MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


Đỗ Thị Phương Quỳnh

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Chuyên ngành : Giải tích
Mã số : 60. 46. 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Thái Nguyên – 2008

1
Footer Page 1Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 2 of 16.

MỤC LỤC

Mở đầu

3

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ chỉnh hình

6

1.2. Khoảng cách

7

1.3. Không gian Hyperbolic

12

1.4. Đa tạp phức

13

1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh

14

1.6. Miền taut

17

Chương 2

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP
CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
2.1. Mặt cực hạn

21

2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi

25

2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình.

31

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

2
Footer Page 2Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 3 of 16.

MỞ ĐẦU
Cho D là miền bị chặn trong  n và f : D  D là ánh xạ chỉnh hình.
Khi đó định nghĩa dãy lặp f n  của f như sau:
f 1  f
 n
n 1
f  f .f .

Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy f n  có hội tụ đều trên các tập
compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình

h : D   n hay không ?
Vào năm 1926 Wolff và Denjoy đã giải quyết vấn đề trên khi

D   (  là đĩa đơn vị trong  ). Cụ thể họ đ ã chứng minh được định lí
Denjoy – Wolff như sau: “ Cho f :    là một hàm chỉnh hình từ đĩa
đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp

 f  không hội tụ nếu và
n

chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn nữa, giới hạn
của

 f  , khi nó tồn tại, là hằng số

x   ”. Để chứng minh định lí này

n

trong trường hợp f có một điểm cố định z0  thì Denjoy và Wolff đã sử
dụng bổ đề Schwarz. Tuy nhiên trong trường còn lại, f không có điểm cố
định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một
công cụ mới để thay thế. Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường
cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho f :    là hàm chỉnh
hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại x  sao cho với mỗi R>0 có
f  E  x, R    E  x, R  ” được thay thế cho bổ đề Schwarz. Về bản chất,

đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của  tại x.
Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một
miền tổng quát hơn trong  : “ Cho D   là một miền hữu hạn liên thông

3
Footer Page 3Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 4 of 16.

bị chặn bởi đường cong Jordan, và f : D  D là một hàm chỉnh hình. Khi
đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D. Hơn
thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng x  D ”.
Năm 1983, MacCluer đã mở rộng kết quả của Denjoy - Wolff đối với
hình cầu đơn vị trong  n bằng việc đưa ra khái niệm mặt cực hạn cổ điển

trong Bn .
Đến năm 1988, Marco Abate đã dựa vào mối liên hệ giữa khoảng
cách Kobayashi và mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn trên một
miền bất kì.
Bây giờ, cho D là một miền bị chặn trong  n và xét một ánh xạ
chỉnh hình f : D  D . Giả thiết f có một điểm cố định z0  D , và khả vi tại

z 0 . Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng của df z thuộc vào  .
0

Sử dụng dạng chính tắc Jordan của df z , dễ dàng kiểm tra được rằng  df z
0

0



n

hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong   1 và khi đó cho ta
một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong  n ,
f : D  D là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định z0  D . Khi

đó dãy lặp

 f  hội tụ nếu và chỉ nếu
n

df z không có giá trị riêng   1 và
0

  1 ”. Định lí này đã mô tả một cách rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp

f  .
n

Mục đích của luận văn là nghiên cứu về mặt cực hạn và sự hội tụ của
dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, nội dung của luận văn gồm hai chương :
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ với
nội dung chính của luận văn như : ánh xạ chỉnh hình, các giả khoảng cách
Kobayashi, giả khoảng cách Carathéodory, miền lồi, miền giả lồi mạnh,
không gian hyperbolic, và miền taut.
4
Footer Page 4Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 5 of 16.

Chương 2 trình bày khái niệm và các tính chất của mặt cực hạn trên
miền D bất kì và trên miền giả lồi mạnh, sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ
chỉnh hình.
Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo,
hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai. Với tấm lòng thành kính
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô.
Nhân dịp này tôi cũng xin được chân thành cảm ơn GS.TSKH
Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS
Phạm Việt Đức, cùng các thầy cô đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá

trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN. Đồng thời
tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã
tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi. Cuối cùng
tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008
Đỗ Thị Phương Quỳnh

5
Footer Page 5Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 6 of 16.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1]
1.1.1. Định nghĩa
+ Giả sử X là một tập mở trong  n , hàm số f : X   được gọi là
khả vi phức tại x 0  X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính  :  n   sao cho
lim

f  x0  h   f  x0    h 

 0.

h

h 0

n

Trong đó h   n ,h   h1 ,h 2 ,...,h n  , h 

h
i 1

2
i

.

+ Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x 0  X nếu tồn tại một lân cận
mở U của x 0 sao cho f khả vi phức với x  Ux0 .
+ Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm
thuộc X.
+ Cho ánh xạ f : X   n   m ; có thể viết dưới dạng f  f1 ,f 2 ,...,f m  .
Trong đó fi  i  f : X   , i=1,...,m là các hàm toạ độ, và

i :  m  

 f ,f ,...,f   f .
1

2

m

i

Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi
i=1,...,m.
Chú ý : Ánh xạ f : X  f  X    n được gọi là song chỉnh hình nếu f
là song ánh, chỉnh hình và f 1 cũng là ánh xạ chỉnh hình.
1.1.2. Tính chất
Định lí : Giả sử U là tập con mở của  n , với mỗi ánh xạ f : U  
các điều kiện sau đây là tương đương
6
Footer Page 6Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 7 of 16.

a. f là hàm chỉnh hình.
b. f là liên tục
c. f là liên tục và f |U M là chỉnh hình với M   n , M là không gian
con hữu hạn chiều.
1.2. Khoảng cách
1.2.1. Định nghĩa [1]
Khoảng cách d trên tập X là một hàm

d:XX  

 x, y   d  x, y .

thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X.
i) d  x, y   0;d  x, y   0

x  y ;

ii) d(x,y)=d(y,x);
iii) d  x, y   d  x,z   d  z, y  ;
Nếu d chỉ thoả mãn ii) và iii) và d  x, y   0 thì d được gọi là giả
khoảng cách trên X.
1.2.2. Khoảng cách Bergman Poincaré [4]

  z   :| z | 1 là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức  .
Trên  , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi

  0,z   log

1 | z |
, z .
1 | z |

Lấy a,b , phép biến đổi w=
biến b thành 0 và biến a thành

z-b
là một tự đẳng cấu của  mà
1 - bz

ab
. Vậy
1  ab

7
Footer Page 7Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 8 of 16.

ab
1  ba
  a,b   log
.
ab
1
1  ba
1

1.2.3. Giả khoảng cách Kobayashi [1]
1.2.3.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X.
Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô
compact mở. Xét dãy các điểm p0  x,p1,...,pk  y của X, dãy các điểm

a1,a 2 ,...,a k của D và dãy các ánh xạ chỉnh hình f1,f 2 ,...,f k trong Hol (D, X)
thoả mãn

fi  0  pi1,fi  a i   pi ; i  1,...,k .
Tập hợp   p0 ,...,pk ,a1,a 2 ,...,a k ,f1,f 2 ,...,f k  thoả mãn các điều kiện

trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa

k

d X  x, y   inf  D  0,a i  ,   x,y  ,

 i1

trong đó  x,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong
X.
Khi đó d X : X  X   là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng

k

   0,a 
i 1

D

i

được

gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình.
1.2.3.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
+ Nếu f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f
làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là
d X  x, y   d Y  f  x  ,f  y  

x, y  X ,

8
Footer Page 8Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 9 of 16.

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình.
Hơn nữa d X là giả khoảng cách lớn nhất trên X thoả mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : D  X là giảm khoảng cách.
+ Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

d X : X  X   là hàm liên tục.
+ Nếu D là đĩa đơn vị trong  thì giả khoảng cách Kobayashi trùng
với khoảng cách Bergman Poincaré.
1.2.4. Giả khoảng cách Carathéodory [10]
1.2.4.1. Định nghĩa: Cho một không gian phức X, kí hiệu Hol(X,  ) là tập
các ánh xạ chỉnh hình f: X   . Giả khoảng cách Carathéodory Cx trong X
được định nghĩa như sau C x  p,q   sup   f  p  ,f  q   ; p,q  X .
Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ f  Hol  X,   . Khi  là
đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con
F  f  Hol  X,D  ;f  p   0

1.2.4.2. Một số tính chất
*Mệnh đề 1

Cho đa tạp phức X, ta có dX  p,q   CX  p,q  ,

p,q  X .

Chứng minh:
Như trong định nghĩa của d X  p,q  , chọn p  p0 ,p1,...,pk  q của X,
và các điểm a1,a 2 ,...,a k ,b1,...,bk của  và các ánh xạ chỉnh hình f1,f 2 ,...,f k
trong Hol(  ,X) thoả mãn

fi  a i   pi1,fi  bi   pi .
Cho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào  . Khi đó

9
Footer Page 9Sốofhóa
16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 10 of 16.

k

k

i 1

i 1

   a i ,bi     f  fi  a i  ,f  fi  bi  

   f  f1  a1  ,f  f k  b k  
  f  p  ,f  q   ,
Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng
thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó ,
k

d X  p,q   inf    a i ,bi   sup   f  p  ,f  q    CX  p,q .



i=1

* Mệnh đề 2:
Nếu X và Y là không gian phức thì
CY  f  p  ,f  q    C x  p,q 

f  Hol  X,Y  ;p,q  X

thì f : X  Y có tính giảm khoảng cách.
*Mệnh đề 3:
Cho  là một đĩa mở trong  , C   .
Chứng minh:
Sử dụng bổ đề Schwarz đối với ánh xạ chỉnh hình f :    ta thu
được

  p,q   C  p,q  ,

p,q .

Từ định nghĩa của C , xét phép biến đổi đồng nhất của  , ta thu được bất

đẳng thức   p,q   C  p,q  ,

p,q .



* Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức
a) Nếu X là một giả khoảng cách như sau
  f  p  ,f  q    X  p,q  f  Hol  X,   ;p,q  X

thì CX  p,q   X  p,q  ; p,q  X
b) Nếu X là một giả khoảng cách thoả mãn

10
Footer Page 10
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 11 of 16.

X  f  a  ,f  b      a,b  ; f  Hol  X,   ;a,b  

thì

X  p,q   d X  p,q  .
1.2.4.3. Bổ đề Schwarz [10]

Cho f là hàm chỉnh hình biến hình tròn đơn vị  (0,r) thành chính nó
thoả mãn f(0)=0. Khi đó :
i) f  z   z ;

z  D

ii) Nếu f  z 0   z 0 với điểm z0  0 nào đó trong  thì f  z   z
trong đó   1 .
Chứng minh:
Với r tuỳ ý , 0f z 

đặc biệt

f  
1
d ,

2i D 0,r    z

0  f 0 

f  
1
d .
2i D0,r  

Vì vậy
f z 

f  
 1
1
1
z

f

d


d


2i D0,r     z  
2i D0,r      z 

tức là hàm
 z  

f z
f  
1

d
z
2i D0,r      z 

chỉnh hình trên hình tròn  . Vì r<1 tuỳ ý nên  chỉnh hình trên  . Khi

z  r  1 thì

11
Footer Page 11
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 12 of 16.

 z  

f z
z



1
r

nên theo nguyên lý môđun cực đại   z  

1
với z  r .
r

Cho r  1 ta nhận được

 z  

f z
z

 1,

z  

hay
f  z   z , z  

Nếu
  z0  

f  z0 
z0

thì theo nguyên lí môđun cực đại

 1, z 0 ,0  z 0  

f z
 const .
z

Tức là

f  z   z;

 1



1.3. Không gian Hyperbolic [1]
1.3.1. Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian phức hyperbolic nếu giả
khoảng cách Kobayashi d x là khoảng cách trên X, kí hiệu là k x , tức là :

k x  p,q   0  p  q,

p,q  X

1.3.2. Một số tính chất
+ Nếu X, Y là các không gian phức, thì X  Y là không gian phức
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian phức hyperbolic.

12
Footer Page 12
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 13 of 16.

+ Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, nếu Y là
hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác không gian con

phức của một không gian phức hyperbolic là hyperbolic.
1.3.3. Ví dụ
+ Đĩa Dr và đa đĩa D mr là hyperbolic.
+ Một miền bị chặn trong  m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của
tích các đa đĩa.
+  m không là hyperbolic, vì d   0 .
m

1.4. Đa tạp phức [1]
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff.
+ Cặp  U, được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là
tập mở trong X và  : U   n là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả
mãn:
i)   U  là tập mở trong  n .
ii)  : U    U  là một đồng phôi.
+ Họ A   Ui , i iI các bản đồ địa phương của X được gọi là một
tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
i) Ui iI là một phủ mở của X.
ii) Với mọi Ui ,U j mà Ui  U j   , ánh xạ
 j.i 1 : i  Ui  U j    j  Ui  U j  là ánh xạ chỉnh hình.

Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A và B được gọi là tương đương
nếu hợp A  B là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các
atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X
cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
13
Footer Page 13
Số of
hóa16.

bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 14 of 16.

1.4.2. Ví dụ
Giả sử D là miền trong  n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với
bản đồ địa phương

 D,Id  .
D

1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh
1.5.1. Miền giả lồi [12]
Miền lồi là các miền mà cùng với các điểm x’,x” tuỳ ý, chúng chứa mọi
điểm x=tx’+(1-t)x”, trong đó t   0,1 .
Có định nghĩa tương đương: miền D   n được gọi là lồi, nếu hàm

 lnd  x, D trong đó d  x, D là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên của
miền, là hàm lồi trong D.
Định nghĩa: Miền D   n được gọi là giả lồi, nếu hàm

 z    lnd  z, D ,
trong đó d  z, D  là khoảng cách Ơclit của điểm z đến biên D ,đa điều hòa
dưới trong D.
Ví dụ: trên mặt phẳng  miền tuỳ ý là giả lồi.
1.5.2. Miền giả lồi mạnh [10]
1.5.2.1. Định nghĩa

Cho X là một miền bị chặn trong  n với

z n z   z1 ,z2 ,...,zn  ,zi  ,
X là miền giả lồi mạnh với biên C2 nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới 
xác định trong một lân cận U của biên X sao cho:
i) X  U  x  X; (x)  0 ;
ii) d  0 trong U.
Dạng Levi của  tại x 0 X là một dạng Hermitan cho như sau:

14
Footer Page 14
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 15 of 16.

L,x0     

 2
 x 0  i  j ,    1,  2 ,...,  n  .
zi z j

Khi X là miền giả lồi mạnh biên C2 vì dạng L,x0 là xác định dương,
X compact, tồn tại hai số dương c1 ,c2 sao cho c1   L,x 0     c2  .
2

2

1.5.2.2. Một số tính chất
Bổ đề
Cho Br là cầu Euclid bán kính r tâm O. Khi đó với mọi z  Br
logr- logd  z, Br   CBr  0, z   d Br  0, z   log 2r  log d  z, Br  .

Định lí 1
Cho X   n là miền giả lồi mạnh bị chặn với biên C2 . Khi đó tồn
tại một lân cận X’ của X và một hàm liên tục  : X  X '   sao cho mỗi
điểm cố định x 0 X ,   x 0 , .



là chỉnh hình trong X’ và   x 0 , .



chuẩn hoá nên   x0 , x0   1,   x0 , z   1, z  X \  x0  .
Định lí 2
Cho X   n là miền bị chặn với biên C 2 và K là một tập con
compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số c1  chỉ phụ thuộc vào X và K
sao cho d X  z0 , z   c1  log d  z, X  , z  X , z0  K .
Định lí 3
Cho X   n là miền giả lồi mạnh với biên C 2 và K là tập con
compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số c2   chỉ phụ thuộc vào X và
K sao cho c2  log d  z, X   CX  z0 , z  , z  X , z0  K .
Chứng minh

15

Footer Page 15
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 16 of 16.

Cho X’ là một lân cận nhỏ của X , và  : X  X'   , sao cho mỗi
điểm cố định x 0 X ,   x 0 , .

 là chỉnh hình trong X’ và nó chuẩn hoá vì

thế   x 0 , x 0   1,   x 0 ,z   1, z  X \ x 0  , và định nghĩa

 : X  X  X  D
  x,z 0 ,   

1    x,z 0      x,z 0  .
.
1    x,z 0  1    x,z 0 

Khi đó có r0 , 0  r0  1 , sao cho   x,z 0   r0  1, x X,z 0  K ,

  x,z0 ,   được định nghĩa trong X  K  D1/ r0 . Thì ánh xạ
  x,z 0 ,z   x,z0  z     x,z 0 ,   x,z  

là xác định và liên tục trên X  K  K ' nếu X’ là một lân cận đủ nhỏ của

X , và mỗi x,z0 là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại x D thoả mãn

x,z0  z0   0 .

Cho P  x,  là đa đĩa bán kính  tâm x. Cho x X,z0  K và

z  P  x,   .
1  x,z0  z   x,z0  x   x,z0  z  


x,z0
z

zx
P x, 

c

zx M zx ,
 2 XKP x, 

trong hằng số M là độc lập với z và x. Đặt

c2  min  log M,log  .
Chú ý rằng B x,    P  x,   , đặt U   xX B x,   , với mỗi  >0
sao cho U  là compact tương đối trong X.
Xét 2 trường hợp:

16
Footer Page 16

Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 17 of 16.

+) z  X  U . Chọn x X sao cho d  z, X   z  x   . Khi đó
x,z0  X   D, x,z0  z0   0 , ta có





CX  z0 ,z    x,z0  z0  , x,z0  z   log

1
1  x,z0  z 

.

Vì
1  x,z0  z   1  x,z0  z   M z  x  Md  z, X  .

Nên

CX  z0 ,z    logM  logd  z, X   c2  logd  z, X  .
+) z  X  U . Vì d  z, X    . Do đó,

CX  z0 ,z   0  log   logd  z, X   c2  logd  z, X 



Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau.
1.6. Miền taut [4]
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử M là một không gian phức:
a. Dãy f k k 1  Hol(,M) được gọi là phân kì compact nếu với mỗi


tập compact K   và với mỗi tập compact L  M tồn tại số j0  j K,L 
sao cho f j  K   L  , j  j0 (  là đĩa đơn vị).
b. M được gọi là taut nếu mọi dãy f k k 1  Hol(,M) chứa một dãy


con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact.
1.6.2. Định lí Kiernan
Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic.
Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut.
Các khẳng định ngược lại đều không đúng.
Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau :
17
Footer Page 17
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 18 of 16.

Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và
B   w1 , w 2 ,..., w n  ;| w1 |2 ... | w n |2  1 là một lân cận của p trong M sao

cho q  B .
Bs   w1 , w 2 ,..., w n  ;| w1 |2 ... | w n |2  s 2  1 .
Vs  p'  M;   p, p'   s .





2

   z  ; z    1 .
1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự  r,  các số dương được gọi là có
tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình f :   M với f  0   Br ta có

f     B .
1.6.2.2. Bổ đề : Nếu tồn tại cặp  r,  có tính chất A thì dM  p, q   0 .
Chứng minh bổ đề
Chọn hằng số c > 0 sao cho d   0,a   cd   0,a  với mọi a  / 2 .
Giả sử L  p  p0 ,p1,...,pm  q;a1,...,a m ;f1,...,f m  là một dây chuyền
Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử a1,...,a k  / 2 ,p0 ,p1,...,pk 1  Br ,pk Br .
Khi đó :

k

k

i 1

i 1

| L |  d   0,a i   c d   0,a i 
k

 c  d B  pi1 ,pi   cd B  0,p k   c'.
i 1

trong đó c’ là hằng số lớn hơn 0.
Do đó d M  p,q   c'  0 .



Chứng minh định lý Kiernan:
18
Footer Page 18
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 19 of 16.

i) Giả sử M là không gian hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân
biệt p và q sao cho d M  p,q   0
Theo bổ đề trên, cặp 1/ 2;1/ n  không thoả mãn tính chất A với bất
kì n>0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình f n :   M mà fn  0  B1/ 2 và

fn  1/ n   B . Dãy fi  không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc
phân kì compact. Do đó M không là taut.
ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên

Hol  ,M  là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con
bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy Hol  ,M  là chuẩn tắc, do


đó M là taut.
1.6.2.3. Nhận xét

Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên C2 là hyperbolic đầy.
Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra
miền giả lồi mạnh cũng là miền taut.

19
Footer Page 19
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 20 of 16.

Chương 2
MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP
CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho f :    là
một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp

 f  không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố
định. Hơn thế nữa, giới hạn của  f  , khi nó tồn tại, là hằng số x   ”
n

n

+ Nếu f có một điểm cố định z0  (và f  id  ) , xét f '  z0  : nếu
f '  z 0   1 , theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của  với

đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ. Mặt khác, nếu f '  z 0   1 thì
f là ánh xạ co của  , vì vậy f n  z 0 .

 

+ Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy f n phải
là hằng số và thuộc vào biên của  . Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ
đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế. Khi
đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề
Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường
hợp này : “Cho x  ; một đường cực hạn tại x là tập có dạng
2



1

z
x


E  x, R    z   |
2  R,
1 z



mọi R>0. Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên  tại
x”.

20
Footer Page 20
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 21 of 16.

Trong trường hợp f : D  D mà D=Bn , hình cầu đơn vị của  n , định
nghĩa mặt cực hạn [5] là : “Cho x  Bn và R>0, mặt cực hạn tâm x và bán
kính R là tập

2


1

z
,
x




E  x, R    z  B n |

R
,
2
1

z





trong đó (. , .) là tích Hermit của  n ”.
Về mặt hình học, E(x, R) là ellipxôit tiếp xúc trong với biên Bn tại x.
Trong thực tế, MacCluer đã trình bày lại bổ đề Wolff trong Bn và đã
chứng minh định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp này.
Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp tổng quát hơn thì

ta cần một cách tiếp cận khác. Vào năm 1978, Yang [13] đã khám phá ra một
đặc trưng thú vị của mặt cực hạn trong Bn .
1


E  x,R   z  Bn | lim k B  z, w   k B  0, w    log R  ,
2


n

n

(2.1)

trong đó k B là khoảng cách Kobayashi trong Bn .
n

Khi khoảng cách Kobayashi được định nghĩa trong miền bất kỳ, ta cũng
đã cố gắng sử dụng (2.1) như một định nghĩa về mặt cực hạn trong một miền
tuỳ ý. Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong
(2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại. Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn được
tổng quát hơn trên một miền bất kì Marco Abate đưa ra định nghĩa sau đây.
2.1. Mặt cực hạn [5]
2.1.1. Định nghĩa
Cho D là một miền bị chặn của  n , chọn z0  D,x D và R>0. Khi
đó mặt cực hạn nhỏ E z0  x,R  và mặt cực hạn lớn Fz0  x,R  tâm x, cực z0
và bán kính R được định nghĩa như sau:

21

Footer Page 21
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 22 of 16.

1


E z0  x,R   z  D | lim sup  k D  z, w   k D  z 0 , w    log R  ,
w x
2


(2.2)
1


Fz0  x,R   z  D | lim inf  k D  z, w   k D  z 0 , w    log R .
w x
2



k D khoảng cách Kobayashi trên D.
Trong (2.2), limsup và liminf luôn là hữu hạn. Thực vậy, nếu

z0 ,z, w  D thì hiển nhiên theo tính chất bất đẳng thức ta luôn có

| k D  z,w   k D  z0 ,w  | k D  z0 ,z  ;
do đó với mọi x D ta có

  k D  z0 ,z   lim inf k D  z, w   k D  z 0 , w 
w x

 lim sup  k D  z, w   k D  z 0 , w   k D  z 0. ,z   .
w x

Mệnh đề dưới đây trả lời cho câu hỏi tại sao định nghĩa mặt cực hạn
trong Bn lại giống định nghĩa mặt cực hạn cổ điển.
2.1.2. Mệnh đề 2.1
Cho B n là cầu đơn vị của  n . Cho bất kì z  B n , kí hiệu  z là tự
đẳng cấu Mobius của Bn sao cho z  z   0 thì ta có mệnh đề sau:
1   z, x 
1
Cho x B và z  B thì lim  k Bn  z, w   k Bn  0, w    log
.
2
w x
2
1 z
2

n

n

Chứng minh:
Vì khoảng cách Kobayashi có tính giảm qua ánh xạ chỉnh hình và
dấu bằng xảy ra khi ánh xạ  là song chỉnh hình, do vậy ta có
2

 1  z  w  1  w 
1
k Bn  z, w   k Bn  0, w   k Bn  0, z  w    k Bn  0, w   log 
.
.
 1  z  w  1  w 
2


Mặt khác ta có

22
Footer Page 22
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 23 of 16.

1  z 1  w  .


2

1   w 

2

2

1   z, w 

2

 1    w 
1
z
Vì vậy k Bn  z, w   k Bn  0, w   log 

2
 1  w


2

 1   z, w 
 .
2
1 z


2


.



Vì z  w   1 khi w  x .Suy ra điều phải chứng minh.



2.1.3. Một số tính chất
2.1.3.1. Bổ đề
Cho D là miền bị chặn của  n , z0  D,x D . Thì :
i) Với mọi R>0 ta có Ez0  x, R   Fz0  x, R  ;
ii) Với mọi 0  R1  R2 ta có Ez0  x, R1   Ez0  x, R2  và
Fz0  x, R1   Fz0  x, R2  ;

 1

iii) Với mọi R>1 ta có Bk  z0 , logR   Ez0  x, R  ;
 2

1


iv) Với mọi R<1 ta có Fz0  x, R   Bk  z0 ,  logR    ;
2



v)  Ez0  x, R    Fz0  x, R   D và  Ez0  x, R    Fz0  x, R    ;
R 0

R 0

R 0

R 0

vi) Nếu  Aut ( D)  C 0 ( D) , thì với mọi R>0









 Ez0  x, R   E z0     x  , R  và  Fz0  x, R   F z0     x  , R  ;

vii) Nếu z1  D ,đặt

1
log L  lim sup  k D  z1 , w   k D  z0 , w  
w x
2

thì với mọi R >0 ta có
Ez1  x, R   Ez0  x, LR  và Fz1  x, R   Fz0  x, LR  .

Chứng minh
Từ i) đến vi) là hiển nhiên đúng.
23
Footer Page 23
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 24 of 16.

vii) Ta có
k D  z, w   k D  z 0 , w    k D  z, w   k D  z1 , w    k D  z1, w   k D  z 0 , w   ,
k D  z, w   k D  z1 , w    k D  z, w   k D  z 0 , w   k D  z 0 , w   k D  z1, w  .

lần lượt lấy limsup và liminf khi w  x , ta được
1
limsup  k D  z, w   k D  z 0 , w    limsup k D  z, w   k D  z1, w    log L,
2
w x
w x
1
liminf  k D  z, w   k D  z1 , w    liminf  k D  z, w   k D  z 0 , w    log L,
w x
w x
2

Mặt khác
1
z  E z1  x,R  ta có lim sup  k D  z, w   k D  z 0 , w    log R .
w x
2

Nên
1
limsup  k D  z, w   k D  z 0 , w    limsup k D  z, w   k D  z1, w    log L
2
w x
w x
1
1
1
 logR+ log L  log RL.
2
2
2

Từ đó suy ra z  E z0  x,LR  , do đó E z1  x,R   E z0  x,LR  .
Chứng minh tương tự ta có Fz1  x,R   Fz0  x,LR  .
2.1.3.2. Hệ quả
i) Với mọi x B, z0  B và R>0 ta có Ez0  x, R   Fz0  x, R  ;
ii) Với mọi x B và R>0 mặt cực hạn Ez0  x, R  là một ellipxôit;
2
2


 z, x   1  r  z   z, x  x

n
E z  x, R    z   |


1

r2
r


0

Trong đó 0  r 

(2.3)

R
1.
R 1

Chứng minh:
24
Footer Page 24
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 25 of 16.

i) Hiển nhiên
ii) Lấy z  n thì ta có

 z, x   1  r 

2

 r z   z, x  x  r 2
2

  z, x   2 1  r  z, x   1  r   r z 2  2  z, x    z, x  x 2  r 2 .
2

2

2

2

Vì x B  x 2  1
  z, x   2 1  r  z, x   1  2r  r 2  r z  r  z, x   r 2
2

2

2

  z, x   2 1  r  z, x   1  r  r  r z  r  z, x   0

2

2



2

  r  z, x   0
  z, x   2 1  r  z, x   1  r  r  z, x   r 1  z 
  z, x  1  r   2 1  r  z, x   1  r   r 1  z 
 1  r   z, x   2  z, x   1  r 1  z 


 1  r  1   z, x   r 1  z 
  z, x   2 1  r  z, x   1  r  r 1  z
2

2

2

2

2

2

2

1   z, x 
1 z

2

2

2



2

2

2



2

r
R
1 r

1   z, x 
1
1
1
 log

 log R  lim  k B  z, w   k B  0, w    log R.
2
w x
2
2
2
1 z
2

Suy ra z  E0  x,R  .



2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi
2.2.1. Định lí [5]
Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên C 2 , compact tương đối
trong  n , và z0  D . Khi đó tồn tại hai hằng số c1,c2  chỉ phụ thuộc
vào D và z0 sao cho

25
Footer Page 25
Số of
hóa16.
bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên