các dạng toán hay và khó có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (798.92 KB, 21 trang )
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
B
CÁC CÂU H I CHINH PH C I M 8 – 9 – 10
Giáo viên: Nguy n Thanh Tùng
BÀI
ai
H
oc
01
Câu 1 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A( 2; 0) .
ng th ng
2 6
có ph ng trình 3 x y 0 đi qua C và ch có m t đi m chung C v i hình bình hành. G i H ; , K l n l t
5 5
24
là hình chi u vuông góc c a B, D lên . Di n tích hình thang BHKD b ng
. Tìm t a đ các đ nh còn l i c a hình
5
bình hành ABCD bi t đ ng th ng BD đi qua đi m M ( 2; 6) và K có hoành đ d ng.
ie
uO
nT
hi
D
Câu 2 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A ( AB AC ) . Trên c nh
60 15
AB l y đi m I sao cho AI AC .
ng tròn đ ng kính IB c t BC t i M ; và c t đ ng kéo dài CI t i
17 17
N (4; 1) . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi t A thu c đ ng th ng 2015 x 2016 y 0 .
ro
up
s/
Ta
iL
Câu 3 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn (T ) . Bi t AC
5
3
vuông góc v i BD t i E (1; 1) . G i M ; 3 là trung đi m c a AB và N 0; là đi m thu c c nh DC sao cho
2
4
CN 3DN . Vi t ph ng trình đ ng tròn (T ) bi t C có hoành đ d ng.
bo
ok
.c
om
/g
Câu 4 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A n i ti p đ ng tròn
1
(T ) và C (1; 0) . Bi t ti p tuy n c a đ ng tròn (T ) t i B c t AC t i E . G i F ; 2 là đi m thu c đo n BE và
2
3 5
J ; là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AEF . Tìm t a đ các đ nh còn l i c a tam giác ABC bi t D (2;1)
4 4
thu c đ ng tròn (T ) .
ce
ng trình sau có b n nghi m th c phân bi t: 3( x 1) .log 3 x 2 2 x 3 9
2
.fa
Câu 5. Tìm m đ ph
w
Câu 6. Cho a 1 , tìm t t c b ba s th c ( x, y, z ) sao cho y 1 th a mãn ph
x m
.log 3 2 x m 2 .
ng trình :
w
w
8 4 z y2
0
2
Câu 7 (Nguy n Thanh Tùng). Tìm s nghi m th c c a h ph ng trình sau:
2 x 4 y 6 3 2 x 4 y 6 3x2 2 y 3
x y 2 8 x 2 y 2016
Câu 8. Khi ch i trò ch i con súc s c có hai cách ch i nh sau:
Cách 1: Gieo đ ng th i 1 l n 4 con súc s c, n u xu t hi n m t m t 6 ch m là th ng.
Cách 2: Gieo 24 l n 2 con súc s c, n u l n gieo nào c 2 con súc s c đ u xu t hi n 6 ch m thì th ng.
V y n u b n là ng i ch i b n s ch n cách nào ?
log a2 ( xy ) log a x 3 y 3 xyz
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Câu 9 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t cu c thi v “b a n dinh d ng”cho các gia đình. Ban t ch c yêu c u đ
đ m b o l ng dinh d ng thì m i gia đình c n ít nh t 900 đ n v Protein và 400 đ n v Lipit trong th c n hàng
ngày. Bi t 1 kg th t bò ch a 800 đ n v Protein và 200 đ n v Lipit, còn 1 kg th t l n ch a 600 đ n v Protein và 400
đ n v Lipit. M i gia đình ch đ c mua t i đa 1,6 kg th t bò và 1,1 kg th t l n. Giá 1 kg th t bò là 100.000 VND và 1
kg th t l n giá 70.000 VND. K t thúc cu c thi đã có m t gia đình giành gi i nh t khi kh u ph n th c n cho m t ngày
đ m b o ch t dinh d ng và chi phí b ra là ít nh t có th . H i gia đình đó đã mua s kg th t bò, th t l n là bao nhiêu ?
8 x 2 18 y 2 36 xy 5 6 xy 2 x 3 y
Câu 10. Gi i h ph ng trình
( x, y )
2
2
3 3y
4
x
9
y
4
x
4
4
x
1
3
x2 x 2
ng trình sau trên t p s th c:
01
ai
H
oc
hi
D
nT
Ta
Câu 14 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
2
uO
Câu 13 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
x2 1
1 x x 2 1 x x 4
xy 1
y
2
y 1
.3 y 1
2
ng trình
x, y .
x x 1
2
2
2
(8 x 4) 2(1 x ) y y
y x 2 x 2 x x 2 2
ng trình:
x, y
2
2
2 x y 2( x 2) ( xy y 3 x 3) y 10
y 3 x 1 2 x 2 y x 1 2 x 1
ng trình
( x, y )
2
2
3 xy 2 x 2 y 1 0
2
ie
Câu 12 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
x2 x
iL
Câu 11. Gi i b t ph
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
3
2
3
2(1 y ) y x 2 2 xy y 8
Câu 15 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph ng trình
( x, y )
x 2 ( x 6) x(12 y 3 ) 8
x2 5 x
y2 5 y 5
Câu 16 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph ng trình
( x, y )
7 x 2 2 5 y 4 4 2 y
Câu 17 (Nguy n Thanh Tùng). Cho a, b, c là các s th c th a mãn 0 a b 1 c và 2b 2 c 2 4(2a b c) 18 .
13
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P ab 2 bc 2 ca 2
2a 5b 6 b 3 4bc
ce
Câu 18 (Nguy n Thanh Tùng). Cho a, b, c là các s th c d ng th a mãn 5a 12abc 16b 2 27c 2 60 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c T a 2b 3c .
Câu 19 (Nguy n Thanh Tùng). Cho x, y, z là các s th c không âm, th a mãn y 2 z 2 0 .
w
w
w
.fa
2
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: T
2 x 5 2 x 13 y z
18 x y 8
yz
4
Câu 20 (Nguy n Thanh Tùng). Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x y 0 và x 2 y 2 z 2 2 .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P
H
1
x y
12 3 xz 4 y 5 xy
.
4( x y ) ( x y z ) 2
4
NG D N GI I
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Bài 1 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A( 2; 0) .
ng th ng
2 6
có ph ng trình 3 x y 0 đi qua C và ch có m t đi m chung C v i hình bình hành. G i H ; , K l n l t
5 5
24
là hình chi u vuông góc c a B, D lên . Di n tích hình thang BHKD b ng
. Tìm t a đ các đ nh còn l i c a hình
5
bình hành ABCD bi t đ ng th ng BD đi qua đi m M ( 2; 6) và K có hoành đ d ng.
Gi i:
M(-2;6)
B(?)
:3x+y=0
01
A(-2;0)
ai
H
oc
I
H(-2/5;6/5)
C(?)
D(?)
hi
D
I'
nT
A'
uO
K
G i I là tâm c a hình bình hành ABCD và A ', I ' l n l
ie
t là hình chi u vuông góc c a A, I lên .
Khi đó II ' là đ
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ng trung bình trong c hình thang BHKD và tam giác AA ' C .
6
Do đó ta có: BH DK 2 II ' AA ' d ( A, )
10
24
2.
( BH DK ).HK
8 10
2.S BHDK
Lúc đó S BHDK
HK
5
.
6
BH DK
2
5
10
2
2
128
6 128
2
t 3t
5
5
5
5
6
6 18
5t 2 4t 12 0 t ho c t 2 (lo i) K ; .
5
5 5
ng trình KD : x 3 y 12 0 và BH : x 3 y 4 0
.fa
Cách 1: Khi đó ph
ce
bo
ok
.c
G i K t; 3t v i t 0 , khi đó : HK 2
w
w
3b 3d 8 b d
;
G i D(3d 12; d ) và B (3b 4; b) I
2
2
C 3b 3d 10; b d
w
B (3b 4; b)
. Ta có
Do C 3.(3b 3d 10) b d 0 d b 3
D (3b 3; b 3)
MB (3b 2; b 6)
MD (3b 5; b 9)
B (1;1)
Do M BD nên : (3b 2)(b 9) (b 6)( 3b 5) 48b 48 b 1
C (1; 3)
D (0; 4)
V y B ( 1;1), C (1; 3), D(0; 4) .
Cách 2: Trình bày trong bài gi ng.
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Bài 2 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A ( AB AC ) . Trên c nh
60 15
AB l y đi m I sao cho AI AC .
ng tròn đ ng kính IB c t BC t i M ; và c t đ ng kéo dài CI t i
17 17
N (4; 1) . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi t A thu c đ ng th ng 2015 x 2016 y 0 .
Gi i:
C
ai
H
oc
01
1
2
3
4
1
1
I
B
nT
A
hi
D
M
1
2
uO
2
Ta
iL
N
ie
1
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
CMI
1800 ACMI n i ti p đ ng tròn
Ta có CAI
I 450 I M
M
M
900
M
AMN 900 hay AM MN .
1
1
2
4
1
4
8
32 8
Ta có MN ; .(1; 4) , suy ra ph ng trình AM : x 4 y 0
17 17 17
x 4 y 0
Khi đó t a đ đi m A là nghi m c a h :
x y 0 A(0; 0)
2015 x 2016 y 0
C
450 M 450 MI là phân giác c a góc
Ta có M
AMN
2
1
3
ce
900 BAC
ACBN n i ti p đ
M t khác, BNC
B
N
ng tròn N
1
1
2
w
.fa
, suy ra I là tâm c a đ ng tròn n i ti p tam giác AMN
Suy ra NI là phân giác c a MNA
Ph ng trình AN : x 4 y 0 ; AM : x 4 y 0 và MN : 4 x y 15 0
w
w
4 x y 15
x 4y
3x 5 y 15 0
ng trình phân giác c a góc
AMN th a mãn:
17
17
5 x 3 y 15 0
Do A, N khác phía v i MI nên ph ng trình MI : 5 x 3 y 15 0 BC : 3 x 5 y 15 0
Ph
4 x y 15
x 4y
x y 5 0
ng trình phân giác NC c a góc
ANM th a mãn:
17
17
x y 3 0
Do A, M khác phía so v i NC nên NC có ph ng trình: x y 3 0
Ph
x y 3 0
x 0
Suy ra t a đ đi m C là nghi m c a h :
C (0; 3)
3 x 5 y 15 0
y 3
Khi đó AB đi qua A(0; 0) vuông góc v i AC nên có ph ng trình: y 0
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
y 0
x 5
Suy ra t a đ đi m B là nghi m c a h
B (5; 0)
3 x 5 y 15 0
y 0
V y A(0;0), B (5;0), C (0;3) .
Chú ý:
Trong hình v bài toán này, ta có th khai thác thêm tính ch t ED AN đ sáng t o ra các đ bài m i, v i E là
giao đi m c a AB và MN và D là giao đi m th hai c a đ ng tròn đ ng kính IB v i AN .
ai
H
oc
01
C
E
A
hi
D
M
B
D
ie
uO
nT
I
s/
Ta
iL
N
Gi i
B
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
Bài 3 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn (T ) . Bi t AC
5
3
vuông góc v i BD t i E (1; 1) . G i M ; 3 là trung đi m c a AB và N 0; là đi m thu c c nh DC sao cho
2
4
CN 3DN . Vi t ph ng trình đ ng tròn (T ) bi t C có hoành đ d ng.
1
M
w
w
(T)
1
A
E
I
5
4
1
D
N
C
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Do ABCD n i ti p đ
C
(cùng ch n cung AD ) (1)
ng tròn nên B
1
1
E
E
(2)
Ta có EM là trung tuy n c a tam giác vuông AEB nên EMB cân t i M hay B
1
1
4
E
T (1) và (2), suy ra C
1
4
E
900 C
E
900 , suy ra ME DC .
M t khác, E
4
5
1
5
hi
D
nT
Ta
iL
ie
uO
4t 2
; 2 t và EC 4t 2;3t 1
Suy ra ED
3
4t 2
Khi đó ED EC ED.EC 0
.(4t 2) (2 t ).(3t 1) 0
3
C (3;3)
2
5t 2 3t 2 0 t 1 ho c t (lo i), suy ra
5
D (1; 0)
ai
H
oc
01
x 1 4t
3
Khi đó DC đi qua N 0; vuông góc v i EM nên có ph ng trình: 3x 4 y 3 0
4
y 3t
1
3
Suy ra C ( 1 4t;3t ) (v i t ) CN 1 4t ; 3t
4
4
1 4t 3 xD
1 4t
xD
1 4t
Ta có CN 3 ND 3
;1 t
3 D
3
3
3t 3 yD 4
yD 1 t
4
s/
A( a; 2a 3) CE
ng trình CE : 2 x y 3 0 và DE : x 2 y 1 0 , suy ra
B ( 2b 1; b) DE
a 2b 1 5
a 0
A(0; 3)
Do M là trung đi m c a AB nên
2a 3 b 6
b 3 B(5; 3)
om
/g
ro
up
Khi đó ph
ng tròn (T ) , khi đó:
.c
G i I là tâm c a đ
.fa
ce
bo
ok
5
x 2
IA2 IB 2
x 2 ( y 3)2 ( x 5)2 ( y 3) 2
5 1
IA IB ID 2
2
I ;
2
2
2
2
2 2
x ( y 3) ( x 1) y
IA ID
y 1
2
5
.V yđ
2
2
ng tròn (T ) c n l p có ph
2
5
1
25
ng trình: x y
.
2
2
2
w
w
w
Bán kính c a (T ) là: R IA
Bài 4 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A n i ti p đ ng tròn (T )
1
và C (1; 0) . Bi t ti p tuy n c a đ ng tròn (T ) t i B c t AC t i E . G i F ; 2 là đi m thu c đo n BE và
2
3 5
J ; là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AEF . Tìm t a đ các đ nh còn l i c a tam giác ABC bi t D (2;1)
4 4
thu c đ ng tròn (T ) .
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i:
B
D
1
01
2
1
C
ng tròn (T ) , lúc này ta s ch ng minh M c ng thu c đ
ie
G i M là giao đi m c a CF và đ
uO
nT
A
hi
D
J
1
E
I
M
ai
H
oc
F
ng tròn ngo i ti p tam
1
1
1
s/
1
Ta
iL
giác AEF hay ta s đi ch ng minh AEFM n i ti p đ ng tròn tâm J . Th t v y:
B
(cùng ph v i
M
(cùng ch n cung AC )
Ta có E
ACB ) và B
up
M
E
FMA
M
FMA
1800 , suy ra AEFM n i ti p đ
Suy ra E
1
1
1
1
ro
x 1 3t
M (1 3t; 4t )
ng th ng CF là:
y 4t
/g
ng trình đ
om
Ph
ng tròn tâm J (*)
2
2
bo
ok
.c
7
5 5
Khi đó t (*), suy ra: JM JF JM 2 JF 2 3t 4t 50t 2 41t 8 0
4
4 8
w
w
ph
ng trình trung tr c d1 c a DC là : x y 2 0
ng trình trung tr c d 2 c a MC là: 3 x 4 y 1 0
w
Ta có ph
.fa
ce
1 32
8
M 25 ; 25
t 25
1 32
M ;
1
25 25
t 1
M ;2 F
2
2
Khi đó t a đ tâm I c a đ
ng tròn (T ) ngo i ti p tam giác ABC (hay ngo i ti p tam giác MBC )
x y 2 0
x 1
là nghi m c a h :
I 1;1
3 x 4 y 1 0
y 1
Do ABC vuông t i A , suy ra I là trung đi m c a BC , do đó B (1; 2)
ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và ngo i ti p tam giác AEF l n l
3
5
3
x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 và x 2 y 2 x y 0
2
2
2
Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h :
t có ph
ng trình:
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
x
x2 y2 2x 2 y 1 0
x 0
1 32
25
A
(0;1)
ho
c
A
ho
c
2
3
5
3
; M (lo i)
2
32
y
1
x
y
x
y
0
25 25
y
2
2
2
25
V y A(0;1), B (1; 2) .
Bài 5. Tìm m đ ph
ng trình sau có b n nghi m th c phân bi t: 3( x 1) .log 3 x 2 2 x 3 9
2
x m
.log 3 2 x m 2 .
Gi i
ng đ
ng: 3x
3x
2
.log 3 x 2 2 x 3 32 x m .log 3 2 x m 2
2 x 1
.log 3 x 2 2 x 3 32 x m 2.log 3 2 x m 2 (*)
2 x 3
Xét hàm đ c tr ng f (t ) 3t.log 3 t v i t 2
3t
0 v i t 2 f (t ) đ ng bi n v i t 2
t.ln 3
uO
nT
Khi đó (*) f ( x 2 2 x 3) f 2 x m 2 x 2 2 x 3 2 x m 2
hi
D
Ta có: f '(t ) 3t.ln 3.log3 t
01
ng trình t
ai
H
oc
Ph
2
x 2 2m 1 (1)
x 2x 1 2 x m 2
x 4 x 2m 1 0 (2)
1
+) Ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi 2m 1 0 m
2
3
+) Ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi ' 3 2m 0 m
2
+) G i x0 là nghi m chung c a (1) và (2) khi đó ta có:
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
2
bo
ok
.c
om
2
2
2
m 1
x0 2m 1
2m x0 1
2m x0 1
m 1
2
2
2
2
1
x
x
x
x
4
1
1
0
x
2(
1)
0
x0 4 x0 2m 1 0
0
0
0
0
0
ng trình (*) có b n nghi m th c phân bi t thì ph ng trình (1) và (2) đ u có hai nghi m phân bi t trong
1
m
2
3
3
m
đó (1) và (2) không có nghi m chung m
2
2
m 1
m 1
w
w
w
.fa
ce
V y đ ph
Bài 6. Cho a 1 , tìm t t c b ba s th c ( x, y, z ) sao cho y 1 th a mãn ph
log a2 ( xy ) log a x 3 y 3 xyz
2
ng trình :
8 4 z y2
0
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
xy 0
xy 0
xy 0
3 3
i u ki n x y xyz 0 xy ( x 2 y 2 z ) 0 x 2 y 2 z 0
2
2
2
4 z y 0
4 z y
4 z y
Do y 1 y 2 1 4 z y 2 1 z
1
1
1
, khi đó x 2 y 2 z x 2 y 2 2 x 2 y 2 . xy xy
4
4
4
x 3 y 3 xyz xy ( x 2 y 2 z ) ( xy ) 2
2
8 4z y2
8
4
log 2a ( xy ) log a xy log 2a ( xy ) 4 log a xy 4
2
2
01
Suy ra log a2 ( xy ) log a x 3 y 3 xyz
log a ( xy ) 2 0
ai
H
oc
2
iL
ie
uO
nT
hi
D
a 2
a 2
y2 1
x 1
x 1
z 1
4
2 ho c
2
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi
1
y
1
1
y
xy
2
1
1
z
log ( xy ) 2
z
a
4
4
x
.c
2 x4 y6 3 2x4 y6
x
2
y3
2
2
y3 x 2 y 3
2
2
2x
2
y 3 2 x 2 y3
2
2
bo
ok
Bi n đ i :
om
/g
ro
up
s/
Ta
Bài 7 (Nguy n Thanh Tùng). Tìm s nghi m th c c a h ph ng trình sau:
2 x 4 y 6 3 2 x 4 y 6 3 x 2 2 y 3 (1)
x y 2 8 x 2 y 2016
(2)
Gi i
2
i u ki n: x y 0
2x
2
y 3 x 2 y 3 2 x 2 y 3 3x 2 2 y 3 3 x 2 2 y 3
2
ce
D u “=” x y ra khi x2 y 3 , khi đó (1) x 2 y3
ng trình (2) có d ng: t 4 t 3 t 2016 0 (3)
w
.fa
t x t 3 y t 2 , khi đó ph
w
3
w
Xét hàm s
4
3
t t t 2016 khi t 0
f (t ) t t t 2016 4 3
t t t 2016 khi t 0
4
+) Khi t 0 , ta có: f '(t ) 4t 3 3t 2 1 0 (*)
t 0
+) Khi t 0 , ta có: f '(t ) 4t 3t 1 ; f ''(t ) 12t 6t . V i f ''(t ) 0 12t 6t 0
t 1
2
3
2
2
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ng trình f (t ) 0 có 2 nghi m trái d u
uO
nT
Vì ng v i m i giá tr t , cho ta duy nh t m t b ( x; y ) .
Do đó h ph ng trình đã cho có đúng 2 nghi m.
hi
D
T b ng bi n thiên, suy ra ph
ai
H
oc
01
Suy ra f '(t ) 0 , t 0 (2*) . T (*) và (2*) ta có b ng bi n thiên:
c m t 6 ch m” trong phép th “ giao đ ng th i 1 l n 4 con súc s c”.
bo
ok
Khi đó A1 là bi n c “ không đ
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
Bài 8. Khi ch i trò ch i con súc s c có hai cách ch i nh sau:
Cách 1: Gieo đ ng th i 1 l n 4 con súc s c, n u xu t hi n m t m t 6 ch m là th ng.
Cách 2: Gieo 24 l n 2 con súc s c, n u l n gieo nào c 2 con súc s c đ u xu t hi n 6 ch m thì th ng.
V y n u b n là ng i ch i b n s ch n cách nào ?
Nh n xét
Nhìn vào bài toán khó có th xác đ nh cách nào s th ng d h n. Do v y ta c n ngh đ n vi c so sánh xác su t đ
th ng theo cách 1 và cách 2.
Gi i
i v i cách 1:
G i A1 là bi n c “ đ c ít nh t m t m t 6 ch m” trong phép th “ giao đ ng th i 1 l n 4 con súc s c”.
4
ce
n( A1 ) 5.5.5.5 5
Suy ra xác su t : P A1
.
n(1 ) 6.6.6.6 6
4
w
w
w
.fa
5
V y xác su t đ th ng theo cách 1 là: P ( A1 ) 1 P A1 1 0, 517 .
6
i v i cách 2:
G i A2 là bi n c “ít nh t m t l n xu t hi n 2 m t 6 ch m” trong phép th “ gieo 24 l n đ ng 2 con súc s c”.
Khi đó A2 là bi n c “không l n nào xu t hi n 2 m t 6 ch m” trong phép th “ gieo 24 l n đ ng 2 con súc s c”.
Suy ra xác su t : P A2
24
n( A2 )
35.35...35
35
.
n(2 ) 36.36...36.36 36
24
35
V y xác su t đ th ng theo cách 2 là: P ( A2 ) 1 P A2 1 0, 491 .
36
Nh v y P ( A1 ) P( A2 ) . V y ta nên ch i theo cách 1.
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Bài 9 (Nguy n Thanh Tùng). Trong m t cu c thi v “b a n dinh d ng”cho các gia đình. Ban t ch c yêu c u đ
đ m b o l ng dinh d ng thì m i gia đình c n ít nh t 900 đ n v Protein và 400 đ n v Lipit trong th c n hàng
ngày. Bi t 1 kg th t bò ch a 800 đ n v Protein và 200 đ n v Lipit, còn 1 kg th t l n ch a 600 đ n v Protein và 400
đ n v Lipit. M i gia đình ch đ c mua t i đa 1,6 kg th t bò và 1,1 kg th t l n. Giá 1 kg th t bò là 100.000 VND và 1
kg th t l n giá 70.000 VND. K t thúc cu c thi đã có m t gia đình giành gi i nh t khi kh u ph n th c n cho m t ngày
đ m b o ch t dinh d ng và chi phí b ra là ít nh t có th . H i gia đình đó đã mua s kg th t bò, th t l n là bao nhiêu ?
Gi i
G i x, y l n l t là s kg th t bò và th t l n mà m t gia đình tham d cu c thi đã mua. Khi đó:
+) S đ n v Protein đã dùng là: 800 x 600 y (đ n v )
+) S đ n v Lipit đã dùng là: 200 x 400 y (đ n v )
ai
H
oc
01
800 x 600 y 900
8 x 6 y 9
200 x 400 y 400
x 2 y 2
(*)
Theo gi thi t thì
0 x 1, 6
0 x 1, 6
0 y 1,1
0 y 1,1
hi
D
Chi phí b ra đ mua nguyên li u là: T ( x; y ) 100000 x 70000 y (VN )
Ta
iL
ie
uO
nT
Lúc này ta c n tìm x, y th a mãn (*) đ T ( x; y ) đ t giá tr nh nh t.
Trong m t ph ng Oxy ta s bi u di n ph n m t ph ng ch a các đi m M ( x; y ) th a mãn đi u ki n (*)
y=1,1
up
A
1,1
s/
1,5
B
ro
1
x=1,6
/g
M
0,7
O
0,3
C
0,6
1
1,5 1,6
2
x+2y=2
8x+6y=9
w
.fa
ce
bo
ok
0,2
.c
om
D
w
w
Ta xét 4 đ nh c a mi n khép kín th a mãn đi u ki n (*) là :
A(0,3;1,1) , B (1, 6;1,1) , C (1, 6; 0, 2) và D (0, 6; 0, 7) .
Ta có T ( A) 107000 VN , T ( B ) 237000 VN ,
T (C ) 174000 VN và T ( D ) 109000 VN
Suy ra T đ t giá tr nh nh t b ng 107000 VN khi x 0,3 và y 1,1 .
V y gia đình giành gi i nh t đã mua 0,3 kg th t bò và 1,1 kg th t l n.
Bài 10. Gi i h ph
8 x 2 18 y 2 36 xy 5 6 xy 2 x 3 y (1)
ng trình
2
2
4 x 9 y 4 x 4 4 x 1 3 3 3 y (2)
( x, y )
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
1
x
i u ki n :
4
y 0
+) Ta có: (1) 2(4 x 2 12 xy 9 y 2 ) 5 6 xy 2 x 3 y 12 xy 0
2 2 x 3 y 5 6 xy 2 x 3 y 2
2
6 xy
2
0 (3)
2
01
a 2 x 3 y
2a b
t
, khi đó (3) có d ng: 2a 2 5ab 2b2 0 (2a b)(a 2b) 0
a 2b
b 6 xy
ai
H
oc
x 15 x
x 15 x
+) V i 2a b , suy ra 2(2 x 3 y ) 6 xy 6 y 6 xy
0 6y
0
4 4
2
4
2
1
x 15 x
0 . Suy ra ph
Do x 6 y
4
2
4
2
2 2x. 3 y
3y
hi
D
2x 3y
2
0
iL
2x 3y 2x 3y
c: 8 x 2 4 x 4 4 x 1 3 3 2 x (*)
Ta
Thay 3 y 2 x vào (2) ta đ
2
nT
2x
uO
ie
+) V i a 2b , suy ra 2 x 3 y 2 6 xy
ng trình vô nghi m.
1 4x 1
1 1 2 x 4 x 2 (2*)
2
T (*) và (2*) , suy ra: 8 x 2 4 x 4 4 x 2 4 x 2 4 x 1 0 (2 x 1) 2 0
ro
up
s/
Áp d ng AM – GM ta có: 4 x 1 3 3 2 x 1.(4 x 1) 3 3 1.1.2 x
1
1
y th a mãn đi u ki n.
2
3
x2 x 2
ng trình sau trên t p s th c:
1 x x 2
Gi i
.fa
Bài 11.Gi i b t ph
bo
ok
.c
1 1
ng trình có nghi m ( x; y ) ; .
2 3
ce
V y h ph
om
/g
2x 1 0 x
2
x2 x
1 x x 4
2
x2 1
w
w
w
2
1 17
x x20
i u ki n:
1 x
2
2
0 x x 4
Khi đó b t ph
Xét hàm s
ng trình t
f (t )
ng đ
ng:
x2 x 2
x2 x
1 4 ( x x 2) 1 4 ( x x )
2
2
x 2 1 (*)
t
v i t 0;4
1 4 t
1 4 t
t
Ta có f '(t )
2 4t
2 t
1
.
1 4 t
2
0 v i t 0;4 .
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Suy ra f (t ) đ ng bi n v i t 0; 4
Khi đó (*) có d ng: f ( x 2 x 2) f ( x 2 x ) x 2 1
Ta xét hai tr ng h p sau:
x 2 x 2 x 2 x f ( x 2 x 2) f ( x 2 x )
V i 1 x 1 2
x 1 0
2
2
f ( x x 2) f ( x x ) 0 (2*)
2
b t ph
x 1 0
V i 1 x
x 2 x 2 x 2 x f ( x 2 x 2) f ( x 2 x )
1 17
2
2
x 1 0
uO
nT
1 17
ng trình có nghi m S 1;
.
2
hi
D
2
2
f ( x x 2) f ( x x ) 0 (2*)
2
(2*) luôn đúng.
x 1 0
V y b t ph
01
ng trình (2*) vô nghi m.
ai
H
oc
(2*)
ie
iL
Ta
x, y .
up
s/
Bài 12 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
xy 1
y
2
y 1
.3 y 1 (1)
2
ng trình
x x 1
2
2
2
(8 x 4) 2(1 x ) y y (2)
Gi i
/g
om
x 1 x .3
x
1
y
1
y2 1 1 y
.3
y
x 2 1 x .3x (*)
bo
ok
1
y 2 1 1 3 y 0 và
x 2 1 x .3x 0 , suy ra y 0
ce
Do
y 1 1 y
2
.c
Bi n đ i (1)
2
ro
y (;0) 1;
i u ki n:
1 x 1
x 2 1 x .3 x (2*)
w
w
.fa
2
1
1
1
Khi đó (*) 1 .3 y
y
y
f (t )
w
Xét hàm s
t
t 2 1 t .3t v i t . Ta có f '(t )
1 .3t
2
t 1
3t
t 2 1 t .3t ln 3
1
t 2 1 t ln 3
t2 1
t2 1 t 2 t t t2 1 t 0
Mà
f '(t ) 0 , suy ra f (t ) đ ng bi n v i t .
1
1
ln 3
0
ln 3 1 2
t 1
t 2 1
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
1
1
Khi đó (2*) f f ( x) x y (3*)
y
x
y
2
1
1 1
Thay (3*) vào (2) ta đ c: 32 (2 x 2 1) 1 x 2 2 và x
x
x
2
1
32 x 2 (1 x 2 )(2 x 2 1)2 x 1 0 và x
2
1
x 1 . Do đó ta đ t x cos t v i t 0; , khi đó ph
Do y 0
2
4
ng trình có d ng: và
ai
H
oc
hi
D
iL
ie
uO
.
Ta
2
1
Khi đó h có 2 nghi m là: ( x; y ) (1;1), cos
;
9 cos 2
9
nT
8sin 2 2t.cos 2 2t cos t 1 0 2sin 2 4t cos t 1 0
k 2 t 0;
4
t 7
8t t k 2
t 0; 2
cos8t cos t
k
9
8t t k 2
t k 2
9
01
32 cos 2 t.(1 cos 2 t )(2 cos 2 t 1) 2 cos t 1 0
up
s/
y x 2 x 2 x x 2 2
(1)
ng trình:
x, y
2
2
2
2(
2)
(
3
3)
10
(2)
x
y
x
xy
y
x
y
Gi i
ro
Bài 13 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
om
/g
i u ki n: x 0; 2
.c
Cách 1: V i đi u ki n (2) 2 x 2 ( y 1) 3 x( y 1) 3( y 1) y 2 ( x 1) 5( x 1)
bo
ok
( y 1)(2 x 2 3 x 3) ( x 1)( y 2 5)
ce
.fa
w
Xét hàm s
2 x 2 3x 3
v i x 0; 2 ta có
f ( x)
x 1
y 2 5 2 x 2 3x 3
y 1
x 1
(*) .
min f ( x) 1
x0;2
m axxf(0;2x) 3
w
w
y2 5
(*)
1
3 1 y 2 (2*)
Do f ( x ) liên t c trên đo n 0;2 , suy ra 1 f ( x) 3
y 1
Cách 1.1 (Nguy n Thanh Tùng)
V i 0 x 2 , ta có : 0 2 x x 2 1 ( x 1)2 1 2 x x 2 2 x x 2 x x 2
(2*)
Khi đó t (1) y 2 2 x x 2 ( x x 2 ) 0 y 2 y 2 x 0
Cách 1.2 (Lê Anh Tu n)
(1) x y 2 2 x x 2 (1 2 x x 2 ) 0 x y 2
2 x x 2 ( x 1)2
1 2x x2
(3*)
0 (4*)
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
(4*)
V i x 0; 2 và (2*) x y 2 0
y 2; x 0
x0;2
Cách 1.3 (Nguy n Th Duy)
x 0;1
(2*) y 2 x 2 x 2 x x 2 0 2 x x 2 x x 2 3
(5*)
2
x( x 2 x 2 x 2) 0
x 0;1
Do x 3 2 x 2 2 x 2 x 2 ( x 2) 2( x 1) 0 v i x 0;1 nên (5*)
x 0 y 2.
x 0
Cách 2 (Châu Thanh H i)
01
(1) y 2 2 x x 2 1 1 ( x 1) 2 x 0 v i x 0;2 y 2
nT
y 3 x 1 2 x 2 y
ng trình
3 xy 2 2 x 2 y 2 1 0
Gi i
x 1 2 x 1
(1)
( x, y )
(2)
i u ki n: 1 x 2 (*)
Ta
iL
ie
Bài 14 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
hi
D
c nghi m c a h là ( x; y ) (0; 2) .
uO
Th l i ta đ
ai
H
oc
y 2
(6*)
(2) M 2(2 x x 2 )( y 1) x ( y 2 y 4) ( y 1)( y 2) 0 (6*)
M 0
x 0; y 2
x 0;2
1
2x 1
0 v i x 1; 2
v i x 1; 2 . Ta có f '( x )
3x 2
(3 x 2)2
ro
f ( x)
2x 1
3x 2
/g
Xét hàm s
up
s/
V i đi u ki n (*) ta có (2) y 2 (3 x 2) 2 x 1 y 2
om
f ( x ) ngh ch bi n trên 1; 2 f ( x) f (1) 1 hay y 2 1 1 y 1 (2*)
c: y 1 y 2 y 2 2 x y 1 x 1 (3)
bo
ok
.c
Cách 1 (Nguy n Th Duy) Bi n đ i (1) ta đ
y 1
y 1
x 1
(3*)
2
0
y 1 y y 2 2 x
y 1
T (2*) và (3*) suy ra: y 1 , khi đó x 1 th a mãn h .
.fa
ce
Do y 1 không là nghi m c a (3) nên (3)
w
V y nghi m c a h là ( x; y ) (1; 1) .
2 x y 2 y 2 0 (3)
w
w
Cách 2 (Nguy n Thanh Tùng) Ta có (1) (1 y ) x 1 ( y 1)
(1 y ) x 1 0
1 x 2
Theo (*) và (2*) ta có:
2
1 y 1 ( y 1) 2 x y y 2 0
Khi đó (3) (1 y ) x 1 ( y 1)
x 1
(th a mãn h )
2 x y2 y 2 0
y 1
V y h có nghi m ( x; y ) (1; 1) .
Cách 3 (V
c Tùng) Ta có (2) x (3 y 2 2) 2 y 2 1 x
2 y2 1
2
(3) v i y 2
2
3y 2
3
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
V i đi u ki n 1 x 2 1
2 y2 1
2 1 y 1
3 y2 2
2 y 2 1
2 y2 1
1 2 2
2
Thay (3) vào (1), ta có: y
3y2 2
3y 2
2 y2 1
2 y 2 1
1 2 2
1
y
3 y2 2
3 y 2
1 y2
4 y2 3
(
1)
y
0
3y2 2
3 y2 2
y 3 y 2 (1 y )
01
1 y
(4 y 2 3)( y 1)
2
y 1 y 1( y y 2) (1 y )
0
3 y2 2
3 y2 2
2
ie
uO
V y h có nghi m ( x; y ) (1; 1) .
c x 1 (th a mãn)
nT
y 1 0 y 1 (th a mãn). Thay y 1 vào (3) ta đ
Do đó
hi
D
1 y
(4 y 2 3)( y 1)
0 v i m i 1 y 1
3y2 2
3 y2 2
y 1( y 2 y 2) (1 y )
nên
ai
H
oc
1 7
Vì 1 y 1 nên 1 y 0 và ta có y 2 y 2 y 0 , y
2 4
iL
Ví d trên ta có th ch ra y 2 1 b ng cách phân tích: y 2
s/
Ta
Chú ý:
2x 1 2
1
2 1
1 v i x 1 .
3 x 2 3 3(3x 2) 3 3
( x, y )
.c
om
/g
ro
up
2(1 y 3 ) y 2 x 2 2 xy 3 y 8 (1)
Bài 15 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph ng trình
x 2 ( x 6) x(12 y 3 ) 8
(2)
Gi i
i u ki n : xy 0 (*) . Ta s ch ra h có nghi m y 0 b ng hai cách sau :
bo
ok
Cách 1: (Dùng ph ng pháp đánh giá)
(2) x 3 6( x 2 2 x 1) 2 xy 3 x3 6( x 1)2 2 xy 3 0 ( vì xy 3 y 2 xy 0 – theo (*))
ce
x 0 , k t h p v i (*) suy ra y 0 (3)
w
.fa
Khi đó : (1) 2 y 2 ( x 2 2 xy 2 y )
w
w
3
y 8 2 y2
y 8 2 y2
3
x 2 y
2
x
2
2 ( x ).( 2 y )
2
2 y
3
y8
2 y 8 8 y 0 (4). T (3) và (4) suy ra: y 0
Cách 2: (Dùng k thu t nhân liên h p và đánh giá bi u th c không âm)
(1) xy 2 2 y 2 2 xy 2 y 3
y
xy 2 y
3
y 8 2 0 y xy 2 y 2 xy 2 y 2
0 y 0 ( vì
2
y 8 1 3
1
2
3
3
( y 8)2 2 3 y 8 4
1
2
xy 2 y
y
3
2
y 8 1 3
0
0 , xy 0 )
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2 2
Khi đó h có d ng: 2
x 3 6 x 2 12 x 8 0 2 x 3 x3 6 x 2 12 x 8
x ( x 6) 12 x 8
3
2x
3
( x 2)3 3 2 x x 2 x
Bài 16 (Nguy n Thanh Tùng). Gi i h ph
c 1: Ta s khai thác ph
x2 5 x
ng trình
7 x 2 2 5
Gi i
y 2 5 y 5 (1)
y4 4 2 y
ng trình (1) đ chi ra y x b ng hai cách sau :
5
Cách 1: (1) x2 5 x
y 5 y
2
( x, y )
x2 5 x y2 5 y
(2)
hi
D
B
2
2
. V y nghi m c a h là: ( x; y) 3 ;0
3
1 2
1 2
01
ai
H
oc
t
t2 5
1
t t2 5
t2 5
t2 5
0 , t
(3)
Ta
Khi đó (*) f ( x) f ( y ) x y hay y x
t t
iL
suy ra f (t ) đ ng bi n và liên t c trên .
uO
f (t ) t 2 5 t f '(t )
ie
Xét hàm s
nT
x 2 5 x ( y ) 2 5 ( y ) (*)
up
ro
bo
ok
.c
om
/g
s/
5 y2 5 y
5
x2 5 x
2
2
2
y 2 5 y2
y
5
y
x 5 x y 5 y (a)
Cách 2: (1)
2
y 2 5 y x 2 5 x (b)
5
x
5
x
5
y2 5 y
2
x2 5 x2
x 5 x
C ng v v i v ( a) và (b) ta đ c: 2( x y ) 0 y x (3)
B
c: 7 x 2 2 5
x 4 4 2 x 7 x 2 10 x 14 5 x 4 4 0 (2*)
ce
c 2: Thay (3) vào (2) ta đ
w
.fa
4
4
2
2
2
2
2
2
2
x 4 x 4 x 4 4 x ( x 2) (2 x) ( x 2 x 2)( x 2 x 2)
Cách 1: Ta có: 2
2
2
7 x 10 x 14 ( x 2 x 2) 6( x 2 x 2)
w
w
Nên (2*) ( x 2 2 x 2) 6( x 2 2 x 2) 5 ( x 2 2 x 2)( x 2 2 x 2) 0
+)
2
a x 2 x 2
t
b x 2 2 x 2
a, b 0
ph
ng trình có d ng:
a 2 6b 2 5ab 0 ( a 2b)( a 3b) 0 a 2b ho c a 3b
+) V i a 3b a 2 9b 2 : x 2 2 x 2 9( x 2 2 x 2) 8 x 2 20 x 16 0 (vô nghi m).
+) V i a 2b a 2 4b 2 : x 2 2 x 2 4( x 2 2 x 2) 3x 2 10 x 6 0 x
5 7
3
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5 7 5 7 5 7 5 7
c nghi m c a h là: ( x; y )
;
;
,
3
3
3
3
Thay vào (3) ta đ
Cách 2: (S d ng k thu t nhân liên h p)
3x 10 x 6 4 x 8 5
3x 10 x 6 4 x 8 5
3x 10 x 6 4 x 8 5
3 x 10 x 6 4 x 8 5
x 4 4 x 8 5 x 4 4 x 8 5 x 4 0
x 4 9 x 64 x 36 0
x 4 3 x 6 (10 x) 0
x 4 (3 x 10 x 6)(3 x 10 x 6) 0
(3*) 3x 2 10 x 6 4 x 2 8 5 x 4 4 0
2
2
2
2
4
4
4
4
4
2
2
2
4
2
01
2
2
2
2
ai
H
oc
2
4
2
3x 2 10 x 6 4 x 2 8 5 x 4 4 (3x 2 10 x 6) 0
hi
D
2
nT
2
Ta
s/
5 7 5 7 5 7 5 7
c nghi m c a h là: ( x; y )
;
;
,
3
3
3
3
/g
ro
Thay vào (3) ta đ
iL
5 7
.
3
up
+) Ta có (4*) x
c: 8 x 2 20 x 16 0 (vô nghi m)
ie
+) C ng (5*) v i (2*) ta đ
uO
3 x 2 10 x 6 0 (4*) ho c x 2 10 x 2 5 x 4 4 0 (5*)
om
Câu 17 (Nguy n Thanh Tùng). Cho a, b, c là các s th c th a mãn 0 a b 1 c và 2b 2 c 2 4(2a b c) 18 .
13
.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P ab 2 bc 2 ca 2
2a 5b 6 b 3 4bc
bo
ok
.c
Gi i
Ta có 2b c 4(2a b c) 18 2(b 2b 1) (c 2 4c 4) 8( a b c) 6 18
2
.fa
ce
2
2
24 2(b 1) 2 (c 2) 2 8( a b c ) 8( a b c )
w
w
w
Suy ra a b c 3
Do 0 a b c , nên ta có ab 2 bc 2 ca 2 ab 2 bc 2 ca 2 a (a b)(b c) abc b(a c )2
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz
( x y z )3
, ta đ
27
c:
ac ac
b
4
ac ac
2
2
2
b(a c) 4.b.
.
4.
( a b c )3 4
2
2
27
27
2
2
2
Khi đó ab bc ca 4 (*)
3
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 2 xy x y và 3 3 xyz x y z , ta đ
c:
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2a 5b 6
b 3 4bc 2a 5b 3.2 b.1 2.3 3 2b.c.2
2a 5b 3(b 1) 2(2b c 2) 2( a b c ) 7 2.3 7 13
Suy ra 2a 5b 6
b 3 4bc 13
M t khác 0 b 1 , khi đó: ta có: 5b 6 b b 6 5 b 0 2a 5b 6
V y 0 2a 5b 6
b 3 4bc 13
b 3 4bc 0
(2*)
13
3
13
V i a 0; b 1; c 2 th a mãn đi u ki n đ bài và P 3 . V y giá tr l n nh t c a P b ng 3.
ai
H
oc
01
T (*) và (2*), suy ra P 4
nT
Ta
Ta vi t l i (*) thành: 5 x 2 2 x. yz (4 y 2 3z 2 60) 0 (2*)
ie
uO
x, y , z 0
2
2
2
5 x 2 xyz 4 y 3 z 60 (*)
iL
x a
t y 2b , khi đó
z 3c
hi
D
Câu 18 (Nguy n Thanh Tùng). Cho a, b, c là các s th c d ng th a mãn 5a 2 12abc 16b 2 27c 2 60 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c T a 2b 3c .
Gi i
up
s/
Lúc này quan ni m (2*) là ph ng trình b c hai v i n x , khi đó:
' y 2 z 2 5(4 y 2 3 z 2 60) ( y 2 15)( z 2 20) (15 y 2 )(20 z 2 )
om
/g
ro
2
2
4 y 60 15 y 0
M t khác v i đi u ki n (*) ta có: 2
2
3 z 60
20 z 0
yz (15 y 2 )(20 z 2 )
yz (15 y 2 )(20 z 2 )
. Do x 0 x
5
5
2
2
Khi đó áp d ng b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) v i hai s d ng 15 y ; 20 z ta đ c:
(15 y 2 ) (20 z 2 )
yz
2
2
yz (15 y )(20 z )
35 ( y z ) 2
2
x
5
5
10
2
60 ( y z ) 10( y z ) 25 60 ( y z 5) 2 60
35 ( y z ) 2
Suy ra T x y z
yz
6
10
10
10
10
V i a b c 1 th a mãn đi u ki n bài toán và T 6 . V y giá tr l n nh t c a T là 6 .
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
Suy ra x
Câu 19 (Nguy n Thanh Tùng). Cho x, y, z là các s th c không âm, th a mãn y 2 z 2 0 .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: T
2 x 5 2 x 13 y z
18 x y 8
yz
4
Gi i
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2 x5
yz
+) V i x 0 , bi n đ i và áp d ng AM – GM ta có:
2 x5
4 x3
(2) . T (1) và (2), suy ra :
y z 2x y z
V i x 0 thì
+) Khi đó T
2 x5
4 x3
v i x 0 .
y z 2x y z
4 x3
4 x3
2 x 13 y z
2x y z
18 x y 8
1 3 y 18 x y 8 1
2x y z
4
4
2x y z
4 x3
2x y z
.
.1 3 y 18 x y 8 1 3( x y) 18 x y 8 1 3
2x y z
4
2
x y 8 3 52 52
01
33
2 x3
4 x3
(1)
2 x( y z ) 2 x y z
ai
H
oc
+) Khi x 1; y 0; z 2 thì T 52 . V y giá tr nh nh t c a T là 52 .
Chú ý: Vì đi u ki n bài toán cho x, y, z là các s th c không âm, nên n u các b n bi n đ i và đánh giá luôn:
2 x3
4 x3
s b tr đi m (lí do bi n đ i trên không chính xác n u x 0 ).
2 x( y z ) 2 x y z
nT
hi
D
2 x5
yz
c bi n đ i trung gian trên, các b n có th tham kh o cách trình
ie
uO
Vì v y đ “tránh” x 0 không đúng cho b
bày ph n l i gi i.
iL
Câu 20 (Nguy n Thanh Tùng). Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x y 0 và x 2 y 2 z 2 2 .
Ta
1
x y
12 3 xz 4 y 5 xy
.
4( x y ) ( x y z ) 2
4
Gi i
1
x y
1
Ta s ch ng minh
theo 2 cách sau:
2
4( x y ) ( x y z )
x yz
1
z
z
1
z
0
Cách 1: V i z 0 ta có:
; V i z 0 ta có:
2
4( x y ) 4 z ( x y ) ( x y z )
4( x y ) ( x y z ) 2
1
z
v i z 0 .
Suy ra
4( x y ) ( x y z )2
1
x y
z
x y
1
.
Khi đó
2
2
2
4( x y ) ( x y z )
( x y z) ( x y z)
x yz
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P
ng
w
w
w
Cách 2: Áp d ng AM – GM cho hai s d
1
x y
,
ta đ
4( x y ) ( x y z )2
c:
1
x y
1
x y
1
(1)
2
.
2
2
4( x y ) ( x y z )
4( x y ) ( x y z )
x yz
Áp d ng AM – GM ta có: 12 3 xz 4.3 3 xz 4( x z 1) (2)
( x y z )2
( x y z )2
M t khác, ta có 2 xy 2 2 xy x y z ( x y ) z
xy
1 (3)
2
4
2
2
2
2
2
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: THANH TÙNG
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
T (1), (2), (3) suy ra: P
1
5 ( x y z ) 2 5t 2 1
9
( x z 1) y
1
t f (t )
x y z
4
4
4
16 t
( x y z)2 t 2
0t 6
V i t x y z 0 . Ta có 2 x y z
3
3
2
5t 1
9
Lúc này ta đi tìm GTNN c a f (t )
t v i 0 t 6 b ng 2 cách:
16 t
4
Cách 1: (Áp d ng b t đ ng th c AM – GM và s d ng h ng đ ng th c)
2
2
2
5
1 t 7
1 t 7
5
2
t 2 0 2 .
t 4 2
t 4 2
16
2
Cách 2: (Dùng công c hàm s )
ai
H
oc
5t 1
5t 3 8t 2 8 (t 2)(5t 2 2t 4)
2 1
; f '(t ) 0 t 2
8 t
8t 2
8t 2
s/
N CÁC B N Ã
C TÀI LI U !
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
C M
5
khi ( x, y, z ) (1;0;1) .
2
ro
V y giá tr nh nh t c a P là:
5
. D u “=” x y ra khi t 2 , suy ra x z 1 và y 0
2
up
T b ng bi n thiên, suy ra P f (t )
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
Ta có f '(t )
01
Ta có f (t )
GV: Nguy n Thanh Tùng
Tham gia khóa h c các môn trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
