Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ BÍCH HẠNH

BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ BÍCH HẠNH

BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Thái Nguyên - Năm 2015

Mục lục
Mở đầu

iv

1 Một số kiến thức cơ bản
1.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . .
1.3 Tính liên tục theo nón . . . . .
1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa
1.5 Tính đơn điệu . . . . . . . . . .
1.6 Một số định lý bổ trợ . . . . . .
2 Bài
2.1
2.2
2.3

. .
. .
. .
trị
. .
. .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan
Bài toán quan hệ biến phân . . . . . . . . . . . . . . . .
Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . . . .
Định lý điểm bất động và sự tồn tạị nghiệm của bài toán
quan hệ biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân . . . . . . .
2.4.3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

1
1
3
6
8
9
9
11
11
15
23
26
26
28
29
31


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu
thực sự của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết,
nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày
trong luận văn là hoàn toán trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ cho
một học vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều được ghi rõ nguồn
gốc.

Thái nguyên, ngày 20 tháng 8 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Bích Hạnh

Xác nhận của Khoa

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

ii


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của
GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Thầy đã dành nhieuf thời gian hướng dẫn
cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán trường Đaị học Sư
phạm, Đại học Thái Nguyên, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng
dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã
quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi hoàn thành tốt nhiệm
vụ của mình.

iii


Mở đầu

Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho F (¯
x ≤ F (x)) với mọi x ∈ D, ký hiệu:
min{F (x)|x ∈ D},
trong đó, D là tập con của không gian X, được gọi là miền chấp nhận
được, F : D → R là hàm mục tiêu, đóng vai trò trọng tâm của lý thuyết
tối ưu. Dựa vào cấu trúc của tập D và tính chất của hàm F , người ta
phân loại bài toán này thành những lớp bài toán khác nhau. Nếu D là
tập mở, F là hàm khả vi, ta gọi bài toán này là bài toán tối ưu trơn. Nếu
F là hàm số không có đạo hàm, thì bài toán này được gọi là bài toán
tối ưu không trơn. Trong lớp các bài toán tối ưu không trơn, người ta có
thể phân loại thành nhiều bài toán cơ bản như bài toán quy hoach tuyến
tính, quy hoạch lồi, quy hoạch Lipschits, quy hoạch liên tục, . . . Bài toán
tối ưu cũng được mở rộng cho trường hợp F là ánh xạ từ tập D vào một
không gian tô pô tuyến tính trên đó có xác định thứ tự từng phần sinh
bởi nón. Từ khái niệm thứ tự từng phần này, ta có các khái niệm khác
nhau về điểm hữu hiệu của một tập hợp như: hữu hiệu lý tưởng, hữu
hiệu Pareto, hữu hiệu yếu, hữu hiệu thực sự, . . . Từ đó, ta có thể phát
biểu các bài toán tối ưu véctơ khác nhau.
Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D ⊂ X là một tập con khác
rỗng. Cho C là một nón trong Y , A ⊂ Y . tập các điểm hữu hiệu của A
đối với nón C ký hiệu là αM in(A/C), với α = I, P, P r, W, tương ứng là
các loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu
thực sự và điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trong
chương 1 của luận văn này).
Cho F : D → Y . Bài toán: Tìm x¯ ∈ D sao cho F (¯
x) ∈ αM in(F (D)/C)
được gọi là bài toán tối ưu véctơ α tương ứng với I, P, P r, W .
Tổng quát hơn, người ta phát triển bài toán tối ưu với F là ánh xạ đa
trị và gọi là bài toán tối ưu véctơ đa trị. Ngoài ra, người ta còn nghiên
cứu bài toán tối ưu với tập ràng buộc D là tập nghiệm tối ưu của một

bài toán tối ưu khác, bài toán này gọi là bài toán tối ưu hai cấp. trong
lý thuyết tối ưu, ta còn quan tâm đến lớp bài toán tựa( hay còn gọi là
bài toán phụ thuộc tham số). năm 2001, A.Gueraggio và N.X Tấn [4] đã
iv


đưa ra bài toán sau:
A. Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại 1.

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập
con khác rỗng và C là nón trong Z. Cho các ánh xạ đa trị S : D×K ⇒ D,
T : D × K ⇒ K và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z.
Bài toán: Tìm (¯
x, y¯) ∈ D × K sao cho:
i) x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
ii) y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
iii) F (¯
y , x¯, x¯) ∈ αM in(F (¯
y , x¯, S(¯
x, y¯))/C)
được gọi là bài toán tựa tối ưu véctơ α tổng quát loại 1 ( α để chỉ một
trong các từ: lý tưởng, Pareto, thực sự, yếu). Kí hiệu bài toán này là
(GV QOP 1)α .
Năm 2013, Đ.T.Lục và N.X.Tấn [8] đã nghiên cứa bài toán tối ưu
α tổng quát loại 2, kí hiệụ(GV QOP 1)α . Bài toán này được phát biểu
trong trường hợp lý tưởng như sau:
B. Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại 2.

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập
con khác rỗng và C là nón trong Z. Cho các ánh xạ đa trị S1 , S2 : D ⇒ D,
T : D × K ⇒ K và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z.
Tìm x¯ sao cho:
i) x¯ ∈ S1 (¯
x);
ii) F (y, x, x¯) ∈ αM in(F (y, x¯, S(¯
x)+C) với mọi x ∈ S2 (¯
x), y ∈ T (x, x¯).
được gọi là bài toán tựa tối ưu α loại 2.
Trong lý thuyết tối ưu, bài toán tối ưu có liên quan mật thiết đến bài
toán cân bằng, với lớp bài toán cân bằng, ta xét bài toán cơ bản sau:
C. Bài toán điểm cân bằng vô hướng.

v


Cho D là tập con khác rỗng của không gian X, f : D × D → R,
f (x, x) = 0, ∀x ∈ D. Bài toán tìm x¯ ∈ D sao cho:
f (¯
x, y) ≥ 0, ∀y ∈ D.
Tương tự như bài toán tối ưu, người ta cũng xét các bài toán tựa cân
bằng, cụ thể là các bài toán sau.
D. Bài toán tựa cân bằng lý tưởng đơn trị loại 1.

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập
con khác rỗng và C là nón trong Z. Xét các ánh xạ đa trị S, T : D ×K ⇒
D và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z thỏa mãn F (y, x, x) ∈ C, với
mọi (x, y) ∈ D × K.
Tìm (¯

x, y¯) ∈ D × K thỏa mãn:
i) x¯ ∈ S(¯
x, y¯);
ii) y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
iii) F (¯
y , x¯, x) ∈ C, với mọi x ∈ S(¯
x, y¯).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng loại 1 và được ký hiệu
là (IQEP 1).
E. Bài toán tựa cân bằng lý tưởng đơn trị loại 2.

Cho X, Y, Z và W là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂
W là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D,
S2 : D ⇒ E, T : K × D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị F : K × D × E ⇒ Y
. Tìm x¯ ∈ A sao cho: x¯ ∈ S1 (¯
x) và 0 ∈ F (y, x¯, x) với mọi x ∈ S2 (¯
x) và
y ∈ T (¯
x, x).
Bài toán này do các giáo sư Nguyễn Xuân Tấn, Đinh Thế Lục đưa ra
và gọi là bài toán tựa cân bằng lý tưởng loại 2 và kí hiệu là (IQEP 2).
Đối với lớp các bài toán bao hàm thức biến phân, ta xét một số bài
toán tiêu biểu sau:
F. Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 1

vi


Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập

con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S : D × K ⇒ D, T : D × K ⇒ K
với tập giá trị khác rỗng. Xét các ánh xạ đa trị F, G : K × D × D ⇒ Z .
Bài toán tìm x¯ ∈ X sao cho:
i) x¯ ∈ S1 (¯
x, y¯);
ii) y¯ ∈ T (¯
x, y¯);
iii) F (¯
y , x¯, x) ∈ G(¯
y , x¯, x¯) + C với mọi x ∈ S(¯
x, y¯).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 1 và
được lí hiệu là (IP 1). Các bài toán về tựa biến phân có thể tìm được
trong tài liệu [5]. Giáo sư Nguyễn Xuân Tấn cũng đặt ra bài toán tựa
biến phân như sau:
G. Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 2

Cho X, Y, Z và W là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂
W là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D,
S2 : D ⇒ E, T : K×D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị G, H : K×D×E → Y .Giả
sử C : K × D ⇒ Y là ánh xạ nón (tức là, với mọi (x, y) ∈ K × D, C(y, x)
là nón trong Y ). Bài toán: Tìm x¯ ∈ D sao cho:
i) x¯ ∈ S1 (¯
x);
ii) y¯ ∈ T (¯
x, x¯);
iii) G(y, x¯, x) ∈ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯) với mọi x ∈ S2 (¯
x) và y¯ ∈ T (¯
x, x¯).
được gọi là bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 2.

Việc phân lớp các bài toán như trên là do với các bài toán khác nhau
đều có phương pháp giải hữu hiệu, đặc biệt áp dụng cho từng bài toán.
Tuy nhiên, việc xét các bài toán ở mức tổng quát hơn cũng rất cần thiết
vì sẽ mang lại những hiểu biết sâu sắc hơn về các vấn đề, đặc biệt là
về các liên hệ giữa các bài toán rời nhau. Người ta còn phát biểu các
bài toán trên cho ánh xạ đa trị. Trong luận văn này, chúng ta sẽ xét bài
toán quan hệ biến phân loại 2, được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B,
A ⊆ X, B ⊆ Z. T : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị có giá trị khác
rỗng. Giả sử R(a, b, y) ⊂ A × B × Y là một quan hệ ba ngôi giữa a ∈
A, b ∈ B, y ∈ Y . Nếu ba phần tử này có quan hệ R nào đó, ta nói rằng
R(a, b, y) xảy ra hay R(a, b, y) ∈ R.
vii


Ta quan tâm tìm a
¯ ∈ A sao cho:
1) a
¯ là điểm bất động của S1 , tức là a
¯ ∈ S1 (¯
a);
2) R(a, b, y) xảy ra với mọi b ∈ S2 (¯
a), y ∈ T (¯
a, b).
Tương tự ta cũng có thể phát biểu bài toán quan hệ biến phân loại
1. Các bài toán này có liê quan chặt chẽ với các bài toán nêu trên.Ta ký
hiệu các bài toán này là (VR).
Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả chính về bài
toán quan hệ biến phân trên trong bài báo "An abstract problem in
variational analysis " của tác giả D.T.Luc [7]. Hầu hết các bài toán

của lý thuyết điều khiển tối ưu được liệt kê ở trên đều là trường hợp
riêng của bài toán quan hệ biến phân. Việc nghiên cứu bài toán quan hệ
biến phân cho ta một cách tiếp cận thống nhất trong việc nghiên cứu các
mô hình khác nhau của lý thuyết điều khiển tối ưu đa trị, lý thuyết cân
bằng và bao hàm thức biến phân. Kết quả chính được trình bày trong
luận văn là định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, Từ
đó với mỗi bài toán liên quan chúng ta sẽ nhận những điều kiện để tồn
tại nghiệm.
Luận văn chia làm 2 chương.
Chương 1 là chương chuẩn bị. Trong chương này người viết nêu lại
một cách ngắn gọn các khái niệm, tính chất của nón và ánh xạ đa trị
để tiện cho việc trình bày các kết quả chương sau. Các khái niệm này
có thể tìm được trong tài liệu [1] và các tài liệu khác về tối ưu véctơ.
Một số định lý cơ bản của lý thuyết tối ưu cũng được liệt kê ở phần cuối
chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi được các chứng minh của định
lý có trong chương sau. Các định lý này đều được chứng minh lại trong
luận văn, chúng có thể được tìm thấy trong các tài liệu tham khảo.
Chương 2 là phần chính của luận văn. Trong chương này, người viết
trình bày lại bài toán quan hệ biến phân, chứng minh một cách chi tiết
các định lý tồn tại, đồng thời đưa ra một số ví dụ về các bài toán liên
quan. Có thể nói bài toán quan hệ biến phân là bài toán tổng quát của
lý thuyết tối ưu bởi, với mỗi bài toán như bài toán tối ưu, bài toán cân
bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bằng cách trang bị một quan
hệ R thích hợp ta có thể đưa về bài toán (VR). Nội dung được trình bày
trong chương này gồm: Phát biểu bài toán quan hệ biến phân (VR), các
ví dụ có liên quan, các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan
hệ biến phân (VR).
Tiếp theo ta thiết lập một số điều kiện tồn tại nghiệm của các bài
toán: bài toán tối ưu loại 2, bài toán bao hàm thức tựu biến phân, bài
toán tựu cân bằng tổng quát bằng cách sử dụng định lý tồn tại nghiệm

viii


của bài toán quan hẹ biến phân (VR) (Định lý 2.3.6). Việc sử dụng định
lý này giúp cho việc chứng minh các định lý vè sự tồn tại của các bài
toán khác trong lý thuyết tối ưu được ngắn gọn và dễ hiểu.

ix


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Để phục vụ cho Chương 2, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản
giúp cho việc trình bày nội dung của chương 2 được rõ ràng. Trước hết,
ta nhắc lại các khái niệm vè nóm và ánh xạ đa trị.

1.1

Nón

Định nghĩa 1.1 Cho Y là không gian tuyến tính, C là một tập con
của Y . Ta nói C là nón có đỉnh tại gốc của Y nếu tc ∈ C với mọi
c ∈ C, t ≥ 0. Khi C − x là nón có đỉnh tại gốc, ta nói rằng C có đinht
tại x.
Trong luận văn này, chúng ta chỉ xét trường hợp nón có đỉnh tại điểm
gốc, tức là khi nói đến nón ta hiểu là nón có đỉnh tại gốc.
Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nón C được gọi là nón
đóng nếu C là tập đóng. Kí hiệu clC, intC, convC tương ứng là bao đóng,
phần trong và bao lồi của C. Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C) là phần trong
tuyến tính của C. Khi đó, nếu C là nón lồi thì l(C) là không gian con

tuyến tính lớn nhất nằm trong C ∪ (−C).
Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón C trong không gian
tôpô tuyến tính Y như sau:
Với x, y ∈ Y, x ≥C y nếu x − y ∈ C. Để đơn giản ta viết x ≥ y nếu
không có sự nhầm lẫn. Với x, y ∈ Y, x > y nếu x − y ∈ C l(C) và x
y
nếu x − y ∈ intC.
Ví dụ 1.1
i) Xét Y = Rn = x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ R, i = 1, . . . , n.
Với C = Rn+ = x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xi ≥ 0, i = 1, . . . , n thì C là nón
lồi, đóng trong Y và được gọi là nón orthant tương đương trong Rn .
Với C = x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xi ≥ o, i = 1, . . . , n thì C là nón lồi
nhưng không đóng trong Y . Tập C = x1 > 0 ∪ x1 = 0, x2 > 0 ∪ . . . ∪
1


x1 = x2 = . . . = xn−1 = 0, xn > 0 cũng là một nón trong Y và được
gọi là nón theo quan hệ từ điển.
ii) Xét Y = { (x1 , . . . , xn , . . .) có hữu hạn phần tử khác 0 }.
Tập C ={ (x1 , . . . , xn , . . .) có phần tử khác 0 cuối cùng là không âm
} là nón trong Y và được gọi là nón trải khắp.
Tiếp theo ta xét một số khái niệm về các loại điểm hữu hiệu. Đây là các
khái niệm nền tảng của tối ưu véctơ.
Định nghĩa 1.2 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh
bởi nón C. Xét A là một tập con của Y, A = ∅, Y . Cho a ∈ A.
i) Điểm a
¯ được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C
nếu a
¯ ≤C a với mọi a ∈ A. Kí hiệu tập tất cả cá điểm hữu hiệu lý
tưởng của A đối với nón C là Imin(A, C) khi và chỉ khi A ⊆ a

¯ + C.
ii) Điểm a
¯ được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C nếu
a
¯ ≥C b với b nào đó, thì b ≥C x¯. Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu
hiệu Pareto của A đối với nón C là M in(a, C). Ta có a
¯ ∈ M in(A, C)
khi và chỉ khi A ∩ (¯
a − intC) = ∅.
iii) Điểm a
¯ được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C(intC =
∅ và C = Y . Nếu a
¯ là điểm hữu hiệu Pareto đối với hình nón
C0 = int(C ∪ {0}). Kí hiêu tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là
W M in(A, C). Ta có a
¯ ∈ M in(A, C) khi và chỉ khi A ∩ (¯
a − intC) =
∅.
iv) Điểm a
¯ được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C
nếu tồn tại hình nón lồi K khác Y sao cho C \ {0} ⊂ intK và
a
¯ ∈ M in(A, K). Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu thực sự của
A đối với nón C là Pr Min(A,C). Ta có a
¯ ∈ P rM in(A, C) khi và
chỉ khi A ∩ (¯
a − K) = a
¯.
Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu:
IM in(A, C) ⊆ P rM in(A, C) ⊆ M in(A, C) ⊆ W M in(A, C)

Ví dụ 1.2 Xét Y = R2 , C = R2+ , A = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ 0 ∪
(x, y) : x ≥ 0, −1 ≤ y ≤ 0. Ta có:
IM in(A, C) = ∅;
M in(A, C) = (x, y) : x2 + y 2 = 1, x < 0, y < 0 ∪ (0, −1), (−1, 0);
W M in(A, C) = M in(A, C) (0, −1), (−1, 0).
Với B = A ∪ (−2, −2) thì ta có
IM in(B, K) ⊆ P rM in(B, C) ⊆ M in(B, C) ⊆ W M in(B, C)
2


1.2

Ánh xạ đa trị

Trong thực tế ta gặp rất nhiều bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta định nghĩa ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3 Cho X, Y là hai tập bất kì và tập các tập con của Y kí
hiệu là 2Y . Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X, F (x)
là một tập con của Y . Kí hiệu F : X ⇒ Y .
Nhận xét 1.1 Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử
của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí
hiệu F : X ⇒ Y hay F : X ⇒ 2Y bằng ký hiệu quen thuộc F : X → Y .
Để cho thống nhất, trong luận văn này ta sử dụng ký hiệu F : X ⇒ Y .
Ví dụ 1.3 Ánh xạ F : Rn ⇒ Rn xác định bởi:
F (x) = {y ∈ Rn : || x − y ≤ 1}
là một ánh xạ đa trị trên Rn , nó biến mỗi điểm thành một hình cầu đóng
tâm x bán kính bằng đơn vị.
Định nghĩa 1.4 Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) domF , đồ thị GraphF
của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được định nghĩa như sau:
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅}

Graph = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ domF, y ∈ F (x)}
Định nghĩa 1.5 Giả sử X, Y là các không gian véctơ tôpô. Bao lồi,
bao đóng của ánh xạ F lần lượt được ký hiệu là ConvF, ClF được định
nghĩa bởi:
ConvF = {y ∈ Y : (x, y) ∈ conv(GraphF ), ∀x ∈ X}
¯
ClF = {y ∈ Y : (x, y) ∈ GraphF
, ∀x ∈ X}
¯
Trong đó, conv(GraphF ).GraphF
lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứa
GraphF và bao đóng của tập GraphF .
Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F −1 : X ⇒ Y được xác định
bởi:
F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x), ∀y ∈ Y }
Định nghĩa 1.6 Giả sử X, Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là
một ánh xạ đa trị.
i) F được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu GraphF là tập
đóng (tương ứng mở) trong không gian tôpô tích X × Y .
3


ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng (mở) nếu F (x) là tập đóng
(mở) với mọi x ∈ domF .
iii) Nếu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọi là ánh xạ có
giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi, với mọi x ∈ X.
iv) F được gọi là ánh xa compact nếu F (x) là tập compact trong Y
với mọi x ∈ X.
Nhận xét 1.2 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô F : X ⇒ Y là
ánh xạ đa trị. Ta có các tính chất sau:

i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng.
ii) F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy xβ → x, yβ ∈ F (xβ ) và
yβ → y thì ta có y ∈ F (x).
Ví dụ 1.4 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

[−1, 1], x = 0
0,
x=0

(1.1)

Lấy lưới (xn , yn ) ∈ GraphF bất kỳ (xn , yn ) → (¯
x, y¯).
Vì (xn , yn ) ∈ GraphF nên yn ∈ F (xn ) hay yn = [−1, 1] với mọi n. Do
đoạn [−1, 1] là compact và yn → y¯ nên y¯ ∈ [−1, 1].
Trường hợp 1: nếu xn → x¯ = 0 thì F (¯
x) = [−1, 1]. Do đó y¯ ∈ F (¯
x)
hay (¯
x, y¯) ∈ GraphF .
Trường hợp 2: nếu xn → x¯ = 0 thì tồn tại N > 0 sao cho x¯ = 0 với
mọi n ≥ N . Do yn ∈ F (xn ) và F (xn ) = 0 hay (¯
x, 0) ∈ GrpahF .
Vậy GraphF đóng.
Ví dụ 1.5 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

(−1, 1), x = 0
0,

x=0

(1.2)

F không phải là ánh xạ đơn trị đóng vì:
1
1
1
1
,1 −
∈ GraphF và → 0, 1 − → 1
n
n
n
n
nhưng (0, 1) ∈
/ GraphF .
Định nghĩa 1.7 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô. C là nón lồi.
Ta nói ánh xạ đa trị F là:
i) Ánh xạ đa trị C− lồi nếu {(x, y)|y ∈ F (x) + C} là tập lồi trong
không gian tích X × Y .
4


ii) Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X.
Nhận xét 1.3 Giả sử X, Y là các tập lồi trong không gian tuyến tính.
Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là C−lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ X
và t ∈ [0, 1] thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C

(1.3)

Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là GraphF là lồi. Lấy
hai phần tử x1 , x2 bất kỳ sao cho y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ), khi đó
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ GraphF . Với t ∈ [0, 1], do GraphF lồi nên
(x, y) = (tx1 + (1 − t)x2 , ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ GraphF + (X × C)
Suy ra, ty1 + (1 − t)y2 ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) đúng với mọi y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈
F (x2 ).
Vì thế : tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C Điều ngược
lại tương tự.
Trường hợp ánh xạ F là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f (x)} thì F là lồi khi:
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤C tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 )

(1.4)

Ta nhận thấy rằng (1.3) tương thích với (1.4). Thật vậy, giả sử f : X ⇒ R
là ánh xạ đơn trị. Hàm epif = F được xác định bởi:
F (x) = f (x) + R+ = {f (x) + α, α ≥ 0}
Ví dụ 1.6 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) = {y ∈ R : y ≥ x2 }
là ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.7 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

0,
x=0
[−1, 1], x = 0

không phải là ánh xạ đa trị lồi vì lấy x2 = −x1 , x1 > 0 và t =

(1.5)
1
2

Khi đó ta có
1
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) = {[−1, 1] + [−1, 1]}
2
1
= [−2, 2]
2
F (tx1 + (1 − t)x2 ) = F (0) = {0}
5


1.3

Tính liên tục theo nón

Cho X, Y là 2 không gian véctơ tôpô lòi địa phương F : X ⇒ Y là
một ánh xạ đa trị. Ta sẽ nhắc lại một số định nghĩa được đưa ra bởi
Berge. (Xem trong [1]).
i) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mọi tập
mở V ⊂ Y thoả mãn F (x) ⊂ V thì tồn tại một lân cận mở U ⊂ X
của x sao cho F (U ) ⊂ V . F được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c)
trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X.
ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu với mọi tập
mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅ thì tồn tại một lân cận mở
U ⊂ X của x sao cho F (u) ∩ V = ∅, ∀u ∈ U . F được gọi là nửa liên
tục dưới (l.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X.

iii) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu F vừa là nửa liên tục
trên vừa là nửa liên tục dưới tai x. Nếu F liên tục tại mọi điểm
x ∈ X thì ta nói F liên tục trên X.
Khi xét ánh xạ đa trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên
tục dưới là trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết. Ví dụ
sau chỉ ra sự khác nhau giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên
tục dưới cửa ánh xạ đa trị.
Ví dụ 1.8 Xét F, G : R ⇒ R là hai ánh xạ đa trị được xác định như
sau:
F (x) =

[0, 1], x = 0
0,
x=0

(1.6)

G(x) =

0,
x=0
[0, 1], x = 0

(1.7)

Dễ thấy, ánh xạ F là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không nửa
liên tục dưới tại x = 0. Ánh xạ G là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng
không là nửa liên tục trên tại x = 0.
Ta có các tính chất sau:
i) Cho F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy xβ →

x, yβ → y thì y ∈ F (x). Ngược lại, nếu F (x) là tập đóng và mọi dãy
xβ → x, yβ ∈ F (xβ ) kéo theo yβ → y ∈ F (x) thì F là nửa liên tục
trên tại x.
6


ii) Cho F : X ⇒ Y, F (x) là compact và F (x) = ∅. Khi đó, F là nửa
liên tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi dãy xβ → x, yβ ∈ F (x)
đều tồn tại yβ ∈ F (xβ ) để yβ → y.
Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương.
D là tập con của X, D = ∅. Giả sử C là một nón trong Y và F : X ⇒ Y
là một ánh xạ đa trị. Ta có các định nghĩa sau:
i) F là C-liên tục trên (tương ứng C- liên tục dưới) tại x0 ∈ X nếu
với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X
sao cho:
F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C(F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C)
Với mọi x ∈ U ∩ domF .
ii) F là C-liên tục tại x0 nếu F đồng thời là C-liên tục trên và là C-liên
tục dưới tại x0 .
iii) F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trên D ⊆ X
nếu F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi
x ∈ D.
Chú ý 1.1
i) Nếu ánh xạ F là đơn trị khi hạn chế trên D ⊆ X thì tính Cliên tục trên, C-liên tục dưới của F là trùng nhau, và ta nói F
là C-liên tục. Tức là, F là C-liên tục tại x0 ∈ D nếu với mọi lân
cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho:
F (x) ∈ F (x0 ) + V + C(F (x0 ) ∈ F (x) + V − C), x ∈ U ∩ domF .
ii) Nếu Y = R, C = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} thì ánh xạ đa trị F là
C-liên tục tại x0 khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại
một ánh đa trị F là (−C)-liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi F là

nửa liên tục trên tại x0 (với ((−C) = R = {x ∈ R : x ≤ 0})
Cho F : D ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và C ⊂ Y là một nón lồi đóng.
Khi đó:
1) Nếu F là C-liên tục tại x0 ∈ domF và F (x0 )+C là tập đóng thì với
mọi dãy xβ → x0 , yβ ∈ F (x0 ) + C, yβ → y0 . Ngược lại, nếu F là compact
và với mọi dãy xβ → x0 , yβ ∈ F (x0 ) + C, yβ → y0 ta có y0 ∈ F (x0 ) + C
thì F là C-liên tục trên tại x0 .

7


2) Nếu F (x0 ) là compact và là C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF thì
với mọi dãy xβ → x0 , y0 ∈ F (x0 ) + C đều tồn tại dãy {yβ }, yβ ∈ F (xβ )
và dãy con {yβ γ } sao cho yβ γ − y0 → c ∈ C. Ngược lại, nếu F (x0 ) là
tập compact và với mọi dãy xβ → x0 , yβ ∈ F (xβ ) + C đều tồn tại dãy
{yβ }, yβ ∈ F (xβ ) và một dãy con {yβ γ } sao cho yβ γ − y0 → c ∈ C thì F
là C-liên tục dưới tại x0 .

1.4

Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.9 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D là tập
con lồi của X. Giả sử C là một nón lồi trong Y, F : X ⇒ Y là một ánh
xạ đa trị.
i) F là C-lồi trên (tương ứng C-lồi dưới) nếu
αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C
(tương ứng F (αx + (1 − α)y) + C ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C
Với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
ii) F được gọi là C-tựa lồi trên D nếu với mọi t ∈ [0, 1],

hoặc
F (x1 ) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C
hoặc
F (x2 ) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C
luôn đúng với mọi x1 , x2 ∈ D.
Chú ý 1.2 a) Nếu F : D ⇒ Y là ánh xạ đơn trị thì tính C-lồi trên và
C-lồi dưới trùng nhau và gọi là C-lồi. Nếu Y = R, C = R+ thì ta có khái
niệm hàm lồi theo nghĩa thông thường.
b) Nếu F : D ⇒ Y là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-tựa lồi trên và
C-tựa lồi dưới trùng nhau và gọi là C-tựa lồi. Tức là F là C-tựa lồi trong
D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] ta có
hoặc
F (x1 ) ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C (hayF (x1 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 ))
hoặc
F (x2 ) ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C (hayF (x2 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 ))
luôn đúng.
Trong trường hợp Y − R, C = R+ thì ta có F là C-tựa lồi tức là
F (x1 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 ) hoặc F (x2 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 ) với mọi
x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] nên F (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ M ax{F (x1 ), F (x2 )}. Khi
đó, F là hàm tựa lồi theo nghĩa thông thường.
8


1.5

Tính đơn điệu

Định nghĩa 1.10
i) Cho X là một không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D ⊂ X là
một tập con. Hàm số f : D × D → R được gọi là đơn điệu nếu

f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D.
ii) Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff,
D ⊂ X là một tập con, C là một nón trong Y . Ta nói ánh xạ
F : D×D → Y là đơn điệu đối với nón C nếu F (x, y)+F (y, x) ∈ −C
với mọi x, y ∈ D.
Định nghĩa 1.11
i) Cho X là một không gian tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X là
một tập con. Hàm số f : D × D → R được gọi là tựa đơn điệu nếu
f (x, y) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D ta suy ra f (y, x) ≤ 0.
ii) Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X, K ⊂ Y là
các tập con khác rỗng, C ⊂ Z là một nón.
Cho ánh xạ đa trị F : Z × D × D ⇒ Z. Ta nói F là T -tựa đơn điệu
đối với C nếu {x1 , x2 , . . . , xn } ∈ D và x ∈ co{x1 , x2 , . . . , xn } đều tồn
tại i ∈ {1, . . . , n} để F (y, xi , x) ≥ F (y, x, x) với mọi y ∈ T (xi , x)

1.6

Một số định lý bổ trợ

Ta sẽ nhắc lại một số định lý bổ trợ cho việc chứng minh ở các
chương sau như định lý KKM-Fan, định lý về sự giao hữu hạn của một
tập compact, các định lý về điểm bất đông, . . .
Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị
F : A ⊂ X ⇒ X được gọi là ánh xạ KKM trên A nếu với mọi tập con
hữu hạn {a1 , a2 , . . . , an } ⊂ A và với mọi phần tử a trong bao lồi của
{a1 , a2 , . . . , an } ta có thể tìm được chỉ số k sao cho a ∈ F (ai ), tức là
x∈ m
i=1 F (ai ).
Định lý 1.1. . [3] Định lý KKM-Fan
Giả sử X là không gian véctơ tôpô, A ⊂ X là tập lồi khác rỗng và

F : A ⇒ A là ánh xạ KKM với tập giá trị đóng. Nếu A là compact thì
ta có x∈A F (x) = ∅
Định lý 1.2. . [3] Tính chất giao hữu hạn của các tập compact
Cho một họ các tập compact {Ci : i ∈ I}. Nếu với mọi tập hữu hạn các
9


phần tử của họ có điểm chung thì giao của họ cũng có điểm chung, tức
là x ∈ i∈I Ci = ∅ và ta gọi họ {Ci : i ∈ I} là có tính chất giao hữu
hạn.
Định lý 1.3. . [3] Định lý điểm bất động của Kakutani-Fan
Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A là tập lồi, compact,
khác rỗng trong X. Ánh xạ F : A ⇒ A là ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên, F có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D, x¯ ∈ F (¯
x)
(tức x¯ là điểm bất động của F ).
Định lý 1.4. . (Browder [2])Định lý điểm bất động của Fan-Browder
Cho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A ⊂ X là tập lồi compact,
khác rỗng. Cho F : A ⇒ A là ánh xạ đa trị với A = a∈A intG−1 (a).
Khi đó tồn tại a
¯ ∈ A sao cho a
¯ ∈ coG(¯
a).

10


Chương 2
Bài toán quan hệ biến phân và một
số vấn đề liên quan

Trong chương này chúng tôi trình bày về bài toán quan hệ biến phân,
kí hiệu là (VR) (variational telation) và được GS. Đinh Thế Lục nghiên
cứu trong tài liệu [7]. Bài toán này cho ta một cách tiếp cận thống nhất
để nghiên cứu các mô hình khác nhau của lý thuyết tối ưu đa trị, lý
thuyết cân bằng và bao hàm thức biến phân, Một trong các kết quả
quan trọng của Chương 2 là định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán
quan hệ biến phân (Định lý 2.3.6). Kết quả của định lý này được sử
dụng để suy ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
trong lý thuyết tối ưu.

2.1

Bài toán quan hệ biến phân

Trong suốt mục này, ta luôn xét A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét
S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, S3 : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị có giá
trị khác rỗng. Giả sử R(a, b, y) ⊂ A × B × Y là một quan hệ ba ngôi
giữa a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y . Nếu ba phần tử này có quan hê R ta nói rằng
R(a, b, y) xảy ra.
Định nghĩa 2.1 Bài toán tìm a
¯ ∈ A sao cho
i) a
¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a
¯ ∈ S1 (¯
a);
ii) Quan hệ R(a, b, y) xảy ra với mọi b ∈ S2 (¯
a) và y ∈ T (¯
a, b) được gọi
là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR).
Trong đó, các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T được gọi là ánh xạ ràng buộc và

quan hệ R là một quan hệ biến phân. Điểm a
¯ thỏa mãn điều kiện 1 và
2 dược gọi là nghiệm của bài toán (VR). Tập các nghiệm của bài toán
(VR) kí hiệu là Sol(VR).
11


Dưới đây ta xét một số ví dụ về các bài toán cơ bản được suy ra từ
bài toán quan hệ biến phân.
Ví dụ 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ X0 sao cho f (x) → min. Trong đó: f : Rn → R
f (x) = cT x = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn
x = (x1 , x2 , . . . , xn ), cT = (c1 , c2 , . . . , cn ).
Tập ràng buộc X0 = {x ∈ R : A x ≤ b , Cx = d} với


 
a11 a12 . . . a1n
b1
a

 21 a22 . . . a2n 
.
A =  ..
.. . . . ..  , b =  .. 
 .
.
. 
bm

am1 am2 . . . amn


 
c11 c12 . . . c1n
d1
c c . . . c 
2n 
 21 22
.
C =  ..
.. . . . ..  , d =  .. 
 .
.
. 
dk
ck1 ck2 . . . ckn


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ≤ b1 ,





..............................



a x + a x + . . . + a x ≤ b ,

Ax ≤b
m1 1
m2 2
mn n
m
⇔

c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = d1 ,
Cx = d





..............................



c x + c x + . . . + c x = d .
k1 1
k2 2
kn n
k
Với mọi a ∈ A, b ∈ B, đặt
A = B = Rn , S1 (a) = Rn ,
S2 (a) = {x ∈ R : A x ≤ b , Cx = d},
T (a, b) = {b}.
Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu f (a) ≤ f (y) với mọi y ∈ T (a, b).
Như vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán (VR).

Ví dụ 2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến
Cho X ⊆ Rn , f, g, h là các hàm thực xác định trên tập X và tập
D = {x ∈ X : g(x) ≤ 0, h(x) = 0.}
12


Bài toán quy hoạch phi tuyến được phát biểu như sau:
Tìm x¯ ∈ X sao cho f (¯
x) ≤ f (x) với mọi x ∈ D
Đặt A = B = Y = X, S1 (a) = X.S2 (a) = {x ∈ X : g(x) ≤ 0},
h(x) = 0, T (a, b) = {b} và quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu f (a) ≤ f (b) đúng với mọi y ∈ T (a, b).
Như vậy bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán (VR).
Ví dụ 2.3 Bài toán tối ưu chứa tham số
Giả sử X, Ω, Λ là các tập khác rỗng, f là hàm thực xác định trên X hai
họ hàm thực g(x, ω), ω ∈ Ω ,h(x, λ), λ ∈ Λ và tập
D = {x ∈ X : g(x, ω) ≤ 0, h(x, λ) = 0, ∀ω ∈ Ω, ∀λ ∈ Λ}.
Bài toán tối ưu kí hiệu là (OP) phát biểu như sau:
Tìm x¯ ∈ X sao cho f (x) − f (¯
x) ≥ 0 với x ∈ X thỏa mãn g(x, ω) ≤ 0
với mọi ω ∈ Ω và h(x, λ) = 0 với moi λ ∈ Λ.
Đặt A = B = Y = X, S1 (a) = X.
S2 (a) = {x ∈ X : g(x, ω) ≤ 0, ∀ω ∈ Ω}, h(x, λ) = 0, ∀λ ∈ Λ, T (a, b) =
{b} với mọi a, b ∈ A.
Ta định nghĩa một quan hệ R như sau:
R(a, b, y) xảy ra nếu f (y) − f (a) ≥ 0 với mọi y ∈ T (a, b).
Như vậy, bài toán (OP) là trường hợp riêng của bài toán (VR) với
quan hệ R được định như trên.
Ví dụ 2.4 Bài toán cân bằng
Giả sử X là một tập khác rỗng φ : X × X → R. Bài toán cân bằng phát

biểu như sau:
Tìm x¯ ∈ X sao cho φ(¯
x, y) ≥ 0, ∀y ∈ X.
Đặt A = B = Y = X, S1 (a) = X, S2 (a) = X và T (a, b) = {b}. với
mọi a ∈ A, b ∈ B.
Ta định nghĩa quan hệ R như sau: R(a, b, y) xảy ra nếu φ(a, b) ≥ 0 với
mọi y ∈ T (a, b).
Như vậy bài toán (EP) là trường hợp riêng của bài toán (VR) với
quan hệ R được định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.5 Bài toán bao hàm thức biến phân
Giả sử A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét F, G là hai áh xạ đa trị xác
định trên A × B × Y lấy giá trị trên không gian Z.
Bài toán bao hàm biến phân được kí hiệu là (VIP) phát biểu như sau:
Tìm a
¯ ∈ A sao cho a
¯ ∈ S1 (¯
a) và F (¯
a, b, y) ⊆ G(¯
a, b, y) với mọi
b ∈ S2 (¯
a) và vơi y ∈ T (¯
a, b).
A = B = Y = X, S1 (a) = X, S2 (a) = X và T (a, b) = {b}. với mọi
a ∈ A, b ∈ B.

13


Ta định nghĩa một quan hệ R như sau:
R(a, b, y) xảy ra nếu F (a, b, y) ⊆ G(a, b, y) với mọi b ∈ S2 (a), y ∈

T (a, b).
Như vậy, bài toán (VIP) là trường hợp riêng của bài toán (VR) với
quan hệ R được định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.6 Bài toán bao hàm thức vi phân
Giả sử A ⊆ C 1 [0, 1], B ⊆ C[0, 1] là các tập khác rỗng, (trong đó C 1 [0, 1], C[0, 1]
là các không gian các hàm liên tục và có đạo hàm cấp 1 liên tục trên
[0, 1]). Xét S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, U : A × B ⇒ Ω là các ánh xạ đa trị.
Đặt Y = Ω × R và T : A × B ⇒ Y là ánh xạ đa trị cho bởi T (a, b) =
U (a, b) × [0, 1].
Cho ánh xạ đa trị F : A × B × Y ⇒ C[0, 1]. Bài toán bao hàm thức
được phát biểu như sau:
Tìm a
¯ ∈ A sao cho a
¯ ∈ S1 (¯
a) và a
¯ ∈ F (¯
a, b, ω, t), với mọi b ∈
S2 (¯
a), ω ∈ U (¯
a, b), t ∈ [a, b].
Ta định nghĩa một quan hệ R như sau:
R(a, b, y) xảy ra nếu a ∈ F (a, b, ω, t).
Như vậy, bài toán bao hàm thức vi phân là trường hợp riêng của bài
toán (VR) với quan hệ R được định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.7 Bài toán tựa cân bằng
Giả sử X là không gian tôpô, C là một tập con đóng của không gian véctơ
tôpô Z với intC = ∅, các ánh xạ đa trị S, G : X ⇒ X và F : X ×X ⇒ Z.
Bài toán tựa cân bằng kí hiệu là (QEP) được phát biểu như sau:
Tìm a
¯ ∈ A sao cho:

1) a
¯ là điểm bất động của clS, tức là a
¯ ∈ clS(¯
a);
2) F (b, y) ⊆ Z − intC với mọi b ∈ S2 (a), y ∈ T (a, b).
Như vậy, bài toán (QEP) là trường hợp riêng của bài toán (VR) với
quan hệ R được định nghĩa như trên.
Giả sử, X là không gian tôpô, A ⊆ X, ánh xạ S : X ⇒ X và
f : X × X ⇒ Z với mỗi a ∈ A, C(a) là tập con của không gian véctơ
tôpô Z. Một dạng khác của (QEP) là (QEP’) được phát biểu như sau:
Tìm a
¯ ∈ A sao cho
1) a
¯ ∈ S(¯
a); 2)f (¯
a, b) ∈ Z − intC(¯
a) với mọi b ∈ S(¯
a).
Đặt A = B = Y = X, S1 (a) = X, S2 (a) = S(a) và T (a, b) = {b}. với
mọi a ∈ A, F (x, b, y) = {f (x, b)} và G(x, b, y) = {Z − intC(x)}.
Như vậy, bài toán (QEP*) là trườngng hợp riêng của bài toán (VIP).
Ta xét bài toán (QEP*) là bài toán bổ trợ cho bài toán (QEP’), ở
đây −intC(¯
a) được thay bởi −clC(¯
a). Cụ thể:

14