Hệ Phương trình căn bản và nâng cao cho HSG và ôn thi lớp 10

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Phương pháp thế.
Giải các hệ phương trình
 x = 2 y

2
2
2
( x − 2 y)( x − 3 y) = 0
 x − 5 xy + 6 y = 0
20 y + 6 y − 27 = 0
⇔
⇔ 2
 2
x = 3y
4 x + 2 xy + 6 y − 27 = 0
 4 x + 2 xy + 6 y − 27 = 0

42 y 2 + 6 y − 27 = 0
 x = 2 y



549 − 3
−3 + 549
−3 + 3 127

 x =
 x =
 y =
20

10
14
 





− 3 − 549
−3 + 549

−1 + 127


 y =
 y =
 y =
20
20


14
⇔
⇒
Hoặc


 x = 3 y
−3 − 549
−3 − 3 127


 x =

x =


10
14

 y = 1 + 127





−1 − 127

14
  y = −3 − 549
y=




14
20

 
 y = − 1 − 127



14

 x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx(1)
b)  2003
 x
+ y 2003 + z 2003 = 32004 (2)
Ta có:
PT (1) ⇔ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 zx = 0 ⇔ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 = 0
⇔x= y=z

Thế vào (2) ta có: 3 x 2003 = 32004 ⇔ x 2003 = 32003 ⇔ x = 3
Do đó x= y=z = 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x;y;z) = (3;3;3)
B. Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia các vế
Giải các hệ phương trình
5 x 3 + y = 2 2
⇔
a) 
 x 6 − y 2 = 2

6 6 x = 6
5 x 6 + y 2 = 4
⇔
⇔


 x 6 − y 2 = 2
5 x 3 + y = 2 2

1

x=

6


y = −1

2


3
3
3



x = 2 y + 1
x = 2 y +1
x = 2 y + 1
⇔ 3
⇔
b)  3
3
2
2




 x − y + 2( x − y ) = 0
 y = 2x + 1
( x − y )( x + xy + y + 2) = 0
x 3 = 2 y + 1
x 3 − 2x − 1 = 0
( x + 1)( x 2 − x − 1) = 0
2
2
⇔
⇔
(do x + xy + y + 2 > 0 ) ⇔ 
x = y
x = y
x = y

  x = −1



1− 5
1+ 5
1− 5

x=

x =
x
=
x
=

−
1




2
2
⇔ 
2 ⇔
hoặc 
hoặc 

 y = −1
y = 1− 5
y = 1+ 5

1+ 5

 x=
2
2


2

 x = y


( x + xy + y = 1


c)  y + yz + z = 4 ⇔
 z + zx + x = 9


( x + 1)( y + 1) = 2

( y + 1)( z + 1) = 5 trong đó x, y, z > 0
( z + 1)( x + 1) = 10


[ ( x + 1)( y + 1)( z + 1)] 2 = 100
( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 10
z + 1 = 5
x = 1

( x + 1)( y + 1) = 2
( x + 1)( y + 1) = 2



⇔
⇔
⇔ x + 1 = 2 ⇔  y = 0
( y + 1)( z + 1) = 5
( y + 1)( z + 1) = 5
y +1 = 1
z = 4



( z + 1)( x + 1) = 10

(
z
+
1
)(
x
+
1
)
=
10



Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y;z) = (1;0;4)
C. Phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phương trình
2
2

x + x = 5 + y + y
a)  3
Đặt: x – y = a;
3
2
2

 x + y = x y + xy + 6

ab + a = 5(1)
Hệ đã cho trở thành  2
 a b = 6( 2)
6
Từ PT (2) ta suy ra a ≠ 0 . Do đó: b = 2
a

x+y=b

Thế vào (1) ta được:
a = 2
6
+ a = 5 ⇔ a 2 − 5a + 6 = 0 (Vì a ≠ 0 ) ⇔ (a − 2)(a − 3) = 0 ⇔ 
a
a = 3

+) a = 2 ⇒ b =

3
2

+) a = 3 ⇒ b =

2
3

7

3
x=



x
+
y
=


4
2⇔
Hay 
 x − y = 2
y = −1

4
11

2
x=


x + y =

6
3⇔
Hay 
 x − y = 3
y = − 7

6

 7 − 1   11 − 7 
;  ;

4 4   6 6 

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) =  ;
 x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17
b) 
 x + xy + y = 5

Đặt x + y = a; xy = b

Hệ đã cho trở thành
a 3 + b 3 − 3ab = 17

a + b = 5
a = 3
⇔
b = 2

a = 5 − b
a = 5 − b
⇔ 2
⇔
(b − 2)(b − 3) = 0
b − 5b + 6 = 0
a = 2
Hoặc

b = 3

x = 3 − y
a = 3
x + y = 3
x = 3 − y
x = 2
x = 1
⇔ 2
⇔
⇔
Ta có hệ 
V 
b = 2
 xy = 2
( y − 1)( y − 2) = 0
y = 1
y = 2
y − 3y + 2 = 0
x = 2 − y
a = 2
x + y = 2
⇔ 2
+) 
Ta có hệ 
(Vô nghiệm)
b = 3
 xy = 3
y − 2y + 3 = 0

+) 

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x;y) = (1;2); (2;1)
D. Áp dụng bất đẳng thức
Giải các hệ phương trình


x + y + z = 1

a) 

4
4
4
 x + y + z = xyz

Nhận xét:
Từ BĐT (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ 0
Ta suy ra: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca(*)
áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta được

x 4 + y 4 + z 4 ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xyz ( x + y + z )
⇔ x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz
1
Đẳng thức xẩy ra khi: x = y = z =
3
1 1 1
( x; y; z ) =  ; ; 
Vậy hệ đã cho có nghiệm là:
3 3 3
 x 2 y – 2x + 3y 2 = 0

Bài 1: Giải hệ phương trình  2
2
 x + y x + 2y = 0
Nếu y=0 ⇒ x=0. Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phương trình.

Với y ≠ 0 hệ đã cho trở thành

 x 2 y – 2x + 3y 2 = 0
⇔
 2
3
2
 x y + y x + 2y = 0

3
2

 y x + 2x − y = 0
 2
2

x + y x + 2 y = 0

Nhận thấy y = −3 2 không thoả mãn hệ phương trình.
Xét y ≠ −3 2 từ (1) ⇒ x =

y2
y2 2
y2
2

(
)
+
y
.
+ 2y = 0
thay
vào
(2)
ta
có
y3 + 2
y3 + 2
y3 + 2



y3
y3
⇔ y 3
+
+ 2 = 0
2
3
y +2
 ( y + 2)


Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0)

(1;-1)

⇔ 3 y 6 + 11 y 3 + 8 = 0 ⇔

(-2 3 ;

−2
3 3

 y 3 = −1 ⇒ y = −1 ⇒ x = 1

.
8
−2
 3
 y = − 3 ⇒ y = 3 ⇒ x = −2 3
3


).

 2 1 x
x + y2 + y = 3

Bài 2: Giải hệ phương trình 
x + 1 + x = 3

y y
2

Đk y ≠ 0 :


1 x
1
x
x + 2 + = 3 ⇔  x +  = 3 + (1)
y
y
y
y

2

x+


1
x
1
x
+ = 3 ⇔  x +  − 3 = −
y
y
y
y


(2)

2




1
1


1
1
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được:  x +  +  x +  − 6 = 0 ⇔  x + + 3  x + − 2  = 0
y
y
y
y






x +
⇔

x +


1
1


+3=0
x + = −3( 3)

y
y
⇔ 
1
1

−2=0
x + = 2( 4 )

y
y

1

 x + y = −3
6 y 2 + 3 y + 1 = 0(*)

⇔
Từ (3) và (2) ta có:
(*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm.

x
x = 6y

y =6


1

 x + y = −3
y 2 − 2y + 1 = 0

⇔
⇔ x = y = 1; hệ có 1 nghiệm x = y = 1;
Từ (4) và (2) ta có 

x
x
=
y

 =1
 y
( x + y ) 2 − 3 xy = 19
 x 2 + y 2 − xy = 19
 S 2 − 3P = 19
⇔
⇔
Bài 3: Giải hệ phương trình 
 x + y + xy = −7
 S + P = −7
 x + y + xy = −7
Giải hệ (1) ta được: ( S = −1; P = −6), ( S = −2; P = −5)
 x + y = −1
 x + y = −2

Giải các hệ phương trình 
và 
 xy = −6
 xy = −5

(1)

 x = −1 − 6  x = −1 + 6
;

 y = −1 + 6  y = −1 − 6
 x 3 + y 3 = 1
 x 3 + y 3 = 1
 x 3 + y 3 = 1
⇔
⇔
Bài 4: Giải hệ phương trình:  5 5
 5
 2 2
2
2
5
2
2
3
3
 x + y = x + y
 x + y = ( x + y )( x + y )
 x y ( x + y ) = 0
 x = −3

;
ta có các nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 
 y=2

 x=2
;

 y = −3

Xét các trường hợp:
 x3 + y 3 = 1  x = 0
y = 0
⇔
Trường hợp a:
hoặc 

y =1
x = 1
 xy = 0
 x 3 + y 3 = 1  x 3 + y 3 = 1 − y 3 + y 3 = 1
⇔
⇔
⇔ hệ vô nghiệm
Trường hợp b: 
x
+
y
=
0
x

=
−
y
x
=
−
y



x
=
0
x
=
1


;
Vậy nghiệm của hệ là: 
y =1 y = 0
 x 2 + y 2 + xy = 1
Bài 5: Giải hệ phương trình:  3
3
x + y = x + 3 y

Từ (1) ta có (2) có dạng
x 3 + y 3 = ( x + 3 y ).1 = ( x + 3 y )( x 2 + y 2 + xy )
⇔ x 3 + y 3 = x 3 + xy 2 + x 2 y + 3 x 2 y + 3 y 3 + 3 xy 2 ⇔ 4 x 2 y + 4 x y 2 + 2 y 3 = 0
 y=0

 y=o
y = 0
2
2

 x = 0 ⇔  x = 0
⇔
⇔ 2 y (2 x + 2 xy + y ) = 0 ⇔  2
2



 x + ( x + y) = 0
  y = 0
 y = − x

+ Với y=0 thay vào (1) ta đợc x2=1 ⇔ x ± 1
+ Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn ⇒ x=0, y=0 loại
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0)

ax+by =c

Bái 6: Cho hệ phương trình: bx+cy =a
cx+ay = b


(a, b, c là tham số)

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: a3 + b3 + c3 = 3abc
Điều kiện cần : Giả sử HPT đã cho có nghiệm (x ; y). Khi đó

2
2
2
a 3 + b3 + c 3 = a.a 2 + b.b 2 + c.c 2 = (bx + cy )a + (cx + ay )b + (ax + by )c
= (a 2bx + ab 2 y ) + (ac 2 x + ca 2 y ) + (b 2cx + bc 2 y )
= ab(ax + by ) + ca (cx + ay ) + bc (bx + cy ) = abc + cab + bca = 3abc
Điều kiện đủ: Giả sử


a 3 + b3 + c 3 = 3abc ⇔ (a + b)3 + c 3 − 3ab(a + b) − 3abc = 0
⇔ (a + b + c )  (a + b) 2 − c (a + b) + c 2  − 3ab(a + b + c ) = 0
1
(a + b + c) ( a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2  = 0
2
a + b + c = 0
a + b + c = 0
⇔
⇔
a = b = c
2
2
2

(a − b) + (b − c) + (c − a) = 0
a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1
a=b=c, nhận thấy HPT có nghiệm : x = 0 ; y=1 (hoặc x = 1 ; y = 0)
Vậy nếu a 3 + b3 + c 3 = 3abc thì HPT đã cho có nghiệm
 y 2 = ( x + 8 ) ( x 2 + 2 )
Bài 7: Giải hệ phương trình: 
2

2
16 x − 8 y + 16 = 5 x + 4 xy − y
⇔

Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng y − ( 4 x + 8 ) y + ( 16 + 16 x − 5 x ) = 0
Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn y, x là tham số.
2
Có ∆ ' = ( 2 x + 4 ) − ( 16 + 16 x − 5 x 2 ) = 9 x 2
Từ đó, tìm được y = 4 − x, y = 5 x + 4
Nếu y = 4 − x , thay vào phương trình thứ nhất, giải được x = 0, x = −2, x = −5
Với x = 0 thì y = 4 − x = 4 . Với x = −2 thì y = 4 − x = 6 . Với x = −5 thì y = 4 − x = 9
Nếu y = 5 x + 4 , thay vào phương trình thứ nhất, giải được x = 0, x = −2, x = 19
Với x = 0 thì y = 5 x + 4 = 4 . Với x = −2 thì y = 5 x + 4 = −6 . Với x = 19 thì y = 5 x + 4 = 99
Vậy, các nghiệm của hệ là ( x; y ) = ( 0; 4 ) , ( −2;6 ) , ( −2; −6 ) , ( −5;9 ) , ( 19;99 )
2

2

 x 5 + y5 = 11
Bài 8: Giải hệ phương trình : 
x + y = 1

Ta có x5 + y5 = (x5 + x2y3 + x3y2 + y5 ) – ( x2y3 +x3y2) = (x3 + y3) (x2 +y2 ) – x2y2(x+y)
Vì x+ y = 1
⇒ x5+y5 = (x2 – xy +y2)(x2 + y2) – x2y2 = ( x2 + 2xy + y2 – 3xy)(x2 + y2 + 2xy –2xy) – x2y2
= (1- 3xy)(1-2xy) – x2y2
x5 + y5 = 5(xy)2 – 5(xy) + 1 ↔ 5(xy)2 – 5(xy) + 1 = 11
xy = 2 ↔ (xy)2 – (xy) – 10 = 0 ↔
xy = -1
x + y = 1

↔ (x,y) = ( 1 + 5 ; 1 − 5 );( 1 − 5 ; 1 + 5 ).
2
2
2
2
 xy = −1

Với xy = -1 ta có hệ phtrình 

Với xy = 2 ta có hệ phương trình x + y = 1 xy = 2 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1 + 5 ; 1 − 5 ) và ( 1 − 5 ; 1 + 5 )
2

2

(a + b) = 6a b − 215

2
2

ab(a + b ) = −78
4

Bài 9: Giải hệ phương trình:

2

2

2

2

Đặt (a + b) 2 = x; a − b = y ( x ≥ 0)
2
2
2
2


x 2 = 6 y 2 −215
x −6 y +215 = 0
x −6 y +215 = 0
⇔
⇔ 2
Hpt ⇔
2


y ( x −2 y ) = −78
xy −2 y +78 = 0
x −3 xy −19 = 0
 2
 x 2 −19 

x
−
6
x 2 − 6 y 2 + 215 = 0

x 4 + 721x 2 − 722 = 0

 3x 
 + 215 = 0





⇔
⇔
⇔
x 2 −19
x 2 −19
x 2 −19
y =

y =
3x
3x
y=



3x


(a + b) 2 = 1
x = 1
a = 2

a = −3 a = −2 a = 3
⇔
⇔
⇔
∨
∨
∨
y = −6
b = −3 b = 2
b = 3
b = −2
ab = 6


 y 2 − ( x + 1) y − 2 x 2 + 5 x − 2 = 0
 2 x 2 + xy − y 2 − 5 x + y + 2 = 0
⇔
Bài 10: Giải hệ phương trình: 
 2
2
y
2
 x + y + x + y − 4 = 0
 x + y + x+ y−4=0
 y 2 − ( x + 1) y − 2 x 2 + 5 x − 2 = 0
( y + x − 2 ) ( y − 2 x + 1) = 0
⇔
⇔ 2
2
2

2
 x + y + x + y − 4 = 0
 x + y + x + y − 4 = 0
 x + y − 2 = 0
 x = 1
 2

2
y =1
 x + y + x + y − 4 = 0
⇔
⇔
  x = 1  x = −4 / 5
y − 2x + 1 = 0
 

V
  x 2 + y 2 + x + y − 4 = 0
  y = 1  y = −13 / 5
 4
 5

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1);  − ; -

13 
÷
5

 x + y +1 x + 2 y
+

=2

Bài 11: Giải hệ phuơng trình:  x + 2 y x + y + 1
3 x + y = 4

 x + y +1 x + 2 y
+
=2

Đặt ĐKXĐ của hệ  x + 2 y x + y +1
là (x+2y) (x+y+1) ≠ 0
3 x + y = 4


x + y +1 x + 2 y
( x + y + 1) 2 + ( x + 2 y ) 2
+
=2⇔
=2
x + 2 y x + y +1
( x + y + 1)( x + 2 y )
⇔ ( x + y + 1) 2 + ( x + 2 y ) 2 = 2( x + y + 1)( x + 2 y )

+ Biến đổi phương trình

⇔ [ ( x + y + 1) − ( x + 2 y ) ] = 0 ⇔ ( 1 − y ) = 0 ⇔ y = 1
2

2

+ Thay y = 1 vào phương trình 3x + y = 4 ta tìm đợc x = 1
+ Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của hệ là (1; 1)
 ( x + 1) ( y + 2 ) = 2 (1)

Bài 12: Giải hệ phương trình: ( y + 2 ) ( z + 3) = 6 (2) (I)
 ( z + 3) ( x + 1) = 3 (3)


Nhân (1) (2) và (3) ta có:[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36
(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6
z +3 = 3
z = 0


Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:  x + 1 = 1 ⇔  x = 0
y + 2 = 2
y = 0


 z + 3 = −3
 z = −6


Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:  x + 1 = −1 ⇔  x = −2
 y + 2 = −2

 y = −4


Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)

1 1 9

x
+
y
+
+ =

x y 2

Bài 13: Giải hệ phương trình: 
 xy + 1 = 5

xy 2


Điều kiện xy ≠ 0 . Hệ đã cho

Giải PT(2) ta được:

Từ (1)&(4)

2[xy ( x + y ) + ( x + y )] = 9 xy (1)

2
(2)
2( xy ) −5 xy + 2 = 0

 xy = 2 (3)


 xy = 1 (4) Từ

2

(1)&(3)

 x =1

x + y = 3
 y = 2
⇔
có: xy = 2
x = 2


 y =1


 x =1

3

 y = 1
x+y =




2
2

⇔
có: 
1
1
xy =

x =


2

2
 y =1


Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( x; y ) = (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)
 x3 = 2 x + y
Bài 14: Giải hệ phương trình  3
.
 y = 2 y + x

x = y
x = − y

3
3
2
2
2
2

3
Từ hệ ta có x (2 y + x) = y (2 x + y ) ⇔ ( x − y ) ( 2 xy + x + y ) = 0 ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = 0 ⇔ 

* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ( 3; 3 );( − 3; − 3 )
* Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ( 1; −1 );( −1;1 )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; 3 );( − 3; − 3 );( −1;1 );( 1; −1 )
Bài 15: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU
Bài 16: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU
8 ( 2 x + y ) 2 − 10 ( 4 x 2 − y 2 ) − 3 ( 2 x − y ) 2 = 0

( I) .
Bài 17: Giải hệ phương trình: 
2
2
x
+
y
−
=
2

2x − y


y
.
2
2

  − y 2    − y 


−3 2
− y÷ = 0
−10  4 
÷÷
÷   2 ÷
2
y =0








−y
⇔
 Nếu x =
thì ( I ) ⇔ 
1 : PTVN
2
y
=
2
−
=
2



2
 −y 

2
−
y
÷

 2 
Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm.
±y
Nếu x ≠
Chia 2 vế phương trình (1) cho ( 2 x + y ) ( 2 x − y ) . Ta có :
2
2x − y
 2x + y
8 ( 2 x + y ) 2 − 10 ( 4 x 2 − y 2 ) − 3 ( 2 x − y ) 2 = 0
8
−
10
−
3
= 0 (*)
 2x − y
2x + y


⇔

2

2
x
+
y
−
=
2

 2x + y − 2 = 2
(**)
2
x
−
y


2x − y
* Điều kiện xác định: x ≠


Đặt t =

 3  1 
2x + y
3
−1
3
thì ( *) ⇔ 8t − 10 − = 0 ⇒  t − ÷ t + ÷ = 0 ⇔ t = Ê; t=
2x − y
2

4
t
 2  4 

2x + y 3
5
3
= ⇒x= y
thì
2x − y 2
2
2
Thay vào (**). Ta có:
5
2
1
2× y + y −
= 2 ⇔ 6y −
=2
5
2
2y
2× y − y
2

1 
1
1
−1
⇒ 12y 2 − 4 y − 1 = 0 ⇔  y − ÷ y + ÷ = 0 ⇔ y = ; y =

2 
6
2
6

+ Với t =

1
5 1 5
⇒x= × =
( thỏa mãn ĐKXĐ)
2
2 2 4
−1
5 −1 −5
⇒x= × =
• Với y =
( thỏa mãn ĐKXĐ)
6
2 6 12
2 x + y −1
−3
−1
=
⇒x=
y . Thay vào (**). Ta có :
+ Với t =
thì
2x − y 4
10

4
−3
2
2× y + y −
=2
−3
⇒ 8y 2 − 20 y + 25 = 0 : Phương trình vô nghiệm
10
2× y − y
10
 −5 −1 
5 1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:  ; ÷ và  ; ÷
 2 6 
4 2
• Với y =

Bài 18: Giải hệ phương trình:

Từ (1) ⇒

1 1 1
 x + y + z = 2 (1)

(I ) 
ĐK x; y; z ≠ 0
 2 − 1 = 4 (2)
 xy z 2

1

1 1
2 2 2
+ 2+ 2+ + +
= 4 Thế vào (2) ta được:
2
x
y
z
xy xz yz

2 1
1
1 1 2 2 2
1
1
2 2 2
− 2 = 2+ 2+ 2+ + +
⇔ 2+ 2+ 2+ +
=0
xy z
x
y
z
xy xz yz
x
y
z
xz yz
1 1
 x + z = 0

1 2 1
1
2 1


1
1
1
1


⇔ ( 2 + + 2)+( 2 + + 2) = 0 ⇔  + ÷ + + ÷ = 0 ⇔ 
x
xz z
y
yz z
x z  y z
1 + 1 = 0
 y z
1 1 1
Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z ) = ( ; ; − ) (TM )
2 2 2
2

2

 4
 5

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1);  − ; -

⇔ x = y = −z

13 
÷
5

3



3
(2 x )3 +  ÷ = 18
8 x3 y 3 + 27 = 18 y 3

y
Bài 19: Giải hệ phương trình  2
(2) ⇔ 
.
2


4 x y + 6 x = y
3
3
2 x . 2 x +
÷= 3
 y
y






Đặt a = 2x; b =

3− 5
6  3+ 5
6 
3
a + b = 3
;
÷, 
÷
. (2) ⇔ . ab = 1 Hệ đã cho có nghiệm:  4 ;

y

3+ 5 ÷
3− 5 ÷

 4


Bài 20: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU
3xy = 2 ( x + y )

Bài 21) Giải hệ phương trình : 5yz = 6 ( y + z )

4zx = 3 ( z + x )

+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0.
x + y 3
1 1 3
 xy = 2
x + y = 2


y
+
z
5

1 1 5
=
⇔ (II)  + =
+ Với xyz ≠ 0 thì (I) được viết lại: 
6
 yz
y z 6
z + x 4
1 1 4
=

 + =
3
 zx
z x 3
Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:
1 1 1 11
 1 1 1  11

⇔ + + =
2 + + ÷=
(*)
x y z 6
x y z 3
Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : x = 1, y = 2, z = 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3).
 x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 50(1)
 2
 x − y 2 + z 2 − t 2 = −24(2)
Câu 22. Giải hệ phương trình 
 xz = yt
x − y + z + t = 0


 xz = yt = a
x + z = y − t = b

Đặt 

2
2
2
( x + z ) 2 = 13 + 2 xz


a = 6
 x + z = 13
b = 13 + 2a
⇔

⇔ 2
⇔
Từ (1); (2) ⇒  2 2
2


b = ±5
 y + t = 37
b = 37 − 2a
( y − t ) = 37 − 2 yt
 x = 2

a = 6
 xz = yt = 6
 xz = 6
 yt = 6
z = 3
⇒
⇒
⇒
Với 
Xét 
Xét

 x = 3
b = 5
x + z = y − t = 5
x + z = 5
y −t = 5


  z = 2

a = 6
 xz = yt = 6
⇒
b = −5
 x + z = y − t = −5

Với 

  y = −1

 t = −6
 y = 6

 t = 1

  x = −2

 xz = 6
 yt = 6
 z = −3
⇒
⇒
Xét 
Xét

  x = −3
 x + z = −5
 y − t = −5


  z = −2

 y = 1

 t = 6
  y = −6

 t = −1

Vậy các cặp nghiệm của hệ là: (2; -1; 3; -6); (2; 6; 3; 1); (3; -1; 2; -6); (3; 6; 2; 1);
(-2; 1; -3; 6); (-2; 1; -3; 6); (-2; -6; -3; -1); (-3; 1; -2; 6); (-3; -6; -2; -1).
Bài 23: Giải hệ phương trình:
+ Từ (3): x + y + z = 2 2

x 3 + y3 + z 3 = 16 2

 2
2
2
x + y + z = 8


x + y + z = 2 2

⇔( x + y + z ) =16 2
3

(1)
(2)

(3)


+ Từ (1) và (3) ta có: ( +y + z ) − ( x 3 + y3 + z 3 ) = 0
Biến đổi tương đương ta đưa về được: 3(x + y)(y + z)(x + z) = 0
+ Xét x + y = 0 thay vào (3) ta được z = 2 2 , thay vào (2) được x = 0; y = 0
3

Do đó ta được (x ; y; z) = (0 ; 0; 2 2 )
Xét y + z = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (2 2 ; 0; 0)
Xét z + x = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (0; 2 2 ; 0)
+ Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm: (x; y; z) = (0 ; 0; 2 2 ); (2 2 ; 0; 0);(0; 2 2 ; 0)
 y 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 = 0
 3
2
Bài 24: Giải hệ phương trình:  z − 9 y + 27 y − 27 = 0
 x 3 − 9 z 2 + 27 z − 27 = 0


Cộng từng vế 3 phương trình ta được: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = 0 (4)
3
2

27
>0⇒ y> 0; tương tự : x > 0; z > 0.
4

2
Mặt khác: (1) ⇒ 9x2- 27x + 27 = y3= 9 ( x − ) +

Xét x ≥ 3 từ (3) ⇒ 9z2 – 27z = x3- 27 ≥ 0⇒ 9z (z – 3) ≥ 0 ⇒ z ≥ 3
Tương tự y ≥ 3. Từ (4) ⇒ x = y= z = 3
Xét 0 < x < 3. Từ (3) ⇒ 9z2- 27z = x3 – 27 < 0 ⇒ 9z (z-3) < 0 ⇒ z < 3
Từ (4) ⇒ hệ phương trình vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x= 3; y = 3; z = 3)

 x 3 + x 2 (13 − y − z ) + x(2 y + 2 z − 2 yz − 26) + 5 yz − 7 y − 7 z + 30 = 0 (1)
 3
2
(2)
Câu 25. Giải hệ phương trình:  x + x (17 − y − z ) − x(2 y + 2 z + 2 yz − 26) − 3 yz + y + z − 2 = 0
 x 2 − 11x + 28 ≤ 0
(3)

+ Từ (3) ta có: 4 ≤ x ≤ 7 (*)
 x 3 + x 2 (13 − u ) + x(2u − 2v − 26) + 5v − 7u + 30 = 0
u = y + z

+Đặt 
thì (1) và (2) trở thành:  3 2

v = yz
 x + x (17 − u ) − x(2u + 2v − 26) − 3v + u − 2 = 0
u (2 x − x 2 − 7) + v (5 − x ) + x 3 + 13 x 2 − 26 x + 30 = 0
u = x + 5
y + z = x + 5

⇔
⇔
⇔
2

2
u (1 − 2 x − x ) + v (−2 x − 3) + 17 x + 26 x − 2 = 0
v = 5 x + 1  yz = 5 x + 1


Suy ra y, z là nghiệm của phương trình: X 2 − ( x + 5) X + 5 x + 1 = 0
x ≤ 3
kết hợp với (*) ⇒ x = 7
x ≥ 7

PT có nghiệm ⇔ ∆ = ( x + 5) 2 − 4(5 x + 1) = x 2 − 10 x + 21 ≥ 0 ⇔ 

Thay x = 7 vào phương trình trên ta được: X 2 − 12 X + 36 = 0 ⇔ ( X − 6) 2 = 0 ⇔ X = 6 ⇔ y = z = 6
x = 7

Vậy nghiệm của hệ là:  x = 6 .
z = 6

( x − 2)( x + 1) 2 = 2 − y
 x 3 − 3x − 2 = 2 − y

 3
2
Bài 26: Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau: y − 3y − 2 = 4 − 2z . ⇔ ( y − 2)( y + 1) = 2(2 − z )
( z − 2)( z + 1) 2 = 3(2 − x)
 z 3 − 3z − 2 = 6 − 3x



Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:

(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x + 1) 2 (y + 1) 2 (z + 1) 2 + 6 = 0
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0. ⇔ x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2.

[

]


Vậy: với x = y = z = 2 thỏa mãn hệ đã cho.
 2
x +

Bài 27: Giải hệ phương trình : 
 x+

Điều kiện y ≠ 0

1 x
+ =3
y2 y
1 x
+ =3
y y

2


1

x
1
x
x + 2 + = 3 ⇔  x +  = 3 + (1)
y
y
y
y


x+

2


1
x
1
x
+ = 3 ⇔  x +  − 3 = −
y
y
y
y


(2)

2




1
1


1
1
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được:  x +  +  x +  − 6 = 0 ⇔  x + + 3  x + − 2  = 0
y
y
y
y






x +


x +


Từ

1
1


+3 =0
x + y = −3( 3)
y
⇔ 
1
1

−2 =0
x + = 2( 4 )

y
y

1

 x + y = −3
⇔
(3) và (2) ta có:  x

=
6
y


6 y 2 + 3 y + 1 = 0(*)
vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm

x = 6 y

1

x + y = −3
y 2 − 2 y + 1 = 0

⇔
⇔ x = y = 1; hệ có 1 nghiệm x = y = 1;
Từ (4) và (2) ta có  x
 =1
x = y

y
8

2 + 3x = y 3

Bài 28: Giải hệ phương trình: 
x3 − 2 = 6

y


2 + 3 x = z 3
⇒ 3 ( x − z ) = z 3 − x3

3
2 + 3 z = x
⇔ ( x − z ) x 2 + xz + z 2 + 3 = 0 ⇔ x = z (vì x 2 + xz + z 2 + 3 > 0, ∀x, z ).

2

Đặt = z . Hệ đã cho trở thành
y

(

)

 x = −1
x = 2

3
Từ đó ta có phương trình: x − 3x − 2 = 0 ⇔ 

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( x, y ) = (−1; −2), ( 2,1)