TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH

Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

PHẦN I: ĐỀ THI

1


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2005-2006

MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:4/4/2006

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1:
A
B
C
, cotg , cotg
lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó.
2
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của góc B .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
32 x  y  3x 3 y  3

 y  1 3 x  3 y
 3m  2 x
3   
3


a) Tam giác ABC có cotg

Câu 2:Giải phương trình :
1
1
1
2
s in x + sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x   cos x  1  s in 5 x+4 
2
3
4
3
Câu 3:
Cho biết: x  sin x , x  0
a)Chứng minh: cos x  1 

x2
x  0
2

1 n 


.
k .cos 
2 
n k 2 
k
I
,
J
Câu 4:Tứ diện ABCD có AB  CD .Gọi
thứ tự là trung điểm của AB, CD .
Cho biết IJ  AB và IJ  CD .Lấy các điểm M , N thứ tự thuộc các cạnh AC , BD sao
cho AM  BN .
a)Chứng minh IJ  MN và IJ đi qua trung điểm của MN .
b) Tìm vị trí của M trên cạnh AC để độ dài đoạn thẳng MN bé nhất.





b)Tìm giới hạn của dãy số  un  n  N * với un 

Bài 5:
Cho tam giác nhọn ABC .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1
1
1
P  cos A  cos B  cos C 



cos A cos B cos C
--------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------

2


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2006-2007
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1: Tìm các giới hạn:
x 1
x 1

2006

2006

a. lim

b. lim 2005

x  2007 x

x  2006 x
Bài 2: a. Chứng minh rằng phương trình 1 cos 2x  2m sin x luôn có nghiệm với mọi
giá trị của m .
b. Giải phương trình: cos 2x( cos x  sin x )  cos8 x  sin8 x
x 1

x 1

Bài 3: Tam giác ABC không tù thỏa mãn A  B  C . Tính các góc của tam giác nếu
đại lượng P  cos A  cos B  cos C  2sin A.sin B đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Hình chóp tam giác ABC có đáy là tam giác vuông tại A , góc ACB   và
cạnh BC  a . Mặt bên ( SBC ) vuông góc với đáy. Hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc  .
Các góc SBC và SCB đều nhọn.
a. Cho   450 ,   600 , hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SABC
theo a .
b. Khi a và  không đổi, tìm giá trị của  để đường cao SH của hình chóp có độ dài
lớn nhất.
3
Bài 5: Ba số a, b, c  (0; ) và a  b  c  3 . Chứng minh bất đẳng thức:
2
1
1
1
9



3  2a

3  2b
3  2c ab  bc  ca
----------------------------------------------------HẾT ---------------------------------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
Giám thị không giải thích gì thêm.

3


Tuyn tp 10 nm thi hc sinh gii tnh H Tnh mụn Toỏn lp 11
S GIO DC V O TO
H TNH

K THI CHN HC SINH GII TNH CP THPT
NM HC 2007-2008
MễN TON LP 11
Thi gian lm bi: 180 phỳt

THI CHNH THC

Bài 1: a,Gii phng trỡnh sin x 1 sin x cos x 1 cos x
b,Chng minh h phng trỡnh sau cú ỳng 3 nghim
x3 1 3 y
3
y 1 3x
Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC bit

cos A 2 cos B 3 cos C 2 sin

A
B
C
4 sin 6 sin 9
2
2
2

Bi 3. Chng minh C 2nn12 chia ht cho n 2 vi mi n nguyờn dng
Bi 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Kẻ AB1 SB; AC1 SC với
B1 SB, C1 SC . Gọi I là giao điểm của B1C1 và BC và AD là đ-ờng kính của đ-ờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng:
a. AI SD .
b. Tồn tại điểm cách đều A, B, C , D, B1 , C1 .
Bài 5: Cho 3 số thực d-ơng x, y, z thoả mãn x y z 1 . Chng minh bt ng thc:

x 1 y 1 z 1
x z y


2( )
yz zx xy
z y x
----------------------------------------------------HT ---------------------------------------------------

Thớ sinh khụng c s dng ti liu v mỏy tớnh cm tay,
Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm.

H v tờn thớ sinh: S bỏo danh:

4


Tuyn tp 10 nm thi hc sinh gii tnh H Tnh mụn Toỏn lp 11
S GIO DC V O TO
H TNH

K THI CHN HC SINH GII TNH CP THPT
NM HC 2008-2009
MễN TON LP 11
Thi gian lm bi: 180 phỳt

THI CHNH THC

Bài 1: Cho ph-ơng trình: (m 3) sin3 x (m 1) cos3 x cos x (m 2) sin x 0
a. Giải ph-ơng trình khi m 5 .
b. Xác định m để ph-ơng trình có đúng một nghiệm x [ ;
Bài 2: a. Tìm giới hạn: lim

5
]
4

2 x 2 3 12x 8

x 0

x2

x2

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x cos x cos 2 x
8

Bài 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
1
1
1



cos A cos B cos C

1



1



1

A
B
C
sin
sin
2
2
2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
sin

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AD 2a , đáy nhỏ BC a , các cạnh
bên AD BC a . Trên nửa đ-ờng thẳng At vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) lấy
điểm S (không trùng với A ). Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với SD cắt cạnh
SB, SC , SD lần l-ợt tại B1, C1, D1.
a. Chứng minh rằng AB1C1D1 là tứ giác nội tiếp đ-ợc trong một đ-ờng tròn.
b. Khi điểm S chạy trên nửa đ-ờng thẳng At , chứng minh rằng đ-ờng thẳng C1 D1
đi qua một điểm cố định.

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 2 ta luôn có:

1. C1n 2. C 2n ... n. C nn 2 n 1.n 3
Trong đó C kn là số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.
----------------------------------------------------HT --------------------------------------------------- Thớ sinh khụng c s dng ti liu v mỏy tớnh cm tay,
- Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm.H v tờn thớ sinh:
S bỏo danh:

5


Tuyn tp 10 nm thi hc sinh gii tnh H Tnh mụn Toỏn lp 11
S GIO DC V O TO
H TNH

K THI CHN HC SINH GII TNH CP THPT
NM HC 2009-2010
MễN TON LP 11
Thi gian lm bi: 180 phỳt

THI CHNH THC

Bài 1. a) Tam giác có độ dài 3 cạnh a, b, c lập thành 1 cấp số cộng theo thứ tự đó. Chứng
A
B
C
minh cot , cot , cot
theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.
2
2
2
b) Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sau có bao nhiêu số hạng
20

10

1
1


A x 2 x3
x
x



4(sin x 3 cos x) 4 3 sin x cos x 3
1
Bài 2. Giải ph-ơng trình:

4 cos 2 x 1
Bài 3. Tam giác ABC có các góc A, B nhọn thoả mãn điều kiện (0; 2) sao cho

sin 2 A sin 2 B sin C . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?
Bài 4. Trong mặt phẳng ( P ) cho đ-ờng tròn (C ) đ-ờng kính AB . Gọi d là đ-ờng thẳng
vuông góc với ( P ) tại A . Lấy S cố định trên d , điểm M thay đổi trên (C ) . Gọi H , K
lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SM .
a) Chứng minh SB KH .
b) Gọi I là giao điểm của các đ-ờng thẳng HK và MB . Chứng minh AI là tiếp
tuyến của (C ) .
c) Tìm vị trí của M trên (C ) để diện tích tam giác KAB đạt giá trị lớn nhất.

u1 1

1
Bài 5. Cho dãy số (U n ) xác định bởi
2
un 1 un n , n
2

a) Chứng minh un 1 un

1
, n
2n

*

*

.

.

b) Tìm lim un
x

----------------------------------------------------HT ---------------------------------------------------

6


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2010 – 2011.
MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 5 /4/2011

®Ò chÝnh thøc

2sin 2 (



Bài 1. a) Giải phương trình :

b) Tìm m để phương trình cos

x
 ) s inx - cos 3 x
4 2
 0.
sin 3 x  cos3 x

4x
2x
 cos 2
 m  0 có nghiệm.
x 1
x 1
2

Bài 2. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :
8 cos A sin B sin C  4 3(sin A  cos B  cosC)  17  0 .
Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3. a) Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển: (1  2 x  3x 2 )10
b) Tính tổng : S 
Bài 4.

Cn0
Cn1
Cn2
Cnk
Cnn




...


...

Cn1 2 Cn23 Cn3 4
Cnkk1 2
C2nn12

(với n  N * ).

Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC ' và A ' B .
b) Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A ' B ' , BC , DD ' sao cho
A ' M  BN  DP . Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một
đường thẳng cố định khi M , N , P thay đổi.

Bài 5. Dãy số thực (an ) thỏa mãn điều kiện :

1

a1  2


an2
an 1 
n  N *

an2  an  1

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

n

a
i 1

i

.

 1.

___ Hết ___
Ghi chú : Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

7


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

sin x  cos x
sin 3 x  cos3 x

sin 3x  cos 3 x
sin x  cos x
x

a
 0

b) Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn 
xn 1
 xn  2.x  1
n 1


Bài 1: a) Giải phương trình

Tim số hạng thứ 2012 của dãy.
2
2
b  a  ac
Bài 2: a) cho tam giác ABC thỏa mãn :  2
2
c  b  ba
.
Chứng minh các góc của tam giác lập thành cấp số nhân.

b) Đường tròn nội tiếp tam giác cân ABC cắt đương cao AK tại H . Giả sử BH

vuông góc với AC .Tính cos A
Bài 3: Cho khai triển S  (1  2x)10 ( x2  x  1)2  a0  a1x  ...  a14 x14
Tính a6 .
Bài 4. Cho hính chóp S.ABC có SA  SB  AB  AC  a ,diện tích tam giác SBC
là S 0 .Gọi M là điểm di động trên SB, N là trung điểm của BC .Biết AN vuông góc với
mặt phẳng ( SBC ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN theo a và S 0 .
Bài 5: Chứng mình rằng : Với mọi tam giác ABC ta luôn có
8cos A.cos B.cos C  cos(C  A).cos( A  B).cos( B  C ) .
----------------------------------------------------HẾT --------------------------------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………………………………Số báo danh: ………………

8


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:4/4/2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. a) Giải phương trình:

2 3 sin x. 1  cos x   4cos x.sin 2
2sin x  1

x
3
2
0

b)Tính giới hạn sau
L  lim
x 0

2 x  1. 3 2.3 x  1. 4 3.4 x  1...2013 2012.2013 x  1  1
x

Câu2. a) Cho khai triển:

1  x  x

2

 x3  ...  x10



11

 a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...  a110 x110

Chứng minh đẳng thức sau:

1
10
11
C110 a0  C11
a1  C112 a2  C113 a3  ...  C11
a10  C11
a11  11

1 nCnn

Cn1 2Cn2 3Cn3


 ... 
b) Tính tổng: S 
2.3 3.4 4.5
 n  1 n  2 
n

Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao BB '  5; CC '  2 và
2
. Tính diện tích tam giác ABC.
cos CBB ' 
5

b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A  B  C  . Tính các góc của tam
2
giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
P  2cos 4C  4cos 2C  cos 2 A  cos 2B
Câu 4. Cho hình chop S.ABC có SC   ABC  và tam giác ABC vuông tại B . Biết

AB  a; AC  a 3 và góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) bằng  với

13
. Tính độ dài SC theo a .
19
4

a1  3
n  1, n 
Câu 5. Cho dãy số  an  thỏa mãn: 
2
2
 n  2  a  n a   n  1 a a
n
n 1
n n 1

sin  

Tìm lim an .
----------------------------------------------------HẾT -------------------------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
- Giám thị không giải thích gì thêm.

9


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

SỞ GDĐT HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2013-2014

MÔN TOÁN:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:25/3/2014

Câu 1. a) Giải phương trình: 3tan2 x 
b) Tính giới hạn sau: I  lim

x 1

3

3
1  cotx
2
 2 cos 2 x  0
cos 2 x
1  cotx

3x  4  2 x  3
x3  2 x 2  x

Câu 2. a) Tìm các số nguyên dương n, k biết n  20 và Cnk 1 ; Cnk ; Cnk 1 theo thứ tự
là các số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ 5 của một cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn
sin 2 B  sin 2 C  sin B sin C  sin 2 A .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  cot A  cot B  cot C
Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC cố định. Trên tia Ax  ( ABC ) lấy điểm S khác A .
Kẻ các đường cao BH của các tam giác ABC ( H thuộc AC ). Gọi ( P ) là
mặt phẳng qua C và vuông góc với SB , giả sử ( P ) cắt tia đối của tia AS
tại M . Đường thẳng MH cắt SC tại N .
a). Chứng minh MC  ( SHB ) , SC  ( MBN )
b). Biết cạnh BC  a , ABC   ; ACB   . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện
tích tam giác SMC theo a,  ,  khi S di động trên tia Ax ( S khác A ).
Câu 4. Cho dãy số  un 

Chứng minh

u1  1; u2  3

thỏa mãn:  un 1 un2
 u  u 2  2, n  2, n 
n 1
 n

1 1
1 5 5
  ...  
u1 u2
un
2

-------------HẾT -------------

10


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1.

a) Giải phương trình: 2cos 4 x  cos 2 x  1  3sin 2 x .
b) Giải phương trình: 8 x 3  10 x  17  8 3 24 x 2  30 x  7 .
Câu 2.
a) Cho khai triển (1  2 x)n  a0  a1 x  ...  an x n , với n là số tự nhiên thỏa mãn

Cn1  2

Cn2
Cn3
Cnn


3

...

n
 78 . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
Cn1
Cn2
Cnn1

b) Cho tam giác ABC thỏa mãn C  B  A  900 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

P  cos

A B
A
B
.sin .sin .
2
2
2

Câu 3. Trong mặt phẳng ( P ) cho nửa đường tròn (O) đường kính AC. Điểm B di
động trên nửa đường tròn (O) với B khác A và C . Trên nửa đường thẳng Ax
vuông góc với ( P ) lấy điểm S sao cho SA  AC  a . Gọi H , K lần lượt là
chân đường cao hạ từ A xuống SB.SC .
a) Chứng minh rằng tam giác AHK vuông. Tính diện tích tam giác SBC theo a
biết

HK 

a 34
.
34

b) Xác định vị trí của B trên nửa đường tròn (O) sao cho tổng diện tích các tam
giác SAB và CAB lớn nhất.
Câu 4. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau:

xn3  2 xn  4
với n  1, 2,...
xn2  xn  6
n
1
Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn   2
. Tìm lim yn .
i 1 xi  4

x1  3 và xn1 

Câu 5. Cho x, y, z dương thỏa mãn 3xy  yz  2 zx  6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

P

1
4
9



.
2
2
1 x
4  y 9  z2
-------------HẾT ------------11


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

PHẦN II: ĐÁP ÁN

12


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
Đáp án đề thi năm học 2005-2006.
Câu 1:
a, Từ giả thiết ta có:
B
 A
C
2 cot    cot    cot  
2
2
2
B
 AC 
cos   sin 


2
 2 
2
A
C
B
sin   sin sin
2
2
2




B
2
1
0
 cos 

2   B  sin A sin C 
 sin  2 
2
2 
  
B
1

 0 (do cos  0 với B  180 )

B
A
C
2
sin
sin sin
2
2
2
AC
AC
B
 cos
 cos
 sin  0
2
2
2
B
AC
 2sin  cos
(1)
2
2
B 1
VP(1)  1 suy ra VT(1)  1 khi đó sin  hay B  60
2 2
Vậy GTLN của góc B là 60
b, Ta có:
32 x  y  3x 3 y  3


 2 x  y  1 3 x  3 y
 
 3m
3
3

2 x y

 3x  3 y  3
3
  2 x y
(I )
 3 ( x 3 y )  3m

3
Đặt 32 x  y  u , 3x 3 y  v ( 0  u  3, 0  v  3 ). Khi đó hệ phương trình (I) trở thành:


2

u  v  3

 1 m
u  v  3
u  v  3


1
m

3  v  v  3
u  v  3

  3v  v 2  1 m
3

v


13


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
3v  v 2  1 m
3
v
v 2  1
f 'v 
 0 v   0,3
v2
Ta có bảng biến thiên
v
0

f 'v

f v

Đặt f  v  

3





1
3

Từ bảng biến thiên suy ra 3m  f  x  
Vậy để hệ có nghiệm thì m  1

1
 3m 1  1  m  1
3

Câu 2:
1
1
1
2
sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x   cos x  1 (sin 5 x  4)
2
3
4
3
1
1
2
 sin x  sin x cos x  sin x cos 2 x  sin 2 x cos x  sin x cos x cos 2 x  (cos x  1)(sin 5 x  4)

3
3
3

1
2
2
 sin x(1  cos x  cos 2 x  cos 2 x  cos x cos 2 x)  (cos x  1)(sin 5 x  4)
3
3
3
2

 2
 sin x 1  cos x   cos 2 x  cos x  1   cos 2 x  cos 2 x     cos x  1  sin 5 x  4 
3

 3
2

 2
 sin x 1  cos x   cos 2 x  cos x  1  1  cos x 1  cos x     cos x  1  sin 5 x  4 
3

 3


2 2

 2

 1  cos x  sin x 1  cos 2 x   cos x     cos x  1 (sin 5 x  4)
3 3

 3

1  cos x  0 1


2 2

 2
5
sin x 1  cos 2 x  3  3 cos x   3 (sin x  4)  2 



1  x    k 2  k  

 2  sin x 3cos2 x  cos x  1  sin5 x  4 (3)
14


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
Với sin x  0 thì VT(3)  0Với sin x  0 thì
VP(3)= sin5 x  1  1  1  1  5sin x  sinx 3  1  1  sinx 3cos 2 x  cos x  1



=VP(3) (vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm x    k 2  k 



Câu 3:
a) Từ giả thiết x  sinx , x  0 suy ra

x
x
 sin
2
2
x 2 1  cos x

4
2
x2
 cos x  1   dpcm 
2
b) Từ câu (a) ta có:


2 
2
k .cos  k 1  2   k 
k
2k
 2k 


 1
2  1
1


 k .cos   2 1  2   n   2  1    
k n
2n  2
n
k 1 
2
2
n 1   1
1  n 1 

 2 1     

2n 2n  2
n  2n 2n
n 1  2

Vậy ta có: U n 
1
2n 2n

Lại có: k cos  k
k
1 n 
 1
n 1

 U n  2   k cos   2 1  2  3  ...  n  
 2
n k 1 
k n
2n
1
 Un  2
n

n

n 1  2
n 1

 Un 
2n 2n
2n
2
 n 1  
 n 1  1
lim 
   lim 

n 
n

 2n  2
 2n 2n 

Từ (1),(2) 

Mà :

Từ đây ta suy ra:

lim U n 

n 

1
2

15




Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
Câu 4:

A

Q
I

M
D
E

N

B

J
P
C

a)
*)Trong mp  ABC  ,từ M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P .
Khi đó:
AM BP

Trong ABC ta có: MP / / AB 
(định lí ta-lét) (1)
AC BC
Do AB  IJ  gt  , AB  JC  gt   AB   IJC   AB  IC
Mà IA  IB  gt   ABC cân tại C  CA  CB

(2)

Tương tự : BD  BC
(3)
Từ (1),(2) và AM  BN  BP  BN
(4)
BP BN

 NP / / CD  IJ  NP (vì IJ  CD )
Từ (3),(4) 
BC BD
Mặt khác: IJ  MP (vì MP / / AB  IJ )
Từ đó suy ra IJ   MNP   IJ  MN (đpcm)

*)Gọi E là trung điểm MP .Khi đó:
Do CP  CM (vì BC  AC ; BP  AM ) nên suy ra:
CPM cân tại C  MP  CE
Mà MP  JC  gt   MP   JCE 

 MP  JE mà EM  EP
16


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

 JMP cân tại J
 JM  JP

(5)
Ta có: PJC  NJD  c.g.c   JN  JP

(6)

Từ (5),(6)  JN  JM
Lại có: IJ  MN  đpcm
AM
b) Đặt x 
1  x  0 
AC
 AB  CD

Do  MP / / AB  MP  NP hay là MPN  900
 NP / / CD


Trong tam giác vuông MPN  MN 2  NP 2  MP 2
MP MC

 1  x  MP  1  x  AB
Ta có:
AB AC
NP BP AM


 x  NP  xCD
CD BC AC

 MN 2  MP2  NP2  AB2 1  x   x2CD2   AB  CD   const
2

2

AB CD

1 x
x
CD
x
CD  AB
CD. AC
 AM 
CD  AB

Dấu „=‟ xảy ra 

Câu 5:
Ta sẽ chứng minh BĐT sau: cos A  cos B  cos C 

3
2

1

A B
A B
3
cos
 cos C 
2
2
2
C
A B
C
3
 2sin cos
 1  2sin 2 
2
2
2 2
C
C
A B 1
 sin 2  sin cos
 0

2
2
2
4

Thật vậy : BĐT(1)  2 cos

A B  1 2 A B
 C 1
  sin  cos
 0 (luôn đúng)
  sin
2 2
2  4
2

Vậy BĐT(1) đã được chứng minh xong.
3

Đặt x  cos A, y  cos B, z  cos C  0  x, y, z; 0  x  y  z  
2

1 1 1
Khi đó: P  x  y  z   
x y z
1 
1 
1
3 15


  4 x     4 y     4 z    3  x  y  z   4  4  4  3. 
x 
y 
z
2 2

2

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi A  B  C  60
17


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

Đáp án đề thi năm học 2006-2007
Bài 1:
a)Ta có:
2006
2006
x 1
x 1
lim
 lim
x 1
x

1
2006
2006
2005

2006
x 1
x 1 .
x

x 2004 





1

 lim

x 1 2006

x

2005



2006

x



2004



2006

x 1





 2006 x  1

1
2006

b)Biến đổi tương tự câu (a) ta có:
2006
x  1 2007 x  1
1
1


2006
2007
x
x
x  1  2006 2007  2005
lim 2005
 lim 2005x  1

2006
2006
x 1
x

1
1
1
2007
x
x
x 1
x 1


2005
2006
x 1
x 1
Bài 2:
a) Ta có: 1  cos 2 x  2m.s inx
 1  1  2sin 2 x  2m.sinx
 2sin 2 x  2m.sinx  2  0
 sin 2 x  m.s inx  1  0
Đặt t  s inx khi đó t   1;1 thì phương trình (1) trở thành:
f (t )  t 2  m.t  1

Do f (1). f (1)  m2  0
 f (t ) luôn có nghiệm với mọi m
 đpcm

b) cos 2x ( cos x + sinx ) = cos8 x  sin 8 x (1)
đkxđ: cos x  0;s inx  0;
pt(1)  cos 2x ( cos x + sinx ) = ( cos 4 x  sin 4 x )( cos 4 x  sin 4 x )
 cos 2x ( cos x + sinx ) = cos 2x ( cos 4 x  sin 4 x )
 cos 2x  cos  s inx   cos 4 x  sin 4 x    0


cos 2 x  0(2)
 
4
4
 cos x  s inx   cos x  sin x   0(3)
(2)  cos 2 x  0










 k
2
 k
x 
4 2
 2x 

(3) 





cos x  sin x   cos 4 x  s in 4 x   0

18


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11





4

 sin x  sin x
Do sin x  1;cos x  1  
4

 cos x  cos x



cos x  sin x   cos4 x  sin 4 x   0

 x  k 2

 s inx  s in 4 x
cos x  1 



(k  Z )
4
 x    k 2
s inx=1
 cos x  cos x

2

Đối chiếu điều kiện thì x 

 k


; x  k 2 ; x   k 2 thỏa mãn với k  Z
4 2
2

Bài 3:
Ta có: P  cos A  cos B  cos C  2sin A.sin B
 cos A  cos B  cos  A  B   cos  A  B   cos  A  B 
 cos A  cos B  cos  A  B 

Vì 0  C  B  A 



(1)
2
sin 2 A  sin 2 B sin 2 A sin 2 B
cos  A  B  


2sin  A  B 
2sin C 2sin C
sin A
sin B
 cos A.
 cos B
sin C
sin C
sin A
sin B
 1;
 1;cos A  0;cos B  0;
Từ (1) 
sin C
sin C
 cos  A  B   cos A  cos B  P  0
Dấu “=” xảy ra
 cos A  0

(2)
  sin B  1
  sin C
   sin A


1
  sin C
(3)
  sin B

1
  sin C
 A  90
(2)  
 B  C  45
(3)  sin A  sin B  sin C  A  B  C  60
Vậy P lớn nhất khi A  90 ; B  C  45 hoặc
A  B  C  60 s
B
Bài 4:
Do mp( SBC )  ( ABC ) và các góc SBC
, SCB đều nhọn nên H thuộc cạnh BC của
tam giác ABC .

S

K
H
C

M

N

19
A


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
Vẽ HM  AC , HN  AB suy ra AC  SM , AB  SN nên SMH  SNH  
 SMH  SNH  MH  NH  tứ giác AMHN là hình vuông.
a
a) Khi   45 thì tam giác ABC vuông cân tại A nên AH  BC, AH  .
2
Vẽ tia phân giác của góc SMH cắt SH tại K
Vẽ tia phân giác của góc SHA cắt AK tại I thì I cách đều 4 mặt của hình chóp S.ABC
nên nó là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp.
a
a
Ta có : HM  .sin 45 
2
2 2
a
1
a
Xét tam giác vuông KHM có: KH  HM .tan 30 
do KMH  30
.

2 2 3 2 6
Vẽ IE  AH , IF  HK  IE  IF  r thì r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
S.ABC .
Ta có: IE. AH  IF .HK  AH .HK  2S AHK
a a

.
AH .HK
a
2 2 6
r


AH  HK a  a
2 6 1
2 2 6
NH
x
 BH 
b)Đặt HM  HN  x . Xét tam giác vuông MBH : BH 
(1)
cos 
cos 
HM
x
 HC 
Xét tam giác vuông NCH : HC 
(2)
sin 
sin 
a.sin  .cos 
.tan 
Xét tam giác vuông SHM : SH  x. tan  
sin   cos 
sin  .cos 
Do  ,  không đổi nên SH lớn nhất 

lớn nhất.
sin   cos 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta được:
2
 sin   cos  


sin  .cos 
2
  1 sin   cos   2



sin   cos 
sin   cos 
4
4
sin   cos 
Dấu “=” xảy ra  
   45
sin   cos   2





Vậy đường cao SH của hình chóp S.ABC lớn nhất khi và chỉ khi   45
Bài 5:
f (t )  t 3  1
3  2a  x; 3  2b  y; 3  2c  z (đk: x,y,z > 0)

Đặt

 x  3  2a

3  z2
3  x2 3  y 2
  y 2  3  2b  c 
;a 
;
và x 2  y 2  z 2  3
2
2
2
 z 2  3  2c

2

20


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11

3  x  . 3  y   3  y  . 3  z   3  z  . 3  x 
 ab  bc  ca 
2

2

2

2

2

2

2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
3.3.3  3.2.  x  y  z   x y  y z  z x
9  x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2


4
4
1 1 1
36
BĐT    
2 2
x y z 9  x y  y 2 z 2  z 2 x2
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
1 1 1

3
  
x y z 3 xyz
2

2

x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2  3 3 x4 y 4 z 4


36
12

2 2
2 2
9 x y  y z  z x
3  3 x4 y 4 z 4

Đặt

2

3

2

xyz  t  t  0  khi đó ta cần chứng minh

3
12

2

 3t 4  9  12t   t  1 .  t 2  2t  3  0 luôn đúng t  0
4
t 3t
Vậy f  t   t 3  1
Dấu “=” xảy ra  x  y  z  1 hay a  b  c  1

21


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
Đáp án đề thi năm học 2007-2008
Bài 1.
a) s inx  1  s inx  cos x  1  cosx
1
1
 (1  sin x)  1  sin x   (1  cos x)  1  cos x 
4
4
2

1 
1

  1  sin x     1  cos x  
2 
2

1

1

 1  sin x  2  1  cos x  2 (1)

 1  sin x  1  1  1  cos x (2)

2 2
Ta có:
(1)  sin x  cosx

 x=


4

2

 k

(2)  1  s inx  1  cos x  1

 1  sin x  2  cos x  2 1  cos x
 1  sin x  cos x  2 1  cos x
 2  2 cos x  2sin x  2sin x cos x  0
 1  sin x  cos x   0
2

 sin x  cos x  1





 sin  x    sin
4
4

  
 x  4  4  k 2

 x    3  k 2

4
4
 x  k 2

 x    k 2

2
Thử lại ta có cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.
Phương trình có nghiệm
x  k 2

x   k 2 , (k  ).
2

x   k
4

 x3  1  3 y
b)  3

 y  1  3x
22


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
Ta có:

 f ( x)  y
với f (t )  t 3  1

 f ( y)  x
Xét f (t )  t 3  1 , có:

f '(t )  3t 2  0 với t 
Suy ra f (t ) là hàm đồng biến, suy ra x  y , do vậy hệ trở thành:
3

 x  1  3x
 3

 y 1  3y

Xét f ( x)  x3  3x  1 ta có:

f '( x)  3x 2  3
f '( x)  0  x  1
Ta có bảng biến thiên:

x



f ( x)

-1
+



1

0

-

0

+



3
f '( x)



-1

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x)  0 có 3 nghiệm phân biệt với
mỗi x ta có nghiệm x  y.

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm ( x; y ) phân biệt.
Bài 2
A
B
C
 4sin  6sin  9
2
2
2
A
B 
C
A
B
C

 1  2sin 2  2 1  2sin 2   3 1  2sin 2   2sin  4sin  6sin  9
2
2 
2
2
2
2


cos A  2 cos B  3cos C  2sin

 2sin 2

A

A
B
B
C
C
 2sin  4sin 2  4sin  6sin 2  6sin  3  0
2
2
2
2
2
2
2

2

2

A 1
B 1


 C 1
 2  sin    4  sin    6  sin    0
2 2
2 2
2 2




 A 1
sin 2  2

 B 1
 sin 
 2 2
 C 1
sin 2  2

23


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
 A  B  C  60
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 3. Chứng minh C 2nn12 chia hết cho n  2 với mọi n nguyên dương.

Lời giải:
Bài toán: Chứng minh C2mm m  1 m 

*

Ta có:
C2mm 

(2m)!
(2m)!
m 1
(2m)!
m  1 m1

 (m  1).

.

.C2 m
m !m !
m !(m  1)!
m (m  1)!(m  1)!
m

 m.C2mm  (m  1)C2mm1
 m.C2mm (m  1)

Mà  m,(m  1)   1

 C2mm m  1

(đpcm)

Bài 4.

S

C1

B1
A

C
O

E

M

B
I
24


Tuyển tập 10 năm thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 11
a)

 BD  SA
 BD  ( SAB)  BD  AB1
+ Ta có: 
 BD  AB
Mặt khác AB1  SB , suy ra: AB1  ( SBD)  AB1  SD
+ Tương tự, ta có: AC1  SD
Suy ra: ( AB1C1 )  SD
+ Theo giả thiết, ta có: I  B1C1  BD nên AI chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( AB1C1 ) và ( ABCD ) .

 IA  SA
 IA  ( SAC )  IA  AC
Do đó, ta có: 
 IA  SC
 AD  IA
 AD  ( SAI )  AD  SI
+ Ta có: 
 AD  SA

Vậy AD  SI .
b)
Gọi M là trung điểm của AB , O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD
Vì AB1B vuông tại B1 nên M cách đều 3 điểm A, B1 , B.

OM  MB1
OM  AB
 OM  ( SAB)  
+ Ta có: 
OM  SA
OM  MB
Suy ra: OMB1  OMB(c.g.c)  OB1  OB
+ Tương tự ta có OC1  OC
Do vậy, O cách đều 6 điểm A, B, C , D, C1 , B1
Vậy  điểm K cách đều 6 điểm A, B, C , D, C1 , B1 chính là điểm O , tâm đường tròn nội
tiếp tứ giác ABCD .
Bài 5. Cho x, y , z  0 thoả mãn x  y  z  1. Chứng minh:

x y z
1 x 1 y 1 z


 2   
yz zx x y
 y z x
Lời giải:
x y z
1 x 1 y 1 z



 2   
yz zx x y
 y z x


x y z
2x
2y
2z


 3  2   
yz zx x y
 y z x

x
x  y
y  z
z  3
 
 

 
 y yz  z zx  x x y 2
xz
yx
zy
3





y ( y  z ) z ( z  x) x( x  y ) 2

25