VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

Header Page 1 of 166.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------o0o------------------

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI
VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 166.




Header Page 2 of 166.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------o0o------------------

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI
VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 2 of 166.




Header Page 3 of 166.

MỤC LỤC
Trang
Mục lục..................................................................................................

1

Mở đầu...................................................................................................

2

Chƣơng 1
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN

MỤC TIÊU
1.1. Các khái niệm và định nghĩa..........................................................

4

1.2. Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai..............................................

8

1.3. Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ƣu cấp hai..................

15

Chƣơng 2
ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA
MỤC TIÊU
2.1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................

33

2.2. Điều kiện cần tối ƣu cho bài toán đa mục tiêu với ràng buộc tập...

37

2.3. Điều kiện cần tối ƣu Fritz John.......................................................

41

2.4. Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker.......................................................

45

KẾT LUẬN.............................................................................................

50

TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................

51

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 3 of 166.




Header Page 4 of 166.

MỞ ĐẦU
Lý thuyết các điều kiện tối ƣu trong tối ƣu đơn mục tiêu và đa mục tiêu
trơn và không trơn phát triển rất mạnh mẽ và thu đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ
và phong phú. Lý thuyết các điều kiện tối ƣu cấp 2 là một bộ phận quan trọng
của lý thuyết các điều kiện tối ƣu.
Từ các điều kiện cần ta có đƣợc tập các điểm dừng mà trong đó bao
hàm các nghiệm của bài toán tối ƣu. Các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2 cho phép ta
tìm ra nghiệm của bài toán đó. Thông thƣờng ngƣời ta đƣa vào các tập tiếp
tuyến cấp 2, các tập tuyến tính hoá cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 và

từ đó dẫn tới các điều kiện tối ƣu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker.
J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [3] đã nghiên cứu các tập
tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, các khái niệm chính quy
cấp 2 và chính quy cấp 2 ngoài. Từ đó, các tác giả đã thiết lập các điều kiện
cần tối ƣu cấp 2 với điều kiện chính quy Robinson, và các điều kiện đủ tối ƣu
cấp 2 cho bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn với ràng buộc nón. G. Bigi
và M.Castellani [4] đã nghiên cứu tập các phƣơng giảm cấp 2. Tập các
phƣơng chấp nhận đƣợc cấp 2 tập tiếp liên cấp 2 và các điều kiện chính quy
cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Từ đó, các tác giả dẫn các điều kiện cần tối
ƣu Fritz John cấp 2 trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên kiểu Motzkin,
và các điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy
cấp 2 kiểu Abadie và Guignard.
Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều
kiện tối ƣu cấp 2 dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập
tuyến tính hoá cấp 2 và các đạo hàm theo phƣơng cấp 2.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 4 of 166.




Header Page 5 of 166.

Chƣơng 1: Trình bày các nghiên cứu của J. F. Bonnans, R. Cominetti
và A. Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2

trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài. Với điều
kiện chính quy Robinson, các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu
với ràng buộc nón không trơn đƣợc trình bày cùng với các điều kiện đủ tối ƣu
cấp 2.
Chƣơng 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của G. Bigi và
M.Castellani [4] về điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho cực tiểu yếu địa phƣơng
của bài toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc trên cơ sở phát triển một định lý
luân phiên Motzkin không thuần nhất. Các nghiên cứu về tập tiếp liên cấp 2,
tập tuyến tính hoá cấp 2, các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và
Guignard đƣợc trình bày cùng với các điều kiện cần cấp 2 Fritz John và
Kuhn-Tucker.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS
Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học
sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy
khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp Cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009
Nguyễn Thị Lan Anh

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 5 of 166.

Header Page 6 of 166.

Chƣơng 1

ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN
TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU
Chƣơng 1 trình bày các nghiên cứu của J.F.Bonnans, R.Cominetti và
A.Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên,
điều kiện chính quy cấp 2 ngoài và điều kiện chính quy cấp 2 cùng với các điều
kiện cần và đủ tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu với ràng buộc nón.
1.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Bài toán
Ta xét bài toán tối ƣu có dạng

min f(x),
(P)

x X

G(x)  K,

trong đó X là không gian hữu hạn chiều, Y là không gian Banach,

K là một tập con lồi đóng của Y , hàm mục tiêu f : X  R và ánh xạ
ràng buộc G : X  Y đƣợc giả thiết là khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu

 : G1 ( K ) là tập chấp nhận của bài toán ( P) .
Một số bài toán tối ƣu có thể phát biểu dƣới dạng bài toán ( P) . Khi

Y 

p

và K  0  R p q . Tập chấp nhận đƣợc của ( P) đƣợc xác định bởi

một số hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và ( P) trở thành
bài toán quy hoạch phi tuyến.
Ví dụ khác, ta xét không gian Y  C () gồm các hàm liên tục  :   ¡
xác định trên không gian metric compăc  trang bị chuẩn sup.
4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 6 of 166.




Header Page 7 of 166.

 : sup  (  ) .


Lấy K : C (  ) là nón của các hàm nhận giá trị không âm, tức là

C (  ):   C(  ): (  )  0,   .
Trong trƣờng hợp này, ràng buộc G( x )  K

tƣơng ứng với

g( x, )  0 với mọi    , trong đó g( x,.) : G( x )(.) . Nếu tập  là vô

hạn, ta nhận đƣợc một số vô hạn các ràng buộc, và (P) trở thành bài toán
quy hoạch bán vô hạn.
Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu là xét các bài
toán tối ƣu có dạng

min g( F( x )),

(1.1)

xX

trong đó g : Y  R   là hàm lồi chính thƣờng nửa liên tục dƣới và

F : X  Y . Bài toán này tƣơng đƣơng với bài toán tối ƣu sau (xem [7]):

min c,

(1.2)

( x ,c )X R

( F( x ),c ) epi( g ),

trong đó epi( g ) : ( y,c ) Y  R : g( y )  c là trên đồ thị của g và do đó
nó đƣợc xét nhƣ một trƣờng hợp riêng của bài toán (P). Điều ngƣợc lại
cũng đúng, có nghĩa là bài toán (P) có thể biểu diễn dƣới dạng (1.1) bằng

cách lấy

g( r, y )  r  I K ( y ) và F( x )  ( f ( x ),G( x )) ,
trong đó I K ( y )  0 , nếu y  K và bằng  nếu y  K (xem [7]). Cho nên
hai cách tiếp cận là tƣơng đƣơng.
5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 7 of 166.




Header Page 8 of 166.

1.1.2. Các khái niệm và định nghĩa
Giả sử h :Y  R     là hàm giá trị thực mở rộng.
Giả sử h(.) là hữu hạn tại điểm y  Y ta kí hiệu h' ( y,d ) là đạo hàm
theo phƣơng của nó tại điểm y theo phƣơng d  Y

h' ( y;d ) : lim
t 0

h( y  td )  h( y )
.
t

Nhắc lại [5] rằng nếu h(.) lồi, giá trị hữu hạn tại y, chính thƣờng trên
Y, y  dom h thì h' ( y;d ) tồn tại và hữu hạn.

Ta cũng sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau:

h ( y;d )  liminf
t 0

d ' d

h( y  td')  h( y )
.
t

Chú ý rằng trên đồ thị của h ( y,.) đóng và h ( y,.) là hàm nửa liên
tục dƣới. Nếu h(.) là lồi, nhận giá trị hữu hạn và liên tục tại y và do đó là
liên tục Lipschitz trong một lân cận của y , thì h ( y,.)  h' ( y,.) . Nói
chung, nếu h là lồi, có thể gián đoạn, thì bao đóng của trên đồ thị của

h' ( y,.) trùng với trên đồ thị của h ( y,.) .
Khi h' ( y,d ) tồn tại và là hữu hạn, ta kí hiệu h'' ( y ;d , ) và

h'' ( y ;d , ) là đạo hàm parabolic cấp hai trên và dƣới [3], tƣơng ứng của
h tức là

1
h( y  td  t 2 ) - h( y ) - th' ( y,d )
2
h'' ( y ;d , ) :  liminf
t 0
1 2
t

2
6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 8 of 166.




Header Page 9 of 166.

1
h( y  td  t 2 )  h( y )  th' ( y,d )
2
h'' ( y ;d , ) : lim sup
t 0
1 2
t
2
Ta nói rằng h(.) là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y theo phƣơng d,
nếu h'' ( y ;d , ) = h+'' ( y ;d , ) và hữu hạn với mọi   Y . Trong trƣờng
hợp này, giá trị chung đó đƣợc ký hiệu h ( y ;d , ) . Khi h( y ) và
''

h ( y,d ) hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau

1
h( y  td  t 2' )  h( y )  th ( y,d )
2

h ( y ;d , ) : liminf
1 2
t 0 , ' 
t
2
Chú

ý

rằng

nếu

h(.)

là

liên

tục

Lipschitz

gần

y,

thì

h ( y ;d , )  h'' ( y ;d , ) . Nói riêng, điều này đúng, nếu h(.) lồi, hữu

hạn, và liên tục, và do đó là liên tục Lipschitz tại y.
Kí hiệu Y * là không gian đối ngẫu của Y và y* , y giá trị y* ( y ) của
hàm tuyến tính y*  Y * tại y  Y . Với ánh xạ tuyến tính liên tục

A: X Y

ta kí hiệu

A* : Y *  X *

là ánh xạ liên hợp, tức là,

A* y* ,x  y* ,Ax , với mọi x  X ,y* Y * . Với tập T  Y kí hiệu  (.,T ) là

hàm tựa của T, tức là

 ( y* ,T ) : sup y* , y

.

yT

Ký hiệu dist  .,T  là hàm khoảng cách
dist  y,T  : inf y  z .
zT

7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 9 of 166.




Header Page 10 of 166.

Df ( x ),D2 f ( x ) tƣơng ứng là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai
của hàm

f ( x ) ; BY :  y  Y : y  1 là hình cầu đơn vị trong Y ;

 y : ty : t R là không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y (một chiều nếu
y  0).
1.2. CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI
Giả sử K là tập con đóng của không gian Banach Y . Nón tiếp tuyến
cấp 1 của K tại điểm y  K đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

TK ( y ) :  h Y : dist(y + th, K) = o(t), t  0.

(1.3)

Nhắc lại [2] các khái niệm giới hạn trên và dƣới của hàm đa trị : X  2Y
(từ không gian định chuẩn X vào họ các tập con của Y) theo nghĩa
Painlevé - Kuratowski:

lim sup   x   y  Y : x n  x 0 sao cho yn   x n  , yn  y,
x  x0

liminf   x   y  Y : x n  x 0 , yn   x n  , yn  y.

x  x0

Theo định nghĩa của giới hạn tập hợp dƣới, ta có thể viết

Ky
.
t

TK  y   liminf
t 0

(1.4)

Ta biết rằng khi K là lồi thì cũng có

TK ( y )  lim sup
t 0

Ky
.
t

( 1.5)

Chú ý rằng nếu K là nón lồi và y  K , thì TK ( y )  cl  K   y  , trong
đó  y  ký hiệu không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y và cl ký hiệu bao
đóng theo tôpô chuẩn của Y .
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 10 of 166.




Header Page 11 of 166.

Tƣơng tự (1.4) và (1.5), ta xét biến phân cấp hai của tập K tại điểm
y  K theo phƣơng d

TK2 ( y,d ) : liminf
t 0

OK2 ( y,d ) : lim sup
t 0

K - y - td
,
1 2
t
2

(1.6)

K  y  td
.
1 2
t
2

(1.7)

Ta gọi TK2 ( y,d ),OK2 ( y,d ) tƣơng ứng là các tập tiếp tuyến cấp hai
trong và ngoài. Các tập tiếp tuyến này có thể viết dƣới dạng sau:

1


TK2 ( y,d )    Y: dist (y+td+ t 2 , ) = o(t 2 ),t  0  ,
2


1


OK2 ( y,d )  : tn  0 : dist (y+tn d+ tn2 ,K) = o(tn2 ) .
2


Từ định nghĩa trên ta thấy rằng TK2 ( y,d )  OK2 ( y,d ) , và các tập tiếp
tuyến cấp hai này khác rỗng chỉ nếu

d TK ( y ) . Cả hai tập

TK2 ( y,d ),OK2 ( y,d ) đóng. Nếu K lồi, thì tập TK2 ( y,d ) lồi; Tập tiếp tuyến
cấp hai ngoài OK2 ( y,d ) có thể không lồi.
Ví dụ dƣới đây chứng minh rằng không giống nhƣ các nón tiếp tuyến
cấp một, các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài có thể khác nhau.
Ví dụ 1.1

Ta xây dựng một hàm tuyến tính từng khúc lồi y   ( x ),x  R , dao
động giữa hai parabol y  x2 và y  2x2 . Ta xây dựng  ( x ) thoả mãn:

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 11 of 166.




Header Page 12 of 166.
( x )  (  x ),
( 0 )  0,
và với dãy đơn điệu giảm đến không xk nào đó, hàm  ( x ) là tuyến tính
trên mỗi đoạn

 xk 1 ,xk  ,( xk )  xk2

và đƣờng thẳng đi qua các điểm

( xk ,( xk )) và  xk 1 ,  xk 1   là tiếp xúc với đƣờng cong y  2x2 .
Nhƣ vậy với điểm xk  0 , xét đƣờng thẳng đi qua điểm ( xk ,xk2 ) và
tiếp xúc với đƣờng cong y  2x2 . Đƣờng thẳng này giao với đƣờng cong

y  x2 tại điểm xk 1 rõ ràng xk  xk 1  0 , và có
xk  0 .
Đặt K : ( x, y )  R 2 : y  ( x ) . Khi đó với phƣơng d : ( 1,0 ) ta có
TK2 ( 0,d )   x, y  : y  4 ,

OK2 ( 0,d )  ( x, y ) : y  2 .
Với mỗi   R , '' ( 0;1, )=2

và +'' ( 0;1, )=4 và do đó  (.) là

không khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm 0 .
Ta nói rằng tập K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y  K theo
phƣơng d , nếu

TK2 ( y,d )  OK2 ( y,d ) .
Mệnh đề 1.1
Giả sử tập K được xác định như sau

K   y Y : h( y )  0 ,
10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 12 of 166.




Header Page 13 of 166.
trong đó h :Y  R   là hàm lồi chính thường. Giả sử h( y )  0 ,
h  y,d   0 , và giả sử rằng tồn tại y sao cho h( y )  0 (điều kiện Slater).

Khi đó,





OK2 ( y,d )  : h ( y;d , )  0 .

(1.8)

Nếu giả thiết thêm h(.) là liên tục tại y, thì
TK2 ( y,d )  : h+'' ( y;d , )  0 .

(1.9)

Chứng minh
Ta chỉ chứng minh (1.8) đúng, còn chứng minh (1.9) là tƣơng tự.
Xét   OK2 ( y,d ) và chọn dãy tn  0 ,n   sao cho
1
y  tn d  tn2 n  K , và do đó,
2

1
h( y  tn d  tn2n )  0 .
2
Khi đó,

1
h( y  tn d  tn2n )
2
h ( y ;d , )  liminf
0.

n
1 2
tn
2
Ngƣợc lại, giả sử h ( y ;d , )<0 . Khi đó, với tn  0  và n  
nào đó, ta có

1
1
h( y  tn d  tn2n )  tn2 h ( y ;d , ) + o(tn2 ) .
2
2

11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 13 of 166.




Header Page 14 of 166.

1
Do đó, h( y  tn d  tn2n )  0 với n đủ lớn.
2
Vì vậy,

1

y  tn d  tn2n  K .
2
Từ đó suy ra   OK2 ( y,d ) .
Bây giờ giả sử h ( y;d , )=0 , và do đó tồn tại tn  0  và n  
sao cho

1
h( y  tn d  tn2n )  o( tn2 ) .
2
Lấy   0,' Y . Đặt ' : '   ( y  y ) . Do tính lồi của h , với

1 2
t '  0 đủ nhỏ ta có 1   t'  0 và
2

 

1 2
1 2
1 2
h( y  t' d  t' ' )  ( 1   t' ) ( t ' ,' )   t ' h y ,
2
2
2

(1.10)

trong đó

1

2

 ( t' ,' ) : h( y  t' ( 1  t' ) 1 d
2

1 '2
1 2
t ( 1  t' ) 1 .)
2
2

Đặt:

1 '2 '
2tn
't ( 1  1  t' 2 )1  t , tức là t' 
(
1

 tn )n  n .
,
và
n
n
n
2
2 n
( 1  1  2 tn2 )
Khi đó,

1
2

 ( tn' ,n' )  h( y  tn d  tn2n )   ( tn2 ) .
12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 14 of 166.




Header Page 15 of 166.

Bởi vì tn'  0  ,n'   ( y  y )   và h( y )  0 , từ (1.10) ta suy ra
với mọi   0 ,

h ( y;d , )   h( y )  0 .
Vì vậy,   OK2 ( y,d ) . Vì OK2 ( y,d ) đóng, cho   0  ta nhận đƣợc

  OK2 ( y,d ) . Do đó (1.8) đƣợc chứng minh.
Nếu h(.) là lồi và liên tục tại y , thì các đạo hàm cấp hai

h ( y,d ,.),h'' ( y,d ,.) là nhƣ nhau. Khi đó, từ mệnh đề trên, với điều kiện
Slater, ta suy ra K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm y theo phƣơng

d khi và chỉ khi các tập mức : h'' ( y ;d , )  0 và : h'' ( y ;d , )  0
trùng nhau. Đặc biệt, K là khả vi theo phƣơng cấp hai nếu h(.) là khả vi
theo hƣớng cấp hai.

Mệnh đề 1.2
Với mọi y  K ,d TK ( y ) , ta có
TK2 ( y,d )  TTK ( y )( d )  TK2 ( y,d )  TT

K(y)

( d ),

OK2 ( y,d )  TTK ( y )( d )  OK2 ( y,d )  TTK ( y )( d ) .

(1.11)
(1.12)

Nhắc lại [5] rằng tập A  X lồi khác  đƣợc gọi là lùi xa theo
phƣơng d  0 , nếu A  d  A    0 . Tập các vectơ d  X thoả mãn

A  d  A    0
và vectơ d = 0 đƣợc gọi là nón lùi xa của A.
13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 15 of 166.




Header Page 16 of 166.

Từ mệnh đề trên ta suy ra TTK ( y ) ( d ) là nón lùi xa của TK2 ( y,d ) và

OK2  y,d  khi mà các tập hợp này khác rỗng.

Hơn nữa,

nếu

0  OK2 ( y,d ) , thì

OK2 ( y,d )  TTK ( y )( d )

và khi

0 TK2 ( y,d ) thì ba tập này trùng nhau:
TK2 ( y,d )  OK2 ( y,d )  TTK ( y )( d ) .

Chú ý rằng
TTK ( y ) ( d )  cl TK ( y )   d  ,

trong đó d TK  y  ; TTK ( y )( d ) là rỗng, nếu d TK  y  .
Theo công thức (1.14) và (1.15) dƣới đây cho ta một quy tắc để tính
các xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của tập chấp nhận đƣợc  : G1( K ) của
( P ) dƣới ngôn ngữ xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của K . Công thức này đúng

với điều kiện chính quy Robinson:

0  int G(x0 )  DG( x0 )X  K .

(1.13)

Mệnh đề 1.3 ([3])

Lấy x0  : G 1( K ) và giả sử điều kiện chính quy Robinson
(1.13) đúng. Khi đó, với mọi h  X ,
2
T2 ( x0 ,h )  DG( x0 )1  TK2 ( G( x0 ),DG( 0x )h ) D
G( 0x )( h,h ),

(1.14)

O2 ( x0 ,h )  DG( x0 )1  OK2 ( G( x0 ),DG( 0x )h ) D2 G( 0x )( h,h ).

(1.15)

14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 16 of 166.




Header Page 17 of 166.

1.3. ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI
Phần này trình bày các điều kiện tối ƣu cấp hai cần và đủ cho bài
toán ( P ) . Với bài toán ( P ) , ta định nghĩa hàm Lagrange nhƣ sau:

L( x, ) : f ( x )   ,G( x ) ,  Y * .
Hàm Lagrangian suy rộng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

L* ( x, , ) :  f ( x )   ,G( x ) , (  , )  R  Y * .
Giả sử x0 là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán ( P ) . Khi đó, các
điều kiện tối ƣu kiểu cấp một Fritz John có dạng: tồn tại

(  , )  R  Y * ,(  , )  (0,0 ) sao cho
Dx L* ( x0 , , )  0,   0,  N K ( G( x0 )).

(1.16)



Ở đây N K ( y ) : y*  Y * : y* ,z  y  0 , với mọi z  K là nón pháp
tuyến của K tại y . Kí hiệu * ( x0 ) là tập hợp các nhân tử Lagrang suy
rộng (  , )  ( 0,0 ) thỏa mãn điều kiện (1.16). Chú ý rằng với không gian
Banach Y tập hợp * ( x0 ) có thể rỗng. Điều kiện tối ƣu Fritz John ở trên
là điều kiện cần cho nghiệm tối ƣu địa phƣơng, tức là * ( x0 )   . Ta chú
ý hai trƣờng hợp quan trọng. Cụ thể là khi Y là không gian hữu hạn chiều,
hoặc khi K có phần trong khác rỗng.
Nếu nhân tử  trong (1.16) khác không thì ta có thể lấy   1 , và vì
vậy điều kiện cần cấp 1 trở thành

Dx L( x0 , )  0,   N K ( G( x0 )) .

(1.17)

Với điều kiện chính quy Robinson (1.13), tập hợp ( x0 ) các nhân tử
Lagrange thỏa mãn (1.17) là khác rỗng và bị chặn (xem [8]).
15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 17 of 166.




Header Page 18 of 166.

Khi tập K là một nón lồi và y  K , nón pháp tuyến N K ( y ) có dạng:





N K ( y )  y*  K  : y* , y  0 ,
trong đó



K  : y*  Y * : y* , y  0,y  K



là nón cực của nón K (đối ngẫu âm). Trong trƣờng hợp đó, điều kiện

  N K ( G( x0 )) trở thành
  K  và  ,G( x0 )  0 .
Nhắc lại rằng: nón

C( x0 ): h  X : DG( x0 )h TK ( G( x0 )),Df ( x0 )h  0

(1.18)

đƣợc gọi là nón tới hạn (critical cone) của bài toán ( P ) tại điểm x0 . Nón
này biểu diễn các phƣơng tuyến tính hóa cấp một của ( P ) . Chú ý rằng khi
tập ( x0 ) các nhân tử Lagrange khác rỗng thì Df ( x0 )h  0 với mọi h  X
thỏa mãn DG( x0 )h TK ( G( x0 )) . Trong trƣờng hợp đó bất đẳng thức

Df ( x0 )h  0 , trong định nghĩa của nón tới hạn có thể thay bởi đẳng thức
Df ( x0 )h  0 . Điều đó là tƣơng đƣơng với   ,DG( x0 )h  0 với mọi

  ( x0 ) .
Bây giờ ta có thể phát biểu điều kiện cần tối ƣu cấp hai dựa trên sự
phân tích đƣờng cong chấp nhận đƣợc parabol có dạng

1
x(t) = x0  th  t 2 + o(t 2 ) ,
2

(1.19)

trong đó t  0 . Điều kiện cần này kết hợp với điều kiện đủ trong định lý
1.2 dẫn tới khái niệm chính quy cấp hai.
16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 18 of 166.

Header Page 19 of 166.

Định lý 1.1
Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ( P ) . Giả sử
rằng điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng. Khi đó, với mọi h  C( x0 )
và tập lồi bất kỳ T ( h )  OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) ,

Sup Dxx2 L( x0 , )( h,h )   (  , T (h))  0 .

( x0 )

(1.20)
Chứng minh
Chú ý rằng nếu T (h)=  thì  (., T (h)) =   và (1.20) đúng một
cách tầm thƣờng.
Ta giả sử T (h) và do đó tập OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) khác rỗng.
Ta khẳng định rằng giá trị tối ƣu của bài toán:

Min Df ( x0 )+D2 f ( x0 )( h,h ) ,

(1.21)

X

DG( x 0 )+D2G( x0 )( h,h )  OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h )
là không âm.
Thật vậy, nếu  là điểm chấp nhận đƣợc của bài toán này, sử dụng
mệnh đề 1.3 ta nhận đƣợc   02 ( x0 ,h ) , trong đó:  : G1( K ) . Vì thế ta

1
có thể tìm đƣợc dãy tk  0 sao cho xk : x0  tk h  tk2 + o(t 2 )  .
2

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 19 of 166.




Header Page 20 of 166.

Dãy xk là chấp nhận đƣợc của bài toán ( P ) và hội tụ đến cực tiểu địa
phƣơng x0 . Do đó, f ( xk )  f ( x0 ) với mọi k đủ lớn. Sử dụng khai triển
Taylor cấp hai ta có

1
f ( x0 )  f ( xk )  f ( x0 )  tk Df ( x0 )h  t k2  Df ( x0 )+D 2 f ( x0 )( h,h )   ( t k2 ) .
2
Bởi vì Df ( x0 )h  0 , với bất kỳ h  C( x0 ) , ta nhận đƣợc

Df ( x0 )+D2 f ( x0 )( h,h )  0 .
Nhƣ vậy, giá trị tối ƣu của bài toán (1.21) không âm. Bây giờ ta xét
tập T(h) := cl {T (h) TK ( G( x0 )) . Tập này là bao đóng tôpô của tổng
hai tập lồi và vì thế là lồi. Hơn nữa, từ bao hàm thức (1.12) và sự kiện:
các tập tiếp tuyến ngoài cấp hai đóng, ta suy ra

T( h )  OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) .
Rõ ràng nếu ta thay đổi các tập tiếp tuyến cấp hai ngoài trong (1.21)
bằng tập con T( h ) của nó thì giá trị tối ƣu của bài toán tối ƣu sẽ lớn hơn
hay bằng giá trị tối ƣu của (1.21). Do đó, giá trị tối ƣu của bài toán:

Min Df ( x0 )+D2 f ( x0 )( h,h ) ,

(1.22)

X

DG( x0 )+D2G( x0 )( h,h ) T( h )
là không âm.
Bài toán tối ƣu (1.22) lồi và đối ngẫu (tham số) của nó là:

Max Dxx2 L( x0 , )( h,h )   (  ,T( h ))

(x0 )

(1.23)

Thật vậy, hàm Lagrange của (1.22) là
18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 20 of 166.

Header Page 21 of 166.

L(  , )=Dx L( x0 , )+Dxx2 L( x0 , )( h,h ) .
Bởi vì với bất kỳ z  T( h ) , ta có z  TK ( G( x0 ))  T( h ), cho nên

 (  ,T( h ))   với mỗi   TK ( G( x0 ))  N K ( G( x0 )) .


Vì thế miền hữu hiệu của đối ngẫu tham số của (1.22) là nằm trong

( x0 ) . Khi đó ta suy ra tính đối ngẫu. Hơn nữa, điều kiện chính quy
Robinson (1.13) kéo theo

DG( x0 )X  TK ( G( x0 ))  Y .
Bởi vì với bất kỳ z  T( h ) thì z  TK ( G( x0 ))  T( h ) , ta có

z  DG( x0 )X  T( h )  Y .
Do đó (1.22) có một nghiệm chấp nhận đƣợc và điều kiện chính quy
Robinson cho bài toán (1.22) cũng đúng. Do đó, không có lỗ hổng đối
ngẫu giữa (1.22) và đối ngẫu (1.23) (xem [3]).
Ta nhận đƣợc giá trị tối ƣu của (1.23) không âm. Bởi vì T
(h)  T( h ) , ta có  (  , T (h))   (  ,T( h )) . Vì vậy ta suy ra (1.20) và định
lý đƣợc chứng minh.
Nhận xét
(i)

Nhƣ chúng ta đã đề cập ở phần trƣớc, tập tiếp tuyến cấp hai ngoài

OK2 ( G( x0 )),DG( x0 )h )

có thể không lồi. Tuy nhiên khi nó lồi ta có thể sử dụng tập này ở trong
điều kiện cấp hai (1.20), và ta nhận đƣợc một điều kiện cần tốt hơn. Trong
bất kỳ trƣờng hợp nào có thể lấy T (h) là tập tiếp tuyến cấp hai trong

19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 21 of 166.




Header Page 22 of 166.

TK2 ( G( x0 )),DG( x0 )h . Nói chung, tập T

(h) có thể lấy lớn hơn

TK2 ( G( x0 ),DG( x0 )d ) và do đó định lý 1.1 là mạnh hơn.
(ii) Chú ý rằng trong điều kiện cần tối ƣu cấp hai, giá trị tối ƣu của bài
toán (1.21) là không âm.
(iii) Nếu 0  OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) với mọi h  C( x0 ) , nói riêng nếu tập K
là một đa diện, thì
OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h )  TTK ( G( x0 )) ( DG( x0 )h ) ,

và  (  , T (h)) = 0 với mỗi   ( x0 ) , và
T (h) : OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) .
(iv) Giả sử  là tập hợp của các dãy tn  các số dƣơng hội tụ tới 0. Với
bất kỳ s=tn   , y  K , và d TK ( y ) ta có thể đƣa vào tập tiếp tuyến

cấp hai dƣới đây:

1


TK2,s ( y,d ) :  :dist(y+tn d  t 2 ,K)= (t 2 ) .
2


Với bất kỳ s  , tập TK2,s (y,d) là lồi và đóng. Rõ ràng giao của

TK2,s ( y,d ) theo tất cả s   là TK2 (y,d) , và hợp của TK2,s ( y,d ) lấy theo
s   là OK2 ( y,d ) . Một cách chọn T (h) là TK2,s ( G( x0 ),DG( x0 )h ) với bất

kỳ s   .
(v)

Ta có thể phát biểu điều kiện cần cấp hai (1.20) dƣới dạng

inf sup Dxx2 L( x0 , )( h,h )   (  ,T( h ))  0 ,

T O(h) ( x0 )
(h)

(1.24)

20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 22 of 166.




Header Page 23 of 166.

trong

đó

O(h)

kí

hiệu

tập

tất

cả

các

tập

con

lồi

của

OK2 ( G( x0 ), DG( x0 )h ) . Nói riêng, nếu ta lấy tất cả các tập con một phần
tử của OK2 ( G( x0 ), DG( x0 )h ) thì điều kiện (1.24) kéo theo điều kiện cần
dƣới đây

inf

sup Dxx2 L( x0 , )( h,h )   , y   0 .

yOK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) ( x0 )

(1.25)

Nếu ( x0 ) là tập một phần tử, chẳng hạn ( x0 )  0  , thì điều kiện
(1.25) trở thành

Dxx2 L( x0 ,0 )( h,h )   ( 0 ,OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ))  0 .

(1.26)

Định nghĩa 1.1
Giả sử S   là tập các điểm chấp nhận được của bài toán ( P )
thoả mãn f ( x )  f0 với mỗi x  S . Ta nói rằng điều kiện tăng trưởng cấp
hai đúng tại S nếu tồn tại hằng số c  0 và lân cận N của S sao cho

f ( x )  f0  c  dist(x,S) với mọi x   N .
2

(1.27)

Nói riêng, nếu S  x0  là tập một phần tử, điều kiện tăng trƣởng cấp hai
(1.27) sẽ có dạng

f ( x )  f ( x0 )  c x  x0

2

với mọi x   N .

(1.28)

Điều này rõ ràng kéo theo x0 là một nghiệm tối ƣu địa phƣơng của
( P ) . Hơn nữa, với giả thiết điều kiện Ronbinson (1.13) đúng, khi đó với

bất kỳ h  C( x0 ) giá trị tối ƣu của (1.21) là lớn hơn hay bằng 2c h . Vì
2

21

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 23 of 166.




Header Page 24 of 166.

thế điều kiện cần cấp hai (1.20) trở thành bất đẳng thức chặt với mọi

h  C( x0 ) khác không.
Điều kiện cần cấp hai (1.20) đƣợc dựa trên đánh giá ƣớc lƣợng trên
của hàm mục tiêu dọc theo đƣờng cong parabol chấp nhận đƣợc có dạng
(1.19). Để đánh giá ƣớc lƣợng dƣới, và do đó để nhận đƣợc điều kiện đủ
cấp 2 ta đƣa vào khái niệm sau.
Định nghĩa 1.2
Giả sử y  K ,d TK ( y ) và xét ánh xạ tuyến tính liên tục M : X  Y . Ta
nói rằng tập đóng AK,M ( y,d )  Y là xấp xỉ trên cấp 2 của K tại y theo

1
phương d và theo M , nếu với bất kỳ dãy yk  K có dạng yk : y  tk d  tk2 rk ,
2
trong đó tk  0 và rk  M k  ak với

k   X

ak 

là dãy hội tụ trong Y và

thỏa mãn tkk  0 , điều kiện dưới đây đúng:

lim dist( rk ,AK ,M ( y,d ))  0 .
k 

(1.29)

Nếu điều kiện trên đúng với bất kỳ X và M , tức là (1.29) thỏa mãn

với bất kỳ dãy

1
y  tk d  tk2 rk  K
2
sao cho tk rk  0 , thì ta bỏ qua M và nói rằng tập AK ( y,d ) là tập xấp xỉ
trên cấp hai của K tại điểm y theo phương d .
Định nghĩa trên nhằm mục đích cho ta tập đủ lớn AK ( y,d ) sao cho
nếu y  td   ( t ) là đƣờng cong trong K mà tiếp xúc với d với
22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 24 of 166.




Header Page 25 of 166.

 ( t )   ( t ) , thì số dƣ cấp hai r( t ) :

( t )
1 2
t
2

tiến đến AK ( y,d ) khi t  0 .

Chú ý rằng số dƣ r(t) và dãy rk  r( tk ) có thể không bị chặn.

Xấp xỉ trên cấp hai AK ( y,d ) không duy nhất. Rõ ràng, nếu

AK ( y,d )  B , thì B cũng là xấp xỉ trên cấp hai. Nếu y  K ,d TK ( y ) và
y  d    K thì d+ TK ( y ) . Vì vậy,  TTK ( y )( d ) . Do đó, TTK ( y )( d ) là

tập xấp xỉ trên cấp hai. Từ định nghĩa suy ra tập tiếp tuyến cấp hai ngoài

OK2 ( y,d ) nằm trong các tập xấp xỉ trên cấp hai K ( y,d ) .
Định lý 1.2
Giả sử x0 là điểm chấp nhận được của bài toán ( P ) thỏa mãn điều
kiện tối ưu cấp một ( kiểu Fritz John) (1.16). Giả sử mỗi h  C( x0 ) tương
ứng với một tập xấp xỉ trên cấp hai trên ( h ) : K ,M ( y0 ,d ) của tập K
tại điểm y0 : G( x0 ) theo phương d : DG( x0 )h và theo ánh xạ tuyến tính

M : DG( x0 ) . Giả sử rằng điều kiện cấp hai dưới đây thỏa mãn:

sup
(  , )* ( x0 )

D

L ( x0 , , )( h,h )   (  , ( h ))  0

2 *
xx

(1.30)

với mọi h  C( x0 )\ 0 . Khi đó, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.28) đúng
tại x0 , và vì vậy x0 là nghiệm tối ưu địa phương chặt của ( P ) .

Chứng minh
Ta chứng minh phản chứng. Giả sử rằng điều kiện tăng trƣởng cấp
hai là không đúng tại x0 . Khi đó tồn tại dãy điểm chấp nhận đƣợc

xk  ,xk  x0 , hội tụ tới x0 và sao cho
23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 25 of 166.