Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ MAI OANH

PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP HÀM PHẠT
VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ MAI OANH

PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP HÀM PHẠT
VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG HAI CẤP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cam đoan

iii

Lời cảm ơn

iv

Một số kí hiệu và viết tắt

v

Mở đầu

1

1

Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Một số khái niệm về hàm lồi và tập lồi . . . . . . . .

5

1.1.2

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . 12

1.2

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm và tính chất cơ bản của tập nghiệm
bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3

Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . 19

1.3

Bài toán cân bằng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4

Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . 27

1.4.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


ii
2

Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán
cân bằng hai cấp

29

2.1

Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Phương pháp hàm phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Hàm đánh giá và hướng giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4

Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . 46

KẾT LUẬN

50

Tài liệu tham khảo

51


iii

Lời cam đoan
Luận văn thạc sỹ: "Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá
giải bài toán cân bằng hai cấp" được thực hiện bởi tác giả Lê Mai Oanh
- học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng khóa 2014 - 2016 của trường Đại

học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng sự hướng dẫn của GS. TSKH
Nguyễn Xuân Tấn - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, không trùng với
bất kỳ nghiên cứu nào khác.

Thái Nguyên, năm 2015
Học viên

Lê Mai Oanh


iv

Lời cảm ơn
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên, luận văn của tôi đến nay đã được
hoàn thành.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TSKH Nguyễn
Xuân Tấn đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong thời gian làm luận văn.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo
trong bộ môn Toán Ứng Dụng nói riêng và khoa Toán - Tin trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung đã cho tôi những kiến thức cần
thiết để hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp
đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Thái Nguyên, 2015
Lê Mai Oanh

Học viên Cao học Toán K7Y,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


v

Một số kí hiệu và viết tắt
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
R = R ∪ {±∞}

tập số thực mở rộng

Rn

không gian Euclid n chiều

H

không gian Hilbert

MT

chuyển vị của ma trận M

x, y = xT y

tích vô hướng của hai vectơ x và y

x =

chuẩn của vectơ x

x, x

C

bao đóng của tập C

intC

phần trong của tập C

riC

phần trong tương đối của tập C

xk → x

dãy xk hội tụ đến x

PC (x)

hình chiếu của x lên tập C

NC (x)

nón pháp tuyến ngoài của C tại x

ϕ (x) = ∇ϕ (x)

đạo hàm của hàm ϕ tại x

ϕ (x; d)

đạo hàm theo hướng d của ϕ tại x

∂ϕ (x)

dưới vi phân của ϕ tại x

∂f (x, x)

dưới vi phân của hàm f (x, .) tại x

∇x f (x, y)

đạo hàm của hàm f (., y) tại x

∇y f (x, y)

đạo hàm của hàm f (x, .) tại y


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Thuật ngữ cân bằng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh
khoa học và kỹ thuật như vật lý, hóa học, sinh học,...và trong toán học

có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng như bài toán tối ưu, bài
toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân
bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, bài toán điểm bất động... Mô
hình chung cho bài toán cân bằng EP (C, f ) đó là
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, với mọi y ∈ C
trong đó C ⊂ H là một tập lồi, đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} là
song hàm cân bằng (f (x, x) = 0, ∀x ∈ C).
Công thức này lần đầu tiên được đưa ra bởi H. Nikaido và K.
Isoda năm 1955 [24] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong
trò chơi không hợp tác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [11] và
thường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan.
Cùng với việc nghiên cứu, xây dựng các phương pháp giải bài
toán cân bằng, các nhà khoa học còn quan tâm đến bài toán cân bằng
hai cấp.
Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H và f, g :
C × C → R ∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C.
Bài toán cân bằng hai cấp BEP (C, f, g) (bài toán cân bằng trên tập


2
nghiệm của bài toán cân bằng) là bài toán:
Tìm x∗ ∈ Sf sao cho g (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ Sf
trong đó Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng
Tìm u ∈ C sao cho f (u, y) ≥ 0, với mọi y ∈ C.
Bài toán cân bằng hai cấp BEP (C, f, g) được tác giả A. Moudafi
[21] xét đến đầu tiên. Tuy có dạng đơn giản nhưng bài toán BEP (C, f, g)
khá tổng quát vì nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như bài
toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.
Trong các phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp thì phương

pháp hiệu chỉnh đóng vai trò quan trọng. Một phương pháp hiệu chỉnh
quen thuộc là phương pháp điểm gần kề. Phương pháp này được đề
xuất bởi B. Martinet [17] vào năm 1970 cho bài toán bất đẳng thức
biến phân và được phát triển bởi R. T. Rockafellar năm 1976 cho bao
hàm thức đơn điệu cực đại. Năm 1999, A. Moudafi [20] đã áp dụng
phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng đơn điệu và đến
năm 2010 [21] ông đã áp dụng phương pháp này cho lớp bài toán cân
bằng hai cấp đơn điệu. Ý tưởng chính của phương pháp này là kết
hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc
giải bài toán cân bằng hai cấp về việc giải một dãy các bài toán cân
bằng với song hàm cân bằng là f +

k g.

Để chứng minh sự hội tụ của

thuật toán đã đưa ra, tác giả A. Moudafi đòi hỏi các giả thiết về tính
đơn điệu, tính liên tục, tính lồi của các song hàm và đặc biệt là giả
thiết xk+1 − xk = 0 ( k ) với xk là nghiệm của bài toán cân bằng


3
EP (C, f +

k g),

đây là một giả thiết rất khó kiểm chứng vì chúng

không liên quan đến dữ liệu đầu vào của bài toán. Do đó việc tiếp tục
nghiên cứu và đề xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp với

các giả thiết như trên hoặc các giả thiết yếu hơn là rất cần thiết. Chính
vì lý do này, cùng với sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Xuân Tấn
tôi chọn đề tài "Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá
giải bài toán cân bằng hai cấp".
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày phương pháp giải cho một lớp bài toán cân bằng hai
cấp:
- Sử dụng phương pháp hàm phạt để chuyển bài toán cân bằng hai
cấp về giải một dãy các bài toán cân bằng phạt;
- Sử dụng phương pháp hàm đánh giá để giải bài toán cân bằng
phạt;
- Chỉ ra rằng nếu song hàm phạt hiệu chỉnh thỏa mãn các tính chất
giả đơn điệu thì bất kì điểm dừng của hàm đánh giá trên tập lồi
cũng là nghiệm của bài toán phạt;
- Áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân
bằng giả đơn điệu.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp giải cho bài toán cân bằng hai cấp đó
là phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để trình bày phương pháp giải cho bài toán cân bằng hai cấp tôi


4
sử dụng phương pháp hàm phạt, kết hợp phương pháp hàm đánh giá
và nguyên lý bài toán phụ.
5. Ý nghĩa của đề tài nghiên cứu
Đề tài đã trình bày được phương pháp hàm phạt cho bài toán cân
bằng hai cấp. Chứng minh định lí về sự hội tụ của dãy nghiệm của các
bài toán phạt tới nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu. Trình

bày phương pháp hàm đánh giá để giải bài toán phạt, mở rộng khái
niệm giả ∇- đơn điệu từ khái niệm ∇- đơn điệu. Chứng minh được
bất kì điểm dừng nào của hàm đánh giá cũng là nghiệm của bài toán
cân bằng nếu song hàm cân bằng thỏa mãn giả thiết giả ∇- đơn điệu
chặt. Áp dụng các phương pháp đã trình bày vào bài toán nảy sinh khi
sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng giả
đơn điệu.

Thái Nguyên, năm 2015
Lê Mai Oanh
Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 2014 - 2016
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm cũng như các kết quả để bổ trợ cho
chương sau. Bao gồm đầu tiên là các kết quả cần thiết về giải tích lồi và giải
tích hàm. Thứ hai là các khái niệm liên quan đến bài toán cân bằng, sự tồn
tại nghiệm, các tính chất cơ bản và các trường hợp riêng quan trọng của bài
toán cân bằng. Thứ ba là sự liên quan giữa bài toán cân bằng với các bài toán
khác trong lý thuyết tối ưu. Cuối cùng là trình bày về bài toán cân bằng hai
cấp và các trường hợp riêng. Các kết quả trong chương được lấy từ tài liệu
tham khảo [1], [2], [3], [9], [11], [13], [15], [16], [18], [21], [22], [24], [26],
[27]. Các chứng minh xem trong các tài liệu tham khảo kể trên.

1.1

Các khái niệm và kết quả cơ bản

1.1.1

Một số khái niệm về hàm lồi và tập lồi

Tập lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1. Tập C ⊂ X được gọi là tập lồi nếu:
∀x1 ; x2 ∈ C; ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λ.x1 + (1 − λ) .x2 ∈ C.
Định nghĩa 1.2. Giả sử C ⊂ X, x1 , x2 ∈ C. Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa


6
như sau:
[x1 ; x2 ] = {x ∈ C : x = λ.x1 + (1 − λ) .x2 }.
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét:
Nhận xét 1.1. Tập C lồi nếu ∀x1 ; x2 ∈ C ⇒ [x1 ; x2 ] ⊂ C.
Ví dụ 1.1. Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình
cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi...
Mệnh đề 1.1. Giả sử Cα ⊂ X(α ∈ I); I là tập các chỉ số bất kì. Khi đó, tập
C=

Cα cũng là tập lồi.
α∈I

Mệnh đề 1.2. Giả sử Ci ⊂ X lồi, λi ∈ R(i = 1, ..., m). Khi đó

m

λi Ci cũng
i=1

là tập lồi.
Mệnh đề 1.3. Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X −→ Y là
toán tử tuyến tính. Khi đó
(i) C ⊂ X lồi ⇒ T (C) lồi;
(ii) B ⊂ Y lồi ⇒ nghịch ảnh T −1 (B) của B là tập lồi.
Định nghĩa 1.3. Vectơ x ∈ X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 ; x2 ; ...; xm ∈
X, nếu tồn tại λi ≥ 0(i = 1, ..., m),

m

λi = 1 sao cho x =

i=1

m

λi .xi .

i=1

Định nghĩa 1.4. Giả sử C ⊂ X. Tương giao của tất cả các tập lồi chứa C
được gọi là bao lồi của tập C và ký hiệu là coC.
Nhận xét 1.2. CoC là một tập lồi đóng. Đó là một tập lồi đóng nhỏ nhất
chứa C.

Mệnh đề 1.4. Giả sử C ⊂ X lồi. Khi đó phần trong intC và bao đóng C là
các tập lồi.
Định lý 1.1. (xem [2, Định lý 2.3]) Bao lồi đóng của tập C trùng với bao
đóng của bao lồi C tức là CoC = CoC.


7
Nón lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.5. Tập K ⊂ X được gọi là nón lồi có đỉnh tại O, nếu
∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K.
K được gọi là nón có đỉnh tại xo , nếu K − xo là nón có đỉnh tại O.
Định nghĩa 1.6. K là nón lồi nếu K là nón có đỉnh tại O và K là một tập
lồi, có nghĩa là
∀x, y ∈ K; ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K.
Ví dụ 1.2. Các tập sau đây là các nón lồi (đỉnh tại gốc O) hay gặp trong Rn
(a) Rn+ = {x = (x1 ; ...; xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0; i = 1, 2...};
(b) Rn++ = {x = (x1 ; ...; xn ) ∈ Rn : xi > 0; i = 1, 2...}.
Mệnh đề 1.5. Giả sử Kα (α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh tại x0 (với I là tập
Kα là nón lồi có đỉnh tại x0 .

các chỉ số bất kì). Khi đó
α∈I

Định lý 1.2. (xem [2, Định lý 1.4]) Tập K ⊂ X là một nón lồi có đỉnh tại O
khi và chỉ khi
∀x, y ∈ K; ∀λ > 0 ⇒ x + y ∈ K, λx ∈ K.
Định nghĩa 1.7. Vectơ x∗ ∈ X∗ được gọi là pháp tuyến của tập lồi C tại
x0 ∈ C nếu
x∗ , x − x0 ≤ 0, (∀x ∈ C).

8
Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của tập lồi C tại x0 ∈ C được gọi là nón
pháp tuyến ngoài của C tại x0 . Kí hiệu là NC (x0 ). Như vậy
NC (x0 ) = {x∗ ∈ X∗ : x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Tập −NC (x0 ) được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x0 .
Nhận xét 1.3. NC (x0 ) là một nón lồi đóng.
Định nghĩa 1.8. Cho C là một tập lồi trong không gian tuyến tính X. Vectơ
d ∈ X, d = 0 được gọi là phương lùi xa của C nếu
{x + λd : λ ≥ 0} ⊂ C; ∀x ∈ C.
(Mọi tia xuất phát từ một điểm bất kì x ∈ C theo phương d đều nằm trọn
trong C).
Định lý 1.3. (xem [2]) Tập tất cả các phương lùi xa của C là một nón lồi.
Định nghĩa 1.9. Nón lồi tạo lên bởi tập tất cả các phương lùi xa của một tập
→
−
lồi C và vectơ 0 được gọi là nón lùi xa của C. Kí hiệu là recC.
Định nghĩa 1.10. Giả sử C khác rỗng (không nhất thiết lồi) là một tập con
của không gian Hilbert H và y ∈ H là một vectơ bất kì, gọi
dC (y) = inf x − y .
x∈C

Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại PC (y) ∈ C sao cho
dC (y) = y − PC (y)
thì ta nói PC (y) là hình chiếu của y trên C.
Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu PC (y) của y trên C là nghiệm của
bài toán tối ưu
min{

1
x − y 2 }.
2


9
Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về tìm cực tiểu
của hàm x − y

2

trên C.

Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
H. Khi đó
(i) Với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = PC (y) khi và chỉ khi y − w ∈ NC (w)
hay y − w, x − w ≤ 0, ∀x ∈ C;
(ii) Hình chiếu PC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất;
(iii) PC (x) − PC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H (tính không giãn);
(iv) PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y , ∀x, y ∈ H (tính đồng

bức).
Hàm lồi
Định nghĩa 1.11. Giả sử X là không gian lồi địa phương, C ⊂ X; f : C →
R ∪ {±∞}. Khi đó
(i) hàm f được gọi là hàm lồi trên C nếu với mọi x1 ; x2 ∈ C và với mọi

số thực λ ∈ [0, 1] thì
f [λ.x1 + (1 − λ) .x2 ] ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ;
(ii) hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x1 ; x2 ∈ C;x1 =
x2 , λ ∈ (0, 1) ta có:
f [λ.x1 + (1 − λ) .x2 ] < λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) .
Rõ ràng một hàm lồi chặt là hàm lồi nhưng điều ngược lại không đúng.


10
(iii) hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số δ > 0 nếu với mọi
x1 ; x2 ∈ C và với mọi số thưc λ ∈ [0, 1] thì
f [λ.x1 + (1 − λ) .x2 ] ≤ λf (x1 )+(1 − λ) f (x2 )−λ.(1−λ) x2 −x1 2 ;
(iv) hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt, lõm mạnh) trên C nếu −f là
hàm lồi (lồi chặt, lồi mạnh) trên C.
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là không gian lồi địa phương, C ⊂ X; f : C →
R ∪ {±∞}. Khi đó
(i) trên đồ thị của hàm f kí hiệu là epif được định nghĩa như sau
epif = {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r};
(ii) miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu là domf được định nghĩa như sau
domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}.
Định nghĩa 1.13. Hàm f được gọi là hàm lồi chính thường nếu domf = φ
và f (x) > −∞, ∀x ∈ C.
Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Jensen) (xem[2, Định lý 2.2]) Giả sử f : X →
m

[−∞; +∞]. Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi ∀λi ≥ 0(i = 1, ..., m),

λi = 1,
i=1

∀x1 , x2 , ..., xm ∈ X thì:
f (λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + ... + λm f (xm ) .
Định lý 1.5. (xem [2, Định lý 2.3]) Giả sử f là hàm lồi trên X, µ ∈ [−∞; +∞].
Khi đó tập các mức:
{x ∈ X : f (x) < µ} và {x ∈ X : f (x) ≤ µ}


11
là các tập lồi.
Định lý 1.6. (xem [2, Định lý 2.9]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X
và x0 ∈ X. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) f bị chặn trên trong một lân cận của x0 ;
(ii) f liên tục tại x0 ;
(iii) int (epif ) = φ;
(iv) int (domf ) = φ và f liên tục trên int (domf ).
Đồng thời:
int (epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int (domf ) , f (x) < µ}.
Định nghĩa 1.14. Hàm f được gọi là hàm tựa lồi nếu ∀x, y ∈ X, ∀z ∈ [x, y]
thì
f (z) ≤ max{f (x), f ((y)}.
Định nghĩa 1.15. Cho f : H → R. Khi đó:
(i) Hàm f được gọi là nửa dưới liên tục (lower semicontinuous) tại x0 ∈
H (với f (x0 ) < ∞), nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 sao
cho
f (x0 ) − ε ≤ f (y), ∀y ∈ U ;
(ii) Nếu f (x0 ) = +∞ thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu ∀N >
0, tồn tại lân cận U của x0 sao cho
f (y) ≥ N, ∀y ∈ U ;
(iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa liên tục dưới tại
mọi điểm x ∈ H.

12
Chú ý 1.1. f được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) trên H
nếu −f là nửa liên tục dưới trên H. f được gọi là liên tục trên H nếu nó vừa
là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên tục trên trên H.

1.1.2

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Cho f là hàm xác định trên không gian Hilbert H; f : H → R; d ∈
H\{0}.
Định nghĩa 1.16. Hàm f được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại vectơ x∗ ∈ H
sao cho:

f (y) − f (x) − x∗ , y − x
= 0.
lim
y→x
y−x

Định nghĩa 1.17. Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x, kí hiệu là
f (x, d) được định nghĩa là giới hạn sau:
f (x, d) = lim+
λ→0

f (x + λd) − f (x)
λ

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc ±∞).
Từ hai định nghĩa trên có thể thấy được rằng nếu hàm f khả vi tại x thì nó
có đạo hàm theo mọi phương tại x và f (x, d) = ( f (x), d) , ∀d ∈ H.
Định lý 1.7. (xem [15, Section 2.5.5]) Giả sử f là hàm δ lồi mạnh trên tập
hợp lồi đóng C ⊂ Rn . Khi đó ta có:
(a)

δ
x − x∗
2

2

≤ f (x) − f (x∗ ) , ∀x ∈ C và x∗ = arg min f (x);
x∈C

(b) Nếu thêm vào đó f khả vi trên C thì
(i) δ y − x

2

≤

f (y) − f (x); y − x , ∀x, y ∈ C;

(ii) 0 ≤ f (x) − f (x∗ ) ≤

1
δ

f (x) 2 , ∀x ∈ C.


13
Nhận xét 1.4. Nếu f khả vi và δ lồi mạnh trên tập lồi đóng C ⊂ Rn thì ta
có:
f (y) − f (x) ≥

f (x); y − x + δ y − x 2 , ∀x, y ∈ C.

Định nghĩa 1.18. Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới gradient của hàm f
tại x ∈ H nếu
f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.19. Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi
phân của f tại x, kí hiệu là ∂f (x), tức là:
∂f (x) = {x∗ ∈ H : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x }.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) = φ.
Định lý 1.8. (xem [27, Theorem 2.6]) Một hàm lồi chính thường f trên Rn
khả dưới vi phân tại mỗi điểm x ∈ int (domf ) và
(i) ∂f (x) là một tập bị chặn;
(ii) ∂f (x) = { f (x)} nếu f khả vi tại x;
(iii) w ∈ ∂f (x) ⇔ f (x, d) ≥ w, d ⇔ (w, −1) ∈ Nepif (x, f (x));
(iv) f (x + d) − f (x) ≥ f (x; d).
Định lý 1.9. (xem [26, Theorem 24.5]) Giả sử f là hàm lồi trên Rn , có giá trị
hữu hạn trên tập lồi mở C, {fk } là một dãy hàm lồi hữu hạn trên C sao cho
lim fk (x) = f (x), ∀x ∈ C. Nếu x ∈ C và {xk } ⊂ C sao cho lim xk = x,

k→∞

k→∞

n

k

thì với bất kì y ∈ R và dãy {y } hội tụ về y ta có:
lim sup fk xk ; y k ≤ f (x; y) .

k→∞


14
Hơn nữa, với bất kì số > 0, tồn tại chỉ số k0 sao cho:
∂fk xk ⊂ ∂f (x) + B[0; 1], ∀k ≥ k0 ,
với B[0; 1] là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Định lý 1.10. (xem [27, proposition 2.31]) Giả sử C ⊂ Rn là một tập lồi
khác rỗng và f : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, khả dưới vi phân trên C.
Khi đó x0 là điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi
0 ∈ ∂f x0 + NC (x0 )
Hệ quả 1.1. Với các giả thiết như trong Định lý (1.10) thì điểm x0 ∈ intC
là một điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f x0 . Đặc biệt, nếu
hàm f khả vi thì điều kiện này trở thành

f (x0 ) = 0.

Định lý 1.11. (xem[15, Theorem 2.4.11, Section 2.4.12, 2.5.4]) Giả sử C ⊂
Rn là một tập lồi đóng khác rỗng và f : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi,
khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn
cục, ngoài ra tập các điểm cực tiểu arg min f (x) của f trên C là một tập
x∈C

lồi. Hơn nữa, nếu f là lồi chặt thì hàm số có không quá một điểm cưc tiểu
trên C. Nếu f là một hàm lồi mạnh thì hàm số luôn có duy nhất một điểm
cực tiểu toàn cục trên C.

1.2
1.2.1

Bài toán cân bằng
Một số khái niệm cơ bản

Bài toán cân bằng
Ta xét bài toán cân bằng hay bất đẳng thức Ky Fan như sau:
Xét H là không gian Hilbert thực, C là tập lồi đóng khác rỗng của H và
f : C × C → R ∪ {+∞}. Khi đó bài toán cân bằng là bài toán:


15
Tìm x∗ ∈ C sao cho: f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Bài toán cân bằng kí hiệu là EP (C, f ), tập nghiệm của nó kí hiệu là Sf .
Dưới đây ta luôn giả thiết f (x, x) = 0, ∀x ∈ C.
Một song hàm thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng. C
được gọi là tập chấp nhận được hay là tập chiến lược, f là hàm cân bằng của
bài toán EP (C, f ).

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm và tính chất cơ bản của tập nghiệm bài
toán cân bằng

Trong phần này ta trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm và một
số tính chất cơ bản của tập nghiệm bài toán cân bằng.
Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bài toán
cân bằng ta cần đến các định nghĩa sau về tính đơn điệu của song hàm cân
bằng f và tính đơn điệu của toán tử F .
Định nghĩa 1.20. Giả sử C ⊂ H. Song hàm cân bằng f : C × C → R ∪
{+∞} được gọi là
(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hệ số γ > 0 nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
(b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C nếu
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
(c) đơn điệu (monotone) trên C nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;


16
(d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C nếu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0;
(e) giả đơn điệu theo x∗ (pseudomonotone with respect to x∗ ) trên C nếu
∀y ∈ C, f (x∗ , y) ≥ 0 ⇒ f (y, x∗ ) ≤ 0.
Từ định nghĩa trên ta suy ra a ⇒ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e, ∀x∗ ∈ C.
Định nghĩa 1.21. Cho C ⊂ H. Toán tử F : C → H được gọi là
(a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
(b) đơn điệu chặt trên C nếu
F (x) − F (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
(c) đơn điệu trên C nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
(d) giả đơn điệu trên C nếu
F (x), x − y ≤ 0 ⇒ F (y), y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ C;

(e) giả đơn điệu theo x∗ trên C nếu
∀y ∈ C, F (x∗ ) , x∗ − y ≤ 0 ⇒ F (y) , y − x∗ ≥ 0.
Mệnh đề 1.7. Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng và song hàm cân bằng f
có tính chất


17
+ Hàm f (x, .) tựa lồi, nửa liên tục dưới trên C;
+ Hàm f (., y) tựa lõm, nửa liên tục trên trên C.
Giả sử:
(i) Có một tập hữu hạn N∗ ⊂ C sao cho tập
C(N∗ ) := {x ∈ C| min f (x, y) ≥ 0}
y∈N∗

compact hoặc
(ii) Có một tập M∗ ⊂ C sao cho tập:
D(M∗ ) := {y ∈ C| max f (x, y) ≤ 0}
x∈M∗

compact.
Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm.
Định lý 1.12. (Điểm bất động Kakutani) (xem [24]) Cho C là một tập lồi,
compact trong không gian Rn và F : C → 2C là một ánh xạ đa trị, nửa liên
tục trên và F (x) lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C. Khi đó, F có điểm bất
động, tức là tồn tại x∗ ∈ C, x∗ ∈ F (x∗ ).
Định lý 1.13. (Định lí cực đại Berge) (xem [16]) Cho X, Y là các không
gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F (x)
compact, hơn nữa F (X) compact. Giả sử f : X × X → R là hàm số nửa
liên tục trên trên X. Khi đó hàm giá trị tối ưu
g(x) := max{f (x, y) : y ∈ F (x)}

nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu
S(x) := {y ∈ F (x) : f (x, y) = g(x)}


18
nửa liên tục trên.
Dựa vào Định lí điểm bất động Kakutani và Định lí cực đại Berge, ta có
mệnh đề sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập lồi, compact, khác rỗng và song hàm cân
bằng f : C × C → R ∪ {+∞} có các tính chất:
(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;
(ii) f (x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C.
Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm.
Hệ quả 1.2. Cho C là một tập lồi, đóng (không cần compact) và song hàm
cân bằng f như ở mệnh đề trên. Giả sử điều kiện bức C1 sau đây được thỏa
mãn:
Tồn tại tập compact B sao cho
C ∩ B = φ, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0.
Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm.
Định lý 1.14. (Ky Fan) (xem [11, Ky Fan’s Theorem]) Cho f : C × C →
R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng có các tính chất sau:
(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;
(ii) f (x, .) tựa lồi trên C với mọi x ∈ C.
Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm, nếu như C compact hoặc điều kiện
bức C1 được thỏa mãn.
Bây giờ ta xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng thông qua mệnh
đề sau: