Phép đối xứng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Quỳnh Mai

PHÉP ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Quỳnh Mai

PHÉP ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Hình học
Mã số:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – Năm 2016

1

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ Hình học,
các thầy, cô giáo trong khoa Toán, các thầy, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn
sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Nguyễn
Năng Tâm đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và
năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
và các bạn để khóa luận của em được hoàn thành hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Trần Thị Quỳnh Mai


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu.
Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa
Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn
Năng Tâm.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, là kết quả của em dưới sự giúp
đỡ của thầy PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Trần Thị Quỳnh Mai

i


Mục lục
Lời mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1 Phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Sự xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Phép biến hình afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Phép biến hình đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRONG En
2.1 Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

ii


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2 Phép đối xứng qua đường thẳng . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3 Phép đối xứng qua siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC

17

3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh . . . . . . . . . .

17

3.1.1

Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1.2

Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh 17

3.1.3

Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng 18

3.1.4

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2 Phép đối xứng và bài toán tính toán . . . . . . . . . . .

25

3.2.1

Bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2.2

Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán .

25

3.2.3

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3 Phép đối xứng và bài toán dựng hình . . . . . . . . . . .

32

3.3.1

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.2

Sử dụng phép đối xứng giải bài toán dựng hình .

34

3.3.3

Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng

34

3.3.4

Một số ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4 Phép đối xứng và bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . .

43

3.4.1

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4.2

Sử dụng phép đối xứng để giải bài toán quỹ tích .

44

iii


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.4.3

Sáng tạo bài toán tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng

44

3.4.4

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

iv


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học là một trong những môn học
khó đối với học sinh bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của
hình học, đặc biệt là các phép biến hình. Vấn đề này học sinh được
tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng và bỡ ngỡ.
Nhưng phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và
nó là một công cụ hữu ích để giải các bài toán hình học.
Phép đối xứng là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận
dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, chứng minh, tính toán, quĩ
tích... Để làm rõ các vấn đề nêu trên, em xin trình bày trong khóa luận
này một số kiến thức cơ bản về phép đối xứng và ứng dụng giải toán
trong hình học với đề tài: " Phép đối xứng và ứng dụng". Vì thời gian
có hạn nên em xin trình bày những kiến thức cơ bản về phép đối xứng
tâm, phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng qua siêu phẳng.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng.
Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phép đối xứng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày cơ sở lý thuyết về phép đối xứng.
Đề xuất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết một số
bài toán hình học.
1


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến phép đối xứng.
Nghiên cứu, sử dụng các lí luận, các công cụ toán học, tài liệu tham
khảo.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phần:
Mở đầu
Nội dung gồm 3 chương:
Chương 1.Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2.Phép đối xứng trong En .
Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình học.
Kết luận

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong Chương này chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị
cho chương sau, những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo.

1.1
1.1.1

Phép biến hình
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Mỗi song ánh f : En → En được gọi là phép biến hình
của không gian En.
Như vậy cho một phép biến hình f : En → En là cho một quy tắc để
với bất kỳ M thuộc En ta tìm được một điểm M = f (M) hoàn toàn xác
định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
- Nếu M, N là hai điểm bất kỳ của En thì f (M), f (N ) là hai điểm
phân biệt của En
- Với mỗi điểm M thuộc En bao giờ cũng có một điểm M thuộc En
sao cho f (M) = M
Điểm f (M) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược
lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm f (M) qua phép biến hình f nói trên.
3


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f (M) và ta
có f (M) = M .
Nếu H là một hình nào đó của En thì ta có thể xác định tập hợp
f (H) = {f (M)/M ∈ H}. Khi đó f (H) gọi là ảnh của hình H qua phép
biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của f (H) qua phép biến hình
đó.
Định nghĩa 1.2. Cho phép biến hình f :En → En . Ta có các khái niệm
sau:
a. Điểm M thuộc En được gọi là điểm bất động (hoặc là điểm kép)
đối với phép biến hình f nếu f (M) = M. Như vậy M là điểm bất động
đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f .
b. Hình H ⊂ En được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình f

nếu f (H) = H.
c. Hình H ⊂ En được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f
nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f .
Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M
thành điểm M . Ta có f (M) = M . Khi đó phép biến hình biến điểm M
thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã
cho.
→
−
→
Ví dụ: Phép tịnh tiến T−
v theo vecto v có phép biến hình đảo ngược
−1
.
là phép tịnh tiến T−
→
v

Định nghĩa 1.4. Phép biến hình f : En → En mà f ◦ f = idEn được gọi
là phép biến hình đối hợp.
Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O trong En là phép
−−→
−−→
biến hình biến điểm M thành điểm M sao OM = −OM )
4


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Ví dụ

Ví dụ 1.1.1. Cho đường thẳng
điểm M không thuộc

thuộc En . Phép biến hình biến mỗi

thành điểm M đối xứng với M qua

là phép đối xứng trục. Đường thẳng
đối xứng trục với trục
Các điểm thuộc

được gọi

được gọi là trục đối xứng. Phép

thường được ký hiệu là D .

đều là điểm bất động của phép D .

Ví dụ 1.1.2. Trong En , cho điểm O cố định. Phép biến hình biến mỗi
điểm M = O thành điểm M đối xứng với M qua O được gọi là phép đối
xứng tâm O. Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng đó và là điểm bất
động duy nhất của phép đối xứng tâm O. Phép đối xứng tâm O được ký
hiệu là Do .
Ví dụ 1.1.3. Trong En, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc En đều

thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất. Ta thường ký hiệu e là
phép đồng nhất. Như vậy ta có e : En → En và e(M) = M với mọi điểm
M thuộc En . Đối với phép đồng nhất e: En → En mọi điểm đều là điểm
bất động.
1.1.3

Sự xác định

Muốn xác định một phép biến hình f :En → En ta cần nêu rõ quy
tắc f đó bằng các cách sau đây:
- Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong
mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định
nào đó, dựng đường thẳng đi qua một giao điểm và vuông góc với một
đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho.
5


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x, y)
của điểm M với tọa độ (x , y ) của điểm M = f (M) đối với hệ tọa độ
Oxy cho trước nào đó. Thí dụ như phép biến hình f được cho bởi hệ
thức :



x


y

= −x
= −y

Phép biến hình này gọi là phép đối xứng qua tâm O của hệ tọa độ
Oxy nói trên.

1.2
1.2.1

Phép biến hình afin
Định nghĩa

Định nghĩa 1.5. Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không
gian vecto Ơclit hữu hạn chiều.
Ví dụ: Mỗi không gian vecto Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin
chính tắc là một không gian Ơclit, chẳng hạn như Rn .
Định nghĩa 1.6. Phép biến hình của không gian Ơclit En biến đường
thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin hay gọi tắt là phép
afin.
1.2.2

Tính chất

Tính chất 1.2.1. Phép afin biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
Tính chất 1.2.2. Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng.
Tính chất 1.2.3. Phép afin biến vecto thành tổng các vecto.
6

Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 1.2.4. Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
1.2.3

Định lý

Định lý 1.1. Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phép
afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
và biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.

1.3
1.3.1

Phép biến hình đẳng cự
Định nghĩa

Định nghĩa 1.7. Cho hai điểm M, N của không gian Ơclit En. Khoảng
cách giữa hai điểm đó, kí hiệu d(M, N ), được định nghĩa là d(M, N ) =
−−→
−−→
MN = MN 2 .
Định nghĩa 1.8. Phép biến hình f : En → En được gọi là phép biến hình
đẳng cự của En nếu nó bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kỳ, tức là:
f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M, N ) = d(f (M), f (N )) ∀M, N ∈ En
trong đó d(M, N ) là khoảng cách của hai điểm M, N .
1.3.2

Tính chất

Tính chất 1.3.1. Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin.
Tính chất 1.3.2. Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
Tính chất 1.3.3. Phép biến hình đẳng cự biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

7


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 1.3.4. Phép biến hình đẳng cự biến một siêu cầu của En
thành một siêu cầu có cùng bán kính.
1.3.3

Định lý

Định lý 1.2. Tập hợp các phép biến hình của En lập thành một nhóm
với phép toán lấy tích ánh xạ và được ký hiệu là Isom (En).
Chứng minh
Thật vậy: Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, ánh xạ ngược của một
phép biến hình cũng là một phép biến hình của mặt phẳng và cuối cùng
ánh xạ đồng nhất đóng vai trò đơn vị của nhóm nhân này.

8

Chương 2
PHÉP ĐỐI XỨNG TRONG En
Trong Chương này chúng ta sẽ trình bày về một vài phép đối xứng,
những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo.

2.1
2.1.1

Phép đối xứng tâm
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Trong không gian En , cho một điểm O. Phép biến hình
−−→
−−→
của không gian cho ứng điểm M’ sao cho OM = −OM gọi là phép đối
xứng qua tâm O và được ký hiệu là Do . Điểm O được gọi là tâm đối
xứng.
2.1.2

Tính chất

Tính chất 2.1.1. Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó
có đầy đủ các tính chất của phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động duy
nhất là O.
Chứng minh
9


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Gọi M = Do (M), N = Do (N ). Ta có
−−−→ −−→ −−→
M N = ON − OM
−−→ −−→
= −ON + OM
−−→
= NM
−−→
Suy ra d(M , N ) = |N M |.
−−→
Mà |N M | = d(N, M) = d(M, N ). Suy ra phép đối xứng tâm là phép
biến hình đẳng cự.
Gọi M = Do (M) suy ra Do (Do (M)) = Do (M ) = M = id(M).
Suy ra phép đối xứng tâm là phép biến hình đối hợp.
Do (O) = O nên O là điểm bất động của Do .
−−→
−−→
Giả sử M là điểm bất động của Do suy ra Do (M) = M ⇒ OM = −OM .
Suy ra M ≡ O.
Vậy O là điểm bất động duy nhất của Do .
Tính chất 2.1.2. Nếu A và B là ảnh của hai điểm A và B trong phép
−−→
−→
Do thì A B = −AB.
Chứng minh
−−→
−−→

−→
−−→
Theo định nghĩa ta có OA = −OA và OB = −OB. Suy ra:
−−→ −−→ −−→
A B = OB − OA
−−→ −→
= −OB + OA
−−→ −→
= −(OB − OA)
−→
= −AB
Suy ra đpcm.
10


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 2.1.3. Phép đối xứng tâm O là phép biến đổi 1-1.
Chứng minh
Thật vậy, nếu điểm A là ảnh của các điểm A và B trong phép đối xứng
−−→
−−→
−→
−−→
Do thì ta có OA = −OA và OA = −OB.
−→
−−→
Suy ra OA = −OB nên A ≡ B.

Tính chất này cho ta thấy phép đối xứng tâm O có phép biến đổi ngược
và phép biến đổi ngược chính là Do .
Tính chất 2.1.4. Phép đối xứng tâm O biến ba điểm thẳng hàng thành
ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh
Giả sử A , B , C là ảnh của các điểm A, B, C trong phép đối xứng tâm
O.
−−→
−−→
−→
−−
→
Theo tính chất 2, ta có A B = −AB và B C = −BC.
−→
−−
→
Vì A, B, C thẳng hàng nên AB cùng phương với BC suy ra tồn tại k sao
−−→
−−→
−−→
−−→
−→
−−→
cho AB = k BC. Suy ra A B = k B C nên A B cùng phương với B C .
Điều đó chứng tỏ A , B , C thẳng hàng.
Tính chất 2.1.5. Phép đối xứng tâm biến mọi đường thẳng, mặt phẳng
qua O thành chính nó, biến một vecto thành vecto đối của nó.
Chứng minh
Gọi d là đường thẳng qua O. Lấy điểm M ∈ d, khi đó ta có:
Do (M) = M , Do (O) = O ⇒ Do (d) = d và d là đường thẳng qua M

và O.
Do M ∈ d nên d ≡ d. Gọi (P ) là mặt phẳng qua O. Xét hai đường
thẳng d và d nằm trong (P ) và cắt nhau tại O. Khi đó Do biến d thành
11


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

d, biến d thành d nên (P ) cũng biến thành (P ) qua Do .
−−→
Xét vecto MN . Ta có Do (M) = M , Do (N ) = N .
−−→
−−→ −−→
−−→
⇒ OM = −OM , ON = −ON .
−−−→ −−→ −−→
M N = ON − OM
−−→ −−→
= −ON + OM
−−→
= NM
−−→
= −MN
Tính chất 2.1.6. Phép đối xứng tâm bảo toàn phương của mọi đường
thẳng, mặt phẳng.
Chứng minh
Giả sử Do (d) = d và M, N ∈ d, Do (M) = M , Do (N ) = N .
−−−→

−−→
⇒ M N = −MN . Suy ra d cùng phương với d .
Do Do bảo toàn phương của đường thẳng nên nó bảo toàn phương của
mặt phẳng.

2.2
2.2.1

Phép đối xứng qua đường thẳng
Định nghĩa

Định nghĩa 2.2. Cho một đường thẳng
điểm X ∈
cho

. Một phép biến hình biến

thành điểm X và biến điểm M ∈
/

thành điểm M sao

là đường trung trực của đoạn thẳng MM được gọi là phép đối

xứng qua

và được ký hiệu là S( ) . Đường thẳng

được gọi là trục đối

xứng và là đường thẳng bất động của phép biến hình.
12


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 2.3. Cho trước một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm
thuộc H trong phép biến đổi S(
đối xứng với H qua

)

lập thành một hình H được gọi là hình

. Nếu H ≡ H thì ta nói H là hình có trục đối

xứng.
2.2.2

Tính chất

Tính chất 2.2.1. Phép biến hình S(

có duy nhất một đường thẳng bất

)

động.

Chứng minh
Thật vậy, nếu

là một đường thẳng bất động thứ hai của S

điểm X bất kỳ thuộc
vậy

)

thì với

ảnh của X trong phép biến hình đó là X. Như

là đường trung trực của đoạn thẳng XX, nghĩa là X thuộc

Điều đó chứng tỏ

và

.

trùng nhau.

Tính chất 2.2.2. Phép biến hình S(

)

là 1-1 và có biến đổi ngược. Đó

chính là S( ) .
Chứng minh
Thật vậy, nếu M và M1 là các tạo ảnh của điểm M trong phép biến
đổi S( ) , thì

là đường trung trực của hai đoạn thẳng MM và M1 M,

tức là M, M , M1 thẳng hàng. Hai điểm M1 và M cùng phía đối với
Gọi H là giao điểm của

.

với MM thì HM = HM = HM1 . Điều đó

chứng tỏ M và M1 trùng nhau.
Tính chất này cho ta thấy nếu M là ảnh của M trong phép biến đổi S
thì M là ảnh của M trong phép biến đổi đó.
Tính chất 2.2.3. Nếu A , B là ảnh của hai điểm phân biệt A, B trong
−−→ −→
phép biến đổi S thì A B = AB.
13


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chứng minh
Ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp AB không vuông góc với

, khi đó tứ giác lập bởi các

điểm A, B, B , A hoặc là hình chữ nhật mà một cặp cạnh song song tức
là AA và BB hoặc là hình thang cân với hai đáy AA và BB . Do đó
A B = AB.
- Trường hợp AB⊥ , khi đó

là đường trung trực chung của hai

đoạn AA và BB .
Gọi H là giao điểm của AA và

, khi đó H là tâm đối xứng của các

điểm A và A , B và B .
Theo tính chất của phép đối xứng tâm ta suy ra A B = AB.
Tính chất 2.2.4. Phép biến đổi S(

)

biến 3 điểm thẳng hàng thành 3

điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng.
Chứng minh
Thật vậy, phép biến đổi S(

)

là một phép dời hình, do đó ảnh của 3

điểm thẳng hàng trong phép biến đổi đó thẳng hàng và giữ nguyên thứ
tự của chúng.

2.3
2.3.1

Phép đối xứng qua siêu phẳng
Định nghĩa

Định nghĩa 2.4. Trong E n cho siêu phẳng α. Phép biến hình của không
gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M xác định như sau:
• MM’ vuông góc với siêu phẳng α.
14


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

• MM’ cắt α tại O là trung điểm của nó
gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng α, phép đối xứng này kí hiệu
là Dα .
Siêu phẳng α được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng.
2.3.2

Tính chất

Tính chất 2.3.1. Phép đối xứng qua siêu phẳng là một phép biến hình
đẳng cự nên nó có đầy đủ tính chất của phép đẳng cự.

Chứng minh
Gọi M, N là hai điểm bất kỳ trong E n . Xét phép đối xứng qua siêu phẳng
α.
Dα :M → M
N →N
−−−→ −
→ −−→ −
→
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MM’, NN’ thì MM ⊥ IJ, N N ⊥ IJ
ta có:
−−→ −−
→ −
→ −→
−−→
−−
→
−
→
−→
−
−→ −→
MN = MI + IJ + JN ⇒ MN 2 = MI 2 + IJ 2 + JN 2 + 2MI.JN
−−−→ −−→ −
→ −−→
M N = M I + IJ + JN
⇒
−−−→2 −−→2 −
−−→
−−→ −−→
→

M N = M I + IJ 2 + JN 2 + 2M I.JN
−−−−→ −−−−→
−
−→
−
→
−→
= MI 2 + IJ 2 + JN 2 + 2(−MI).(−JN )
−−−→
−−→
Suy ra d(M, N ) = |MN | = |M N | = d(M , N )
Vậy phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.
15


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 2.3.2. Dα là phép đối hợp.
Chứng minh
Gọi M = Dα (M) ta có Dα (Dα (M)) = Dα (M ) = M = id(M).
⇒ Dα là phép đối hợp.
Tính chất 2.3.3. α là quỹ tích điểm bất động của Dα .

16


Chương 3
SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ

GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
3.1

Phép đối xứng và bài toán chứng minh

3.1.1

Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình
học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
3.1.2

Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh

Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho
trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông
qua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng ta nhận
được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan
hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam
giác, các đường tròn bằng nhau... Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được
các bài toán chứng minh.

17


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.1.3

Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng

Nếu mệnh đề A ⇒ B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối
xứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B ⇒ A, xét
các trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề
này ta sẽ được bài toán mới.
3.1.4

Một số ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 3.1.1. Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là
trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng tứ diện S.ABA’ và
S.BCB’ bằng nhau.
Bài giải
Xét phép đối xứng qua hai mặt phẳng (SAA’) và (SCC’)

Hình 3.1:

18