Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K𝑨HLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K𝑨HLER
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng
các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, tháng 04 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Vân Anh

i


M C

C
Trang

Trang bìa phụ
L i cam đoan ......................................................................................................... i
Mục lục ................................................................................................................ ii
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3
1.1. Không gian phức ........................................................................................... 3
1.2. Đa tạp phức ................................................................................................... 4
1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình ................................................................... 6
1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức ..................................................................... 7
1.6. Hàm đa điều hòa ............................................................................................ 7
1.7. Dòng .............................................................................................................. 8

1.8. Miền giả lồi ................................................................................................... 9
1.9. Mặt cầu .......................................................................................................... 9
Chương 2. SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI
GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER ................. 10
2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình ................................................. 10
2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình .............................. 10
2.1.2. Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f ........................................... 14
2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình ..................................... 29
2.2.1. Tổng quát của lí thuyết đa thế vị .............................................................. 29
2.2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình
Hartogs HUn1  r  vào một không gian phức lồi đĩa ........................................... 35
KẾT UẬN........................................................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 57

ii


LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích phức hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của
toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số
phức. Trong đó, thác triển phân hình là một trong những bài toán trung tâm của
Giải tích phức. Những năm gần đây, thác triển phân hình là vấn đề nhận được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Trong luận văn này, tôi nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho một tập con
mở khác rỗng
của ̂

. Vậy, giá trị cực đại nào

, ánh xạ f thác triển trên

sao cho f thác triển phân hình trên ̂

?

Vấn đề này được gọi là thác triển kiểu Hartogs. Nếu ̂

với mọi f lấy

giá trị trong X và mọi gốc (khác rỗng) U thì ta nói rằng định lý thác triển kiểu
Hartogs vẫn đúng với các ánh xạ phân hình vào trong X này. Với

, tức là

với các hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh bởi F.
Hartogs. Nếu

, tức là các hàm phân hình, kết quả được chứng minh

bởi E. Levi. Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh ít nhất hai
lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát chứ không riêng những hàm chỉnh hình hay
hàm phân hình.
Để hệ thống lại các kết quả chính về sự thác triển của các ánh xạ phân
hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler, tôi trình bày trong hai
chương của luận văn:
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàm
chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới, phủ,
mặt cầu.
Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu
vềsự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức

không K hler.

1


Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư
phạm - ĐH Thái Nguyên). Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em.
Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quý
thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm
– Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến thức
quý báu cho em hoàn thành khóa học.
Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i
đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô
và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Vân Anh

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian phức

1.1.1. Định nghĩa không gian phức
Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R2n , các điểm của nó là các
bộ có thứ tự 2n số thực  x1,...x2n  . Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách
đặt zv  xv  ixnv (v  1,...n) . Ta thư ng kí hiệu xnv  yv nên
zv  xv  iyv (v  1,.., n) . Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn)

z   z1,...zn   zv  sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu

khi n = 1, ta có
không gian

. Đặc biệt,

là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý,
⏟

là tích n mặt phẳng phức

.

1.1.2. Không gian phức chuẩn tắc
Định nghĩa 1.2: Cho E là một không gian vecto phức. Một giả chuẩn p trên E
là một ánh xạ từ E vào tập các số thực không âm thỏa mãn:
(i)

p(

(ii)

p( )

)

p( )

p( ) với mọi a, b

| |p( ) với mọi

E.

, với mọi a

E.

Giả chuẩn p trên E xác định một tôpô trên E (*
lân cận mở của

p(

)

+ là một

).

Không gian vecto phức E cùng với tôpô định nghĩa như trên được gọi là
một không gian giả chuẩn tắc
Nếu p là một chuẩn trên E thì không gian phức E được gọi là không gian
phức chuẩn tắc.

Nói một cách khác, một không gian phức E là không gian phức chuẩn tắc
nếu p thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và điều kiện sau:

3


(iii)

p( )

nếu và chỉ nếu a = 0.

1.1.3. Không gian phức khả quy
Định nghĩa 1.3: Một cặp (

) được gọi là một không gian vành phức nếu:

1. X là một không gian tôpô;
2. 𝓗 là một bó -đại số địa phương trên X .
Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy là một không gian vành phức
(

) mà có những tính chất sau:
1. X là một không gian Hausdorff;
có một lân cận mở ( )

2. Với mọi điểm
A sao cho (

| )

và một tập giải tích

( )).

(

n

(A nằm trong một tập mở B

và

( ):=(𝒪/𝓘(A)|A, trong đó 𝓘(A) là

một bó ideal của A).
1.2. Đa tạp phức
1.2.1. Định nghĩa đa tạp phức
Định nghĩa 1.5: Cho M là không gian tôpô Hausdorff.
V là một tập mở trong M và  : V 

n

là một ánh xạ. Khi đó:

Cặp V ,   được gọi là một bản đồ địa phương của M, nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
i)  (V ) là tập mở trong

n

,

ii)  : V   (V) là một đồng phôi.
Định nghĩa 1.6: Họ   (Vi , i )iI của M được gọi là một tập bản đồ giải tích
(atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i) Vi iI là một phủ mở của M,

4


ii) Với mọi Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) là
ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên M. Hai atlas gọi là tương đương nếu hợp của chúng
là một atlas trên M. Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas lập thành một quan
hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên gọi là
một cấu trúc khả vi phức trên M. M cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được
gọi là một đa tạp phức n chiều.
Ví dụ: Cho D

n

là một miền. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với

bản đồ địa phương  D, Id D .
n

Định nghĩa 1.7: Cho U là một miền trong

. Một tập con V của U là

một đa tạp con nếu với mọi z trong U có một lân cận U z và các hàm chỉnh
hình f1,... ft trong U z sao cho:
V

U z  x U z : f1  x   0,..., ft  x   0  V  f1,... ft 

1.2.2. Tập giải tích trên đa tạp phức
Định nghĩa 1.8: Cho  là một đa tạp phức (một miền trong
Một tập A

hoặc trong

).

 được gọi là tập con giải tích của  nếu với mỗi điểm a  có

một lân cận U của a và các hàm
*

chỉnh hình trên U sao cho:
( )

( )

+

Định nghĩa 1.9: Một tập A trong đa tạp phức  được gọi là một tập giải tích
(địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm
chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó.

Nhận xét:
+ Mọi miền D
tích trong

n

n

chỉ khi D 

là tập giải tích trong
n

.

5

n

nhưng nó là tập con giải


+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích
của một lân cận của nó.
Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập
con giải tích

sao cho:

1.

;

2. A i  A, i  1,2.
Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy.
Định nghĩa 1.11: Tập con giải tích bất khả quy A của tập giải tích A được gọi
là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tích A
và A

A là

A sao cho A  A

khả quy.

1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình
Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở

D

n

được gọi là chỉnh hình trên

cận mở U, w U

f  z 





v1...vn 0

n

nếu với mỗi điểm w  D có một lân

D sao cho hàm f có một khai triển thành chuỗi lũy thừa

av1...vn  z1  w1  1 ... zn  w n 
v

vn

hội tụ với mọi z U .

Kí hiệu 𝒪( ) là tập tất cả các hàm chỉnh hình trên D.
Định nghĩa 1.13: Một hàm phân hình trên X là một cặp  A, f  thỏa mãn các
tính chất sau:
1) A là một tập con của X
2) F là một hàm chỉnh hình trên X-A
3) Với mọi điểm x0  A , có một lân cận U  x0 

g, h trên U sao cho:
a. A U  x U | h  x   0
b. Các mầm g x0 , hx0 là nguyên tố cùng nhau
c. f  x   g  x  / h  x  với mọi x U  A .

6

X và các hàm chỉnh hình


1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức
Định nghĩa 1.14: Cho E là một bó vecto phức C  trên một đa tạp (thực hoặc
phức) M. Một cấu trúc Hermit hoặc metric Hermit h trên E là một C  trư ng
các tích trong Hermit của các thớ của E.
Cho M là một đa tạp phức, g là một cấu trúc Hermit trên TM. g được gọi
là một metric Hermit trên M.
Một đa tạp phức M cùng với một metric Hermit g trên nó được gọi là
một đa tạp Hermit.
1.5. Phủ
Định nghĩa 1.15: Cho X, Y là các đa tạp phức, A là một tập đóng địa phương
trên X và f : A  Y là ánh xạ hữu hạn, riêng, liên tục. Bộ ba ( A, f ,Y ) được
gọi một phủ giải tích trên Y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)

Tồn tại một tập con giải tích 

Y (có thể là rỗng) chiều
số tự nhiên k sao cho A \ f 1   là một đa tạp phức trong X và
f : A \ f 1    Y \  là một phủ k-tầng song chỉnh hình đại phương

(tức f là một ánh xạ song chỉnh hình địa phương mà mỗi thớ của nó gồm
k điểm)
ii)

Tập f 1   là không đâu trù mật trong A.

Một phủ giải tích thư ng được viết như là một ánh xạ f : A  Y .
1.6. Hàm đa điều hòa
Định nghĩa 1.16: Giả sử D là miền trong C. Một
được gọi là điều hòa nếu  h : 4

xác định trên D

 2h
 0 trên D.
z z

Định nghĩa 1.17: Hàm u : D   ; ) được gọi là điều hòa dưới trong miền D
nếu u thoả mãn hai điều kiện sau:

7


i)

U là nửa liên tục trên trong D, tức là tập  z  D; u  z   s là tập mở
với mỗi số thực s;

ii)

Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm
h : G  R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u  h

trên G thì u  h trên G.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:

Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D cần và đủ
là với mỗi điểm z  D , tồn tại r0  z   0 sao cho u  z  

1
2

2

 u  z  re

it

 dt với

0

mọi r  r0  z  .
Định nghĩa 1.18: Giả sử G là một tập con mở trong

. Một hàm:

 : G  [  ; )
được gọi là đa điều hòa dưới nếu:
i)

 là nửa liên tục trên và  không đồng nhất với  trên mọi thành

phần liên thông của G;
ii)

Với mỗi z0  G và a 
:



n

n

mà a  0 và với mỗi ánh xạ

,  z   z0  az , hàm  trên mỗi thành phần liên thông của

 1  G  (là các miền trong ) hoặc bằng  hoặc là điều hòa dưới.

Định nghĩa 1.19: Giả sử X là một không gian phức. Hàm  : X  [  ; )
được gọi là hàm vét cạn nếu  1 [  , c] là compact với mọi c  R .
1.7. Dòng
Định nghĩa 1.20: Mỗi phần tử thuộc không gian đối ngẫu D' mr  M  (hay còn
kí hiệu Dr'  M  của không gian tuyến tính
(hay còn gọi là bậc bằng m-r)

8

( ) được gọi là một dòng r-chiều


Định nghĩa 1.21: Cho  là các dòng trên một đa tạp phức,
gian đối ngẫu của



(  ),

(  ),

T p ,q

(  ) là không

xác định như sau:



p ,q
là  p, q  - thành phần của dạng  . T  Tp,q
Tp,q    T  p,q trong đó 

. Khi đó các dòng Tp ,q được gọi là các dòng song chiều  p, q  .
1.8. Miền giả lồi
Định nghĩa 1.22: Cho M là một đa tạp phức và D là một miền con của M. D
được gọi là giả lồi tại y D nếu có một lân cận U của y và một C 2 - hàm giá
trị thực  xác định trên U sao cho:
i) D  U   x U :   x   0
ii) Nếu t M Ty và d  t   0 thì H  y   t , t   0 .
Nếu ii) là đúng với H  y   t , t   0 với mọi t  0 , D được gọi là giả lồi
chặt tại y.
D được gọi là giả lồi Levi (chặt) nếu D là compact trong M và D giả lồi
(chặt) tại mọi điểm y D .
1.9. Mặt cầu

Định nghĩa 1.23: Một mặt cầu (2-chiều) trong một đa tạp phức X là ảnh
của hình cầu tiêu chuẩn
vào X sao cho





qua một ánh xạ chỉnh hình từ lân cận của

không tương ứng tới 0 trong X.

9


Chương 2
SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K HLER
2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình
2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình
Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng khái niệm và kết quả nghiên cứu từ lí
thuyết không gian chu trình mà Barlet đã đưa ra (xem [3] hoặc [6]). Tất cả các
không gian phức trong luận văn đều được giả thiết là chuẩn tắc, khả quy và có
thể đếm được tại vô cực. Tất cả các chu trình, nếu không nói gì thêm, được giả
thiết là có giá liên thông.
Định nghĩa 2.1: Một k-chu trình giải tích trong một không gian phức Y là tổng
Z   j n j Z j , trong đó Z j  là một dãy hữu hạn địa phương các tập con giải

tích (k chiều thuần túy) và n j là các số nguyên dương được gọi là các bội số

của Z j .
Đặt Z   j Z j là giá của Z.
Đặt Ak  r ,1   k \ 

k

r  .

Cho X là không gian phức chuẩn tắc, khả quy được trang bị metric Hermit.
Cho một ánh xạ chỉnh hình f :   A  r ,1  X . Ta sẽ bắt đầu với không
n

k

gian của các chu trình gắn với f . Cố định hằng số dương C và xét tập C f ,C của
tất cả các k-chu trình giải tích Z trong Y :  nk  X sao cho:
k
k
(a) Z    n  A  r ,1  X    f z   Az  r ,1  X  với z   n trong đó





 f z là đồ thị của ánh xạ hạn chế f z : f | Ak  r ,1 . Ở đây Azk  r ,1 :  z  Ak  r ,1
z

10

.Điều này có nghĩa, trong trư ng hợp đặc biệt, với z này, ánh xạ f z thác triển
phân hình từ Az  r ,1 trên  z :  z   .
k

k

( )

(b)

k

và giá | | của Z là liên thông.

Ta đặt C f :

C 0

C f ,C và chỉ ra rằng C f là một không gian giải tích hữu

hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó.
Cho Z là một chu trình giải tích k chiều trong một không gian phức
chuẩn tắc, khả quy Y. Trong phần này, Y là  nk  X . Bằng một biểu đồ tọa
độ tương thích với Z, ta sẽ hiểu một tập mở V trong Y như là

| |

cùng

k

q
với một phép đẳng cấu j từ V vào một đa tạp con ̃ trong lân cận của   

(̅

sao cho

)

. Ta sẽ kí hiệu biểu đồ như vậy bởi V , j  .

| |

Ảnh j  Z  của chu trình Z qua phép đẳng cấu j chính là ảnh của tập giải tích
cơ bản cùng với các bội. Đôi khi, theo Barlet, ta sẽ kí hiệu:  k  U ,  q  B và
gọi bộ bốn E  V , j,U , B  là thang tương thích với Z.
Nếu

pr :

k



q



k

là phép chiếu tự nhiên, thì hạn chế

pr | j Z  : j  Z    k là phủ rẽ nhánh bậc d. Số q phụ thuộc vào số chiều nhúng
của Y (hoặc X trong trư ng hợp này). Thỉnh thoảng, ta sẽ bỏ qua j trong phần





kí hiệu. Các phủ rẽ nhánh: pr |Z : Z   k   q   k xác định một cách tự
nhiên một ánh xạ:

 z :  k  Sym d   q 
z   pr |Z 

1

z

trong đó, Symd   q  là lũy thừa đối xứng thứ d của  q . Điều này cho phép ta
biểu diễn một chu trình Z   k q với | |
ánh xạ chỉnh hình d giá trị.
11

(̅

)

như đồ thị của một

Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng ánh xạ chỉnh hình f được xác
định trên  n  a   Ak  r1 , b  với a, b  1, r1  r . Bây gi , mỗi Z  C f có thể
được phủ bởi một số hữu hạn các lân cận tương thích V , j  . Phủ như vậy
được gọi là một phủ tương thích.
Kí hiệu hợp WZ 



V . Lấy phủ V , j  đủ nhỏ, ta có thể giả thiết rằng:

(a) Nếu

Z

V1

đa trụ 1k

, thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao

V2 , một điểm x1 được cố định sao cho:  c1  hoặc tồn tại một lân cận

 k của pr  j1  x1   sao cho biểu đồ V12  j11  1k   q  là thích

ứng với Z và được chứa trong V1 , trong đó V12 được cho như phép nhúng j1 ,

 c2  hoặc điều này được thực hiện cho V
(b) Nếu y V với p  y   

 
p V  
 

n

2

thay vì V1 ;

r 1 
,1 , thì
 2


 c   Ak 

n  c 1
k
 
  A  r,1 .
 2 

Ở đây, ta kí hiệu p :  nk  X   nk là phép chiếu tự nhiên. Trư ng
hợp  c1  có thể được thực hiện khi chiều nhúng của V1 nhỏ hơn hoặc bằng
chiều nhúng của V 2 , và  c2  trong trư ng hợp ngược lại (xem [3], pp. 91-92).
Cho E= V , j ,U , B  là một thang trong không gian phức Y. Kí hiệu









HY U , symd  B  : HolY U , symd  B  là tập giải tích Banach của mọi tập
con giải tích d-tầng trên U  B , chứa trong j Y  . Các tập con WZ cùng với





d
tôpô hội tụ đều trên HY U , sym  B  xác định một (metric) tôpô trên không

gian chu trình C f , và tương đương với tôpô của các dòng (xem [6], [9]).

12


Ta tham khảo [3] để định nghĩa sự đẳng hướng của tập hợp các phần tử





d
từ HY U , sym  B  đã được tham số hóa bởi tập giải tích Banach S. Không





d
gian HY U , sym  B  có thể được thay thế bởi một (nhiều) cấu trúc giải tích

khác nhiều tính chất hơn. Không gian giải tích mới này sẽ được kí hiệu bằng












H Y U , sym d  B  . Tính chất chính của cấu trúc mới này là họ hằng đúng



H Y U , symd  B   U '  symd  B  là đẳng hướng trong HY U ', symd  B 
với bất kì đa đĩa compact tương đối

Z s : s  S 



. Trên thực tế, các họ đẳng hướng

được tham số hóa bởi các tập giải tích Banach theo định lí phép

chiếu thay đổi của Barlet cố định.



Định lý (Barlet): Nếu họ Z s : s  S



HY U , symd  B  là đẳng hướng thì

với bất kì thang E1  V1 , j1 ,U1 , B1  trong U  B tương thích với Z s0 , tồn tại





một lân cận U s0 của s0 trong S sao cho Z s : s U s0 là đẳng hướng trong V1 .
Điều này có nghĩa,trong trư ng hợp đặc biệt, ánh xạ:

s  Z s  V1



HY U 1 , symd  B1 



là giải tích, tức là có thể thác triển tới một lân cận của mọi s U s0 . Lân cận ở
đây được hiểu theo nghĩa là một lân cận trong không gian phức Banach, trong
đó S được xác định như một tập con giải tích.
Định nghĩa2.2: Một họ Z của các chu trình giải tích trong một tập mở W

Y

, được tham số hóa bởi một không gian giải tích Banach S được gọi là giải tích
trong một lân cận của s0  S nếu với mọi thang E tương thích với Z s0 thì tồn tại
một lân cận U của s0 sao cho họ Z s : s U  là đẳng hướng.

13


2.1.2 Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f
Cho f :   A  r ,1  X là ánh xạ. Lấy một chu trình Z  C f và một
n

k

phủ hữu hạn V , j  thỏa mãn điều kiện (c) và (d). Đặt WZ  V . Ta cần chỉ
ra rằng C f là một không gian giải tích có số chiều hữu hạn trong một lân cận
của Z. Ta xét hai trư ng hợp của V :
Trường hợp 1: Với V như trong (d): Nếu y V với
n
 r 1 
 
p  y     c   Ak 

,1 , thì p  V  
 
 2


Ta đặt:

H :

z



Az  r ,1  X  V

k

fz



n  c 1
k
 
  A  r,1 .
 2 



HY U  , Symd  B 



(1.2.1)

Hợp được lấy với mọi z   n sao cho V tương thích với  f z .
Trường hợp 2: Trong tất cả các trư ng hợp khác.




d
Ta đặt H : H Y  U  , Sym   B   .


Tất cả H là những tập mở trong những tập con giải tích Banach phức
và với V của trư ng hợp 1, H có số chiều n và trơn. Từ định lí BarletMazet, ta có nếu h : A  S là đơn ánh chỉnh hình từ một tập giải tích hữu hạn
chiều A vào một tập giải tích Banach S, thì h( A) cũng là một tập giải tích
Banach hữu hạn chiều.
Với mọi thành phần bất khả quy của V

V

Zl , cố định một điểm

x l trên thành phần này (chỉ số dưới l biểu thị thành phần) và một đồ thị

V





V  V l , l  x l tương thích với thành phần này như trong (c): Nếu

V1  V2   , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao Z
điểm x1 được cố định sao cho:

14

V1

V2 , một


 c1 

 k của pr  j1  x1   sao cho

hoặc tồn tại một lân cận đa trụ 1k





đồ thị V12  j11 1k   q là thích ứng với Z và được chứa trong V1 , trong đó

V12 được cho như phép nhúng j

1

.

 c2  hoặc điều này được thực hiện cho V




Đặt H l : H  k , Sym

d l

2

thay vì V1 .

   . Để thuận tiện hơn cho việc trình bày,
p

từ đây ta sẽ đưa vào một thứ tự các phủ hữu hạn V  và viết V  1 .
N

Xét các tích hữu hạn   H và  l  H l . Trong tích thứ hai, ta chỉ
lấy bội ba với    . Tích này là không gian giải tích Banach và theo định lí về
phép chiếu thay đổi của Barlet, với mỗi cặp    , ta có hai ánh xạ chỉnh hình
 : H  l  H l  và  : H   l  H l . Hai ánh xạ này xác định hai

ánh xạ chỉnh hình ,  :   H    ,l H l . Hạch A của cặp này, tức là
tập h  h  với   h     h  , chứa các chu trình giải tích trong lân cận WZ
của Z. Hạch này là tập giải tích Banach, và hơn nữa, họ A là một họ giải tích

trong WZ theo định nghĩa 1.1.
Bổ đề 2.1: A là hạch của cặp ánh xạ chỉnh hình ,  . Khi đó, A có số chiều
hữu hạn.



Chứng minh: Lấy một phủ nhỏ hơn V' , j



 của Z. V  V
'

với V của



trư ng hợp 1 và V'  j1 1   p của trư ng hợp 2. Ta xác định H' như

H khi thay V bằng V' và H ':  H' . Lặp lại phép dựng như trên, chúng
ta xây dựng được một tập giải tích Banach A’. Ta có một ánh xạ chỉnh hình
K : A  A ' xác định bởi ánh xạ hạn chế. Vi phân dK  K của ánh xạ này là

một toán tử compact.
15


Ta sẽ chỉ ra rằng có ánh xạ ngược giải tích F : A '  A . Tính giải tích của
F , chính xác hơn, nó sẽ được xác định trong một số lân cận của A ' trong H' . Với

các

E  V ,U , B , j 

thang

trư ng

của

hợp

2

ánh

xạ



F : A '  HY  U  , Symk B  được xác định bởi tính đẳng hướng của họ A’


như trong [3]. Đặc biệt, F này thác triển giải tích tới một lân cận trong H ' !
của mỗi điểm của A’.





Với các thang E  V ,U  U' , B , j của trư ng hợp 1 xác định F
như sau: Cho Y  Y  là một điểm trong H’. Vì H  H' nên ta có thể định
nghĩa chính xác F Y  : Y như là một phần tử của H . Điều này trực tiếp
xác định F trên toàn bộ H’. Tính giải tích là hiển nhiên.
Đặt F :  F : A '  A . F được xác định và giải tích trong một lân cận
của mỗi điểm của A’. Hơn nữa, id -

A'

dKdF

là Fredholm. Vì

h  H : id  K F  h   0 nên A’ là một tập con giải tích trong một
i

'
i



đa tạp phức hữu hạn chiều.
Do đó, C f là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cận
của mỗi điểm của nó. C f ,C là các tập con mở của C f . Chú ý rằng C1  C2 , tập
hợp C f ,C1 là một tập con mở của C f ,C2 . Điều này kéo theo với mỗi thành phần
bất khả quy KC của C f ,C có duy nhất một thành phần bất khả quy K của C f
chứa KC và hơn thế nữa, KC là một tập con mở của K. Tổng quát, số chiều của
các thành phần bất khả quy của C f không bị chặn và không gian C f là rất lớn.
Kí hiệu G f là hợp của các thành phần bất khả quy của C f mà chứa ít
nhất một chu trình bất khả quy hay nói cách khác, một chu trình có dạng  f z

với z   n .

16


Kí hiệu Z f : Z a : a  C f  là họ phổ dụng. Trong phần tiếp theo, kí hiệu
Bk  X  là không gian Barlet các k-chu trình giải tích compact trong không gian

phức X chuẩn tắc, khả quy.
Bổ đề 2.2: Cho G f là hợp của các thành phần bất khả quy của C f mà chứa ít
nhất một chu trình bất khả quy. Khi đó:
1. Các chu trình bất khả quy tạo thành một tập con mở trù mật G 0f trong
Gf .

2. Chiều của G f không lớn hơn n.
3. Nếu k  1 thì tất cả các thành phần bất khả quy, compact của các chu
trình trong G f là hữu tỉ.
Để chứng minh bổ đề này, chúng ta cần bổ đề sau (bổ đề 2.3.1 trong
[14]):
Bổ đề 2.3: Cho r  là một dãy các q-đĩa phân hình trong một không gian
phức X. Giả sử tồn tại một K compact, K

 

(a) r  q

X và một hằng số C   sao cho:

K với mọi r;

 

(b) vol r  C với mọi r;

 

Thì tồn tại một dãy con rj và một tập giải tích riêng A

 q sao cho:

  hội tụ trên metric Hausdorff tới một tập con giải tích  của

(1) Dãy r

j

 q  X q chiều thuần túy;


(2)      , trong đó  là đồ thị của một vài ánh xạ phân hình


 : q  X và  là một tập con giải tích q-chiều thuần túy của  q  X
được ánh xạ bởi phép chiếu p1 trên A;

17


(3) rj   trên compact trong  q \ A ;

 

(4) Ta có lim vol 
r
j 

j


 vol   vol    ;
 

 

(5) Với mọi 1  p  dimX  1, tồn tại một hằng số dương v p  v p  K , h  sao

cho khối của mọi tập con giải tích compact p-chiều thuần túy của X chứa
trong K không ít hơn thì bằng v p ;


(6) Đặt  

q 1

 p , trong đó  p là một hợp của tất cả các thành phần bất

p 0



khả

quy


vol2q    
 



của

sao

q 1

 vol2 p  Ap .vq p trong đó

p 0

 

dim  p1  p   p



cho

thì

 

Ap  p1  p .

Chứng minh bổ đề2.2:
1. G 0f rõ ràng là mở, điều này suy ra trực tiếp từ (4) và (6) của bổ đề 2.3.




Kí hiệu C f là sự chuẩn hóa của C f và kí hiệu Z f là cái kéo lùi của họ phổ






dụng dưới ánh xạ chuẩn hóa N : C f  C f . Xét ánh xạ  : C f  C f . Chú ý


rằng với mỗi chu trình Z  C f có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng
Z   f s   Nj 1Bsj , trong đó mỗi Bsj là một k-chu trình giải tích compact trong

 ks  r   X với giá liên thông. Đánh dấu Bsj có tính chất sau: Có một lân cận


trong V của Z trong C f sao cho với mọi chu trình Z1 V phân tích được thành


Z1  Z1  B1 , trong đó B1 là một chu trình compact trong một lân cận của Bsj





trong không gian Barlet Bk  X  . Ánh xạ  : C f  C f biến mỗi chu trình Z
thành một chu trình có được từ Z này bằng cách xóa tất cả các thành phần được
18


đánh dấu. Ánh xạ  là một ánh xạ giải tích. Mỗi chu trình bất khả quy rõ ràng
là một điểm cố định của  . Do đó, tập hợp các điểm cố định là mở trong




Gf

C f và chứa toàn bộ G f .



Bây gi , ta sẽ chứng minh rằng mỗi điểm cố định Z của  là một
giới hạn của các chu trình bất khả quy. Trong phần tiếp theo, chú ý rằng các
tích  : pev : Z f   nk và  : p1ev 1 : C f   n hoàn toàn xác định.
Trong đó p1 : nk  X   n là một phép chiếu tự nhiên và ev : Z f   nk  X
là ánh xạ đánh giá tự nhiên. Cho   Z   s  n và Z   f s   Nj 1Bsj . Tiếp theo,
Z i là một điểm cố định của  nghĩa là trong bất kì lân cận của Z, ta có thể tìm

được một chu trình Z1 sao cho Z1   f s   Nj 2 Bsj , trong đó Bsj là chu trình
1

1

1

compact gần với Bsj . Quan sát thấy mỗi chu trình trong một lân cận của Z1 có
cùng dạng tức là trong sự phân tích của nó với j  2 , theo Bổ đề 2.3. Do Z1
cũng là một điểm cố định của  , ta có thể lặp lại quá trình này N lần để thu
được một chu trình bất khả quy trong một lân cận cho trước của Z.
Vì vậy, ta có

trù mật trong

2. Lấy Z  G 0f
V

.

 

Re g G f , Z bất khả quy. Lấy một lân cận V của Z,

  chỉ bao gồm các chu trình bất khả quy. Thì  |V :V  n là nội

Re g G f

xạ và chỉnh hình. Do đó dim G f  n .
3. Vì mỗi chu trình từ G f đều là một giới hạn của các đĩa giải tích nên nếu
k  1 thì tất cả các thành phần bất khả quy compact của chu trình trong G f là

hữu tỉ (xem [15], Bổ đề 7).

Định nghĩa 2.3: Ta sẽ gọi không gian G f là không gian chu trình liên kết với
một ánh xạ phân hình f.
19


Kí hiệu G f ,C là tập con mở của G f gồm có Z với vol  Z   C .
Bây gi ,ta sẽ phát biểu và chứng minh bổ đề chính của bài, bổ đề 2.5.
Từ gi trở đi, ta sẽ hạn chế họ phổ dụng Z f trên G f mà không thay đổi kí





hiệu. Z f ,C : Z a : a  G f ,C , Z f :

C 0 Z f ,C và

 : Z f  G f là phép chiếu tự

nhiên. Hơn nữa, Z f là không gian phức hữu hạn chiều. Ta có một ánh xạ đánh
giá ev : Z f   nk  X được xác định bởi Z a  Z f  Z a

 nk  X sẽ sử

dụng trong chứng minh của bổ đề 2.5. Ngoài ra, trong chứng minh của bổ đề,
cần sử dụng bổ đề sau (bổ đề 2.4.1 từ [14]):
Bổ đề 2.4: Giả sử tồn tại một lân cận U của s0 trong V sao cho với mọi
s1, s2  S  U

 

   2v

vol  f s  vol  f s
1

2

Nếu s0 là một điểm chính quy địa phương của S thì tồn tại một lân cận V1 của
s0 trong V sao cho f thác triển phân hình tới V1  W1 .

Nhắc lại rằng, ta giả sử không gian phức X được trang bị metric Hecmit
h.
Bổ đề 2.5: Cho X là một không gian phức, một ánh xạ chỉnh hình

f :   A  r ,1  X . Giả sử:
n

k

k

n

1) Với mọi z   , hạn chế f z thác triển phân hình trên toàn bộ k-đĩa  z ;
2) Các khối của đồ thị của thác triển này bị chặn đều;
3) Tồn tại K compact ,
z 





  với mọi

chứa f   A  r ,1 và f  z

n

thì f thác triển phân hình trên  nk .

20

n

k

k


Chứng minh: Kí hiệu     K  là khối cực tiểu của một tập con giải tích
compact k chiều trong K,   0 theo bổ đề 2.3. Kí hiệu W là tập con mở lớn
nhất của  n sao cho f thác triển phân hình trên  n  Ak  r ,1  W   k . Tập
S  n \ W . Cho



Sl   z  S : vol  f z  l. 
2


 

(1.3.2) .

Giá trị lớn nhất của W (và do đó giá trị nhỏ nhất của S) và bổ đề 2.4 cho thấy
rằng Sl 1 \ S là đa cực và theo định lí Josefson, S cũng đa cực. Đặc biệt,

.

Xét không gian giải tích





G f ,2Co ,c : Z  G f ,2Co :   Z   c

(1.3.3)

 

n

Trong đó 0  c  1 cố định. Ở đây, C0 thỏa mãn vol  f z  C0 với mọi z   .
Từ đó, theo bổ đề 1.2, các chu trình của dạng  f z trù mật trong G f ,2Co ,1 , ta có





với mọi Z  G f ,2Co ,1, vol  ev  Z    C0 . Bởi vậy, G f ,Co ,1  1  n 1 là đóng
và mở trong G f ,2Co ,1 và trùng với G f ,2Co ,1 . Bao đóng thuộc không gian chu
trình G f .





Với bất kì c  1 , tập G f ,Co ,c   1   c  là compact theo sự tổng quát
n

hóa Harvey-Shiffman của định lí của Bishop. Do đó  : G f ,2Co ,1   n là riêng
và ev : Z f   nk  X cũng riêng và theo định lí ánh xạ riêng Remmert, ảnh
của nó là một tập giải tích thác triển tới đồ thị của f. Ta thấy rằng
W









 G f ,2C0 ,1 và do đó  G f ,2C0 ,1   n 1 .

21