CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HOÀNG THỊ HẢI PHƯƠNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG
VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Hải Phương

MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ....................................................................3
6. Cấu trúc luận văn ........................................................................................3
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ ..........................................................4
1.1. PHÉP BIẾN HÌNH..........................................................................................4
1.1.1. Định nghĩa.............................................................................................4
1.1.2. Điểm kép của phép biến hình...............................................................5
1.1.3. Phép biến hình đảo ngược.....................................................................5
1.1.4. Tích của các phép biến hình..................................................................5
1.2. CÁC PHÉP DỜI HÌNH...................................................................................7
1.2.1. Định nghĩa phép dời hình......................................................................7
1.2.2. Tính chất ...............................................................................................7
1.2.3. Các phép dời hình .................................................................................9
1.2.4. Phân loại các phép dời hình ................................................................15
1.3. PHÉP VỊ TỰ .................................................................................................16
1.3.1. Định nghĩa...........................................................................................16
1.3.2. Tính chất .............................................................................................17
1.3.3. Tâm vị tự của hai đường tròn..............................................................18
1.3.4. Tích của hai phép vị tự........................................................................20
1.4. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG ........................................................24
1.4.1. Định nghĩa...........................................................................................24
1.4.2. Tính chất .............................................................................................24
1.4.3. Sự xác định phép đồng dạng ...............................................................26

1.4.4. Hai hình đồng dạng .............................................................................27
1.4.5. Điểm kép của phép đồng dạng............................................................27
1.4.6. Liên hệ giữa phép đồng dạng, phép vị tự và phép dời hình...............27
1.4.7. Phân loại các phép biến đổi đồng dạng..............................................28
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀO
GIẢI TOÁN SƠ CẤP.........................................................................................30
2.1. ỨNG DỤNG PHÉP VỊ TỰ...........................................................................30
2.1.1. Bài toán chứng minh các tính chất hình học.......................................30
2.1.2. Bài toán tính các đại lượng hình học ..................................................49
2.1.3. Bài toán quỹ tích .................................................................................53
2.1.4. Bài toán dựng hình ..............................................................................61
2.2. ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG..................................73
2.2.1. Bài toán chứng minh các tính chất hình học.......................................73
2.2.2. Bài toán tính các đại lượng hình học ..................................................85
2.2.3. Bài toán quỹ tích .................................................................................88
2.2.4. Bài toán dựng hình ..............................................................................93
KẾT LUẬN .......................................................................................................100
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

ABC

Tam giác ABC



Vuông góc



Đồng dạng



Biến… thành…



Cắt nhau


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Hình học ở bậc Trung học Phổ thông (THPT)
chúng ta đã biết đến các phép biến hình. Tuy nhiên, việc hiểu và áp dụng các
phép biến hình này, đặc biệt là phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng của không
gian Euclid thông thường hai, ba chiều thường khiến cho học sinh gặp
khó khăn.
Nội dung các phép biến hình đưa vào chương trình Toán ở bậc THPT
không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà
còn giúp cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới.
Chẳng hạn như trước đây, khi cần chứng minh hai tam giác nào đó đồng
dạng, học sinh thường phải chứng minh các cạnh hay các góc của hai tam giác
đó thỏa mãn các điều kiện đã được nêu ra trong các định lí nói về hai tam giác
đồng dạng. Tuy nhiên, dựa vào các phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng

người ta có thể định nghĩa sự đồng dạng của hai tam giác và tổng quát hơn đối
với hai hình bất kì như sau: “Hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu
có một phép đồng dạng f biến hình này thành hình kia”. Như vậy khái niệm
“đồng dạng” của hai hình được xây dựng dựa trên khái niệm phép biến đổi
đồng dạng, một phép biến hình đặc biệt.
Ngoài ra, việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình
học khác nhau là một việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời
gian và công sức để giải các bài toán một cách có hiệu quả nhất.
Tôi đã chọn đề tài “Một số phép biến hình trong mặt phẳng và ứng
dụng giải các bài toán hình học ở THPT” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của
mình vào tháng 6/2010 tại Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng. Đề
tài này bước đầu nghiên cứu về một số phép biến hình trong mặt phẳng như:


2

Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay… Cùng với
sự định hướng của PGS.TS. Trần Đạo Dõng và để tiếp tục nghiên cứu, phát
triển đề tài ấy, tôi đã chọn đề tài “CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG
VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ
của mình.
Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về phép biến hình,
hệ thống kiến thức về các phép dời hình và phép vị tự, các phép biến đổi đồng
dạng của không gian Euclid thông thường hai, ba chiều (cụ thể trong chương
trình toán bậc THPT). Tiếp đó, tìm hiểu ứng dụng của phép vị tự, phép biến
đổi đồng dạng trong mặt phẳng và không gian để giải một số dạng toán cơ
bản trong hình học có liên quan, cũng như tìm phương pháp giải cho từng
dạng cụ thể.
2. Mục đích nghiên cứu
- Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và

không gian để khảo sát một số chủ đề trong hình học, nhằm góp phần nâng
cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương trình THPT.
- Bổ sung một số kiến thức về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng cho
học sinh nhằm giúp các em phát triển tư duy hình học nói riêng và tư duy
Toán học nói chung, rèn luyện kĩ năng vận dụng linh hoạt các phép biến hình
này vào việc giải quyết các bài toán hình học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và
không gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như: bài toán
chứng minh, bài toán tính các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích, bài toán
dựng hình.


3

4. Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu về phép vị tự và phép biến đổi đồng dạng trong
mặt phẳng, trong không gian và hệ thống các kiến thức liên quan.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Góp phần làm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán, giáo viên
dạy Toán cũng như học sinh đang học ở bậc THPT.
- Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong
hình học thuộc chương trình Toán bậc THPT.
- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.
- Giúp sinh viên có một cách nhìn khái quát về hình học và các phép
biến hình đã được học ở bậc THPT.
6. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và phần kết luận gồm có 2
chương:

Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Chương này trình bày lý thuyết về phép biến hình, các phép dời hình và
nghiên cứu về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng, trong
không gian và các kiến thức liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của
chương tiếp theo.
Chương 2. Ứng dụng các phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp
Chương này trình bày ứng dụng của phép vị tự, phép biến đổi đồng
dạng vào giải toán sơ cấp như bài toán chứng minh, bài toán tính các đại
lượng hình học, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình.


4

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày tổng quan về phép biến hình, các phép dời hình, phép vị tự
và các phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng, trong không gian và các kiến thức liên
quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của chương tiếp theo. Kiến thức phần này được tham
khảo ở các tài liệu [3], [4], [5], [7] .

1.1. PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) là một
song ánh từ tập hợp các điểm của mặt phẳng (hay không gian) lên chính nó.
Nói cách khác, cho một phép biến hình f tức là cho một quy tắc tương ứng
với mỗi điểm M của mặt phẳng (hay không gian) một điểm duy nhất M’ thuộc
mặt phẳng (hay không gian) đó, sao cho:
- Với mỗi điểm M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian), tồn tại một điểm
M thuộc mặt phẳng (hay không gian) đó sao cho M' = f(M).
- Với hai điểm phân biệt tùy ý M, N của mặt phẳng (hay không gian),

thì M' = f(M) và N' = f(N) là hai điểm phân biệt.
Khi đó M' = f(M) được gọi là ảnh của điểm M và điểm M được gọi là
tạo ảnh của điểm M’ qua phép biến hình f .
Nếu H là một hình nào đó của mặt phẳng (hay không gian), tập hợp
f (H) gồm tất cả các phần tử ảnh của mọi điểm M thuộc hình H được gọi là
ảnh của hình H qua phép biến hình f . Khi đó, H được gọi là tạo ảnh của
hình f (H) qua phép biến hình f .


5

1.1.2. Điểm kép của phép biến hình
Định nghĩa 1.2. Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng (hay
không gian) là T. Một điểm M thuộc T được gọi là điểm kép (hoặc là điểm bất
động) đối với phép biến hình f nếu f (M) = M. Nói cách khác, điểm M là
điểm kép đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua

f.
Đặc biệt, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc mặt phẳng (hay không
gian) thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất của mặt phẳng (hay
không gian), ký hiệu là Id.
1.1.3. Phép biến hình đảo ngược
Cho phép biến hình f của T biến điểm M thành M’, ta có các định
nghĩa sau:
- Phép biến hình biến điểm M’ thành điểm M gọi là phép biến hình đảo
ngược của phép biến hình f đã cho.
Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f 1 . Từ định nghĩa suy
ra f 1(M')= M. Hơn nữa, mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến
hình đảo ngược f 1 thỏa mãn tính chất f 1  f = f  f 1 = Id.
- Một phép biến hình f của T được gọi là phép biến hình đối hợp nếu

M  T sao cho M '  f (M ) , ta có M = f (M’).
Như vậy, f là phép biến hình đối hợp nếu và chỉ nếu f = f 1 .
1.1.4. Tích của các phép biến hình
Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp
nhau. Nếu thực hiện phép biến hình f1 : T  T để biến một điểm M bất kì của


6

T thành một điểm M’, sau đó thực hiện phép biến hình thứ hai f 2 : T  T để
biến M’ thành M’’, nghĩa là: M’ = f1 (M) và M’’ = f 2 (M’).
Khi đó phép biến hình f biến M thành M’’ gọi là tích (phép hợp
thành) của hai phép biến hình f1 và f 2 , kí hiệu là f = f 2  f1 . Ta có:

f (M) = f 2  f1 (M) = M’’ = f 2 (M’) = f 2 [ f1 (M)].
Chú ý: Kí hiệu tích f 2  f1 là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai
phép biến hình: phép thứ nhất là f1 và phép thứ hai là f 2 . Nói chung tích

f 2  f1 và tích f1  f 2 là hai phép biến hình khác nhau.
Ta cũng xác định được tích f 3  f 2  f1 = f 3  (f 2  f1 ) là tích của phép
biến hình (f 2  f1 ) và phép biến hình f 3 theo thứ tự đó. Tương tự ta cũng thực
hiện được nhiều phép biến hình liên tiếp nhau.
Tích các phép biến hình có những tính chất sau đây:
(i) Kết hợp: f 3  (f 2  f1 ) = (f 3  f 2 )  f1 = f 3  f 2  f1 .
Như vậy, bao giờ cũng có thể thay thế hai hoặc nhiều phép biến hình
liên tiếp bởi tích của chúng hoặc ngược lại.
(ii) Tích các phép biến hình không có tính giao hoán: f1  f 2  f 2  f1 .
(iii) Trong tập hợp các phép biến hình của P, phép đồng nhất Id là phần
tử trung hòa trong phép toán hợp thành:

f  P : Id  f  f  Id .

(iv) Phép biến hình đảo ngược của tích f 2  f1 là tích f11  f 2 1 :
( f 2  f1 ) 1 = f11  f 2 1 .


7

1.2. CÁC PHÉP DỜI HÌNH
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu về phép vị tự và phép đồng dạng. Khi
đó, mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích giao hoán của một phép vị tự và một phép
dời hình. Chính vì vậy, để hệ thống kiến thức, trong phần này sẽ giới thiệu sơ lược về các
phép dời hình trong mặt phẳng và không gian để người đọc dễ theo dõi trong phần nghiên
cứu tiếp theo về phép vị tự và phép đồng dạng.

1.2.1. Định nghĩa phép dời hình
Định nghĩa 1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng (hay không gian) là
phép biến hình trong mặt phẳng (hay không gian) biến đoạn thẳng MN thành
đoạn thẳng M’N’ sao cho M’N’ = M N.
1.2.2. Tính chất
Định lí 1.1. Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng cũng theo thứ tự đó.
Chứng minh
Giả sử A, B, C là ba điểm theo thứ tự đó trên đường thẳng. Ta cần
chứng minh qua phép dời hình ba điểm A, B, C biến thành ba điểm A’, B’, C’
thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và C’.
Qua phép dời hình f biến điểm A thành A’, điểm B thành B’, điểm C
thành C’ thì ta có A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = CA.
Vì B nằm giữa A và C nên AB + BC = AC.
Từ đó suy ra: A’B’ + B’C’ = A’C’.

Như vậy ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’.


8

Từ Định lý 1.1 ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1.1. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường
thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng
bằng nó.
Hệ quả 1.2. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng
nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn
này thành tâm đường tròn kia.
Hệ quả 1.3. Qua phép dời hình, mặt phẳng biến thành mặt phẳng, nửa
mặt phẳng biến thành nửa mặt phẳng.
Hệ quả 1.4. Phép dời hình bảo toàn góc giữa hai tia, góc giữa hai
đường thẳng, góc nhị diện, góc giữa hai mặt phẳng.
Hệ quả 1.5. Phép dời hình bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ.
Hệ quả 1.6. Phép dời hình bảo toàn sự song song của hai đường thẳng,
hai mặt phẳng; đường thẳng và mặt phẳng; bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng
cùng phương.
Định lí 1.2. Tích của hai hay nhiều phép dời hình là một phép dời hình.
Chứng minh
Cho hai phép dời hình f và g . Ta hãy xét tính chất của phép biến
hình g  f .
Giả sử A, B là hai điểm bất kì và A' = f(A), A" = g(A'), B' = f(B),

B" = g(B').
Vì f và g đều là phép dời hình nên ta có:
AB = A’B’ và A’B’ = A”B”.

9

Như vậy phép biến hình g  f đã biến điểm A thành điểm A”, biến
điểm B thành điểm B” thỏa mãn điểu kiện AB = A”B”.
Do đó tích của hai phép dời hình g  f là một phép dời hình vì nó là
một phép biến hình có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì A,
B của mặt phẳng (hay không gian).
Các trường hợp còn lại được lý luận tương tự.
1.2.3. Các phép dời hình
Trong phần này chỉ giới thiệu sơ lược về các phép dời hình trong mặt phẳng và
không gian. Đối với mỗi phép dời hình chỉ nêu định nghĩa để nhận biết từng loại và nêu
tính chất của mỗi phép dời hình.

a) Phép tịnh tiến
Định nghĩa 1.4. Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) biến




mỗi điểm M thành M’, sao cho MM' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ




v . Vectơ v gọi là vectơ tịnh tiến.
Kí hiệu: Tv .


v

M'
M

Hình 1.1.

Tính chất 1.1.
- Phép tịnh tiến là một phép dời hình, nên có đầy đủ các tính chất của
phép dời hình.


10
 
- Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v  0 biến điểm M thành điểm M' thì ta


cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M với vectơ tịnh tiến là -v .
Như vậy ta có: T-1 = T  . Ta suy ra T-1  T
v

v

v



v

= Id.

 


- Qua phép tịnh tiến theo vectơ v  0 thì các đường thẳng nhận v làm

vectơ chỉ phương đều biến thành chính nó (các điểm của các đường thẳng này
không phải là điểm kép).
- Tích của hai phép tịnh tiến Tv và Tv ' là một phép tịnh tiến với vectơ




tịnh tiến bằng v  v' .
b) Phép đối xứng trục
Định nghĩa 1.5. Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) biến
mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d
cho trước làm đường trung trực được gọi là phép đối xứng trục d. Đường
thẳng d gọi là trục đối xứng.
Kí hiệu: Đd .

Hình 1.2.

Tính chất 1.2.
- Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên nó có đầy đủ tính chất
của phép dời hình.


11

- Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh của M'
qua phép đối xứng đó. Tích của một phép đối xứng trục với chính nó là một
phép đồng nhất.

- Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép.
- Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành
chính nó (Ngoài giao điểm của a với d các điểm khác của a đều không phải
là điểm kép).
c) Phép đối xứng tâm
Định nghĩa 1.6. Trong mặt phẳng (hay không gian), cho một điểm O
cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M' sao cho




OM  OM ' gọi là phép đối xứng tâm O. Điểm O gọi là tâm đối xứng.
Kí hiệu: ĐO .
M'

M

O

Hình 1.3.

Tính chất 1.3.
- Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên có đầy đủ các tính chất
của phép dời hình.
- Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất.
- Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh của M'
qua phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với chính nó
là phép đồng nhất.

12

- Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến
một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường
thẳng đó, biến một vectơ thành vectơ đối của nó.
d) Phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng
Định nghĩa 1.7. Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho một điểm
O cố định và một góc định hướng  sai khác k2. Một phép quay tâm O với
góc quay  là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi
 

điểm M thành điểm M', sao cho OM = OM’ và ( OM ,OM' )= α .

Hình 1.4.
 

Trong định nghĩa trên ta kí hiệu ( OM ,OM' ) là góc định hướng với tia
ban đầu là OM và tia cuối là OM’.
Kí hiệu: Q(O; ) hoặc QO .
Ta thường chọn  sao cho -      .
Chú ý: - Nếu  = 0 thì phép quay là phép đồng nhất.
- Nếu  =   thì phép quay là phép đối xứng tâm O.
Ta thường chọn chiều (+) là chiều ngược chiều kim đồng hồ,
chiều (–) là chiều cùng chiều kim đồng hồ.


13

Tính chất 1.4.
- Phép quay là một phép dời hình, nên có đầy đủ các tính chất của phép

dời hình.
- Trong phép quay tâm O với góc quay   0 , chỉ có tâm O là điểm
kép duy nhất của phép quay đó và trong trường hợp này nếu đường thẳng a đi
qua tâm O thì đường thẳng ảnh là a' cũng đi qua điểm O.
- Nếu phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M thành điểm M' thì
phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M' thành điểm M nghĩa là nếu

f  Q( O ; ) thì f 1 = Q(O ;  ) .
- Qua phép quay tâm O góc quay  nếu điểm A biến thành điểm A',
 

điểm B biến thành điểm B' thì ( AB,A'B' )= α , nghĩa là góc giữa hai vectơ
tương ứng bằng góc quay  . Do đó hai đường thẳng AB và A'B' cắt nhau tạo
nên một góc bằng  và một góc bằng  -  .
e) Phép quay xung quanh một trục
Định nghĩa 1.8. Cho đường thẳng định hướng Δ, β là góc định hướng
cho trước. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành M’, sao
cho M, M’ thuộc mặt phẳng vuông góc với Δ tại O, OM = OM’ và
(OM,OM’)= β được gọi là phép quay quanh trục Δ, góc quay β .
Kí hiệu: Q(Δ, β) hoặc Q(Δ, β) .

Hình 1.5.


14

Tính chất 1.5.
- Phép quay xung quanh một trục là phép dời hình.
- Qua phép quay trục Δ, mọi điểm thuộc Δ đều là điểm kép.
- Nếu mặt phẳng P   thì Q(Δ, β): P  P. Nếu β  0 thì mọi điểm

thuộc mặt phẳng P trừ giao điểm của nó với Δ không phải là điểm kép.
f) Phép đối xứng qua mặt phẳng
Định nghĩa 1.9. Trong không gian cho mặt phẳng P. Phép biến hình
trong không gian biến điểm M thành M’, sao cho đoạn thẳng MM’ nhận P làm
mặt phẳng trung trực được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng P.
Kí hiệu: Đ( P ) .

Hình 1.6.

Tính chất 1.6.
- Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép dời hình.
- Trong phép đối xứng qua mặt phẳng mọi điểm thuộc mặt phẳng đối
xứng P đều là điểm kép.
- Các điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng tương ứng vuông góc với P
đều là điểm kép.


15

1.2.4. Phân loại các phép dời hình
a) Định nghĩa chiều của tam giác và chiều của tứ diện
Định nghĩa 1.10. Chiều của tam giác ABC là chiều quay từ A đến B,
tiếp đó đến C.

Hình 1.7.

Để mô tả chiều quay này người ta dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Nếu chiều quay của tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ thì tam
giác ABC có chiều thuận (hay chiều dương). Nếu chiều quay của tam giác
ABC cùng chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều nghịch (hay chiều

âm).
Chú ý: Định nghĩa chiều của tam giác trong không gian phụ thuộc vào
nửa không gian với biên là mặt phẳng chứa tam giác. Nghĩa là xét trong một
nửa không gian, tam giác ABC, chẳng hạn có chiều thuận thì trong nửa không
gian kia tam giác đó lại có chiều nghịch.
Định nghĩa 1.11. Tứ diện ABCD được gọi là có chiều dương nếu trong
nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD) chứa đỉnh A, tam giác BCD có
chiều âm. Nếu tam giác BCD xét trong nửa không gian trên có chiều dương
thì tứ diện ABCD có chiều âm.


16

Bằng trực quan có thể mô tả như sau: Nếu từ đỉnh A nhìn thấy tam giác
BCD có chiều âm thì tứ diện ABCD có chiều dương, ngược lại thì tứ diện
ABCD có chiều âm.
b) Phân loại
Định nghĩa 1.12. Phép dời hình thuận trong mặt phẳng (hay không
gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một tam
giác (hay tứ diện) cùng chiều.
Định nghĩa 1.13. Phép dời hình nghịch trong mặt phẳng (hay không
gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một tam
giác (hay tứ diện) ngược chiều.
Nhận xét 1.1. Theo định nghĩa trên ta có:
- Phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm trong mặt phẳng, phép quay xung
quanh một điểm trong mặt phẳng, phép quay xung quanh một trục là các phép
dời hình thuận.
- Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm trong không gian, phép đối
xứng qua mặt phẳng là các phép dời nghịch.
1.3. PHÉP VỊ TỰ

Phép vị tự là một phép biến đổi đồng dạng đặc biệt (Điều này sẽ được chứng minh
trong phần khảo sát về các phép biến đổi đồng dạng). Tuy nhiên để dễ theo dõi, cũng như
đã nêu trong lý do khi bắt đầu nghiên cứu về các phép dời hình ở trên, chúng tôi sẽ giới
thiệu về phép vị tự trước khi nghiên cứu về các phép biến đổi đồng dạng.

1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.14. Trong mặt phẳng (hay không gian) cho một điểm O
cố định và một số k  0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao




cho OM' = kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k) hoặc VOk .


17

Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số (hay hệ số) vị tự. Phép vị tự
gọi là thuận nếu k > 0, nghịch nếu k < 0.
Các trường hợp đặc biệt:
 
OM'
= OM , tức là M’  M, lúc đó phép vị
- Nếu tỉ số vị tự k = 1, khi đó

tự là phép đồng nhất.


OM'

=
OM
, tức là đoạn thẳng MM’
- Nếu tỉ số vị tự k = -1, khi đó

nhận O làm trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng qua tâm O và ta có
O là điểm kép.
1.3.2. Tính chất
Định lí 1.3. Nếu phép vị tự biến hai điểm A, B thành hai điểm A’, B’ thì
A’B’= |k|AB.
Chứng minh
Giả sử qua phép vị tự V(O,k) hai điểm A, B biến thành hai điểm A’, B’, ta








có: OA '  kOA và OB '  kOB .












Khi đó: OB '  OA '  k (OB  OA)  A ' B '  k AB .




 A ' B '  k AB hay A’B’ = k AB.
Từ Định lí 1.3 ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1.7. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hành thành ba điểm thẳng
hàng.
Chứng minh
Giả sử qua phép vị tự V(O,k) biến ba điểm A, B, C thẳng hàng lần lượt








thành ba điểm A’, B’, C’. Theo định nghĩa ta có: A ' B '  k AB và A ' C '  k AC.




Vì ba điểm A, B, C thẳng hàng nên ta có AC  mAB.

18










Do đó A'C'  k AC  kmAB  mk AB  mA'B'.
Điều này chứng tỏ ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
Hệ quả 1.8. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với nó.
Hệ quả 1.9. Phép vị tự biến tia thành tia cùng phương với nó.
Hệ quả 1.10. Phép vị tự biến mặt cầu thành mặt cầu.
Định lí 1.4. Phép vị tự biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng
phẳng.
Chứng minh
Gọi A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng và A’, B’, C’, D’ là ảnh của
chúng qua phép vị tự V(O,k) . Ta cần chứng minh rằng A’, B’, C’, D’ đồng
phẳng.






Thật vậy, tồn tại cặp số thực x, y thỏa mãn điều kiện AB  x AC  y AD.



 

 



Vì A ' B '  k AB, A ' C '  k AC , A ' D '  k AD nên ta có:












k AB  x( k AC )  y (k AD)  A ' B '  x A ' C '  y A ' D '.

Điều này chứng tỏ A’, B’, C’, D’ đồng phẳng.
Từ Định lý 1.4 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.11. Phép vị tự V(O,k) biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P’)
song song hoặc trùng với nó, biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, một
góc nhị diện thành góc nhị diện có số đo bằng nhau, một tứ diện thành một tứ
diện.
1.3.3. Tâm vị tự của hai đường tròn

Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn tâm I và I’ lần lượt có bán kính R
và R’. Xét phép vị tự biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’).


19

Giả sử k là tỉ số của phép vị tự cần tìm, ta có R’ = |k|R , nghĩa là k =

R'
R

hoặc k = -

R'





. Gọi O là tâm của phép vị tự đó ta có: OI ' = kOI , xét các

R
trường hợp sau đây:
1. Nếu I  I’ và R = R’ thì có một điểm O duy nhất khi k  1. Do đó:

k=

R'

= -1 . Khi đó điểm O là trung điểm của đoạn II’. Như vậy phép vị tự

R
tâm O với k = -1 chính là phép đối xứng qua tâm là điểm O nói trên.
2. Nếu I  I’ và R  R’ khi đó phép vị tự tâm I tỉ số

R'

và phép vị tự

R
tâm I tỉ số 

R'

đều biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’). Hai

R




đường tròn này có chung tâm I. Ta có: IM 1 '  R' IM và IM 2 '   R' IM .
R
R




3. Nếu I  I’ và R  R’. Gọi O1 là điểm sao cho O1I '  R' O1 I ta có
R

phép vị tự tâm O1 biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I’
bán kính R’ với tỉ số vị tự k =

R'

. Ta gọi đó là phép vị tự thuận vì k =

R

R'

> 0.

R




Gọi O2 là điểm sao cho O2 I '   R' O2 I ta có phép vị tự tâm O2 biến
R
đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I’ bán kính R’ với tỉ số vị
tự k = -

R'
R

tự nghịch.

. Vì k = -

R'
R

< 0 nên người ta gọi phép vị tự ứng với k<0 là phép vị


20

Chú ý:
- Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì
O được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó.
- Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài,
nếu phép vị tự đó có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong.
- Nếu hai đường tròn (I;R) và (I’;R’) tiếp xúc ngoài tại T thì T là tâm vị
tự nghịch của hai đường tròn đó. Tâm vị tự thuận O1 là giao điểm của một
tiếp tuyến chung với đường thẳng nối tâm I I’ (T  O1 ).
- Nếu hai đường tròn (I;R) và (I’;R’) tiếp xúc trong tại T’ thì T’ là tâm
vị tự thuận của hai đường tròn đó.
1.3.4. Tích của hai phép vị tự
Định lí 1.5. Tích của hai phép vị tự cùng nhận tâm O làm tâm và có tỉ
số vị tự lần lượt là k1 , k2 là một phép vị tự tâm O có tỉ số vị tự k  k2 .k1.
Chứng minh
Giả sử: M’ = V(O ,k ) (M) và M’’ = V(O ,k ) (M’).
1





2





Ta có: OM' = k1 OM và OM'' = k 2 OM'.




Do đó: OM'' = k 2 OM' = k2 k1 OM = kOM với k  k2 .k1.

Nếu k2 .k1 = 1 thì tích đó là một phép đồng nhất.
Định lí 1.6. Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm
thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép
tịnh tiến hay phép đồng nhất.