Dạng toàn phương và một số vấn đề liên quan

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẬU

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẬU

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS. Trần Văn Nghị,
người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập
tại trường và tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận này. Trong
quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế. Em kính
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể
bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Hậu

i

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

Lời cam đoan

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Văn Nghị
khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác.
Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Hậu

ii

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

1 Dạng toàn phương
1.1

1.2

1.3

1.4

1

Ánh xạ đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Các định lý và hệ quả . . . . . . . . . . . . . . .

4

Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương . .

9

1.2.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Ma trận của dạng song tuyến tính . . . . . . . . .

10

1.2.3

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về dạng chính
tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Hạng và hạch của dạng toàn phương . . . . . . . . . . .

17

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.3

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

i

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

1.6

Nguyễn Thị Hậu

Chỉ số quán tính của dạng toàn phương . . . . . . . . . .

20

1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.2

Định lý Sylvester về chỉ số quán tính . . . . . . .

21

1.5.3

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.4

Dạng toàn phương tương đương . . . . . . . . . .

24

1.5.5

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.6

Định lý Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Hàm toàn phương lồi
2.1

2.2

41

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.1.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Hàm toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3 Hàm toàn phương lồi suy rộng

47

3.1

Hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2

Hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4 Ứng dụng vào bài toán quy hoạch toán học

63

4.1

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.2

Điều kiện cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Kết luận

66

Tài liệu tham khảo

66

ii

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn học quan trọng, tương đối khó trong chương trình
toán học phổ thông, có rất nhiều ứng dụng trong đời sống con người,
để hiểu được nó người học cần phải tưởng tượng, tư duy cao. Với mong
muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu được nhiều
phương pháp giải toán hình được hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn,
nhằm chuẩn bị cho mình lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy
sau này, em đã chọn đề tài "Dạng toàn phương và một số vấn đề liên

quan" để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Dạng toàn phương, hàm toàn phương và hàm toàn phương
suy rộng.
• Phạm vi: Nhứng kiến thức liên quan đến dạng toàn phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dạng toàn phương và một số ứng dụng.
4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toàn phương để hiểu sâu hơn về dạng toàn phương và
một số ứng dụng của nó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu
liên quan.
6. Nội dung khóa luận
Nội dung khóa luận gồm 4 chương:

Footer Page 7 of 161.

iii


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Chương 1: Dạng toàn phương
Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, ma trận và biểu
thức tọa độ của dạng toàn phương, Hạng và hạch của dạng toàn phương,
Chỉ số quán tính và một số bài tập liên quan tới dạng toàn phương.

Chương 2: Hàm toàn phương lồi
Chương này trình bày các định nghĩa về hàm toàn phương, hàm lồi và
hàm toàn phương lồi.
Chương 3: Hàm toàn phương lồi suy rộng
Để mở rộng cho chương 2, chương này chúng ta tìm hiểu về định nghĩa
hàm tựa lời và hàm giả lồi.
Chương 4: Ứng dụng vào bài toán quy hoạch toán học
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Hậu

Footer Page 8 of 161.

iv


Header Page 9 of 161.

Chương 1
Dạng toàn phương
1.1
1.1.1

Ánh xạ đa tuyến tính
Các định nghĩa

Giả sử V và W là những không gian vecto trên trường K, k ∈ N∗ . Ta
gọi ánh xạ
ϕ : V × V × ··· × V → W
`ˆn

k la

→, −
→
−
→
−
→ −
→
−
→
(−
α
1 α2 , · · · , αk ) → ϕ (α1 , α2 , · · · , αn )
là một ánh xạ đa tuyến tính (hay k-tuyến tính) nếu nó tuyến tính với
−
từng thành phần →
α khi cố định các thành phần còn lại. Tức là,
i

→
−
→, −
→
→
−
−
→
−
→

→
−
−
→
ϕ −
α
1 α2 , · · · , λ αi + µ βi , · · · , αk = λϕ (α1 , · · · , αi , · · · , αk )
−
→, · · · , →
→
+µϕ −
α
βi , · · · , −
α
1
k
−
→, −
→
−
→ →
∀λ, µ ∈ K, v`
a ∀−
α
1 α2 , · · · , αk , βi ∈ V, i = 1, 2, · · · k

Footer Page 9 of 161.

1

Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Đặc biệt:
• Nếu W = K thì ϕ được gọi là k- tuyến tính trên V.
• Nếu k = 2 thì ϕ được gọi là ánh xạ song tuyến tính.
Ánh xạ k-tuyến tính ϕ : V × V × · · · × V → W được gọi là thay phiên
(hay phản đối xứng) nếu giá trị của ϕ trên k vecto trong đó có 2 vecto
→
−
→
−
−
−
bằng nhau là 0 . Tức là ϕ (· · · , →
α,··· ,→
α , · · ·) = 0 .
−
−
Cho V là k-không gian vecto n chiều và (e) = {→
e ,···→
e } là một cơ sở
1

n

−

−
−
của V. Xét hệ n-vecto →
α 1, →
α 2, · · · , →
α n trong V. Giả sử
→
−
αj =

n

−
aij →
ci , j = 1, n.

i=1

Gọi A = (aij ) là ma trận lập nên bởi các cột tọa độ của các vecto
→
−
−
−
α 1, →
α 2, · · · , →
α n đối với cơ sở (e). Gọi detA là định thức của hệ vecto
→
−
−
−

α ,→
α ,··· ,→
α trong (e).
1

2

n

Ký hiệu dete hay De .
Khi đó De là một dạng n-tuyến tính thay phiên trên V.
Kí hiệu An (V) là tập hợp gồm tất cả các dạng n-tuyến tính thay phiên
trên V thì An (V) lập thành một không gian vecto trên trường K với
phép cộng hai dạng n-tuyến tính thay phiên và phép nhân một dạng ntuyến tính thay phiên với vô hướng λ được định nghĩa như sau:
−
−
−
−
−
−
(ϕ + ψ) (→
α 1, · · · , →
α n ) = ϕ (→
α 1, · · · , →
α n ) + ψ (→
α 1, · · · , →
α n) ;
−
−
−

−
(λϕ) (→
α 1, · · · , →
α n ) = λϕ (→
α 1, · · · , →
α n) .
với ∀ϕ, ψ ∈ An (V) và ∀λ ∈ K.

Footer Page 10 of 161.

2


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Nguyễn Thị Hậu

Các tính chất

Giả sử ϕ là một ánh xạ k-tuyến tính thay phiên. Khi đó:
a) ϕ có tính chất phản đối xứng, nghĩa là
−
−
−
−
−
−

−
−
ϕ (→
α 1, · · · , →
α i, · · · , →
α j, · · · , →
α k ) = −ϕ (→
α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α i, · · · , →
α k)
−
−
với mọi →
α 1, · · · , →
α k ∈ V, i = j.
Chứng minh. Ta có
→
−
−
−
−
−
−
−
ϕ (→
α 1, · · · , →
αi +→
α j, · · · , →
αi +→

α j, · · · , →
α k) = 0 .
−
−
−
−
−
−
−
−
⇒ ϕ (→
α 1, · · · , →
α i, · · · , →
α i, · · · , →
α k ) + ϕ (→
α 1, · · · , →
α i, · · · , →
α j, · · · , →
α k)
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+ϕ (→

α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α i, · · · , →
α k )+ϕ (→
α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α j, · · · , →
α k) = 0
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⇒ ϕ (→
α 1, · · · , →
α i, · · · , →
α j, · · · , →
α k )+ϕ (→
α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α i, · · · , →
α k) = 0
−
−
−

−
−
−
−
−
⇒ ϕ (→
α 1, · · · , →
α i, · · · , →
α j, · · · , →
α k ) = −ϕ (→
α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α i, · · · , →
α k) .

−
−
b)Nếu hệ →
α 1, · · · , →
α k phụ thuộc tuyến tính thì
→
−
−
−
ϕ (→
α 1, · · · , →
α k) = 0 .
−
−
Chứng minh. Giả sử hệ →

α 1, · · · , →
α k phụ thuộc tuyến tính.

Footer Page 11 of 161.

3


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

−
Ta có →
αj =

Nguyễn Thị Hậu

−
λi →
α i . Theo tính chất đa tuyến tính của ϕ ta có
i=j





−
−
−
−

ϕ (→
α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α k ) = ϕ →
α 1, · · · ,

−
−
λi →
α i, · · · , →
α k
i=j

→
−
−
−
−
λi ϕ (→
α 1, · · · , →
α j, · · · , →
α k) = 0 .

=
i=j

1.1.3

Các định lý và hệ quả

Định lý 1.1. Nếu dimV = n thì dimAn (V) = 1. Hơn nữa nếu (e) =
−
−
{→
e ,···→
e } là một cơ sở của V thì {D } là một cơ sở của An (V).
1

n

e

Chứng minh. Do dimV = n suy ra V có cơ sở duy nhất là (e) =
−
−
{→
e 1, · · · →
e n }. Do đó có duy nhất một dạng n-tuyến tính thay phiên.
Hay dimAn (V) = 1.
−
Ta có De ∈ An (V). Giả sử ϕ ∈ An (V) thì ∀→
αj =

n

−
aij →
e i , j = 1, n

i=1

−
−
ϕ (→
α 1, · · · , →
α k) = ϕ

n

−
ai 1 1 →
e i1 , · · · ,

i1 =1

n

−
ain n →
e in

i=1

−
−
ai1 1 · · · ain n ϕ (→
e i1 , · · · , →
e in ) .

=

(1)

i1 ,··· ,in

Do ϕ có tính chất thay phiên nên có hai trong các chỉ số i1 , · · · , in bằng
nhau thì số hạng tương ứng bằng 0. Vì vậy tổng trên lấy các chỉ số
i1 , · · · , in đôi một khác nhau. Khi đó mỗi bộ chỉ số i1 , · · · , in xác định

Footer Page 12 of 161.

4


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

một phép thế σ ∈ Sn bởi công thức
σ(1) = i1 , σ(2) = i2 , · · · , σ(n) = in .
Do ϕ có tính chất phản đối xứng nên
−
−
−
−
−
−
ϕ (→
e i1 , · · · , →

e in ) = ϕ →
e 1, · · · →
e n ) . (2)
e σ(1) , · · · , →
e σ(n) = sgnσ.ϕ (→
Từ (1) và (2) suy ra
−
−
ϕ (→
α 1, · · · , →
α n) =

−
−
sgnσ.aσ(1)1 · · · aσ(n)n .ϕ (→
e 1, · · · →
e n)
σ∈Sn

−
−
−
−
= ϕ (→
e 1, · · · →
e n ) .De (→
α 1, · · · , →
α n) .
Do đó De là hệ sinh của không gian An (V).
−

−
Mà De (→
e 1, · · · →
e n ) = 1 nên De = 0
Suy ra {De } là một cơ sở của không gian vecto An (V).
Hệ quả 1.1. DetA = 0 khi và chỉ khi các vecto cột của A độc lập tuyến
tính trong Kn .
−
−
Chứng minh. [⇐] Giả sử →
α 1, · · · , →
α n độc lập tuyến tính.
−
−
Ta có (α) = (→
α 1, · · · , →
α n ) là một cơ sở của Kn .
−
−
Gọi (e) = {→
e 1, · · · →
e n } là một cơ sở chính tắc của Kn thì {det = De } là
một cơ sở của An (Kn ).
Khi đó Dα = c.det với c ∈ K nên
−
−
−
−
c.det (→
α 1, · · · , →

α n ) = Dα (→
α 1, · · · , →
α n ) = 1.

Footer Page 13 of 161.

5


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Vậy
−
−
det A = Dα (→
α 1, · · · , →
α n ) = 0.
[⇒] Giả sử det A = 0.
−
−
Ta dùng phản chứng, giả sử →
α 1, · · · , →
α n phụ thuộc tuyến tính.
Theo tính chất của định thức thì det A = 0 suy ra vô lý.
−
−
Vậy →

α ,··· ,→
α độc lập tuyến tính.
1

n

Định lý 1.2. Giả sử f ∈ End(V) với V là K - không gian vecto n chiều.
Khi đó có duy nhất một phần tử ký hiệu là det(f ) ∈ K sao cho
−
−
−
−
ϕ (f (→
α 1 ), · · · , f (→
α n )) = det(f ).ϕ (→
α 1, · · · , →
α n ) ∈ V,
−
−
với ∀ϕ ∈ An (V) và ∀→
α 1, · · · , →
α n ∈ V.
Chứng minh. Gọi η = 0 là một phần tử bất kì trong An (V).
Vì dimAn (V) = 1 nên {η} là một cơ sở của An (V).
Xét ánh xạ θ : V × V × · · · × V → K
`
n−la
ˆn

−

−
−
−
−
−
−
−
−
(→
α 1, →
α 2, · · · , →
α n ) → θ (→
α 1, →
α 2, · · · , →
α n ) = η (f (→
α 1 ), f (→
α 2 ), · · · , f (→
α n ))
Do f tuyến tính, η đa tuyến tính thay phiên nên θ cũng đa tuyến tính
thay phiên. Khi đó ∃d ∈ K sao cho d.η = θ.
Mặt khác {η} là cơ sở của An (V) cho nên ∀ϕ ∈ An (V) ta có
ϕ = c.η, ∀c ∈ K.

Footer Page 14 of 161.

6


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Khi đó
−
−
−
−
ϕ (f (→
α 1 ), · · · , f (→
α n )) = c.η (f (→
α 1 ), · · · , f (→
α n ))
−
−
= c.θ (→
α 1, · · · , →
α n)
−
−
= c.d.η (→
α 1, · · · , →
α n)
−
−
= d.ϕ (→
α 1, · · · , →
α n) .
Như vậy, đẳng thức nói trong định lý nghiệm đúng với hằng số det(f ) = d
không phụ thuộc vào ϕ.

Lấy ϕ = η, ta có
−
−
−
−
ϕ (f (→
α 1 ), · · · , f (→
α n )) = det(f ).ϕ (→
α 1, · · · , →
α n)
nên tồn tại det(f ) = d ∈ K.
−
−
−
−
⇒ η (f (→
α 1 ), · · · , f (→
α n )) = det(f ).η (→
α 1, · · · , →
α n ) ⇒ θ = det(f ).η
Do đó det(f ) xác định duy nhất.
Định lý 1.3. Tự đồng cấu f : V → V có ma trận là A trong một cơ sở
nào đó của V thì detf = detA.
−
−
Chứng minh. Gọi (ε) = (→
ε 1, · · · , →
ε n ) là cơ sở của không gian V trong
đó f có ma trận A. Ta có
−

f (→
ε j) =

n

−
aij →
ε i , j = 1, n.

i=1

Footer Page 15 of 161.

7


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Chọn ϕ = De ∈ An (V) và định lý 1.1.3 ta có
−
−
det(f ) = det(f ). det(En ) = det(f ).Dε (→
ε 1, · · · , →
ε n)
−
−
= Dε (f (→

ε 1 ), · · · , f (→
ε n )) = det A.

Hệ quả 1.2. Nếu A và B là ma trận của tự đồng cấu f : V → V trong
những cơ sở khác nhau của V thì det A = det B.
Hệ quả 1.3. Ta có một số hệ quả sau:
i) det idV = 1;
ii)det(gof ) = det g. det f ; ∀f, g ∈ End(V);
iii) Nếu f ∈ End(V), f khả nghịch thì det(f −1 ) = [det(f )]−1 .
Định lý 1.4. Tự đồng cấu f : V → V của K - không gian vecto hữu
hạn chiều V là một đẳng cấu khi và chỉ khi det(f ) = 0.
−
−
Chứng minh. Giả sử (ε) = {→
ε 1, · · · , →
ε n } là một cơ sở của V. Ta có
−
−
det(f ) = 0 ⇔ Dε (f (→
ε 1 ), · · · , f (→
ε n )) = 0.
−
−
Do đó hệ vecto {f (→
ε 1 ), · · · , f (→
ε n )} độc lập tuyến tính. Do đó f là đẳng
cấu.

Footer Page 16 of 161.

8


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Thị Hậu

Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn
phương

1.2.1

Các định nghĩa

• Ánh xạ η : V × V → R là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó
tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến còn lại.
• Dạng song tuyến tính η được gọi là đối xứng nếu
→
−
→
− −
→
−
−
−
η(→
α , β ) = η( β , →

α ), ∀→
α , β ∈ V.
• Giả sử η : V × V → R là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V.
−
−
−
−
Khi đó ánh xạ H : V → R, →
α → H(→
α ) = η(→
α,→
α ) gọi là dạng toàn
phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η.
→
−
−
Nhận xét: Cách xác định η(→
α , β ) từ H
Ta có
→
− − →
−
→
−
→
− −
→
− →
−
−

−
−
−
η(→
α + β ,→
α + β ) = η(→
α,→
α ) + η(→
α , β ) + η( β , →
α ) + η( β , β )
→
−
→
− →
−
−
−
−
= η(→
α,→
α ) + 2η(→
α , β ) + η( β , β )
→
−
→
−
→
−
−
−

−
⇒ H(→
α + β ) = H(→
α ) + 2η(→
α , β ) + H( β )
→
−
→
−
→
−
1
−
−
−
⇒ η(→
α, β ) =
H(→
α + β ) − H(→
α ) − H( β ) .
2
Khi đó η được gọi là dạng cực của dạng toàn phương H.

Footer Page 17 of 161.

9


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Nguyễn Thị Hậu

Ma trận của dạng song tuyến tính

−
−
Giả sử V là không gian vecto thực n chiều và (ε) = {→
ε 1, · · · , →
ε n } là
một cơ sở của V.
Ánh xạ η : V × V → R là một dạng song tuyến tính trên V.
n
n
→
−
→
−
→
−
−
Với α =
xi ε i , β =
yj →
ε j thì
j=1

i=1

→
−
−
η(→
α, β ) = η

n

−
xi →
ε i,

i=1

n

n

−
yj →
εj

=

j=1

−
−
xi .yj .η(→

ε i, →
ε j ).

i,j=1

−
−
Đặt aij = η(→
ε i, →
ε j ) với i, j = 1, 2, ..., n thì
n

→
−
−
η(→
α, β ) =

aij .xi .yj
i,j=1

−
−
Khi đó A = (aij )n×n trong đó aij = η(→
ε i, →
ε j ),với i, j = 1, 2, ..., n được
gọi là ma trận của dạng song tuyến tính η trên V trong cơ sở (ε).
Khi η là dạng song tuyến tính đối xứng thì ma trận A cũng được gọi là
ma trận của
 dạng

 toànphương
 H ứng với η.
x
y
 1 
 1 




Đặt x =  ...  , y =  ...  ta có




yn
xn
→
−
−
η(→
α, β ) =

n

aij .xi .yj = xt Ay.
i,j=1

Ta gọi biểu thức này là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính η
trong cơ sở (ε).

Footer Page 18 of 161.

10


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
n

−
Và H(→
α) =

Nguyễn Thị Hậu

aij .xi .yj = xt Ax là biểu thức tọa dộ của dạng toàn

i,j=1

phương H ứng với η.
1.2.3

Mệnh đề

Mệnh đề 1.1. Giả sử A = (aij )n×n là ma trận của dạng song tuyến tính
−
−
trên không gian vecto V trong cơ sở (ε) = {→
ε ,··· ,→

ε }. Khi đó η là
1

n

dạng song tuyến tính đối xứng khi và chỉ khi A = At nghĩa là A là ma
trận đối xứng.
Chứng minh. [⇒] Giả sử η là dạng song tuyến tính đối xứng. Ta có
−
−
−
−
aij = η(→
ε i, →
ε j ) = η(→
ε j, →
ε i ) = aji .
Do đó A là ma trận đối xứng.
[⇐] Giả sử A là ma trận đối xứng. Hiển nhiên aij = aji , với ∀i, j
n
n
→
−
−
−
−
xi →
ε i, β =
yj →
εj

Ta có →
α =
i=1

→
−
−
⇒ η(→
α, β ) =

j=1
n

n

aij .xi .yj =
i,j=1

→
− −
aji .yj .xi =η( β , →
α ).

i,j=1

Mệnh đề 1.2. Giả sử A và B là ma trận của dạng song tuyến tính
−
−
η trên V tương ứng trong các cơ sở (ε) = {→
ε 1, · · · , →

ε n } và (µ) =
−
−
{→
µ ,··· ,→
µ } của V. Nếu C là ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở
1

n

(µ) thì ta có B = C t AC

Footer Page 19 of 161.

11


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Chứng minh. Đặt A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , C = (cij )n×n , ta có
n

bkl = η(µk , µl ) = η

−
cik →
ε i,

i=1
n

n

−
cjl →
εj

i=1

−
−
cik .cjl .η(→
ε i, →
ε j)

=
i,j=1
n

=

cik .aij .cjl
i,j=1

(∀k, l = 1, 2, · · · , n).
Vậy B = C t AC.

1.3

Đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về
dạng chính tắc

1.3.1

Định nghĩa

Giả sử η là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. H là dạng toàn
phương ứng với η. Khi đó:
→
−
→
−
→
−
−
−
−
• Nếu η(→
α , β ) = 0, ∀→
α , β ∈ V thì ta nói vecto →
α η- trực giao với β .
→
−
−
Kí hiệu →
α⊥ β .
η

−
−
• Cơ sở (ε) = {→
ε 1, · · · , →
ε n } được gọi là một cơ sở η- trực giao nếu các
vecto của cơ sở này đôi một η- trực giao. Nghĩa là
−
−
η(→
ε i, →
ε j ) = 0, ∀i = j.
−
• Trong cơ sở H- trực giao thì biểu thức tọa độ của H có dạng H(→
α) =
n
n
−
a .x2 trong đó →
α =
x .a , a = a . Ta gọi đây là biểu thức dạng
i

i=1

i

Footer Page 20 of 161.

i

i

i

ii

i=1

12


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

chính tắc của dạng toàn phương H.
1.3.2

Định lý

Mọi dạng toàn phương đều có biểu thức tọa độ dạng chính tắc.
−
−
Chứng minh. Giả sử (e) = {→
ε 1, · · · , →
ε n } là cơ sở trong R- không gian
vecto V. Dạng toàn phương H trong (e) có biểu thức tọa độ
−

H(→
α) =

n

aij .xi .xj , (aij = aji ).
i,j=1

• Trường hợp 1: Giả sử ∃aii = 0 với i nào đó. Giả sử a11 = 0. Ta có
H = a11

x21

n

+ 2x1 .
i=2
n

a1i
a11 xi

+ (những số hạng không chứa x1 )

2
a1i
a11 xi

= a11 x1 + 2x1 .
+ (một dạng toàn phương của x2 , ..., xn )

 i=2
n
a1i


y
=
x
+
1
1

a11


i=2



y2 = x 2
ta có
Đổi tọa độ



···





y =x
n
n

H = a11 .y12 +

n

bkl yk yl , (bkl = blk ).
k,l=2
n

Để đưa H về dạng chính tắc ta đưa H =

bkl yk yl là dạng toàn phương
k,l=2

của (n − 1) biến về dạng chính tắc. Quá trình này thực hiện bằng quy
nạp.
• Trường hợp 2: ∀aii = 0, i = 1, n và có aij = 0, i = j .

Footer Page 21 of 161.

13


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu

Giả sử a12 = 0. Thực hiện phép đổi tọa độ trong V


x1 = y1 + y2





 x2 = y1 − y2
.


···




 x = y , k = 3, n
k
k
Ta có
a12 x1 x2 = a12 (y1 + y2 )(y1 − y2 ) = a12 (y12 − y22 ).
Khi đó

n

H=

n

aij xi xj =
i,j=1

bij yi yj .
i,j=1

Trong đó hệ số của y12 là 2a12 = 0. Ta trở về trường hợp 1.
• Trường hợp 3: ∀aij = 0, (i, j = 1, n). Khi đó H có dạng chính tắc trong
bất kỳ cơ sở nào của không gian V.
Ví dụ 1: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc trên R3 :
−
a) H(→
α ) = x21 + 2x22 + 3x23 − 4x1 x2 − 4x2 x3 ;
−
b) H(→
α ) = 4x x − 3x x .
1 2

2 3

Bài giải
a) Ta có
−
H(→
α ) = x21 − 4x1 x2 + (2x2 )2 − 2x22 + 3x23 − 4x2 x3
= (x1 − 2x2 )2 − 2x22 + 3x23 − 4x2 x3

Footer Page 22 of 161.

14


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đổi tọa độ

Nguyễn Thị Hậu



y = x1 − 2x2


 1
y2 = x 2



y =x
3
3

.

Ta có
−
H(→

α ) = y12 − 2y22 + 3y32 − 4y2 y3
= y12 − 2(y2 + y3 )2 + 5y32 .


z = y1


 1

z2 = y2 + y3 .



z =y
3
3
→
−
2
2
2
Khi đó H( α ) = z1 − 2z
2 + 5z3 .

t =z


 1 √1
Ta có thể tiếp tục đặt
t2 = 5z3 .




 t = √2z
2
3
→
−
2
2
2
Vậy H( α ) = t + t − t .
Đổi tọa độ

1

2

3

→
−
b) H(
α ) = 4x1 x2 + 3x2 x3

x = y1 + y2


 1
Đặt

x2 = y1 − y2 . Ta có



x =y
3

3

−
H(→
α ) = 4(y12 − y22 ) + 3(y1 − y2 )y3
= 4y12 − 4y22 + 3y1 y3 − 3y2 y3
3
9
9
= 4(y12 + y1 y3 + y32 ) − 4y22 − 3y2 y3 − y32
4
64
16
3 2
3
9
= 4(y1 + y3 ) − 4(y22 + y2 y3 + y32 )
8
4
64
3 2
3 2
= 4(y1 + y3 ) − 4(y2 + y3 ) .

8
8

Footer Page 23 of 161.

15


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hậu



z1 = y1 + 83 y3




z2 = y2 + 38 y3 .



z =y
3
3
→
−
2

2
Khi đó
 H( α ) = 4z1 − 4z2 .

t = 2z1


 1
Đặt
t2 = 2z2 .



t =z
3
3
−
Vậy H(→
α ) = t2 − t2 .
Đặt

1

1.3.3

2

Hệ quả

Hệ quả 1.4. Mỗi dạng song tuyến tính đối xứng η trên không gian vecto

thực hữu hạn chiều V đều tồn tại cơ sở η-trực giao.
Hệ quả 1.5. Mọi dạng toàn phương đều đưa về dạng chuẩn tắc.
−
Giả sử (ε) = {→
ε 1 , · · · εn } là một cơ sở của η-trực giao của dạng song
tuyến tính đối xứng khác không η trên V.
Khi đó, sau khi biến đổi ta đưa dạng toàn phương H về dạng chính tắc
−
H(→
α ) = a1 x21 + · · · + ap x2p − ap+1 x2p+1 − · · · − ap+q x2p+q .
Trong đó ai > 0, i = 1, p + q, 0 < p + q < n. Ta chuẩn hóa cơ sở (ε) bằng
cách đặt

−
 εi = √1 →
ai ε i , i = 1, p + q
−
ε =→
ε j , j = p + q + 1, · · · , n.
j

Footer Page 24 of 161.

16


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

−

Thì →
α =

n

n

−
xi →
εi=

i=1

Nguyễn Thị Hậu

−
yi →
ε i trong đó

i=1


 y1 = √ai xi , i = 1, p + q
.
y =x
j

j

−

−
Khi đó biểu thức tọa độ của H trong cơ sở mới (ε ) = →
ε 1 ,··· ,→
εn
−
2
2
2
H(→
α ) = y12 + · · · + yp2 − yp+1
− yp+2
− · · · − yp+q
.
Ta gọi đó là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H.

1.4
1.4.1

Hạng và hạch của dạng toàn phương
Định nghĩa

Giả sử H là một dạng toàn phương trên R-không gian vecto hữu hạn
−
−
chiều V có ma trận là A trong một cơ sở nào đó (ε) = {→
ε ,··· ,→
ε }
1

n

của V.
Ta gọi rankA là hạng của dạng toàn phương H.
Giả sử η là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Ta gọi tập hợp
→
−
→
−
−
−
V0 = →
α ∈ V : η(→
α , β ) = 0, ∀ β ∈ V
là hạch hay hạt nhân của η. Kí hiệu kerη.
Giả sử T và U là hai không gian vecto con của V và η là một dạng song
tuyến tính đối xứng trên V. Khi đó:
→
− − →
−
• T trực giao với U theo nghĩa η (hay T η- trực giao với U ) nếu t ⊥η →
u ,∀ t ∈

Footer Page 25 of 161.

17