8 ky thuat dat diem toi da bai toan nguyen ham tich phan nguyen tien dat

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

LỜI NÓI ĐẦU

iL

ie

uO
nT

hi
D

ai

H
oc

01

Khi các em cầm trên tay cuốn sách này tức là các em đang rất quan tâm đến việc học của
mình, chúc mừng tinh thần học tập đó của em!
Có thể em chưa biết, tích phân là một mảng rất rộng và bao hàm nhiều dạng bài và
phương pháp xử lý khác nhau. Đặc biệt khi lên đại học, những nghành liên quan đến kỹ thuật,
chúng ta sẽ tiếp cận Nguyên Hàm – Tích Phân ở mức độ cao hơn.
Tuy nhiên trong khuôn khổ kỳ thi THPT Quốc gia 2017, thầy đã chắt lọc cho các em trong cuốn
sách này:
 Đầy đủ những phương pháp chắc chắn có trong đề thi, bám sát cấu trúc đề của Bộ Giáo
Dục
 Nhiều ví dụ đa dạng và giải chi tiết theo hướng Step by Step (từng bước), dù là học sinh
mất gốc vẫn có thể sử dụng cuốn sách này.
 Đề trắc nghiệm theo mọi hướng để các em tiếp cận được rộng nhất.
 Kết hợp các phương pháp sử dụng máy tính Casio, Vinacal.
Thầy tự tin khẳng định rằng, khi các em sử dụng thành thạo 8 kỹ thuật trong cuốn sách này,
việc đạt điểm tối đa chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân là cực kỳ đơn giản!
Cách sử dụng sách

s/

Bước 2: Đọc ví dụ rồi đóng sách làm lại

Ta

Bước 1: Đọc kỹ và hiểu phương pháp.

up

Bước 3: Làm đề trắc nghiệm bên cạnh đồng hồ (Cố làm nhanh nhất có thể).

/g

ro

Chú ý: Không được đọc phần bấm máy trước! Hãy nhuần nhuyễn giải tay trước, vì nhiều bài
có khả năng bấm máy lâu hơn tính tay rất nhiều.

om

Mặc dù thầy đã cố gắng hết sức, nhưng không tránh khỏi sai sót, mong các em đóng góp
ý kiến chân thành.

ok

.c

Giáo viên

bo

Nguyễn Tiến Đạt

Mọi góp ý gửi về: “Trung tâm luyện thi Đại Học Tiến Đạt”



ce

Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu, HBT, Hà Nội | Liên hệ: 090.32888.66

w

w

w

.fa

Email: | Facebook: Đạt Nguyễn Tiến

“Tri thức không vô tình mà đạt được. Chúng ta phải tìm kiếm nó với sự nhiệt tình và đạt
được nó bằng sự chăm chỉ.”

- LỜI NÓI ĐẦU

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

MỤC LỤC
Nguyên Hàm .................................................................................................................................. 5
B. Bảng Các Nguyên Hàm, Đạo Hàm Cơ Bản ........................................................................... 6

H
oc

Trắc Nghiệm Lý Thuyết .............................................................................................................. 8

01

A. Định Nghĩa Và Tính Chất ...................................................................................................... 5

Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết .............................................................................................. 11

ai

Kỹ Thuật 1: Sử Dung Bảng Nguyên Hàm Cơ Bản ..................................................................... 12

uO
nT
hi
D

Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 1 ........................................................................................... 13
Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 1 ............................................................................. 14
Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 2 ........................................................................................... 15

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 2 ............................................................................. 15
Kỹ Thuật 2: Tính Nguyên Hàm Của Hàm Số Hữu Tỷ ............................................................... 16

ie

Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 2 .......................................................................................................... 22

iL

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 2 ............................................................................................. 23

Ta

Kỹ Thuật 3: Đổi Biến Dạng 1 ..................................................................................................... 24

s/

1. Các Dạng Đổi Biến Số Thường Gặp ..................................................................................... 24

up

Trắc Nghiệm Đổi Biến Số Dạng 1 ............................................................................................ 26

ro

Đáp Án Trắc Nghiệm Đổi Biến Dạng 1 .................................................................................... 28

/g

Tích Phân ..................................................................................................................................... 30

om

Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân........................................................................................... 31
Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân ............................................................................. 33

.c

Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 .......................................................................................................... 37

.fa

ce

bo

ok

I 1  f (ax  b )n  xdx  t  ax  b  dt  a .dx


m

 xn 
n 1
n
Dạng I 2    n 1
  dx  t  x  1  dt  (n  1)x .dx  ................................... 37

 ax  1 


2
n
2
I 3   f (ax  b )  xdx  t  ax  b  dt  2ax .dx

w

w

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P1) ........................................................................ 43
Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P1) ........................................................... 45
Dạng: ......................................................................................................................................... 46

w

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P2) ........................................................................ 47
Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P2) ........................................................... 48

2

LỜI NÓI ĐẦU -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
Dạng .......................................................................................................................................... 49

b

b

H
oc

1
Đáp Án Trắc Nghiệm Dạng I   f (ln x)   dx ...................................................................... 51
x
a

01

1
Trắc Nghiệm Dạng I   f (ln x)   dx .................................................................................... 50
x
a

Kỹ Thuật 4: Tích Phân Lượng Giác ............................................................................................ 51

ai

1.Công Thức Lượng Giác Thường Sử Dụng: ........................................................................... 51

uO
nT
hi
D

Dạng 4.1. Sử Dụng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản ............................................................. 53
Dạng 4.2: Dùng Công Thức Hạ Bậc ......................................................................................... 55
Dạng 4.3: Dùng Công Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng.......................................................... 57
Dạng 4.4: Đổi Biến Số .............................................................................................................. 59
Dạng 4.4.1. Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Với D(Sinx)=Cosx, D(Cosx)=-Sinx .......... 59

ie

Dạng 4.4.2. Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và

iL

d  sin 2 x   sin 2 xdx; d  cos 2 x    sin 2 xdx ......................................................................... 66

s/

1
1
dx  1  tan 2 x  dx ; d  cot x    2 dx   1  cot 2 x  dx ................. 67
2
cos x
sin x

up

d  tan x  

Ta

Dạng 4.4.3 Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và............................................................... 67

ro

Dạng 4.4.4 Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và d  sin x  cos x    cos x  sin x  dx ..... 70

/g

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P3) ........................................................................ 72

om

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P3) ........................................................... 75
Kỹ Thuật 5: Đổi Biến Số Dạng 2 ................................................................................................ 76

.c

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 2 ................................................................................ 85

ok

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 2................................................................... 86

bo

Kỹ Thuật 6: Tích Phân Từng Phần .............................................................................................. 87
Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần .......................................................................................... 93

ce

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần ............................................................................ 97

.fa

Kỹ Thuật 7: Tích Phân Chứa Giá Trị Tuyệt Đối ......................................................................... 98

w

w

w

Ứng Dụng Tích Phân .................................................................................................................. 102
1. Tính Diện Tích Hình Phẳng ................................................................................................ 102
1.1 Diện Tích Hình Thang Cong ......................................................................................... 102
1.2. Diện Tích Hình Phẳng .................................................................................................. 103

- LỜI NÓI ĐẦU

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay .......................................................................................... 107
3. Bài Toán Chuyển Động ....................................................................................................... 111
Đáp Án Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân ........................................................................... 117

H
oc

Kỹ Thuật 8: Sử Dụng Máy Tính Casio ..................................................................................... 118

01

Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân ........................................................................................ 113

Dạng: Tìm Nguyên Hàm F X  Của Hàm Số F X ............................................................... 118

ai

Dạng: Tìm Nguyên Hàm F(X) Của F(X) Khi Biết F ( xo )  M ............................................. 120

uO
nT
hi
D

Dạng: Tính Tích Phân ............................................................................................................. 122
a

Dạng: Tìm A, B Sao Cho

 f ( x).dx  A ................................................................................. 122
b

Dạng: Tính Diện Tích, Thể Tích ............................................................................................. 123
Dạng: Mối Liên Hệ Giữa A, B,C… ........................................................................................ 125

ie

Phụ Lục: ..................................................................................................................................... 127

iL

A. Đề Tổng Hợp Nguyên Hàm – Tích Phân ............................................................................ 127

Ta

Đáp Án Đề Tổng Hợp ............................................................................................................. 139

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

B .Tích Phân Trong Đề Thi Đại Học 10 Năm Gần Đây ............................................................. 140

4

LỜI NÓI ĐẦU -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

NGUYÊN HÀM

01

A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

H
oc

1. Định nghĩa
Ta gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Vì với C là một hằng số bất kỳ, ta có
'

nên nếu F  x  là nguyên hàm của f  x  thì F  x   C cũng là một

ai

 F  x  C   F ' x  f  x
Ký hiệu:

uO
nT
hi
D

nguyên hàm của f  x  . Ta gọi F  x   C , (c là hằng số (constant) là Họ nguyên hàm của f  x  .

 f  x  dx  F  x   C

 2xdx  x

2

 C . Tại sao phải cộng thêm C? Vì đạo hàm của hằng số luôn là 0.

Ta

Thì

iL

VÍ DỤ : x 2 đạo hàm là gì? ( x 2 ) '  2 x chuẩn chưa?

ie

Hay đơn giản cho dễ hiểu nhé mấy đứa: NGUYÊN HÀM LÀ NGƯỢC LẠI CỦA
ĐẠO HÀM.

s/

Nên ( x 2  C ) '  2 x . Người ta ghi thêm C vào cho đầy đủ?

up

Oke? Vậy tạm hiểu nguyên hàm là gì rồi nhé!!

  f  x  dx   f  x 

/g

'

om

•

ro

2. Tính chất

.c

•  kf  x  dx  k  f  x  dx , . k . là hằng số

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

•

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

bo

ok

•

ce

3. Sự tồn tại nguyên hàm

w

w

w

.fa

Mọi hàm số liên tục trên đoạn  a; b đều có nguyên hàm trên đoạn  a; b .

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

5


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Bảng nguyên hàm

H
oc

Bảng đạo hàm

01

B. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM, ĐẠO HÀM CƠ BẢN

(u là hàm số hợp)

 u  '   .u '.u


u'

,
u

 e  '  u '.e
u

1

1

 x dx  ln x  c
 e dx  e

u

x

0  a 1

x
 a dx 

x

c

ax
c
ln a

/g
om

 cos u  '  u '.sin u

ax  b

dx 

mx  n
 a dx 

1 ax b
e
c
a

a mx  n
c
m.ln a

 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c

 cos

 cot u  ' 

u '
 u '. 1  cot 2 u 
sin 2 u

 sin

.c

e

 sin xdx   cos x  c

u'
 u '. 1  tan 2 u 
cos 2 u

ok

1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

 tan u  ' 

1
2

x

1
2

x

1

1

1

1

dx  tan x  c

 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c

dx   cot x  c

 sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   c

2

1

1

2

.fa

ce

bo

c

 cos xdx  sin x  c

ro

 sin u  '  u '.cos u

 1

 ax  b dx  a ln ax  b  c

up

u

1  ax  b 
  ax  b  dx  a .   1


x dx 

u0

 a  '  u '.a .ln a ,
u

x 1
 c,

 1

  1

 1

ie

;

iL

 ln u  ' 

 1

Ta



s/

x '   x

k là hằng số

ai

 kdx  kx  c ,

uO
nT
hi
D

 x '  1

w

w

w

Một số lưu ý

6

1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.
2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của
các nguyên hàm của những hàm thành phần.
3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu
của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).

NGUYÊN HÀM -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |

: Đạt Nguyễn Tiến

 f  x  dx  F  x   c thì

* Lưu ý: do

F '  x   f  x  nên khi quên công thức nguyên hàm, ta cần

VÍ DỤ ta cần tìm

 f  x  dx (mà quên công thức) ta có thể tự đặt câu hỏi : “ hàm số nào

BẢNG CÔNG THỨC MỞ RỘNG (LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM)
Chú ý: Những công thức không có trong SGK, nếu khi các em dùng cho làm tự
luận, phải chứng minh lại! (Cách chứng minh đơn giản nhất: Đạo hàm lại kết
quả. Hehe.

2

a

2

1

ie

 cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c

dx

1
x
 arctg  c
2
x
a
a

 sin

dx
1
ax

ln
c
2
x
2a a  x

 cos

dx
x2  a2

2

dx
1
 cotg  ax  b   c

 ax  b  a

 ln  x  x 2  a 2   c



2

dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

dx

a 2  x2

 arcsin

x
c
a

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g



1
m ax b  c
a ln m

s/

a

dx 

iL

ax  b

1

 tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c

up

m

1 ax b
e
c
a

dx 

Ta

ax  b

ro

e

uO
nT
hi
D

ai

I.

H
oc

mà lấy đạo hàm ra là f(x)?”. Với cách hỏi như thế, kết hợp với việc nắm vững công thức đạo
hàm, ta có thể nhớ lại công thức nguyên hàm một cách dễ dàng.

01

liên tưởng đến đạo hàm. Cụ thể như sau:

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

7


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

C. f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K .

D. f  x  liên tục trên K .

H
oc

B. f  x  có giá trị lớn nhất trên K .

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của

f  x  trên

uO
nT
hi
D

ai

A. f  x  xác định trên K .

01

Câu 1. Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu:

 a; b 

 f  x  dx  F  x   C .

và C là hằng số thì

B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  .

/

 f  x .

Ta

  f  x  dx 

s/

D.

iL

ie

C. F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b   F /  x   f  x  , x   a; b  .

up

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:

ro

(I) Mọi hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b đều có đạo hàm trên đoạn đó.

A. Chỉ có (I) đúng.

B. Chỉ có (II) đúng.
D. Cả hai đều sai.

ok

.c

C. Cả hai đều đúng.

om

Trong hai khẳng định trên:

/g

(II) Mọi hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

bo

Câu 4. Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b nếu:

ce

A. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  .

.fa

B. Với mọi x   a; b  , ta có f /  x   F  x  .

w

w

w

C. Với mọi x   a; b , ta có F /  x   f  x  .
D. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  , ngoài ra F /  a    f  a  và F /  b    f  b  .

Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D ,
câu nào là sai?

8

NGUYÊN HÀM -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu x  D : F '  x   f  x  .

(I)

(II) Nếu f liên tục trên D thì . f . có nguyên hàm trên D .

B. Câu (I) sai.

C. Câu (II) sai.

D. Câu (III) sai.

H
oc

A. Không có câu nào sai.

01

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

ai

Câu 6. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng  a; b  . Giả sử G  x  cũng là

uO
nT
hi
D

một nguyên hàm của f  x  trên khoảng  a; b  . Khi đó:
A. F  x   G  x  trên khoảng  a; b  .
B. G  x   F  x   C trên khoảng  a; b  , với C là hằng số.

ie

C. F  x   G  x   C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.

iL

D. Cả ba câu trên đều sai.

s/

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  d x  F  x   G  x   C ,

up

(I)

Ta

Câu 7. Xét hai câu sau:

ro

trong đó F  x  và G  x  tương ứng là nguyên hàm của f  x  , g  x  .

B. Chỉ có (II) đúng.

.c

A. Chỉ có (I) đúng.

om

Trong hai câu trên:

/g

(II) Mỗi nguyên hàm của a. f  x  là tích của a với một nguyên hàm của f  x  .

ok

C. Cả hai câu đều đúng.

D. Cả hai câu đều sai.

 f  x  dx  F  x   C   f  t  dt  F  t   C .

ce

A.

bo

Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?

/

w

w

w

.fa

B.   f  x  dx   f  x  .


C.

 f  x  dx  F  x   C   f  u  dx  F  u   C .

D.  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số).

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

9


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

B. F  x   x là một nguyên hàm của f  x   2 x .

H
oc

C. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C (hằng số).

ai

D. Cả 3 đáp án trên

uO
nT

hi
D

Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thì mọi nguyên hàm của f  x  đều có
dạng F  x   C ( C là hằng số).

u/  x

 u  x  dx  log u  x   C .

ie

B.

Ta

iL

C. F  x   1  tan x là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  tan 2 x .

s/

D. F  x   5  cos x là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x .

up

Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.  0dx  C ( C là hằng số).

/g

ro

B.

x 1
C.  x dx 
 C ( C là hằng số).
 1

1

 x dx  ln x  C

( C là hằng số).

D.  dx  x  C ( C là hằng số).

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om



10

01

A. F  x   x 2 là một nguyên hàm của f  x   2 x .

NGUYÊN HÀM -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

CÂU
5.
6.
7.
8.

ĐÁP ÁN
A
B
C
C

CÂU
9.
10.
11.

ĐÁP ÁN
B
B
C

H
oc

ĐÁP ÁN
D
C
B
D

ai

CÂU
1.

2.
3.
4.

01

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

uO
nT
hi
D

Câu 1. Để hàm số f  x  có nguyên hàm trên K khi và chỉ khi f  x  liên tục trên K . Chọn D.

Câu 2. Sửa lại cho đúng là '' Tất cả các nguyên hàm của f  x  trên  a; b  đều có đạo hàm bằng

f  x  '' . Chọn C.

Câu 3. Vì hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 , nhưng nếu hàm số liên tục tại x0 thì chưa

Ta

Câu 4. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  , ngoài ra

iL

ie

chắc đã có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn xét hàm số f  x   x tại điểm x  0 . Chọn B.

up

s/

F /  a    f  a  và F /  b    f  b  .Chọn D.

ro

Câu 5. Chọn A.

/g

Câu 6. Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Chọn B.

 f  x  dx  F  x   C   f  u  du  F  u   C . Chọn C.

.c

Câu 8. Vì

om

Câu 7. Chọn C.

Câu 9. Vì  x   1  2 x  F /  x   f  x   F  x   x không phải là nguyên hàm của hàm số

ok

/

ce

bo

f  x   2 x . Chọn B.

.fa

Câu 10. Vì

u/  x

 u  x

dx  

d u  x 
u  x

 ln u  x   C . Chọn B.

w

w

w

Câu 11. Vì kết quả này không đúng với trường hợp   1 . Chọn C.

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

11


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

PP
1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa 
 khai triển.

01

PP
2. Tích các hàm mũ 
 khai triển theo công thức mũ.

H
oc

PP
3. Chứa căn 
 chuyển về lũy thừa.

uO
nT
hi
D

ai

PP
4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin 
 khai triễn theo công thức tích thành tổng.
1
 sin ax.cos bx  sin(a  b) x  sin( a  b) x 
2
1
 sin ax.sin bx   cos(a  b) x  cos( a  b) x 
2
1
 cos ax.cos bx   cos(a  b) x  cos( a  b) x 
2

ie

PP
5. Bậc chẵn của sin và cosin 
 Hạ bậc.

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

Bài 1. Tìm các nguyên hàm:

12

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 1

C. F ( x)  x3 

B. F ( x)  x3 

x2
 C.
4

D. F ( x)  5 x3 

x4 5x2

 7 x  C.
2
3
x4 5x2
B. F ( x ) 

 7 x  C.

2
2

3x 4 5 x 2

 7 x  C.
2
2
x4 5x2
F ( x)  
 8 x  C.
2
2
D.
C. F ( x ) 

iL

Câu 14. Tìm nguyên hàm f ( x)  6 x 5  12 x3  x 2  8.

ie

A. F ( x ) 

x3
A. F ( x)  x  3x   8 x  C.
3
x3
B. F ( x)  x 6  3x 4   8 x  C.
3

s/

Ta

4

up

6

x2
 C.
4

uO
nT
hi
D

Câu 13. Tìm nguyên hàm f ( x)  2 x 3  5 x  7.

7 x2
 C.
4

H
oc

x2

 C.
4

ai

A. F ( x)  x3 

01

x
Câu 12. Tìm nguyên hàm f ( x)  3x 2  
2

x3
C. F ( x)  x  3x   8 x  C.
3
3
x
F ( x)  x 6  x 4   8 x  C.
3
D.
6

4

x 4 2 x3 3x 2


 C.
4

3
2
x 4 2 x3 3x 2
B. F ( x ) 


 C.
2
3
2

x 4 2 x3 3x 2


 C.
4
5
2
x 4 2 x3 3x 2
F ( x)  

 C.
4
3
7
D.
C. F ( x ) 

Câu 16.

f ( x)  (3  x)3 . Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)  

ce

bo

A. 4
B. 16

ok

.c

om

/g

A. F ( x ) 

ro

Câu 15. Tìm nguyên hàm f ( x)  ( x 2  3x)  ( x  1) 

w

w

w

.fa

Câu 17.
A. 0
B. 1

Câu 18.

(3  x)a
 C. Tìm a 2
a

C. 32
D. 9

1
1
1 x3 x
2
f ( x)  2  x   Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)      C. Tính a-b?
x
3
x a b
C. 2
D. 3
ax
f ( x)  10 2 x. Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x) 
 C. Tìm a?
2 ln10

- KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM

CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

13


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

A. 10
B. 100

Câu 20.
A. 0
B. 1

01

H
oc


1 
2
I    2x2 
 dx  x3  3 b x  C. Tính a-b?

3 2

a
x 

C. 2
D. 3

ai

A. 5
B. 1

3
x4
f ( x)  x 3  4 x   Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)   bx 2  c.ln x  C. Tính a-b+c
x
a
C. 4
D. 7

uO
nT
hi
D

Câu 19.

C. 5
D. 20

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 1

ĐÁP ÁN

CÂU

ĐÁP ÁN

12

A

16

13

B

17

14

C

18

B

15

A

19

A

iL

ie

CÂU

20.

A

s/

A

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

ĐÁP ÁN

Ta

B

CÂU

14

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:
Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x), tức đi tính

H
oc

01

Rồi sau đó thế F ( xo )  C   để tìm hằng số C.

 f ( x)  dx  F ( x)  C.

VÍ DỤ : f ( x)  x 3  4 x  5, F (1)  3.

ai

x4
 x 2  5 x  c  Mà F (1)  3.
4

uO
nT
hi
D

Ta có  ( x3  4 x  5)dx 

14 2
 1  5.1  c  3

4
5
x4
5
 c=  . Kết luận: F ( x)   x 2  5 x  
4
4
4


iL

ie

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 2

ce
.fa
w

3x 4  2 x3  5
a
 dx, biết F (1)  2. ĐS: F ( x)  x3  c.x 2   b. Tính a+b+c?
2
x
x
C. 3
D. 4
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 2

ok
I 

bo

Câu 24.

w

s/

.c

A. 4
B. 3

x2  1
3
x2
f ( x) 
, F (1)   Biết F ( x)   b ln x  c. Kết quả của a-b-c là?
x
2
a
C. 8
D. 0

om

Câu 23.

w

3  5x2
5 x 2 5e 2
, F (e)  1. Biết F ( x)  3ln x 

 c. c chia hết cho mấy?
x
2
2
C. 6
D. 7

/g

A. 2
B. 3

A. 1
B. 2

D. F ( x )  3 x  5sin x  2  3 .

up

f ( x) 

C. F ( x )  3 x  5sin x  2

ro

Câu 22.

Ta

Tìm F(x) biết:
Câu 21. f ( x)  3  5 cos x, F ( )  2.
A. F ( x )  3 x  5sin x
B. F ( x )  3 x  5sin x  2  2 .

CÂU

ĐÁP ÁN

CÂU

ĐÁP ÁN

Câu 21

D

Câu 23

D

Câu 22

A

Câu 24

A

- KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM
CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

15


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

uO
nT
hi
D

căn.
Phương pháp giải:
PP
Nếu bậc của tử số P ( x)  bậc của mẫu số Q ( x) 
 Chia đa thức.

H
oc

P( x)
 dx, với P ( x) và Q ( x) là các đa thức không
Q( x)

ai

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I  

01



/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

PP

Nếu bậc của tử số P ( x)  bậc của mẫu số Q ( x) 
 Xem xét mẫu số và khi đó:
+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng
của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:
1
1
b 
 a





(ax  m)  (bx  n) an  bm  ax  m bx  n 
mx  n
A
B
( A  B )  x  ( Ab  Ba )  A  B  m






( x  a )  ( x  b) x  a x  b
( x  a )  ( x  b)
 Ab  Ba   n
1
A

Bx  C


 2
, với   b 2  4ac  0.
2
( x  m)  (ax  bx  c ) x  m ax  bx  c
1
A
B
C
D






2
2
2
( x  a )  ( x  b)
x  a ( x  a)
x  b ( x  b) 2
+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

.c

om

Mẹo sử dụng Casio
mx  n
A
B



( x  a )  ( x  b) x  a x  b

ok

(Ta muốn tìm hệ số nào, ta xóa nghiệm dưới mẫu của thằng đó đi trong

mx  n
. Và
( x  a )  ( x  b)

Để tìm B. Ta nhập vào máy tính

mx  n
. Calc x = b
( x  a)

w

w

w

.fa

ce

bo

Calc đúng nghiệm dưới mẫu của nó)
mx  n
Để tìm A. Ta nhập vào máy tính
. Calc x = a
( x  b)

16

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

BÀI TẬP VẬN DỤNG

01

2x 1
 dx 
x 1
Ta thấy bậc tử bằng bậc mẫu: Chia đa thức

2x 1
3
I 
 dx   (2 
) dx  2 x  3.ln | x  1| c
x 1
x 1

x2  x  1
 dx 
x2
Ta thấy bậc tử lớn hơn bậc mẫu: Chia đa thức
x2  x  1
3
x2
I 
 dx  I   ( x  1 
)  dx   x  3ln x  2  C.
x2
x2
2
dx
VÍ DỤ3. Tìm nguyên hàm I   2

2x  7 x  5
dx
dx
A
B
I  2


 (

)dx
2x  7x  5
( x  1)(2 x  5)
x 1 2x  5
Ta có:
B ( x  1)  A(2 x  5)  1

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

VÍ DỤ 2. Tìm nguyên hàm I  

ai

H
oc

VÍ DỤ 1. Tìm nguyên hàm I  

 x(2 A  B )  5 A  B  1

.c

om

/g

ro

up

1

A

 2A  B  0

3


 5 A  B  1  B  2

3
1
2
1
2 ln | 2 x  5 |

1
1
I   ( 3  3 ) dx  ln | x  1| 
 C  ln | x  1|  ln | 2 x  5 | C
x 1 2x  5
3
3
2
3
3

ok

Mẹo sử dụng máy tính:

1
1
Calc X = 1. Thu được A 
3
(2 x  5)
1
5
2
Tìm B: Nhập vào máy
Calc X = . Thu được B =
x 1
2
3

.fa

ce

bo

Tìm A: Nhập vào máy

w

w

w

VÍ DỤ 4. Tìm nguyên hàm I  

6 x 2  10 x  2
dx
x 3  3x 2  2 x

6 x 2  10 x  2
6 x 2  10 x  2
I  3
dx  
dx
x  3x2  2 x
 x  1 x  2  x
- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

17


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Xét:

6 x 2  10 x  2
A
B
C
 

x  x  1 x  2  x x  1 x  2

H
oc

01

 6 x 2  10 x  2  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1

uO
nT
hi
D

6  A  B  C
A 1
6 x 2  10 x  2
1
2
3


 10  3 A  2 B  C   B  2 
 

x  x  1 x  2  x x  1 x  2
2  2 A
C  3



ai

 6 x 2  10 x  2   A  B  C  x 2   3 A  2 B  C  x  2 A

Từ đó:

ie

2
3 
1
I   


dx  ln x  2 ln x  1  3ln x  2  C
 x x 1 x  2 

iL

Mẹo sử dụng máy tính

s/

Ta

6 x 2  10 x  2
Tìm A: Ta nhập vào máy
Calc X=0. Thu được A = 1
 x  1 x  2 
6 x 2  10 x  2
Calc X=-1. Thu được B = 2
x  x  2

Tìm C: Ta nhập vào máy

6 x 2  10 x  2
Calc X=-2. Thu được C = 3
x  x  1

om

.c

6 x 2  10 x  2

1
2
3
 

x  x  1 x  2  x x  1 x  2

bo

ok



/g

ro

up

Tìm B: Ta nhập vào máy

w

w

w

.fa

ce

6 x 2  26 x  26
VÍ DỤ 5. Tìm nguyên hàm J   3
dx
x  6 x 2  11x  6
6 x 2  26 x  26
6 x 2  26 x  26
J  3
dx  
dx
x  6 x 2  11x  6
 x  1 x  2  x  3

Ta tìm A, B, C sao cho:

18

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

6 x 2  26 x  26
A
B
C




 x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3

H
oc

01

 6 x 2  26 x  26  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2 

Từ đó:

x 8
x 8
1 
 2
dx  
dx   

 dx  2 ln x  2  ln x  3  C
x  x6
 x  2  x  3
 x 2 x 3

up

3 x 2  13 x  11
3 x 2  13 x  11

L 3
dx  
dx
2
x  5x 2  8 x  4
 x  1 x  2 

A
B
C


x  1 x  2  x  2 2

/g



om

 x  1 x  2 

2

ro

Ta tìm A, B, C sao cho:
3 x 2  13 x  11

iL

3 x 2  13 x  11
dx
x3  5x 2  8 x  4

Ta

VÍ DỤ 6 .Tìm nguyên hàm L  

ie

2

s/

• K 

uO
nT
hi
D

2
1 
 3
J  


 dx  3ln x  1  2 ln x  2  ln x  3  C
 x 1 x  2 x  3 

ai

Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A  3; B  2; C  1

 3 x 2  13 x  11  A  x  2   B  x  1 x  2   C  x  1

.c

2

ok

 3x 2  13x  11   A  B  x 2   4 A  3B  C  x   4 A  2 B  C 

ce

bo

3  A  B
A 1


 13  4 A  3B  C   B  2
11  4 A  2 B  C C  3



w

w

w

.fa

Từ đó:

 1
2
3 
3
L  


C
dx  ln x  1  2 ln x  2 
2
 x  1 x  2  x  2 
x

2



- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

19


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến



2 x3  6 x2  4 x  1
1
1


dx

2
x

dx

2
x


  x 2  3x  2     x  1 x  2   dx
x 2  3x  2



uO
nT
hi
D

VÍ DỤ 8. Tìm nguyên hàm N  

ai

1
1 

2
   2x 

dx  x  ln x  2  ln x  1  C
x

2
x

1



H
oc

M 

2 x3  6 x 2  4 x  1
dx
x 2  3x  2

01

VÍ DỤ 7. Tìm nguyên hàm M  

3x 2  4 x  2
dx
x3  2 x 2  2 x  5

dx
2

2

2

/g

2

2
1   x  3   x  1 
1 1
1 
 

  


4   x  3 x  1 
4  x 1 x  3 

ro

1

up

Ta phân tích:

 x  3  x  1

2

Ta

 x  3  x  1

s/

VÍ DỤ 9. Tìm nguyên hàm I  

iL

ie

d  x3  2 x 2  2 x  5
3x 2  4 x  2

N  3
dx  
 ln x3  2 x 2  2 x  5  C
x  2x2  2x  5
x3  2 x 2  2 x  5

om

 1 1
1 1
1
2
1
1
1 






 

2
2
2
2
4   x  1  x  3  x  1 x  3  4   x  1  x  3
x  3 x  1 

.c



ok

Từ đó:

w

w

w

.fa

ce

bo

 1
1
1
1 
1 1
1 1
1
1
I  




 .
 ln x  3  ln x  1  C
dx   .
2
2
x  3 x  1 
4 x 1 4 x  3 4
4
  x  1  x  3

VÍ DỤ 10. Tìm nguyên hàm . J  

dx

 x  3  x  4 
2

2

.

Ta phân tích:
20

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

2

1

 x  3  x  4 

2

01

2

1   x  4    x  3 
1  1
2
1 
 .




 
49   x  3 x  4  
49   x  3 2  x  3 x  4   x  4 2 

1
1
1
2
1
1
dx  
dx  
dx
2

49  x  3
49  x  3 x  4 
49  x  4 2



1 1
1
1
1  1
1 
.
 .



dx

49 x  3 49 x  4 343  x  3 x  4 

uO
nT
hi
D

1 1
1
1
1
x3
.
 .

ln
C
49 x  3 49 x  4 343 x  4

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie



ai

J

H
oc

Từ đó:

- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

21


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 2
4x2  6 x  1
.dx là I  a.x 2  b.x  c.ln 2 x  1  C . Tính a-b-c ?
2x 1
1
3
1
3
A.
B.
C. 
D. 
2
2
2
2

H
oc

01

Câu 25. 

4 x3  4 x 2  1
.dx có dạng F  x   a.x3  b.x 2  c.x  d .ln 2 x  1  C . Tính a.  b  c  d  ?
2x 1
1
3
A.
B.
C. 3
D. 2
3
2
2x  1
Câu 27. 
.dx có dạng I  a.x  b.ln x  1  C . Tính a.b ?
x 1
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
3x  1
Câu 28. 
.dx có dạng I  a.x  b.ln x  2  C . Tính b-a ?
x2

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
x 1
Câu 29. Nguyên hàm của f  x  
có dạng F  x   a.x  b.ln 2 x  3  C . Tính a.b ?
2x  3
1
A. 
B. 4
C. 2
D. -6
8

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

Câu 26. 

B. 6

C. 4

D. 2

/g

A. 8

ro

up

x2  x  1
Câu 30. 
.dx có dạng I  a.x 2  b.x  c.ln x  2  C . Tính b+c ?
x2

om

dx

x  6x  9
Câu 31.
1
1
A. I 

 C.
C. I  
 C.
x 3
x3
1
2
B. I  
 C.
D. I  
 C.
x3
x3
x2  1
x 1
Câu 32. I   2  dx  ĐS: I  x  ln
 C.
x 1
x 1
2x 1
x 1
A. I  x  ln
C. I  x  ln
 C.
 C.
x 1
x 1
x 1
x 1
B. I  x  ln

D. I  ln
 C.
 C.
x 1
x 1
3x  2
a
7
Câu 33. I   2
 dx  ln 2 x  1 
 C . . Tính b – a ?
4x  4x 1
b
4(2 x  1)
A. 0
B. 1
2

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

I 

22

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

C. 2

D. 3

x x
c
 dx  ax  b ln x  2 
 C. Tính a + b – c?
2
( x  2)
x2
A. 0
C. 2

B. 1
D. 3

01
H
oc

Câu 34. I  

2

CÂU

ĐÁP ÁN

25

C

29

A

26

A

30

D

27

C

31

C

28

C

32

B

CÂU

ĐÁP ÁN

33

B

34

B

uO

nT
hi
D

ĐÁP ÁN

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

CÂU

ai

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 2

- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

23


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1
CÁCH ĐỔI BIẾN
Đặt t  ax  b

x

Đặt t  x n 1

n 1

.x n dx

Đặt t  x

 f  sin x  cos xdx
 f  cos x  sin xdx

Đặt t  sin x

uO
nT
hi
D

dx
x

Đặt t  cos x
Đặt t  tan x

dx

 f  tan x  cos

2

x

Đặt t  cot x

dx
x

Đặt t  e x

x

dx
x
1 
1

 f  x  x  .  x  x  dx
Các bước để đổi biến:

iL

x

2

ie

 f  cot x  sin

 f  e  .e dx

ai

 f  x . 2

H
oc

DẠNG
  ax  b  dx

01

1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP

Đặt t  ln x

Ta

 f  ln x 

1
x

ro

up

s/

Đặt t  x 

/g

Bước 1: Đặt v(x) = t

om

Bước 2: vi phân: d(v(x)) = d(t) (Vi phân như đạo hàm thôi, nhưng đạo hàm theo biến x, nhân thêm dx,
đạo hàm theo biến t thì nhân thêm dt)

.c

Bước 3: Chuyển hết f(x) về f(t).

ok

Ví dụ về vi phân: d ( x 2  2 x  1)  ( x 2  2 x  1) '.dx  (2 x  2)dx

bo

VÍ DỤ : Tìm nguyên hàm các hàm số sau

.fa

ce

1. I   x 2004  1.x 2003 dx

w

w

Đặt t  x 2004  1  d (t )  d ( x 2004  1)  dt  2004 x 2003 dx  x 2003 dx 

1
dt . Từ đó ta được:
2004

w

1
1
1
1 2 32
1
1
2
I
tdt 
t dt 
. t C 
t3  C 


2004
2004
2004 3
3006

3006

24

x

2004

KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1 -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 1  C
3