Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGÔ THỊ LAM

TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI
VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGÔ THỊ LAM

TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI
VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn

Ngô Thị Lam

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm –
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ và khoa học của cô
giáo -Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lời cám ơn chân thành và
lòng biết ơn sâu sắc đến cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn
tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các phòng ban chức
năng, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên
đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn. Sau cùng tôi xin được
bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình, các bạn đồng nghiệp đã động
viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi các hạn chế
và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận
văn hoàn thiện hơn.
Học viên cao học
Ngô Thị Lam

ii

M CL C
Trang
Trang bìa phụ
Lời cam đoan .......................................................................................................i
Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................ iii
Danh mục các kí hiệu viết tắt ............................................................................iv
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................... 4
1.1. Một số khái niệm và kết quả về hệ phương trình vi phân đại số. ............ 4
1.2. Phép chiếu, chỉ số của ma trận. ................................................................ 4
1.3. Chỉ số của phương trình vi phân đại số .................................................... 6
1.4. Phương trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng ........................... 7
1.5. Sự ổn định (Lyapunov) của phương trình vi phân đại số......................... 9
1.6. Tính giải được của DDAE chính quy..................................................... 13
1.7. Phương trình DAEs có trễ dạng Hessenberg........................................ 17
Chƣơng 2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG ............ 21
2.1. Tiêu chuẩn ổn định................................................................................. 21
2.1.1. Tính ổn định tiệm cận của hệ có trễ độc lập ...................................... 22
2.1.2. Tiêu chuẩn ổn định đại số thực hành .................................................. 31
2.2. Tính ổn định của nghiệm dạng số .......................................................... 43
2.2.1. Phương pháp θ .................................................................................... 43
2.2.2. Phương pháp BDF............................................................................... 45
2.2.3. Phương trình vi phân đại số có trễ chính quy yếu. ............................. 46
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 51

iii


DANH M C CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
ODE:

Phương trình vi phân thường.

DAE:

Phương trình vi phân đại số .

DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ.
DODE: Phương trình vi phân thường có trễ.
NDODE: Phương trình vi phân thường có trễ trung tính.
NDDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ trung tính.
UDODE: Phương trình vi phân thường cơ bản có trễ.
UDDAE: Phương trình vi phân đại số cơ bản có trễ.

iv


MỞ ĐẦU
Các phương trình vi phân đại số (DAEs) đóng vai trò quan trọng trong
việc mô phỏng các bài toán ứng dụng thực tế, ví như trong ứng dụng của
ngành cơ học đa vật thể, điều khiển quỹ đạo theo lệnh, thiết kế mạng điện, hệ
thống phản ứng hóa học, sinh học và y học lâm sàng.(xem [4,18] và các tài liệu
tham khảo trong đó). Trong nhiều bài toán, các hệ được chú ý đến nhiều là hệ
chứa trễ, (xem [3,6-8,12,20,21,22,25-27]). Lý thuyết và các nghiệm dạng số
của các phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) được biết đến và bàn luận

hàng thập kỷ qua,(xem [14] và các bài tham khảo trong đó), có rất ít các kết
quả nghiên cứu về hệ phương trình vi phân đại số có trễ (DDAEs). Lý do chính
là vì ngay cả đối với các DDAEs tuyến tính, cơ chế động học của chúng vẫn
chưa được tìm hiểu kỹ, đặc biệt khi cặp ma trận {A,B} trong (0.1) là không
chính quy. Vấn đề khó nhất là tồn tại dạng không bị nén để trong đó một bộ
nhiều hơn hai ma trận có thể được đồng thời biến đổi.
Hầu hết các kết quả nghiên cứu trước đây đều chỉ dành cho phương trình
vi phân đại số có trễ (DDAEs) chính quy tuyến tính với thời gian không đổi
(xem [12,25]), hoặc các DDAEs dạng đặc biệt (xem [3, 20, 26, 27]). Cho tới
thời điểm đăng bài báo này, chỉ mới có hai công trình nghiên cứu liên quan tới
phương trình vi phân đại số không chính quy (xem [8, 21]). Kết quả tổng quan
về tính giải được và tính ổn định của DDAE vẫn còn khá ít.
Ví dụ dưới đây minh họa một vài sự khác biệt quan trọng giữa ODEs có trễ,
DAEs không trễ và DAEs có trễ.
Ví dụ 1. Xét hệ thuần nhất sau

 x1 (t )  x1 (t )  x1 (t  1)  x2 (t  1)  0
(t  0)

2
x
(
t
)

x
(
t

1)


x
(
t

1)

0

2
1
2
trong đó, x1 và x2 được cho bởi các hàm liên tục trên (-1,0]. Động lực học của
x1 bị chi phối bởi một toán tử vi phân và sự liên tục của x1 được kỳ vọng. Động

1


lực học của x2 được quy định bởi một toán tử vi phân và không giống x1, thành
tố này nhìn chung chỉ cần là liên tục từng khúc.
Ví dụ 2. Xét hệ không thuần nhất dưới đây
x1 (t )  f (t )

(t  0)

x
(
t
)


x
(
t

1)

g
(
t
)
 1
2

Nghiệm được cho bởi
t

t 1

0

0

x1 (t )   f ( s)ds  C , x2 (t )   g (t  1) 



f ( s)ds  C ( t  0 )

trong đó, C là hằng số. Hệ động lực này không phải ngẫu nhiên. Không những
x2 được xác định trên (-1,0], mà nghiệm cũng phụ thuộc và những lần tích phân

sau này của hàm đầu vào f(t). Hiện tượng thú vị này cần được lưu ý thêm rằng
ngoài những lý thuyết đã biết trước đây về DAE là nghiệm có thể phụ thuộc
vào đạo hàm của hàm đầu vào.
Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận độc lập với trễ của DAEs với trễ
đơn được đưa ra trong [26]. Theo đó, tính ổn định tiệm cận của phương pháp ,
phương pháp BDF, phương pháp đa bước tuyến tính tổng quát, cũng như
phương pháp Runge-Kutta ẩn đều được phân tích. Không may, trong thực tế rất
khó kiểm tra những điều kiện này. Mục đích chính của luận văn này là trình
bày các kết quả bổ sung cho lý thuyết về tính ổn định của các DDAEs đã được
các tác giả đề xuất trong [26]. Cụ thể là, chúng ta có ý định đưa các tiêu chuẩn
về tính ổn định cho DDAEs độc lập dạng (0.1) và (0.2). Chúng ta tập trung vào
các tiêu chuẩn ổn định mà thực tế có thể dễ dàng kiểm tra được. Kết quả của
chúng ta đạt được là mở rộng các tiêu chuẩn dành cho DODEs (xem [15,16])
sang các DDAEs trung tính. Theo những tiêu chuẩn này, chúng ta sẽ chỉ ra
rằng, các nghiệm dạng số có được bằng phương pháp

và phương pháp BDF

đều bảo toàn tính ổn định tiệm cận của DDAE. Kết quả này cũng chỉ ra rằng
kết quả của DAE có trễ đơn trong [26] là một trường hợp đặc biệt. Hơn nữa,

2


chúng tôi cũng nghiên cứu tính giải được và tính ổn định của một lớp đặc biệt
các DDAE không chính quy.
Luận văn gồm 60 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo, nội dung chính gồm có hai chương.
Chƣơng 1. Kiến thức cơ sở
Nội dung chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về các

phương trình vi phân đại số, phương trình vi phân có trễ, lí thuyết ổn định của
phương trình vi phân sẽ được sử dụng trong chương 2.
Chƣơng 2. Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội
và nghiệm số của chúng.
Nội dung chương này trình bày một số kết quả nghiên cứu về tiêu chuẩn
ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng mà
các tác giả Stephen L. Campbell và Vũ Hoàng Linh đã đề cập trong bài báo:
“Stability criteria for differential-algebraic equations with multiple delays and
their numerical solutions” đăng trên “Applied Mathematics and Computation ”
vào năm 2009.

3


Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Một số khái niệm và kết quả về hệ phƣơng trình vi phân đại số.
Xét phương trình vi phân dạng
F (t , x(t ), x(t ))  0

trong đó: x : I 

n

F : I  D

, I   a,   
n



(t , x, x)

D là tập mở trong

(1.1)

n

n

F (t , x, x)
, F  (I  D 

n

,

n

), Fx , Fy  ( I  D 

n

, L(

n

))

Định nghĩa 1.1.1. Phương trình vi phân (1.1) được gọi là phương trình vi phân

đại số (DAEs) nếu hàm F thỏa mãn ker Fx (t , x(t ), x(t ))  0 với mọi
(t, x, x)  I  D 

n

Hệ quả 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính
A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  q(t )

trong đó A, B  ( I , L(

n

(1.2)

)) , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với t  I , là phương

trình vi phân đại số tuyến tính.
1.2. Phép chiếu, chỉ số của ma trận.
Định nghĩa 1.2.1. Cho P  L(

n

). P được gọi là một phép chiếu nếu

Nhận xét 1.2.2. Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: KerP  Im P 
Mỗi phân tích

n

n

 U  V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U

và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V
Đặt Q:= I-P thì Q cũng là một phép chiếu lên V dọc theo U.

4


Định nghĩa 1.2.3. (Chỉ số của ma trận)
Cho A  L(

n

) . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A kí hiệu là indA,

k
k 1
k
k 1
nếu đó là số nhỏ nhất sao cho KerA  KerA , min k  : KerA  KerA 

Định lý 1.2.4. Với mọi A  L(
imAk  ker Ak 

n

n

) ta luôn có

. Với mọi k thoả mãn 0  k  indA .

imAk  ker Ak  imAk  ker Ak 

n

với k  indA .

Định nghĩa 1.2.5. Cặp ma trận {A,B} được gọi là chính quy nếu c 

sao

cho det(cA  B)  0 .
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử cặp ma trận {A,B} chính quy, c 
det(cA + B)

thỏa mãn

. Chỉ số của cặp ma trận {A,B} là chỉ số của ma trận

(cA  B)1 A, kí hiệu là ind(A,B), tức là ind ( A, B)  ind (cA  B)1 A

(định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị của c)
Định lý 1.2.7. Nếu Q  L(

n

) không suy biến thì

ind (QA, QB)  ind ( AQ, AB)  ind ( A, B)

Nếu A và B là giao hoán được thì ind ( A, B)  indA.
Định lý 1.2.8. Giả sử cặp ma trận {A,B} chính quy, c 

sao cho cA  B khả

nghịch, đặt Q  (cA  B)1. Khi đó QA, QB là giao hoán được.
Định lý 1.2.9. Giá sử cặp ma trận {A,B} chính quy, chỉ số k và
rank ([cA+B1 ]k )  r khi đó tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho

A  Pdiag ( I r ,U )Q, B  Pdiag (W,U nr )Q

Định lý 1.2.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương
1) Cặp (A,B) là chính quy chỉ số 1.
2) x  ker A và Bx  imA suy ra x  0
3) Cặp ( A, B ) chính quy và deg P  rankA với P( z) : det( zA  B)
4) Cặp( A, B  AW ) chính quy và ind{ A, B  AW }=1 với mọi W  L(
5

n

)


5) G : A  BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên ker A
6) Với S : {x 

n

: Bx  imA} thì S  ker A 

n

.

7) Bằng cách nhân ma trận không suy biến thích hợp E  L(
A 

n

) thỏa

B 

mãn EA   1  , EB   1  , ta nhận được ma trận không suy biến
0
 B2 
 A1 
   L(
 B2 

n

) .

1.3. Chỉ số của phƣơng trình vi phân đại số
Chỉ số của phương trình vi phân đại số là một số nguyên dương cung cấp
những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn trong
phân tích và tìm nghiệm của phương trình vi phân đại số.

Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong việc tìm nghiệm cho
phương trình vi đại số. Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số
này. Ví dụ: chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân (Brenan và đồng nghiệp, 1986),
chỉ số nhiễu (Hairer và đồng nghiệp, 1996), chỉ số mềm (Griepentrog và đồng
nghiệp, 1986), chỉ số hình học (Rabier và đồng nghiệp, 2002), hay chỉ số lạ
(Kunkel et al. 2006),.. Vì một phương trình vi phân là hỗn hợp của các phép vi
phân và tích phân, nên có người cho rằng việc lấy đạo hàm các điều kiện ban
đầu và thay thế khi cần thiết trong các phương trình vi phân, lặp lại nếu cần, thì
sẽ dẫn tới kết quả của một phương trình vi phân thường cho tất cả các ẩn hàm.
Số lần lấy đạo hàm cần thiết trong phép biến đổi từ phương trình vi phân
đại số về phương trình vi phân thường gọi là chỉ số vi phân của phương trình vi
phân đại số. Như vậy, phương trình vi phân thường là phương trình vi phân đại
số chỉ số là .
Hệ phương trình Ax  Bx  0 được gọi là chính quy chỉ số k nếu cặp ma
trận  A, B là chính quy chỉ số k (k là chỉ số mềm).
Người ta có thể phân lớp các phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số
của các phương trình vi phân này.
6


Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số (mềm) của phương trình vi phân
đại số
1.4. Phƣơng trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng
Xét phương trình vi phân đại số dạng

F (t , x(t ), x(t ))  0
trong đó: x : I 

n

(1.3)

, I   a,   

F : I  D

n

(t , x, x)

D là tập mở trong

n



n

F (t , x, x)

, F  (I  D 

n

,

n

), Fx , Fy  ( I  D 

ker Fx (t , x(t ), x(t ))  0 với mọi (t , x, x)  I  D 

không phụ thuộc vào
(t , x, x)  I  D 

n

và ́ tức là

n

n

, L(

n

))

. Giả thiết ker Fx (t , x(t ), x(t ))  0

ker Fx (t , x(t ), x(t ))  N (t )

với mọi

.

Định nghĩa 1.4.1. Không gian hạch N (t ) được gọi là trơn trên I nếu có ma trận
hàm khả vi liên tục Q  l ( I , L(

n

)) sao cho Q(t )2  Q(t ), imQ(t )  N (t ) , t  I .

Khi đó Q(t ) là phép chiếu lên N(t). Đặt P(t )  I n  Q(t ) suy ra P  l ( I , L(

n

)).

1

Ta có F (t , x, y)  F (t , x, P(t ) y)   Fx (t , x, sy  (1  s) P(t ) y)Q(t ) yds
0

và từ Q(t ) y  imQ(t )  N (t )  ker Fx (t , x, x)  Fx (t, x, y)Q(t ) y  0.
1

suy ra F (t , x, y)  F (t , x, P(t ) y)   Fx (t , x, sy  (1  s) P(t ) y)Q(t ) yds  0
0

hay
F (t , x, y)  F (t , x, P(t ) y)  F (t , x, x)  F (t , x, P(t ) x)  F (t , x,(Px)(t )  P(t ) x(t ))

Điều này cho thầy, để hàm x : I 
P( x) 
1
N

(I ,

l

n

(I ,

n

) , Q( x)  ( I ,

)  {x 

l

(I,

n

n

): P(x) 

n

là nghiệm của (1.3) thì cần phải có

) . Bây giờ ta quan tâm tới không gian hàm sau
l

(I,

n

)}
7


Đặt S (t , x, y )  {z 

n

: Fx (t,x,y)z  Fy (t,x,y)}

G1 (t , x, y) : Fy(t, x, y)  Fx(t, x, y)Q(t)
A1 (t , x, y) : G1 (t , x, y)  Fy(t , x, y) P(t )Q(t )
N1 (t , x, y) : ker A1 (t , x, y)

S1 (t , x, y) : {z 

n

: Fx (t,x,y)P(t)z  imA1 (t,x,y)}

Định nghĩa 1.4.2. Phương trình vi phân đại số (1.3) được gọi là có chỉ số 1
trên tập mở G  I  D 

n

nếu N (t )  S (t , x, y) 

n

, (t , x, y)  G

Định nghĩa 1.4.3. Phương trình vi phân đại số (1.1) được gọi là có chỉ số 2 trên
tập mở G  I  D 

n

nếu

dim N1 (t , x, y)  const>0 và N1 (t , x, y)  S1 (t , x, y) 

n

, (t , x, y)  G

Cụ thể đối với phương trình vi phân tuyến tính dạng
A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  0

trong đó x : I 

n

, A, B  ( I , L(

(1.4)
n

)) , det A(t )  0 với t  I ..

N (t )  ker A(t ) trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t) khả vi liên tục.

Đăt P(t ) : I  Q(t )
S (t ) : {z 

n

: B(t)z  imA(t)}

A1 (t ) : A(t )  ( B(t )  A(t ) P(t ))Q(t )

N1 (t ) : ker A1 (t )

S1 (t ) : {z 

n

: B(t)P(t)z  imA1 (t)}

Gọi Q1 (t ) là phép chiếu khả vi liên tục lên N1(t) dọc theo S1(t),
P1 (t ) : I  Q1 (t )

B1 (t ) : ( B(t )  A1 (t )( PP1 )) P(t )

Đặt A2 (t ) : A1 (t )  B1(t )Q1 (t )

8

Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi
N (t )  S (t ) 

n

, t  I .

Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi
 dim N1 (t )  const  0
 det A1 (t )  0, t  I
tức là 

n
det A2 (t )  0, t  I
 N1 (t )  S1 (t )  , t  I

Đặc biệt khi xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
Ax(t )  Bx(t )  0

trong đó x : I 

(1.5)
n

, A, B  ( I , L(

n

)) , det A(t )  0 . Khi đó:

N : ker A

S : {z 

n

: Bz  imA}

Gọi Q là chép chiếu lên N, đặt P : I  Q (P là phép chiếu lên imA ).
A1 : A  BQ

N1 : ker A1

s1 : {z 

n

: B1z  imA}

Gọi Q1 là phép chiếu lên N1 dọc S1, đặt P1 : I  Q1
B1 : BP, A2 : A1  B1Q1 ( A1  BPQ1 )

Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi
N S 

n

 det A1  0.

Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi
 dim N1  const  0
tức là

n
 N1  S1  , t  I

 det A1  0

det A2  0

1.5. Sự ổn định (Lyapunov) của phƣơng trình vi phân đại số
Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính sau
A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  q(t )

(1.6)

9


trong đó x : I 

n
,

A, B  L(

n

), det A  0, q(t )  ( I ,

n

)

Rõ ràng hệ (1.6) có nghiệm tầm thường x(t )  0 .
a. Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử (1.6) có chỉ số 1 và KerA(t) trơn. Gọi Q(t) là phép chiếu khả vi liên tục
lên KerA(t), đặt P(t ) : I n  Q(t )
Ký hiệu x(t , t0 , x0 ) là nghiệm của (1.6) thỏa mãn
P(t0 ) x(t0 )  P(t0 ) x0 , t0  I , x0 

điều kiện đầu

n

Định nghĩa 1.5.1. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định
(theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
(

đều tồn tại
‖ x(t , t0 , x0 ) ‖

)

cho trước và với mọi

sao cho nếu x0 

n

thỏa mãn P(t0 ) x0   thì

với mọi

Định nghĩa 1.5.2. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định
tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số

( )

‖ ( ) ‖

sao cho nếu
( )

thì
‖ x(t , t0 , x0 ) ‖
b. Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2
Giả sử hệ (1.6) có chỉ số 1 và ker A(t ) trơn. Các phép chiếu P(t ), P1 (t ) như ở
mục (1.4). Ký hiệu x(t , t0 , x0 ) là nghiệm của (1.6) thỏa mãn điều kiện đầu
P(t0 ) P1 (t0 ) x(t0 )  P(t0 ) P1 (t0 ) x0 , t0  I , x0 

n

Định nghĩa 1.5.3. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định
(theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
đều

tồn

tại

(

)

sao

P(t0 ) P1 (t0 ) x0   thì ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖

cho trước và với mọi
cho

với mọi

10

nếu

thỏa

mãn


Định nghĩa 1.5.4. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định
( )

tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số

sao cho nếu

P(t0 ) P1 (t0 ) x0   0 (t0 )

thì ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖
Trong phần tiêp theo, chúng ta tóm tắt ngắn gọn những kiến thức cần
thiết cho các phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng và có trễ
(DDAEs). Chúng ta giả định rằng người đọc đã rất quen thuộc với lý thuyết cơ
bản về DAEs (xem [4],[12],[17]), ví dụ như
A ̇ + Bx = 0

(1.7)

Cặp ma trận {A,B} được gọi là chính quy nếu tồn tại λ
det(λA+B)

sao cho

0.

Hệ (1.7) là giải được nếu và chỉ nếu {A,B} là chính quy.
Nếu det(λA+B) =0 với λ

, chúng ta nói rằng {A,B} là không chính

quy. Nếu {A,B} là chính quy, thì λ là giá trị riêng hữu hạn của {A,B} khi
det(λA+B) = 0.
Tập hợp tất cả các giá trị riêng được gọi là phổ của cặp {A,B} và được kí
hiệu bằng σ{A,B}.
Giá trị lớn nhất của giá trị riêng hữu hạn được gọi là bán kính phổ của cặp
{A,B} và được kí hiệu bằng ρ{A,B}. Những khái niệm này cũng được mở rộng

cho trường hợp bộ n+1 ma trận cho trước * +



tức là các giá trị riêng của bộ









 i 0

n



ma trận này có được bằng cách định nghĩa   Ai i0    : det    ni Ai   0
và (* +
A

mm

)

*| |

(* +

)

n



). Vì vậy, với một ma trận cho trước

, ta đã biết phổ σ(A) và bán kính phổ ρ(A) lần lượt là σ(-I,A) và

ρ(-I,A).
Giả sử rằng, A là suy biến và cặp {A,B} là chính quy. Khi đó tồn tại các
ma trận không suy biến W, T sao cho

11


I
WAT   d
0

0
 B1
 , WBT   0
N


0 


I m d 

(1.8)

trong đó N là lũy linh bậc k (xem [4,13,18]). Nếu N là một ma trận không thì
k=1. Hơn nữa, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng, N và
nằm trong ma trận tam giác trên.
Nếu cặp{A, B} là chính quy, chỉ số lũy linh của N trong (1.8) được gọi là chỉ
số của cặp ma trận {A,B} và chúng ta viết index{A,B}=k.
Nếu A không suy biến, chúng ta viết index{A,B}=0.
Định nghĩa 1.5.5. Giả sử {A, B} là chính quy. Gọi Q là một phép chiếu lên
không gian con của A với điều kiện đầu tương thích. Đặt P= I - Q.
Nghiệm không của (1.7) là ổn định nếu: với
thỏa mãn ‖ ‖

một vector tùy ý

sao cho với

, nghiệm của bài toán giá trị ban

đầu
 Ax  Bx  0, t   0,  

P( x(0)  x0 )  0


tồn tại duy nhất và thỏa mãn‖ ‖

với t

.

Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
‖ ‖

với

nghiệm x của (1.7).

Nếu nghiệm không của (1.7) là ổn định và ổn định tiệm cận , chúng ta
nói rằng hệ (1.7) là ổn định, ổn định tiệm cận.
Nếu index{A,B}=1 ta có thể chọn Q là phép chiếu lên ker(A) (xem [13]). Sự
khác biệt giữa các ODEs và DAEs là đối với ODEs thì điều kiện x(0)  x0 là
tùy ý cón đối với DAEs thì không kì vọng vào điều đó mà điều kiện đầu
x(0)  x0 là tương thích. Nói cách khác, với DAEs, chúng ta cần giá trị ban đầu

tương thích xo sao cho (1.7) thỏa mãn, với các điều kiện ban đầu x(0)  x0 , sẽ
đúng cho trường hợp nghiệm trơn. Chúng ta không xem xét các trường hợp
phát sinh trong luận văn này và vì lý do đó chúng ta sẽ thường xuyên đưa ra
các giả thiết về chỉ số. Đối với hệ bất biến tuyến tính, các khái niệm về sự ổn
12


định tiệm cận và ổn định mũ là tương đương. Các hệ (1.7) là ổn định nếu và
chỉ nếu cặp ma trận{A, B} là ổn định, tức là, (

)

trong đó nửa mặt

phẳng phức vế trái là mở (xem [24]). Rõ ràng (WAT,WBT) = (

) đối

với các W, T không suy biến.
1.6. Tính giải đƣợc của DDAE chính quy
Lý thuyết về phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) đã được biết
đến khá nhiều (xem [14]), khi ma trận đầu ra A trong (1.7) là ma trận đơn vị,
những hệ phương trình dạng này được phân loại theo dạng của chúng. Đối với
một DODE vô hướng a ̇ + bx + c ̇ (
trình là loại có trễ nếu a
loại cải tiến nếu a=0, b

)

(

)

( ), hệ phương

, là loại trung tính nếu a
và c

, và là

. Một thuộc tính quan trọng của các lớp

phương trình ta phân loại ở trên là nó phân loại các DODEs gián đoạn lan
truyền đến các khoảng trễ trong tương lai (giả thiết của bài toán điều kiện ban
đầu). Các điểm gián đoạn xuất hiện trong hệ trễ trở nên trơn hơn trong mỗi
khoảng thời gian kế tiếp, trong khi đó các gián đoạn trong các hệ cải tiến trở
nên kém trơn trong mỗi khoảng thời gian kế tiếp. Gián đoạn trong hệ trung
tính được thực hiện vào khoảng thời gian trễ kế tiếp với cùng một độ trơn. Do
đó, chúng ta sẽ nghiên cứu riêng rẽ DDAEs gồm có phần trễ và DODEs trung
tính, nhưng việc tránh hoàn toàn những điều kiện dẫn đến DODEs cải tiến. Đối
với một số ví dụ thú vị về DDAEs và một số DAEs không trễ nhưng thực sự là
loại trung tính hoặc cải tiến, (xem [7,8]).
Trong phần này, chúng ta xét DAEs có trễ đơn
Ax  Bx  Dx(t   )  0

(1.9)

DDAE dạng (1.9) được gọi là chính quy (xem [8]) nếu cặp ma trận {A.B}
được gọi là chính quy và chính quy yếu nếu tồn tại α, β, γ
det(α

β

γ )

sao cho

tức là bộ ba {A, B, D} là chính quy. Chúng ta giả sử

rằng {A,B} là chính quy và có chỉ số k. Chú ý rằng các DAEs có độ trễ đơn.
Ax  Bx  Cx(t  )  Dx(t   )  0

(1.10)
13


luôn có thể biến đổi được về dạng (1.9). Thật vậy, bằng cách định nghĩa một
biến mới y qua phương trình y(t) = x(t- ), chúng ta có được một DAE có trễ
mới Ax  Bx  Dx(t   )  0
 A C

 x

(1.11)
 B D
0 0 
, D  

I
 0 I 

với x    , A 
, B  
0 0
0
 y

Tuy nhiên, phép biến đổi này có thể làm tăng chỉ số của hệ phương trình
DAE. Ngoài ra, số chiều của hệ mới được biến đổi trở thành 2m, đem lại ít lợi
ích khi tính toán trong thực tế.
Mệnh đề 1.6.1. Cặp ma trận {̃ , ̌} là chính quy nếu và chỉ nếu {A,B} là chính
index  A, B  k  1

quy. Tuy nhiên, index{A, B}=k hoặc
, trong đó

index(A,B)=k.
Chứng minh. Sự tương đương giữa tính chính quy của 2 cặp ma trận là rõ
ràng. Chúng ta kiểm tra khẳng định về chỉ số của cặp  A, B . Không làm mất
tính tổng quát, chúng ta giả đỉnh rằng cặp {A,B} được cho dưới dạng chuẩn
Kronecker (1.8). Theo đó, C và D được cho sẵn dưới dạng khối:
 C C2 
 D1
C  1
, D  
 C3 C4 
 D3

D2 

D4 

(1.12)

Do đó, ta có thể giả sử  A, B là
I 0

0 N
A
0 0

0 0

C1 C2 
 B1 0 D1


C3 C4 
0 I D3
, B
0 0 I
0 0


0 0
0 0 0

D2 

D4 
0 

I 

14

(1.13)


Không khó để xác định được rằng
 I

0

̃
̃
Index(
)=index 
 0


 0

0
N
0
0

C1
C3
0
0

C2   B1 0 D1
 
C4   0 I D3
,
0 0 0 I
 
0 0 0 0

N
Hay index( ̃ ̃ ) = index ̃ trong đó N   0
0



 Nk

Nk   0
 0


N k C3
0
0
Do vậy, index ̃

D2  

D4  

0 

I 


C3 C4 

0 0  và
0 0 

N k 1C4 

0 

0 

nếu

và

Nếu không thì

index ̃
Hệ quả 1.6.2. Giả sử rằng cặp {A,B} là chính quy chỉ số 1 và giả sử các ma
trận có dạng khối (1.19). Khi đó, cặp ma trận mới {̃ ,̃} có chỉ số 1 khi và chỉ
khi
Hệ quả 1.6.2 có nghĩa là (1.11) có chỉ số 1 nếu và chỉ nếu index{A, B}=1 và
đạo hàm của không xuất hiện trong " phần đại số".
Bây giờ, chúng ta quay trở lại DDAE chính quy (1.9) với điều kiện đầu
x(t) = ( ) với mọi t ,
trên ,

- trong đó

là một hàm liên tục được xác định

-Tính giải được của DDAE chính quy được trình bày chi tiết trong

các tài liệu [6],[7]. Bằng việc sử dụng những phép biến đổi tọa độ hằng số
tương thích, trước tiên chúng ta chuyển bộ ba ma trận A, B, D thành dạng khối
(1.8), (1.12). Khi đó, hệ (1.9) được phân rã như sau

z  B1 z  D1 z (t   )  D2 w(t   )  0
Nw  w  D3 z (t   )  D4 w(t   )  0

(1.14)

Trong đó x được phân rã thành các biến vi phân z và các biến đại số w.Sử dụng
k 1

lũy linh của N,

w(t )   ( N )i  D3 z (i ) (t   )  D4 w (i ) (t   ) 
i 0

15

(1.15)


Đặt t= 0 trong (1.15), chúng ta có được một điều kiện ban đầu tương thích.
Bài toán giá trị ban đầu cho hệ (1.9) với một điều kiện ban đầu tương thích là
không đổi cho một nghiệm duy nhất (xem [6,7,11]) và có thể giải được bởi
nghiệm dạng (1.14) với z,w đệ quy trên   l  1 , l  , l  1,2,... (Định nghĩa về
tính ổn định tiệm cận của DDAEs trong hệ (1.9) cũng tương tự như của
DODEs.
Định nghĩa 1.6.3. [13,24,25] Nghiệm tầm thường của phương trình DDAE
(1.9) được gọi là ổn định nếu với mỗi
các hàm liên tục

(

, nghiệm

mãn‖ (

)‖

( )sao cho với tất cả

thỏa mãn điều kiện đầu tương thích và

sup  (t )  

t  ,0

, tồn tại

với t

)của bài toán điều kiện đầu cho(1.9) thỏa

.

Định nghĩa 1.6.4. Nghiệm tầm thường của phương trình DDAE (1.9) được
cho là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và

‖ (

)‖

Với các bài toán chỉ số cao hơn (k>1), công thức đối với w liên quan đến đạo
hàm nghiệm thu được trong phần trước. Kết quả trong [6] cho thấy rằng các
nghiệm của (1.9) có thể liên tục nhưng với các khoảng hữu hạn nào đó, thậm

chí nếu điều kiện đầu  là không khả vi hữu hạn. Ngoài ra các điểm gián đoạn
không nhất thiết phải trơn như các bài toán không suy biến khác.
Ví dụ 1.6.5. Xét một DDAE trong không gian 2 chiều
0 1
 1 0 
 0 0

 x(t )  
 x(t )  
 x(t  1)  0
0 0
 0 1
 1 0 

với

(

) . Hệ này có chỉ số 2. Rất dễ dàng thấy rằng

thỏa mãn

phương trình cải tiến, x1 (t )  x1(t  1), do đó x1 (t )  x1( m) (t  m) . Tức là,
cả

(và

) dần dần trở nên kém trơn. Dáng điệu nghiệm của hệ này giống như

những hệ cải tiến.

16


Đối với trường hợp đơn giản nhất khi k = 1, tình hình có phần tốt hơn. Sự
tiến hóa của z được xác định bởi một phương trình có trễ khác, trong khi đó
một toán tử vi phân xác định được động thái của w. Nếu hàm ban đầu liên
tục

được cho trước, thì z là liên tục và w là liên tục từng khúc. Hơn nữa, z là

khả vi và w là liên tục trừ trường hợp tại những bội nguyên của . Dáng điệu
hệ (1.9) giống như một hệ có trễ trung tính.
Việc mở rộng tất cả các kết quả trong phần này cho các DAEs với trễ bội
dạng (0.1) hoặc (0.2) là khá dễ dàng và đơn giản. Chúng ta lưu ý rằng tính trơn
của các nghiệm hiện nay có thể còn kém đi. Ngay cả trong các bài toán có chỉ
số 1 khoảng cách giữa điểm nhảy có thể trở nên nhỏ tùy ý khi t tăng trừ trường
hợp khi tất cả các tỷ lệ  i

 j , i  j là số hữu tỷ. Thực tế này làm nảy sinh

những khó khăn cho thực hành các phương pháp giải số.
1.7. Phƣơng trình DAEs có trễ dạng Hessenberg
DDAEs phát sinh trong các ứng dụng thường có cấu trúc đặc biệt. Một trong
những lớp quan trọng nhất của dạng này là các hệ DDAEs dạng Hessenberg
được khái quát hóa từ các DAEs không trễ dạng Hessenberg (xem [4]).
Định nghĩa 1.7.1. DDAEs tuyến tính dạng

x1  B1x1  B2 x2  D1x1 (t   )  0,

(1.16)

(1.17)

B3 x3  B4 x2  D3 x1 (t   )  0

trong đó B4 không suy biến, được gọi là DDAE tuyến tính có chỉ số 1 và nửa
hiện DDAE hay là tuyến tính chỉ số 1 dạng Hessenberg.
Chú ý rằng index{A,B}=1 và D4=0
DDAEs tuyến tính có dạng
x1  B1x1  B2 x2  D1x1 (t   )  0,

(1.18)
(1.19)

B3 x1  0,

trong đó B3B2 không suy biến,được gọi là DDAE tuyến tính chỉ số 2 nửa
hiện hay DDAE tuyến tính chỉ số 2 dạng Hessenberg. Ở đây cặp ma trận

17


{A,B} là một cặp Hessenberg chỉ số 2 và D2= 0, D3 = 0, và D4 = 0.
DDAEs dạng (1.16)-(1.17) có được từ việc tuyến tính hóa DDAE phi tuyến chỉ
số 1 dạng Hessenberg
f (t , x1 (t )), x1 (t ), x1 (t   ), x2 (t ), x2 (t   ))  0,

(1.20)
(1.21)

g (t , x1 (t ), x1 (t   ), x2 (t ))  0

dọc theo 1 nghiệm đặc biệt, trong đó Jacobian của

được cho là không suy

biến. Tương tự, bằng cách tuyến tính hóa DDAE phi tuyến chỉ số là 2
f (t , x1 (t ), x1 (t ), x1 (t   ), x2 (t ), x2 (t   ))  0,

(1.22)
(1.23)

g (t , x1 (t ))  0

trong đó

được giả thiết là không suy biến, ta nhận được DDAEs có dạng

(1.218) và (1.19) (xem [3,25]).
Đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm trễ có thể xuất hiện trong (1.16),
(1.17) và (1.18), cũng như (1.19). Cụ thể, DDAEs dạng
x1  B1x1  B2 x2  C1x1 (t   )  C2 x2 (t   )  D1x1 (t   )  D2 x2 (t   )  0,
B3 x1  B4 x2  D3 x1 (t   )  0,

(1.24)
(1.25)

trong đó B4 là không suy biến, được gọi là DDAE trung tính tuyến tính chỉ số
1 dạng Hessenberg. Hơn nữa, DDAEs có dạng
x1  B1x1  B2 x2  C1x1 (t   )  D1x1 (t   )  0,
B3 x1  0,

(1.26)
(1.27)

trong đó B3 B2 là không suy biến, được gọi là DDAE trung tính tuyến tính chỉ số
2 dạng Hessenberg. DDAEs trung tính dạng (1.24), (1.25) và (1.26), (1.27) có
thể được biến đổi thành DDAEs dạng (1.16), (1.17), và (1.18), (1.19) bằng việc
bổ sung các biến mới như đã trình bày trong phần trước. Mệnh đề 1 cho thấy
chỉ số mềm của DDAEs là cùng chỉ số với DDAE trung tính thông thường.
Một trong những đặc trưng quan trọng nhất của DDAEs dạng Hessenberg
là ta có thể dễ dàng nhận được DODE cơ bản tương ứng. Ví dụ, đối với các hệ
(1.16), (1.17) ta có thể giải được nghiệm
và nhận được DODEs cơ bản.
18

từ (1.17) sau đó thay vào (1.16),


x1  ( B1  B2 B41B3 ) x1  ( D1  D2 B41B3  B2 B41D3 ) x1 (t   )  D2 B41D3 x1 (t  2 )  0, (1.28)

Lưu ý rằng các UDODE (1.28) bây giờ có trễ kép trong khi DDAE dạng
(1.16), (1.17) chỉ có trễ đơn. Hơn nữa, dễ thấy rằng các DDAE chỉ số 1dạng
(1.16) và (1.17) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu UDODE của nó (1.28) là ổn
định tiệm cận. Tương tự như vậy, chúng ta có thể thu được các kết quả tương
tự cho DDAE trung tính chỉ số 1 dạng (1.24) và (1.25).
Ta có DODE cơ bản đối với DDAE có trễ nửa hiện chỉ số 2 dạng (1.18) và
(1.19) là phức tạp hơn trường hợp chỉ số 1 một chút. Trước hết khảo sát điều
đó bằng cách lấy vi phân của (1.19) rồi chèn kết quả vào (1.18) ta được một
ràng buộc ẩn
B3 B1x1  B3B2 x2  B3D1x1 (t   )  0

(1.29)

Vì B3B2 khả nghịch nên từ (1.29) dễ dàng tìm được biến đại số thứ hai
. Tiếp theo, đặt số dòng và số cột của B2 tương ứng lần lượt là
Lấy R 

( m1 m2 )m1

theo

và

.

có các dòng chuẩn hóa độc lập tuyến tính cơ bản cho
R

T
không gian không của B2 . Khi đó RB2  0 và ma trận   là khả nghịch.
 B3 

Đặt biến mới u = R

, chúng

ta có thể tính được

từ u nhờ

1

 R  u 
x1    ,    Su,
 B3   0 

(1.30)

trong đó S được xác định bởi RS = 1, B3S = 0. DODE cơ bản tương ứng là
̇

(

)

(1.31)

Từ (1.29) và (1.30) có thể thấy rằng phương trình DDAE chỉ số 2 nửa
hiện có dạng (1.19) và (1.20) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu phương trình
DODE cơ bản có dạng (1.31) như vậy nhận được. Tương tự chúng ta có

19