Báo cáo vật lý thống kê trạng thái boson einstein và ứng dụng thực tiễn (báo cáo điểm 9.6 trên lớp)

BÁO CÁO VẬT LÝ THỐNG KÊ


THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN VÀ ỨNG DỤNG


1.Định nghĩa các loại hạt Bose .
Trong cơ học lượng tử, một nhóm các hạt mà có "spin nguyên"
(0,1,2...) được gọi là Bose . Ví dụ: photon, gluon, Higgs Bose …
Bose gồm 4 loại tương ứng với 4 loại tương tác cơ bản là:
- Graviton - tương tác hấp dẫn
- Gluon - tương tác mạnh
- Photon - hạt truyền tương tác điện từ
- W Bose và Z Bose tương tác yếu


1.Định nghĩa các loại hạt Bose .
Gluon - tương
tác mạnh

Photon - hạt
truyền tương
tác điện từ

W Bose và Z
Bose tương
tác yếu

Tương tác giữa trường Higgs mà
vật chất mang khối lượng
Graviton - tương tác hấp

dẫn


2. Tính chất của hạt Bose .
 Là

hệ hạt đồng nhất.
 Chúng tuân theo thống kê Bose – Einstein.
 Hàm sóng kết hợp với Bose là hàm đối xứng.pptx.
-Các hạt Bose không.pptx tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli ( vì theo
nguyên lý Pauli thì các hạt điện tích bất kỳ có spin bán nguyên không thể
chiếm trạng thái lượng tử, còn Bose có spin nguyên nên có thể chiếm
trạng thái lượng tử) nghĩa là số hạt trong 1 mức năng lượng từ
Nguyên tắc loại trừ Pauli " một nguyên tử không thể có hai electron
trong trạng thái lượng tử. Nguyên tắc này làm cho rất nhiều các kiến ​
thức sau đó được biết đến cấu trúc nguyên tử trở nên trật tự ".


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
a/ Thống kê lượng tử cho hệ hạt đồng nhất như nhau.
∞
 Xét hệ có N hạt giống nhau, số hạt: N =
n , n là số hạt

∑

i

i =0
chiếm đầy trên mức năng lượng thứ i.

∞
 Năng lượng toàn phần của hệ:
En = ∑niε,i , ε là năng
i
i =0 i.
lượng tương ứng với số hạt chứa ở mức

với:

Wn =

1
ψ − EN 
exp  N
÷
N!
θ


∞

ψN =Ω+ µN =Ω+ µ∑ni

Nếu hệ cân bằng µ = µ1 = µ2 = ... = µi
∞
∞

 Ω+ µ∑ni − ∑niεi
1
i =0

i =0
⇔Wn =
exp 
N!
θ




i =0

∞


÷ 1
 Ω+ ∑( µ − εi ) ni
i =0
÷=
exp 
θ
÷ N!

÷




gọi là phân bố chính tắc lớn lượng tử Gibbs.



÷
÷
÷
÷



3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.

Điều kiện chuẩn hóa:
∞

W
∑
n=
o

n

=1

∞

+∑
( µ−εi ) ni
Ω
∞
i=
0


⇔
exp
∑
θ

n=
0




÷
÷
=1
÷
÷


 ∞
µ−εi ) ni
(
∑

∞
Ω

i=
0

⇔

exp 
exp
∑ 
÷
θ
θ n =0


Gọi
 ∞

µ−εi ) ni ÷
(
∑

1
÷
Z =
exp  i =0
N!
θ

÷

÷




÷

÷
=1
÷
÷



3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
Trường hợp hệ có suy biến

g n ( En )


 ∑ ( µ − ε i ) ni
1
i =0

Z=
exp

N!
θ


∞

Ta có:

∞


 Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni
1
i =0
Wn = exp

N!
θ





∞
.g  n ε 
n ∑ i i
  i =0





∞

 g  n ε 
i i
 n∑
i =0




3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
 ∞

g n  ∑ ni ε i 
Ta đặt:

G ( n0 , n1 ,..., ni ) =  i =0
N!
∞

 Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni
i =0
⇒ Wn = exp

θ





G ( n , n ,..., n )
0
1
i




ni = ∑ ... ∑ niWn
no

ni

∞

 Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni
i =0
⇔ ni = ∑ ... ∑ ni exp

θ
no
ni





G ( n , n ,..., n )
0
1
i





3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
b/ Điều kiện chuẩn hóa Z của hệ Bose

Đối với hệ Bose: G ( n0 , n1 ,..., ni ) = 1
∞

∞

∑ ... ∑W ( n ,..., n ) = 1

n0 = 0

ni = 0

0

i

∞


 Ω + ∑ ni ( µ − ε i ) 
∞
∞
i =0
 =1
⇔ ∑ ... ∑ exp


θ
n0 = 0 ni = 0





 ∞

 ∑ ni ( µ − ε i ) 
∞
∞

Tổng trạng thái Z B = ∑ ... ∑ exp i = 0


θ
n0 = 0 ni = 0






3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
c/ Sự phân bố số hạt
Thế nhiệt động: Ω =

−θ ln Z

∂Ω
∂
1 ∂Z
= −θ
ln

Z
=
−
θ
.
.
(
)
∂µi
∂µi
Z ∂µi
⇔

∂Ω
∂µi

∂Ω
⇔
∂µi

 ∞

ni ( µi − ε i ) ÷
∑

∞
∞
∂
Ω
÷G ( n0 ,..., ni )

= −θ exp  ÷∑ ...∑
exp  i =0
θ

÷
 θ  no =0 ni =0 ∂µi

÷


 ∞

n
µ
−
ε
∑
i ( i
i) ÷

∞
∞
n
Ω
 
÷G ( n0 ,..., ni )
= −θ exp  ÷∑ ...∑ i exp  i =0
θ

÷

 θ  no =0 ni =0 θ

÷




3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
 ∞

n
µ
−
ε
∑
i (
i
i) ÷

∞
∞
n
∂Ω
Ω
 
÷G ( n0 ,..., ni )
= −θ exp  ÷∑...∑ i exp  i =0
∂µi
θ


÷
 θ  no =0 ni =0 θ

÷


∞


Ω+
n
µ
−
ε
∑
i (
i
i) ÷

∞
∞
∂Ω
i =0
÷G ( n0 ,..., ni )
⇔
= − ∑...∑ ni exp 
∂µi
θ

÷

no =0
ni =0

÷


∂Ω
⇔
= −ni
∂µi

∂Ω
Vậy: ni = −∂µ
i


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
d/ Hàm phân bố Bose - Einstein
Đối với hệ khí Bose các hạt đồng nhất như nhau khi hoán
vị thì chỉ làm cho hàm sóng của hệ là đối xứng không cho
trạng thái vật lí mới nào

G ( no , n1 ,..., ni ) = 1

Số trạng thái chứa đầy trên một mức năng lượng ni = 0 → ∞
nhận giá trị bất kì
Ta có được công thức của sự phân bố số hạt:

∂Ω
ni = −

= f (ε )
∂µ i


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
Thế nhiệt động lượng tử cho hệ các hạt Bose là

Ω = ΩB −E = −θ ln Z B −E
Tổng trạng thái cho khí Bose
Z B−E

 ∞

 ∑ ni ( µ i − ε i ) 
∞ ∞
∞

= ∑∑ ... ∑ exp i =0


θ
n0 =0 n1 =0 ni =0





  n (µ − ε )   n (µ − ε ) 
 n (µ − ε )  
Z B− E = ∑ ∑ ... ∑ exp  0 0 0  +  1 1 1  + ... +  i i i  

θ
θ
θ
 



n0 = 0 n1 = 0 ni = 0

∞

∞

∞


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
Z B−E

 n0 ( µ 0 − ε 0 ) 
 ni ( µi − ε i ) 
 n1 ( µ1 − ε 1 ) 
= ∑ ∑ ... ∑ exp
. exp
... exp

θ
θ
θ







no =0 n1 =0 ni =0
∞

∞

∞

∞

∞

i =0

i =0

Ta có: ψ = ∑ψ1iψ 2 i ...ψ ni = ∏ψ ij
 n ( µ −εi ) 
Z B −E = ∑... ∑∏
exp i i

θ


n0 =0
ni =0 i =0

∞

Nên:

∞

∞

 n ( µ −εi ) 
ni = n0 →∏exp o i

θ


i =0
∞
 n ( µ −εi ) 
ni = n1 →∏exp 1 i

θ


i =0

∞

 ni ( µi −εi ) 
ni = ni →∏exp

θ



i =0
∞


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.

n0 = n1 = ... = ni
Z B −E

 n( µi −εi ) 
= ∏∑exp

θ


i =0 n =0
∞

∂Ω
ni = −
∂µi

∞

mà

Ω = −θ ln Z B − E

 ∞ ∞
 n ( µi − εi )
∂ ln Z B −E
∂
⇔ ni = θ
=θ
ln  ∏∑exp 
∂µi
∂µi 
θ

 i =0 n =o


÷÷
÷


2


(
)
(
)
(
)
n
µ
−

ε
n
µ
−
ε
n
µ
−
ε




i
i 
i
i 
i
i
exp
 = 1 + exp
 +  exp
  + ....
∑
θ
θ
θ




 

 
n =0
∞


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
Tổng này chứa một cấp số nhân vô hạn với cộng bội là
 µi − ε i 
q = exp

 θ 

a
số hạng đầu tiên a =1 →s =
1 −q

 n ( µi − εi ) 
1
exp
=

÷
∑
θ
n =0

 1 − exp  ( µi − εi ) 


÷
θ


∞
∂
1
⇒ni =θ
ln ∏
∂µi
 µ −εi 
i =0
1 −exp  i
÷
 θ

∞

∂
ln
∂µi

1
 µ −εi 
1 −exp  i
÷
 θ


∂

 µ −εi 
⇔ni =−θ
ln 1 −exp  i
÷÷
∂µi
θ



⇔ni =θ


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
⇔ni

⇔ni

⇔ni

⇔n1

1
∂ 
 µi −εi 
=−θ
−exp 

÷÷
θ
 µi −εi  ∂µi 



1 −exp 
÷
 θ 
 µi −εi  1
exp 
θ ÷

θ
=θ
 µ −εi 
1 −exp  i
÷
θ


 µi −εi 
exp 
θ ÷


=
 µ −εi 
1 −exp  i
÷
θ


1

=
 ε −µi 
exp  i
÷−1
 θ 


3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein.
Vậy hàm phân bố Bose - Einstein:
1
n1 ≡ f ( ε ) =
 ε i − µi
exp 
 θ


÷− 1


Nếu có suy biến:

1
f B−E ( ε ) =
 ε i − µi
exp 
 θ


÷− 1


g(ε)


4.Ý nghĩa của hàm phân bố Bose - Einstein.
a/ Ý nghĩa

Thống kê Bose –Einstein miêu tả tập hợp các hạt
không phân biệt được không tương tác với nhau ở vào một
lớp các trạng thái năng lượng rời rạc khác nhau ở
cân bằng nhiệt động.
Thống kê Bose –Einstein chỉ áp dụng cho các hạt
không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái,
hay các hạt không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli.
Những hạt này được các nhà vật lý gọi chung là các Bose .
Trong thống kê này phần lớn tương tác giữa các hạt bị bỏ
qua.
Ngược lại với thống kê này là thống kê Fermi-Dirac, áp
dụng cho các hạt spin bán nguyên và không phân biệt
được, chúng tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli.


4.Ý nghĩa của hàm phân bố Bose - Einstein.
b/ So sánh các phân bố Maxwell-Boltzmann, Bose - Einstein và
Fecmi – Đirrac lượng tử.
 Khác nhau: Đối với hệ lượng tử với 3 hệ hạt khác nhau ta
tìm được ba hàm phân bố khác nhau theo năng lượng:
Thống kê MAXWELLBOLTZMANN

 ε

exp −
 θ
ni = f M − B (ε ) =
Z
∞



 .g (ε )

Thống kê BOSE EINSTEIN

ni = f B − E (ε ) =

 εi 
.g (ε i )
 θ 

Với Z = ∑ exp −
i =1

g (ε )
ε −µ 
exp
 −1
 θ 

Thống kê FECMI –
ĐIRRAC

f F − D (ε ) =

g (ε )
ε − µ 
exp
 +1
 θ 

g (εlà) trọng số thống kê (hay độ suy biến) của các trạng thái lượng
tử có năng lượng khác nhau.


4.Ý nghĩa của hàm phân bố Bose - Einstein.
Sự khác nhau trong các hàm phân bố là do bản chất và do các tính chất
của các đối tượng vi mô diễn tả bởi một trong ba thống kê đó.

Hạt giống hệt nhau
nhưng phân biệt

Hạt giống hệt nhau có
spin nguyên nhưng
không thể phân biệt

Hạt giống hệt nhau có spin
bán nguyên nhưng không
thể phân biệt


4.Ý nghĩa của hàm phân bố Bose Einstein.
 Giống nhau:

Khi thỏa điều

ε −µ 
exp
kiện:  θ  >> 1 hay

 µ
Hay exp −  >> 1
 θ

f (ε )

Thì thống kê Bose - Einstein và
Fecmi – Đirắc chuyển thành thống
kê Maxwell-Boltzmann, nghĩa là ta
có thể coi thống kê MaxwellBoltzmann như trường hợp giới
hạn của hai thống kê lượng tử đó.

f B− E = f M −B = f F −D

ε − µ >> θ
Khi

ε − µ 
exp
 >> 1
 θ 

f B− E = f M −B = f F −D

ε


5.Ứng dụng

Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

Ngưng tụ Bose - Einstein (bec - Bose - Einstein
condensation) là một trạng thái vật chất của khí Bose
loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (
hay rất gần giá trị 0K hay − 2730C ).
Dưới những điều kiện này, một tỷ lệ lớn các Bose tồn
tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu
ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô. Những hiệu
ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.


5.Ứng dụng
Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

Ở nhiệt độ thấp tại
sao lại xảy ra hiện
tượng trên?