Luận văn Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ NGỌC TOÀN

CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Ngọc Toàn


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
1. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu đề tài ......................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 3
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 3
5. Đóng góp của đề tài........................................................................................ 3
6. Cấu trúc của luận văn ..................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG
BÌNH LAGRANGE ......................................................................................... 4
1.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƢƠNG
TRÌNH HÀM LIÊN QUAN............................................................................... 4
1.2. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN ......................... 23
1.3. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH
HÀM LIÊN QUAN .......................................................................................... 29
1.4. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH
HÀM LIÊN QUAN .......................................................................................... 33
CHƢƠNG 2. CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH .... 40
2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM THỰC ................. 40
2.2. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ THỰC
TRÊN MẶT PHẲNG ....................................................................................... 46
2.3. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ VECTƠ
TRÊN ĐƢỜNG THẲNG THỰC .................................................................. 49
2.4. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ VECTƠ
TRÊN MẶT PHẲNG ....................................................................................... 51


2.5. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI HÀM TRÊN MẶT PHẲNG
PHỨC ............................................................................................................... 55
2.6. MỘT DỰ ĐOÁN CỦA FURI VÀ MARTELLI ............................................... 64
CHƢƠNG 3. CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ

ĐẠO HÀM SUY RỘNG ................................................................................ 66
3.1. VI PHÂN ĐỐI XỨNG CỦA HÀM THỰC ...................................................... 66
3.2. MỘT ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TỰA – TRUNG BÌNH ........................................... 70
3.3. MỘT ỨNG DỤNG............................................................................................ 73
3.4. CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ......................... 74
3.5. ĐẠO HÀM DINI CỦA HÀM THỰC .............................................................. 76
3.6. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM KHÔNG KHẢ VI80
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 87
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong
giải tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, đƣợc chứng minh bởi nhà toán
học ngƣời Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691.
Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Methode pour resoudre les
égalitez không có chứng minh và không có nhấn mạnh đặc biệt nào. Định lý
Rolle đƣợc sự công nhận khi Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý
giá trị trung bình trong cuốn sách của mình Theorie des functions analytiques
vào năm 1797. Nó nhận thêm đƣợc sự công nhận khi Augustin Louis Cauchy
(1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình trong cuốn sách
Equationnes differentielles ordinaires. Gần đây, nhiều phƣơng trình hàm
đƣợc nghiên cứu xuất phát từ các định lý giá trị trung bình và các suy rộng
của chúng.
Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các suy rộng
của nó và nhu cầu muốn tìm hiểu về các suy rộng của định lý giá trị trung

bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong phƣơng trình hàm, hai vấn
đề quan trọng trong chƣơng trình THPT, đặc biệt là dành cho khối chuyên
toán, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Các suy rộng của định lý
giá trị trung bình Lagrange để tiến hành nghiên cứu. Vấn đề này luôn mang
tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo đƣợc một tài liệu tham khảo
tốt cho những ngƣời bắt đầu tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và một số
suy rộng của nó với các ứng dụng trong phương trình hàm và giới thiệu một
số ví dụ minh hoạ hay nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong
lĩnh vực này.


2

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình
Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và các
phƣơng trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý
giá trị trung bình, nhƣng ở đây nội dung của đề tài đƣợc tập trung nghiên cứu
các vấn đề trong ba chƣơng sau:
-- Trong Chƣơng 1, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình Lagrange và
hai mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị
trung bình Pompeiu cùng với nhiều ví dụ minh họa.
-- Trong Chƣơng 2, chúng tôi sẽ khảo sát nhiều suy rộng của định lý giá trị
trung bình Lagrange. Đầu tiên, chúng tôi trình bày tất cả các suy rộng của
định lý giá trị trung bình đối với các hàm từ R vào R. Chúng tôi xét đến các
suy rộng của Flett, Trahan và nhiều nhà toán học khác. Tiếp đến là định lý giá
trị trung bình đối với các hàm giá trị thực trên mặt phẳng đƣợc đề cập và trình
bày một số kết quả của Clarke và Ledyaev. Định lý giá trị trung bình đối với
các hàm giá trị vectơ sẽ đƣợc bàn đến trong chƣơng này bao gồm các kết quả
của McLeod và Sanderson. Một kết quả gần đây của Furi và Martelli sẽ đƣợc

đề cập ở đây và chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình đối với các hàm
giá trị phức trên mặt phẳng phức.
-- Chƣơng 3 bàn về định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó đối với
hàm có đạo hàm đối xứng và đạo hàm Dini. Ở đây, chúng tôi sẽ giới thiệu
khái niệm vi phân đối xứng và sau đó là định lý giá trị trung bình đối với các
hàm khả vi đối xứng. Khái niệm đạo hàm Dini đƣợc giới thiệu với một số ví
dụ đặc sắc. Cuối cùng, chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình đối với
các hàm không khả vi.


3

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là định lý giá trị trung bình Lagrange
và các suy rộng của nó. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị
trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung
bình và các phƣơng trình hàm liên quan đến chúng.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên
quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình và các ứng dụng của chúng.
- Tham gia các buổi seminar của thầy hƣớng dẫn để trao đổi các kết quả
đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các
định lý giá trị trung bình và các ứng dụng của chúng.

5. Đóng góp của đề tài
- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến
Định lý giá trị trung bình Lagrange và các suy rộng của nó cùng với các
phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho
những ai muốn nghiên cứu về định lý giá trị trung bình và phương trình hàm.

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng nhƣ đƣa ra một
số ví dụ minh hoạ hay và hợp lý nhằm làm cho ngƣời đọc dễ dàng tiếp cận
vấn đề đƣợc đề cập.

6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong luận văn gồm có
3 chƣơng nhƣ sau :
- Chƣơng 1: Các mở rộng cổ điển của định lý giá trị trung bình
Lagrange.
- Chƣơng 2: Các suy rộng của định lý giá trị trung bình.
- Chƣơng 3:Các định lý giá trị trung bình đối với một số đạo hàm suy
rộng.


4

CHƢƠNG 1

CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG
BÌNH LAGRANGE
Chƣơng này sẽ trình bày định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân
và một số ứng dụng của nó. Hơn nữa sẽ bàn đến nhiều phƣơng trình hàm
đƣợc phát triển bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình. Tất cả các
phƣơng trình hàm đề cập trong chƣơng này đƣợc sử dụng theo đa thức đặc
trƣng. Chƣơng này cũng khảo sát định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân
và đƣa ra một số ứng dụng trong việc xác định trung bình hàm. Cuối cùng sẽ
chứng minh định lý giá trị trung bình của Cauchy và chứng minh định lý giá
trị trung bình của Pomeiu và chỉ ra các phƣơng trình hàm khác nhau có thể là
động lực sử dụng các định lý này nói chung.
1.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC

PHƢƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN
Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân là định
lý giá trị trung bình Lagrange. Định lý này đƣợc phát hiện lần đầu tiên bởi
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhƣng ý tƣởng của việc áp dụng định lý
Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp đƣợc đƣa ra bởi Bonnet Ossian (18191892). Tuy nhiên, công bố đầu tiên của định lý này xuất hiện trong một bài
báo của nhà vật lý nổi tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836). Nhiều kết
quả của giải tích thực cổ điển là hệ quả của định lý giá trị trung bình. Chứng
minh định lý Rolle đƣợc dựa trên hai kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.1. Nếu một hàm khả vi f : 

 đạt

cực trị tại một điểm c trong

khoảng mở (a,b) thì f’(c) = 0.
Mệnh đề 1.1.2. Một hàm liên tục f: 
và bị chặn bất kỳ [a,b].

 đạt

cực trị trên một khoảng đóng


5

Chúng ta bắt đầu với định lý Rolle nhƣ sau:
Định lý 1.1.1. Nếu f liên tục trên [x1,x2] và khả vi trên (x1,x2)với f(x1)=f(x2) thì
tồn tại một điểm

(x1,x2) sao cho f’( )=0.

Chứng minh: Vì f liên tục và [x1,x2] là một khoảng đóng bị chặn nên theo
Mệnh đề 1.1.2, f đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên khoảng này. Nếu cả hai
xảy ra ở hai đầu mút x1, x2 thì giá trị cực đại và cực tiểu là bằng nhau và hàm
này là hàm hằng, do đó f’( )=0 với mọi
cực trị xảy ra ở điểm

(x1,x2). Ngƣợc lại, một trong các

(x1,x2) và theo Mệnh đề 1.1.1 ta có f’( )=0.

Nhƣ vậy định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học nhƣ sau nếu có
một cát tuyến nằm ngang của đồ thị f thì có một tiếp tuyến nằm ngang của đồ
thị sao cho tiếp điểm nằm giữa hai giao điểm của cát tuyến với đồ thị.
Một giải thích khác của định lý Rolle là giữa hai nghiệm thực của một
hàm thực khả vi f có ít nhất một điểm tới hạn của f (nghiệm của đạo hàm cấp
một f’).
Định lý Rolle đƣợc tổng quát hóa bằng cách quay đồ thị của hàm f để
có định lý giá trị trung bình Lagrange.
Định lý 1.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và với mọi
cặp x1 x2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc vào x1 và x2 sao cho

f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x2

(1.1)

f '( ( x1 , x2 )).

Chứng minh: Xét hàm

h( x)

f ( x2 ) f ( x1 )
( x x1 )
x2 x1

f ( x1 ) .

Đây là phƣơng trình của đƣờng thẳng cắt đồ thị f tại (x 1,f(x1)) và (x2,f(x2)).
Nếu ta đặt
g(x) = f(x) – h(x),


6

do f và h liên tục trên [x1,x2] và khả vi trên (x1,x2), nên g cũng thế và ta có
g(x1) = g(x2) = 0, do đó g thỏa mãn giả thiết định lý Rolle. Khi đó tồn tại
(x1,x2) sao cho

0

g '( )

f '( )

f ( x2 ) f ( x1 )
x2 x1

f ( x2 ) f ( x1 )

x2 x1

f '( )

Chú ý 1.1.1. Mục này khép lại với một chứng minh khác của định lý
Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.2. Chứng minh
này của Tucker (1997) và Velleman(1998).
Bắt đầu với một khoảng khác rỗng [x1,x2] với f khả vi và xác định

m

x2

f ( x2 ) f ( x1 )
và y
x2 x1

x1
2

Khi đó y chia khoảng [x1,x2] thành hai khoảng con có độ dài h=

x2

x1
2

.

Nhận thấy rằng min{m1,m2} m max{m1,m2}, trong đó

m1

f ( y)

f ( x1 )
h

Theo định lý giá trị trung gian, hàm g ( x)
đó trên [a1,b1] sao cho

f (b1 ) f (a1 )
b1 a1

f ( x2 )

và m2

f ( y)
h

f ( x h)
h

f ( x)

.
nhận giá trị m nào

m.

Lặp lại thủ tục này, ta xây dựng một chuỗi các khoảng lồng nhau
[x1,x2]

[a1,b1]

[a2,b2]

…

[an,bn]

…

sao cho

f (bn ) f (an )
bn an
bn an ) 0 . Gọi
với mọi n = 1,2,… và lim(
n

các khoảng này. Nếu

= aN với N nào đó thì

m
là điểm duy nhất trong giao của
= an với mọi n > N, nên

7

f (bn )
bn

m

Tƣơng tự, có m = f '( ) nếu

f( )

f '( ) .

= bN với N bất kỳ. Nếu an <

< bn với mọi n

thì

f( )

m

n

với mọi n, trong đó 0

n

bn

f (an )
an
an
an

Nếu cả hai thƣơng số trong vòng
vậy, nghĩa là m ở trong vòng

(1

n

)

f (bn )
bn

f( )

1.
của f '( ) thì tổ hợp lồi của chúng cũng

của f '( ) với bất kỳ

> 0. Ngoài ra ta có x1 <

< x2 .
Bây giờ sẽ minh họa một phƣơng trình hàm phát sinh từ định lý giá trị
trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phƣơng trình hàm.

Định nghĩa 1.1.1. Với các số thực phân biệt x1, x2, … , xn, tỷ sai phân của
hàm f: 



được định nghĩa là
f[x1] = f(x1)

và

f [ x1 , x2 ,..., xn ]

f [ x1 , x2 ,..., xn 1 ] f [ x2 , x3 ,..., xn ]
, với mọi n 2.
x1 xn

Dễ dàng thấy rằng

f [ x1 , x2 ]
f ( x1 , x2 , x3 )

( x3

f ( x1 ) f ( x2 )
,
x1 x2

x2 ) f ( x1 ) ( x1 x3 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) f ( x3 )
( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )

Theo định nghĩa của tỉ sai phân, phƣơng trình (1.1) trong định lý giá trị trung
bình trở thành
(1.2)

f[x1,x2] = f’( (x1,x2)).


8

Rõ ràng
giá trị trung bình

phụ thuộc vào x1 và x2 và có thể yêu cầu f nhƣ thế nào khi
phụ thuộc vào x1 và x2 theo một cách nào đó. Từ quan

điểm này, phƣơng trình (1.2) xuất hiện nhƣ một phƣơng trình hàm với ẩn f và
đƣợc cho.
Định lý sau đây đƣợc thiết lập bởi Aczél (1963) và cũng độc lập bởi
Haruki (1979). Định lý sau đƣợc chứng minh dựa vào công trình của Aczel
(1985). Định lý này liên quan đến phƣơng trình hàm (1.2).
Định lý 1.1.3. Các hàm f, h: 
(1.3)

 thỏa

mãn phương trình hàm

f[x,y] = h(x + y), x y,

khi và chỉ khi

f(x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b
trong đó a, b, c là hằng số thực tùy ý.
Chứng minh: phƣơng trình (1.3) bằng cách sử dụng định nghĩa tỷ sai phân sẽ
đƣợc viết lại là
(1.4)

f(x) – f(y) = (x - y)h(x + y) với x y

cũng đúng với x = y. Nếu f thỏa mãn phƣơng trình (1.4) thì f + b với b là một
hằng số tùy ý, cũng thế. Vì vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(0)
= 0. Đặt y = 0 trong phƣơng trình (1.4), ta thấy rằng
(1.5)

f(x) = xh(x)

Do vậy, theo phƣơng trình (1.5), phƣơng trình (1.4) sẽ chuyển thành
xh(x) – yh(y) = (x – y)h(x + y)

(1.6)

Một lần nữa, nếu h thỏa mãn phƣơng trình (1.6) thì h + c cũng vậy, với
c là một hằng số tùy ý. Vì vậy ta có thể giả sử h(0) = 0. Do đó đặt x = -y trong
phƣơng trình (1.6), ta đƣợc
(1.7)

-yh(-y) = yh(y)

nghĩa là h là một hàm lẻ. Thay y bởi –y trong phƣơng trình (1.6), ta có
(1.8)

xh(x) – yh(y) = (x + y)h(x – y)


9

So sánh phƣơng trình (1.8) và (1.6) ta có
(x – y)h(x + y) = (x + y)h(x – y)

(1.9)

thay u = x + y và v = x – y vào phƣơng trình (1.9) ta đƣợc
(1.10)

vh(u) = uh(v)

với mọi u, v  . Vì vậy
(1.11)

h(u) = au.
Nếu không giả sử h(0) = 0 thì ta có h(u) = au + b. Theo phƣơng trình

(1.5) , điều này cho f(x) = x(ax + b) và nếu không giả sử f(0) = 0) thì f(x) =
ax2 + bx + c.Vì vậy ta chứng minh mọi nghiệm của phƣơng trình (1.3) có
dạng
f(x) = ax2 + bx + x, h(x) = ax + b,
trong đó a, b, c là hằng số tùy ý. Phần đảo của định lý này là hiển nhiên.
Hệ quả 1.1.1. Hàm f : 

f ( x)

 thỏa

f ( y)

mãn phương trình hàm

(x

y ) f '(

x

y
2

),

x y,

khi và chỉ khi
f(x)= ax2 + bx + c
với a, b, c là các hằng số thực tùy ý.
Định lý 1.1.4. Nếu đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c, với a

0, là một

nghiệm của phương trình hàm
(1.12)

f(x + h) – f(x) = hf’(x + h) (0< <1)

được giả sử với mọi x



và h

 \{0}

thỏa mãn phương trình hàm ở trên với

thì
=

=

1
. Đảo lại nếu một hàm f
2

1
thì nghiệm duy nhất là một đa
2

thức có bậc nhiều nhất bằng hai.
Chứng minh: Giả sử đa thức
(1.13)

f(x) = ax2 + bx + c

10

là một nghiệm của phƣơng trình (1.12). Khi đó thay phƣơng trình (1.13) vào
phƣơng trình (1.12) ta có
a(x + h)2 + b(x + h) +c – ax2 – bx – c = h(2a(x + h) + b)
nghĩa là ah2(1 - 2 ) = 0. Vì a và h khác không, ta có
Ngƣợc lại, cho

=

=

1
.
2

1
và h = y – x trong phƣơng trình (1.12), ta có
2

f ( x)

f ( y)

(x

y ) f '(

x

y
2

),

x y.

Vậy, theo Hệ quả 1.1.1, f là một đa thức có bậc nhiều nhất là hai.
Cho s và t là hai số thực. Khi đó tất cả các hàm khả vi f trên đƣờng
thẳng thực thỏa mãn
(1.14)

f[x,y] = f’(st + ty)

với mọi số thực x,y, với x

y thì có dạng

f ( x)

1
2
bx c trong tr­êng hîp cßn l¹i
ax 2

bx c

nÕu s=t=

trong đó a, b, c là các hằng số tùy ý.
Định lý 1.1.5. Với các tham số thực s, t, các hàm f, g, h : 
(1.15)
với mọi x, y  , x

f ( x) g ( y )
x y
y khi và chỉ khi

h( sx ty )



thỏa mãn


11

f ( x)
(1.16)

ax + b
nÕu s = 0 = t
ax + b
nÕu s = 0, t 0
ax + b
nÕu s 0, t = 0
tx 2 + ax + b nÕu s = t
0
A(tx)

+b
nÕu s = -t 0
t
x+b
nÕu s2 t 2

(1.17)

g ( y)

ay + b
nÕu s = 0 = t
ay + b
nÕu s = 0, t 0
ay + b
nÕu s 0, t = 0
2
ty + ay + b nÕu s = t
0
A(ty)
+y
nÕu s = -t 0
t
y+b
nÕu s2 t 2

(1.18)

tïy ý víi h(0) = a
a

a
h( y )

nÕu s = 0 = t
nÕu s = 0, t 0
nÕu s 0, t = 0

y+a
A(y)
(c - b)t
+
y
y
y

trong đó A : 



là một hàm cộng tính và a, b, c,

nÕu s = t

0

nÕu s = -t

0, y

nÕu s 2

,

0

t2

là các hằng số thực

tùy ý.
Chứng minh : Để chứng minh định lý này, ta xét một số trƣờng hợp phụ
thuộc vào tham số s và t.


12

Trƣờng hợp 1. Giả sử s = 0 = t. Khi đó phƣơng trình (1.15) trở thành

f ( x ) g ( y)
x y

h(0) hay f(x) – ax = g(y) – ay.

trong đó a = h(0). Từ trên ta có đƣợc
(1.19)

f(x) = ax + by và g(y) = ay + b,

trong đó b là hằng số tùy ý. Thay phƣơng trình (1.19) vào phƣơng trình
(1.15), ta thấy h là một hàm tùy ý với a = h(0). Vậy ta có nghiệm nhƣ đã
khẳng định trong định lý đối với trƣờng hợp s = 0 = t.

Trƣờng hợp 2. Giả sử s = 0 và t 0 (trƣờng hợp s

0 và t = 0 có thể lập luận

tƣơng tự). Khi đó từ phƣơng trình (1.15), ta có

(1.20)

f ( x ) g ( y)
h(ty)
x y
Đặt y = 0 trong phƣơng trình (1.20), ta thấy rằng
f(x) = ax + b, với x

(1.21)

0,

trong đó a = h(0) và b = g(0). Từ phƣơng trình (1.20) ta có
ax + b – g(y) = (x – y)h(ty)

(1.22)
với mọi x

y và x 0.Cân bằng các hệ số của x và số hạng hằng trong phƣơng

trình (1.22), ta có
(1.23)
với mọi y

h(ty) =a và g(y) = h(ty)y + b = ay + b
.

Đặt x = 0 trong phƣơng trình (1.20) và sử dụng phƣơng trình

(1.23), ta thấy f(0) = b. Vì vậy phƣơng trình (1.21) đúng với mọi x  . Từ
phƣơng trình (1.21) và (1.23), ta có nghiệm của phƣơng trình (1.15) cho
trƣờng hợp này nhƣ đã khẳng định trong Định lý 1.1.5.
Trƣờng hợp 3. Giả sử s
(1.24)
với mọi số thực y

0

t. Đặt x = 0 trong phƣơng trình (1.15) ta có
g(y) = yh(ty) + b

0 (với b = f(0)).


13

Tƣơng tự, với y = 0 trong phƣơng trình (1.15) ta có
(1.25)

f(x) = xh(sx) + c

với mọi số thực x 0 (với x = g(0)).
Thay phƣơng trình (1.24) và (1.25) vào phƣơng trình (1.15) và đơn giản ta
đƣợc

xh(sx) – yh(ty) + c – b = (x – y)h(sx + ty)

(1.26)

với mọi số thực x và y khác không, x y.
Thay x bởi
(1.27)

x
y
và y bởi trong phƣơng trình (1.26), ta có
s
t
x
y
x
y
h(x) - h(y) +c – b = ( - )h(x + y),
s
t
s
t

với mọi số thực x và y khác không, tx sy.
3.1. Giả sử s = t . Khi đó phƣơng trình (1.27) thành
(1.28)

xh(x) – yh(y) = (b – c)t +(x – y)h(x + y).

Thay đổi vai trò của x và y trong phƣơng trình (1.28) và cộng phƣơng trình

nhận đƣợc vào (1.28), ta có b = c. Vì vậy phƣơng trình (1.28) thu đƣợc
xh(x) – yh(y) = (x – y)h(x + y)

(1.29)

với mọi số thực x và y khác không, với x y. Thay y bởi –y trong phƣơng
trình (1.29) ta đƣợc
(1.30)

xh(x) + yh(-y) = (x + y)h(x – y)

với mọi số thực x và y khác không, với x + y 0. Đặt x = -y trong phƣơng
trình (1.29), ta thấy rằng
(1.31)

xh(x) + xh(-x) = 2xh(0).

Trừ (1.29) cho (1.30) và sử dụng phƣơng trình (1.31), ta có
(1.32)

2yh(0) = (x + y)h(x – y) – (x – y)h(x + y)

với mọi số thực x và y khác không, với x + y và x - y 0. Thay
(1.33)

u = x = y và v = x - y


14

vào phƣơng trình (1.32), ta thấy rằng (u – v)h(0) = uh(v) – vh(u) hay
v[h(u) – h(0)] = u[h(v) – h(0)],

(1.34)

với mọi số thực u, v, u – v, u – v khác không. Vì vậy
(1.25)

h(u) =

u+a

với mọi số thực u khác không trong  , với a = h(0). Chú ý rằng phƣơng trình
(1.35) cũng đúng với u = 0. Sử dụng phƣơng trình (1.35) vào phƣơng trình
(1.15), ta có
f(x) – g(y) = (x – y)( tx +
với mọi x

y. Vì vậy ta có nghiệm nhƣ đã khẳng định

(1.36)

f(x) = g(x) =

trong đó

ty + a)

tx2 + ax + b và h(y) =

y + a,

, a và b là các hằng số tùy ý.

3.2. Giả sử s = -t. Khi đó phƣơng trình (1.27) thành
xh(x) +yh(y) + (b – c)t = (x + y)h(x + y)

(1.37)

với mọi số thực x và y khác không, với x

A( x )

(1.38)

y.Định nghĩa

xh( x ) (b c)t

nÕu x 0

0

nÕu x = 0

Khi đó theo phƣơng trình (1.38), phƣơng trình (1.37) thành
(1.39)

A(x) + A(y) = A(x + y)

với mọi số thực x, y và x + y khác không. Tiếp theo ta chứng tỏ rằng A trong
phƣơng trình (1.39) là cộng tính trên tập số thực. Để A là cộng tính thì nó
phải thỏa mãn
(1.40) A(x) + A(-x) = A(0) = 0 hoặc xh(x) – xh(-x) + 2(b – c)t = 0.
Thay đổi vai trò y với – y trong phƣơng trình (1.37), ta có
(1.41)

xh(x) – yh(-y) + (b – c)t = (x – y)h(x – y).

Trừ phƣơng trình (1.41) cho phƣơng trình (1.37) ta có
(1.42)

yh(y) + yh(-y) = (x + y)h(x + y) – (x – y)h(x – y).

Vì vậy, sử dụng phƣơng trình (1.38), ta có


15

A(y) – A(-y) = A(x + y) – A(x – y)

(1.43)

với mọi số thực x, y, x + y và x – y khác không. Thay x bởi –x trong phƣơng
trình (1.43), ta đƣợc
(1.44)

A(y) – A(-y) = A(-x + y) – A(-x – y).

Từ phƣơng tình (1.43) và phƣơng trình (1.44) ta có

(1.45)

A(x + y) + A(-(x + y)) = A(x – y) + A(-(x – y)).

Đặt u = x + y và v = x – y trong phƣơng trình (1.45), ta thấy rằng
(1.46)

A(u) + A(-u) = A(v) + A(-v)

với mọi số thực u, v, u – v và u + v khác không. Vì vậy
(1.47)

A(u) + A(-u) =

với mọi số thực u khác không (khi đó

là một hằng). Sử dụng phƣơng trình

(1.38), ta thấy từ phƣơng trình (1.47) là
(1.48)

xh(x) – xh(-x) + 2(b – c)t = ,

với mọi số thực x khác không. Từ phƣơng trình (1.15) với s = -t, ta có
(1.49)

f(x) – g(y) = (x – y)h(-(x – y)t).

Thay đổi vai trò x và y, ta có
(1.50)

f(y) – g(x) = -(x – y)h((x – y)t)

Cộng phƣơng trình (1.49) và (1.50) và sử dụng phƣơng trình (1.48), ta có
f(x) – g(x) + f(y) – g(y)
(1.51)

= -(x – y)h((x – y)t) + (x – y)h(-(x – y)t)
=

t

+ 2(b – c).

Sử dụng phƣơng trình (1.24) và phƣơng trình (1.38), ta đƣợc
(1.52)

A(tx) = t[g(x) – c] (x

0).

Tƣơng tự, sử dụng phƣơng trình (1.25) và phƣơng trình (1.38), ta đƣợc
(1.53)

A(-tx) = -t[f(x) – b] (x

Từ phƣơng trình (1.52) và (1.53) ta thấy rằng

0).

16

f ( x ) g( x )

(1.54)

A( tx ) A(tx )
b c
t

t

b c

Từ trên ta có
f(x) – g(x) + f(y) – g(y) = -2

(1.55)

t

+ 2(b – c).

So sánh phƣơng trình (1.51) và phƣơng trình (1.55), ta có

= 0. Vì vậy

phƣơng trình (1.47) cho
(1.56)

A(x) + A(-x) = 0,

với mọi số thực x khác không. Hiển nhiên ở trên cũng đúng với x = 0. Do đó
A là một hàm cộng tính trên tập các số thực. Từ phƣơng trình (1.38), phƣơng
trình (1.24) và (1.25), ta đƣợc

A(tx )
t
A(ty )
g ( y)
t
A( y) (c
h( y )
y
f (x)

(1.57)

b
c
b)t
y

trong đó b và c là hằng số tùy ý.
3.3. Giả sử s2 t2, nghĩa là s

t. Thay đổi vai trò x với y trong phƣơng

trình (1.27), ta có

(1.58)

y
x
y
h(y) - h(x) + c – b = (
s
t
s

x
)h(x + y)
t

với mọi x và y khác không với ty sx. Trừ phƣơng trình (1.58) cho phƣơng
trình (1.27) và sử dụng s + t
(1.59)

0, ta có

xh(x) – yh(y) = (x – y)h(x – y),

giống với phƣơng trình (1.29). Vì vậy
(1.60)

h(x) =

x + b,

17

với

và b là các hằng số tùy ý. Đƣa phƣơng trình (1.60) vào phƣơng trình

(1.58) và đơn giản kết quả nhận đƣợc, ta có
(1.61)

xy(

1 1
)=b–c
s t

với mọi x và y khác không mà tx sy và sx

ty. Vì s

t, ta thấy rằng

=0 và

b = c. Do đó phƣơng trình (1.60) trở thành
(1.62)

h(x) = b.

Từ phƣơng trình (1.62), phƣơng trình (1.24) và (1.25) ta có đƣợc dạng của f, g
và h nhƣ đã khẳng định.

Ghi chú 1. Trong trƣờng hợp g = f, vế trái của phƣơng trình (1.15) với s = -t
là đối xứng theo x và y. Vì vậy sử dụng tính đối xứng này có thể kết luận h là
một hàm chẵn. Tính chẵn của h kéo theo A trong phƣơng trình (1.39) là cộng
tính.
Ghi chú 2. Trong trƣờng hợp 3.1, h(y) không xác định tại y = 0.
Hệ quả 1.1.2. Các hàm
mọi x, y  mà x

, f :



thỏa mãn phương trình hàm (1.2) với

y khi và chỉ khi

f ( x)

ax b
nÕu s=0=t
ax c
nÕu s=0, t 0
ax c
nÕu s 0, t=0
2
tx ax b nÕu s=t 0
A(tx )
b
nÕu s=-t 0
t

x b
nÕu s2 t 2


18

( x )

tïy ý
a
a
y a

nÕu s=0=t
nÕu s=0, t 0
nÕu s 0, t = 0
nÕu s=t 0

A( y)
y

nÕu s=-t
nÕu s2

trong đó A : 



0
t2

là một hàm cộng tính và a, b, c, ,

là các hằng số thực

tùy ý.
Hệ quả dƣới đây đƣợc phát biểu bởi Walter Rudin vào năm 1989.
Hệ quả 1.1.3. Hàm f : 



thỏa mãn phương trình

f '(sx ty)

f ( y) f ( x )
y x

với mọi x,y  với x y khi và chỉ khi

f ( x)

1
t
2
b c trong tr­êng hîp cßn l¹i,
ax 2

bx c

nÕu s =

trong đó a, b, và c là các hằng số thực tùy ý.
Chú ý rằng Định lý 1.1.3 và 1.1.5 đặc trƣng cho đa thức bậc thấp. Về
mặt nguồn gốc, phƣơng trình (1.3) xuất hiện dƣới dạng
f(x) – f(y)=(x – y)h(x + y)
vì vậy không rõ ràng khi suy rộng nó để cho đa thức bậc cao. Ý tƣởng xuất
phát từ khái niệm tỷ sai phân. Bailey (1992) suy rộng kết quả của Aczel và
Haruki và thiết lập định lý dƣới đây.
Định lý 1.1.6. Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm
(1.63)

f[x,y,z] = h(x + y + z),

thì f là một đa thức có bậc nhiều nhất là ba.


19

Chứng minh : Sử dụng định nghĩa của tỷ sai phân từ phƣơng trình (1.63), ta
có
(1.64) f(x)(y – z) + f(y)(z – x) + f(z)(x – y) = (x – y)(y – z)(x – z)h(x + y + z).
Nếu f thỏa mãn phƣơng trình (1.64) thì f + d cũng vậy, trong đó d là một hằng
số tùy ý.Vì thế không mất tính tổng quát ta giả sử f(0) = 0. Theo giả thiết này,
đặt z = 0 trong phƣơng trình (1.64), ta đƣợc
yf(x) – xf(y) = xy(x – y)h(x + y).

(1.65)

Viết lại phƣơng trình (1.65), ta có :

f ( x)
x

(1.66)

f ( y)
y

( x y)h( x y).

Theo giả thiết f khả vi, h liên tục và vì thế cho y tiến đến 0 ở mỗi vế của
phƣơng trình (1.76), ta đƣợc
(1.67)

f ( x)
x

f '(0)

xh( x )

Do đó, nếu ta định nghĩa

q( x )

f ( x)
nÕu x 0
x
f '(0) nÕu x=0

ta có f(x) = xq(x) với mọi x và q(y) – q(x) = (y – x)h(x + y).
Theo Định lý (1.1.3), ta có
q(x) = ax2 + bx + c

f(x) = ax3 + bx2 + cx.

Bỏ giả thiết f(0) = 0 ta có f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, nhƣ đã khẳng định trong
định lý.
Năm 1992, Bailey đặt ra câu hỏi có hay không mỗi hàm liên tục (hoặc
khả vi) f thỏa mãn phƣơng trình hàm
(1.68)

f[x1, x2, ...,xn] = g(x1 + x2 +...+xn)


20

là đa thức có bậc nhiều nhất là n. Sử dụng kĩ thuật sơ cấp Kannappan và
Sahoo (1995) đã giải quyết bài toán của Bailey. Đầu tiên ta giải bài toán của
Bailey với n = 3 và ta có định lý.
Định lý 1.1.7. Chi f thỏa mãn phương trình hàm
(1.69)

f[x1, x2, x3] = g(x1 + x2 + x3),

với mọi x1, x2, x3  sao cho x1 x2, x2 x3 và x3 x1. Khi đó f là đa thức có
bậc nhiều nhất là ba và g là tuyến tính.
Chứng minh : Nếu f(x) là một nghiệm của phƣơng trình (1.69) thì f(x) + a0 +
a1x cũng vậy. Do đó không mất tính tổng quát, giả sử
(1.70)

f(0)=0

và
(1.71)

f( )=0

với

0 nào đó trong  . Chú ý rằng có nhiều cách lựa chọn

thay (x, 0,
(1.72)

. Trƣớc tiên

) cho (x1, x2, x3) trong (1.69) để có
f(x) = -x(

- x)g(x +

(sau khi sử dụng (1.70) và (1.71)) với x 0,

)

.

Tiếp theo, ta thay (x, 0, y) cho (x1, x2, x3) trong (1.69) để có
(1.73)

với mọi x, y
(1.74)

f ( x)
x ( x y)
0 và x y. Đặt

f ( y)
y( x y )

q( x )

g ( x y)

f (x)
x

với x  \{0}. Khi đó (1.73) thu về
(1.75)

q(x) – q(y) = (x – y)g(x + y)

với mọi x, y  \{0} mà x y. Chú ý rằng (1.75) vẫn đúng với x = y.
Bây giờ ta xét phƣơng trình
q(x) – q(y) = (x – y)g(x + y)
với mọi x, y  \{0}. Đặt y = -x trong (1.75) để có


21

q(x) – q(-x) = 2xg(0)

(1.76)
với mọi x

0. Tiếp theo thay y bởi –y trong (1.75) ta đƣợc
q(x) – q(-y) = ( x+ y)g(x - y)

(1.77)

với x, y  \{0} mà x + y

0. (1.77) vẫn đúng nếu x + y = 0. Vì vậy ta kết

luận rằng (1.77) đúng với x, y  \{0}.
Trừ (1.75) cho (1.77) và sử dụng (1.76) ta đƣợc
(x + y)[g(x – y) – g(0)] = (x – y)[g(x + y) – g(0)]

(1.78)

với mọi x, y  \{0}. Cố định u
u v
2

0 và

u v
2

0 trong  . Chọn một v

0 . Có nhiều cách chọn v nhƣ vậy. Đặt x=



sao cho

u v
u v
và y =
2
2

hay
u = x + y và v =x – y.

(1.79)

Thay (1.79) vào (1.78) ta có
u[g(v) – g(0)] = v[g(u) – g(0)]

(1.80)
với mọi v

u, -u. Do đó cố định u = u1, ta có

(1.81)

g(v) = a1v + b1

với mọi v  \{u1, - u1}. Tƣơng tự với u = u2, ta đƣợc
(1.82)

g(v) = a2v + b2

với mọi v  \{u2, - u2}. Vì các tập {u1, -u1} và {u2, - u2} là rời nhau, ta có
(1.83)

g(v) = av + b

với mọi v  . Bây giờ sử dụng (1.83) trong (1.73), ta có
f(x) = (x2 - x )g(x +
trong đó c = -a

) + b] = ax3 + bx2 + cx

- b . Bỏ giả thiết f(0) = 0, ta có
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

(1.84)
với mọi x

2

) = (x2 - x )[a(x +

0,

. Từ (1.70), (1.71) và (1.84) ta kết luận rằng f là đa thức có

bậc nhiều nhất là ba với mọi x  .