Hạng và định thức của ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Thị Thắm

HẠNG VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Thị Thắm

HẠNG VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

Chuyên ngành: Toán hình học
Mã số:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Th.S PHẠM THANH TÂM

Hà Nội – Năm 2016


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức cơ sở

3

1.1

Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số dạng ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Phép cộng hai ma trận . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Tích của hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . .

9

2 Hạng của ma trận

12

2.1

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Một số kết quả quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Phương pháp tính hạng của ma trận . . . . . . . . . .

19

2.3.1

Phương pháp tính bằng định nghĩa . . . . . . .

19

2.3.2

Phương pháp tính bằng định thức . . . . . . . .

20

2.3.3

Phương pháp tính nhờ các phép biến đổi sơ cấp

22

2.3.4

Phương pháp tính bằng cách đưa về ma trận

2.4

đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Ứng dụng của hạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.4.1

Hoàng Thị Thắm

Định lý Kronecker-Capelli về hệ phương trình
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4.2

Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.3

Tính hạng của hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . .

29

3 Định thức của ma trận

32

3.1

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2

Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.1

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

33

Định lý Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3.1

Định thức con và phần bù đại số . . . . . . . .

37

3.3.2

Định lý Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Các phương pháp tính định thức . . . . . . . . . . . .

39

3.4.1

Biến đổi định thức đưa về dạng tam giác . . . .

39

3.4.2

Khai triển định thức theo dòng hoặc cột . . . .

40

3.4.3

Sử dụng công thức truy hồi . . . . . . . . . . .

41

3.4.4

Đặt nhân tử chung . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.5

Sử dụng tính chất đa tuyến tính . . . . . . . . .

46

Ứng dụng của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.5.1

Giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . .

47

3.5.2

Tìm hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . .

48

3.5.3

Ứng dụng tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . .

49

3.5.4

Xét tính độc lập, phụ thuộc của một hệ vectơ .

51

3.3

3.4

3.5

Tài liệu tham khảo

54

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Lời cảm ơn

Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứu
các tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận cùng với sự giúp đỡ nhiệt
tình, tận tâm của giảng viên hướng dẫn ThS. Phạm Thanh Tâm. Nhân
dịp này, em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy. Sự động
viên tin tưởng của Thầy là nguồn động lực chính để tác giả hoàn thành
khóa luận này.
Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn các Thầy Cô giáo trong trường
ĐHSPHN2. Đặc biệt là các Thầy Cô giáo trong khoa Toán của trường
ĐHSPHN2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học Đại
học và thực hiện bản khóa luận này.
Tuy đã có nhiều những cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có
hạn, kiến thức còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa
được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi những sai sót. Em mong
nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Hoàng Thị Thắm

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập
và nghiên cứu.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, tên đề tài
không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Hoàng Thị Thắm

i


Mục lục

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học rất quan trọng và không ngừng phát
triển, nó có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống đồng thời người học
toán được rèn luyện tư duy. Một trong nhưng bộ môn là cơ sở của
toán học là đại số tuyến tính giúp chúng ta nhìn nhận một cách đầy
đủ và tổng quát các kiến thức liên quan trong toán học. Đại số tuyến
tính là bộ môn toán nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình
tuyến tính và các phép biến đổi trực giao giữa chúng. Nó là môn cơ sở
để nghiên cứu các kiến thức cơ bản khác của toán học như hình học
cao cấp, giải tích, toán kinh tế .... Ngoài ra còn ứng dụng trong một
số ngành nghiên cứu khoa học khác như vật lý, cơ lý thuyết, hóa học
và một số nghành kĩ thuật khác.
Hạng và định thức của ma trận là một trong những công cụ rất
quan trọng trong đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng trong toán
học. Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức toán
học một cách gọn gàng, sáng sủa, đồng thời sử dụng định thức còn là
phương pháp giải toán hiệu quả ví như trong việc giải quyết các bài
toán về giải hệ phương trình thì việc ứng dụng định thức hiệu quả
(phương pháp Crame).
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất, kết quả quan trọng về hạng và định
thức của ma trận. Từ đó đưa ra một vài ứng dụng.
3. Đối tượng nghiên cứu
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Nghiên cứu xung quanh vấn đề về hạng và định thức của ma trận.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đưa ra nội dung và tìm hiểu rõ hơn về hạng và
định thức của ma trận.
Nghiên cứu về hạng và định thức của ma trận đồng thời đưa ra các
ví dụ minh họa cho các phương pháp tính hạng và định thức đó.
Xây dựng các phương pháp tính hạng và định thức của ma trận.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách và nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hạng và định
thức của ma trận.
Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phần:
Mở đầu
Nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương 2: Hạng của ma trận.
Chương 3: Định thức của ma trận.
Kết luận

2


Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1

Ma trận

Định nghĩa 1.1.1. Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột gọi là ma
trận cỡ m × n, ký hiệu là : A = [aij ] hay A = [aij ]m×n trong đó: aij là
phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i và cột j.
Ví dụ 1.1.1.

A=

1 3
2 5




là ma trận cấp 2 × 2.
Nhận xét 1.1.1. Khi m = n thì ta gọi ma trận A là ma trận vuông
cấp n (gọi tắt là ma trận cấp n).




a
· · · a1n
 11

 .. . .

.
.

A= .
. . 


am1 · · · amn
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

a11 , a22 , ...,amn được gọi là các phần tử chéo.
Đường thẳng đi qua các phần tử chéo được gọi là đường chéo chính.
Nhận xét 1.1.2. Ma trận không: là ma trận mà tất cả các phần tử
của nó đều bằng không. Ma trận không ký hiệu là O.
Hai ma trận bằng nhau: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau,
ký hiệu A = B, nếu chúng cùng cỡ và các phần tử có cùng vị trí bằng
nhau.

1.2

Một số dạng ma trận đặc biệt

1. Ma trận chéo:
Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0
được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo).
2. Ma trận đơn vị:
Một ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo
chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, kí hiệu En .

3. Ma trận tam giác:
Ma trận vuông có các các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo
chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác.
4. Ma trận chuyển vị:
Cho ma trận A ∈ M at(m × n, K). Ma trận chuyển vị của ma trận
A, kí hiệu AT là ma trận mà trong đó vai trò của dòng và cột
hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng.
5. Ma trận khả nghịch - Ma trận nghịch đảo:
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Ma trận vuông A ∈ M at(n × n, K) là ma trận khả nghịch (hay
là một ma trận không suy biến) nếu có một ma trận vuông B ∈
M at(n × n, K) thỏa mãn: A.B = B.A = En . Khi đó B được gọi
là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là: B = A−1 . Nếu
A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy
nhất.
6. Ma trận đối xứng - Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT = A thì ta nói A là ma trận
đối xứng. Nếu AT = −A thì ta nói A là ma trận phản đối xứng.
Ví dụ 1.2.1.
Cho





2 4 1




A = 4 5 7


1 7 9

Ma trận A là ma trận đối xứng.
Ví dụ 1.2.2.
Cho





0 −5 −4




B = 5 0 −3


4 3 0
Ma trận B là ma trận phản đối xứng.
Định lý 1.2.3. Nếu A là ma trận đối xứng thì aij = aji , ∀i, j = 1, .., n.
Nếu A là ma trận phản đối xứng thì aij = −aji , ∀i, j = 1, .., n.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

Hoàng Thị Thắm

Phép toán trên ma trận

1.3.1

Phép cộng hai ma trận

Định nghĩa 1.3.1. Cho hai ma trận A, B ∈ M at(m × n, K). Ta gọi
tổng của ma trận A và B là một ma trận C = (cij ) ∈ M at(m × n, K)
được xác định bởi:

cij = aij + bij ; (i = 1, m; j = 1, n).

Kí hiệu A + B.
Tổng của A + (−B) được kí hiệu bởi A − B và gọi là hiệu của ma trận
A và B.
Như vậy, với A = (aij )m×n và B = (−bij )m×n ta có:

A − B = (aij − bij )m×n .
Mệnh đề 1.3.1. Cho A ∈ M at(m × n, K); α, β ∈ K. Khi đó:
1. Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A.
2. Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.

3. Tồn tại ma trận 0m×n sao cho: A + 0 = 0 + A = A.
4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (−A) = (−A) + A = 0.
5. Phép nhân vô hướng có tính phân phối:
α(A + B) = αA + αB; (α + β)A = αA + βB.
6. Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A+B)T = AT +B T .
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

7. (k1)A = k(1A).
8. 1.A = A, (1 là đơn vị của trường K), ∀ A, B, C ∈ M at(m ×
n, K),∀ k, 1 ∈ K.
Nói tóm lại, với phép cộng hai ma trận và phép nhân một ma trận với
một số, M at(m × n, K) là một K-không gian vectơ.
Mệnh đề 1.3.2. Với A, B là hai ma trận vuông cấp n và số k ∈ K,
mối liên hệ giữa định thức và các phép toán trong M at(m × n, K):
1. |A + B| = |A| + |B|.
2. |kA| = k |A|.
1.3.2

Tích của hai ma trận

Định nghĩa 1.3.2. Cho hai ma trận A = (aij ) ∈ M at(m × n, K) và
B = (bjk ) ∈ M at(n × p, K). Ta gọi tích của ma trận A với ma trận B
là một ma trận C = (cik ) ∈ M at(m × p, K) mà phần tử của nó được
xác định bởi:

n

cik =

aij bjk ,
j=1

Trong đó: (i = 1, m), (k = 1, p)
Kí hiệu: C = A.B.
Ví dụ 1.3.1.
Cho hai ma trận:



A=

a21 a22



b b b
 11 12 13 

; B = 
b21 b22 b23 


a23
b31 b32 b33

a11 a12 a13



7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Tính AB.
Giải
Theo quy tắc tính tích hai ma trận:



 b11 b12 b13


a11 a12 a13




. b21 b22 b23 
A.B =


a21 a22 a23

b31 b32 b33

=

a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33

Nhận xét 1.3.1.

1. Điều kiện để có tích A.B là số cột của A bằng

số dòng của B. Như vậy phép nhân hai ma trận không có tính
chất giao hoán.
2. Trường hợp đặc biệt khi A và B đều là các ma trận vuông cấp n
thì có cả A.B và B.A. Nhưng nói chung A.B = B.A.
Ví dụ 1.3.2.
Ta có:




Còn

1 0
0 0




0 2

0 0





=



0 2
0 0


 = A.B


 

0 2
1 0
0 0


=
 = B.A.
0 0
0 0
0 0

Ta thấy A.B = B.A.

8





Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.3

Hoàng Thị Thắm

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

1. Nhân một hàng của ma trận cho số a = 0.
Xét ma trận




a b c




A = e f g 



i j k
Ta nhân dòng thứ i với một số a khác không tức là ta nhân tất cả hệ
số của dòng i với con số a.
Ví dụ 1.3.3.




1 3 4
1 3 4








A = 2 4 6 Kết quả sau khi biến đổi: A = 4 8 12




3 5 7
3 5 7


2. Hoán đổi vị trí hai dòng cho nhau.
Xét ma trận




a b c




A = e f g 


i j k
Hoán vị dòng thứ i với dòng thứ j tức là ta thay đổi vị trí của tất cả
phần tử ở hàng i với tất cả phần tử ở hàng j với nhau.
Ví dụ 1.3.4.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm




2 4 6
1 3 4

 Kết quả sau khi biến đổi: A = 

A=
1 3 4
2 4 6


3. Cộng một hàng bởi α lần hàng khác.
Xét ma trận




a b c




A = e f g 


i j k
Ta cộng α lần hàng i vào hàng j bằng cách tạo ma trận Cij từ ma trận
đơn vị và thay thế phần tử cij = α.
Ví dụ 1.3.5.






1 3 4

3 7 10








A = 2 4 5 Kết quả sau khi biến đổi: A = 2 4 6 




3 5 7
3 5 7
4. Rút gọn ma trận.
Xét ma trận A = [aij ]. Để rút gọn một cột của ma trận A thành cột j
của ma trận đơn vị ta dùng ma trận Cj là ma trận đơn vị và ta thay
cột j bằng cột j của A chia cho phần tử trụ là aij = 0 trừ ajj , sau đó
đổi dấu các phần tử trên cột j khác vị trí hàng j.
Ví dụ 1.3.6.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Rút gọn ma trận




2 1 3 5




A = −2 5 4 9


6 3 1 2
Giải
- Rút gọn cột 1 của A:






1
2

1
2

3
2



5
2

1
0 0








C1 =  1 1 0 ⇒ B = C1 A = 0 6 7 14 




−3 0 1
0 0 8 −13
- Rút gọn cột 2 của B:


−1
12





11
12

4
3



1
1 0
0








1
7
7
C 2 = 0 6 0  ⇒ C = C 2 B = 0 1 6

3





0 0 1
0 0 −8 −13
- Rút gọn cột 3 của C:


1 0


C 3 = 0 1

0 0





11
96 

1 0 0


7 
⇒
D
=
C
C

=

0 1 0
2
48 

−1
0 0 1
8

11



−5
32 
7 

16 
13
8


Chương 2
Hạng của ma trận
2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. Cho A ∈ M at(m × n, K). Hạng của ma trận A, kí

hiệu rankA là số r lớn nhất sao cho có một định thức con cấp r (định
thức của ma trận tạo bởi r dòng và r cột của ma trận A) khác không.
Nhận xét 2.1.1. - Coi hạng ma trận không bằng 0.
- Ma trận đơn vị En có hạng là n.
Nhận xét 2.1.2. - Dựa vào hạng của ma trận ta có thể tính được
hạng của một hệ vectơ, tìm cơ sở, số chiều của một hệ vectơ và tìm
hạng của một ma trận.
- Một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở khác nhau nhưng
cấp của chúng đều bằng hạng của ma trận đó.
Mệnh đề 2.1.1. - Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các
định thức con khác 0 của ma trận đó.
- Hạng của một ma trận không thay đổi qua một phép chuyển vị.
- Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

- Hạng của một ma trận đơn giản có k dòng đầu khác không, các dòng
còn lại bằng không là cấp của ma trận đơn vị Ek thuộc ma trận A
(1 ≤ k ≤ n).
Định lý 2.1.1. Với ma trận A bất kì, hạng của A được xác định thông
qua các tính chất sau:
1. rankA = rankAT .
2. Cấp cực đại của định thức con khác không.
3. Số vectơ cột độc lập tuyến tính tối đại.
4. Số vectơ dòng độc lập tuyến tính tối đại.
5. Cho f : V n → W m ; dimV = n; dimW = m là ánh xạ tuyến tính

xác định bởi ma trận A trong cặp cơ sở nào đó. Khi đó:
rankA = dimImf.
6. Cho A ∈ M at(m × n, K) bất kì. Khi đó A xác định ánh xạ tuyến
tính f : Kn → Km cho bởi f (x) = A.x. Khi đó:
rankA = dimImf.

2.2

Một số kết quả quan trọng

Mệnh đề 2.2.1. Hạng của ma trận không đổi khi ta nhân ma trận
đó với một ma trận khả nghịch.
Tức là: A ∈ M at(m × n, K), B ∈ M at(n × n, K), C ∈ M at(m × m, K)
với mọi detB = 0, detC = 0 ta có:
rank(A) = rank(AB) = rank(CA).
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Chứng minh. Gọi ϕ : Km → Km là ánh xạ tuyến tính nhận B làm ma
trận biểu diễn (theo cơ sở tự nhiên), và ψ : Km → Km là ánh xạ tuyến
tính nhận A làm ma trận biểu diễn (theo các cơ cở tự nhiên). Khi đó
ma trận biểu diễn của ϕψ là BA, và vì B khả nghịch, nên ϕ là đẳng
cấu. Ta có:
rank(AB) = dim(ϕψ(Kn )) = dimϕ(ψ(Kn )) = dim(ψ(Kn )) = rankA.
Chú ý rằng đẳng thức dimϕ(ψ(Kn )) = dim(ψ(Kn )) được suy ra từ
tính đẳng cấu của ϕ.

Với AC ta có thể chứng minh tương tự.
Mệnh đề 2.2.2. Hạng của ma trận tích không vượt quá hạng của mỗi
ma trận. Tức là với mọi A ∈ M at(m × n, K), B ∈ M at(n × p, K) ta
có:
rank(AB) ≤ min {rank(A); rank(B)} .
Chứng minh. Ta có mỗi dòng của ma trận A.B là tổ hợp tuyến tính
của các dòng của ma trận B nên
rankAB ≤ rankB.

(1)

Ta cũng có các cột của ma trận của ma trận AB là tổ hợp tuyến tính
của các cột ma trận A nên
rankAB ≤ rankA.

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.2.3. Hạng của ma trận tổng không vượt quá tổng các hạng
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

của các ma trận. Tức là ∀A ∈ M at(m × m, K), B ∈ M at(m × m, K),
ta có:
rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).
Chứng minh. Cho A, B ∈ M (m × n, R). Xét ánh xạ:

f : Rn → Rm ; x −→ Ax
g : Rn → Rm ; y −→ Bx
f + g : Rn → Rm ; z −→ (A + B)z
Ta có:
rank(A + B) = dim((f + g)(Rn )) ≤ dim(f (Rn ) + g(Rn ))
(Do (f + g)(Rn ) ⊂ f (Rn ) + g(Rn ))
= dimf (Rn ) + dimg(Rn ) − dim(f (Rn ) ∩ g(Rn ))
≤ dimf (Rn ) + dimg(Rn ) = rankA + rankB.

Mệnh đề 2.2.4. (Định lý Sylvester): Cho A; B là hai ma trận vuông
cấp n. Khi đó ta có bất đẳng thức:
rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)} .
Chứng minh. Bất đẳng thức thứ hai đã được chứng minh trong mệnh
đề 2.2.2. Ta đi chứng minh bất đẳng thức thứ nhất.
Gọi ϕ, ψ là các toán tử tuyến tính của V = Kn nhận A, B làm ma
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

trận biểu diễn (theo cơ sở tự nhiên). Khi đó theo công thức số chiều
của ánh xạ tuyến tính, ta có:
rank(AB) = dim(ϕψ(V)) = dim(ψ(V)) − dim(Ker(ϕ|v))
≥ dim(ψ(V)) − dim(Ker(ϕ))
= dim(ψ(V)) − n + dim(ϕ(V)) = rank(A) + rank(B) − n.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.1. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB=0.
Ta có:

rank(A) + rank(B) ≤ n.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Sylvester ta có:
rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) = rank0 = 0
⇔ rank(A) + rank(B) ≤ n.

Hệ quả 2.2.2. Nếu A là ma trận vuông cấp n trên trường có đặc số
khác 2 và thỏa mãn A2 = I, thì
rank(A + I) + rank(A − I) = n.
Chứng minh. Ta có:
A2 = I ⇔ A2 − I = 0 ⇔ (A − I)(A + I) = 0.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

Áp dụng bất đẳng thức Sylvester ta có:
rank(A + I) + rank(A − I) − n ≤ rank(A + I)(A − I) = rank0 = 0
⇒ rank(A + I) + rank(A − I) ≤ n.

(1)

Lại có:
rank(A + I) + rank(I − A) ≥ rank(A + I + I − A)
⇒ rank(A + I) + rank(A − I) ≥ rank(2I) = rankI = n.
Do đó
⇒ rank(A + I) + rank(A − I) ≥ n.

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
rank(A + I) + rank(A − I) = n.

Mệnh đề 2.2.5. Cho A ∈ M at(m × n, K) bất kì có hạng bằng 1. Khi
đó tồn tại hai vectơ U ∈ M at(m × 1, K), V ∈ M at(n × 1, K) sao cho
A = U.V T . Đặc biệt, nếu A ∈ M at(m × n, K) có hạng bằng 1 thì :
An = tr(A)n−1 .A
Chứng minh. Vì rankA = 1 nên tồn tại dòng nào đó của A khác

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Thắm

không, không mất tổng quát ta giả sử đó là dòng 1. Khi đó A có dạng:




d
 1 


 a2 d 1 

A=



 ... 


an d n
ở đây
d1 = (α1 , ..., αn ).
Đặt
 
 
1
α
 
 1
 
 
 a2 
α 
 ; V =  2  = dT1
U =
 
 
 ... 
 ... 
 
 
an
αn
Khi đó

A = U.V T
Từ đó suy ra:
An = (U V T )(U V T )...(U V T ) = U (V T U )...(V T U ).V T
= (V T U )n−1 .A = tr(A)n−1 .A
Vậy ta có điều phải chứng minh.

18