 of 258.