Tổng hợp các thủ thuật làm nhanh trắc nghiệm môn Toán

GIỚI THIỆU MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN
LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
Biên soạn: Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Chiến
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c


b
∆  
b
∆ 
b4
b
b
với ∆ = b 2 − 4 ac
A (0; c ), B − − ; − , C  − ; −  ⇒ AB = AC =
− , BC = 2 −
2



2 a 4 a  
2a 4 a 
16a
2a
2a
Gọi BAC = α , ta luôn có: 8a (1 + cosα ) + b 3 (1 − cosα ) = 0 ⇒ cos α =

b 3 + 8a
1 b2
b
và

S
=
.
−
3
b − 8a
4 a
2a
2 ∆
−
b 4a
3 cực trị: ab < 0

Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x 2 + y 2 − (c + n ) x + c .n = 0, với n =

1 cực trị: ab ≥ 0
a > 0 : 1 cực tiểu

a < 0 : 1 cực đại

a > 0 : 1 cực đại, 2 cực tiểu

a < 0 : 2 cực đại, 1 cực tiểu

Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 3 cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành:
DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân

CÔNG THỨC

8a + b 3 = 0

Tam giác
đều

24 a + b 3 = 0

VÍ DỤ
m ? để hàm số y = x 4 + (m + 2015) x 2 + 5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông
cân.

S∆ABC = S 0

8a + b 3 . tan 2

α
=0
2

32a 3 (S 0 ) 2 + b 5 = 0

m ? để hàm số y = 3 x 4 + (m − 7) x 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc
120 0 .

r∆ABC = r0

BC = m0

S0 = −
r0 =

b5
32a 3

b2

b 3 

a 1 + 1 − 

a 

am02 + 2b = 0

Với a = 3, b = m − 7 . Từ 8a + 3b 3 = 0 ⇒ b = −2 ⇒ m = 5

m ? để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 + m − 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích
bằng 1 .

max (S0 )

9 4
x + 3(m − 2017) x 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông
8
Với a = 9 / 8, b = 3(m − 2017) . Từ 24 a + b 3 = 0 ⇒ b 3 = −27 ⇒ m = 2016

m ? để hàm số y =
đều.

BAC = α

Với a = 1, b = m + 2015 . Từ 8a + b 3 = 0 ⇒ b 3 = −8 ⇒ m = −2017

Với a = m, b = 2 . Từ 32a 3 (S 0 ) 2 + b 5 = 0 ⇒ m 3 + 1 = 0 ⇒ m = −1

m ? để hàm số y = x 4 − 2(1 − m 2 ) x 2 + m + 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
diện tích lớn nhất.

Với a = 1, b = −2(1 − m 2 ) . Từ S 0 = (1 − m 2 )5 ≤ 1 ⇒ m = 0

m ? để hàm số y = x 4 − mx 2 +
đường tròn nội tiếp bằng 1 .

3
có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính
2
Với a = 1/ 2, b = −m . Từ r0 ⇒ m = 2

m ? để hàm số y = m 2 x 4 − mx 2 + 1 − m có 3 cực trị mà trong đó có BC = 2
Với a = m 2 , b = −m . Từ am02 + 2b = 0 ⇒ m = 1 vì m ≠ 0

AB = AC = n0 16a 2 n02 − b 4 + 8b = 0

m ? để hàm số y = mx 4 − x 2 + m có 3 cực trị mà trong đó có AC = 0,25
Với a = m, b = −1 . Từ 16a 2 n02 − b 4 + 8b = 0 ⇒ m = 3 do m > 0

B, C ∈ Ox

b 2 − 4 ac = 0

m ? để hàm số y = x 4 − mx 2 + 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có B, C ∈ Ox
Với a = 1, b = −m, c = 1 . Từ b 2 − 4 ac = 0 ⇒ m = 2 do m > 0

Tam giác
cân tại A

Phương trình qua
điểm cực trị:

Tam giác có
3 góc nhọn

8a + b 3 > 0

Tam giác có
tr. tâm O

b 2 − 6ac = 0

Tam giác có
trực tâm O

b 3 + 8a − 4 ac = 0

3

 −b 
∆
 x + c
BC : y = −

và AB, AC : y = ± 
4a
 2a 
m ? để hàm số y = −x 4 − (m 2 − 6) x 2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
3 góc đều nhọn Với a = −1, b = −(m 2 − 6) . Từ 8a + b 3 > 0 ⇒ b > 2 ⇒ −2 < m < 2
m ? để hàm số y = x 4 + mx 2 − m có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ
O làm trọng tâm. Với a = 1, b = m, c = −m . Từ b 2 − 6ac = 0 ⇒ m = −6 do m < 0
m ? để hàm số y = x 4 + mx 2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có trực tâm
O.

Với a = 1, b = m, c = m + 2 . Từ b 3 + 8a − 4 ac = 0 ⇒ m = −2 do m < 0


Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán
R∆ABC = R0

R0 =

m ? để hàm số y = mx 4 + x 2 + 2m −1 có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp

b 3 − 8a
8ab

Tam giác
cùng O tạo
hình thoi

b 2 − 2ac = 0

Tam giác,

tâm O nội
tiếp

b 3 − 8a − 4 abc = 0

Tam giác,
tâm O
ngọai tiếp

b 3 − 8a − 8abc = 0

Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến

trong đường tròn có bán kính R = 9 / 8
b 3 − 8a
Với a = m, b = 1 . Từ R0 =
⇒ m = −1 do m < 0
8ab

m ? để hàm số y = 2 x 4 + mx 2 + 4 có 3 cực trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình
thoi.
Với a = 2, b = m, c = 4 . Từ b 2 − 2ac = 0 ⇒ m = −4 do m < 0

m ? để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 − 2 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường
tròn nội tiếp.
Với a = m, b = 2, c = −2 . Từ b 3 − 8a − 4 abc = 0 ⇒ m = −1 do m < 0

m ? để hàm số y = −mx 4 + x 2 − 2m −1 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm
đường tròn ngoại tiếp.
Với a = −m, b = 1, c = −2m − 1 . Từ b 3 − 8a − 8abc = 0 ⇒ m = 0, 25 do m > 0

Hàm số y = ax 4 + 2bx 2 + c có 3 cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành:
DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân
tại A
Tam giác
đều

BAC = α

S∆ABC = S 0

CÔNG THỨC
a + b3 = 0

VÍ DỤ
m ? để hàm số y = x + 2(m + 2016) x 2 + 2016m − 2017 có 3 cực trị tạo thành tam
4

Với a = 1, b = m + 2016 . Từ a + b 3 = 0 ⇒ b = −1 ⇒ m = −2017

giác vuông cân.

m ? để hàm số y = 9 x 4 + 2(m − 2020) x 2 + 2017m + 2016 có 3 cực trị tạo thành

3a + b 3 = 0

Với a = 9, b = m − 2020 . Từ 3a + b 3 = 0 ⇒ b = −3 ⇒ m = 2017

tam giác đều.

a + b 3 .tan 2

m ? để hàm số y = 3x 4 + 2(m − 2018) x 2 + 2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác có

α
=0
2

một góc 120 0 .
Với a = 3, b = m − 2018 . Từ a + b 3 .tan 2 60 0 = 0 ⇒ b = −1 ⇒ m = 2017

a 3 (S0 ) 2 + b 5 = 0

m ? để hàm số y = mx 4 + 4 x 2 + 2017m − 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
diện tích bằng 4 2 .

R∆ABC = R0

r∆ABC = r0

R0 =

r0 =

1
2a

Với a = m, b = 2 . Từ a 3 (S0 ) 2 + b 5 = 0 ⇒ m = −1

 2 a 
b − 

b 

m ? để hàm số y = mx 4 − 2 x 2 + 2017m 3 − 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
1  2 a 
bán kính ngoại tiếp bằng 1 .
Với a = m, b = −1 . Từ R0 =
b −  ⇒ m = 1
2 a 
b

b2

m ? để hàm số y = x 4 + 2(m + 5) x 2 + 2016m 3 + 2017 có 3 cực trị tạo thành tam


b 3 

a 1 + 1 − 

a 

giác có bán kính nội tiếp bằng 1 .
Với a = 1, b = m + 5, r0 = 1 ⇒ b ∈ {−2;1} ⇒ m = −7 ∨ m = −4

Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị hàm số y =
Tương giao: Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị hàm số y =

ax + b
ad − bc
đến 2 tiệm cận đạt min d = 2
cx + d
c2

ax + b
tại 2 điểm phân biệt M , N .
cx + d

ax + b
cho ta phương trình có dạng: Ax 2 + Bx + C = 0 thỏa điều kiện cx + d ≠ 0 , có ∆ = B 2 − 4 AC
cx + d
∆OMN cân tại O
∆OMN vuông tại O
k 2 +1
MN =
∆, MN ngắn nhất
2
2
(
x
+
x
)(1
+
k
)
+

2
km
=
0
(
x
.
x
)(1
+ k 2 ) + ( x1 + x 2 ) km + m 2 = 0
1
2
1 2
A

Với kx + m =

khi tồn tại min ∆, k = const
Khối đa diện: loại {n, p } có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì n.M = p.D = 2.C hoặc Euler : D + M = 2 + C
Khối đa diện đều
Tứ diện đều

Số đỉnh

Số mặt

4

Số cạnh
6

Khối lập phương

8

12

6

Khối bát diện đều

6

12

8

Khối thập nhị diện ( 12 ) đều

20

30

12

Khối nhị thập diện ( 20 ) đều

12

30

20

4

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp

Kí hiệu
{3,3}

{4,3}
{3, 4}
{5,3}
{3,5}

Thể tích

V = ( 2 /12)a 3
V = a3

V = ( 2 / 3)a 3
V = (15 + 7 5)a 3 / 4
V = (15 + 5 5)a 3 /12


TÍNH CHẤT

HÌNH VẼ

Cho hình chóp SABC với các mặt

phẳng (SAB ), (SBC ), (SAC ) vuông

Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng
(SAB ),(SBC ),(SAC ) vuông góc với nhau từng đôi

A

một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt

góc với nhau từng đôi một, diện
tích các tam giác SAB, SBC , SAC
lần lượt là S1 ,S2 ,S3 .
Khi đó: VS . ABC =

VÍ DỤ

là 15cm 2 , 20cm 2 ,18cm 2 .Thể tích khối chóp là:

S

C

2S1.S2 .S3
3

B

Cho hình chóp S.ABC có SA
vuông góc với ( ABC ) , hai mặt

S

SB .sin 2α. tan β
12

B

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh bằng a,
cạnh bên bằng b .

S

A

C

3b 3 .sin β cos 2 β 3 3
=
⇒ Chọn đáp án A.
4
4
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy
bằng a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 .
Thể tích khối chóp S.ABC là :
a3
a3
a3 3
a3 3
A.

.
B.
.
D.
.
C.
.
24
48
24
36

A
M

S

A
G

M

Khi đó: VS . ABC =

a 3 tan β a 3 3
=
. ⇒ Chọn đáp án D.
12
36
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là

hình
vuông
cạnh
bằng
a,
và
SA = SB = SC = SD = a . Thể tích khối chóp
S.ABCD là:

S

D

a 2 4b 2 − 2a 2
6

A
M

O
C

B.

VSABC =

B

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh bằng a, và
SA = SB = SC = SD = b .

a3 3
.
24

VS . ABC =

B

Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có các cạnh đáy bằng a,
cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
góc β .

A.

VSABC =

S

G

a 3 .tan β
12

2S1.S 2 .S3

C

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có các cạnh bên bằng b và cạnh bên
tạo với mặt phẳng đáy góc β .

Khi đó: VS . ABC =

a 3 20
.
6

a 3 tan α a 3 3
=
⇒ Chọn đáp án C.
24
24
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên
bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 .
Thể tích khối chóp S.ABC là :
3
3 3
3
3 3
D. .
C.
.

A.
.
B.
.
4
4
24
6

S

G

3b 3 .sin β cos 2 β
4

D.

C

M

B

Khi đó: VS . ABC =

a 3 20
.
2

a3 2
a3 2
a3 3
.
C.
.
D.
.
12
24
12
a3 2
a = b ⇒ VSABC =
⇒ Chọn đáp án B.
12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600.
Thể tích khối chóp S.ABC là :
a3
a3
a3 3
a3 3
B.
.
D.
.
A.
.
C.
.

24
12
48
24

C

A
G

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo
với mặt phẳng đáy góc α .
a 3 tan α
Khi đó: VS . ABC =
24

C.

ASB = 30o . Thể tích khối chóp SABC là:
3a 3
a3 2
a3 3
a3 6
A.
.
B.
.
D.
.

C.
.
8
8
2
6
SB 3 .sin 2α. tan β 3a 3
VS . ABC =
=
⇒ Chọn đáp án A.
12
8
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a . Thể tích khối
chóp S.ABC là:

C

A

3

a 2 3b 2 − a 2
12

a 3 20
.
3

(SBC ) vuông góc với nhau, SB = a 3 , BSC = 45o ,

với nhau, BSC = α, ASB = β .

Khi đó: VS . ABC =

B.

= a 3 20 ⇒ Chọn đáp án A.
3
Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , hai mặt phẳng (SAB ) và
VABCD =

phẳng (SAB ) và (SBC ) vuông góc

Khi đó: VS . ABC =

A. a 3 20.

B

a3 6
a3 2
.
B.
.
6
2
⇒ Chọn đáp án C.
A.

C.

a3 2
.
6

D.

a3 3
.
3


Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy
là α .
a 3 .tan α
Khi đó: VS . ABCD =
6

Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến
S

A

D

B
S

có cạnh đáy bằng a, SAB = α ,
π π 
với α ∈  ; 
 4 2 
Khi đó: VS . ABCD =

a

D

tan α −1
6

C

S

A

D

(2 + tan α)

B

phẳng đi qua A song song với BC
và vuông góc với (SBC ) , góc giữa

F
N
A

với BC và vuông góc với (SBC ) , góc giữa ( P ) với

E

x

G

3

a cot α
24

C
M

B

mặt phẳng đáy là 30 0 . Thể tích khối chóp S.ABC là:
a3
3a 3
a3 3
a3 3
D.
C.

B.
A.
8
8
24
8

a 3 cot 300 a 3 3
=
⇒ Chọn đáp án A
24
24
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình
lập phương cạnh a có thể tích là:
a3
a3
a3 3
a3 3
A.
.
C.
.
B.
.
.
D.
12
6
4
2

⇒ Chọn đáp án C.
VSABC =

A'

B'
O'

D'

O1

C'
O2

O4
A

O3

B
O

D

C
S

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối
tâm của các mặt bên ta được khối

lập phương.

G2
D

A G1

3

2a 2
Khi đó: V =
27

4 3
⇒ Chọn đáp án B.
27

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A song song

S

( P ) với mặt phẳng đáy là α .

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm
các mặt của hình lập phương cạnh
a.
a3
Khi đó: V =
6

VS . ABCD =

C

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có cạnh đáy bằng a. Gọi ( P ) là mặt

Khi đó: VS . ABCD =

M

O
3

a 3 tan 2 α −1 a 3 2
⇒ Chọn đáp án B.
=
6
6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên
bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 450 .Thể
tích khối chóp S.ABCD là:
4
3
4 3
4 3
D.
.
A.

.
B.
.
C.
.
27
2
7
27
VSABCD =

B

4 a .tan α
3

M

O

3

2

bằng a, SAB = 60 0 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
a3
a3 2
a3 2
a3 6
D.

.
B.
.
A.
.
C.
.
6
12
6
2

A

2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi
mặt bên và mặt đáy là α với
 π
α ∈ 0;  .
 2 
Khi đó: VS . ABCD =

VSABCD =

C

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

3

a 3 tan α a 3
=
⇒ Chọn đáp án D.
6
6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy

M

O

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là
450 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
a3
a3
a3 3
a3 6
A.
.
D.
.
B.
.
C.
.
12
6

6
2

N

M

C

B

S'

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Tỷ
a3
số
gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
V
A. 9,5.
B. 7,8.
C. 15, 6.
D. 22,6.

V=

2a 3 2
a 3 27 2
⇒ =
≈ 9,5 ⇒ Chọn đáp án A.

27
V
4

GIỚI THIỆU 500 CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN, OXYZ VÀ 300 CÔNG THỨC GIẢI