Đề thi Olympic 24 tháng 3 Quảng Nam 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM 2017
QUẢNG NAM



ĐỀ CHÍNH THỨC





Môn thi: TOÁN - LỚP 10 NC  2 ND  0
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm).

2 x 2  5 x  7  ( x  1) x  1  0
3
2
3
2
 x  xy  x  y  yx  y
Giải hệ phương trình 
 2 x  y  x  y  1  xy  3x  1

a) Giải phương trình
b)

Câu 2 (4,0 điểm).
a) Cho parabol (Phương pháp giải) có phương trình

y  x 2  3 x  1 , đường

thẳng d có phương trình y  (2m  1) x  2 và điểm M(3;3). Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A và
B sao cho tam giác MAB vuông cân tại M.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y

2x2  x  2
 1 có
x 2  2mx  1

tập xác định là R.
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn
thức:

x 2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
y
z
x
H 2
 2
 2
x  2 y  3 y  2z  3 z  2x  3

Câu 4 (4,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(3;-3) và đường thẳng d có
phương trình x - 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d tại

B(1;1) và đi qua A.
b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, H là
chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D và E lần lượt là hình chiếu vuông
góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và DE. Điểm A nằm trên đường
thẳng  có phương trình 2x - 3y - 4 = 0, phương trình đường thẳng DE là
3x + y - 2 = 0;

 7 5
M   ;   là trung điểm của BC, I có hoành độ nhỏ hơn 1,
 4 4

E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4. Tìm tọa độ 4 điểm A,
D, H, E.
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung
điểm của AD và BC.


a) Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho:

  
MD  MJ  0 và

  
NC  2 ND  0 . Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng.

b) Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác OAB và tam giác OCD. Chứng minh
HK vuông góc với IJ.
--------------Hết--------------

Họ và tên thí sinh:………………………………………..; Số báo danh:…………………