Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN

PH C VÀ NG
NG VÀO GI I TO N
PHỔ THƠNG TRUNG HỌC

Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số
: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC Ĩ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển
Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13
tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Tốn
học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc
đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của
khoa học và kỹ thuật. Số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân mơn
Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích.
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức
được đưa vào chương trình Tốn học phổ thông và được giảng dạy ở
cuối lớp 12. Tuy nhiên, đối với HS bậc PTTH thì số phức là một nội
dung cịn mới mẻ. Với thời lượng khơng nhiều, HS mới chỉ biết được
những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Vì vậy, việc khai thác các
ứng dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài tốn cịn
rất hạn chế.
Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức,
tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài tốn trong
chương trình tốn bậc PTTH nhằm đưa số phức trở thành cơng cụ giải
tốn và được sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn
đề tài “Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học” làm
đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức.
- Ứng dụng vào việc giải một số bài tốn của chương trình
PTTH, từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong

Tốn học nói chung và trong giải tốn nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số
phức như một cơng cụ để giải tốn, phân loại các dạng bài tốn có thể


2
sử dụng số phức để giải được và đưa ra phương pháp giải cho từng
dạng cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức, các dạng biểu diễn
của số phức, một số bài tốn của chương trình PTTH có thể sử dụng
số phức để giải được.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là ứng dụng của số phức trong
việc giải một số bài tốn của chương trình phổ thơng trung học.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả
nghiên cứu liên quan đến số phức và các ứng dụng của nó.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Nâng cao kiến thức, kĩ năng sử dụng công cụ số phức nhằm
đưa ra cách giải hiệu quả cho một số dạng tốn thường gặp ở trường
PTTH. Góp phần phát huy tính tư duy và tự học của học sinh.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày khái niệm, các phép toán trên tập số phức,
các dạng biểu diễn của số phức.
Chương 2 trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số bài
tốn trong hình học, lượng giác, đại số ở chương trình phổ thơng trung
học.

3
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên
quan về số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, các phép toán
trên tập hợp số phức, các dạng biểu diễn của số phức… Các kiến thức
trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu [1], [4], [6],
[9].
1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục
hưng của tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Biểu thức dạng

a + b -1, b ¹ 0 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai,
bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được
Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là

a + ib , trong đó kí

hiệu i = -1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

£ được

·

Trường

·

Mọi phần tử của

phức.

xây dựng như trên được gọi là trường số

£ được gọi là số phức.

Vậy "z Ỵ£ , ta có
z = ( a , b ) = a .(1, 0) + b.(0,1) = a + ib , " a , b Ỵ ¡ .

·

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó:
a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez.
b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz.
·

Số phức liên hợp


4
Cho z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ , khi đó

z = a - ib Ỵ £

là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là

được gọi

z.

1.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC
1.3.1. Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 là số
phức z = ( a 1 + a 2 ) + i ( b1 + b 2 ) và được kí hiệu là z = z1 + z2 .
1.3.2. Phép trừ
Phép cộng trên có phép tốn ngược, nghĩa là với hai số phức
z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 ta có thể tìm được số phức z sao cho

z 2 + z = z 1 . Số phức này gọi là hiệu của hai số phức z 1 và z 2 , kí

hiệu

là

z = z1 - z 2 ,

rõ

ràng

từ

định

nghĩa

ta

có

z = ( a 1 - a 2 ) + i ( b1 - b 2 ) .

1.3.3. Phép nhân
Ta gọi tích của hai số phức z 1 = a 1 + ib1 ; z 2 = a 2 + ib 2 là
số phức z xác định bởi z = (a1a2 - b1b2 ) + i(a1b2 + b1a2 ). Và kí hiệu là

z = z1 z2 .
1.3.4. Phép chia
Giả sử

z2 ¹ 0 .

z = a + ib sao cho

Khi đó ta có thể tìm được một số phức

z 2 . z = z 1 . Theo định nghĩa của phép nhân ta

có hệ phương trình sau : ì a 2 a - b 2 b = a 1 .
í
ỵ b 2 a + a 2 b = b1
Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z1 và z2 .

ì a 2 a - b2 b = a1 Kí hiệu z = z1
z2
ỵ b2 a + a 2 b = b1

Giải hệ í

.


5

1.3.5. Lũy thừa bậc n của số phức
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức
z. Kí hiệu

zn .

1.3.6. Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w, số phức z = a + bi thoả z 2 = w được gọi là căn
bậc hai của w.
1.3.7. Căn bậc n
Số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu w
hiệu w = n z .

n

= z . Kí

1.3.8. Định lý
i.

z = z , "z Ỵ ¡ Ì £.

ii.

z = z , "z Ỵ £.

iii.

z1 + z2 = z1 + z2 .

iv.

z.z = a 2 + b 2 ³ 0 (" z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ ).

v.

z1 z2 = z1 z2 . Suy ra: l z = l z , "l Ỵ Ă, "z ẻ Ê.

vi.

ổ z1 ử z1
ỗ ữ= .
ố z 2 ø z2

vii.

z + z = 2Re z = 2a; z - z = 2i Im z = 2ib (" z = a + ib , "a, b Ỵ ¡ ).

1.3.9. Mơ tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn
ngữ số phức
Cho trước hai điểm M(m), N(n). Khi đó, độ dài đoạn

MN = n - m = d ( m;n ) . Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng
AB. Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k Ỵ ¡\ {1} khi và


6

uuur

uuur

chỉ khi MA = k MB , a - m = k.( b - m ) trong đó a, b và m là tọa vị
các điểm A, B và M theo thứ tự đó.
Từ đó, nếu kí hiệu [ AB ] là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu
(AB) là chỉ đường thẳng AB, kí hiệu [ AB ) là chỉ tia AB, ta có các kết
quả sau
Cho trước hai điểm A ( a ) ,B ( b ) phân biệt và điểm

M ( m ) . Khi đó
M Ỵ [ AB ] Û $t ³ 0 : z - m = t.( b - m ) Û $t Ỵ [ 0;1] : m = (1 - t ) a + tb (1)

M Ỵ ( AB ) Û $t Ỵ ¡ : m - a = t.( b - a ) Û $t Ỵ ¡ : m = (1 - t ) a + tb
a. Góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) và a k = arg zk ,k = 1, 2 . Khi đó:
uuuur uuuur

uur uuuur

uur uuuur

2

1

( OM ,OM ) º ( Ox,OM ) - ( Ox,OM ) ( mod 2p )
1

2

hay góc định hướng tạo bởi tia OM 1 với tia OM 2 bằng arg z2 .
z1

b. Tích vơ hướng của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) .
Khi đó

uuuur uuuur
·
OM 1 .OM 2 = OM 1 .OM 2 .cosM
1OM 2

d. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

( 2)


7

M ( z0 ) đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm

D : a .z + a .z + b = 0 bằng d ( M , D ) =

a .z0 + a .z0 + b
2 a .a

e. Đường tròn
Đường tròn tâm M 0 ( z0 ) bán kính R là tập hợp những
điểm

M(z)

sao

cho

M 0 M = R hay z - z0 = R

tức

là

z z - z0 z - z0 z + z0 z0 - R 2 = 0 .
Từ

đó

mọi

đường

trịn

đều

có

phương

trình

dạng

z z + a z + a z + b = 0 , trong đó

a Ỵ £ , b Ỵ ¡ . Đường trịn này có tâm với tọa vị -a , bán kính
R = aa - b .
f. Mơ tả các phép biến hình phẳng bằng ngơn ngữ số phức
Phép dời hình.
Phép tịnh tiến. Biểu thức của phép tịnh tiến là

z' = f ( z ) = z + v
Phép

quay.

Biểu

thức

của

phép

quay

là

z' - z0 = ei .a ( z - z0 )
Phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng l là

phép biến hình biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho l là
trung trực của MM'. Từ đó


8
Phép đối xứng qua trục thực: z' = f ( z ) = z
Phép đối xứng qua trục ảo: z' = f ( z ) = - z
Phép vị tự tâm C ( z0 ) , tỷ số r Ỵ ¡ là phép biến hình
*

uuuur

uuur

biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') mà CM ' = r.CM . Do đó, có
biểu thức

z' = r.( z - z0 ) + z0 .
g. Điều kiện thẳng hàng, vng góc và cùng nằm trên một đường
tròn
Định lý 3. Ba điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) ,M 3 ( z3 ) thẳng hàng khi và
chỉ khi

ỉz -z ư
z3 - z1
Ỵ Ă * hay Im ỗ 3 1 ữ = 0 .
z2 - z1
è z2 - z1 ø
Định lý 4. Bốn điểm M k ( zk ) ,k = 1, 2 ,3, 4 cùng nằm trên một
đường thẳng hay đường tròn khi và chỉ khi

z3 - z2 z3 - z4
:
Ỵ¡
z1 - z2 z1 - z4

h. Tích ngồi của hai số phức
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) .
uuuur uuuur uuuur uuuur
·
OM 1 ´ OM 2 = OM 1 . OM 1 .sin M
1OM 2

1.4. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
1.4.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp số thực

9
Mỗi số phức a + bi hoàn toàn được xác định "a; bỴ
các thành phần của chúng.

£ gọi là

Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a; b), ¡ ,
bỴ ¡ được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ
bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa
(tiên đề) sau đây:
i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức:

( a ; b ) = ( c; d ) Û

{

a =c

.

b = d

ii) Phép cộng trong tập số phức: (a; b) + (c; d) := (a +c; b +d) và
cặp (a + c; b + d) được gọi là tổng của các cặp (a; b) và (c; d) .
iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b) (c; d) := (ac -bd; ad +bc)
và cặp (ac - bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d).
iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số
thực a, nghĩa là: (a; 0) : = a hay là (a; 0) º a.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là

£.

1.4.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số
Mọi số phức (a; b) Ỵ

£

đều được biểu diễn dưới dạng: (a; b)

= (a; 0)+ (b; 0) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi , trong đó cặp (0; 1) được
ký hiệu bởi chữ i.
Từ tiên đề iii) ta có: i2 = (0;1)(0;1) = (0.0 -1.1; 0.1+1.0) = (-1;
0) = -1.
Biểu thức (a; b) = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức.
1.4.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a; b). Mỗi số phức z = a
+ bi có thể đặt tương ứng với điểm M(a; b) và ngược lại, mỗi điểm
M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức z = a + bi.


10
Nhờ phép tương ứng: M(a; b)

a a + bi, ta có thể xem các số

phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu
tại gốc tọa độ O(0; 0) và điểm mút tại M(a; b).
1.4.4. Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận
Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường s
thc

ỡổ a b ử
ỹ
M := ớỗ
a; b ẻ Ă ý
ữ
ợố -b a ứ
ỵ
sao cho trờn ú cỏc phộp toỏn cng và nhân được thực hiện theo các
quy tắc thông thường của đại số ma trận.
Khi đó mỗi số phức z = a + bi được đặt tương ứng với ma trn:
ổ a
ỗ
ố -b

b ử
ữ
a ứ

ú l ỏnh x n tr một - một. Qua ánh xạ này tồn bộ trường

ỉ a bö
số phức được ánh xạ lên tập hợp M cỏc ma trn dng ỗ
ữ.
ố -b a ứ
1.4.5. Biu din số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ
a. Dạng lượng giác của số phức
Vì mỗi điểm có tọa độ (a, b) trong mặt phẳng tương ứng với
một véc tơ có bán kính véc tơ r = a2 + b2 và góc cực tương ứng

j.

Do đó mỗi số phức z có thể biểu diễn dưới dạng z = r (cosj + isin j ) .
Đây là dạng lượng giác của số phức, trong đó r,

j

lần lượt là bán

kính cực và góc cực của số phức z. Bán kính r gọi là modun của số
phức z, kí hiệu r = z . Góc cực j gọi là argument của số phức z, kí
hiệu là j = Argz .


11

b. Dạng mũ của số phức
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt cosj ± i sin j = e

± ij

ij

và dạng lượng giác được biến đổi thành dạng số mũ z = re của số
phức

z ¹ 0.
Dễ dàng chứng minh rằng nếu z1 = r1 e ij1 ; z 2 = r2 e ij 2 thì:

z1 z 2 = r1r2 e

i (j1 +j 2 )

z1 r1 i (j1 -j 2 )
= e
; r2 ¹ 0.
z 2 r2

;

Phép nâng số phức z = a + ib = r ( c os j + i sin j ) lên lũy thừa
bậc n của số phức được thực hiện theo công thức Moivre:

z n = r n e i nj ; w

k

=

n

z =

n

re

i

j + 2 kp

n

; k = 0 ;1; ...; n - 1

Cơng thức Moivre
Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác

z = r (cosj + isin j ) , theo cơng thức ở trên ta có

z n = [r (cosj + isin j )]n = r n (cosnj + isin nj ), "n Ỵ N .
Cơng thức trên được gọi là công thức Moivre.
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số

w = n r (cos
thì ta được

j + 2kp
j + 2 kp
+ i sin
), ( k Î Z ),
n
n

z.


12

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG

TRUNG HỌC
Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng của số phức
vào giải một số dạng bài tốn trong hình học, lượng giác và đại số.
Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu
[2], [3], [5], [6], [7, [8], [9], [10].

2.1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC
2.1.1. Các bài tốn về chứng minh tính chất hình học
và tính tốn
Bài tốn 1. Trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy cho tam
giác ABC, với các đỉnh A(1; 0), B(0; 3) và C(-3; -5).

uur

1)

ur

Xác

uur

định

r

điểm

I

thỏa

mãn

điều

kiện:

2IA - 3IB + 2IC = 0 .
2) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC và điểm D sao
cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Nhận xét: Vì có thể đồng nhất mỗi số phức với một điểm
trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên từ giả thiết của bài tốn ta có thể xác
định được tọa độ của các điểm I hay G thông qua thông qua việc biểu
diễn điểm và vectơ theo tọa độ phức. Vì vậy bài tốn có thể giải được
bằng số phức.


13
Học sinh vẫn thường làm bằng phương pháp tọa độ, xuất phát
từ việc gọi tọa độ của điểm và áp dụng biểu thức vectơ đã cho. Từ đó
tính được tọa độ của I nhờ tính chất của hai vectơ bằng nhau. Như
vậy, nếu sử dụng số phức để giải bài tốn này thì có một thuận lợi nổi
bật đó là mỗi điểm chỉ có một tọa độ phức, cịn theo cách cũ ta phải
xác định được hai tọa độ.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm E và F
uur
uuur uur
uuur
sao cho EB = k EC , FB = 1 FC ( k ¹ 1) .

k
1) Tính

uuur uuur uuur
uur uuur
AE, AF , EF theo AB, AC.

2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm.
3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho

uuur uur uuur r
uuur
uuur uur
uur
DA = k DB, IC = k IA. Chứng minh AE + BI + CD = 0 .

Bài toán 3. (Bất đẳng thức Ptolemy). Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ta ln có AB.CD + AD.BC ³ AC.BD. Dấu
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ tự là đỉnh của một
tứ một tứ giác lồi nội tiếp một đường trịn.
Bài tốn 4. (Bài tốn Napoleon). Lấy các cạnh của BC, CA,
AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với
tâm tương ứng A0 ,B0 ,C0 . Chứng minh rằng :

A0 ,B0 ,C0 là đỉnh

của một tam giác đều.
Bài tốn 5. (IMO 1977). Cho hình vng ABCD. Dựng về
phía trong hình vng các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN.

14
Chứng minh rằng các trung điểm các đoạn thẳng KL, LM, MN,
NK, BK, BL, CL, DM, DN, NA là đỉnh của một thập nhị giác đều.
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giải được bằng phương
pháp tọa độ, hay phương pháp tổng hợp, tuy nhiên lời giải khá dài.
Bằng công cụ số phức để giải bài toán này đã làm giảm đi đáng kể các
động tác biến đổi phức tạp trên các vec tơ.
2.1.2.

Các bài tốn về tính chất thẳng hàng, đồng quy.

Số phức cũng tỏ ra hiệu quả trong các bài toán về thẳng hàng,
đồng quy.
Bài toán 6. Cho ABCD và BNMK là hai hình vng khơng
giao nhau, E là trung điểm của AN. Gọi F là chân đường vng góc hạ
từ B xuống đường thẳng CK. Chứng minh rằng các điểm E, F, B thẳng
hàng.
Bài toán 7. ( Định lí con nhím). Trong mặt phẳng cho đa giác
đơn A0 A1 ...An -1 .
Xét các véc-tơ

uur

, uj

ur uur uur
uur uuuuur
uur uuuuur
u1 ,u2 ,...,un mà u j ^ Aj -1 A j ( coi An º A0 ) , u j = Aj -1 Aj

hướng ra ngoài miền đa giác đơn. Chứng minh rằng

ur uur
uur
u1 + u2 ,... + un = 0 .

Bài toán 8. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta
lần lượt dựng các tam giác đồng dạng có cùng hướng là ADB, BEC,
CFA. Chứng minh rằng các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Bài tốn 9. (Đường trịn Euler và đường thẳng Euler).


15
Cho tam giác A1 A2 A3 có tâm đường trịn ngoại tiếp là O, trực
tâm H, trọng tâm G. Gọi B1 ,B2 ,B3 lần lượt là trung điểm các cạnh

A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 ; P1 ,P2 ,P3 là chân đường cao hạ từ hạ từ
A1 , A2 , A3 xuống các đỉnh tương ứng; C1 ,C2 ,C3 là trung điểm của
đoạn thẳng nối từ đỉnh A1 , A2 , A3 với trực tâm của tam giác. Chứng
minh rằng
a) H, O, G thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này gọi
là đường thẳng Euler.
b) Chín điểm B1 ,B2 ,B3 , P1 ,P2 ,P3 , C1 ,C2 ,C3 thuộc một
đường tròn, gọi là đường tròn Euler.
2.1.3 Các bài tốn về quan hệ song song, vng góc
Bài tốn 10. (Đề vơ địch Anh 1983). Cho tam giác ABC cân
đỉnh A, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D là trung
điểm của AB và J là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng

IJ ^ CD .
Bài toán 11. ( IMO 17, 1975).
Về phía ngồi của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam giác
ABR, BCP, CAQ sao cho:

Chứng minh rằng:

= 90, RQ = RP.

Bài toán 12. Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm C, dựng hình vng ABDE. Trong nửa mặt phẳng bờ


16
BC chứa điểm A, dựng hình vng BCFG. Chứng minh rằng
GA ^ CD.
Nhận xét: Để ý đến biểu thức tọa độ của các phép biến hình,
ta thấy phép tịnh tiến tương ứng phép cộng số phức, phép quay tương
ứng với phép nhân số phức có mođun bằng 1, phép vị tự là phép nhân
với số thực, phép vị tự quay là phép nhân với số phức bất kì.
2.1.4 Các bài tốn về đại lượng hình học
Bài tốn 13. Cho ba hình vng được biểu diễn như hình vẽ
dưới đây.
Hãy so sánh tổng a + b và

g

.

Bài toán 14. Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm

M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:
MA2 + MB2 +MC2 = GA2+GB2+GC2+3MG2.
2.1.5 Các bài toán về xác định tập hợp điểm.
Bài tốn 15. Cho hình bình hành ABCD.
1) Chứng minh rằng: ( MA + MC ) - ( MB + MD ) là
2

2

2

2

hằng số, khơng bị phụ thuộc vị trí điểm M.
2) Tìm

tập

hợp

điểm

M

sao

cho

MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = k 2 (k là số thực).
Nhận xét: Nhận thấy rằng trong các biểu thức trên có chứa bình

phương độ dài của các đoạn thẳng. Các đại lượng đó cũng chính là
bình phương mơđun của các số phức tương ứng. Từ đó áp dụng các
kiến thức về số phức ta dễ dàng suy ra yêu cầu của bài toán.


17
Bài tốn 16. Cho tam giác ABC, trong đó các đỉnh B, C cố
định, đỉnh A thay đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm M, N của các cạnh
tương ứng AB, AC và trọng tâm G của tam giác ABC trong các
trường hợp:
a) Độ dài đường cao AA' không đổi.
b) Chân A' của đường cao AA' cố định.
c) Độ dài đường cao AA' khơng đổi.
Bài tốn 17. Cho đường trịn (C) đường kính AB = 2R, điểm
M chuyển động trên (C), A' là điểm đối xứng của A qua M. Tìm tập
hợp điểm A' và trọng tâm G của tam giác A'AB.
Bài tốn 18. Cho nửa đường trịn có đường kính AB = 2R cố
định. Điểm C chuyển động trên nửa đường trịn. Về phía ngồi tam
giác ABC dựng tam giác ACD vng cân ở A. Tìm tập hợp điểm D.
Bài tốn 19. Cho đường trịn (C) tâm O, bán kính R, BC là
dây cung cố định khơng phải là đường kính của đường trịn (C), điểm
A chuyển động trên cung lớn BC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam
giác ABC.
2.2. ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC
2.2.1. Các bài toán về tính tốn
Bài tốn 20. Hạ bậc

f ( x) = cos 4 x .

Yêu cầu của bài toán là biến đổi các lũy thừa bậc cao của cosx

hay sinx như:

cos n x , sin n x

và

cos p x.sin p x thành tổng chứa


18
các số hạng bậc nhất đối với cos a x hay

sin b x . Như vậy bài tốn

có thể sử dụng cơng thức Euler để giải quyết, tức là có thể giải được
bằng số phức.
Nhận xét: Cần chú ý rằng nếu hạ bậc thành thạo và biết kết
hợp với công thức Moivre chúng ta có phương pháp giải quyết các
phương trình lượng giác bậc cao hoặc phương trình lượng giác có
chứa biểu thức của sin và cosin của cung bội rất hiệu quả.
Bài toán 21. Chứng minh rằng cos

p 1+ 5
=
.
5
4

Bài toán 22.

S1 = sin a + sin 2a + ... + sin na
S2 = cos a + cos2a + ... + cos na.
2.2.2. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, cơng thức
lượng giác
Bài tốn 23. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có
a)

cos nx = cosn x - Cn2 x cosn-2 xsin2 x + Cn4 x cosn-4 xsin4 x - Cn6 x cosn-6 xsin6 x + ... + A
n

với A = ( -1) 2 sin n x
A = -1
( )

nếu n chẵn,

n-1
2 Cn-1cosx sin n-1 x
n

nếu n lẻ.

b)

sin nx = Cn1 cosn-1 x.sinx - Cn3 x cosn-3 x sin 3 x + Cn5 x cosn-5 x sin 5 x - ...B


19
n -2

( )2

với B = -1

Cnn-1cosx.sin n x nếu n chẵn,

B = -1 n2-1 sin n x nếu n lẻ.
( )
1
3
3
5
5
c) tan nx = Cn tan x - Cn tan x + Cn x tan x - ... .
2
2
4
4

1 - Cn

tan x + Cn x tan

x - ...

Bài toán 24. Chứng minh công thức:

sin 5j = 16 sin 5 j - 20 sin 3 j + 5 sin j .
c os5j = 16 cos 5 j - 20 cos 3 j + 5 cos j .
Bài toán 25. Chứng minh rằng:

a) cos

p
3p
5p 1
+ cos
+ cos
= .
7
7
7
2

b) cos

p
2p
3p 1
- cos
+ cos
= .
7
7
7
2

Bài toán 26. Cho a, b, c là các số thực sao cho:

cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0 .
Chứng minh rằng:

cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = 0 .
2.2.3. Các bài toán về phương trình lượng giác
Bài

tốn

27.

Giải

phương

trình

lượng

32cos 6 x - cos6 x = 1 .
Bài tốn 28. Giải phương trình lượng giác :

1
a) cos x + cos3 x + cos5 x + cos7 x + cos9 x = .
2

giác


20
b) tan x + cot x = 6.
2

2

Nhận xét chung: Thông qua những kiến thức cơ bản về số
phức, giáo viên lấy những ví dụ đơn giản và phức tạp dần trong lượng
giác mà giải bằng ngôn ngữ số phức, qua đó phân tích, so sánh, đánh
giá để gây hứng thú cho học sinh trong việc dùng số phức để giải tốn
lượng giác.
2.3. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TỐN TỔ HỢP
2.3.1. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức
Bài toán 29. Chứng minh rằng với các số thực ai , bi
(i = 1, 2, …, n), ta có:
(a1 + a2 + ... + an )2 + (b1 + b2 + ... + bn )2 £ a 21 + b21 + a 22 + b22 + ... + a 2 n + b2 n .

Bài toán 30. Cho a1 , a2

là hai số thực bất kì. Chứng

minh: a12 + (1 - a 2 )2 + a2 2 + (1 - a1 ) 2 ³ 2.
Bài toán 31. Chứng minh rằng:

a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 ³ 3 ( a + b + c ) ,

"a, b .
Bài toán 32.

(

)

4 cos 2 x cos 2 y + sin 2 ( x - y ) + 4sin 2 x sin 2 y + sin 2 ( x - y ) ³ 2 ( "x, y Ỵ R ) .

(Đại học Cơng đồn – 1995)


21
Nhận xét: Qua các bài toán nêu trên, ta thấy ứng dụng của số
phức vào việc chứng minh bất đẳng thức thật là thú vị. Ẩn chứa trong
cách giải các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp số phức đó
chính là việc sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực.
2.3.2. Các bài tốn về chứng minh cơng thức đại số, tổ hợp
Bài toán 33. Chứng minh rằng:
a) Cn - Cn + Cn - Cn + Cn + ... =
0

2

4

6

8

b) Cn1 - Cn3 + Cn5 - Cn7 + Cn9 + ... =

( )
2

n

cos n

( 2 ) sin n p4 .
n

Bài toán 34. Chứng minh rằng:

( 2)
+ ... = n ( 2 )

Cn1 - 3Cn3 + 5Cn5 - 7Cn7 + ... = n
Cn0 - 2Cn2 + 4Cn4 - 6Cn6

Bài toán 35. Tính tổng S1 =

p
.
4
n -3
p
sin ( n - 1) .
4

n -1

å

cos ( n - 1)

0 £ 3 k < n +1

Cn3k .

Bài tốn 36.
a. Tính tổng S 2 =

n

åC
k =0

k
n

cos kx .

b. Chứng minh rằng
m -1
1
2 2 m -1 cos 2 m x = å C2km cos(2m - 2k ) x + C2mm .
2
k =0

p
.
4


22

Nhận xét: Để số phức là công cụ để giải tốn hình học phẳng,
lượng giác, đại số địi hỏi phải nắm vững và sử dụng linh hoạt các kiến
thức cơ bản về số phức.
2.3.3. Các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình
Bài tốn 37. Giải phương trình bậc 3:

ax3+ bx 2 + cx + d = 0, trong ú: ( a ạ 0), a, b, c, d ẻÊ .
Bài tốn 38. Giải phương trình:

x3 + 3x2 - 3x -14 = 0.
Bài tốn 39. Giải phương trình :

x3 + 9 x 2 + 24 x + 19 = 0.
Bài tốn 40. Giải hệ phương trình:
3
2
ïì x - 3xy = -1
.
í 2
3
ïỵ3 x y - y = 3

Bài tốn 41. Giải hệ phương trình:

ìï 2 x 3 - 6 xy 2 = 5
.
í 2
3
ïỵ6 x y - 2 y = 5 3
Bài tốn 42. Giải hệ phương trình:

ì 16 x - 11y
=7
ïx + 2
x + y2
ï
.
í
ï y - 11x + 16 y = -1
ïỵ
x 2 + y2


23

3x - y
ì
ï x + x2 + y2 = 3
ï
.
Bài tốn 43. Giải hệ phương trình í
x
y
+
3
ïy =0
ïỵ
x2 + y 2
Bài tốn 44. Giải hệ phương trình:

ì ỉ
1 ư
=
ï x ç1 + 2
2 ÷
ï è x +y ø
í
ï y ỉ1 - 1 ử =
ù ỗ x2 + y2 ữ
ứ
ợ ố

2
3
4 2
7

.

Bài tốn 45. Giải các hệ phương trình sau:
ì
ỉ
1 ư
ï 3 x ỗ1 +
ữ=2
ù
ố x+ yứ
.
ớ
ù 7 y ổ1 - 1 ử = 4 2

ỗ
ữ
ù
ố x- yứ
ợ

Bi toỏn 46. Gii cỏc h phng trỡnh sau:
ỡ
ổ
3 ử
ù 10 x ỗ 1 +
ữ=3
5
x
+yứ
ù
ố
ớ
ù y ổ 1 - 3 ử = -1
ù ỗố 5 x + y ữứ
ợ

( x, y ẻ R ) .