Ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Thị Thủy

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Thị Thủy

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. NGUYỄN THỊ TRÀ

Hà Nội – Năm 2016


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
các thầy, cô giáo trong khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận
tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và trong suốt thời
gian làm khóa luận.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Trà - giảng
viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi,
luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được
kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều
hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự đóng
góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Lê Thị Thủy


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình
của cô giáo ThS. Nguyễn Thị Trà.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Ứng dụng của số phức để giải các bài
toán trong hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của

bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các vấn đề khác.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Lê Thị Thủy


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 SỐ PHỨC

4

1.1

Định nghĩa và các tính chất của số phức . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Các tính chất của số phức . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Số phức liên hợp và môđun của số phức

. . . . . . . . .

8

1.3.1

Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Số phức dưới dạng lượng giác . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác . . . .

11

1.4.3

Tọa vị của một điểm trong E 2 . . . . . . . . . . .

11

1.4.4

Tọa vị của một vectơ trong E 2 . . . . . . . . . . .

11

1.4.5

Biếu diễn số phức theo những điểm . . . . . . . .

11

1.4.6

Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . .

12

Công thức Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

1.5

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6

Lê Thị Thủy

1.5.1

Công thức Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.2

Căn bậc n của số phức . . . . . . . . . . . . . . .

13

Phương trình bậc hai với hệ số phức . . . . . . . . . . .

13

2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ỨNG
DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI

14

2.1

Dạng 1 : Góc định hướng của hai vectơ . . . . . . . . . .

14

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.3

Tỉ số đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.4

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Dạng 2 : Đường thẳng trong mặt phẳng phức . . . . . .

25

2.2.1

Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Dạng 3: Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1

Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Dạng 4: Đường thẳng và đường tròn Euler . . . . . . . .

57

2.4.1

Tọa vị của những điểm đặc biệt trong tam giác .

57

2.4.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Dạng 5: Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.5.1

Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.5.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.2

2.3

2.4

2.5

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Lời mở đầu
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ những thế kỷ
trước. Sau đó, số phức lại thúc đẩy sự phát triển không những toán học
mà còn cả các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức được giảng dạy
trong chương trình toán ở các cấp bậc học THPT hoặc đại học ở hầu hết
các nước trên thế giới. Số phức được biết đến như một số ảo và trường
số phức đóng vai trò như một công cụ đắc lực trong toán. Như trong đại
số, mọi phương trình đa thức đều giải được đủ nghiệm trên trường số

phức. Trong giải tích phức một trong những đối tượng chính là ánh xạ
chỉnh hình vì phần thực và phần ảo là các hàm giải tích hai biến thỏa
mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi
trong các bài toán vật lý hai chiều. Hơn thế nữa trong hình học sử dụng
số phức giúp chúng ta giải nhanh một số một số dạng toán và có nhiều
thuận lợi trong hình học phẳng. Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng
dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng”
nhằm giới thiệu một phương pháp mới để giải quyết một phần nào đó
các bài toán trong hình học phẳng, đồng thời thể hiện một phần nào đó
vẻ đẹp và ứng dụng to lớn của số phức. Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 "Số phức"
Ở chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan
về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ
giữa số phức với hình học phẳng. Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

cho các chương sau.
Chương 2 "Một số dạng toán hình học phẳng ứng dụng số phức để
giải"
Chương này trình bày 5 dạng toán cơ bản ứng dụng của số phức để
giải các bài toán trong hình học phẳng.
1- Góc định hướng của hai vectơ.
2-Đường thẳng trong mặt phẳng phức.
3-Đường tròn.
4-Đường thẳng và đường tròn Euler.

5-Đường thẳng Simson.
Trong mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng
thời xây dựng hệ thống các ví dụ điển hình.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
2.1. Mục đích nghiên cứu
Trình bày những ứng dụng của số phức để giải một số bài toán chứng
minh trong hình học phẳng và một phần nào đó giúp các em học sinh
có kiến thức một cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số
phương pháp giải điển hình cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng
là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, sinh viên kỹ thuật cũng như
giáo viên trong quá trình giảng dạy.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phương pháp ứng dụng của số
phức vào giải một số bài toán trong hình học phẳng.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo có liên quan đến
nội dung đề tài. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới các thầy, cô trong tổ Hình học, đặc biệt là cô giáo ThS. Nguyễn
Thị Trà người đã hướng dẫn tận tình và chu đáo tôi trong suốt quá
trình nghiên cứu và trình bày khóa luận. Tác giả chân thành cảm ơn các
thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là
tổ Hình Học, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học

Đại học và thực hiện bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày 03/05/2016
Tác giả khóa luận

LÊ THỊ THỦY

3


Chương 1
SỐ PHỨC
Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan
về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ
giữa số phức với hình học phẳng. Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng
cho các chương sau.

1.1
1.1.1

Định nghĩa và các tính chất của số phức
Định nghĩa số phức

Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a và b là những số
thực và số i thỏa mãn i2 = −1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b được
gọi là phần ảo, kí hiệu Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C, C = {z = a + bi, ∀a, b ∈ R} và
R ⊂ C.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Chú ý:
• Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
a + 0i = a ∈ R ⊂ C.
• Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn được gọi là số
thuần ảo) z = 0 + bi( b ∈ R).
• Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
• Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R), z = a + b i (a , b ∈ R) gọi là
bằng nhau nếu a = a và b = b . Khi đó ta viết z = z .
1.1.2

Các tính chất của số phức

i) Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
Định nghĩa: Tổng của hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R),
z = a + b i (a , b ∈ R) là số phức z + z = a + a + (b + b )i.
Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các
phần ảo với nhau.
b) Tính chất của phép cộng số phức
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng các số thực.
• Tính chất kết hợp: (z + z ) + z = z + (z + z ), ∀z, z , z ∈ R.
• Tính chất giao hoán: z + z = z + z, ∀z, z ∈ C.
• Với số phức z = a + bi(a, b ∈ R), nếu kí hiệu số phức −a − bi là -z

thì ta có: z + (−z) = (−z) + z = 0. Số -z được gọi là số đối của số
phức z.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

• Cộng với số 0: z + 0 = 0 + z = z với ∀z ∈ C.
c) Phép trừ hai số phức
Định nghĩa: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z và –z’, tức
z − z = z + (−z ).
Nếu z = a + bi (a, b ∈ R), z = a + b i (a , b ∈ R) thì z − z = a − a +
(b − b )i.
d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức
Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số
−
phức z = a + bi. Ta cũng coi mỗi vectơ →
u có tọa độ (a,b) biểu diễn số
phức z = a + bi. Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa
−−→
là vectơ OM biểu diễn số phức đó.
→
−
→
−
−
−
Dễ thấy rằng nếu →

u , u theo thứ tự biểu diễn các số phức z,z’ thì →
u +u
→
−
−
biểu diễn số phức z + z’, →
u − u biểu diễn số phức z - z’.
ii) Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
Cho 2 số phức z = a + bi, z = a + b i (a, b, a , b ∈ R). Thực hiện phép
nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a + b i rồi thay
i2 = −1 ta được :
(a + bi ) . ( a + b i ) = aa + bb i2 + (ab + a b) i
= aa − bb + (ab + a b) i.
Định nghĩa: Tích của 2 số phức z = a + bi, z = a + b i
(∀ a, b, a , b ∈ R) là số phức z.z = aa − bb + (ab + a b) i.
Nhận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b ∈ R) ta có
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

k.(a + bi) = (k + 0i).(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt 0.z = 0 với mọi số phức
z.
b) Tính chất của phép nhân số phức
Phép nhân số phức có tính chất tương tự như phép nhân các số thực
• Tính chất giao hoán: z.z = z .z, ∀ z, z ∈ C.
• Tính chất kết hợp: (z.z ) .z = z. (z .z ) , ∀ z, z , z ∈ C.

• Nhân với 1: 1.z = z.1 = z, ∀ z ∈ C.
• Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):
z. (z + z ) = z.z + z.z , ∀z, z , z ∈ C.
Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều
viết được dưới dạng đai số z = a + bi(a, b ∈ R) và để thực hiện phép
cộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức a+bi
(coi a+bi là đa thức của biến i với hệ số thực ) mà khi gặp i2 thì ta thay
bằng -1.

1.2

Biểu diễn hình học của số phức

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số. Đối
với số phức, ta hãy xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Mỗi số phức z = a + bi ( được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b)).
Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z=a+bi.
Ta còn viết M(a+bi) hay M(z).
Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu số phức như thế được gọi là mặt
phẳng.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn
các số thực, do đó trục Ox còn được gọi

là trục thực. Các điểm trên trục tung Oy
biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn
được gọi là trục ảo.

1.3
1.3.1

Số phức liên hợp và môđun của số phức
Số phức liên hợp

Định nghĩa: Số phức liên hợp của z = a + bi(a, b ∈ R) là a − bi và được
kí hiệu bởi z. Như vậy z = a + bi = a − bi.
Rõ ràng z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với
nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp).
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối
xứng với nhau qua trục thực Ox.
Tính chất:
• z + z = 2Rez , ∀z ∈ C.
• z − z = 2iImz , ∀z ∈ C.
• ∀z ∈ C, z = z ⇔ z ∈ R ⊂ C.
• ∀z ∈ C, z = −z ⇔ z là số thuần ảo
• z = z , ∀z ∈ C.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

• z1 + z2 = z1 + z2 , ∀ z1 , z2 ∈ C.

• z1 .z2 = z1 .z2 , ∀ z1 , z2 ∈ C.
z1
z2

•

=

z1
, ∀ z1 , z2 ∈ C.
z2

• λ.z = λ.z ∀λ ∈ R, ∀z ∈ C.
• z.z = a2 + b2 (hay z.z ≥ 0) , ∀ z = a + bi ∈ C.
1.3.2

Môđun của số phức

Định nghĩa: Môđun của số phức z = a + bi (a, b ∈ R) là số thực không
√
âm a2 + b2 và được ký hiệu là |z|.
√
√
Như vậy thì z = a + bi (a, b ∈ R) thì |z| = z.z = a2 + b2 .
Nhân xét:
• Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực
đó.
• z = 0 ⇔ |z| = 0.

1.4

1.4.1

Dạng lượng giác của số phức
Số phức dưới dạng lượng giác

i) Argumen của số phức
Định nghĩa: Cho số phức z = 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức
biểu diễn số phức z. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,
tia cuối OM được gọi là một argumen của z.
Chú ý: Nếu ϕ là một argumen của z thì mọi argumen của z có dạng
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

ϕ + k2π, k ∈ Z.
ii) Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức: z = a + bi (a, b ∈ R).
Ký hiệu r là môđun của z và ϕ là argumen của z thì
a = r cos ϕ , b = r cos ϕ.
Vậy z = a + bi = 0 có thể viết dưới dạng
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Định nghĩa: Dạng z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác
của số phức z = 0.
Còn dạng z = a + bi (a, b ∈ R) được gọi là
dạng đại số của số phức z.
Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác r(cos ϕ + i sin ϕ) của số phức

z = a + bi (a, b = 0) ta cần:
• Tìm r: Đó là môđun của z, r =

√

a2 + b2 số r đó cũng là khoảng

cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.
• Tìm ϕ: Đó là một argumen của z, ϕ là một số thực sao cho:
a
b
cos ϕ = và sin ϕ = , số ϕ đó cũng là số đo một góc lượng giác
r
r
tia đầu Ox, tia cuối OM.
+) |z| = 1 khi và chỉ khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ)(ϕ ∈ R).
+) Khi z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng argumen của z không xác
định (đôi khi acgumen của 0 là một số thực tùy ý và vẫn viết
0 = 0(cosϕ + i sin ϕ).

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.2

Lê Thị Thủy

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z = r (cos ϕ + i sinϕ ) (r ≥ 0, r ≥ 0) thì
z.z = r.r [cos(ϕ+ϕ ) + isin(ϕ+ϕ )].
z
r
= [cos(ϕ − ϕ ) + isin(ϕ − ϕ )] khi r > 0.
z
r
Như vậy để nhân các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy tích các môđun
và tổng các argumen, để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy
thương các môđun và hiệu các argumen.
1.4.3

Tọa vị của một điểm trong E 2

Định nghĩa: Trong E 2 , điểm M (a; b) cho tương ứng với số
m = a + bi thì số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m).
Kí hiệu một điểm trong mặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó
là chữ cái in thường tương ứng.
1.4.4

Tọa vị của một vectơ trong E 2

−
Định nghĩa: Trong E 2 vectơ →
α (a; b) cho tương ứng với số
−
z = a + bi. Khi đó z được gọi là tọa vị của vectơ →
α . Kí hiệu là vectơ
→

−
α (z).
1.4.5

Biếu diễn số phức theo những điểm

Định nghĩa: Trong E 2 cho hai số phức dưới dạng đại số
z1 = x1 +i y1 , z2 = x2 +i y2 .
−−→ −−→
Điểm O là gốc tọa độ. Xác định hai vectơ OZ1 , OZ2 biểu diễn hai số
phức z1 , z2 .
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

−→
• Nếu Z1 , Z2 có cùng giá: Số phức z = z1 + z2 là OZ.
• Nếu Z1 , Z2 không cùng giá: Dựng hình bình hành OZ1 ZZ2 .
⇒ z = (x1 + x2 ; y1 + y2 ) biểu diễn tọa vị của z1 + z2 .
Do đó tổng của hai số phức có thể biểu diễn như tổng của hai vectơ
trong mặt phẳng.

Nhận xét: Sự biểu diễn số phức trong mặt phẳng hoàn toàn thích hợp
khi xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức.
1.4.6

Khoảng cách giữa hai điểm

−−→
Giả sử M (z1 ), N (z2 ) ∈ E 2 . Ta có M N = z2 − z1 . Khi đó khoảng cách
giữa hai điểm M, N được tính theo công thức:
−−→
MN = MN =

1.5
1.5.1

(z2 − z1 )(z2 − z1 )

Công thức Moivre
Công thức Moivre

Với mọi số nguyên dương n thì ta có:
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

[r(cosϕ + i sin ϕ)]n = rn (cosnϕ + i sin nϕ).
và khi r = 1 ta có (cosϕ + i sin ϕ)]n = cosnϕ + i sin nϕ.
Cả hai công thức đó đều là công thức Moivre.
Chú ý: Công thức Moivre còn đúng khi n nguyên âm
(và cả khi n = 0,z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = 0).
1.5.2

Căn bậc n của số phức

Nếu số nguyên n ≥ 2. Căn bậc n của số phức z là một số phức z’ sao
cho z n = z (nếu z = 0 thì z = 0). Như vậy
∀z ∈ C, z = 0, z = |z| (cosϕ + i sin ϕ) n ∈ N∗ thì
√
ϕ k2π
ϕ k2π
n
+ i sin
k ∈ Z, k = 0, n − 1
z = n |z| cos
+
+
n
n
n
n
(trong đó n |z| là căn bậc n của một số thực không âm).

1.6

Phương trình bậc hai với hệ số phức

Ax2 + Bx + C = 0 (A = 0) với A,B,C là các số phức
∆ = B 2 − 4AC.
−B
.
2A
+) Nếu ∆ = 0 thì ta tìm các căn bậc hai w của ∆ thì phương trình có

−B ± w
hai nghiệm phân biệt z1,2 =
.
2A

+) Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z =

13


Chương 2
MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH
HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ
PHỨC ĐỂ GIẢI
Trong chương này chúng ta sẽ phần nào thấy được nét ưu việt của
số phức trong hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng. Trong
mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng thời xây
dựng hệ thống các ví dụ điển hình và bài tập tương tự có hướng dẫn ở
chương sau.

2.1
2.1.1

Dạng 1 : Góc định hướng của hai vectơ
Định nghĩa

Để tính góc đinh hướng α tạo bởi hai vectơ đi qua gốc tọa độ O, ta chọn
hai

điểm

Z1 , Z2

có

tọa

vị

tương

14

ứng

lần

lượt

là

z1 , z2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

nằm trên mỗi vectơ. Khi đó:
z2

α = arg z2 − arg z1 = arg .
z1
Trong trường hợp hai vectơ xuất phát từ điểm
z 0 , ta cũng làm tương tự và có:
z 2−z 0
.
z 1−z 0
Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo

α = arg (z 2 − z 0 )−arg (z 1 − z 0 ) = arg

hướng dương của hai vectơ bất kỳ theo tọa vị
của các số phức thì sao?
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho bốn điểm Z1 , Z2 , U1 , U2 có tọa
vị tương ứng lần lượt là z1 , z2 , u1 , u2 . Góc định hướng giữa hai vectơ
−−→ −−→
−−→
Z1 Z2 , U1 U2 là góc quay vectơ đơn vị đặt trên Z1 Z2 một góc ϕ theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ) đến trùng với vectơ đơn vị đặt trên
−−→
−−→ −−→
U1 U2 . Kí hiệu Z1 Z2 , U1 U2 = ϕ.
2.1.2

Mệnh đề

−
−
Trong E 2 cho hệ tọa độ trực chuẩn (O, →
e1 , →

e2 ) và hai điểm M (z1 ) , N (z2 ).
−−→
−−→
Khi đó góc định hướng giữa hai vectơ OM và ON .
−−→ −−→
Kí hiệu OM , ON = ϕ được xác định bởi công thức:
z1 .z 2 + z 1 .z2
i(z 1 .z 2 − z 1 .z2 )
; sinϕ =
.
cos ϕ =
2 |z1 | . |z2 |
2 |z1 | . |z2 |
−−→ −−→
z2
Chứng minh: ϕ = OM , ON = arg z2 − arg z1 = arg .
z1
z2
Đặt z = . Ta lại có:
z1

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

cos ϕ =

Lê Thị Thủy

z+z
z+z
=
.
2r
2 |z|

−−→ −−→
⇔ cos OM , ON =

z2
z1

+

z2
z1

z1 .z2 + z1 . z2
z2
z2
2
2 z1 .z2 .
z1
z1
z1 .z2 + z1 . z2
z1 .z2 + z1 . z2
=
.
=

z2
2 |z1 | . |z2 |
2
2 |z1 | .
z1
=

Chứng minh tương tự, ta có:
i(z1 .z2 − z1 . z2 )
sin ϕ =
.
2 |z1 | . |z2 |
Từ mệnh đề ta rút ra cách tính tổng quát góc định hướng giữa hai vectơ
−−−→ −−−→
Z1 Z2 , U1 U2 cho bởi bốn điểm Z1 , Z2 , U1 , U2 có tọa vị tương ứng lần lượt
là z1 , z2 , u1 , u2 :
z2 − z1
u2 − u1
(cos ϕ + i sin ϕ) =
(∗).
|z2 − z1 |
|u2 − u1 |
z2 − z1
u2 − u1 u2 − u1
u2 − u1
Từ đó (cos ϕ + i sin ϕ) =
:
=
:
= p.

z2 − z1
z2 − z1
|u2 − u1 | |z2 − z1 |

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta có cosϕ=

Lê Thị Thủy

p+p
p−p
; sinϕ=
từ đó ta có:
2
2i

u2 − u1
u2 − u1
z2 − z1
z − z1
+ 2
u2 − u1
u2 − u1
(z2 − z1 ).(u2 − u1 ) + (u2 − u1 ).(z2 − z1 )
z2 − z1
z2 − z1

=
cosϕ=
u2 − u1
2
2. |z2 − z1 |2 .
z2 − z1
(z2 − z1 ).(u2 − u1 ) + (u2 − u1 ).(z2 − z1 )
=
(1).
2. |z2 − z1 | . |u2 − u1 |
i[(z2 − z1 ).(u2 − u1 ) − (u2 − u1 ).(z2 − z1 )]
(2).
2. |z2 − z1 | . |u2 − u1 |
Từ (1) và (2)
sin ϕ =

−−−→ −−−→
⇒Z1 Z2 ⊥U1 U2 ⇔ (z2 − z1 ).(u2 − u1 ) + (u2 − u1 ).(z2 − z1 ) = 0.
−−−→ −−−→
Z1 Z2 //U1 U2 ⇔ (z2 − z1 ).(u2 − u1 ) = (u2 − u1 ).(z2 − z1 ).
Hệ quả:
Theo công thức (*) nếu z1 ≡ u1 và |z2 − z1 | = |u2 − u1 |. Khi biết z2 và ϕ
với các giá trị đặc biệt thì u2 được tính theo z2 :
+) ϕ = 90◦ thì u2 = z1 +(z2 − z1 )i.
√
1
3
+) ϕ = 60◦ thì u2 = z1 +
+
i (z2 − z1 ).

2
2
√
3 1
+ i (z2 − z1 ).
+) ϕ = 30◦ thì u2 = z1 +
2
2

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.3

Lê Thị Thủy

Tỉ số đơn

Định nghĩa: Trong mặt phẳng phức cho ba điểm phân biệt M0 , M1 , M2
có tọa vị theo thứ tự là z0 , z1 , z2 ta gọi số phức, kí hiệu và xác định bởi:
z2 − z0
[M 0 , M1 , M2 ] = [ z0 , z1 , z2 ] =
là tỉ số đơn của bộ ba điểm M0 , M1 , M2
z2 − z1
(hay tỉ số đơn của bộ ba số phức z0 , z1 , z2 ).
Chú ý:
M2 M0
• [M 0 , M1 , M2 ] là số phức w mà |w| =

và arg w là số đo góc
M2 M1
−−−→ −−−→
định hướng M2 M1 , M2 M0 ; điều đó nói rằng tỉ số đơn của bộ ba
điểm là một khái niệm hình học, không phụ thuộc vào việc chọn hệ
tọa độ Oxy.
z2 − z0
z2 − z0
• Ta thấy
∈ R ⇔ arg
= kπ, k ∈ Z.
z2 − z1
z2 − z1
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→
⇔ M2 M1 , M2 M0 có số đo kπ, k ∈ Z ⇔ M2 M1 , M2 M0 cùng
phương.
z2 − z0
∈ R, k ∈ Z ⇔ Ba điểm M0 , M1 , M2
z2 − z1
−−−→
−−−→
cùng thuộc một đường thẳng và M0 M2 = k M1 M2 .

Do đó [M 0 , M1 , M2 ] =

2.1.4

Ví dụ

Ví dụ 2.1.1. Cho hình vuông ABCD. Điểm M là trung điểm của CD,
điểm P nằm trên đường chéo AC sao cho |P C| = 3 |AP | . Chứng minh
rằng BP M = 90◦ .
Lời giải.
−→
+) Lấy hệ tọa độ vuông góc sao cho A là điểm gốc và AB là vectơ đơn
vị theo chiều dương của trục hoành ⇒ Tọa vị của những điểm A,B,C,D
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

tương ứng lần lượt là a = 0, b = 1, c = 1 + i, d = i.
+)Theo giả thiết M là trung điểm của CD ⇒ Điểm M có tọa vị là m
1
1
thỏa mãn: m = (c + d) = (1 + 2i).
2
2
−→
−→
1
1
Lại có |P C| = 3 |AP | ⇒ AC = 4AP ,nên p = c = (i + 1).
4
4
+) Xét
1

1
(i
+
1)
−
(1 + 2i)
p−m
2
(m, b, p) =
= 4
1
p−b
(i + 1) − 1
4
(1 + i) − (2 + 4i) 1 + 3i 10i
=
=
= i.
=
i−3
3−i
10
π
.
2
−−→
−−→
⇒ Góc định hướng giữa hai vectơ P M và P B là 90◦ .
|P B|
Hơn nữa |i| = 1 ⇒

= 1 ⇔ P B = P M , nên ∆BP M là vuông cân.
|P M |
⇒ (m, b, p) = i mà arg i =

Ví dụ 2.1.2. Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa
điểm C dựng hình vuông ABDE. Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa
điểm A dựng hình vuông BCFG. Chứng minh GA⊥CD và GA = CD.
Lời giải.
+) Giả sử tọa vị các đỉnh A,B,C của ∆ABC có tọa vị tương ứng lần
19