Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và bài toán cực trị lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NHỮ VĂN HUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NHỮ VĂN HUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

Thái Nguyên - 2015


1

Mục lục
Mở đầu
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
5

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều 6
1.1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid . . . .
1.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6

1.1.2. Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân . . . . .
1.1.3. Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu . . . . . . . .

8
8

1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân 11
1.2.1. Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . .
2 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị lồi
2.1. Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị . . . . . . .
2.1.1. Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
19
19
19

2.1.2. Mối liên hệ giữa bài toán cực trị và bất đẳng thức
biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Bất đẳng thức biến phân với hệ phương trình, bài toán

22

bù và bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24

2.2.2. Bài toán bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . .

25
26

2.2.4. Bài toán cân bằng kinh tế dưới dạng bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29


2

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


3

Mở đầu
Bài toán cân bằng cổ điển (hay còn gọi là bài toán cân bằng vô hướng)
đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán
học lý thuyết cũng như ứng dụng. Từ bài toán này có thể suy ra được
các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu: bài toán tối ưu, bài toán
cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân . . .
Bài toán bất đẳng thức biến phân được Stampacchia đề xuất và
nghiên cứu đầu tiên từ đầu những năm 60 của thế kỉ trước (xem [11]).
Những nghiên cứu của Stampacchia về bất đẳng thức biến phân liên
quan đến việc giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Năm
1979, Smith [10] đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và năm 1980
Dafermos [2] chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm của
một bất đẳng thức biến phân. Cho tới nay, đã có nhiều bài toán quan

trọng trong thực tế được thiết lập và nghiên cứu dưới dạng bất đẳng
thức biến phân. Chẳng hạn, bài toán cân bằng mạng giao thông, bài
toán cân bằng thị trường độc quyền, bài toán cân bằng tài chính và bài
toán cân bằng di cư (xem [7]). Ngoài ra, bất đẳng thức biến phân còn là
một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựng các phương pháp giải
số cho nhiều lớp bài toán cân bằng trong kỹ thuật, vận tải, lý thuyết trò
chơi . . . Do vậy việc nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, cũng
như xây dựng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã và đang
là một đề tài thời sự thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà toán học.
Luận văn này nhằm trình bày tổng quan về bất đẳng thức biến phân
trong không gian hữu hạn chiều và bài toán cực trị lồi. Nội dung của
luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bài


4

toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và nghiên
cứu điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Chương 2 trình
bày mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với bài
toán cực trị lồi.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin cảm ơn sâu sắc tới người hướng dẫn luận văn
cao học của mình, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, giảng viên trường Đại
học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người đã dành nhiều thời gian
và tâm huyết để hướng dẫn và giải quyết những thắc mắc cho tôi trong
suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân
thành tới các thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, các thầy cô
giảng dạy lớp Cao học toán K7D, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo
những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn thiện khóa học cũng

như luận văn của mình.
Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015.
Học viên

Nhữ Văn Huấn


5

Bảng ký hiệu

Rn

không gian Euclide n chiều

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền giá trị của toán tử A

C

tập con lồi đóng của Rn

I

ánh xạ đơn vị

PC

phép chiếu mêtrix Rn lên tập con lồi đóng C của Rn

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T


6

Chương 1
Bất đẳng thức biến phân trong
không gian hữu hạn chiều
Chương này trình bày một cách sơ lược về bất đẳng thức biến phân
trong không gian hữu hạn chiều và một số tính chất về sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Mục 1.1 giới thiệu tổng
quan về bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid Rn và một số
tính chất của tập nghiệm của bài toán. Trong Mục 1.2 trình bày điều
kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Các kiến
thức của chương được viết trên cơ sở các tài liệu [1]–[11].

1.1.
1.1.1.

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid
Định nghĩa và ví dụ

Trong mục này ta luôn giả thiết Rn là không gian Euclid với tích vô

hướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi ., . và . .
Định nghĩa 1.1 Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và F : C → Rn là
một ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với
ánh xạ phi tuyến đơn trị F , ký hiệu là VI(F, C) (variational inequality),
được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.1)


7

Ví dụ 1.1 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm phần
tử x0 ∈ [a, b] thỏa mãn
f (x0 ) = min f (x).
x∈[a,b]

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:
(i) Nếu x0 ∈ (a, b) thì f (x0 ) = 0;
(ii) Nếu x0 = a thì f (x0 ) ≥ 0;
(iii) Nếu x0 = b thì f (x0 ) ≤ 0.
Những phát biểu trên được tổng hợp thành
f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],
đây là một bất đẳng thức biến phân.
Ví dụ 1.2 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồi đóng
C của không gian Euclid n chiều Rn . Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn
f (x∗ ) = min f (x).
x∈C

Giả sử x0 là điểm cực tiểu cần tìm và x là phần tử tùy ý thuộc C. Vì C
là tập hợp lồi nên
(1 − t)x0 + tx = x0 + t(x − x0 ) ∈ C,

0 ≤ t ≤ 1.

Hàm
Φ(t) = f (x0 + t(x − x0 )),

0≤t≤1

đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó, từ Ví dụ 1.1
Φ (0) = f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Như vậy điểm x0 thỏa mãn bất đẳng thức biến phân
x0 ∈ C :

f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C.

Nếu tập C bị chặn thì điểm x0 tồn tại duy nhất.


8

1.1.2.

Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Cho C = ∅ là tập lồi đóng trong Rn và x∗ ∈ C. Nón chuẩn tắc tới C
tại x∗ là tập

NC (x∗ ) = d ∈ Rn : d, x − x∗ ≤ 0 ∀x ∈ C .
Véctơ d ∈ NC (x∗ ) được gọi là véctơ chuẩn tắc tới C tại x∗ .
Dễ thấy,
(1.1) ⇔ −F (x∗ ), x − x∗ ≤ 0 ∀x ∈ C
⇔ −F (x∗ ) là vec tơ chuẩn tắc tới C tại x∗
⇔ −F (x∗ ) ∈ NC (x∗ )
hay
0 ∈ F (x∗ ) + NC (x∗ ).
Định nghĩa 1.2 Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) được gọi
là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là S.
Các giả thiết thường đặt lên bài toán VI(F, C) là:
(A1) Tập C = ∅ là tập con lồi và đóng trong Rn ;
(A2) Ánh xạ F là ánh xạ liên tục (trên một tập con mở chứa C).
Khi C là tập con lồi đóng của Rn và F là ánh xạ liên tục thì tập S
là tập hợp đóng trong Rn .
1.1.3.

Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu

Nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) có mối liên hệ với bài
toán:
Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn

F (x), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.2)

Bài toán (1.2) được gọi là bất đẳng thức biến phân đối ngẫu của VI(F, C),
ký hiệu là DVI(F, C) (dual variational inequality) với tập nghiệm được
ký hiệu là S ∗ . Để khảo sát mối liên hệ giữa S và S ∗ ta cần thêm giả

thiết về tính đơn điệu cho ánh xạ F .


9

Định nghĩa 1.3 Cho C là một tập con lồi trong không gian Rn và F
là một ánh xạ từ C vào Rn . Ánh xạ F là:
(i) Ánh xạ η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao
cho
F (u) − F (v), u − v ≥ η u − v

2

∀u, v ∈ C;

(ii) Ánh xạ đơn điệu ngặt trên C nếu
F (u) − F (v), u − v > 0 ∀u, v ∈ C, u = v;
(iii) Ánh xạ đơn điệu trên C nếu
F (u) − F (v), u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C;
(iv) Ánh xạ giả đơn điệu trên C nếu
F (v), u − v ≥ 0 suy ra

F (u), u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C;

(v) Ánh xạ tựa đơn điệu trên C nếu
F (v), u − v > 0 suy ra

F (u), u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C.

Ví dụ 1.3 Xét các ánh xạ Ti : R → 2R (i = 1, 2) cho bởi các công thức:

T1 (x) =

{1} , x ≥ 0
∅,
x < 0,

T2 (x) = {1}

∀x ∈ R.

Ta thấy T1 và T2 là các ánh xạ đơn điệu.
Tính đơn điệu của ánh xạ có mối liên hệ với tính không giãn của ánh
xạ đó.
Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập con của không gian Rn . Ánh xạ
T : C → C được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ C ta có
Tx − Ty ≤ x − y .

(1.3)

Ký hiệu Fix(T ) := x ∈ C : x = T (x) là tập điểm bất động của ánh
xạ không giãn T .


10

Mệnh đề 1.1 [5] Cho C là một tập con lồi đóng trong Rn . Nếu T :
C → C là ánh xạ không giãn thì ánh xạ F xác định bởi F = I − T là
đơn điệu với I là ánh xạ đồng nhất của Rn .
Chứng minh. Thật vậy, giả sử ánh xạ T : C → C, với C là tập con lồi
đóng trong Rn , là ánh xạ không giãn, tức là T thỏa mãn (1.3). Xét ánh

xạ F = I − T , ta có:
F (x) − F (y), x − y = (I − T )(x) − (I − T )(y), x − y
= (x − y) − (T (x) − T (y)), x − y
= x−y

2

− T (x) − T (y), x − y

≥ x−y

2

− T (x) − T (y)

≥ x−y

2

− x−y

2

x−y

= 0.

Suy ra, ánh xạ F là ánh xạ đơn điệu.
✷
Mối quan hệ giữa tập nghiệm S của bài toán VI(F, C) và tập nghiệm

S ∗ của bài toán DVI(F, C) được trình bày trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2 [5] (Bổ đề Minty)
(i) S ∗ là tập lồi và đóng;
(ii) S ∗ ⊆ S;
(iii) nếu F là ánh xạ giả đơn điệu thì S ⊆ S ∗ .
Sự tồn tại nghiệm của bài toán DVI(F, C) đóng vai trò quan trọng
trong việc xây dựng các phương pháp giải cho bài toán VI(F, C). Chú ý
rằng khẳng định (iii) trong Mệnh đề 1.2 không còn đúng trong trường
hợp F là tựa đơn điệu. Ngoài ra bài toán (1.2) còn có thể vô nghiệm
trong trường hợp F là tựa đơn điệu.


11

1.2.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức
biến phân

Mục này trình bày một số điều kiện đặt lên ánh xạ F và miền chấp
nhận được C cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến
phân VI(F, C).
1.2.1.

Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.5 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Euclid
Rn , phép chiếu mêtric PC từ Rn lên C cho tương ứng mỗi x ∈ Rn với
phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn
x − PC (x) ≤ x − y

với mọi y ∈ C.

Định lý sau đây cho ta một tính chất quan trọng của phép chiếu
mêtric PC .
Định lý 1.1 [7] Cho C là một tập con lồi đóng của Rn . Khi đó, y = PC x
khi và chỉ khi
y − x, z − y ≥ 0 ∀z ∈ C.

(1.4)

Chứng minh. Ta biết rằng y = PC x chính là cực tiểu của hàm g(z) =
z − x 2 trên tập C với g(z) = 2(z − x). Từ điều kiện tối ưu của bài
toán cực trị có ràng buộc ta có điều phải chứng minh.
✷
Hệ quả 1.1 [7] Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của Rn . Khi đó
phép chiếu mêtric PC là một ánh xạ không giãn, tức là
PC x − PC x

≤ x−x

∀x, x ∈ Rn .

(1.5)

Chứng minh. Lấy x, x ∈ Rn . Giả sử y = PC x và y = PC x . Khi đó
theo Định lý 1.1 ta có
với y ∈ C : y, z − y ≥ x, z − y

∀z ∈ C,

(1.6)


12

và
với y ∈ C : y , z − y ≥ x , z − y

∀z ∈ C.

(1.7)

Lấy z = y trong (1.6) và z = y trong (1.7) và cộng hai vế của hai bất
đẳng thức thu được ta có
y−y

2

= y − y ,y − y ≤ x − x ,y − y
≤ x−x

y−y

(theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz).

Khi đó, ta suy ra
y−y

≤ x−x .

✷

1.2.2.

Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định lý 1.2 [3] Giả sử C là tập con lồi và compact của không gian Rn
và F : C → Rn là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên C. Khi đó, tồn
tại ít nhất một điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1).
Để chứng minh Định lý 1.2 ta cần một số kết quả sau.
Bổ đề 1.1 [7] Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong Rn . Khi đó
với mỗi x ∈ Rn , tồn tại duy nhất một điểm y ∈ C sao cho
x−y ≤ x−z

∀z ∈ C,

(1.8)

và điểm y được gọi là phép chiếu trực giao của x lên tập C với chuẩn
Euclid trong Rn , tức là
y = PC x = arg min x − z .
z∈C

Chứng minh. Giả sử x ∈ Rn là điểm cố định và z ∈ C bất kỳ. Xét
hàm g xác định bởi
g(z) = x − z 2 .
Ta thấy g là hàm liên tục. Khi đó, tồn tại điểm cực tiểu y của hàm g (vì
mọi hàm liên tục đều đạt được cực tiểu trên một tập compact), tức là
x−y

2

≤ x−z

2

∀z ∈ C.


13

Mặt khác do chuẩn bình phương là hàm lồi chặt nên điểm y như vậy là
duy nhất. Vậy g là hàm lồi chặt và cực tiểu của nó là duy nhất.
✷
Định lý 1.3 (Định lý điểm bất động Brouwer) Giả sử T : C → C là
ánh xạ liên tục trên tập con C compact và lồi của không gian Euclid Rn .
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗ ).
Chứng minh Định lý 1.2. Vì các ánh xạ PC và I − tF với t > 0 là
liên tục nên ánh xạ PC (I − tF ) cũng liên tục. Do đó, theo Định lý điểm
bất động của Brouwer, tồn tại điểm x∗ ∈ C sao cho
x∗ = (PC (I − tF ))(x∗ ) = PC (x∗ − tF (x∗ )) với t > 0.
Suy ra, x∗ = PC (x∗ − tF (x∗ )) là điểm cực tiểu của hàm
g(x) =
với mọi x ∈ C. Mà

1
x − [x∗ − tF (x∗ )]
2

2

g(x) = x − [x∗ − tF (x∗ )], suy ra từ điều kiện tối

ưu cho bài toán cực trị có ràng buộc minx∈C g(x), nên
g(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C,
tức là
x∗ − [x∗ − tF (x∗ )], x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C,
hay
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
✷
Định lý 1.2 đòi hỏi tập C phải là tập compact. Tuy nhiên khi C không
phải là tập compact thì bài toán (1.1) vẫn tồn tại nghiệm nếu điều kiện
trong định lý sau được thỏa mãn.
Định lý 1.4 [4] Cho C là một tập con khác rỗng lồi đóng trong không
gian Euclid Rn và F : C → Rn là ánh xạ liên tục trên C. Giả sử tồn tại


14

tập con compact U khác rỗng của C sao cho: với mọi u ∈ C \ U , tồn tại
v ∈ U thỏa mãn
F (u), u − v > 0.
Khi đó, bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm.
Khi C là tập không bị chặn thì sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức
biến phân VI(F, C) sẽ được đảm bảo nếu thêm điều kiện được chỉ ra
sau đây. Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong Rn . Khi đó, CR =
C ∩ B(0, R) là một tập lồi compact, với B(0, R) := {u ∈ Rn : u ≤ R}
là hình cầu đóng tâm 0, bán kính R trong Rn . Tập CR là bị chặn và
theo Định lý 1.2, ta có
xR ∈ CR : F (xR ), x − xR ≥ 0 ∀x ∈ CR .

(1.9)

Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm
của bất đẳng thức biến phân (1.1) liên quan đến nghiệm của bất đẳng
thức (1.9).
Định lý 1.5 [3] Cho C là một tập con lồi và compact của không gian
Euclid Rn và F : C → Rn là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên C.
Khi đó, điều kiện cần và đủ để bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm
là tồn tại một số R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm xR của bất đẳng
thức biến phân (1.9) thỏa mãn điều kiện xR < R.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử x∗ ∈ S, tức là x∗ thỏa mãn (1.1) với mọi x ∈ C.
Lấy một số R > 0, sao cho x∗ < R. Khi đó,
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ CR ,
tức là x∗ thỏa mãn (1.9).
Điều kiện đủ: Giả sử xR ∈ CR thỏa mãn xR < R và (1.9). Ta sẽ chứng
minh xR là nghiệm bài toán VI(F, C). Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ C, ta có
y = xR + ε(x − xR ) ∈ CR với mọi ε > 0 đủ bé
vì y ≤ xR + ε x − xR ≤ R do xR < R. Khi đó, từ (1.9) suy ra
0 ≤ F (xR ), [xR + ε(x − xR )] − xR = ε F (xR ), x − xR

∀x ∈ C,


15

tức là
F (xR ), x − xR ≥ 0 ∀x ∈ C.
Vậy xR ∈ S với xR ∈ CR ⊂ C.

✷
Chú ý 1.1 Mặc dù, điều kiện xR < R là khó kiểm tra nhưng người
ta có thể xác định giá trị của R một cách thích hợp trong các bài toán
cụ thể.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán VI(F, C) còn được thiết lập với điều
kiện bức đặt lên ánh xạ F như nội dung của hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.2 [3] Cho C là một tập con lồi và compact của không gian
Euclid Rn và F : C → Rn là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên C và
thỏa mãn điều kiện
lim

x →∞

F (x) − F (x), x − x
= +∞
x−x

∀x ∈ C,

(1.10)

với x ∈ C. Khi đó bài toán VI(F, C) luôn có nghiệm.
Chứng minh. Theo giả thiết (1.10), ta có thể chọn hằng số c > 0 và
R > 0 sao cho 0 < F (x) < c và 0 < x < R thỏa mãn
F (x) − F (x), x − x ≥ c x − x

∀x ∈ C

và

x ≥ R.

(1.11)

Khi đó,
F (x), x − x ≥ c x − x + F (x), x − x ,
và theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ta có
F (x), x − x ≥ c x − x − F (x) x − x
= (c − F (x)) x − x
≥ (c − F (x))( x − x ) > 0 với

(1.12)
x = R.

Do F là ánh xạ liên tục và CR là tập lồi và compact nên theo Định lý
1.2 bất đẳng thức biến phân VI(F, CR ) luôn có ít nhất một nghiệm xR .
Ta sẽ chỉ ra rằng xR < R, khi đó theo Định lý 1.5 suy ra xR là nghiệm


16

của VI(F, C). Thật vậy, ta có xR thỏa mãn (1.9) với mọi x ∈ CR . Xét
trường hợp x = x, ta có
F (xR ), x − xR ≥ 0 ⇒ F (xR ), xR − x ≤ 0.
Kết hợp với (1.12), ta suy ra xR = R, mà ta biết rằng xR ≤ R. Vậy
xR < R.
✷
Nghiệm của bất đẳng thức biến phân nói chung không duy nhất nếu
không có thêm các điều kiện đặt lên ánh xạ F . Sau đây ta nghiên cứu
tính duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc vào các

tính chất kiểu đơn điệu của ánh xạ F .
Định lý 1.6 [3] Nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) là duy
nhất nếu F : C → Rn là ánh xạ đơn điệu ngặt.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x1 ∈ C và x2 ∈ C là hai nghiệm khác
nhau của VI(F, C). Khi đó,
F (x1 ), x − x1 ≥ 0 ∀x ∈ C

(1.13)

F (x2 ), x − x2 ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.14)

và
Lần lượt thay x = x2 trong (1.13) và x = x1 trong (1.14), sau đó cộng
hai vế tương ứng của hai bất đẳng thức thu được ta có:
F (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 ≤ 0.
Điều này vô lý vì giả thiết F là đơn điệu ngặt. Suy ra x1 = x2 .
✷
Cho C ⊂ Rn và F : C → Rn . Ma trận Jacobian của hàm F , ký hiệu
là F (x) xác định bởi

 ∂F
∂F1
1
.
.
.
∂x
∂xn


 .. 1
F (x) =  . . . . ...  .
∂Fn
∂x1

...

∂Fn
∂xn

Tính đơn điệu của ánh xạ F có mối liên hệ chặt chẽ với tính xác định
dương của ma trận Jacobian của nó. Ta có định lý sau đây.


17

Định lý 1.7 [8] Giả sử F là hàm khả vi liên tục trên tập C ⊂ Rn . Nếu
ma trận Jacobian F (x) của F (không nhất thiết là đối xứng) là
(i) nửa xác định dương (tương ứng xác định dương), tức là
y,

F (x)y ≥ 0 (tương ứng y,

F (x)y > 0),

với y ∈ Rn , thì F là ánh xạ đơn điệu (tương ứng đơn điệu ngặt).
(ii) xác định dương mạnh, tức là với mọi x ∈ C
y,

F (x)y ≥ α y

2

với α > 0 và y ∈ Rn thì F là ánh xạ đơn điệu mạnh.
Ta có hệ quả sau đây về tính đơn điệu của ánh xạ F khi F là ánh xạ
affine.
Hệ quả 1.3 [8] Cho F là ánh xạ affine, tức là F = q + M x, M ∈ Rn×n
và q ∈ Rn . Khi đó,
(i) F là đơn điệu khi và chỉ khi M là nửa xác định dương.
(ii) F đơn điệu mạnh khi và chỉ khi M là xác định dương.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện để đảm bảo cho sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) mà không cần
đến tính compact của tập C.
Định lý 1.8 [3] Giả sử F là đơn điệu mạnh. Khi đó tồn tại duy nhất
nghiệm x∗ thỏa mãn bất đẳng thức biến phân VI(F, C).
Chứng minh. Thật vậy, do F đơn điệu mạnh nên F thỏa mãn điều
kiện bức và đơn điệu ngặt. Tính bức của ánh xạ F bảo đảm cho cho sự
tồn tại nghiệm của VI(F, C) và tính đơn điệu ngặt của F bảo đảm cho
tính duy nhất nghiệm của VI(F, C).
✷
Nhận xét 1.1 Như vậy,


18

(i) khi C là tập không bị chặn, tính đơn điệu mạnh của F bảo đảm
cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
(ii) khi C là tập compact, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến
phân được bảo đảm với điều kiện F là liên tục và tính duy nhất

nghiệm được bảo đảm với điều kiện đơn điệu ngặt đặt lên ánh xạ
F.


19

Chương 2
Bất đẳng thức biến phân và bài
toán cực trị lồi
Bất đẳng thức biến phân có mối quan hệ mật thiết với nhiều bài
toán quan trọng trong giải tích. Hệ phương trình, bài toán cực trị là
một trong các trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân. Ngoài
ra bất đẳng thức biến phân còn có liên hệ với bài toán điểm bất động.
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày mối quan hệ của bất đẳng thức
biến phân với một số bài toán kể trên. Nội dung của chương được viết
trên cơ sở các tài liệu [1]–[11].

2.1.
2.1.1.

Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị
Bài toán cực trị

Bài toán cực trị được đặc trưng bởi việc tìm giá trị cực đại hoặc cực
tiểu cho hàm mục tiêu trong trường hợp bài toán có ràng buộc với tập
ràng buộc được cho trước. Hàm mục tiêu của bài toán cực trị có thể là
hàm biểu diễn doanh thu, chi phí, . . . trong khi đó tập ràng buộc có thể
là tập biểu thị chi phí hoặc nguồn nguyên liệu hạn chế, các ràng buộc
không âm trên các biến, . . . . Thông thường, một bài toán cực trị chỉ có
một hàm mục tiêu duy nhất. Cả bài toán cực trị không ràng buộc và

có ràng buộc đều có thể biểu diễn được dưới dạng bất đẳng thức biến
phân.


20

Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và hàm f là khả vi liên tục trên
một tập mở U ⊂ Rn chứa C. Bài toán cực trị, ký hiệu là OP(f, C)
(optimization problem), được phát biểu như sau:
Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C,
hay dưới dạng ngắn gọn hơn
min → {f (x) | x ∈ C}.

(2.1)

Kí hiệu S † là tập nghiệm của bài toán (2.1). Tính lồi của hàm f trong
(2.1) đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của tập
S † . Điều này cũng tương tự như tính đơn điệu khi ta xét đến tính chất
tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Ta nhắc lại một số
định nghĩa về tính chất lồi của hàm số như sau.
Định nghĩa 2.1 Cho W và V là các tập con lồi trong Rn , W ⊆ V và
cho hàm f : V → R là hàm khả vi. Hàm f được gọi là
(a) lồi mạnh trên W nếu với hằng số τ > 0, với mỗi cặp u, v ∈ W và
α ∈ [0, 1] ta có
f (αu + (1 − α)v) ≤ αf (u) + (1 − α)ϕ(v) − 0.5α(1 − α)τ u − v 2 ;
(b) lồi chặt trên W nếu với mỗi u, v ∈ W, u = v và α ∈ (0, 1), thì
f (αu + (1 − α)v) < αf (u) + (1 − α)ϕ(v);
(c) lồi trên W nếu với mỗi cặp u, v ∈ W và α ∈ [0, 1] ta có
f (αu + (1 − α)v) ≤ αf (u) + (1 − α)ϕ(v).
Khẳng định sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên:

(a) ⇒ (b) ⇒ (c).
Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng.
Sau đây là mối liên hệ giữa tính lồi của hàm số và tính đơn điệu của
gradient của chúng.


21

Mệnh đề 2.1 [9] Cho W là tập con lồi và mở của V trong Rn . Hàm
khả vi f : V → R là lồi mạnh với hằng số τ (tương ứng, lồi chặt và lồi)
trên W nếu và chỉ nếu ánh xạ gradient f : U → Rn là đơn điệu mạnh
với hằng số τ (tương ứng, đơn điệu chặt và đơn điệu) trên W .
Một số tính chất cơ bản của một hàm lồi khả vi được trình bày trong
mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2 [9] Cho U là một tập con mở của tập C trong Rn . Hàm
f : C → R là hàm lồi khả vi trên U khi và chỉ khi với mỗi x ∈ U ta có
f (y) ≥ f (x) +

f (x), y − x

∀y ∈ U.

Ta có nguyên lý cực tiểu cho bài toán cực trị OP(f, C) như sau:
Mệnh đề 2.3 Nếu x∗ là cực tiểu địa phương của hàm f trên C thì
f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(2.2)

Chứng minh. Thật vậy, đặt ϕ(t) = f (x∗ ) + t(x − x∗ ) với mọi t ∈ [0, 1].
Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0:

ϕ (0) ≥ 0 ⇔

f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0.

Do đó, x∗ thỏa mãn điều kiện (2.2).
✷
Chú ý 2.1 Nếu f là hàm lồi thì cực tiểu địa phương x∗ sẽ trở thành
cực tiểu toàn cục của f trên C.
Chứng minh. Thật vậy, do f là hàm lồi nên ta có
f (x) ≥ f (x∗ ) +
Mà

f (x∗ ), x − x∗

∀x ∈ C.

f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 do x∗ là nghiệm địa phương của OP(f, C).

Suy ra: f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C. Vậy x∗ là cực tiểu toàn cục của hàm f
trên C.
✷
Mệnh đề sau đây, còn được gọi là nguyên lý cực tiểu, cho ta một điều
kiện để x∗ là cực tiểu địa phương của hàm f .


22

Mệnh đề 2.4 Nếu x∗ là cực tiểu địa phương của hàm f trên tập C thì
f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
2.1.2.

(2.3)

Mối liên hệ giữa bài toán cực trị và bất đẳng thức biến
phân

Hai mệnh đề sau đây cho ta mối quan hệ giữa bài toán tối ưu (2.1)
và bất đẳng thức biến phân (1.1).
Mệnh đề 2.5 Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán tối ưu (2.1) với f là
hàm khả vi liên tục và C là tập con lồi đóng của Rn . Khi đó x∗ là nghiệm
của bất đẳng thức biến phân (1.1) với
F (x) =

f (x).

(2.4)

Chứng minh. Đặt φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ )) với t ∈ [0, 1]. Khi đó φ(t)
đạt cực tiểu tại t = 0, trong đó
0 ≤ φ (0) =

f (x∗ ), x − x∗ ,

hay x∗ là của bất đẳng thức biến phân (1.1) với F (x∗ ) =

f (x∗ ).
✷

Mệnh đề 2.6 Nếu f (x) là hàm lồi và x∗ là nghiệm của bất đẳng thức
biến phân VI( f, C) thì, x∗ là nghiệm của bài toán tối ưu (2.1).

Chứng minh. Do f (x) là hàm lồi nên ta có
f (x) ≥ f (x∗ ) +

f (x∗ ), x − x∗

∀x ∈ C.

(2.5)

Mặt khác
f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 vì x∗ là nghiệm của VI( f, C). Do đó,
từ (2.5) ta suy ra
f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C,
hay x∗ chính là nghiệm của bài toán (2.1).
✷


23

Trong trường hợp C = Rn thì bài toán (2.1) trở thành bài toán không
ràng buộc và ta vẫn đưa được bài toán đó về bất đẳng thức biến phân.
Khi đó, ta có định lý sau về mối quan hệ của bài toán OP(f, C) và
VI(F, C).
Định lý 2.1 [5] Giả sử hàm f : C → R là hàm khả vi. Khi đó:
(i) S † ⊆ S tức là, mỗi nghiệm của bài toán (2.1) là nghiệm của bài
toán (1.1) với
F (x) =

f (x);

(2.6)

(ii) nếu f là hàm lồi và F xác định bởi (2.6), thì S ⊆ S † . Khi đó,
S = S †.
Chứng minh. Khẳng định (ii) được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.
Ta chứng minh khẳng định (i). Giả sử ngược lại, tồn tại một điểm
x∗ ∈ S † \ S, tức là tồn tại một điểm y ∈ C sao cho
f (x∗ ), y − x∗ < 0.
Khi đó, với α > 0 đủ bé ta có yα = x∗ + α(y − x∗ ) = αy + (1 − α)x∗ ∈ C
và
f (yα ) = f (x∗ ) + α

f (x∗ ), y − x∗ + o(α) ≤ f (x∗ ),

điều này có nghĩa là x∗ không phải là nghiệm của bài toán cực trị (2.1),
điều này mâu thuẫn với giả thiết của (i).
✷
Từ Định lý 2.1 suy ra, bài toán cực trị lồi OP(f, C) tương đương với
bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu VI(F, C) với F = f . Tuy
nhiên, bất đẳng thức biến phân thể hiện điều kiện tối ưu của bài toán
cực trị có thêm một vài tính chất so với bất đẳng thức biến phân thông
thường. Cụ thể, nếu ma trận F là đối xứng, thì với mọi v cố định, tồn
tại hàm số khả vi
1

F (y + τ (x − y)), x − y dτ

f (x) =
0