Đề Thi và Lời Giải Môn Quy Hoạch Tuyến Tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 5
Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x) = 5 x1 + 5 x 2 + 3 x3 − x 4 + x5
 4 x1

(2) − x1
 2x
 1

− 3x2

− x3

− 2 x 4 + 4 x5

≥ 50

+ x2

+ x3

− 3 x 4 − x5

= 10

+ x2

+ 2 x3

− x 4 + x5

≤ 80

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

80

60

110

100

90

10

2

10

7

70

17

6

13

12

120

18
15
8
Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Vì sao?

18

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 6
M
inf(

x
)
=
4
x
+
4
x
Câu 1. Cho bài toán : (1)
1
2 + 3 x3 + 8 x 4 + 2 x5
 4 x1

(2) − x1
 2x
 1

− 4 x2
− x2
+ x2

− x3
+ x3
+ 3 x3

− 2 x 4 + 4 x5
+ x5
− x 4 + x5

≥ 20

= −15
≤ 85

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm tập các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

65

110

40

85

15

7

12

11

16

120

14

7

17

17

95

1
9
6
Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Vì sao?

9


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 7
Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x) = (3 − m) x1 + 12 x 2 + 6 x3 + 10 x4 + 2mx5
− x2
+ x2
− 4 x2

 x1

(2) 2 x1
6 x
 1

− x3
− x3
+ 2 x3

+ x4
+ 2 x4
+ x 4 − 4 x5

=5
≤ 40
≤ −8m

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m = 5.
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm m để Y=(1,1,1) là phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

90

80

110

55

155

10

17

14

2

90

12

9

8

1

85

15

17

13

7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 8
Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x) = (m − 1) x1 − 10 x 2 − 6 x3 − 10 x 4 − 3mx5
− 6 x1

(2)  2 x1



+ 4 x2
+ 2 x2
− x2

− 2 x3
− x3
− x3

− x 4 + 4 x5

+ 2 x4
+ x 4 + x5

≥ 4m
≤ 40
= 10

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m = 3.
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm m để Y=(0,1,5) là phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

135

90

85

70

10

12

15

85

17

9

17

110

14

8

13

55

2

1

7


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 9
Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x) = mx1 + 2 x2 + 3 x3 + 10 x4
+ 2 x2
+ (m − 4) x2
− 4 x2

2 x1

(2) 4 x1
2 x
 1

− x3 − x 4
+ x3 + 2 x 4
− 3 x3 + 2 x 4

=4
≤5
≤ −8

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4)
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m=2
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm tất cả các giá trị của m để x * = (1;2;0;2) là phương án
tối ưu của bài toán trên. Khi đó hãy tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu(nếu có).
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

290

170

350

100

90

6

3

16

6

400

13

18

17

27

11
5
13
Tìm phương án tối ưu khác thoả mãn x11 = 10

18

220

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 10
Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x) = x1 − 2mx2 + 3 x3 + 10 x 4
− mx1

(2)  4 x1
− 2x
1


+ 2 x2
+ (m − 2) x2
+ 4 x2

− x3 − x 4
+ x3 + x 4

+ 3 x3 − x 4

= 30
≤ 25
≥ 18

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4)
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m=4
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm tất cả các giá trị của m để x * = (1;20;1;1) là phương án
tối ưu của bài toán trên. Khi đó hãy tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu(nếu có).
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

90

400

220

110

6

27

18

290

6

13

11

170

3

18

5

350

17
13
16
Tìm phương án tối ưu khác thoả mãn x32 = 15
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)


KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 1

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = −2 x1 + 3 x2 + 4 x3 − 2 x4 − 5 x5

4 x1

(2) 
6 x
 1

+ x2
x2
− 2 x2

− 3 x3
− x3
+ x3

+ 4 x4
+ 2 x 4 − x5
+ 2 x 4 + 4 x5

= 40
= 22
≥ −15

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.

c) Tìm phương án tối ưu của bài toán gốc thoả mãn x3=28
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
60
80
70
60
40
Ai
35
7
2
4
13
8
90

8

12

3

4

9

75

6

4

2

9

7

100

5

3

9

5

3

Giải bài toán vận tải trên. Tìm các phương án tối ưu của bài toán thoả mãn 20 ≤ x32 ≤ 25 ?

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 2

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = −3 x1 + x2 + 5 x3 + x4 − 4 x5

2 x1

(2)  x1
x
 1

− 3x2
+ 2 x2

− 4 x3
− x3

− x 4 − x5
+ x 4 − x5
+ 2 x 4 − 3 x5

≤ 15
= 22
= 40

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Tìm phương án tối ưu của bài toán gốc thoả mãn x5=32.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj

40
90
75
100
Ai
80
4
12
4
3
60
7
4
9
5
40
8
9
7
3
70
13
3
2
9
65
2
8
6
5

Giải bài toán vận tải trên. Tìm các phương án tối ưu của bài toán thoả mãn 10 ≤ x43 ≤ 15 ?


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 3

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = 11x1 + 7 x 2 + 4 x3 − 10 x 4

− 2 x2
+ 4 x2
+ x2

 x1

(2)  − x1
− 2 x
1


+ x3
− 3 x3
− x3

+ 3 x4 ≥ −12
− 8 x4 ≥ 20
− x 4 ≤ −2

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Với c3 = −1 , từ câu a) có nhận xét gì về tập phương án tối ưu của bài toán gốc. Khi đó tìm phương án tối
ưu của bài toán gốc thoả mãn x3= 10.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
70
90
80
70
50
Ai
100
4
8
12
3
9
45

2

4

13

7

8

85

6

4

2

9

7

110

5
5
3
9
3
Giải bài toán vận tải trên. Tìm phương án tối ưu của bài toán thoả mãn x42=57 ?

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 4

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = 10 x1 − 4 x2 − 7 x3 − 22 x 4

 − x1

(2) − 8 x1
 3x
 1

− 2 x2
− 3x2
+ x2

+ x3
+ 4 x3
− 2 x3

− 4 x4 ≤ −2
− 2 x4 ≥ 20
+ 2 x4 ≥ −12

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Với c 2 = −27 / 7 , từ câu a) có nhận xét gì về tập phương án tối ưu của bài toán gốc. Khi đó tìm phương án
tối ưu của bài toán gốc thoả mãn x2= 28/5.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
100

45
85
120
Ai
90
12
4
4
3
80
3
13
2
9
60
9
8
7
3
70
8
2
6
5
70
4
7
7
4
Giải bài toán vận tải trên. Tìm phương án tối ưu của bài toán thoả mãn x14=60 ?

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 2)
NĂM HỌC 2010-2011- Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 1

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = x1 − x2 − 3 x3 − 2 x 4 + 6 x5


− 9 x1

(2)  4 x1
 7 x1

 x1

− 4 x3
+ x3
+ 2 x3

+ x2

+ x4

+ 3 x5
− 2 x5
− 3 x5

≤ 20
= 60
≤ 42

+ 2 x4

+ x5

= 10

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
c) Tìm tập các phương án tối ưu của bài toán gốc.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj
120
60
40
60
Ai
100
4
6
7
6
70
5

6
8
9
60
4
6
6
5
a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu trạm thu B3 không thể nhận hàng từ A3 và B4 nhận đủ hàng
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2010-2011- Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 2

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = − x1 − x 2 + 2 x3 − 2 x 4 + 4 x5




(2)  x1




− 2 x2
− x2
+ 3x2

+ x3
+ 2 x3
− 3 x3

2 x2

+ x3

− x4
− 3x4
+ 5 x4

− x5
− 2 x5
+ 2 x5
+ 4 x5

≥ −20
= 10
= 25
≤ 15

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
c) Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu thoả mãn x4 =5/2
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj

70
100
70
Ai
40
8
7
6
60
9
6
5
130
5
4
4
60
6
6
6
a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu trạm thu B1 không thể nhận hàng từ A1 và trạm A2 phát hết hàng.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2010-2011- Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 3

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = mx1 + x 2 + 3x3

 x1

(2) 2 x1
x
 1

+ x2

− x3

=4

+ ( m − 2 )x2

+ x3

≤5

− 2 x2

− 3 x3

= −8

(3) x j ≥ 0 (j = 1,3 )
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m=1

b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.

5
2

*
c) Tìm tất cả các giá trị của m để x = ( 0; ;1 ) là phương án tối ưu của bài toán trên. Tìm tập các phương án

tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
50
80
70
60
Ai
90
7
11
8
3
100
5
2
9
4
65
6
7

1
8
35
1
3
2
6
a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu trạm thu B4 ko thể nhận hàng từ A5 và A1 phát hết hàng
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2010-2011- Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 4

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = −3 x1 + ax2 − x3

− x1

(2) − x1
 3x
 1

− 2 x2

+ ( a + 2 ) x3

≥ −6

+ x2

+ 2 x3

=3

− x2

+ 2 x3

= 11

(3) x j ≥ 0 (j = 1,3 )
Trong đó a là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với a = -1.
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.

5
2

*
c) Tìm tất cả các giá trị của a để x = ( 2;0; ) là phương án tối ưu của bài toán trên. Tìm tập các phương án

tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
55
100
Ai

80
7
2
60
1
10
50
6
5
60
10
4
a)Giải bài toán vận tải trên.

90

35

11
9
7
3

3
3
1
6


b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu trạm thu B3 nhận đủ hàng và B4 ko thể nhận hàng từ A4.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2009-2010 - Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 1

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = 4 x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 − x 4 + 3x 5

 2x 1

(2) − 3x 1

 x1

− x2
4
+ x2
3
− 2x 2

+ x3

+ 3x 4

− 2x 5

≤3

− x4

+ 5x 5

≥ 44

− 2x 4

+ 3x 5

= 18

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj
70
90
80
60
Ai
66
10
13
12
12
88
16

9
11
19
60
19
11
17
18
45
6
7
5
9
50
8
5
4
9
a) Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu A3 phát tối thiểu là 53kg và tối đa là 55kg. Giải thích ý nghĩa kinh tế
của phương án tối ưu tìm được (nếu có).
c) Bài toán ở câu a) còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu sao cho x54=9,5 kg
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2009-2010 - Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 2

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = 2 x 1 − 4 x 2 + x 3 − 2 x 4 − 3x 5

(2)

− 2 x 1
4
 x1
3
 − x1

+ x2

− 2x 3

− 3x 2
+ 2x 2

+ x4

+ 3x 5

= 18

− x3

+ 5x 5

≥ 44

+ 3x 3

− 2x 5

≤3

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj
90
60
80
70
Ai
88
9
19
11
16
66
13
12
12
10
45
7
9
5
6

50
5
9
4
8


62
11
18
17
19
a) Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu A4 phát tối thiểu là 54kg và tối đa là 57kg. Giải thích ý nghĩa kinh tế
của phương án tối ưu tìm được (nếu có).
c) Bài toán ở câu a) còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu sao cho x43=40,5 kg

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2009-2010 - Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 3

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = − x 1 + 3x 2 + 4 x 3 − x 4 − 5x 5

(2)

2 x 1



 3x
 1

+ x2
+ x2
− 2x 2

− 3x 3
− x3
+ x3

+ 2x 4
+ x4
+ x4

− x5
− 6x 5

= 30
= 23
≥ −10

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
c) Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu thoả mãn x5 = 32,5.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj

76
62
88
45
40
Ai
80
10
19
15
6
7
90
13
11
8
7
4
70
12
17
10
5
3
60
12
18
18
9
10

a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu B2 nhận tối thiểu là 55kg và tối đa là 60kg. Giải thích ý nghĩa kinh tế
của phương án tối ưu tìm được (nếu có).

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2009-2010 - Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 4

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = −3x 1 + x 2 + x 3 − 4 x 4 + 5x 5

(2)

 x1

2 x 1
x
 1

− 3x 2
+ 2x 2

+ x3
− x3
+ 2x 3

− x4
− x4

− 3x 4

− x5
+ 6x 5

= 23
≤ 10
= 30

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
c) Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu thoả mãn x2 = 81.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj
76
88
45
40
60


Ai
90
13
8
7
4
11

80
10
15
6
7
19
60
12
18
9
10
18
70
12
10
5
3
17
a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu B5 nhận tối thiểu là 53kg và tối đa là 58kg. Giải thích ý nghĩa kinh tế
của phương án tối ưu tìm được (nếu có).


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 1

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = −2 x1 + 3 x2 + 4 x3 − 2 x4 − 5 x5

4 x1

(2) 
6 x
 1

+ x2

− 3 x3

+ 4 x4

= 40

x2

− x3

+ 2 x 4 − x5

= 22

− 2 x2

+ x3

+ 2 x 4 + 4 x5

≥ −15

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Tìm phương án tối ưu của bài toán gốc thoả mãn x3=28
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
60
80
70
60
40
Ai
35
7
2
4
13
8
90

8

12

3

4

9

75

6

4

2

9

7

100

5

3

9

5

3

Giải bài toán vận tải trên. Tìm các phương án tối ưu của bài toán thoả mãn 20 ≤ x32 ≤ 25 ?

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC

KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 2

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = −3 x1 + x2 + 5 x3 + x4 − 4 x5

2 x1

(2)  x1
x
 1

− 3x2
+ 2 x2

− 4 x3

− x 4 − x5

≤ 15

− x3

+ x 4 − x5

= 22

+ 2 x 4 − 3 x5

= 40

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Tìm phương án tối ưu của bài toán gốc thoả mãn x5=32.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
40
90
75
100
Ai
80
4
12
4
3
60
7
4
9
5
40
8
9
7
3

70
13
3
2
9
65
2
8
6
5
Giải bài toán vận tải trên. Tìm các phương án tối ưu của bài toán thoả mãn 10 ≤ x 43 ≤ 15 ?


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 3

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = 11x1 + 7 x 2 + 4 x3 − 10 x 4

 x1

(2)  − x1
− 2 x
1


− 2 x2

+ x3

+ 3 x 4 ≥ −12

+ 4 x2

− 3 x3

− 8 x 4 ≥ 20

+ x2

− x3

− x4 ≤ −2

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Với c3 = −1 , từ câu a) có nhận xét gì về tập phương án tối ưu của bài toán gốc. Khi đó tìm phương án tối
ưu của bài toán gốc thoả mãn x3= 10.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
70
90
80
70
50

Ai
100
4
8
12
3
9
45

2

4

13

7

8

85

6

4

2

9

7

110

5
5
3
9
3
Giải bài toán vận tải trên. Tìm phương án tối ưu của bài toán thoả mãn x42=57 ?

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 4

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = 10 x1 − 4 x2 − 7 x3 − 22 x 4

 − x1

(2) − 8 x1
 3x
 1

− 2 x2

+ x3

− 4 x4 ≤ −2

− 3x2

+ 4 x3

− 2 x4 ≥ 20

+ x2

− 2 x3

+ 2 x4 ≥ −12

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm tập các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
c) Với c2 = −27 / 7 , từ câu a) có nhận xét gì về tập phương án tối ưu của bài toán gốc. Khi đó tìm phương án
tối ưu của bài toán gốc thoả mãn x2= 28/5.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Bj
100
45
85
120
Ai
90
12
4
4

3
80
3
13
2
9


60
9
8
7
3
70
8
2
6
5
70
4
7
7
4
Giải bài toán vận tải trên. Tìm phương án tối ưu của bài toán thoả mãn x14=60 ?


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)

Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 5
Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x) = 5 x1 + 5 x 2 + 3 x3 − x 4 + x5
 4 x1

(2) − x1
 2x
 1

− 3x2

− x3

− 2 x 4 + 4 x5

≥ 50

+ x2

+ x3

− 3 x 4 − x5

= 10

+ x2

+ 2 x3

− x 4 + x5

≤ 80

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

80

60

110

100

90

10

2

10

7

70

17

6

13

12

120

18
15
8
Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Vì sao?

18

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 6
Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x) = 4 x1 + 4 x 2 + 3x3 + 8 x 4 + 2 x5
 4 x1

(2) − x1
 2x

 1

− 4 x2

− x3

− 2 x 4 + 4 x5

≥ 20

− x2

+ x3

+ x5

= −15

+ x2

+ 3 x3

− x 4 + x5

≤ 85

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm tập các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:

Cij
Ai

Bj

65

110

40

85

15

7

12

11

16

120

14

7

17

17

95

1
9
6
Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Vì sao?

9


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 7
M
inf(
x
)
=
(
3
−
m
)
x

Câu 1. Cho bài toán : (1)
1 + 12 x 2 + 6 x3 + 10 x 4 + 2 mx5
 x1

(2) 2 x1
6 x
 1

− x2

− x3

+ x4

=5

+ x2

− x3

+ 2 x4

≤ 40

− 4 x2

+ 2 x3

+ x 4 − 4 x5

≤ −8m

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m = 5.
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm m để Y=(1,1,1) là phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

90

80

110

55

155

10

17

14

2

90

12

9

8

1

85

15

17

13

7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 8
Maxf
(
x

)
=
(
m
−
1
)
x
Câu 1. Cho bài toán : (1)
1 − 10 x 2 − 6 x3 − 10 x 4 − 3mx 5
− 6 x1

(2)  2 x1



+ 4 x2

− 2 x3

− x 4 + 4 x5

≥ 4m

+ 2 x2

− x3

+ 2 x4

≤ 40

− x2

− x3

+ x 4 + x5

= 10

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m = 3.
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm m để Y=(0,1,5) là phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu.
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Ai

Bj

70

135

90

85

10

12

15


85

17

9

17

110

14

8

13

55

2

1

7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 9
Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x) = mx1 + 2 x 2 + 3 x3 + 10 x4
2 x1

(2) 4 x1
2 x
 1

+ 2 x2

− x3 − x 4

=4

+ ( m − 4) x 2

+ x3 + 2 x 4

≤5

− 4 x2

− 3 x3 + 2 x 4

≤ −8

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4)
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m=2
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm tất cả các giá trị của m để x * = (1;2;0;2) là phương án
tối ưu của bài toán trên. Khi đó hãy tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu(nếu có).
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Bj
290
Ai

170

350

100

90

6

3

16

6

400

13

18

13

27

11
5
Tìm phương án tối ưu khác thoả mãn x11 = 10

18

220

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
Thời gian làm bài : 60 phút
Đề số 10
Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x) = x1 − 2mx2 + 3x3 + 10 x 4
− mx1

(2)  4 x1
 − 2x
1


+ 2 x2

− x3 − x 4

= 30

+ (m − 2) x2

+ x3 + x 4

≤ 25

+ 4 x2

+ 3 x3 − x 4

≥ 18

(3) x j ≥ 0 (j = 1,4)
Trong đó m là tham số.
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình với m=4
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên. Tìm tất cả các giá trị của m để x * = (1;20;1;1) là phương án
tối ưu của bài toán trên. Khi đó hãy tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu(nếu có).
Câu 2. Giải bài toán vận tải sau:
Cij
Bj
90
400
220

Ai

110

6

27

18

290

6

13

11

170

3

18

5

350

17

13
16
Tìm phương án tối ưu khác thoả mãn x32 = 15


TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 2)
Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 1

Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = −2 x1 + 5 x2 + 9 x3 + 7 x4 + x5

 3x1 − x2 + 4 x3 − 2 x4 + x5 ≤ 10

+ 3 x 4 − x5 = − 1
(2)  − x1 + 2 x 2
 4x + 2x + x
+ x 4 − 3 x5 = 9
2
3
 1
(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Ai

Bj
60
50
100
90

70

80

90

2
3
4
5

8
3
6
7

4
2
3
9

a) Lập mô hình bài toán trên.
b) Giải bài toán vận tải trên. Tìm phương án tối ưu khác của bài toán nếu có?

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 2)
NĂM HỌC 2010-2011- Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 2

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = −5 x1 + 2 x2 − 9 x3 − 7 x4 − x5

(2)

 − x1 − 3x2 + 4 x3 − 2 x4 + x5 = 11

+ 3 x 4 − x5 = − 1
 2 x1 + x2
 2x + 4x + x
+ x4 − 3x5 ≤ 10
2
3
 1

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5 )
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau:
Cij
Ai

Bj
75

70
90

100

50

85

60

6
4
3

3
3
2

7
5
9

8
2
4


a) Lập mơ hình bài tốn trên.
b) Giải bài tốn vận tải trên. Tìm phương án tối ưu khác của bài tốn nếu có?

Đề1
a) F(x) =

2x1 + 5x2 + 9x3 + 7x4 + x5 + Mx7 + Mx8 => MIN
3x1
- x2
+ 4x3 -2x4
+ x5
+ x6
= 10
x1
-2x2
-3x4
+ x5
=1
4x1
+ 2x2 + x3
+ x4
-3x5
=9
x6 là biến phụ ,x7, x8 là biến giả
x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0

Ci
0
M
M

Xi

X6
X7
X8
F(x)

0
-2
M

X6
X1
X8
F(x)

0
-2
7

X6
X1
X4
F(x)

Yi
10
1
9
0
10
7

1
5
-2
5
56/13
28/13
5/13
-21/13
0

X1
3
1
4
2
5
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0

X2
-1
-2

2
-5
0
5
-2
10
-1
10
-5/13
4/13
10/13
-3/13
0

X3
4
0
1
-9
1
4
0
1
-9
1
45/13
3/13
1/13
-116/13
0

X4
-2
-3
1
-7
-2
7
-3
13
-1
13
0
0
1
0
0

X5
1
1
-3
-1
-2
-2
1
-7
-3
-7
23/13

-8/13
-7/13
-46/13
0

X6
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

Lamda
10/3
1
9/4

X4
-2
-3

X5
1
1

X6
0
0

Lamda
11/4
-

1
5/13

-

Phương án tối ưu của bài tốn trên là : (28/13,0,0,5/13,0,56/13,0,0)
Giá trị hàm mục tiêu là : F(x) = -21/13
b) bài tốn đối ngẫu là
F(y) = 10y1 - y2 + 9y3 => MAX
Các ràng buộc
3y1
- y2
+ 4y3 <= -2
- y1
+ 2y2 + 2y3 <= 5
4y1
+ y3

<= 9
-2y1
+ 3y2 + y3
<= 7
y1
- y2
-3y3
<= 1
Trong đó:y1 <=0, y2 tùy ý, y3 tùy ý

đề 02
a) Bài toán ở dạng chuẩn:
F(x) = 5x1 + 2x2 - 9x3 - 7x4 - x5 - Mx7 - Mx8 => MAX
Các ràng buộc:
- x1
-3x2
+ 4x3 -2x4
+ x5
= 11
-2x1
- x2
-3x4
+ x5
=2
2x1
+ 4x2 + x3
+ x4
-3x5
+ x6
x6 là biến phụ

x7, x8 là biến giả
x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0
Ci
-M
-M

Xi
X7
X8

Yi
11
2

X1
-1
-2

X2
-3
-1

= 10

X3
4
0


0

X6
F(x)

10
2
4
1
0
5
-2
9
-13
3
4
-4
-9
X3
11/4
-1/4
-3/4
1
-M
X8
2
-2
-1
0
0
X6

29/4
9/4
19/4
0
F(x)
-99/4
29/4
19/4
0
-2
2
1
0
-9
X3
9/4
1/4
-1/2
1
-1
X5
2
-2
-1
0
0
X6
55/4
-17/4
3/2

0
F(x)
-89/4
19/4
7/2
0
0
0
0
0
Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là : (0,0,9/4,0,2,55/4,0,0)
Giá trị hàm mục tiêu là : F(x) = -89/4

1
7
5
-1/2
-3
3/2
23/2
3
1/4
-3
-33/4
31/4
0

-3
1
-2

1/4
1
-13/4
-5/4
-1
0
1
0
0
0

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

10
11
2
-

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2009-2010 - Thời gian làm bài : 90 phút
Đề số 3


Câu 1. Cho bài toán : (1) M inf( x ) = − x 1 + 3x 2 + 4 x 3 − x 4 − 5x 5

(2)

2 x 1


3x
 1

+ x2

− 3x 3

+ 2x 4

+ x2
− 2x 2

− x3
+ x3

+ x4
+ x4

= 30
− x5
− 6x 5

= 23
≥ −10

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
c) Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu thoả mãn x5 = 32,5.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj
76
62
88
45
40
Ai
80
10
19

15
6
7
90
13
11
8
7
4
70
12
17
10
5
3
60
12
18
18
9
10
a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu B2 nhận tối thiểu là 55kg và tối đa là 60kg. Giải thích ý nghĩa kinh tế
của phương án tối ưu tìm được (nếu có).

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA “KHOA HỌC CƠ BẢN “

ĐỀ THI MÔN QHTT HỆ ĐẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2009-2010 - Thời gian làm bài : 90 phút

Đề số 4

Câu 1. Cho bài toán : (1) Maxf ( x ) = −3x 1 + x 2 + x 3 − 4 x 4 + 5x 5

(2)

 x1

2 x 1
x
 1

− 3x 2
+ 2x 2

+ x3

− x4

− x5

= 23

− x3
+ 2x 3

− x4
− 3x 4

+ 6x 5

≤ 10
= 30

(3) x j ≥ 0 (j = 1,5)
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên.Từ kết quả của bài toán gốc tìm kết quả của bài toán đối ngẫu
c) Bài toán còn phương án tối ưu khác không? Nếu có hãy tìm phương án tối ưu thoả mãn x2 = 81.
Câu 2. Bài toán vận tải được cho bởi bảng sau (cước phí tính theo đơn vị ngàn đồng/kg):
Cij
Bj
76
88
45
40
60
Ai
90
13
8
7
4
11
80
10
15
6
7
19
60

12
18
9
10
18
70
12
10
5
3
17
a)Giải bài toán vận tải trên.
b) Giải bài toán vận tải trên với yêu cầu B5 nhận tối thiểu là 53kg và tối đa là 58kg. Giải thích ý nghĩa kinh tế
của phương án tối ưu tìm được (nếu có).