Phép quay và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lụa

PHÉP QUAY VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lụa

PHÉP QUAY VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành
đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá
trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài
thực tập này.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Lụa


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của em dưới
sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy
Nguyễn Năng Tâm.
Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với tên đề tài: "Phép quay và ứng dụng"
không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Lụa


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Định hướng trên đường thẳng . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Định hướng trong mặt phẳng . . . . . . . . . . .

4

1.2.3

Định hướng trong không gian . . . . . . . . . . .

7

Phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Các khái niệm về phép biến hình . . . . . . . . .

9

1.3.2

Phép biến hình afin . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.3

Phép biến hình đẳng cự . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

2 Phép Quay
2.1

2.2

14

Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng . . . . . .

14

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Phép quay quanh trục trong không gian . . . . . . . . .

20

2.2.1

20

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.2
2.3

Nguyễn Thị Lụa

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Phép quay quanh (n − 2)- phẳng . . . . . . . . . . . . .

22

3 Ứng dụng phép quay vào giải một số bài toán hình học 23
3.1

3.2

3.3

3.4

Phép quay và bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.1

Bài toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.2

Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình . . . .

23

Phép quay và bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.1

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.2

Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình . . . .

28

Phép quay với bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.1

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.2

Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình . . .

33

Phép quay với bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . .

38

3.4.1

Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4.2

Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình . .

39

Tài liệu tham khảo

46

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Toán học là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu
các môn khoa học khác. Bất kì một sinh viên khoa toán nào cũng đều
có niềm say mê nghiên cứu toán học.
Hình học là môn học khó đối với bất kì sinh viên nào, bởi vì tính chặt
chẽ, logic và tính trìu tượng của hình học cao hơn các môn học khác.
Các phép biến hình sơ cấp là một phần khá hay và quan trọng của hình
học, nó là một công cụ hữu ích, thể hiện tính ưu việt trong giải toán
hình học.
Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng
linh hoạt trong việc giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh,
bài toán tính toán, bài toán quỹ tích. . . Tuy nhiên, việc ứng dụng phép

quay để giải các bài toán đó không phải việc dễ dàng. Bằng những kiến
thức đã học cùng với sự say mê, tìm tòi, ham học hỏi và niềm yêu thích
môn hình học nên em đã lựa chọn nghiên cứu một mảng nhỏ của hình
học với tên đề tài: “Phép quay và ứng dụng ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phép quay và ứng dụng của nó trong giải các bài toán
hình học trong không gian En .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

+ Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc
giải các lớp bài toán hình học cơ bản và nâng cao.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phép quay.
+ Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện về trình độ và thời gian, em chỉ
nghiên cứu một số bài toán hình học cơ bản có thể áp dụng phép quay
trong quá trình giải.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết về phép quay.
+ Nghiên cứu sách giáo trình hình học, các tạp trí toán học và các
tài liệu có liên quan đến phép quay.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phần
Mở đầu

Nội dung gồm 3 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phép quay
Chương 3: Ứng dụng của phép quay vào giải một số bài toán
hình học
Kết luận

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian Ơclit
Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian véctơ

Ơclit hữu hạn chiều.
Không gian Ơclit sẽ gọi là n chiều nếu không gian véctơ Ơclit liên kết
với nó có số chiều bằng n.
Không gian Ơclit thường được kí hiệu là E, không gian véctơ Ơclit
liên kết với nó được kí hiệu là E.
Ví dụ: Không gian Ơclit thông thường E3 học ở phổ thông.

1.2

Định hướng

1.2.1

Định hướng trên đường thẳng

Định nghĩa

Cho đường thẳng a và trên a ta xét một chiều quy ước là dương,
chiều ngược lại là âm thì ta nói rằng đã định hướng đường thẳng a.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Độ dài đại số

Cho đường thẳng a có định hướng và hai điểm A, B thuộc a. Ta gọi
độ dài đại số của AB, kí hiệu là AB là một số có trị số là khoảng cách
giữa hai điểm A và B mang dấu dương nếu AB cùng hướng với hướng
dương của a, mang dấu âm trong trường hợp ngược lại.
Hệ thức Salơ

Trên đường thẳng a đã định hướng cho các điểm A1 , A2 ,. . . ,An khi
đó ta có hệ thức:
A1 A2 + A2 A3 + · · · + An−1 An = A1 An
gọi là hệ thức Salơ.
1.2.2

Định hướng trong mặt phẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay;
nếu ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm,
thì ta nói rằng ta đã định hướng được mặt phẳng.
Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim
đồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm.
Góc định hướng giữa hai tia

Cho hai tia OA, OB. Góc định hướng giữa hai tia OA và OB là
hình gồm hai tia OA và OB và một trong hai tập hợp do hai tia đó phân
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

hoạch mặt phẳng ra; đồng thời giữa hai tia OA và OB ta qui ước tia nào
là gốc(tia đầu). Tia nào là tia cuối.
Kí hiệu: (OA, OB) hay (OA,OB).
Dễ thấy với hai tia OA và OB có hai góc định hướng tạo bởi hai tia.
Nhận xét: Nếu α là một giá trị của góc định hướng tạo bởi hai tia OA
và OB thì những giá trị khác là:
α = α + 2kπ

(k ∈ Z)

* Hệ thức Salơ.
Cho các tia OA1 , OA2 ,. . . ,OAn trong mặt phẳng định hướng ta có hệ

thức Salơ:
(OA1 , OA2 ) + (OA2 , OA3 ) + · · · + (OAn−1 , OAn ) = (OA1 , OAn ) + 2kπ
Góc định hướng giưã hai đường thẳng

*Trong mặt phẳng được định hướng, cho hai đường thẳng a và b.

Hình 1.1:

Nếu a ∩ b = O thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định
nghĩa:
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữa
hai tia ai và bi (i=1,2).
Kí hiệu: (a,b)
*Trong không gian:
Nếu a không cắt b (chéo nhau hoặc song song) thì ta xét hai tia cùng
xuất phát từ một điểm trong không gian theo thứ tự song song với các
đường thẳng đã cho. Khi đó đối với những góc do chúng tạo thành, có
thể chứng minh được rằng: với mọi cách chọn điểm và tia như vậy, ta
luôn có hoặc là những góc bằng nhau hoặc là những góc bù nhau thành
một góc bẹt hay đầy. Một đại diện bất kì của lớp vô số các góc phẳng
tạo thành bằng cách đó được xem là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Vậy: góc định hướng giữa hai đường thẳng không cắt nhau là góc
định hướng giữa hai tia xuất phát từ một điểm chung theo thứ tự song

song với các đường thẳng đã cho.
*Nhận xét: Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai đường
thẳng a và b thì các giá trị α của nó có dạng:

α = α + kπ

(k ∈ Z)

*Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường
thẳng a1 , a2 , . . . , an cắt nhau tại O. Khi đó ta có:
(a1 , a2 ) + (a2 , a3 ) + · · · + (an−1 , an ) = (a1 , an ) + kπ

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

Nguyễn Thị Lụa

Định hướng trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian cho đường thẳng ∆ đã được định hướng, xung
quanh ∆ có hai chiều quay. Nếu ta chọn một chiều là dương, một chiều
là âm thì ta nói rằng đã định hướng được không gian.
Góc nhị diện định hướng

+ Góc nhị diện
Mỗi đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng nào đó phân hoạch mặt
phẳng đó làm hai phần. Mỗi phần gọi là nửa mặt phẳng xuất phát từ
MN; MN gọi là đường giới hạn của hai nửa mặt phẳng.
Tập hợp hai nửa mặt phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng phân
hoạch không gian ra làm hai phần. Góc nhị diện là tập hợp hai nửa mặt
phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng và một trong hai phần của
không gian do hai nửa mặt phẳng đó phân hoạch ra. Đường giới hạn gọi
là cạnh của nhị diện.

Góc phẳng nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh nhị diện còn cạnh
của nó nằm trên(thuộc) các mặt của góc nhị diện và tương ứng đều
vuông góc với các cạnh của nhị diện.
+ Góc nhị diện định hướng.
Góc nhị diện định hướng là góc có phân biệt thứ tự các mặt.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Hình 1.2:
Góc tam diện định hướng

+ Góc đa diện(góc đa diện hai chiều)
Góc đa diện là một tập hợp sắp thứ tự gồm một số hữu hạn các góc
phẳng có định hướng A1 SA2 , A2 SA3 , . . . , An SA1 , cùng chung một đỉnh,
sắp xếp trong không gian sao cho cạnh cuối của mỗi góc là cạnh gốc của

góc đi liền sau và cạnh cuối của góc đi sau cùng trùng với cạnh gốc của
góc đầu tiên.
Các góc phẳng tạo nên góc đa diện gọi là các diện của nó, đỉnh chung
củ chúng gọi là đỉnh góc đa diện, các cạnh của chúng gọi là các cạnh của
góc đa diện.
Góc đa diện gọi là đơn (không tự cắt) nếu mỗi điểm của nó, ngoài
đỉnh ra, hoặc là thuộc chỉ một diện, hoặc là chỉ thuộc hai diện khi là
điểm trên cạnh chung hai diện đó.
Góc đa diện không đơn gọi là góc đa diện sao.
+ Góc đa diện ba chiều.
Có thể chứng minh được rẳng mỗi góc đa diện đơn là (hai chiều) phân

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

hoạch không gian thành hai phần. Góc đa diện đơn hai chiều cùng với
một trong hai phần đó được gọi là góc đa diện đơn ba chiều.
+ Góc tam diện định hướng.
Góc đa diện có ba mặt gọi là góc tam diện.
Cho góc tam diện O(x,y,z). Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A,
B, C và theo chiều A→B→C. Ta định hướng mặt phẳng (ABC) và phía
của không gian chứa nó.
Góc tam diện O(x,y,z) là âm hay dương tùy theo chiều A→B→C là
âm hay dương (ta chọn chiều quay theo chiều ngược kim đồng hồ là
chiều dương). Khi đó ta nói rằng góc tam diện O(x,y,z) đã được định
hướng.

Nhận xét: Góc tam diện không đỏi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh
ba tia.
Góc tam diện sẽ đổi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh hai trong ba tia.

1.3
1.3.1

Phép biến hình
Các khái niệm về phép biến hình

Định nghĩa 1.1. Một song ánh f : En → En được gọi là một phép biến
hình của En .
Định nghĩa 1.2. Giả sử f và g là hai phép biến hình của En đã cho, dễ
thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của En vào En . Ta gọi
phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Định nghĩa 1.3. Phép biến hình f của En được gọi là phép biến hình
đối hợp nếu f 2 = Id, dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo
của f là f −1 trùng nhau.
Ví dụ: Phép quay quanh một điểm; phép quay quanh trục.
Định nghĩa 1.4. Cho phép biến hình f của En . Điểm M ∈ En được
gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến hình f nếu
f (M ) = M .

Định nghĩa 1.5. Cho phép biến hình f của En . Hình H bộ phận của En
được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu ta có f (H) = H. Hình
H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu ta có mọi điểm
của H bất động đối với f.
Định nghĩa 1.6. Cho f và g là hai phép biến hình của En . Phép biến
hình h=g·f·g −1 gọi là phép biến đổi của phép biến hình f bởi phép biến
hình g.
1.3.2

Phép biến hình afin

Định nghĩa 1.7. Phép biến hình của không gian Ơclit En biến đường
thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin.
Định lý 1.1. Phép biến hình của không gian En là phép afin khi và chỉ
khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và biến ba
điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
Chứng minh.

Thật vậy, nếu phép biến hình f của En là phép afin thì

f biến đường thẳng thành đường thẳng. Do vậy nó biến ba điểm thẳng
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Xét bộ ba điểm A, B, C không thẳng hàng của En và gọi A , B , C tương

ứng là ảnh của A, B, C qua f. Ta phải chứng minh A , B , C không thẳng
hàng. Ta chứng minh phản chứng. Giả sử A , B , C thẳng hàng, ta có f
là phép afin nên f biến đường thẳng AB thành đường thẳng A B . Vậy
tồn tại D nằm trên AB để f(D)=C . Do D, C phân biệt điều này vô lý
do f(D)=C =f(C) và f là song ánh.
Điều này vô lý nên ta kết luận: A , B , C không thẳng hàng.
Ngược lại: Nếu f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng được
chứng minh dễ dàng gần như hiển nhiên.
Tính chất

Tính chất 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
Tính chất 2: phép afin bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.
Tính chất 3: Phép afin bảo toàn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định
hướng.
Tính chất 4: Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.
Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
Phân loại

Định nghĩa:
+ Trong E2 hai tam giác ABC và A B C được gọi là cùng chiều nếu
trên vòng tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi từ A đến B, từ B đến
C, từ C đến A cùng chiều quay từ A đến B , từ B đến C , từ C đến
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

A.
+ Trong không gian E3 hai tứ diện ABCD và A B C D được gọi là cùng
chiều nếu hai góc tam diện A.BCD và A .B C D cùng hướng.
Định nghĩa:
Phép afin trong E2 (E3 ) được gọi là phép afin loại 1 nếu hai tam giác(hai
tứ diện) xác định nó là cùng chiều.
Ngược lại ta bảo là phép afin loại 2.
1.3.3

Phép biến hình đẳng cự

Định nghĩa

Phép biến hình của không gian En bảo tồn khoảng cách giữa hai
điểm gọi là phép đẳng cự.
Tính chất

Tính chất 1: Phép đẳng cự là phép afin.
Tính chất 2: Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc phẳng.
Tính chất 3: Phép đẳng cự biến siêu cầu của En thành một siêu cầu có
cùng bán kính.
Điều kiện xác định phép đẳng cự

+ Trong E2 , phép đẳng cự xác định bởi hai tam giác bằng nhau.
+ Trong E3 , phép đẳng cự xác định bởi hai tứ diện bằng nhau. Trong
đó hai tứ diện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng
bằng nhau.

12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Phân loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1.
Ngược lại ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.

13


Chương 2
Phép Quay
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị
cho chương sau, những kiến thức này được lấy từ tài liệu tham khảo.

2.1

Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng

2.1.1

Định nghĩa

Trong E2 cho điểm O và một góc định hướng α sai khác k2π. Phép
biến hình của E2 cho tương ứng mỗi điểm M với điểm M sao cho
OM = OM và (OM , OM ) = α gọi là phép quay tâm O với góc quay
α. Kí hiệu: QαO hoặc Q(O, α).

Ta thường chọn α sao cho −π ≤ α ≤ π.
* Chú ý: Theo định nghĩa phép quay Q(O, α) nếu α = 0 nó trở thành
phép đồng nhất, còn nếu α = π hoặc α = −π thì nó là phép đối xứng
tâm O.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.2

Nguyễn Thị Lụa

Tính chất

Phép quay Q(O, α) là phép dời hình

Chứng minh
Giả sử
Q(O, α) : M → M
N →N
Theo định nghĩa ta có



OM = OM



ON = ON



 (OM , OM ) = (ON , ON )


OM = OM



⇒
ON = ON



 (OM , ON ) = (OM , ON )
⇒

OM N =

OM N (c.g.c)

⇒ MN = M N
Vậy Q(O, α) là phép dời hình(đpcm).
Nếu A , B là ảnh của các điểm A, B trong phép quay QαO , thì A B = AB và
góc định hướng tạo bởi hai tia AB, A B bằng α : (AB, A B ) = α(0◦ ≤ α ≤ 180◦ )

Chứng minh. - Ta xét trường hợp điểm A trùng với tâm quay O. Trường
hợp này A là điểm bất động, B → B do đó AB = A B và chiều quay

của tia AB quanh điểm A đến trùng với tia A B là chiều dương vì vậy
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

(AB, A B ) = α.
- Trường hợp A và B không trùng với O. Trong trường hợp này ta có
(OA, OA ) = (OB, OB ) = α, OA = OA , OB = OB .
Theo hệ thức Sáclơ đối với góc định hướng ta có
(OA, OB)+(OB, OA ) = (OB, OA ) = (OA , OB ) ⇔ (OA, OB)+(OA , OB ).
Ta thấy

AOB =

OA B (c.g.c), do đó AB = A B . Gọi S là gốc

chung của hai tia cùng chiều với các tia AB và A B . Vì bốn điểm
O, B, S, B (hoặc O, A, S, A ) cùng nằm trên một đường tròn, nên
(SA, SA ) = α (hoặc (SB, SB ) = α).
Phép quay Q(O, α) (α = k2π, k ∈ Z) có một điểm bất động duy nhất và là
phép biến đổi 1-1.

Chứng minh
Theo định nghĩa ta có O là điểm bất động của Q(O, α). Giả sử O
cũng là điểm bất động của Q(O, α), (O ≡ O ) thì góc tạo bởi OO và
chính nó bằng α, nghĩa là α = 0 (mâu thuẫn giả thiết α = k2π, k ∈ Z).
Điều đó chứng tỏ không có điểm O hay Q(O, α) có điểm bất động

duy nhất là O.
Nếu M1 , M2 có cùng một ảnh là điểm M thì Q(O, −α):
M → M1 , M → M2 .
Khi đó OM1 = OM2 .
(OM , OM1 ) = (OM , OM2 ) = −α.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa

Chứng tỏ M1 ≡ M2 .
Phép quay Q(O, α) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
bảo tồn thứ tự của chúng.

Chứng minh
Theo tính chất 1 phép quay Q(O, α) là phép dời hình. Do đó nếu
A , B , C lần lượt là ba ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C thì A , B , C
thẳng hàng theo thứ tự đó.
*Hệ quả: Phép quay Q(O, α) biến:
• Một đường thẳng d thành đường thẳng d và góc định hướng (d, d )
bằng α, d ⊥ d khi α = ±90◦ .
• Biến tia Sx thành tia S x và góc tạo bởi hai tia đó bằng α.
• Biến đoạn P Q thành đoạn P Q và P Q = P Q .
• Biến góc xSy thành góc x S y và hai góc xSy = x S y .
• Biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ).
Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay

Chứng minh
Xét hai phép quay Q(O, α) và Q(O, β). Đặt Q = QαO ◦ QβO .
*TH1: O ≡ O
QβO : M → M thì



OM = OM

(OM , OM ) = β

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Q = QαO : M → M thì

Nguyễn Thị Lụa



OM = OM

(OM , OM ) = α



OM = OM
⇒


(OM , OM ) = (OM , OM ) + (OM , OM ) = β + α
Vậy Q = Qα+β
O .
*TH2: O ≡ O
Bổ đề: Tích của hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay quanh
giao điểm với góc quay 2(a, a ) (a và a là hai trục)

2(a,a )

α ∩ α = I, Đa ◦ Đa = QI
Chứng minh

Hình 2.1:

M ≡ I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lụa


M ≡I
M ≡I
Vậy I là điểm bất động của Q = Đa ◦ Đa
Nếu M ≡ I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có


 IM = IM = IM
 (IM , IM ) = (IM , IM ) + (IM , IM ) = 2(a, a )
2(a,a )

Vậy QI

= Đa ◦ Đa

Chứng minh tính chất:
Gọi b là đường thẳng qua O và O
β
2
α
Dựng đường thẳng a qua O và (b, a ) =
2
Khi đó ta có:
Dựng đường thẳng a qua O và (a, b) =

QβO = Đb ◦ Đa
QαO = Đa ◦ Đb
α+β
(a, a ) =
2
Có các trường hợp:
+ a song song hoặc trùng a , ta có:

α+β
= kπ
2

⇔ α + β = k2π(k ∈ Z)
⇒ QαO ◦ QβO = Đa ◦ Đa = T
+ a cát a tại I ta có α + β = k2π(k ∈ Z)

19