Phương pháp lượng giác và một số ứng dụng trong hình học 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐOÀN VĂN TOÀN

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Đoàn Văn Toàn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 2
6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN ........................................... 4
1.1. CÁC KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC ...... 4
1.1.1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông............................................ 4
1.1.2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt ....................... 5
1.1.3. Các công thức lượng giác ................................................................. 5
1.1.4. Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang trong tam giác ..................... 6
1.1.5. Các hệ thức lượng giác cơ bản ......................................................... 7
1.1.6. Một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác .................................... 9
1.1.7. Một số bất đẳng thức khác ............................................................. 10
1.2. CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN ............................................................................................................... 11
1.2.1. Phương trình dạng lượng giác của đường tròn .............................. 11
1.2.2. Phương trình dạng lượng giác của elíp .......................................... 11
1.2.3. Phương trình dạng lượng giác của hypebol ................................... 12
1.2.4. Một số định nghĩa, khái niệm trong hình học không gian ............. 12
1.2.5. Một số định lý, tính chất trong hình học không gian ..................... 13
1.2.6. Công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng ... 14
1.2.7. Công thức tính thể tích một số khối hình trong không gian .......... 14


1.2. . Hệ thức liên hệ về thể tích trong khối chóp tam giác .................... 15
1.2. . Công thức tính khoảng cách t một điểm t i đường thẳng ........... 15
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀO GI I
TOÁN H NH HỌC…… ............................................................................... 16

2.1. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT ..................... 16
2.1.1. Biểu thức lượng giác ...................................................................... 16
2.1.2. Giá trị l n nhất, nhỏ nhất liên quan đến diện tích tam giác ........... 26
2.1.3. Giá trị l n nhất và nhỏ nhất của thể tích ........................................ 31
2.2. BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC ................................................. 36
2.2.1. Nhận dạng tam giác cân ................................................................. 36
2.2.2. Nhận dạng tam giác đều ................................................................. 43
2.2.3. Nhận dạng tam giác vuông ............................................................. 49
2.3. BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM
GIÁC ............................................................................................................... 54
2.3.1. Độ dài đường trung tuyến .............................................................. 54
2.3.2. Độ dài đường phân giác trong ........................................................ 59
2.3.3. Độ dài đường cao ........................................................................... 63
2.4. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ................................................................ 67
2.4.1. Bài toán khoảng cách hình phẳng .................................................. 67
2.4.2. Bài toán khoảng cách trong hình học không gian .......................... 74
2.5. BÀI TOÁN VỀ GÓC PHẲNG VÀ GÓC NHỊ DIỆN ............................. 78
2.5.1. Góc trong tam giác và tứ giác ........................................................ 78
2.5.2. Góc nhị diện ................................................................................... 89
2.6. BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH ......................................... 93
2.6.1. Diện tích tam giác .......................................................................... 93
2.6.2. Diện tích thiết diện ......................................................................... 97
2.6.3. Thể tích ......................................................................................... 101


KẾT LUẬN………………………………………………………………..109
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KH O ................................................... 110
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao)

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
ABC

:

Tam giác ABC

A, B, C

:

Các đỉnh hay các góc tương ứng của tam giác

a, b, c

:

Độ dài các cạnh đối diện các góc A, B, C

ha , hb , hc

:

Độ dài các đường cao xuất phát t A, B, C

ma , mb , mc

:

Độ dài các đường trung tuyến xuất phát t A, B, C

la , lb , lc

:

Độ dài các đường phân giác trong xuất phát t các

R

:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

r

:

Bán kính đường tròn nội tiếp

p

:

Nửa chu vi tam giác

SABC

:

Diện tích tam giác ABC

VABCD

:

Thể tích hình chóp ABCD

d Max

:

Khoảng cách l n nhất

d Min

:

Khoảng cách nhỏ nhất

(C ),( E ),( H )

:

Đường tròn, elíp, hypebol

đỉnh A, B, C


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Qua thực tế giảng dạy Toán cho học sinh phổ thông trung học, tôi nhận
thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm, ứng dụng
phương pháp lượng giác vào giải các chủ đề liên quan trong đại số, giải tích
và hình học. Cùng v i sự định hư ng của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã
chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG H NH HỌC” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
Trong luận văn này, trư c hết tôi gi i thiệu về các hệ thức lượng giác
và các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thể hiện trong chương trình Toán
bậc phổ thông trung học. Tiếp đó, ứng dụng các hệ thức lượng giác, đẳng
thức, bất đẳng thức lượng giác để giải một số dạng toán cơ bản trong hình
học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác công cụ phương pháp
lượng giác để khảo sát một số chủ đề trong hình học thể hiện qua các dạng bài
toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài
toán xác định khoảng cách,...nhằm góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng
dạy học bộ môn Toán trong chương trình phổ thông trung học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Chương trình Toán bậc trung học, đặc biệt là chuyên đề hình học
lượng giác.
- Các ứng dụng của lượng giác vào giải các bài tập hình học trong
chương trình Toán bậc trung học.


2

4. Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu về chuyên đề lượng giác, chuyên đề hình học

phẳng và hình học không gian.
- Phân tích, tổng hợp, hệ thống các bài toán hình học giải bằng phương
pháp lượng giác trong chương trình bậc trung học.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hư ng dẫn, đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học
thuộc chương trình Toán phổ thông trung học.
- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức liên quan
Trong chương 1, luận văn trình bày:
- Các kiến thức lượng giác cơ bản: tính chất, các công thức lượng, các
hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và một số bất đẳng
thức đại số để làm cơ sở cho chương sau.
- Các kiến thức về hình học phẳng và không gian như: dạng lượng giác
của đường tròn, elíp, hypebol, công thức tính góc, khoảng cách, hình chiếu,
các công thức tính thể tích hình không gian…
Chương 2. Ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải toán hình học
Trong chương 2, luận văn trình bày:
Một số ứng dụng của lượng giác vào giải các bài toán hình học trong
chương trình Toán bậc trung học phổ thông. Cụ thể là bài toán tìm giá trị nhỏ


3

nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán về độ dài đường
đặc biệt trong tam giác, bài toán khoảng cách, bài toán về góc phẳng và góc
nhị diện, bài toán về diện tích và thể tích.

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản của lượng giác liên quan
đến hình học, một số bất đẳng thức đại số, các kiến thức liên quan đến hình
học phẳng, hình học không gian trong chương trình Toán trung học phổ
thông để làm cơ sở cho chương sau. Các chứng minh chi tiết có thể xem trong
[6], [9], [10].
1.1. CÁC KIẾN THỨC LƯ NG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN H NH HỌC
1.1.1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, khi đó tỉ số lượng giác của các góc
được định nghĩa qua các cạnh như sau:
- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh huyền được gọi là sin của góc
B, kí hiệu là sinB.
- Tỉ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh huyền được gọi là côsin của góc
B, kí hiệu là cosB.
- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh kề được gọi là tan của góc B, kí
hiệu là tanB.
- Tỉ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh đối được gọi là cotan của góc B,
kí hiệu là cotB.
Chú ý:
Trong tam giác vuông ABC tính chất hàm sin, hàm tan của góc nhọn
này bằng hàm cos, hàm cot của góc nhọn kia và ngược lại.
AC
 cos C
BC

AC
tan B 
 cot C
AB

sin B 

;
;

AB
 sin C.
BC
AB
cot B 
 tan C.
AC

cos B 


5

1.1.2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Trong lượng giác ta thường hay gặp một số trường hợp góc có liên
quan như sau:
a. Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau có cos bằng nhau; sin, tan, cot
đối nhau.
sin(- )  -sin 
tan(- )  - tan 

cos(- )  cos  .
cot(- )  -cot  .

;
;

b. Hai góc hơn kém nhau π : Hai góc hơn kém nhau  có sin, cos đối
nhau; tan và cot bằng nhau.
sin(   )  -sin  ;
tan(   )  tan  ;

cos(   )  -cos  .
cot(   )  cot α.

c. Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; cos, tan và cot
đối nhau.
sin( -  )  sin 
tan( -  )  - tan 

cos( -  )  -cos  .
cot( -  )  -cot  .

;
;

d. Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc
kia; tan góc này bằng cot góc kia.



sin( -  )  cos 
2



tan( -  )  cot 
2



;

cos( -  )  sin  .
2

;

cot( -  )  tan .
2



1.1.3. Các công thức lượng giác
a. Công thức cộng đối với sin và côsin
V i mọi góc lượng giác α, β, ta có:
cos( -  )  cos  cos   sin  sin  ; cos(   )  cos  cos  - sin  sin  .
sin( -  )  sin  cos  - cos  sin  ; sin(   )  sin  cos   cos  sin  .

6

b. Công thức cộng đối với tan

tan( -  ) 

tan   tan 
1  tan  tan 

tan(   ) 

;

tan   tan 
.
1- tan  tan 

c. Công thức nhân đôi
cos 2  cos2  - sin 2 
tan 2 

2 tan 
1- tan 2 

( 

sin 2  2sin  cos  .

;


2

 k , k  ).

d. Công thức hạ bậc

sin 2  

1 - cos2
;
2

cos2  

1  cos2
.
2

e. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos(   )  cos( -  ) .
2
1
sin  sin   - cos(   ) - cos( -  ) .
2
1
sin  cos   sin(   )  sin( -  ) .
2
cos  cos  

g. Công thức biến đổi tổng thành tích
x y
x- y
cos
.
2
2
x y
x- y
cos x - cos y  -2sin
sin
.
2
2
x y
x- y
sin x  sin y  2sin
cos
.
2
2
cos x  cos y  2 cos

sin x - sin y  2cos

x y
x- y
sin
.

2
2

1.1.4. Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang trong tam giác
a. Định lý hàm sin trong tam giác
Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:


7

a
b
c


 2R ,
sin A sin B sin C
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
b. Định lý hàm côsin trong tam giác
Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a 2  b2  c 2 - 2bc.cos A;
b2  a 2  c 2 - 2ac.cos B;
c 2  a 2  b2 - 2ab.cos C.
T định lý trên suy ra được:
a 2  b2  c 2  A 
a 2  b2  c 2  A 
a 2  b2  c 2  A 



2



2



2

;
;
.

Tương tự, ta cũng suy ra được:

b2  c 2 - a 2
a 2  c 2 - b2
a 2  b2 - c 2
cos A 
; cos B 
; cos C 
.
2bc
2ac
2ab
c. Định lý hàm tang trong tam giác
Trong tam giác ABC ta luôn có:
A- B
B -C

C-A
tan
tan
a -b
2 ; b-c 
2 ; c-a 
2

A

B
B

C
C

A
a  b tan
b  c tan
c  a tan
2
2
2
tan

Nhận xét: Định lý hàm tang là hệ quả của định lý hàm sin. Định lý hàm tang
có thể áp dụng để giải tam giác trong trường hợp biết được 2 góc và một cạnh.
1.1.5. Các hệ thức lượng giác cơ bản
a. Công thức tính diện tích tam giác
Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

8

SABC 

1
1
1
ab sin C  bc sin A  ac sin B.
2
2
2

SABC  r. p  2R2 sin Asin B sin C.
b. Công thức tính độ dài đường phân giác trong của tam giác
Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

la 

2bc
A
2ac
B
2ab
C
.cos
; lb 
.cos
; lc 

.cos .
b  c
2
a  c
2
a  b
2

c. Công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác
Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

b 2  c 2 a2
a2  c 2 b 2
2
m a
- ; mb
- ;
2
4
2
4
2

a2  b 2 c 2
mc
- .
2
4
2

a2
b  c  2ma  .
2
2

2

2

3
ma2  mb2  mc2  (a 2  b2  c 2 ).
4
d. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Trong tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

r  ( p  a ). tan

A
B
C
 ( p  b). tan  ( p  c). tan .
2
2
2

A
B
C
r  4 R.sin .sin .sin .
2

2
2
e. Một số đẳng thẳng thức cơ bản trong tam giác

A
B
C
sin A  sin B  sin C  4cos cos cos .
2
2
2
sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  4sin Asin B sin C.

sin2 A  sin2 B  sin2 C  2(1  cos Acos B cos C).
cos A  cos B  cos C  1  4sin

A B
C
sin sin .
2
2
2


9

tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C.

cot

A
B
C
A
B
C
 cot  cot  cot cot cot .
2
2
2
2
2
2

tan

A
B
B
C
C
A
tan  tan tan  tan tan  1.
2
2
2
2
2
2

cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1.

….
1.1.6. Một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

3
cos A  cos B  cos C  .
2

9
sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  .
4

3
cos2 A  cos2 B  cos2 C  .
4
sin

A
B
C 1
sin sin  .
2
2
2 8

1
cos A cos B cos C  .
8

sin A  sin B  sin C 

3 3
.
2

cos

A
B
C 3
 cos  cos  .
2
2
2 2

sin

A
B
C 3
 sin  sin  .
2
2
2 2

tan

A
B

C
 tan  tan  3.
2
2
2

cot A  cot B  cot C  3.
….


10

Các bất đẳng thức trên xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi tam giác ABC là
tam giác đều.

1.1.7. Một số bất đẳng thức khác
a. Bất đẳng thức Côsi
Cho a1 , a2 ,..., an là các số không âm. Khi đó ta có:

a1  a2  ....  a2 n
 a1a2 ...an .
n

(1.1)

Dấu bằng xảy ra trong (1.1) khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
b. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Cho hai dãy số a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Khi đó ta có:

(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )  (a1b1  a2b2  ...  anbn )2.

(1.2)

Dấu bằng xảy ra trong (1.2) khi và chỉ khi
a 1 a2
a
  ...  n .
b1 b2
bn

c. Bất đẳng thức Trêbưsep
Cho hai dãy số a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn thỏa mãn điều kiện

a1  a2  ...  an và b1  b2  ...  bn . Khi đó ta có:
(a1  a2  ...  an )(b1  b2  ...  bn )  n(a1b1  a2b2  ...  anbn ).

(1.3)

Dấu bằng trong (1.3) xảy ra khi và chỉ khi

a1  a2  ...  an hoặc b1  b2  ...  bn .
d. Bất đẳng thức S-vac-xơ
Cho hai dãy số a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn trong đó bi  0 v i mọi

i  1,2,..., n . Khi đó ta có:


11

a12 a22

an2 (a1  a2  ...  an ) 2
  ...  
.
b1 b2
bn
b1  b2  ...  bn

(1.4)

Dấu bằng trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi
a 1 a2
a
  ...  n .
b1 b2
bn

1.2. CÁC KIẾN THỨC VỀ H NH HỌC PHẲNG VÀ H NH HỌC
KHÔNG GIAN
1.2.1. Phương trình dạng lượng giác của đường tròn
Cho đường tròn (C) có phương trình chính tắc dạng:
(C): ( x  a)2  ( y  b)2  R2 .
Ta viết lại phương trình (C) dư i dạng:
2

2

 x a  y b

 
 1.

 R   R 

Khi đó tồn tại một góc t [0, 2 ) thỏa mãn:
xa
 R  sin t
 x  R sin t  a


 y  R cos t  b
 y  b  cos t
 R

,

t  [0,2 ).

(1.5)

Phương trình (1.5) là phương trình dạng lượng giác của đường tròn.
1.2.2. Phương trình dạng lượng giác của elíp
Cho đường elíp (E) có phương trình chính tắc dạng:

x2 y2
(E): 2  2  1.
a
b
Ta viết lại phương trình (E) dư i dạng:
2

2

 x  y
      1.
a b

Khi đó tồn tại một góc t [0, 2 ) thỏa mãn:


12

x
 a  sin t
 x  a sin t


 y  b cos t
 y  cos t
 b

,

t  [0,2 ).

(1.6)

Phương trình (1.6) là phương trình dạng lượng giác của đường elíp.
1.2.3. Phương trình dạng lượng giác của hypebol
Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc dạng:

x2 y2


 1.
a 2 b2

(H):

Ta viết lại phương trình (H) dư i dạng:
2

2

 x
 y
  1   .
a
b
  3 
Khi đó tồn tại một góc t  [0,2 ) \  ,  thỏa mãn:
2 2 
1
x
a

 a  cos t
x 

cos t

y
  tan t

 y  b tan t
 b

,

  3 
t  [0,2 ) \  ,  .
2 2 

(1.7)

Phương trình (1.7) là phương trình dạng lượng giác của đường hypebol.
1.2.4. Một số định nghĩa, khái niệm trong hình học không gian
a. Định nghĩa hình chóp
Cho đa giác A1 A2 ... An và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó,
Nối S v i các đỉnh A1 , A2 , ..., An để được n tam giác: SA1 A2 , SA2 A3 ,...SAn A1.
Khi đó hình chóp được định nghĩa:
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1 A2 ... An gọi là hình chóp và được
kí hiệu là S. A1 A2 ... An .


13

Chú ý: Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác …thì
hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp
ngũ giác, …
b. Định nghĩa về thiết diện
Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi một mặt phẳng (P) là
phần chung của mặt phẳng (P) và hình H.
c. Khái niệm hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, B không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác
ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và
được kí hiệu là ABCD.
Chú ý: Ta thường gọi là tứ diện vuông đối v i các hình tứ diện có một
đỉnh sao cho ở đó các cạnh đôi một vuông góc v i nhau.
d. Định nghĩa về mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định cho trư c một
khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O bán kính bằng R.
e. Định nghĩa về mặt nón
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh một đường thẳng
 cố định được gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).

Chú ý: Hình nón là phần gi i hạn của mặt nón có 1 đỉnh và đáy là một
hình tròn.
g. Khái niệm về góc nhị diện
Góc nhị diện là góc tạo bởi hai mặt phẳng cắt nhau.
1.2.5. Một số định lý, tính chất trong hình học không gian
a. Định lý 3 đường vuông góc
Cho đường thẳng a có hình chiếu a’ trên mặt phẳng (P). Khi đó đường
thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc v i a khi và chỉ khi b vuông góc
v i a’.


14

b. Các định nghĩa về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu đường thẳng a vuông góc v i mặt phẳng (P) ta nói góc giữa a và
(P) bằng 900 .
- Nếu đường thẳng a không vuông góc v i mặt phẳng (P) ta gọi góc
giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P) là góc giữa a và (P).

c. Các định nghĩa về khoảng cách
- Khoảng cách t một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đường thẳng)
là khoảng cách t điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng (hoặc trên
đường thẳng).
- Khoảng cách t đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song v i a là
khoảng cách t một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách t một
điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường
thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc v i hai đường thẳng đó.
1.2.6. Công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác trên mặt
phẳng
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S ' là diện tích
hình chiếu H ' của H trên mặt phẳng ( P ' ). Khi đó ta có:
S ' = S.cos  ,

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và ( P ' ).
1.2.7. Công thức tính thể tích một số khối hình trong không gian
Hình hộp chữ nhật:

V  abc.

Khối chóp, tứ diện:

1
V  Sd .h.
3


15

a

3

3

Khối nón:

V

Khối hình trụ:

V  Sd .h.

Khối cầu:

4
V   R3.
3

3

.

1.2.8. Hệ thức liên hệ về thể tích trong khối chóp tam giác
Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên SA, SB, SC lấy lần lượt các điểm

A, B, C . Khi đó:
VS . ABC

SA SB SC

.
.
.
VS . ABC  SA SB SC 

1.2.9. Công thức tính khoảng cách t một điểm t i đường thẳng
Trong mặt phẳng cho đường thẳng  : ax  by  c  0 và một điểm

M ( xM , yM ) . Khi đó ta có công thức tính khoảng cách t M đến ∆ như sau:
d ( M ; ) 

axM  byM  c
a 2  b2

.


16

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀO GI I
TOÁN H NH HỌC
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của lượng giác
vào giải các bài toán hình học trong chương trình Toán bậc trung học phổ
thông. Cụ thể là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất, bài toán
nhận dạng tam giác, bài toán về độ dài các đường đặc biệt trong tam giác,
bài toán khoảng cách, bài toán về góc phẳng và góc nhị diện, bài toán về

diện tích và thể tích.
2.1. BÀI TOÁN T M GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số dạng bài toán về giá trị l n
nhất, nhỏ nhất trong hình học phẳng và trong hình học không gian.
2.1.1. Biểu thức lượng giác
Phương pháp giải: Đối v i bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và l n nhất
của các biểu thức lượng giác, trư c tiên chúng ta phân tích các biểu thức của
bài toán, tìm mối liên hệ giữa các cạnh và góc để đưa biểu thức về dạng đẳng
thức và bất đẳng thức lượng giác đơn giản. T đó, tìm được giá trị của biểu
thức.
Dư i đây là một số bài toán minh họa:
Bài toán 2.1. V i A, B, C là ba góc của tam giác. Tìm giá trị l n nhất của
biểu thức sau:
cos A cos B  cos B cos C  cos C cos A.

Giải:
Phân tích biểu thức (2.1) ta được:

(2.1)


17

cos A cos B  cos B cos C  cos C cos A 
1
 (cos A  cos B  cos C )2  (cos2 A  cos2 B  cos2 C )  .
2

(2.2)

Sử dụng hai bất đẳng thức lượng giác sau:

cos2 A  cos2 B  cos2 C 
cos A  cos B  cos C 

3
;
4

(2.3)

3
.
2

(2.4)

Hai bất đẳng thức (2.3) và (2.4) đồng thời xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi

A B C 


3

.

.

T (2.4) ta được:

9
(cos A  cos B  cos C ) 2  .
4

(2.5)

Kết hợp (2.3) và (2.5) suy ra:
1
19 3
(cos A  cos B  cos C ) 2  (cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C )     
2
24 4

3
4

 A cos B  cos B cos C  cos C cos A  .

T (2.6) suy ra biểu thức (2.1) đạt giá trị l n nhất bằng

A B C 


3

(2.6)

3
khi và chỉ khi
4

.

Nhận xét: Bài toán 2.1 giải được dựa trên việc phân tích biểu thức đã cho và
sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản.
Bài toán 2.2. Cho tam giác ABC có a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Tìm giá trị
l n nhất của biểu thức:

a cos A  b cos B  c cos C
.
abc

(2.7)


18

Giải:
Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên ta có thể giả thiết 0  a  b  c .
Suy ra 2 R sin A  2 R sin B  2 R sin C.

(2.8)

(2.8)  sin A  sin B  sin C .

Suy ra A  B  C .
Do A  B  C nên cos A  cos B  cos C .
a  b  c
Áp dụng bất đẳng thức (1.3) cho hai dãy số 
ta được:

cos A  cos B  cos C

a  b  c cos A  cos B  cos C a cos A  b cos B  c cos C
.

3
3
3



a cos A  b cos B  c cos C cos A  cos B  cos C

.
abc
3

Áp dụng bất đẳng thức lượng giác: cos A  cos B  cos C 

(2.9)

3
cho (2. ) ta được:
2

a cos A  b cos B  c cos C cos A  cos B  cos C 1

 .
abc
3

2
Suy ra

a cos A  b cos B  c cos C 1
 .
abc
2

(2.10)

3
Bất đẳng thức (2.10) xảy ra dấu “=” khi cos A  cos B  cos C  .
2
Theo bài toán 2.1 cos A  cos B  cos C 

3

khi A  B  C  .
2
3

Vậy biểu thức (2.7) đạt giá trị l n nhất bằng

1

khi A  B  C  .
3
2

Nhận xét: Biểu thức của Bài toán 2.2 được biến đổi bởi quan hệ giữa cạnh,

góc trong tam giác và kết hợp sử dụng bất đẳng thức (1.3). T đó đưa bài toán
về dạng bất đẳng thức lượng giác cơ bản.


19

Bài toán 2.3. Trong tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1 
1 
1 

1 
 1 
 1 
.
 sin A   sin B   sin C 

(2.11)

Giải:
Trư c hết áp dụng bất đẳng Côsi cho 3 số không âm, ta có bất đẳng thức sau:
(1  x )(1  y )(1  z )  (1  3 xyz )3 , x, y, z  0.

(2.12)

Thật vậy,
(1  x )(1  y )(1  z )  1  xy  yz  zx  x  y  z  xyz
 1+3 3 x 2 y 2 z 2  3 3 xyz  xyz  (1  3 xyz ) 3.

Bất đẳng thức (2.12) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi x  y  z.

1

x


sin A

1

Áp dụng bất đẳng thức (2.12) cho bài toán v i  y 
ta được:
sin
B

1

z


sin C
3

1 
1 
1  
1


1 

 1 
 1 
  1  3
 .
sin A sin B sin C 
 sin A  sin B  sin C  

(2.13)

Bất đẳng thức (2.13) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi:

sin A  sin B  sin C
 A B C 


3

.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho sin A,sin B,sin C ta được:

sin A  sin B  sin C 3
 sin A.sin B.sin C .
3
Bất đẳng thức (2.14) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi:

sin A  sin B  sin C
 A B C 



3

.

(2.14)