Giải số hệ phương trình vi phân đại số bằng phương pháp RungeKutta (LV thạc sĩ)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC ĐOÀN

GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC ĐOÀN

GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN

THÁI NGUYÊN - 2015


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện. Các số
liệu, kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn này là trung thực và chưa
được công bố ở các nghiên cứu khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Tác giả

TRẦN ĐỨC ĐOÀN


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học
Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đào Thị
Liên. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - TS
Đào Thị Liên, người hướng dẫn khoa học, người đã gợi ý đề tài, định hướng
nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu thực
hiện luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo công tác tại Viện

Toán học Việt Nam; khoa Toán, Phòng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học)
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tạo mọi điều
kiện trang bị cho tác giả về kiến thức, về học liệu và kinh nghiệm nghiên cứu
cũng như mọi thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bè bạn gần xa
đặc và các bạn trong lớp Cao học Toán K21A, đã luôn động viên, giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận
văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp quý báu, sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 03 năm 2015
Tác giả

Trần Đức Đoàn


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................. iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 2
1.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số ......................................... 2
1.1.1. Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số ................................................... 2
1.1.2. Hệ với chỉ số 1 ....................................................................................... 3
1.1.3. Hệ với chỉ số 2 ....................................................................................... 5
1.1.4. Hệ với chỉ số 3 ..................................................................................... 10

1.1.5. Con lắc.................................................................................................. 11
1.1.6. Các bài toán nhiễu suy biến ................................................................. 11
1.1.7. Hệ nhiễu suy biến đơn.......................................................................... 13
1.1.8. Các định nghĩa khác về chỉ số .............................................................. 14
1.2. Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp
RUNGER-KUTTA ............................................................................................. 17
Chương 2. GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP 1
BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA .................................................. 22
2.1. Giải số hệ phương trình vi phân -đại số cấp 1 bằng phương pháp
RUNGE-KUTTA ............................................................................................... 22
2.2. Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số............. 23
2.3. Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn ........................................... 24
2.4. Tóm tắt kết quả hội tụ ................................................................................. 27
2.5. Bài toán nhiễu suy biến .............................................................................. 29
2.6. Phương pháp nửa hiện ................................................................................ 30
2.7. Ví dụ về hệ chỉ số 2 khi phương pháp số không áp dụng được ................. 31
KẾT LUẬN....................................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 35


iv

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Phương pháp Radau IIA bậc 1 và 3 ............................................... 26
Bảng 2.2. Phương pháp Radau IIA bậc 5 ....................................................... 26
Bảng 2.3. Bậc hội tụ ....................................................................................... 27
Bảng 2.4. Cấp hội tụ cho bài toán chỉ số 3 (1.17-18) ..................................... 28
Bảng 2.5. Cấp của sai số đối với bài toán nhiễu suy biến .............................. 30

1

MỞ ĐẦU
Thuật ngữ phương trình vi phân-đại số được đưa ra để đề cập đến các
phương trình vi phân cùng với các ràng buộc (các phương trình vi phân trên các
đa tạp) và các phương trình vi phân ẩn. Các bài toán như thế nảy sinh và cần
phải được giải trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như các hệ cơ học có ràng
buộc, động lực học chất lỏng, động học phản ứng hóa học, mô phỏng các mạng
điện, và kỹ thuật điều khiển... Từ quan điểm lý thuyết, nghiên cứu các phương
trình vi phân-đại số giúp chúng ta hiểu thấu đáo nguyên tắc của các phương
pháp số cho các phương trình vi phân thường cứng. Do đó, chủ đề này đã thu
hút nhiều sự quan tâm của các kỹ sư và các nhà toán học trong những năm qua.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về giải số của các hệ
phương trình vi phân-đại số trong các ứng dụng của nhóm tác giả Ernst Hairer,
Chriseian Lubich, Michel Roche về giải số hệ phương trình vi phân-đại số bằng
phương pháp Runge-Kutta. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm hai chương
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Nội dung chính là giới thiệu chung về hệ phương trình vi phân-đại số và
trình bày ngắn gọn về cách giải số hệ phương trình vi phân thường cấp 1 bằng
phương pháp Runge-Kutta.
Chương 2. Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp 1 bằng phương
pháp Runge-Kutta
Trong chương này, tác giả trình bày về giải số hệ phương trình, phương
trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta, các nhóm phương pháp
Runge-Kutta ẩn, kết quả hội tụ, bài toán nhiễu, phương pháp ẩn và ví dụ về chỉ
số 2 khi phương pháp số không áp dụng được


2

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số
Ta xét phương trình vi phân-đại số dạng tổng quát

F(Y ', Y )  0

( 1.1)

trong đó F và Y có cùng chiều, F được giả thiết là có đạo hàm bị chặn. Hệ không
ôtônôm F(Y ', Y , x)  0 được sinh ra từ hệ (1.1) nhờ việc đưa vào một biến độc
lập x mà x'  1 . Giá trị ban đầu Y ( 0 ) được giả thiết là đã biết và nghiệm Y(x)
được tìm trên một đoạn bị chặn 0; x  . Nếu F / Y ' là khả nghịch thì ta có thể
giải được Y ' từ (1.1) khi đó ta được một hệ phương trình vi phân thường. Nếu

F / Y ' là suy biến ta có hệ phương trình vi phân-đại số. Một trong những cách
để phân loại lớp phương trình vi phân này là dùng khái niệm chỉ số.
1.1.1. Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số
Chúng ta giới thiệu khái niệm chỉ số như một cách để đo độ nhạy của
nhiễu đối với nghiệm trong phương trình. Có những nhóm nghiên cứu khác
đưa ra một số định nghĩa khác về chỉ số cho hệ phương trình vi phân-đại số.
Mối liên hệ của định nghĩa này với các định nghĩa khác về chỉ số sẽ được
trình bày ở mục 1.1.8.
Định nghĩa. Phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm Y
trên đoạn 0; x  , nếu m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho mọi hàm Y có





F Y ', Y   (x),

( 1.2 )

thì tồn tại đánh giá





Y(x)  Y(x)  C Y( 0 )  Y( 0 )  max  (  )  ...  max  (m 1 ) (  ) ,x  0; x  ( 1.3 )
0  x

0  x

với mỗi một số hạng trong vế phải là đủ nhỏ. Ở đây C là một hằng số chỉ phụ
thuộc vào F và độ dài của đoạn 0, x  .


3

Trong nghiệm số của phương trình (1.1), ảnh hưởng của nhiễu lên
phương trình rời rạc có vai trò quan trọng trong việc phân tích sự hội tụ và sai
số làm tròn. Việc xuất hiện đạo hàm cấp (m-1) trong (1.3) sẽ biến đổi nghiệm
số thành phép chia nhiễu rời rạc cho h m1 , trong đó h là tham số rời rạc (nhỏ).
Cần lưu ý rằng có thể có các ước lượng lớn hơn (1.3) đối với một vài
hiệu số của chênh lệch nghiệm.
Ta gọi một phương trình là phương trình chỉ số m nếu phương trình đó

có chỉ số m dọc theo mọi nghiệm. Theo định nghĩa ở trên, chỉ số nhiễu không
thể nhỏ hơn 1.
Trường hợp chỉ số 0 có thể được tính đến nếu ta hiểu  ( 1 ) (  ) là một tích
phân trên  . Cụ thể hơn, ta nói rằng phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu 0 nếu


Y (x)  Y (x)  C  Y ( 0 )  Y ( 0 )  max   (t)d(t)

0  x
0






Theo Bổ đề Gronwall, điều này luôn được thoả mãn đối với phương trình
vi phân thường Y '  f (Y ) . Bây giờ ta xem xét các lớp của hệ với chỉ số 1, 2 và
3, đây là các nhóm hệ thường xuất hiện trong các ứng dụng.
1.1.2. Hệ với chỉ số 1
Trường hợp đơn giản nhất là hệ có dạng

y'  f (y, z)
0  g(y, z)
(trong đó, f và g là các hàm khả vi) ở đây g z 
lân cận nghiệm.

( 1.4.a)
( 1.4.b)
g

có nghịch đảo bị chặn trong
z

(1.5)


4

Giá trị ban đầu (y0 , z0 ) cần phải tương thích, nghĩa là g(y0 , z0 )  0 .
Theo Định lý hàm ẩn, z có thể được rút ra từ phương trình (1.4.b) như là một
hàm số của y. Sau khi chèn z vào phương trình (1.4.a) ta có phương trình vi
phân thường. Điều này cho thấy tồn tại nghiệm đơn trị và đều.
Xét hệ nhiễu

 
0  g  y, z    (x).

y'  f y, z   1 (x)
2

Áp dụng Định lý hàm ẩn ta có





z(x)  z(x)  C1 y(x)  y(x)   2 (x) ,

với  2 (x) nhỏ và y(x) đủ gần với y(x) . Ta trừ phương trình (1.4.a) cho
phương trình nhiễu tương ứng, lấy tích phân từ 0 đến x, sử dụng điều kiện

Lipschitz cho f và ước lượng ở trên đối với z(x)  z(x) . Ta được

e(x)  y(x)  y(x)
x

x

e(x)  e( 0 )  C2  e(t)dt  C3   2 (t) dt 
0

0

x

  (t)dt
1

,

0

và theo bất đẳng thức Gronwall, ta có

x

y(x)  y(x)  C4  y( 0 )  y( 0 )    2 (t) dt  max  1(t)dt

0  x
0
0




 .


Sau khi chèn bất đẳng thức trên vào ước lượng z(x)  z(x) , ta có ước
lượng (1.3) không phụ thuộc vào đạo hàm của nhiễu. Do đó, hệ có chỉ số 1.
Bài toán có dạng
BY '  a( Y )

( 1.6 )

với ma trận hằng số B có thể được đưa về dạng (1.4) nhờ việc phân tích (như
bằng phép khử Gaussian) như sau


5

 I 0
B  S
T
0 0

( 1.7 )

với S và T là khả nghịch. Nhân hai vế của phương trình (1.6) với S 1 và sử
dụng các biến
 y
TY   

z 

ta có hệ (1.4). Điều kiện (1.5) khi đó trở thành





 
1  1
 Y S a  T  có


22

đảo bị chặn
trong đó

nghịch
(1.8)

 22 chỉ số dưới bên phải của ma trận (chiều không gian nghiệm của

B), theo như phân tích (1.7). Giá trị ban đầu Y0 là tương thích khi a Y0  nằm
trong miền giá trị của B.

(1.9)

1.1.3. Hệ với chỉ số 2
Ta xét bài toán

y'  f (y, z)

( 1.10.a)

0  g(y)

( 1.10.b)

với giả thiết rằng g y f z có nghịch đảo bị chặn trong lân cận của nghiệm (1.11).
Đạo hàm hai vế phương trình (1.10.b) và thế y' từ phương trình (1.10.a)
ta thấy nghiệm cũng thoả mãn phương trình

0  g y (y) f(y, z)

( 1.10.c)

để nghiệm có thể nằm trên giao của đa tạp xác định bởi phương trình (1.10.b) và
(1.10.c). Một giá trị ban đầu tương thích (y0, z0) phải thoả mãn (1.10.b) cho thành
phần y và điều kiện (1.10.c), khi đó (1.11) xác định duy nhất thành phần z.
Các phương trình (1.10.a) và (1.10.c) đều có điều kiện (1.11) ở dạng chỉ
số 1 (1.4) với (1.5). Vì ta đã lấy đạo hàm một lần để có được dạng này, ước
lượng (1.3) có chứa đạo hàm nhiễu trong phương trình (1.10.b) và do đó hệ có
chỉ số 2. Bây giờ ta xét hệ nhiễu


6

 
0  g  y    (x).

y'  f y, z   (x)

Lấy đạo hàm phương trình thứ hai, ta có

   

 

0  g y y f y, z  g y y  (x)   '(x).
Giờ đây ta có thể sử dụng các ước lượng của trường hợp chỉ số 1 ta được
x


y(x)  y(x)  C  y( 0 )  y( 0 )     (  )   '(  )  d  
0



z(x)  z(x)  C  y( 0 )  y( 0 )  max  (  )  max  '(  )
0  x
0  x


.



( 1.12 )

Hệ (1.10) có thể được xem là trường hợp đặc biệt của phương trình (1.4)
với gz suy biến. Với các bài toán như vậy, nếu giả định gz có hạng không đổi
trong lân cận nghiệm, ta có thể chuyển về dạng (1.10) - dạng này không thay
đổi chỉ số và thậm chí quan trọng hơn trong dạng đó các phương pháp số
nghiên cứu là bất biến. Phép biến đổi này có thể được mô tả như là quan điểm
phi tuyến tính của phép khử Gaussian: Ta kí hiệu phần tử đầu tiên của z là z1.Từ
giả thiết rằng gz có hạng không đổi đồng thời cũng tồn tại một thành phần của g
thỏa mãn gi / z1  0 hoặc g / z1 đồng nhất bằng 0, tức là g độc lập với z1.
Trong trường hợp đầu, theo định lý hàm ẩn ta có thể biểu diễn z1 là hàm số của
y và các thành phần còn lại của z và bằng cách ấy khử z1 trong các phương trình
khác. Lặp lại các bước này với z2, z3,…, cuối cùng ta được hệ có dạng (1.10)
trong đó z gồm các thành phần z chưa bị khử như trong (1.4).
Mục tiêu tiếp theo của ta là mô tả hai lớp phương trình có dạng (1.10),
(1.11) hoặc gần với dạng đó. Hai lớp này gồm:
a) Hệ với ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm nhân với đạo hàm nghiệm,
xuất hiện trong phân tích mạch điện và động lực phản ứng hoá học.
b) Phương trình chuyển động của hệ thống cơ khí có ràng buộc.


7

Xét lớp a) Ta thu được hệ dạng (1.10), chỉ số 2, một cách hình thức từ
một biến đổi (sẽ được miêu tả ở phần dưới đây) của hệ

B(y) y'  a(y)

( 1.13 )

trong đó B(y) là ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm thoả mãn (1.7) và (1.8). Do
các phương pháp số sẽ nghiên cứu ở đây là bất biến theo phép biến đổi đó,

đánh giá sự hội tụ đối với y của (1.10) sẽ được áp dụng trực tiếp để thu được
nghiệm của hệ (1.13).
Đầu tiên ta viết lại (1.13) thành một hệ bổ sung
y' = z
0 = a(y) - B(y)z.

Giả sử B có hạng không đổi, ta lại có thể phân tích
I

0
 T(y)
0 0 

B(y)=S(y) 

(1.14)

với S và T là khả nghịch.
Chọn S và T đồng thời là trơn trong mỗi lân cận của y thì rõ ràng B khả
vi. Nhân phương trình thứ hai của hệ mở rộng đó với S–1(y) được
 y1 
 z1 
 T11 T12 
 f(y) 
(S -1a)(y)= 
,
T=
,
y=
,

z=
y 
 z ,
T T 

 g(y) 
 21 22 
 2
 2

hệ tương đương
y'1  z1
y'2  z2
0  f (y)  T11(y) z1  T12 (y) z2
0  g(y).

Vì T là khả nghịch, chúng ta cũng có thể giả sử T11 là khả nghịch (trừ việc
hoán vị các cột). Khi đó ta có thể loại trừ hàng thứ ba của hệ trên bằng việc tính z1
và thế z1 vào hàng đầu tiên. Từ đó hệ có dạng (1.10), với (y, z2) đóng vai trò (y, z)


8
1
của (1.10). Điều kiện (1.11) trở thành (  g y1T11 T12  g y2 ) là khả nghịch, thực hiện

kiểm tra bằng tính toán dễ dàng chỉ ra rằng nó tương đương với (1.8).
Nhờ phép biến đổi trên, ta có thể suy ra hiệu số giữa nghiệm của (1.13)





và nghiệm của hệ nhiễu B y y '  a y   (x) bị chặn bởi
x
x


y(x)  y(x)  C  y( 0 )  y( 0 )    (  ) d     '(  ) d   , với ξ đủ nhỏ.
0
0



Ước lượng này mạnh hơn (1.3) trong trường hợp chuẩn đều được thay
thế bởi chuẩn L1. Trái với trường hợp (1.6) của ma trận hằng số B, hiệu số của
ước lượng  ' không thể bị loại bỏ cho nghiệm phụ thuộc B(y). Điều này có thể
thấy qua ví dụ sau
y'1  y3 y'2  y2 y'3  0, y1( 0 )  0
0  y2
0  y3 .

Nếu bổ sung nhiễu  (x)  ( 0, є sin  x, є cos  x )T , ta có y'1  є2 và để
   ta thấy rằng không thể loại bỏ số hạng  ' trong (1.3).

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không có sự phụ thuộc vào  ' với các hệ có
dạng đặc biệt
by (y) y'  f(y)
0  g(y)
T
T

với ma trận khả nghịch  by , g y  trong đó by  b / y đối với một số hàm
T

b(y) nào đó. Điều này được suy ra từ nhận xét rằng hệ có được sau khi bổ sung
phương trình 0  b(y)  v và thay by (y) y' bằng v' là hệ có dạng chỉ số 1 trong
(1.4), (1.5) với (v, y) đóng vai trò của (y, z). Phương pháp số là không bất biến
trong phép biến đổi này do v' và by (y) y' được rời rạc hoá khác nhau đối với by
không là hằng.


9

Xét lớp b) Các bài toán có dạng (1.10) xuất hiện trong quá trình mô hình
hoá cơ khí các hệ ràng buộc. Một hệ có nhiều thành phần được miêu tả bởi tọa
độ q và vận tốc u  q ' có thể chịu ràng buộc hình học g(q)  0 và ràng buộc
động lực học K(q)u  k(q)  0. Xét về động năng T(q, u), phương trình chuyển
động Lagrange được viết như sau

d  T  T
 Q  HT


dt  u  q
trong đó Q(q, u) là các lực hiệu dụng,  là nhân tử Lagrange và HT = (GT, KT)
với G  g q . Lấy đạo hàm và nhóm các phương trình lại, ta có hệ dạng
q'  u
M (q)u'  f(q, u )  H T (q)
0  g(q)
0  K(q)u  k(q)

( 1.15.a)
( 1.15.b)
( 1.15.c )
( 1.15.d )

trong đó M = Tuu là ma trận xác định dương.
Đầu tiên ta xét trường hợp không có ràng buộc (1.15.c). Hệ (1.15.a, b,
d) có dạng (1.10) (ngoại trừ việc giải ra u' trong (1.15.b)) với (q, u) và 
trong vai trò của y và z. Nếu các ràng buộc trong (1.15.d) là độc lập để
H = K có hạng đầy đủ theo hàng thì KM-1KT là khả nghịch, điều kiện (1.11)
được thoả mãn.
Trong trường hợp có các ràng buộc hình học (1.15.c), hệ (1.15) không
quá chỉ số 2. Việc giảm xuống chỉ số 2 có đạt được bằng việc sử dụng ràng
buộc đã được lấy đạo hàm G(q)u  0 , có dạng (1.15.d), thay vì (1.15.c) (hoặc
sử dụng kết hợp cả hai). Cách này gặp phải một khó khăn trong khi lấy tích
phân, ta có thể bỏ qua ràng buộc ban đầu (1.15.c). Để tránh điều này, Gear,
Gupta & Leimkuhler (1985) đề xuất sử dụng ràng buộc đã được lấy đạo hàm và
cộng (1.15.c) thông qua một nhân tử Lagrange  (triệt tiêu trên nghiệm đúng):


10

q'  u  G T (q)

( 1.16.a)

M(q)u'  f(q, u )  H T (q)
0  g(q)
0  G(q)u
0  K(q)u  k(q).

( 1.16.b)
( 1.16.c)
( 1.16.d)
( 1.16.e)

Nếu các dòng H (và do đó cả các dòng G) là độc lập tuyến tính, thì (1.16)
có dạng (1.10) với y  (q, u) và z  (  ,  ) và điều kiện (1.11) được thoả mãn.
1.1.4. Hệ với chỉ số 3
Bài toán có dạng

y'  f (y, z)
z'  k(y, z, u)
0  g(y)

( 1.17.a)
( 1.17.b )
( 1.17.c)

là dạng có chỉ số 3, nếu g y f z ku có nghịch đảo bị chặn (1.18) trong lân cận
nghiệm. Điều này có được bằng việc lấy đạo hàm (1.17.c) hai lần, cho kết quả
(loại bỏ đối số hàm)

0  gy f

( 1.17.d)

0  g yy (f, f)  g y f y f  g y f z k.

( 1.17.e)

Các phương trình (1.17.a,b) cùng với (1.17.e) có điều kiện (1.18) của
dạng chỉ số 1 trong (1.4) với (1.5). Ước lượng sai số (1.3) giờ đây phụ thuộc
vào đạo hàm cấp hai của khuyết số trong (1.17.a-c), cho ra chỉ số 3. Các giá trị
ban đầu tương thích cần phải thoả mãn cả ba điều điều kiện (1.17.c, d, e).
Một ví dụ của bài toán chỉ số 3 là hệ cơ khí ôtônom, tại đó các phương
trình (1.15) có thể được lập mà không có ràng buộc (1.15.d). Ở đây (q, u,  )
đóng vai trò (y, z, u) trong (1.17). Điều kiện (1.18) được thoả mãn nếu
H = G có các dòng độc lập tuyến tính. Khi không có các ràng buộc (1.15.d)
bài toán (1.15) vẫn có chỉ số 3 nếu H có hạng đầy đủ (do lấy đạo hàm
(1.15.c) cho hệ với chỉ số 2 có dạng (1.10)). Tuy nhiên, dạng này yếu hơn
dạng tổng quát trong (1.17).


11

1.1.5. Con lắc
Ta sử dụng con lắc để minh hoạ cho những lập luận ở trên. Các phương
trình chuyển động của một vật nặng m treo trên một sợi dây có trọng lượng
không đáng kể với độ dài l, dưới tác động của trọng lực g, trong hệ toạ độ
vuông góc (p, q) , như sau:
p'  u
q'  v
mu'   p 
mv'   q   g

( 1.19.a)
( 1.19.b)

0  p 2  q2  l 2 .

( 1.19.c)

Ở đây (u, v) là vận tốc và  là độ căng của dây. Trong công thức này, hệ
có chỉ số 3 dạng (1.17.a-c). Lấy đạo hàm (1.19.c) ta có
0  pu  qv

( 1.19.d)

tương ứng hình học với thực tế rằng vận tốc là tiếp tuyến của đa tạp cho bởi
(1.19.c), nghĩa là vuông góc với độ dốc 2(p, q). Hệ (1.19.a, b, d) có chỉ số 2
dạng (1.10.a, b). Lấy đạo hàm một lần nữa và kết hợp (1.19.c) ta được

0  m(u 2  v 2 )  gq l 2  .

( 1.19.e)

Hệ (1.19.a, b, e) có chỉ số 1 dạng (1.4.a, b). Lập lại phương trình chỉ số 2
của Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) áp dụng vào trường hợp hiện tại

p'  u  p
q'  v  q
mu'   p
mv'   q  g

( 1.20 )

0  p 2  q2  l 2
0  pu  qv.
1.1.6. Các bài toán nhiễu suy biến

Một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số với chỉ số cao tùy ý trong
nghiên cứu vấn đề nhiễu đơn


12

y'  f (y, z)
є z'  g(y, z), 0  є

trong đó giả sử g z v, v   v

2

( 1.21.a)
1

( 1.21.b)

(với mọi véctơ v)

(1.22)

là đúng với một tích vô hướng trong lân cận của nghiệm. Trên bất cứ đoạn bị chặn
nào kể từ 0 (bên ngoài pha chuyển tiếp ban đầu), nghiệm có một є -mở rộng

y(x)  y0 (x)  єy1(x)  є2 y2 (x)  ...  єN y N (x)  O( єN 1 )
z(x)  z0 (x)  єz1(x)  є2 z2 (x)  ...  єN z N (x)  O( єN 1 )

( 1.23 )

với hệ số є độc lập và trơn yk, zk. Chèn (1.23) vào (1.21) và so sánh luỹ thừa
của є ta thấy các hệ số mở rộng là nghiệm của một dãy các hệ phương trình vi
phân-đại số

y'0  f (y0 , z0 )
0  g(y0 , z0 )

( 1.24.0 )

y'1  f y (y0 , z0 ) y1  f z (y0 , z0 ) z1
z'0  g y (y0 , z0 ) y1  g z (y0 , z0 ) z1

( 1.24.1)

và nói chung

y'k  f y (y0 , z0 ) yk  f z (y0 , z0 ) zk  k (y0 , z0 , ..., yk 1 , zk 1 )
z'k 1  g y (y0 , z0 ) yk  g z (y0 , z0 ) zk  k (y0 , z0 , ..., yk 1 , zk 1 )

( 1.24.k)

các hàm số y0, z0 được xác định hoàn toàn bởi (1.24.0), là một hệ chỉ số 1 có
dạng (1.4), với điều kiện (1.5) có hệ quả từ (1.22). Nếu y0, z0 được xem là đã biết
thì (1.24.1) là hệ chỉ số 1 với y1, z1. Tuy nhiên, các phương trình (1.24.0) và
(1.24.1) có chỉ số 2 bởi vì nhiễu trong z0 được đưa vào phép lấy đạo hàm (1.24.1)
(Để ý rằng hệ kết hợp (1.24.0), (1.24.1) thật ra có dạng (1.10), (1.11) với (y0, z0,
y1) và z1 đóng vai trò y và z). Tương tự, hệ (1.24.0)-(1.24.k) có chỉ số k+1.
Ta quan tâm đến hệ (1.24) bởi nghiệm số trong bài toán (1.21) có mở
rộng є mà các hệ số là nghiệm của hệ phương trình vi phân-đại số (1.24). Điều
này cho phép sai số bị chặn đối với nghiệm số của (1.21). Ta sẽ trở lại vấn đề

này ở cuối Chương 2.


13

1.1.7. Hệ nhiễu suy biến đơn
Như là một ví dụ cho hệ cơ khí cứng, ta xét con lắc treo trên một lò xo
cứng có trọng lượng không đáng kể với hằng số Hooke 1 / є2 ,0  є

1 Với

việc chuẩn hoá m  1, l  1, g  1 phương trình chuyển động được viết như sau
p'  u
q'  v

( 1.25.a)

u'  

1
є2

v'  

1
є2

p q



p2  q2  1

2



p 2  q 2  1  1.

q
p q
2



2

p
2



( 1.25.b)

Có thể thấy rằng mỗi nghiệm có một є -mở rộng tiệm cận với các hệ số

є2 độc lập trơn

p(x)  p0 (x)  є2 p1(x)  є4 p2 (x)  ...  є2 N pN (x)  O( є2 N  2 )

( 1.26 )

và tương tự cho q, u, v với các hệ số qi, ui, vi hoặc nghiệm dao động nhanh với
tần suất biên độ 1 / є xung quanh nghiệm đó.
Giả sử ta quan tâm tới nghiệm trơn (1.26). Để є2  0 trong (1.25.b) cho
2
2
ta điều kiện 0  p0  q0  1 . Bây giờ ta định nghĩa các hàm số  j (x) bởi

p 2 (x)  q 2 (x)  1
1

 0 (x)  є21(x)  ...
2
2
2
є
p (x)  q (x)

( 1.27 )

0
Chèn (1.26) và (1.27) vào (1.25) và so sánh các hệ số của є cho ta

phương trình con lắc trong chỉ số 3 dạng (1.19.a, b, c):

p'0  u0
q'0  v0
u'0   p0 0
v'0   q0 0  1

0  p02  q02  1.

( 1.28 )


14

So sánh các hệ số є 2 trong (1.27) và (1.25) ta có

p'1  u1
q'1  v1
u'1   p10  p0 1

( 1.29 )

v'1   q10  q0 1
0  p0 p1  q0 q1  0 .
Nếu các biến có chỉ số 0 được xem là đã biết thì (1.29) là hệ có chỉ
số 3 cho p1 , q1 , u1 , v1 , 1 . Tuy nhiên, hệ (1.28) và (1.29) lại có chỉ số 5.
Giờ ta có thể tiếp tục xây dựng các hệ số còn lại trong (1.26) và (1.27).
Điều này đưa ra một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số mà chỉ số
tăng hai lần ở mỗi bước.
Phân tích ở trên áp dụng với các phương trình chuyển động của hệ
cơ khí cứng trong đó thế năng lớn khiến chuyển động ở gần với biểu thức.

1  U 
M (y) y"  f(y, y')  2 
є  y 

T

 y ,

( 1.30 )

trong đó ma trận M(y) là xác định dương và thế năng U là cực tiểu trên đa tạp 
và lồi lớn dọc theo chiều ngang với . Trong mở rộng є2 của nghiệm trơn, các
hệ số của є0 thoả mãn các phương trình chuyển động của hệ ràng buộc chỉ số 3

y'0  z0
M(y0 ) z'0  f (y0 , z0 )  g Ty (y0 )0

( 1.31)

0  g(y0 ),
trong đó g triệt tiêu trên và gy có hạng đầy đủ.
Điều ta quan tâm trong công thức trên là nghiệm số của bài toán cứng
(1.30) đồng thời cũng có є2 -mở rộng mà hệ số của mở rộng là nghiệm số của
các phương trình vi phân-đại số liên quan có chỉ số 3, 5, 7…
1.1.8. Các định nghĩa khác về chỉ số


15

Khái niệm chỉ số của phương trình vi phân-đại số xuất phát từ các bài
toán tuyến tính với các hệ số không đổi

By'  Ay  d(x).

( 1.32 )

Nếu ( A, B ) là một cặp ma trận chính quy, nghĩa là nếu tồn tại một số
phức c sao cho det(A + cB)  0 khi đó theo định lý Weierstrass, tồn tại các ma
trận không suy biến P và Q sao cho
I 0 
PBQ  
,
0 N 

C 0
PAQ  

0 I

( 1.33 )

trong đó N  blockdiang(N1 , ..., N k ) mà mỗi N i (có chiều mi ) đều có dạng
0

Ni  


0

1
0

0



1

0

( 1.34 )

Chỉ số luỹ linh của cặp ma trận ( A,B ) được xác định là số cực đại của
các số chiều mi. Với phép biến đổi (1.33) phương trình vi phân-đại số (1.32)
được tách thành một hệ gồm hệ vi phân thường và một hệ ràng buộc đại số, nó
có dạng chính tắc (với m = m1, .., mk)

z'2  z1   1 (x)
z'm  zm1   m1 (x)
0  zm   m (x)
Ở đây zm được xác định bởi phương trình cuối cùng và các phần tử khác
có được nhờ lấy đạo hàm liên tiếp. Vì z1 phụ thuộc vào đạo hàm thứ m-1 của

 m , số lớn nhất mi xuất hiện, nghĩa là chỉ số luỹ linh cũng là chỉ số nhiễu.
Phải rất lâu khái niệm chỉ số mới được khái quát hoá cho các bài toán
phi tuyến tính (1.1). Mãi đến năm 1985 các nhà nghiên cứu như Gear, Gupta
và Leimkuhler và sau đó vào những năm 1988,1989 Gear mới đưa ra định


16

nghĩa về Chỉ số vi phân của hệ (1.1) là số nguyên nhỏ nhất m sao cho hệ
phương trình (1.1) và
dF(Y', Y)
0
dx

d m F(Y', Y)
0
dx m

Có thể giải ra được đối với Y' = Y'(Y). Chỉ số vi phân và chỉ số nhiễu là
bằng nhau nếu đạo hàm nghiệm được nhân với ma trận hằng số, đặc biệt đối
với các hệ bán tường minh như (1.4), (1.10), (1.17) trong đó nó được nhân với
ma trận đường chéo với các giá trị 1 và 0. Tuy nhiên, bài toán B(y)y' = a(y) với
điều kiện (1.7) và (1.8) có chỉ số vi phân là 1 và chỉ số nhiễu là 2. Đối với các
hệ vi phân-đại số thì:
Chỉ số vi phân ≤ chỉ số nhiễu ≤ chỉ số vi phân + 1.
Chỉ số đặc trưng bởi số phép chiếu thích hợp được R.Marz và các cộng
sự đưa ra bởi khái niệm chỉ số m chuyển được vào những năm 1987 đến 1989.
Ghi chú:
Việc nghiên cứu các phương trình vi phân-đại số có thể được thấy trong
các chuyên khảo của Campbell (1980, 1982), Griepentrog & Marz (1986) và
Brenan, Camptell & Petzold (1989). Các dạng giải tích của các hệ B(y)y’ = a(y)
được thảo luận trong Gear & Petzold (1984), Rheinboldt (1984), Lubich
(1989). Các hệ nửa hiện với chỉ số 2 (1.10) và chỉ số 3 (1.17) được nghiên cứu
bởi Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) và Lotstedt & Petzold (1986), các tác giả
cũng miêu tả các ứng dụng. Việc rời rạc hoá không gian của phương trình
Navier-Stokes không nén được cũng có dạng (1.10), nhưng ở đây các đạo hàm
của f và g là không bị chặn do các mắt lưới không gian có xu hướng bằng 0. Để
giả quyết vấn đề này, Hundsdorfer (1987) nghiên cứu một nhóm các bài toán vi


17

phân-đại số có chỉ số 2. Đối với các hệ ràng buộc, Fuhrer (1988) xem như là
các phương trình vi phân-đại số. Tài liệu tham khảo cổ điển nhất cho cơ học

giải tích là Lagrange (1788), một trong các giáo trình gần đây nhất là
Gantmacher (1970) và Arnold (1978). Các chuyên luận theo hướng thuật toán
về các hệ đa đối tượng được đưa ra bởi Wittenburg (1977), (1989) và Roberson
& Schwertassek (1988).
1.2. Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp
RUNGER-KUTTA
Xét bài toán tìm hàm y  y( x ) thỏa mãn
y'(x)  f ( x, y ), x  a; b  , x0  a
y(x0 )  y0

Từ khai triển Taylor của nghiệm đúng y(x)

 x  xi 
 x  xi 
x  xi
y( x )  y(xi ) 
y'(xi ) 
y"(xi ) 
y"'(ci ), ci (xi , x)
1!
2!
3!
2

3

Thay x  xi 1  xi  h , ta có

y(xi 1 )  y(xi )  hy'(xi ) 

h2
h3
y"(xi )  y"'(ci ), ci (xi , x)
2
6

trong đó
y'( xi )  f  xi , y( xi ) 
f f dy
y"(xi ) 

, x  xi
x y dx
 f ' x (xi , yi )  f ' y  xi , y(xi )  y'(xi )

Thay vào công thức Euler cải tiến yi  yi 1 
yi 1  yi  hy'i 

h
 f (xi1 , yi1 )  f(xi , z) , ta có
2

h2
 f ' x (xi , yi )  f ' y (xi , yi ) y'i   O(h 3 )
2

( 1.35 )

Để tránh tính trực tiếp f ' x (xi , yi ) và f ' y (xi , yi ) , ta đặt

yi1  yi  r1k1(i)  r2k2(i)

( 1.36 )


18

trong đó

k1(i)  hf (xi , yi )
k2(i)  hf (xi   h, yi   k1(i) )

( 1.37 )

và chọn  ,  , r1 , r2 sao cho khai triển theo lũy thừa của h trong O(h 4 ) xác định
bởi (1.36) trùng nhau đến 3 số hạng đầu của vế phải công thức (1.35).
Dùng công thức Taylor của hàm hai biến, ta có
f (xi   h, yi   k1(i) )  f (xi , yi )   hf ' x (xi , yi )   k1(i) f ' y (xi , yi )  O(h 2 )
 y'i   hf ' x (xi , yi )   k1(i) f ' y (xi , yi )  O(h 2 )

từ đây ta có

k1(i)  hf (xi , yi )
 hy'i
k2(i)  hf (xi   h, yi   k1(i) )
 hy'i   h 2 f ' x (xi , yi )   h 2 y'i f ' y (xi , yi )  O(h 3 )
Do đó (1.36) có thể viết dưới dạng

yi 1  yi  r1hy'i  r2 hy'i   h 2 f ' x (xi , yi )   h 2 y'i f ' y (xi , yi )  O(h 3 )
 yi  r1hy'i  r2hy'i   r2 h 2 f ' x (xi , yi )   r2 h 2 y'i f ' y (xi , yi )  O(h 3 )

 yi  (r1  r2 )hy'i  h 2  r2 f ' x (xi , yi )   r2 y'i f ' y (xi , yi )

( 1.38 )

So sánh các hệ số lũy thừa của h trong (1.35), (1.38) ta có

r1  r2  1

 r1   r2 

1
2

Đây là một hệ 3 phương trình, 4 ẩn số nên là một hệ vô định. Ta xét một
vài họ nghiệm đơn giản:


19

(1)

r1  0, r2  1,    

1
. Khi đó (1.36) và (1.37) có dạng
2

y0  y(x0 ) đã biết
k1(i)  hf (xi , yi )


h
k1(i) 
k 2  hf  xi  , yi 
2
2 

yi 1  yi  k 2(i) , i  0,1,...,n  1
(i)

(2)

r1  r2 

1
,     1 . Khi đó (1.36) và (1.37) có dạng
2

y0  y(x0 ) đã biết

k1(i)  hf (xi , yi )

k2(i)  hf  xi  h, yi  k1(i) 
yi 1  yi 

1 (i)
k1  k2(i)  , i  0,1,...,n  1

2

3

Khi thành lập các công thức (1.36) và (1.37) trên ta bỏ qua số hạng O(h )

trong khai triển Taylor. Ta có thể chứng minh được rằng sai số tại điểm xi thỏa
2
mãn yi  y(xi )  Mh , trong đó M là hằng số dương không phụ thuộc h.

Vậy các phương pháp Runger-Kutta trên đậy có độ chính xác cấp hai.
Hoàn toàn tương tự, nếu trong khai triển Taylor của y(xi 1 ) tại xi ta
4
bỏ qua số hạng O(h ) thì sẽ nhận được công thức Runger-Kutta có độ

3
chính xác cấp ba, nghĩa là yi  y(xi )  Mh , trong đó M là hằng số dương

không phụ thuộc h.

y0  y(x0 ) đã biết