SKKN "Tổng kết một số PP c/m tứ giác nội tiếp"

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
Phòng giáo dục và đào tạo bình xuyên
trờng THCS Lý Tự Trọng
====***====
Sáng kiến kinh nghiệm
Đề Tài:
Tổng kết một số phơng pháp chứng minh
Tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Ngời thực hiện: Nguyễn Hữu Tài
Giáo viên tổ KHTN
Trờng THCS Lý Tự Trọng
Tháng 03 năm 2008
1
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
Phần I: phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ
giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng
nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng
thuộc một đờng tròn, . Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức
chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đờng tròn, định lý đảo về
tứ giác nội tiếp, . Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong
chơng III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học
sinh.
b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ
bản thể hiện ở định lý đảo Tứ giác nội tiếp Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK
đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy
nhiên cha đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội
tiếp một đờng tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu.
Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng
tròn.

Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhng lại hết sức quan trọng giúp
học sinh nhìn nhận lại đợc các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý
giải căn cứ khác .
Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đa ra một số cách để chứng minh
một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài Tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Với tên gọi:
Tổng kết một số phơng pháp
chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn
2. Phạm vi, đối tợng mục đích của đề tài:
a) Phạm vi của đề tài :
Là phơng pháp chứng minh hình học THCS ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứng
minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức về góc,
đẳng thức tích các đoạn thẳng, Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũng khá rộng
rãi .
b) Đối tợng của đề tài:
Là học sinh đại trà lớp 9 THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS.
2
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
c) Mục đích của đề tài:
Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phơng pháp để hớng dẫn
học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đờng tròn
và các bài toán có sử dụng chiều ngợc lại của tứ giác nội tiếp. Rèn học sinh kỹ năng
phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹ năng nhận biết nhanh một tứ
giác nội tiếp.
* * *
* *
Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả
năng t duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng
góp xây dựng.

Xin chân thành cảm ơn !
Phần 2: nội dung của đề tài
3
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
A. Nội dung:
I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài:
Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận khoa
học sau:
1, Về phơng pháp chúng ta dùng phơng pháp phân tích tổng hợp :
Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứng minh A
B, ta chứng minh rằng A A
1
A
2
... B.
Các quan hệ kéo theo nói trên đợc trình bày dới dạng: A
1
A
2
(lí do) hoặc:
(lí do) A
1
A
2
Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta thờng:
a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A A
1
, từ A
1
A

2
,....Và cuối cùng
suy ra A
m
b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thể chứng
minh B
1
, để chứng minh B
1
ta có thể chứng minh B
2
, , cuối cùng ta có thể chứng
minh B
n
Nếu chứng minh đợc A
m
B
n
thì bài toán chứng minh A B đợc chứng
minh với sơ đồ sau: A A
1
A
2
A
m
B
n
. B
2
B

1
B.
2, Một số phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau.
* Phơng pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) do hai đờng thẳng song
song
* Phơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh tơng ứng song song hay vuông
góc.
* Phơng pháp 3: Là hai góc tơng ứng của hai tam giác đồng dạng.
* Phơng pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp tuyến và một
dây cung)
Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phơng pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để
chứng minh hai góc bằng nhau.
3, Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc.
Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1V , trong đó AB là một
đoạn cho trớc là đờng tròn đờng kính AB.
Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho trớc
một AMB có số đo không đổi bằng (0
o
< < 180
o
) là hai cung tròn đối xứng
nhau qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB .
4
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
4, Định lý thuận, đảo về Tứ giác nôị tíêp một đờng tròn Trang 87, 88 SGK Toán
9 tập 2.
5, Tính chất của tam giác đồng dạng .
6, Dựa vào định nghĩa đờng tròn.
II. Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài
này là:

1, Về con ngời :
- Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi
trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.
- Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : Tại sao lại có cách
chứng minh tứ giác nội tiếp nh thế ? Trong một bài toán cụ thể
- Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp 9 THCS.
2, Về kiến thức:
Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối tợng kiến thức tôi chọn ở
đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói về tứ giác nội tiếp , quỹ tích cung
chứa góc . Nghiên cứu chủ yếu cách tìm phơng pháp chứng minh các điểm cùng
thuộc một đờng tròn để phục vụ cho kết luận của bài toán có sử dụng tính chất của
tứ giác nội tiếp .
III. Nội dung phơng pháp nghiên cứu .
* Về ph ơng pháp nghiên cứu .
- Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài
toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán
của GV THCS.
- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 , những
năm trớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện đợc tứ giác nội tiếp một cách nhanh
nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay đợc tổng hai góc đối diện
của tứ giác bằng 180
o
. Hay HS cứ phải đa về tổng hai góc đối diện bằng 180
0
nên
dài, nhiều khi dẫn đến sai.
- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phơng pháp chứng
minh và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác
nội tiếp trớc khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180
o

trong các bài
toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp .
- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy
cô dạy toán giỏi trong Huyện.
5
x
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các buổi
ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bồi dỡng học sinh giỏi .
- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các
định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phơng
pháp chứng minh tứ giác nội tiếp .
Từ các phơng pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra đợc kinh
nghiệm nhỏ trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán bởi nội dung cụ thể nh sau:
* Nội dung nghiên cứu:
- Khi dạy xong bài Tứ giác nội tiếp một đờng tròn Trang 87,88 SGK Toán 9

tập 2. Học sinh tự rút ra đợc một cách chứng minh tứ giác nội tiếp là:
Nếu tứ giác ABCD có :
A+C=2V hoặc B+D=2V
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Khai thác:
1, Sử dụng tính chất của hai gó kề bù
gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn
giả sử xAD = BCD
thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù)
BCD + BAD = 2V => tứ giác ABCD nội tiếp
Đặc biệt hoá bài toán tứ giác ABCD có BAD = BCD = 90
o

Thế thì BAD + BCD = 90
o
+90
o
=180
o
=>Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính BD.
Đây là cách đơn giản nhất.
Không phải lúc nào cũng có nh vậy chẳng hạn nh:
2, Xét tứ giác ABCD có DAC = DBC
Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng
bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD
nội tiếp .
Thật vậy, giả sử DAC = DBC = (0
o
< < 180
o

) vì do DC cố định nên A, B
nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa
góc ) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn hay tứ giác ABCD nội
tiếp .
Vậy là ta có cách thứ t để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp.
Đặc biệt hoá góc để có cách nhận biết nhanh
6
C
d
A
B
C
D
M
B
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài
tứ giác nội tiếp .
Khi cho = 90
o
ta có DAC = DBC = 90
o

Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì
tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính DC.
3, Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn :
Giả sử AB cắt DC tại M
ta suy ra đợc ABD = ACD
vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng
Đảo lại: Nếu tam giác MAC và
tam giác MDB đồng dạng với A thuộc

đoạn BM và D thuộc đoạn MC
thì tứ gíac ABCD nội tiếp.
Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với
tam giác MDB suy ra ABD = DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một
nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dới hai góc bằng nhau )
+ Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A BM,
D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
+ Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng
dạng với tam giác MCB suy ra:

MB
MD
MC
MA
=
MA . MB = MC . MD
Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp .
4, Nh vậy với cách nghiên cứu nh trên cùng với định nghĩa đờng tròn ta có
một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp nh sau:
Tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn nếu nó thoả mãn một trong những hệ
thức sau:
bảng hệ thống phơng pháp chứng minh
tứ giác nội tiếp một đờng tròn
Thứ tự
cách
chứng minh
Hệ thức
Hình vẽ minh hoạ
7

A
C
D
A
B
C
D
x
A
B
C
D
A
B
C
D
D
A
B
C
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi
C¸ch 1 OA = OB = OC = OD
C¸ch 2
2.a)




=∠+∠
=∠+∠

0
12
0
180C
180
A
DB
2.b) ∠A
1
= ∠C
1
C¸ch 3
∠A
1
+ ∠C
1
= 90
0
+ 90
0
C¸ch 4






∠=∠
∠=∠
∠=∠

∠=∠
11
22
22
11
CD
CB
DA
BA
C¸ch 5
∠A
1
= ∠B
1
= 90
0
C¸ch 6 MA . MB = MC . MD
(H×nh bªn ph¶i tø gi¸c
ACBD néi tiÕp)
8
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M

O
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2